TP501 Processos Aleatórios. Notas de aula

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "TP501 Processos Aleatórios. Notas de aula"

Transcrição

1 TP5 Processos Aleatórios Notas de aula Prof. Dr. Dayan Adionel Guimarães 7-

2 TP5 Processos Aleatórios Aula Conteúdo Processos estocásticos: Processo Aleatório definição. Processo aleatório estacionário. Média de um processo estocástico. Função de auto-correlação de um processo estocástico. Principais propriedades da função de auto-correlação. A natureza aleatória de muitos fenômenos observados em Engenharia se manifesta temporal ou espacialmente. Uma família de variáveis aleatórias que se manifesta desta maneira recebe o nome de processo estocástico ou simplesmente processo aleatório (p.a.). Deste ponto em diante no nosso curso utilizaremos os conceitos já estudados para caracterizar e analisar processos aleatórios comumente encontrados em problemas de Telecomunicações. Devido à grande importância dos conceitos sobre processos estocásticos no estudo desta área, várias partes destas notas foram baseadas na referência: HAYKIN, Simon, Communication Systems, 4th Edition, John Wiley and Sons, Inc.: New York, USA,, Capítulo. Versão em Português disponível. Sendo assim, recomenda-se fortemente que esta referência seja incluída como material de estudo. Processo Aleatório - definição Como exemplo, seja um sinal aleatório de tensão ou corrente e o conjunto de suas possíveis realizações (t, ζ )... (t, ζ 4 ) ilustradas na figura a seguir. A um conjunto como este se dá o nome de processo aleatório (t) ou processo estocástico (t). A cada uma das realizações citadas dá-se o nome de função amostra x(t) do processo (t). Se amostrarmos (t) em, por exemplo, t e t, o conjunto de amostras comporá as variáveis aleatórias (t ) e (t ) com valores x e x.

3 A seguir têm-se algumas observações sobre a definição de processos aleatórios: Um processo aleatório é um conjunto de valores aleatórias indexados temporal ou espacialmente. Em outras palavras, um p.a. pode ser visto como um conjunto de variáveis aleatórias cujos valores específicos surgem ao longo do tempo ou em diferentes pontos do espaço. Por exemplo, um sinal de voz é um processo aleatório com variações temporais. Já o ângulo de inclinação de um edifício quando sujeito a ação do vento é um processo aleatório que se manifesta espacialmente. Se o índice mencionado é discreto tem-se um processo aleatório discreto; se o índice é contínuo tem-se um processo contínuo. Os possíveis valores do processo aleatório também podem ser discretos ou contínuos. Tem-se então quatro combinações: ) p.a. discreto no tempo e discreto nos valores; ) p.a. discreto no tempo e contínuo nos valores; 3) p.a. continuo no tempo e discreto nos valores e 4) p.a. contínuo no tempo e contínuo nos valores; No caso de uma v.a. o resultado de cada experimento aleatório é um número chamado amostra. Para um processo estocástico o resultado de cada experimento é uma forma de onda chamada função amostra. O número de formas de onda no conjunto pode ser finito ou infinito. Exemplo: A saída de um gerador de pulsos binários de duração T, se analisada em períodos de T, é um conjunto com possíveis formas de onda. A figura a seguir ilustra quatro realizações deste conjunto. Neste caso temos um exemplo em que o número de formas de onda no conjunto é finito, da forma como o processo aleatório foi definido. Se analisássemos trechos de duração equivalente em um sinal de saída de transmissor ao longo da transmissão de um programa de rádio qualquer, perceberíamos infinitas possibilidades para as funções amostra observadas. Neste caso temos um exemplo em que o número de formas de onda no conjunto é infinito. 3

4 Processo aleatório estacionário Em sendo aleatório, um processo estocástico é analisado com ferramentas estatísticas. Sendo assim, ao analisarmos um p.a., obtemos dele propriedades estatísticas. Um processo aleatório é dito estacionário se possuir propriedades estatísticas independentes do instante de tempo em que a observação do processo se inicia. Isto significa que se um processo aleatório é dividido em várias seções, estas seções exibirão propriedades estatísticas idênticas. Normalmente um processo aleatório estacionário origina-se de fenômenos físicos estáveis, como na maior parte dos casos que encontraremos em Telecomunicações. Exemplo: Seja determinar a probabilidade de se obter uma função amostra x(t) de um p.a. (t) que passe pelas janelas de amplitude mostradas na figura a seguir. Isto equivale a se determinar a probabilidade do evento conjunto: A = {a i < (t i ) b i }, para i =,, 3. Se o p.a. (t) em questão for estacionário, a probabilidade do suas funções amostra passarem pelas janelas de amplitude na parte (a) da figura a seguir é igual à probabilidade de suas funções amostra passarem pelas janelas de amplitude na parte (b) desta figura. 4

5 Como estamos tratando de processos aleatórios, as ferramentas que utilizaremos para analisá-los nos fornecerão informações estatísticas e não determinísticas. Dentre estas informações destacam-se as médias estatísticas, as quais já foram estudadas no contexto de variáveis aleatórias. Vamos a seguir estudar as principais médias estatísticas de análise de um processo aleatório. Média de um processo estocástico A média de um processo aleatório (t) observado no instante t i é dada por: µ ( t ) = E[ ( t )] = xf ( x) dx i i ( t i ) Interpreta-se esta expressão da seguinte maneira: a média de um processo aleatório (t) observado no instante t i é a média da variável aleatória obtida pela amostragem do processo (t) no instante t i. A função densidade de probabilidade desta v.a. é f ( ) ( t i ) x. Para um processo aleatório estacionário a média independe de t, ou seja: µ ( t) = µ para qualquer t Isto significa que se amostrarmos um processo aleatório em qualquer instante de tempo, teremos variáveis aleatórias sempre com a mesma média. A média pode ser estimada via média amostral se colhermos um número suficientemente grande de amostras do p.a. analisado. Em outras palavras, a média pode ser determinada por meio de: N µ ( ti) = lim j( ti) N N j= onde j (t i ) é o valor da amostra da j-ésima função-amostra no instante de tempo t i. As estatísticas de primeira ordem, ou seja, aquelas que envolvem apenas uma variável aleatória obtida a partir de amostras um processo aleatório, podem não ser suficientes para caracterizá-lo. Como 5

6 exemplo, o p.a. Y(t) ilustrado na figura a seguir é simplesmente o p.a. (t) comprimido no tempo. Ambos têm a mesma FDP (de primeira ordem), mas Y(t) tem componentes de freqüência mais elevadas, pois varia mais rapidamente. Como podemos levar isso em conta nas estatísticas do processo? A resposta reside no estudo de estatísticas de segunda ordem, aquelas que envolvem duas variáveis aleatórias obtidas a partir de amostras do processo aleatório sob análise em dois instantes de tempo quaisquer. A função de auto-correlação, que é o nosso próximo assunto, é a estatística de segunda ordem de maior interesse no estudo de processos estocásticos comumente encontrados em Telecomunicações. Função de auto-correlação de um processo estocástico A função de auto-correlação de um p.a. (t) é o valor esperado do produto de duas v.a. (t ) e (t ), obtidas pela observação do p.a. nos instantes t e t, respectivamente, ou seja: R ( t, t ) E[ ( t ) ( t )] xx f ( x, x ) dxdx = = ( t), ( t) Trata-se de uma função, pois o valor específico da correlação entre as variáveis aleatórias correspondentes depende dos instantes de tempo em que foram geradas. Perceba que a função de auto-correlação revela a taxa de variação de um processo aleatório, posto que se o processo é lento, amostras espaçadas de um determinado intervalo levarão a valores de correlação maiores entre as v.a. correspondentes que aqueles obtidos a partir de amostras de um processo rápido, para o mesmo espaçamento entre tais amostras. A função de auto-correlação também pode ser estimada via média amostral se colhermos um número suficientemente grande de amostras do p.a. analisado, ou seja: N R ( t, t ) = lim ( t ) ( t ) j j N N j= 6

7 Para um processo estocástico estacionário a função de auto-correlação independe do momento em que as amostras são colhidas, dependendo somente do espaçamento temporal entre elas. Assim teremos: R( t, t) = R( t t) = R( τ) para qualquer valor de t e de t Principais propriedades da função de auto-correlação A função de auto-correlação é uma função par: O seu máximo valor ocorre em τ =, ou seja: O valor quadrático médio do p.a. é dado por: R ( τ) = R ( τ). R ( τ) R (). E[ ( t)] = R (). A figura a seguir ilustra estas propriedades e mostra que a função de auto-correlação de um processo aleatório está intimamente ligada com o conteúdo de freqüências deste processo. Um p.a. que tem flutuações mais rápidas e que, portanto, tem componentes de freqüência mais elevadas, tem uma função de auto-correlação mais aberta. Um p.a. que tem flutuações mais lentas e que, portanto, não tem componentes de freqüências altas, tem uma função de auto-correlação mais estreita. Veremos mais adiante no nosso curso que, de fato, a forma como as componentes de freqüência de um sinal aleatório de tensão se distribuem será determinada pela Transformada de Fourier da função de autocorrelação do processo aleatório correspondente. Exemplo: A função amostra x(t) dada na figura a seguir pertence ao p.a. (t) referente a uma seqüência binária aleatória tal que: bit +A, bit A. Os pulsos não são sincronizados: o instante de início td do primeiro bit completo pode estar entre e T com FDP uniforme. Bits consecutivos têm valores ou igualmente prováveis E[(t)] =, e cada bit tem seu valor independente de qualquer valor anterior ou posterior. Vamos determinar a função de auto-correlação do p.a. (t). 7

8 Inicialmente vamos considerar t k t i T. Neste caso (t k ) e (t i ) ocorrem em diferentes intervalos de pulso e são, portanto, independentes: E[ ( t ) ( t )] = E[ ( t )] E[ ( t )] =, t t T k i k i k i Agora vamos considerar t k t i < T, com t i < t k. Neste caso (t k ) e (t i ) vão ocorrer no mesmo intervalo de pulso somente se t d < T t k t i. Então: A, td < T tk ti E[ ( tk) ( ti) td] =, caso contrário Para eliminar o condicionamento ao valor de t d aplicamos a Lei da Esperança Total que diz que: { } E[ ] = E E[ Y] Assim, realizando a média sobre todos os possíveis valores de t d, obtemos: T tk ti T t k ti A tk ti k i = Td d d = d = E[ ( t ) ( t )] A f ( t ) dt dt A T E finalmente, fazendo τ = t k t i tem-se a função de auto-correlação desejada cujo esboço é mostrado na figura a seguir. R τ A ( τ) = T, τ < T,, τ T T 8

9 Na prática muitas vezes é suficiente verificar se somente as estatísticas de primeira e de segunda ordem não variam com o tempo. Um p.a. cuja média independe do tempo e a função de auto-correlação depende somente da diferença entre os instantes de observação, não do valor específico destes instantes, é denominado processo aleatório estacionário no sentido amplo (Wide-Sense Stationary, WSS), ou simplesmente estacionário. FIM DA AULA 9

10 TP5 Processos Aleatórios Aula Conteúdo Processos estocásticos: Função de correlação cruzada para dois processos estocásticos estacionários. Função de auto-covariância para um processo estocástico. Função de covariância cruzada para dois processos estocásticos estacionários. Processos estocásticos ergódicos. Função de correlação cruzada para dois processos estocásticos estacionários A função de correlação cruzada para os processos estocásticos estacionários (t) e Y(t) é: R ( τ) = E[ ( t) Y( t + τ)] e R ( τ) = EY [ ( t) ( t + τ)] Y Esta função é par e mede a correlação entre a variável aleatória gerada por amostragem do processo (t) em um instante t qualquer e a variável aleatória gerada por amostragem do processo Y(t) em um instante t + τ. Sua principal aplicação reside na verificação do grau de ortogonalidade entre processos aleatórios: dois processos estocásticos são ditos ortogonais se a função de correlação cruzada é nula. Exemplo: Em sistemas de comunicação é comum encontrarmos o que é chamado de modulação em quadratura. Neste tipo de modulação tem-se ( ) ( )cos( ) t = I t πfct + Θ e ( ) ( )sin( ) t = Q t πfct + Θ, onde I(t) e Q(t) são sinais relacionados à informação que se deseja transmitir e Θ é uma fase aleatória uniformemente distribuída em (, π]. Vamos determinar a função de correlação cruzada entre os processos (t) e (t): R ( τ) = E[ ( t) ( t τ)] = E[ I( t) Q( t + τ)cos( πf t + Θ)sin(π f t πf τ + Θ)] = E[ I( t) Q( t + τ)] E[cos( πf t + Θ)sin(π f t π f τ + Θ)] = R ( τ) E[sin(4π f t π f τ + Θ) sin( πf τ)] = ( τ)sin( πf τ) Y c c c c c c IQ c c c R IQ c onde fizemos o uso do fato que Θ é independente de I(t) e Q(t) e da identidade sin(a)cos(b) = ½sin(a b) + ½sin(a + b). Note que para τ = teremos R (τ) =. Isto significa que se os processos (t) e (t) forem amostrados simultaneamente, serão obtidas variáveis aleatórias ortogonais. De um ponto de vista mais relacionado às telecomunicações, isto significa ainda que os sinais I(t) e Q(t) não se interferirão quando transmitidos por portadoras em quadratura.

11 Função de auto-covariância para um processo estocástico A função de auto-covariância de um p.a. (t) é a covariância das v.a. (t ) e (t ), obtidas pela observação do p.a. nos instantes t e t, respectivamente. Pode ser interpretada como a função de autocorrelação do processo centralizado (retirando-se a média) e é definida por: {[ ][ ]} K ( t, t ) = E ( t ) µ ( t ) ( t ) µ ( t ) = R ( t, t ) µ ( t ) µ ( t ) Para um p.a. estacionário, a função de auto-covariância vale: K ( t, t ) = R ( t t ) µ Fazendo t t = τ, podemos escrever: K ( τ) = R ( τ ) µ Se a função de auto-covariância de um processo aleatório é nula, significa que as variáveis obtidas por amostragem deste processo nos instantes t e t são descorrelacionadas. Neste caso a correlação entre estas variáveis passará a ser determinada pelo produto das médias do processo em questão, avaliadas nos instantes t e t. Da mesma forma que no estudo de variáveis aleatórias, a covariância é uma medida da amarração estatística entre os processos aleatórios analisados. Assim, se a função de auto-covariância tem um valor elevado a um dado τ = t t, as estatísticas obtidas da variável aleatória (t ) têm grande probabilidade de ser observadas também na variável aleatória (t ). Como exemplo, se (t ) tem média elevada, (t ) provavelmente o terá. Função de covariância cruzada para dois processos estocásticos estacionários Em se tratando de dois processos aleatórios, pode-se definir a função de covariância cruzada que, para processos estacionários, vale: K ( τ) = R ( τ ) µ µ Y Y Y Se os processos (t) e Y(t) são descorrelacionados, K Y (τ) = e a função de correlação cruzada entre os processos passa a ser determinada pelo produto das suas médias, ou seja: R ( τ ) = µ µ Y Observe que para processos ortogonais R Y (τ) =. Estes processos serão também descorrelacionados se a média µ ou a média µ Y for nula, ou ambas forem nulas. Y

12 Processos estocásticos ergódicos O conceito de processos estocásticos ergódicos é um dos mais úteis ao estudo de sistemas de comunicação e, por esta razão, daremos a este estudo uma grande importância. As médias de um p.a. são, por definição, médias estatísticas tomadas através do processo, ou seja, operando no conjunto de funções amostra. Para os processos ergódicos, as médias estatísticas podem ser obtidas por meio de medias temporais realizadas a partir de uma única função amostra, ou seja, ao longo do processo. Felizmente, em telecomunicações os processos aleatórios podem ser considerados, em sua maioria, ergódicos. A classe de processos ergódicos compreende uma classe especial de processos aleatórios estacionários. A figura a seguir, praticamente uma réplica daquela utilizada quando definimos processos aleatórios, ilustra o conceito de obtenção de amostras através e ao longo de um processo aleatório. Para um processo ergódico (t), considere um intervalo de observação T de uma de suas funções amostra, x(t). A média e a função de auto-correlação podem ser determinadas pelas médias temporais: T / µ ( T) = x( t) dt T T / [ µ T ] = µ { [ µ T ]} lim ( ) T lim var ( ) = T T / R( τ, T) = x( t ) x( t) dt T + τ T / [ R τ T ] = R { [ R τ T ]} lim (, ) ( τ) T lim var (, ) = T Em termos da função de correlação cruzada, para dois processos aleatórios ergódicos teremos:

13 T / RY( τ, T) = x( t ) y( t) dt T + τ T / [ RY τ T ] = RY { [ RY τ T ]} lim (, ) ( τ) T lim var (, ) = T Em outras palavras, se o processo aleatório é ergódico, as médias estatísticas podem ser calculadas temporalmente, ou seja, em vez de realizar os cálculos através do processo, por meio do operador E[ ], realizam-se os cálculos ao longo de uma única função amostra do processo, por meio de médias temporais. As expressões complementares envolvendo limites significam que à medida que o intervalo de observação T aumenta, maior a convergência da média temporal em relação ao valor real da média estatística e menor é a variância da média temporal em relação ao valor real da média estatística. As médias temporais pressupõem o conhecimento da representação matemática para x(t). Entretanto, como x(t) é aleatório, na prática as integrais que fazem parte da definição da média e da função de autocorrelação de um p.a. ergódico são aproximadas por somatórios das amostras de uma função amostra do processo sob análise. Em outras palavras, em situações práticas as médias temporais de processos estocásticos ergódicos podem ser estimadas por meio de médias amostrais dos processos em questão: N µ ( N) = x( ti) N i= [ µ N ] = µ { [ µ N ]} lim ( ) N lim var ( ) = N N R ( τ, N) = x( t ) x( t + τ) i i N i= [ R τ N ] = R { [ R τ N ]} lim (, ) ( τ) N lim var (, ) = N Em termos da função de correlação cruzada, para dois processos aleatórios ergódicos teremos: N R ( τ, N) = x( t ) y( t + τ) Y i i N i= [ RY τ N ] = RY { [ RY τ N ]} lim (, ) ( τ) N lim var (, ) = N FIM DA AULA 3

14 Exercício de fixação Suponha que um dado gerador de forma de onda aleatória possa ser programado para gerar diferentes tipos de processos aleatórios. Utilizando este gerador, pede-se: a) Proponha um experimento que lhe permita estimar a média e a função de auto-correlação de um p.a. qualquer de saída. b) Proponha um experimento que lhe permita determinar se o processo aleatório de saída do gerador é ou não é ergódico. c) Sabendo que os p.a. gerados são ergódicos, proponha um experimento que lhe permita estimar a média e a função de auto-correlação de um p.a. qualquer de saída. d) Sabendo que os p.a. gerados são ergódicos, proponha um experimento que lhe permita determinar de forma aproximada a função densidade de probabilidade de um p.a. qualquer de saída do gerador. 4

15 TP5 Processos Aleatórios Aula 3 Conteúdo Processamento de sinais aleatórios: Principais médias estatísticas envolvendo sistemas lineares. Densidade espectral de potência (DEP) de um processo aleatório. Algumas propriedades da DEP. No estudo de sistemas de comunicação é comum encontrarmos problemas que envolvem a passagem de sinais aleatórios por sistemas lineares, tais como filtros de transmissão e recepção, multiplicadores, integradores, etc. Nesta parte do curso utilizaremos de forma combinada os conceitos sobre processos aleatórios e sobre sistemas lineares, objetivando caracterizar os processos aleatórios de entrada e de saída destes sistemas. Mais uma vez, devido à grande importância dos conceitos sobre processos estocásticos no estudo de sistemas de comunicações, várias partes destas notas foram baseadas na referência: HAYKIN, Simon, Communication Systems, 4th Edition, John Wiley and Sons, Inc.: New York, USA,, Capítulo. Sendo assim, recomenda-se fortemente que esta referência seja incluída como material de estudo. Principais médias estatísticas envolvendo sistemas lineares A figura a seguir mostra um sistema linear invariante no tempo com resposta ao impulso h(t), tendo como entrada o processo aleatório (t) e como saída o processo Y(t). O processo aleatório de saída do sistema linear, embora não possa ser determinado em termos de uma expressão matemática, continua sendo dado pela convolução do processo de entrada com a resposta ao impulso do sistema, ou seja: Y( t) = ( t) h( t) = h( u) ( t u) du = ( u) h( t u) du A média do processo aleatório de saída é dada por: µ ( t) = EY [ ( t)] = h( u) E[ ( t u)] du = h( u) µ ( t u) du Y Se o processo (t) for estacionário, teremos como média de saída: jπ ft Y = h( t) dt = h( t) e dt H() = f = µ µ µ µ 5

16 A função de auto-correlação do processo de saída é dada por: RY ( t, τ) = EY [ ( t) Y( t + τ)] = E h( u) ( t u) du h( v) ( t + τ v) dv = h( u) h( v) E[ ( t u) ( t + τ v)] dudv Se o processo (t) for estacionário, teremos como função de auto-correlação do processo de saída: R ( τ) = h( u) h( v) R ( τ v + u) dudv Y Esta expressão, embora de resolução difícil razoavelmente, permite que a função de auto-correlação do processo de saída do sistema linear seja determina conhecendo-se a resposta ao impulso do sistema e a função de auto-correlação do processo de entrada. Densidade espectral de potência (DEP) de um processo aleatório A densidade espectral de potência descreve como a potência de um sinal (t), seja ele aleatório ou determinístico, se distribui na freqüência e, por esta razão, é medida em watts/hertz (W/Hz). Trata-se de um parâmetro de extrema importância no estudo de sistemas de comunicação, pois permite que conheçamos o conteúdo de freqüência de um sinal qualquer. Quando temos um sinal determinístico, o conteúdo de freqüências pode ser determinado por meio da conhecida transformada de Fourier. Entretanto, com processos aleatórios não é possível realizar o cálculo teórico da transformada, posto que tais processos não podem ser descritos com expressões matemáticas determinísticas. Felizmente existe uma forma simples de contornar este problema, utilizando a função de auto-correlação do processo estocástico sob análise. A densidade espectral de potência e a função de auto-correlação de um p.a. estacionário formam um par na transformada de Fourier, ou seja: jπ fτ S( f ) = R( τ) e d τ R jπfτ S f e df ( τ) = ( ) Algumas propriedades da DEP O valor quadrático médio, ou segundo momento de um p.a. é dado pela área sob a curva de densidade espectral de potência: S f df R ( ) = () = E[ ( t)] Em outras palavras, se estivermos analisando um sinal de tensão, a potência média deste sinal, dada pelo valor quadrático médio, poderá ser determinada pela integral da função que descreve a DEP do sinal. 6

17 A densidade espectral de potência é uma função par, ou seja: S ( f ) = S ( f ). Exemplo: Retornemos ao exemplo referente a uma seqüência binária aleatória, apresentado na primeira aula sobre processos estocásticos, de onde obtivemos a função de auto-correlação: R τ A, τ < T ( τ) = T, τ T De uma tabela de transformada de Fourier podemos obter: t <, t T Transformada, t T de Fourier sin ( πft) T T ( πft) Então, a DEP de uma seqüência binária aleatória de pulsos de duração T e amplitudes {± A} será: sin ( π ft) S( f ) = I [ R( τ) ] = AT = AT sinc ( ft) ( πft) A DEP em questão é mostrada na figura a seguir em escala linear (linha cheia) e em escala logarítmica (linha tracejada). Em telecomunicações é comum o uso de escala logarítmica para que, visualmente, as grandes discrepâncias entre baixas e altas intensidades sejam diminuídas. Perceba que o uso deste recurso nos permitirá visualizar com maior precisão lobos espectrais de intensidade bastante pequena. 7

18 Vamos estimar o valor quadrático médio E[ (t)] por meio da área sob S ( f ) e comparar com R (). Podemos fazer isto calculando de forma aproximada a área do lobo principal, posto que ela nitidamente é maior que a área dos demais lobos. Aproximando-a pela área de um triângulo de base /T e altura A T, temos que E[ (t)] A, que é de fato o valor da função de auto-correlação para τ =, R (). O valor de S ( f ) encontrado no exemplo anterior pode ser escrito envolvendo a densidade espectral de energia (DEE) de um pulso g(t) retangular, de amplitude A e duração T. A DEE de um pulso g(t) nada mais é que o módulo ao quadrado da transformada de Fourier de g(t). Assim teremos: G( f ) g( f ) S( f ) = = E T T que para o exemplo anterior vale S f = AT ft T = AT ft. ( ) sinc ( )/ sinc ( ) Este importante resultado pode ser generalizado: uma onda binária aleatória composta por pulsos +g(t) e g(t) tem densidade espectral de potência S (f) dada pela divisão da densidade espectral de energia E g (f) do pulso formatador g(t) pela duração do pulso, T. Desafio: Como desafio para casa, determinar a densidade espectral de potência para a seqüência binária aleatória x(t) ilustrada a seguir, correspondente a uma função amostra do processo (t). O formato de pulso g(t) é um semi-ciclo senoidal de amplitude unitária e duração T. Exemplo: Uma situação que ocorre tipicamente em sistemas de comunicação é o processo de modulação de uma portadora por um sinal de informação aleatório, conforme abaixo: Y( t) = ( t)cos( πf t + Θ ) onde Y(t) é o p.a. modulado, (t) é o p.a. modulador associado à informação e cos(πf c t + Θ) é o p.a. correspondente à portadora de freqüência f c e fase aleatória Θ uniformemente distribuída em (, π]. Seja determinar a DEP do sinal modulado Y(t) a partir da DEP do sinal modulador (t). Inicialmente identificamos que o sinal modulador (t) é independente da fase da portadora, Θ. Então podemos escrever: c 8

19 R ( τ) = EY [ ( t) Y( t + τ)] Y = E[ ( t)cos( πf t + Θ ) ( t + τ)cos(π f t + πf τ + Θ)] c c c = E[ ( t) ( t + τ)] E[cos( π f t + Θ )cos(π f t + πf τ + Θ)] c c c Usando a identidade cos(a)cos(b) = ½cos(a b) + ½cos(a + b), tem-se: R ( τ) = R ( τ) E[cos( πf τ) + cos(4π f t + π f τ + Θ)] Y c c c = R ( τ)cos( πf τ) c Tomando a transformada de Fourier de ambos os lados e sabendo que a transformada de um produto de funções no tempo é a convolução das correspondentes transformadas, tem-se: { [ δ δ ]} [ S ( f f ) S ( f f )] S ( f ) = S ( f ) ( f f ) + ( f + f ) Y c c = c c De acordo com este resultado, para determinarmos a DEP de um sinal modulado Y(t) basta replicar a DEP S ( f ) do sinal modulador (t) em torno de ± f c e multiplicar o resultado por ¼. FIM DA AULA 9

20 TP5 Processos Aleatórios Aula 4 Conteúdo Processamento de sinais aleatórios: Estimando a DEP de um processo aleatório ergódico. Estimando a DEP de um processo aleatório ergódico Estimar a DEP de um processo aleatório nem sempre é uma tarefa fácil, na maior parte das vezes por dificuldade de tratamento matemático na obtenção da função de auto-correlação. Uma tentativa de driblar este problema poderia fazer uso de estimativas aproximadas desta função. Vamos analisar este problema à luz de um exemplo. Exemplo: Vimos que a densidade espectral de potência para um processo aleatório estacionário (t) pode ser determinada pela transformada de Fourier do processo, ou seja: jπ fτ S( f ) = R( τ) e d Vários livros trazem expressões para as funções de auto-correlação para processos aleatórios conhecidos. Nestes casos torna-se bastante simples obter a DEP para estes processos, pois nos restará apenas fazer um cálculo de transformada de Fourier. Vamos supor que temos um processo aleatório ergódico para o qual a função de auto-correlação não é encontrada nos livros e o cálculo exato desta é complexo. Vamos verificar como faríamos para estimar a função de auto-correlação do processo sob análise para posteriormente estimarmos a sua DEP. Recordando, a função de auto-correlação de um processo (t) é dada por: R ( τ) = E[ ( t ) ( t + τ)] i i para qualquer t i se o p.a. for estacionário. Vamos analisar o processo de estimação de R (τ) por média amostral. Teríamos que calcular: τ N R ( τ, N) = x( t ) x( t + τ), i i N i= fazendo N tão grande quanto possível para que a estimativa convirja para R (τ). Para tanto colheríamos N amostras de uma função amostra do processo sob análise, mais N amostras espaçadas de τ das primeiras, multiplicaríamos cada par de amostras, somaríamos os N resultados e dividiríamos por N. Teríamos que fazer isto para um conjunto de espaçamentos τ que fosse suficiente para que tivéssemos uma boa estimativa de R (τ). Isto corresponderia a um trabalho imenso!

21 Imagine agora que o processo não fosse ergódico. Teríamos que realizar as médias com amostras tomadas através de N funções amostra do processo, o que dificultaria ainda mais nossa tarefa. Então, por dificuldade de tratamento matemático na obtenção da função de auto-correlação de um processo aleatório específico, algumas vezes temos que nos contentar com estimativas da DEP obtidas pela observação de uma função amostra do processo aleatório em um intervalo T, assim como fazemos para obter médias estatísticas de um processo ergódico por meio de médias temporais. Nestes casos teremos: S( f ) = lim E ( f, T) T T onde ( f,t ) é a magnitude da transformada de Fourier de uma função amostra observada em T segundos. Diz-se que tal função amostra foi janelada. Na prática diferentes tipos de janela e diferentes formas de cálculo de média são empregados. Tais janelas são chamadas de window type e as médias são muitas vezes associadas a certo tipo de alisamento (smoothing) do resultado. Na figura a seguir temos um exemplo de como o aplicativo VisSim/Comm trata esta questão de estimativa da DEP de um processo aleatório. Esta figura corresponde a uma cópia da tela do aplicativo. Segue a descrição sucinta dos principais blocos da figura: O bloco random binary wave gera uma função amostra do processo correspondente a uma seqüência binária aleatória. Outro tipo de p.a. poderia ser gerado para análise. O bloco trigger apenas habilita o início de cálculo da DEP do sinal sob análise. 3 É neste bloco que a estimativa da DEP é realizada por meio da última expressão dada. O cálculo de ( f,t ), a magnitude da transformada de Fourier de uma função amostra observada em T segundos, é realizado por meio da chamada transformada rápida de Fourier (FFT Fast Fourier Transform) que opera em um vetor com as amostras do sinal colhidas no intervalo T. Esta transformada nada mais é do que uma versão discreta da transformada de Fourier que permite que se obtenha o resultado da transformada sem que se tenha que operar com uma expressão matemática do sinal analisado. 4 O resultado da estimativa da magnitude da DEP é então apresentado num gráfico, tendo a freqüência como variável no eixo das abscissas e a DEP, em dbm/hz, no eixo das ordenadas. O bloco 3 da figura em questão tem como principais parâmetros: a O tipo de janela (window type) é escolhido aqui. Na janela retangular (rectangular) determina-se apenas o tamanho do intervalo em que as amostras do p.a. sob análise serão coletadas para cálculo da FFT. Nos outros tipos as amostras da parte mais externa da janela são ponderadas de acordo com regras específicas que estão além do escopo deste texto. Cada janela tem suas vantagens e desvantagens em termos da precisão na estimativa da DEP, um assunto abordado de forma aprofundada no estudo de processamento digital de sinais aleatórios.

22 b O intervalo de observação é traduzido em um número de amostras processadas pela FFT, número este que é determinado pela divisão do intervalo T pelo inverso da freqüência de simulação (freqüência de amostragem) utilizada pelo aplicativo. Para o exemplo o número de amostras é de k =.48. c É aqui que se configura como o operador E[.] é processado no aplicativo. Para o caso ele corresponde à média aritmética entre resultados de estimativa de DEP, obtidos em intervalos consecutivos contendo.48 amostras cada um. d Este parâmetro especifica a resistência de carga simulada, de tal sorte que os valores de DEP sejam corretamente determinados. e Aqui se especifica que unidade se deseja para a representação da DEP, sendo a última (dbm/hz) a mais utilizada tanto em cálculos teóricos como em equipamentos de análise espectral. A teoria que acaba de ser descrita e exemplificada é uma forma muito usual de se estimar a DEP de um processo aleatório e é adotada em muitos softwares de simulação ou de cálculo matemático e analisadores de espectro digitais, nos quais se opera com amostras do processo aleatório analisado de forma muito similar àquela ilustrada na figura anterior. FIM DA AULA

23 TP5 Processos Aleatórios Aula 5 Conteúdo Processamento de sinais aleatórios: DEP na entrada e na saída de um sistema linear. Densidades espectrais cruzadas para p.a. estacionários. Processo aleatório Gaussiano. DEP na entrada e na saída de um sistema linear Seja um processo estocástico estacionário (t) aplicado à entrada de um sistema linear invariante no tempo cuja resposta em freqüência é H(f). A densidade espectral de potência do processo aleatório de saída Y(t) é determinada por meio de: S ( f ) = S ( f ) H( f ) Y Exemplo: A magnitude da resposta em freqüência de um filtro passa-baixas tipo RC é dada por: H( f ) = + ( πfrc), À entrada deste filtro aplica-se um processo aleatório (t) cuja densidade espectral de potência é constante e vale S (f) = 3 watts/hz. Vamos calcular a potência média do processo aleatório Y(t) de saída deste filtro, dado que R = 5 kω, C = µf e x dx tan =. a + x a a 3 3 PY = SY( f ) df = S( f ) H( f ) df H( f ) df df = = Escrevendo esta integral na forma da diretiva dada, temos: 3 3 df π R C = f π R C PY = π R C + f πrc 4π R C π π = πrc P,watts 3 6 Y 4π R C + = = = RC 5 3 que resolvendo resulta em: PY = πrc tan ( πfrc) df + ( πfrc) 3

24 Densidades espectrais cruzadas para p.a. estacionários Embora tenham significados menos intuitivos que a DEP de um único p.a., as densidades espectrais cruzadas estabelecem certa dependência entre as componentes de freqüência de processos (t) e Y(t) quaisquer. Elas são definidas por: jπ fτ jπ fτ Y( ) = Y( ) e Y( ) = Y( ) S f R τ e dτ S f R τ e dτ Um exemplo pode melhor ilustrar uma aplicação do conhecimento das densidades espectrais cruzadas. Exemplo: Suponha que os processos (t) e Y(t) têm média nula e são individualmente estacionários. Seja o p.a. Z(t) = (t) + Y(t), para o qual se deseja determinar a densidade espectral de potência. R ( τ) = E[ Z( t) Z( t + τ)] Z = E{[ ( t) + Y( t)][ ( t + τ) + Y( t + τ)]} = E[ ( t) ( t + τ)] + E[ ( t) Y( t + τ)] + EY [ ( t) ( t + τ)] + EY [ ( t) Y( t + τ)] = R ( τ) + R ( τ) + R ( τ) + R ( τ) Y Y Y Tomando a transformada de Fourier de ambos os lados, tem-se: S ( f ) = S ( f ) + S ( f ) + S ( f ) + S ( f ) Z Y Y Y Desse resultado concluímos que as densidades espectrais cruzadas S Y (f) e S Y (f) representam as componentes de freqüência que precisam ser adicionadas às DEPs dos processos (t) e Y(t) para que a DEP da soma Z(t) = (t) + Y(t) seja corretamente obtida. Observe que se os processos (t) e Y(t) forem ortogonais as correlações cruzadas serão nulas e neste caso teremos, como esperado: S ( f ) = S ( f ) + S ( f ), Z Y ou seja, se os processos (t) e Y(t) forem ortogonais, a DEP da soma destes processos será igual à somas de suas DEPs. Assim podemos interpretar as densidades cruzadas como parcelas da DEP que levam em conta o grau de ortogonalidade entre os processos aleatórios envolvidos. Processo aleatório Gaussiano Em uma forma simples de definição, um processo aleatório é dito Gaussiano se a função densidade de probabilidade (FDP) de uma variável aleatória gerada por amostragem do citado processo for Gaussiana. Se o processo em questão for ergódico, tais amostras podem ser coletadas temporalmente, ou seja, ao longo de uma das funções amostra do processo, em vez de colhidas através do processo, envolvendo as suas várias funções amostra. 4

25 Numa definição mais formal e estatisticamente mais correta, seja uma variável aleatória Y definida a partir de uma relação funcional linear com um processo aleatório (t), conforme expressão a seguir, onde g(t) é uma função qualquer e T é um intervalo de observação arbitrário: Y = T g( t) ( t) dt Se a v.a. Y é Gaussiana independente da escolha da função g(t) e do intervalo de tempo T na relação funcional dada, dizemos que o p.a. (t) é Gaussiano. Em outras palavras, se um processo aleatório (t) for processado linearmente segundo a expressão acima e se Y for uma v.a. Gaussiana independentemente da escolha arbitrária de g(t), dizemos então que (t) é um p.a. Gaussiano. Perceba que se revisitarmos a expressão de convolução de um processo aleatório de entrada de um sistema linear com sua resposta ao impulso, visualizaremos um exemplo de relação funcional. Então, desta definição formal de um processo Gaussiano obtemos o importante resultado: Um processo aleatório Gaussiano, ao atravessar um sistema linear, gera como saída um processo aleatório também Gaussiano. Exemplo: Em receptores de sistemas de comunicação é usual que seja inserido logo na entrada um filtro de recepção, cujo objetivo é reduzir a influência do ruído na recuperação da informação transmitida. Como veremos mais adiante, este ruído é normalmente um p.a. Gaussiano. Portanto, na saída do filtro de recepção teremos também um p.a. Gaussiano, o que nos permitirá analisar matematicamente o comportamento do sinal a partir do qual recuperaremos a informação. Esta conclusão é extensivamente utilizada na concepção e no projeto de receptores em sistemas de comunicação sujeitos à influência desse ruído. Exemplo: Sistemas celulares, por exemplo, fazem parte de uma família mais abrangente de sistemas que englobam todos os tipos de sistemas de comunicação móvel. Em um sistema como este, devido à mobilidade relativa entre transmissor e receptor, o sinal recebido sofre variações de fase e de magnitude, às quais damos o nome de desvanecimento. Experimentos demonstram que a magnitude R(t) e a fase Θ(t) do desvanecimento em um canal de comunicação móvel são processos aleatórios que tipicamente variam com distribuição de Rayleigh e Uniforme, respectivamente. Podemos então definir o chamado processo Gaussiano Complexo R(t)e jθ(t), no qual a parte real (t) e a parte imaginária Y(t) são p.a. Gaussianos de média nula. Tal processo gaussiano pode ser obtido por meio de: R t = + Θ ( t) = arctan [ Y( t) ( t) ] ( ) ( t) Y ( t) Sendo assim, se quisermos gerar este p.a. Gaussiano complexo por simulação, com o atributo de permitir o ajuste da velocidade de variação do desvanecimento, poderemos implementar o esquema da figura seguinte. Nele, filtros controlam a taxa de variação dos processos Gaussianos componentes e, assim, controlam a taxa de variação da magnitude e da fase do desvanecimento. A freqüência de corte desses filtros é diretamente proporcional à velocidade relativa entre o transmissor e o receptor que se 5

26 deseja simular. Em outras palavras, quanto mais lento se desejar o desvanecimento, mais lentamente deverão variar os processos Gaussianos componentes (t) e Y(t). Isto é conseguido estreitando-se a largura de faixa dos citados filtros. Numa simulação, (t) e Y(t) poderiam ser gerados pelo método de Box-Muller, por exemplo, e filtrados utilizando-se modelos matemáticos de filtros digitais. As figuras a seguir ilustram o aspecto das variações de magnitude do sinal recebido por um terminal móvel para duas diferentes velocidades de movimento. A título de complementação ou de curiosidade, faça uma breve pesquisa procurando entender como se implementa um modelo de um filtro digital, como funciona a estrutura correspondente e como amostras de um sinal aleatório ou determinístico são processadas por este filtro digital. FIM DA AULA 6

27 TP5 Processos Aleatórios Aula 6 Conteúdo Ruído. Ruído térmico. Ruído branco. Largura de faixa equivalente de ruído. Correlação entre o ruído branco e uma portadora co-senoidal. Ruído Em sistemas de comunicação damos o nome de ruído a qualquer sinal aleatório indesejado que comprometa a transmissão e o processamento de recepção da informação. Dentre os tipos mais comuns destacam-se o ruído impulsivo e o ruído térmico. Daremos mais atenção ao ruído térmico, devido à sua presença em todos os sistemas de comunicação e à sua importância para o correto dimensionamento destes sistemas. O ruído impulsivo, embora menos freqüente, pode ser muito danoso, por exemplo, em sistemas de recepção de TV Digital. Já o ruído térmico é o grande limitador de desempenho de qualquer sistema de comunicação, principalmente quando a intensidade do sinal recebido é pequena, ou seja, quando o sistema opera com baixa relação sinal-ruído. Ruído térmico O ruído térmico é causado pelo movimento aleatório dos elétrons em um condutor qualquer. Pode-se mostrar que o valor quadrático médio da tensão V TN do ruído térmico nos terminais de um resistor, medido em uma banda de B Hertz, é: E V = 4kTBR volts TN onde k é a constante de Boltzmann, que vale,38 3 Joules/ºKelvin (J/K), T é a temperatura absoluta em graus Kelvin (K) e R é a resistência em ohms (Ω). A figura a seguir apresenta o circuito equivalente de Thévenin para este processo de geração do ruído térmico. Na condição de máxima transferência de potência a carga conectada aos terminais do circuito dado deve ter resistência igual a R. Neste caso a potência média de ruído térmico sobre esta carga será: ( EV [ TN] ) ( 4kTBR ) N = ktb R = R = watts 7

28 Sendo grande o número de elétrons em um resistor, com movimentos aleatórios independentes, o teorema do limite central indica que o ruído térmico é Gaussiano de média nula. Em outras palavras, o movimento aleatório e independente de um número muito elevado de elétrons, em direções também aleatórias, produz um efeito conjunto de ruído que, pelo teorema do limite central, terá FDP Gaussiana de média nula. Ruído branco Em sistemas de comunicação o ruído térmico tem a seguinte forma idealizada: sua densidade espectral de potência é constante para qualquer freqüência. Daí o nome ruído branco, em alusão à composição da luz branca por componentes de freqüência correspondentes a toda faixa espectral da luz. O processo aleatório ruído branco W(t), de função amostra w(t), tem então uma densidade espectral de potência bilateral constante com componentes em f +, ou seja: N S f = W( ) W/Hz onde N = kt e é a densidade espectral de potência de ruído produzida na entrada do receptor de um sistema de comunicação cuja temperatura equivalente de ruído é T e. Esta temperatura equivalente de ruído é a temperatura a que um resistor deve ser submetido para que, ao conectá-lo à entrada de uma versão sem ruído do sistema, produza a mesma potência média de ruído que aquela produzida por todas as fontes de ruído do sistema real. A temperatura equivalente de ruído T e depende somente dos parâmetros e componentes do sistema, ou seja, o que vai determinar na prática a intensidade do ruído térmico é a temperatura (obviamente) e a qualidade do projeto do sistema e de seus componentes, almejando reduzir a potência de ruído gerada pelo movimento aleatórios dos elétrons dos condutores do sistema. O ruído branco se manifesta de forma aditiva ao contaminar um sinal e, por esta razão, poderá ser denominado daqui em diante de ruído aditivo Gaussiano branco (AWGN Additive White Gaussian Noise). Como a densidade espectral de potência e a função de auto-correlação de um processo aleatório se relacionam através da transformada de Fourier, para o ruído branco temos que: N N S f R τ δ τ W( ) = W( ) = ( ) A densidade espectral de potência e a função de auto-correlação para o ruído branco são ilustradas nas figuras a seguir. 8

29 Perceba que este modelo idealizado do ruído branco é a última palavra em termos de aleatoriedade, ou seja, duas amostras de W(t) tomadas em instantes diferentes, não importando o quão próximas estejam no tempo, têm correlação nula. O ruído branco tal como foi definido é um modelo fisicamente irrealizável, pois sua potência média, que é a integral de S W (f), é infinita. Entretanto, pode-se modelar o ruído como sendo aproximadamente branco sempre que a largura de faixa de ruído for significativamente maior que a largura de faixa do sistema sob análise e, nesta faixa, a DEP do ruído for aproximadamente plana. Exemplo: Seja o ruído branco W(t) aplicado a um filtro passa-baixas ideal de banda B Hz e de magnitude da resposta em freqüência unitária. A DEP do ruído N(t) de saída será então: N B N, B < f < B RN( τ) = exp( j πfτ) df S ( ) B N f =, f > B = NBsinc( Bτ ) As figuras a seguir ilustram a densidade espectral de potência e a função de auto-correlação para o ruído de saída do filtro em questão. Perceba que a ação do filtro de reduzir a banda do processo aleatório de entrada é refletida tanto pelo estreitamento da DEP do processo de saída quanto pelo alargamento da função de auto-correlação deste processo. Isto fará com que o processo aleatório de saída tenha variações mais lentas que o processo de entrada. A figura a seguir ilustra o efeito de filtragem de um processo aleatório Gaussiano correspondente ao ruído branco. Perceba que, sendo W(t) um p.a. Gaussiano, N(t) também o será, mas o processo de saída terá variações mais suaves ou lentas que o processo de entrada. 9

30 Neste exemplo, se N(t) é amostrado a B amostras por segundo, tais amostras serão Gaussianas, mas terão correlação nula, conforme se pode notar na função de auto-correlação obtida. As amostras em questão terão média µ Y = µ H() = e variância igual a N B. Este último valor correspondente ao segundo momento de um processo aleatório de média nula. O valor N B também corresponde a R N (), conforme função de auto-correlação obtida. Adicionalmente, como a covariância KY( τ) = RY ( τ ) µ Y, seu valor será também nulo. Portanto, as amostras em questão serão descorrelacionadas. Por fim, tais variáveis ainda serão estatisticamente independentes, pois a FDP conjunta será o produto das suas FDPs marginais. Largura de faixa equivalente de ruído Em grande parte dos problemas envolvendo sistemas de comunicação é preciso considerar o ruído como sendo branco na faixa de operação do sistema, mas muitas vezes tal sistema não pode ser considerado com tendo resposta em freqüência ideal, ou seja, banda B Hz e H( f ) constante. A solução consiste em considerar o ruído como sendo branco numa largura de faixa equivalente de ruído. Isto é feito substituindo-se a resposta em freqüência do filtro ou sistema por uma resposta ideal de tal forma que ambas produzam e mesma potência média de ruído em suas saídas. Vejamos como isto é feito. Considere as respostas dos filtros real e ideal mostradas na figura a seguir. A potência média do ruído de saída do filtro real será: N N ( ) ( ) = H f df = N H f df Para o mesmo ruído conectado à entrada de um filtro ideal de banda B Hz e H( f ) constante, teremos: N = H B N () 3

31 Igualando-se os dois resultados anteriores, temos: N N H( f ) df = H ()B de onde obtém-se a largura de faixa equivalente de ruído: B = H( f ) df H () Correlação entre o ruído branco e uma portadora co-senoidal de energia unitária Seja o ruído branco W(t) de densidade espectral de potência N / W/Hz aplicado a um CORRELATOR que efetua a correlação entre W(t) e uma portadora co-senoidal de energia unitária. Este dispositivo tem utilização muito freqüente em receptores de sistemas de comunicação, dando importância ao seu estudo no contexto de processos aleatórios. A estrutura de um correlator é mostrada na figura a seguir. Inicialmente vamos comprovar o valor de energia unitária para a portadora co-senoidal: T T T E = T cos ( π f ) ct dt = T dt + cos(4 πf ), CQD. ct dt = onde admitiu-se que a freqüência da onda co-senoidal é um múltiplo inteiro de /T, o que levou a integral da direita na expressão anterior a se anular. De acordo com a definição de processo estocástico Gaussiano, o processo de saída N(t) é Gaussiano, pois estamos aplicando um processo Gaussiano W(t) à entrada de um sistema que estabelece uma relação funcional de W(t) com a função cos(πf c t). Revisite a definição de um processo aleatório Gaussiano para relembrar este conceito. Amostrando o processo N(t) em t = T tem-se: T ( ) = T ( )cos( π c ) N T W t f t dt Portanto N(T) é uma v.a. Gaussiana com média E[N(T)] = e variância calculada por meio de: 3

32 Desenvolvendo a expressão da variância obtemos: ( ( ) [ ( )]) = E N T E N T σ T ( ) T ( )cos( π c ) σ = E W t f t dt T T = E T W( t)cos( π fct) W( u)cos( πfcu) dtdu = = T T T T T T EW [ ( tw ) ( u)]cos( π f t)cos( πf u) dtdu R ( t, u)cos( πf t)cos( πf u) dtdu W c c N onde foi feito o uso da função de auto-correlação do ruído branco: RW ( t, u) = δ( t u). T T N Então: σ = T δ( t u)cos( π fct)cos( π fcu) dtdu A propriedade sifiting (ou sampling) da função δ(t) diz que x( t) δ( t t) dt = x( t). Aplicando esta propriedade à presente análise teremos: N T T σ = T δ π c π c = N T T cos ( π c ) c ( t u)cos( f t)cos( f u) dtdu f t dt N T [ cos(4 π f t) ] dt [ ] N T T c T = + = + N σ = Este é um importante resultado que diz que se aplicarmos ruído branco de densidade espectral de potência N / W/Hz a um correlator alimentado com uma portadora co-senoidal de energia unitária, obteremos como resultado um processo de saída cujas amostras terão variância N /. Como os processos de entrada e de saída têm média nula, então podemos dizer que a potência média de ruído contida nas amostras do processo de saída do correlator é igual a N / watts. Este resultado será extensivamente utilizado no estudo de sistemas de comunicação em períodos posteriores a este. FIM DA AULA c, 3

33 TP5 Processos Aleatórios Aula 7 Conteúdo Exercícios de fixação. Sejam os p.a. contínuos (t) e V(t), onde (t) = + V(t). Encontre a média e a variância da variável aleatória N T definida a seguir, para T = 5 e para T =. Dados: E[V(t)] = e R V (τ) = δ(τ). Solução A média é independente de T e vale E[N T ] =. A variância para T = 5 será /5 e para T = será /. Perceba que a variância é reduzida com o aumento de T, algo esperado, pois quanto maior T, mais a média amostral definida para N T se aproximará da média real. Seja um ruído branco W(t) com densidade espectral de potência N / watts/hz aplicado a um filtro passa-baixas ideal de banda B Hz e de magnitude da resposta em freqüência unitária. Pede-se: 33

34 a) Calcule e esboce S N (f), a densidade espectral de potência do ruído N(t) de saída do filtro. N N, B f B SN( f ) = SW( f ) H( f ) = ( ) = B f B, f > B b) Calcule e esboce R N (τ), a função de auto-correlação do processo N(t) de saída do filtro. N R S f j f df j f df N B B B N( τ) = N( )exp( π τ) = exp( π τ) sinc( τ) = B c) Calcule N, a potência do ruído de saída do filtro. N = S ( f ) df = R () = N B watts N N 3 Seja um p.a. estacionário Z(t) = Acos(πf c t + Θ), correspondente a uma portadora co-senoidal de amplitude A, freqüência f c e fase aleatória Θ uniformemente distribuída em (, π]. Pede-se: a) Determine e esboce a função de auto-correlação R Z (τ ). R ( τ) = E[ Z( t) Z( t + τ)] Z = E[ Acos( πf t + Θ ) Acos(π f t + πf τ + Θ)] c c c = E A E f t + f + Θ f t + Θ [ ] [cos(π c π cτ )cos( π c )] Usando a identidade cos(a)cos(b) = ½cos(a b) + ½cos(a + b), tem-se: 34

TP501 Processos Estocásticos

TP501 Processos Estocásticos P501 Processos Estocásticos Prof. Dr. Dayan Adionel Guimarães Motivação A natureza aleatória de muitos fenômenos observados em Engenharia se manifesta temporal ou espacialmente. Uma família de variáveis

Leia mais

PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO

PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO RUÍDO EM MODULAÇÕES ANALÓGICAS Evelio M. G. Fernández - 2011 Processo Aleatório (ou Estocástico): Função aleatória do tempo para modelar formas de onda desconhecidas. Processos

Leia mais

TE060 Princípios de Comunicação. Probabilidade. Probabilidade Condicional. Notes. Notes. Notes

TE060 Princípios de Comunicação. Probabilidade. Probabilidade Condicional. Notes. Notes. Notes TE060 Princípios de Comunicação Efeito do Ruído em Sistemas com Modulação de Onda Contínua 5 de novembro de 2013 Probabilidade Uma medida de probabilidade P é uma função que associa um número não negativo

Leia mais

Disciplina: Processamento Estatístico de Sinais (ENGA83) - Aula 02 / Processos Aleatórios

Disciplina: Processamento Estatístico de Sinais (ENGA83) - Aula 02 / Processos Aleatórios Disciplina: Processamento Estatístico de Sinais (ENGA83) - Aula 02 / Processos Aleatórios Prof. Eduardo Simas (eduardo.simas@ufba.br) Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica/PPGEE Universidade

Leia mais

Processos Aleatórios e Ruído

Processos Aleatórios e Ruído Processos Aleatórios e Ruído Luis Henrique Assumpção Lolis 11 de abril de 2014 Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 1 Conteúdo 1 O Experimento Aleatório / Espaço de Amostras 2 Algebra

Leia mais

Sinais e Sistemas. Luis Henrique Assumpção Lolis. 21 de fevereiro de Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 1

Sinais e Sistemas. Luis Henrique Assumpção Lolis. 21 de fevereiro de Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 1 Sinais e Sistemas Luis Henrique Assumpção Lolis 21 de fevereiro de 2014 Luis Henrique Assumpção Lolis Sinais e Sistemas 1 Conteúdo 1 Classificação de sinais 2 Algumas funções importantes 3 Transformada

Leia mais

M. Eisencraft 6.3 Funções de correlação 81. R YX (τ) R YY (τ). (6.19) R XY (τ) = R YX ( τ) (6.20)

M. Eisencraft 6.3 Funções de correlação 81. R YX (τ) R YY (τ). (6.19) R XY (τ) = R YX ( τ) (6.20) M. Eisencraft 6.3 Funções de correlação 81 R XY (τ) = E[X(t)Y(t+τ)] e (6.17) R YX (τ) = E[Y(t)X(t+τ)]. (6.18) As propriedades de correlação de dois processos X(t) e Y(t) podem ser mostradas convenientemente

Leia mais

Transmissão de impulsos em banda-base

Transmissão de impulsos em banda-base ransmissão de impulsos em banda-base ransmissão de impulsos através de um canal com ruído aditivo.3 O filtro adaptado e o correlacionador ransmissão de sinais em canais banda-base Introdução Consideremos

Leia mais

PRE29006 LISTA DE EXERCÍCIOS #

PRE29006 LISTA DE EXERCÍCIOS # INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA CAMPUS SÃO JOSÉ COORDENADORIA DE ÁREA DE TELECOMUNICAÇÕES ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES PRE9006 LISTA DE EXERCÍCIOS #3 06. Exercícios. [, Exercício 7.] Seja A uma variável

Leia mais

Resumo. Parte 7 Processos Estocásticos. Ramiro Brito Willmersdorf

Resumo. Parte 7 Processos Estocásticos. Ramiro Brito Willmersdorf Parte 7 Processos Estocásticos Ramiro Brito Willmersdorf ramiro@willmersdorf.net Departamento de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Pernambuco 2011.2 Resumo 1 Processos Estocásticos 2 Classicação

Leia mais

Processos Estocásticos

Processos Estocásticos Processos Estocásticos Luis Henrique Assumpção Lolis 26 de maio de 2014 Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Estocásticos 1 Conteúdo 1 Introdução 2 Definição 3 Especificando um processo aleatório 4

Leia mais

195

195 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245

Leia mais

Estimação da Resposta em Frequência

Estimação da Resposta em Frequência 27 Estimação da Resposta em Frequência ω = ω ω Objectivo: Calcular a magnitude e fase da função de transferência do sistema, para um conjunto grande de frequências. A representação gráfica deste conjunto

Leia mais

Teoria das Comunicações Prof. André Noll Barreto Prova 1 Gabarito

Teoria das Comunicações Prof. André Noll Barreto Prova 1 Gabarito Prova Gabarito Questão (4 pontos) Um pulso é descrito por: g t = t e t / u t u t, a) Esboce o pulso. Este é um sinal de energia ou de potência? Qual sua energia/potência? (,7 ponto) b) Dado um trem periódico

Leia mais

TE802 Processos Estocásticos em Engenharia. Processo Aleatório. TE802 Processos Aleatórios. Evelio M. G. Fernández. 18 de outubro de 2017

TE802 Processos Estocásticos em Engenharia. Processo Aleatório. TE802 Processos Aleatórios. Evelio M. G. Fernández. 18 de outubro de 2017 TE802 Processos Estocásticos em Engenharia Processos Aleatórios 18 de outubro de 2017 Processo Aleatório Processo Aleatório (ou Estocástico), X(t): Função aleatória do tempo para modelar formas de onda

Leia mais

Anexo 1 - Revisões de Teoria das Probabilidades e Processos Estocásticos

Anexo 1 - Revisões de Teoria das Probabilidades e Processos Estocásticos 1 Anexo 1 - Revisões de Teoria das Probabilidades e Processos Estocásticos Documento auxiliar à disciplina de Modelação, Identificação e Controlo Digital Alexandre Bernardino 003/005 IST-Secção de Sistemas

Leia mais

Módulo IV: Processos Aleatórios Estacionários, Cicloestaionaridade e Análise de Continuidade de Processos Aleatórios

Módulo IV: Processos Aleatórios Estacionários, Cicloestaionaridade e Análise de Continuidade de Processos Aleatórios Módulo IV: Processos Aleatórios Estacionários, Cicloestaionaridade e Análise de Continuidade de Processos Aleatórios Wamberto J. L. Queiroz Universidade Federal de Campina Grande-UFCG Departamento de Engenharia

Leia mais

2 Modelo de Sinais. 2.2 Modelo de Comunicação

2 Modelo de Sinais. 2.2 Modelo de Comunicação odelo de Sinais 1 Introdução No presente capítulo é apresentado o modelo de comunicação adotado O modelo matemático de sinais transmitidos por sistemas de transmissão em blocos e mais particularmente para

Leia mais

Anexo 1 - Revisões de Teoria das Probabilidades e Processos Estocásticos

Anexo 1 - Revisões de Teoria das Probabilidades e Processos Estocásticos 1 Anexo 1 - Revisões de Teoria das Probabilidades e Processos Estocásticos Documento auxiliar à disciplina de Modelação, Identificação e Controlo Digital Alexandre Bernardino IST-Secção de Sistemas e Controlo

Leia mais

Lista de Exercícios GQ1

Lista de Exercícios GQ1 1 a QUESTÃO: Determine a Transformada Inversa de Fourier da função G(f) definida pelo espectro de amplitude e fase, mostrado na figura abaixo: 2 a QUESTÃO: Calcule a Transformadaa de Fourier do Sinal abaixo:

Leia mais

Experimento 7 Circuitos RC em corrente alternada

Experimento 7 Circuitos RC em corrente alternada 1. OBJETIVO Experimento 7 Circuitos RC em corrente alternada O objetivo desta aula é estudar o comportamento de circuitos RC em presença de uma fonte de alimentação de corrente alternada.. 2. MATERIAL

Leia mais

Teoria das Comunicações Prof. André Noll Barreto Prova /02

Teoria das Comunicações Prof. André Noll Barreto Prova /02 eoria das Comunicações Prova 1-1/ Aluno: Matrícula: Instruções A prova terá a duração de h3 A prova pode ser feita a lápis ou caneta Não é permitida consulta a notas de aula, todas as fórmulas necessárias

Leia mais

Circuitos resistivos alimentados com onda senoidal

Circuitos resistivos alimentados com onda senoidal Circuitos resistivos alimentados com onda senoidal 3 3.1 Material resistores de 1 kω e 100 Ω. 3.2 Introdução Nas aulas anteriores estudamos o comportamento de circuitos resistivos com tensão constante.

Leia mais

Sinais e Sistemas Mecatrónicos

Sinais e Sistemas Mecatrónicos Sinais e Sistemas Mecatrónicos Sinais e Sistemas Sinais Contínuos no Tempo José Sá da Costa José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 1 Sinais Sinal É uma função associada a um fenómeno (físico, químico,

Leia mais

Circuitos RC com corrente alternada. 5.1 Material. resistor de 10 Ω; capacitor de 2,2 µf.

Circuitos RC com corrente alternada. 5.1 Material. resistor de 10 Ω; capacitor de 2,2 µf. Circuitos RC com corrente alternada 5 5.1 Material resistor de 1 Ω; capacitor de, µf. 5. Introdução Como vimos na aula sobre capacitores, a equação característica do capacitor ideal é dada por i(t) = C

Leia mais

3.1 Modulações binárias (ASK e PSK)

3.1 Modulações binárias (ASK e PSK) Modulações digitais 3 Modulações digitais lineares com detecção coerente 3.1 Modulações binárias (ASK e PSK) Detecção de modulações digitais al como na modulação analógica (AM e FM), também na modulação

Leia mais

Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG 430

Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG 430 Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG 430 Fabrício Simões IFBA 16 de novembro de 2015 Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG 430 16 de novembro de 2015 1 / 34 1 Motivação 2 Conceitos

Leia mais

Circuitos resistivos alimentados com onda senoidal

Circuitos resistivos alimentados com onda senoidal Experimento 5 Circuitos resistivos alimentados com onda senoidal 5.1 Material Gerador de funções; osciloscópio; multímetro; resistor de 1 kω; indutores de 9,54, 23,2 e 50 mh. 5.2 Introdução Nas aulas anteriores

Leia mais

Circuitos resistivos alimentados com onda senoidal. Indutância mútua.

Circuitos resistivos alimentados com onda senoidal. Indutância mútua. Capítulo 6 Circuitos resistivos alimentados com onda senoidal. Indutância mútua. 6.1 Material Gerador de funções; osciloscópio; multímetro; resistor de 1 kω; indutores de 9,54, 23,2 e 50 mh. 6.2 Introdução

Leia mais

p.1/48 Eduardo Mendes Departamento de Engenharia Eletrônica Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos 6627, Belo Horizonte, MG, Brasil

p.1/48 Eduardo Mendes Departamento de Engenharia Eletrônica Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos 6627, Belo Horizonte, MG, Brasil p1/48 Capítulo 4 - Métodos ão Paramétricos Eduardo Mendes Departamento de Engenharia Eletrônica Universidade Federal de Minas Gerais Av Antônio Carlos 27, elo Horizonte, MG, rasil p2/48 Introdução Os métodos

Leia mais

Disciplina: Processamento Estatístico de Sinais (ENGA83) - Aula 06 / Classes Especiais de Processos Aleatórios

Disciplina: Processamento Estatístico de Sinais (ENGA83) - Aula 06 / Classes Especiais de Processos Aleatórios Disciplina: Processamento Estatístico de Sinais (ENGA83) - Aula 06 / Classes Especiais de Processos Aleatórios Prof. Eduardo Simas (eduardo.simas@ufba.br) Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica/PPGEE

Leia mais

Experimento 7 Circuitos RC em corrente alternada

Experimento 7 Circuitos RC em corrente alternada 1. OBJETIO Experimento 7 ircuitos R em corrente alternada O objetivo desta aula é estudar o comportamento de circuitos R em presença de uma fonte de alimentação de corrente alternada.. 2. MATERIAL UTILIZADO

Leia mais

Experimento 7 Circuitos RC e RL em corrente alternada. Parte A: Circuito RC em corrente alternada

Experimento 7 Circuitos RC e RL em corrente alternada. Parte A: Circuito RC em corrente alternada Experimento 7 Circuitos RC e RL em corrente alternada 1. OBJETIO Parte A: Circuito RC em corrente alternada O objetivo desta aula é estudar o comportamento de circuitos RC em presença de uma fonte de alimentação

Leia mais

Comunicações Digitais

Comunicações Digitais Comunicações Digitais Apresentação do Curso e Revisão de Conceitos Básicos Prof. Fabrício Simões IFBA Primavera de 2017 Prof. Fabrício Simões (IFBA) Comunicações Digitais Primavera de 2017 1 / 38 1 Apresentação

Leia mais

Circuitos resistivos alimentados com onda senoidal

Circuitos resistivos alimentados com onda senoidal Circuitos resistivos alimentados com onda senoidal 5 5.1 Material Gerador de funções; osciloscópio; multímetro; resistor de 1 kω; indutores de 9,54, 23,2 e 50 mh. 5.2 Introdução Nas aulas anteriores estudamos

Leia mais

canal para sinais contínuos

canal para sinais contínuos Processos estocásticos, Entropia e capacidade de canal para sinais contínuos 24 de setembro de 2013 Processos estocásticos, Entropia e capacidade de canal para1 sin Conteúdo 1 Probabilidade de sinais contínuos

Leia mais

Parâmetros importantes de um Analisador de Espectros: Faixa de frequência. Exatidão (frequência e amplitude) Sensibilidade. Resolução.

Parâmetros importantes de um Analisador de Espectros: Faixa de frequência. Exatidão (frequência e amplitude) Sensibilidade. Resolução. Parâmetros importantes de um Analisador de Espectros: Faixa de frequência Exatidão (frequência e amplitude) Sensibilidade Resolução Distorção Faixa dinâmica Faixa de frequência: Determina as frequências

Leia mais

Estimação da Resposta em Frequência

Estimação da Resposta em Frequência 27 Estimação da Resposta em Frequência jω Ge ( ) = jω Ye ( ) jω Ue ( ) Objectivo: Calcular a magnitude e fase da função de transferência do sistema, para um conjunto grande de frequências. A representação

Leia mais

Transmissão e comunicação de dados. Renato Machado

Transmissão e comunicação de dados. Renato Machado Renato Machado UFSM - Universidade Federal de Santa Maria DELC - Departamento de Eletrônica e Computação renatomachado@ieee.org renatomachado@ufsm.br 23 de Abril de 2012 Sumário 1 2 3 4 Térmico de Intermodulação

Leia mais

Processos estocásticos

Processos estocásticos 36341 - Introdução aos Processos Estocásticos Curso de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Departamento de Engenharia Elétrica Universidade de Brasília Processos estocásticos Geovany A. Borges gaborges@ene.unb.br

Leia mais

Introdução aos Circuitos Elétricos

Introdução aos Circuitos Elétricos 1 / 47 Introdução aos Circuitos Elétricos Séries e Transformadas de Fourier Prof. Roberto Alves Braga Jr. Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosa UFLA - Departamento de Engenharia 2 / 47 Séries e Transformadas

Leia mais

Processamento de Sinal e Imagem Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Processamento de Sinal e Imagem Engenharia Electrotécnica e de Computadores António M. Gonçalves Pinheiro Departamento de Física Covilhã - Portugal pinheiro@ubi.pt Processos Estocásticos - Sinais que variam aleatoriamente no tempo. são regidos por processos estocásticos. 2 1 1

Leia mais

TE060 Princípios de Comunicação

TE060 Princípios de Comunicação TE060 Princípios de Comunicação Sistemas de Modulação de Onda Contínua 9 de setembro de 2014 Modulação de Onda Contínua Modulação: alteração sistemática de alguma característica de um sinal, denominado

Leia mais

2 Modelos de Sinais para Sistemas DS-CDMA

2 Modelos de Sinais para Sistemas DS-CDMA 2 Modelos de Sinais para Sistemas DS-CDMA Dentre os modelos de sinais de sistemas de múltiplo acesso existem dois cenários de interesse que foram tratados em nosso trabalho: o enlace direto ou downlink,

Leia mais

Sinais e ruídos em sistemas de medição

Sinais e ruídos em sistemas de medição (parte I) Instrumentação eletrônica para sistemas de medição Capítulo 7 Sinais e ruídos em sistemas de medição Prof. Lélio R. Soares Júnior ENE FT UnB Introdução Sinal determinístico o valor do sinal em

Leia mais

Introdução aos Sistemas de Comunicações

Introdução aos Sistemas de Comunicações aos Sistemas de Comunicações Edmar José do Nascimento () http://www.univasf.edu.br/ edmar.nascimento Universidade Federal do Vale do São Francisco Colegiado de Engenharia Elétrica Roteiro 1 Sistemas de

Leia mais

Experimento 7 Circuitos RC e RL em corrente alternada. Parte A: Circuito RC em corrente alternada

Experimento 7 Circuitos RC e RL em corrente alternada. Parte A: Circuito RC em corrente alternada Experimento 7 ircuitos R e RL em corrente alternada Parte A: ircuito R em corrente alternada 1 OBJETIO O objetivo desta aula é estudar o comportamento de circuitos R em presença de uma fonte de alimentação

Leia mais

Circuitos RC e RL com Corrente Alternada

Circuitos RC e RL com Corrente Alternada Experimento 6 Circuitos RC e RL com Corrente Alternada Parte A: Circuitos RC com corrente alternada 6.1 Material osciloscópio; multímetro digital; gerador de sinais; resistor de 10 Ω; capacitor de 2,2

Leia mais

Aula 1. Wilson Correa. June 27, 2017

Aula 1. Wilson Correa. June 27, 2017 Aula 1 Definições Básicas Wilson Correa June 27, 2017 Série de Tempo Definição Uma série de tempo é qualquer conjunto de observações ordenadas no tempo. Podem ser: Discretas. Ex: Valores Diários de Poluição,

Leia mais

Análise de Sinais e Sistemas

Análise de Sinais e Sistemas Universidade Federal da Paraíba Departamento de Engenharia Elétrica Análise de Sinais e Sistemas Luciana Ribeiro Veloso luciana.veloso@dee.ufcg.edu.br ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS Ementa: Sinais contínuos

Leia mais

Teoria das Comunicações Prof. André Noll Barreto Prova /2 (01/11/2011)

Teoria das Comunicações Prof. André Noll Barreto Prova /2 (01/11/2011) Prova 011/ (01/11/011) Aluno: Matrícula: Instruções A prova consiste de quatro questões discursivas A prova terá a duração de h30 A prova pode ser feita a lápis ou caneta Não é permitida consulta a notas

Leia mais

Comunicações Digitais Prof. André Noll Barreto Prova /1 (26/04/2012)

Comunicações Digitais Prof. André Noll Barreto Prova /1 (26/04/2012) Prova 1 01/1 (6/04/01) Aluno: Matrícula: Instruções A prova consiste de três questões discursivas A prova terá a duração de h A prova pode ser feita a lápis ou caneta Não é permitida consulta a notas de

Leia mais

Aula 22. Conversão Sigma-Delta (continuação)

Aula 22. Conversão Sigma-Delta (continuação) Aula 22 Conversão Sigma-Delta (continuação) A estrutura mostrada na figura A.22.1 é chamado modulador Sigma-Delta (Σ- ). Esta estrutura, além de ser mais simples, pode ser considerada como uma versão suavizada

Leia mais

Trabalho de Comunicações Digitais. Guia de procedimento

Trabalho de Comunicações Digitais. Guia de procedimento Trabalho de Comunicações Digitais Guia de procedimento Turma : Grupo : Data: / /2005 Nomes: Este guia contem o conjunto de experiências e observações a efectuar durante as aulas práticas laboratoriais.

Leia mais

ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS

ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS AULA 2: :. Sinais de Tempo Contínuo e Sinais de Tempo Discreto; 2. Sinais Analógicos e Digitais; 3. Sinais Determinísticos e Sinais Aleatórios; 4. Sinais Pares e Sinais Ímpares;

Leia mais

Universidade Federal do ABC. Processos Estocásticos. Profs. Marcio Eisencraft e Murilo Loiola

Universidade Federal do ABC. Processos Estocásticos. Profs. Marcio Eisencraft e Murilo Loiola Universidade Federal do ABC Processos Estocásticos Profs. Marcio Eisencraft e Murilo Loiola São Paulo 2011 Capítulo 1 Introdução à análise e transmissão de sinais 1.1 Intodução Neste curso, trata-se dos

Leia mais

2. Canal de rádio propagação móvel

2. Canal de rádio propagação móvel 2. Canal de rádio propagação móvel Em um sistema de comunicações móveis sem fio, o sinal transmitido sofre atenuação com a distância e desvanecimentos que variam de acordo com as características do canal.

Leia mais

Parte A: Circuitos RC com corrente alternada

Parte A: Circuitos RC com corrente alternada Circuitos RC e RL com Corrente Alternada 6 Parte A: Circuitos RC com corrente alternada 6.1 Material osciloscópio; multímetro digital; gerador de sinais; resistor de 10 Ω; capacitor de 2,2 µf. 6.2 Introdução

Leia mais

Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG 430

Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG 430 Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG 430 Fabrício Simões IFBA 16 de novembro de 2015 Fabrício Simões (IFBA) Introdução aos Proc. Estocásticos - ENG 430 16 de novembro de 2015 1 / 35 Fabrício Simões

Leia mais

SEL Processamento Digital de Imagens Médicas. Aula 4 Transformada de Fourier. Prof. Dr. Marcelo Andrade da Costa Vieira

SEL Processamento Digital de Imagens Médicas. Aula 4 Transformada de Fourier. Prof. Dr. Marcelo Andrade da Costa Vieira SEL 0449 - Processamento Digital de Imagens Médicas Aula 4 Transformada de Fourier Prof. Dr. Marcelo Andrade da Costa Vieira mvieira@sc.usp.br Jean Baptiste Joseph Fourier 2 Exemplo: Função Degrau 3 Exemplo:

Leia mais

TE060 Princípios de Comunicação. Sistemas de Comunicação Digital Notes. Por quê Digital? Notes. Notes. Evelio M. G. Fernández. 5 de novembro de 2013

TE060 Princípios de Comunicação. Sistemas de Comunicação Digital Notes. Por quê Digital? Notes. Notes. Evelio M. G. Fernández. 5 de novembro de 2013 TE060 Princípios de Comunicação Modulação de Pulso 5 de novembro de 2013 Sistemas de Comunicação Digital Sistema digital no sentido de utilizar uma sequência de símbolos pertencentes a um conjunto finito

Leia mais

TP537 Transmissão Digital 1ª Avaliação 27/10/ :00h Prof. Dayan Adionel Guimarães. Aluno(a):

TP537 Transmissão Digital 1ª Avaliação 27/10/ :00h Prof. Dayan Adionel Guimarães. Aluno(a): TP537 Transmissão Digital ª Avaliação 7//4 8:h Prof. Dayan Adionel Guimarães ota: Aluno(a): ª questão (4 pontos) Prova com consulta ao livro texto, com duração de 3 horas. A interpretação é parte integrante

Leia mais

X(t) = A cos(2πf c t + Θ)

X(t) = A cos(2πf c t + Θ) Exercícios Extras de Comunicações Digitais. Seja um sinal aleatório X(t), estacionário no sentido restrito, dado por onde X(t) = A cos(πf c t + Θ) A é uma variável aleatória Gaussiana com média de 4Volts

Leia mais

Fundamentos da Teoria da Probabilidade

Fundamentos da Teoria da Probabilidade Fundamentos da Teoria da Probabilidade Edmar José do Nascimento (Princípios de Comunicações) http://www.univasf.edu.br/ edmar.nascimento Universidade Federal do Vale do São Francisco Sinais Aleatórios

Leia mais

Experimento 6 Corrente alternada: circuitos resistivos

Experimento 6 Corrente alternada: circuitos resistivos 1 OBJETIVO Experimento 6 Corrente alternada: circuitos resistivos O objetivo desta aula é estudar o comportamento de circuitos resistivos em presença de uma fonte de alimentação de corrente alternada 2

Leia mais

Aula de Processamento de Sinais I.B De Paula. Tipos de sinal:

Aula de Processamento de Sinais I.B De Paula. Tipos de sinal: Tipos de sinal: Tipos de sinal: Determinístico:Sinais determinísticos são aqueles que podem ser perfeitamente reproduzidos caso sejam aplicadas as mesmas condições utilizadas sua geração. Periódico Transiente

Leia mais

1 O canal de comunicação radiomóvel

1 O canal de comunicação radiomóvel 1 O canal de comunicação radiomóvel O projeto de sistemas de comunicações sem fio confiáveis e de alta taxa de transmissão continua sendo um grande desafio em função das próprias características do canal

Leia mais

Transmissão Digital em Banda Base

Transmissão Digital em Banda Base Transmissão Digital em Banda Base Luis Henrique Assumpção Lolis 27 de maio de 2014 Luis Henrique Assumpção Lolis Transmissão Digital em Banda Base 1 Conteúdo 1 Introdução 2 Análise de erro de bits 3 Interferência

Leia mais

2/47. da matemática é ainda de grande importância nas várias áreas da engenharia. Além disso, lado de Napoleão Bonaparte. 1/47

2/47. da matemática é ainda de grande importância nas várias áreas da engenharia. Além disso, lado de Napoleão Bonaparte. 1/47 Introdução aos Circuitos Elétricos Séries e Transformadas de Fourier Prof. Roberto Alves Braga Jr. Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosa UFLA - Departamento de Engenharia Sinais: conjunto de dados ou informação

Leia mais

Módulo II: Cálculo dos Momentos de um Processo Estocástico, Processo de Bernoulli, Processo Random Walk

Módulo II: Cálculo dos Momentos de um Processo Estocástico, Processo de Bernoulli, Processo Random Walk Módulo II: Cálculo dos Momentos de um Processo Estocástico, Processo de Bernoulli, Processo Random Walk Wamberto J. L. Queiroz Universidade Federal de Campina Grande-UFCG Departamento de Engenharia Elétrica

Leia mais

Resumo. Filtragem Adaptativa. Filtros adaptativos. Tarefas desempenhadas pelos filtros

Resumo. Filtragem Adaptativa. Filtros adaptativos. Tarefas desempenhadas pelos filtros Resumo Filtragem Adaptativa Luís Caldas de Oliveira lco@istutlpt Instituto Superior Técnico Sistemas de filtragem adaptativa Conceitos de filtragem adaptativa Filtro de Wiener Algoritmo steepest descent

Leia mais

Análise e Transmissão de Sinais

Análise e Transmissão de Sinais Análise e Transmissão de Sinais Edmar José do Nascimento (Princípios de Comunicações) Universidade Federal do Vale do São Francisco Roteiro 1 Transformada de Fourier 2 Sistemas Lineares 3 Filtros 4 Distorção

Leia mais

I-5 Espetro de sinais não periódicos A Transformada de Fourier

I-5 Espetro de sinais não periódicos A Transformada de Fourier I-5 Espetro de sinais não periódicos A Transformada de Fourier Comunicações (10 de novembro de 016) ISEL - ADEETC - Comunicações 1 Sumário 1. Sinais não periódicos. Transformada de Fourier Representação,

Leia mais

Estimação na Presença de Ruído colorido

Estimação na Presença de Ruído colorido 36 Estimação na Presença de Ruído colorido Como se viu, em presença de ruído colorido, os mínimos quadrados fornecem uma estimativa polarizada. Quer dizer, ao fazer muitas observações a estimativa não

Leia mais

Modulação e Codificação

Modulação e Codificação INSTITUTO SUPERIOR DE CIÊNCIAS DO TRABALHO E DA EMPRESA Departamento de Ciências e Tecnologias de Informação Engenharia de Telecomunicações e Informática Modulação e Codificação Ano Lectivo 2001/2002 2º

Leia mais

Transmissão em Banda de Base

Transmissão em Banda de Base GUIA DO 2 O TRABALHO DE LABORATÓRIO DE SISTEMAS DE COMUNICAÇÕES Transmissão em Banda de Base Ano Lectivo de 2015/16 Introdução Neste trabalho analisam-se alguns aspectos da transmissão em banda de base

Leia mais

I-5 Espetro de sinais não periódicos A Transformada de Fourier

I-5 Espetro de sinais não periódicos A Transformada de Fourier I-5 Espetro de sinais não periódicos A Transformada de Fourier Comunicações Sumário 1. Sinais não periódicos. Transformada de Fourier Representação, no domínio da frequência, de sinais não periódicos Relação

Leia mais

I-6 Sistemas e Resposta em Frequência. Comunicações (6 de Dezembro de 2012)

I-6 Sistemas e Resposta em Frequência. Comunicações (6 de Dezembro de 2012) I-6 Sistemas e Resposta em Frequência (6 de Dezembro de 2012) Sumário 1. A função especial delta-dirac 2. Sistemas 3. Resposta impulsional e resposta em frequência 4. Tipos de filtragem 5. Associação de

Leia mais

Processos aleatórios - características

Processos aleatórios - características Capítulo 6 Processos aleatórios - características temporais 6.1 O conceito de processo aleatório Um processo aleatório ou estocástico é um espaço de amostras em que cada elemento é associado a uma função

Leia mais

Tópicos avançados em sistemas de telecomunicações. Renato Machado

Tópicos avançados em sistemas de telecomunicações. Renato Machado Renato Machado UFSM - Universidade Federal de Santa Maria DELC - Departamento de Eletrônica e Computação renatomachado@ieee.org renatomachado@ufsm.br Santa Maria, 14 de Março de 2012 Sumário 1 2 3 4 5

Leia mais

Apresentação do Programa da Disciplina. Introdução aos sistemas de comunicação: principais modelos.

Apresentação do Programa da Disciplina. Introdução aos sistemas de comunicação: principais modelos. Professor: Edmar José do Nascimento Disciplina: PRNCÍPOS DE COMUNCAÇÃO Carga Horária: 60 hs Semestre: 2010.1 Pág. 1 de 5 EMENTA: Correlação e densidade espectral de potência. Princípio da amostragem. Transmissão

Leia mais

O processo de filtragem de sinais pode ser realizado digitalmente, na forma esquematizada pelo diagrama apresentado a seguir:

O processo de filtragem de sinais pode ser realizado digitalmente, na forma esquematizada pelo diagrama apresentado a seguir: Sistemas e Sinais O processo de filtragem de sinais pode ser realizado digitalmente, na forma esquematizada pelo diagrama apresentado a seguir: 1 Sistemas e Sinais O bloco conversor A/D converte o sinal

Leia mais

Uma abordagem educacional para o estudo de OFDM

Uma abordagem educacional para o estudo de OFDM Uma abordagem educacional para o estudo de OFDM Bruno A. Pereira 1, Henrique T. Kuehne 2, Luciano L. Mendes 3 e José S. G. Panaro 4 Resumo O objetivo deste artigo é apresentar um conjunto de ferramentas

Leia mais

Analisador de Espectros

Analisador de Espectros Analisador de Espectros O analisador de espectros é um instrumento utilizado para a análise de sinais alternados no domínio da freqüência. Possui certa semelhança com um osciloscópio, uma vez que o resultado

Leia mais

Fundamentos de Telecomunicações 2002/03

Fundamentos de Telecomunicações 2002/03 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Número: Fundamentos de Telecomunicações 2002/03 EXAME Janeiro, 2003 Duração: 20 minutos Nome: Pretende contabilizar as notas dos testes? sim não Assinatura A resolução do exame

Leia mais

)XQGDPHQWRVGHSUREDELOLGDGHHHVWDWtVWLFD

)XQGDPHQWRVGHSUREDELOLGDGHHHVWDWtVWLFD )XQGDPHQWRVGHUREDELOLGDGHHHVWDWtVWLFD,QWURGXomR A história da estatística pode ser dividida em três fases. De acordo com PEANHA (00), a estatística inicialmente não mantinha nenhuma relação com a probabilidade,

Leia mais

EE210 Sistemas de Comunicação II 1ª Avaliação 06/09/ h30min Prof. Dayan Adionel Guimarães. Aluno(a): Matrícula.

EE210 Sistemas de Comunicação II 1ª Avaliação 06/09/ h30min Prof. Dayan Adionel Guimarães. Aluno(a): Matrícula. EE210 Sistemas de Comunicação II 1ª Avaliação 06/09/2018 15h30min Prof. Dayan Adionel Guimarães Nota T Nota P Aluno(a): Matrícula. Prova sem consulta, com duração de 100 minutos. A interpretação é parte

Leia mais

PROCESSOS ESTOCÁSTICOS. O resultado de muitas experiências aleatórias é função do tempo ou de uma (ou mais) coordenada espacial.

PROCESSOS ESTOCÁSTICOS. O resultado de muitas experiências aleatórias é função do tempo ou de uma (ou mais) coordenada espacial. 37 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS O resultado de muitas experiências aleatórias é função do tempo ou de uma (ou mais) coordenada espacial. Ex: i) O valor da temperatura média diária ou semanal numa cidade. O acontecimento

Leia mais

Simulação MATLAB - Transmissão PCM em Banda Base e Diagrama de Olho. Testar o efeito de filtros sem ISI no espectro e na curva BERXE b /N 0.

Simulação MATLAB - Transmissão PCM em Banda Base e Diagrama de Olho. Testar o efeito de filtros sem ISI no espectro e na curva BERXE b /N 0. Simulação MATLAB - Transmissão PCM em Banda Base e Diagrama de Olho Objetivos Simular a taxa de erro binário em função de E b /N 0 para diferentes modulações PCM e comparar com a teoria Testar o efeito

Leia mais

EN2607 Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares Lista de Exercícios Suplementares 2 2 quadrimestre 2011

EN2607 Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares Lista de Exercícios Suplementares 2 2 quadrimestre 2011 EN607 Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares Lista de Exercícios Suplementares quadrimestre 0 (P-0003D) (HAYKIN, 00, p 9) Use a equação de definição da TF para obter a representação no domínio da

Leia mais

ANÁLISE DE SINAIS DINÂMICOS

ANÁLISE DE SINAIS DINÂMICOS ANÁLISE DE SINAIS DINÂMICOS Paulo S. Varoto 7 . - Classificação de Sinais Sinais dinâmicos são geralmente classificados como deterministicos e aleatórios, como mostra a figura abaixo: Periódicos Determinísticos

Leia mais

6 Modelo Gamma-Cetuc (GC)

6 Modelo Gamma-Cetuc (GC) 6 Modelo Gamma-Cetuc (GC) Um modelo de sintetização de séries temporais de atenuação por chuva envolve a geração de dados aleatórios que satisfaçam especificações de estatísticas de primeira e de segunda

Leia mais

Teoria das Comunicações Prof. André Noll Barreto Prova /02

Teoria das Comunicações Prof. André Noll Barreto Prova /02 Prova 2-2010/02 Aluno: Matrícula: Instruções A prova consiste em 6 questões discursivas. A prova terá a duração de 2h30. A prova pode ser feita a lápis ou caneta. Não é permitida consulta a notas de aula,

Leia mais

Segunda Lista de Exercícios

Segunda Lista de Exercícios UFCG Universidade Federal de Campina Grande CEEI Centro de Engenharia Elétrica e Informática DEE Departamento de Engenharia Elétrica Disciplina: Princípios de Comunicações Professor: Wamberto José Lira

Leia mais

Série de Fourier. Prof. Dr. Walter Ponge-Ferreira

Série de Fourier. Prof. Dr. Walter Ponge-Ferreira Resposta à Excitação Periódica Série de Fourier Prof. Dr. Walter Ponge-Ferreira E-mail: ponge@usp.br Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica - PME Av. Prof.

Leia mais

I-6 Sistemas e Resposta em Frequência

I-6 Sistemas e Resposta em Frequência I-6 Sistemas e Resposta em Frequência Comunicações 1 Sumário 1. A função especial delta-dirac 2. Sistemas 3. Resposta impulsional e resposta em frequência 4. Tipos de filtragem 5. Associação de sistemas

Leia mais

Circuitos Elétricos III

Circuitos Elétricos III Circuitos Elétricos III Prof. Danilo Melges Depto. de Eng. Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais A Transformada de Fourier Série de Fourier e Transformada de Fourier Partindo da Série de Fourier

Leia mais

3 Esquema de pré-distorção

3 Esquema de pré-distorção 3 Esquema de pré-distorção O objetivo do presente trabalho, conforme foi exposto anteriormente, é a redução dos efeitos causados pelos produtos de intermodulação gerados pela não-linearidade. Para atingir

Leia mais