Notas de Aula de Números e Funções Reais. Tutor - Fernando Junior Orientador - Fábio Carvalho

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1 Notas de Aula de Números e Funções Reais Tutor - Fernando Junior Orientador - Fábio Carvalho

2 Sumário Conjuntos 4 Conjuntos Numéricos 7. Os Naturais N Adição e Multiplicação nos N Zero e os números naturais Os Inteiros Z Os Racionais Q Os Reais R Intervalos Os Complexos C Exercícios Propostos Relações 5 3. Produto Cartesiano e Par Ordenado Relação Exercícios Propostos Funções 0 4. Introdução Crescimento e decrescimento de funções Exercícios Propostos Composição de funções Funções Exponênciais e Logarítmicas Logaritmos Exercícios Propostos Grácos de Funções Paridade de funções Exercícios Propostos Polinômios Funções Polinomiais Interpolador de Lagrange Divisão de Polinômios Algoritmo de Runi Raízes Múltiplas Equações Recíprocas Teorema das Raízes Racionais Relações de Girard Teorema de Bolzano Exercícios Propostos

3 6 Funções Trigonométricas Identidades e Transformações Trigonométricas Fórmulas de adição e subtração As Funções Trigonométricas Funções Trigonométricas Inversas Exercícios Propostos

4 CAPÍTULO. CONJUNTOS Conjuntos Um conjunto é uma coleção não-ordenada de objetos. Denotamos conjuntos por letras latinas maiúsculas. Dado um conjunto A e um objeto x, dizemos que x pertence a A, ou ainda que x é um elemento de A, quando x for um dos objetos que compõem A. Neste caso escrevemos x A. Caso x não seja elemento de A, escrevemos x / A e dizemos que x não pertence a A. Listamos os elementos de um conjunto A pondo os mesmos entre chaves. O símbolo é usado para representar a relação de pertinência entre elementos e conjuntos. Exemplo (Conjuntos).. O conjunto Z dos números inteiros: Z = {..., 4, 3,,, 0,,, 3, 4,...}. O conjunto N dos números naturais N = {0,,, 3, 4,...} Observações.. Como um conjunto é uma coleção não-ordenada de objetos, tanto faz escrevermos A = {,, 3, 4} quando A = {, 4, 3, } para denotar o conjunto A.. Para conjuntos com um número innito ou muito grande de elementos é frequente listar seus elementos em uma certa ordem, que torne evidente lei de formação do conjunto (veja os exemplos acima) 3. Não contamos elementos repetidos: {,} e {,,} representam um mesmo conjunto. 4. (Conjuntos definidos por sentenças lógicas). Podemos denir um conjunto por uma sentença lógica, i.e., exigindo que seus elementos sejam os objetos que satisfaçam uma ou mais propriedades. Por exemplo, podemos denir o conjunto (a) A = {, 4, 6, 8, 0,...} escrevendo A = {x; x N e x é primo ímpar}. (b) P = {3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9,...} escrevendo P = {x; x é primo ímpar}. (c) Q = {0,,, 3, 4, 5,...} escrevendo Q = {x x Z e x é quadrado perfeito}. 5. (Conjunto vazio). Toda sentença lógica dene um conjunto. Assim, {x x R e x x} dene um conjunto, que obviamente não pode ter elemento algum. Tal conjunto, o conjunto vazio, é denotado por. Definição (Cardinalidade). Informalmente, dizemos que um conjunto A é finito se ele tem um número nito n N de elementos. Este número é a cardinalidade de A, denotada por A, A ou ainda n(a). Observe que n(a) = 0 se e somente se A =. Dizemos que um conjunto é infinito se ele não é nito. Os conjuntos N, Z, Q e R são innitos. Mais adiante veremos melhor esses conjuntos, os quais são denominados de conjuntos numéricos. Um conjunto A é dito unitário se n(a) =. Definição (Subconjunto de um conjunto). Dados conjuntos A e B, dizemos que A é um subconjunto de B, ou ainda que A está contido em B ou que B contém A, e escrevemos A B ou B A, quando todo elemento de A for também elemento de B. Em símbolos, A B B A [ x, (x A) (x B)] 4

5 5 O símbolo é utilizado para representar a relação de inclusão em conjuntos. Se A não for subconjunto de B diremos também que A não está contido em B ou que B não contém A, e escreveremos A B ou B A Se A B mas A B, dizemos que A é um subconjunto próprio de B; indicamos isto escrevendo A B. Exemplo (Subconjuntos de um conjunto). N Z, pois a sentença (x N) (x Z) é sempre verdadeira.. Se A = {x; x N e x é múltiplo de 4} e B = {x x N e x é múltiplo de 8} então B A. Observações.. Segue da denição acima que, dados conjuntos A e B, para mostrar que A B temos de garantir que todo elemento de A é também elemento de B. Já para mostrar que A B basta exibirmos um elemento de A que não esteja em B.. Para todo conjunto A tem-se A A e A. 3. Dois conjuntos A e B são iguais, e escrevemos A = B, quando A e B tiverem exatamente os mesmos elementos. Se dois conjuntos A e B forem diferentes, escrevemos A B. Em símbolos. A = B [ x, (x A) (x B)] 4. (Conjuntos iguais). Para todos os conjuntos A e B tem-se A = B (A B e B A) Definição. (Famílias). Uma família (de conjuntos) é um conjunto cujos elementos são também conjuntos. Exemplo (Famílias).. F = {{,, {, π}} é uma família.. G = {{, }, {, π}, 3} não é uma família. 3. H = {A; A N e A tem dois elementos } é uma família. Definição (Conjunto das partes). Dado um conjunto A, o conjunto das partes de A é a família formada pelos subconjuntos de A. Denotamos o conjunto das partes de um conjunto A por P(A). Observações.. Se o conjunto A for innito é claro que P(A) também é innito.. (Subconjuntos de um conjunto finito). Seja n(a) = n então n(p(a)) = n. Definição (Operações com conjuntos). Dados dois conjuntos A e B, definimos a:. União de A e B como o conjunto A B = {x; x A e x B}. Interseção de A e B como o conjunto A B = {x x A e x B} 3. Diferença entre A e B como o conjunto A B = {x; x A e x / B}. Observações.. Em palavras, A B é o conjunto formado pelos elementos que estão em ao menos um dos conjuntos A, B. A interseção A B é o conjunto formado pelos elementos que estão em ambos os conjuntos A, B. A diferença A B é o conjunto dos elementos que estão em A mas não em B. A diferença entre A e B também é comumente representada por A\B.. Dois conjuntos A e B são disjuntos quando A B =. 3. As operações de união e interseção são estendidas de maneira óbvia a mais de dois conjuntos.

6 6 CAPÍTULO. CONJUNTOS 4. Em muitas situações estaremos interessados em operar somente com subconjuntos de um certo conjunto U. Neste caso, U será denominado o conjunto-universo da situação ou problema em estudo, e é comum representar U por um retângulo grande, e subconjuntos de U por regiões contidas nesse retângulo. Tal forma de representar conjuntos é denominada um diagrama de Venn (gura ). A B U Figura : Diagrama de Venn para dois conjuntos. 5. Sendo A um subconjunto de um universo U, denimos o complementar de A em relação a U como o conjunto A C = U A. 6. Na gura acima temos o diagrama de Venn usual para dois subconjuntos A e B de um universo U. Nesse momento. você deve se certicar que sabe identicar que porções da mesma correspondem aos conjuntos A B, A B, A B, B A, A C e B C. Proposição (Propriedades das operações com conjuntos). Sejam A, B, C conjuntos quaisquer. Temos. (Comutatividade). A B = B A e A B = B A.. (Associatividade). (A B) C = A (B C) e (A B) C = A (B C). 3. (Distributividade). A (B C) = (A B) (A C) e A (B C) = (A B) (A C). Proposição (Propriedades da complementação). Se A, B são subconjuntos de um universo U, então:. A B = A B C.. (Leis de De Morgan). (A B) C = A C B C e (A B) C = A C B C. Proposição (Fórmula de inclusão-exclusão). Sejam A, B, C conjuntos finitos. Então:. n(a B) = n(a) + n(b) n(a B). n(a B C) = n(a) + n(b) + n(c) n(a B) n(a C) n(b C) + n(a B C)

7 CAPÍTULO. CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjuntos Numéricos Os conjuntos numéricos compõem uma parte fundamental da Matemática, notadamente no contexto de aplicação a outros campos de estudo. Atualmente tais conjuntos englobam os números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, denotados respectivamente por N, Z, Q, R e C.. Os Naturais N O conjunto dos números naturais nasceu da necessidade de um modelo de contagem, ou seja, qual o método que poderíamos adotar para contar coisas? Lentamente, à medida em que se civilizava, a humanidade apoderouse desse modelo abstrato de contagem (um, dois, três, quatro,...) que são os números naturais. Podemos hoje descrever concisa e precisamente o conjunto N dos números naturais, valendo-nos da notável síntese feita pelo matemático Giuseppe Peano no limiar do século 0. N é um conjunto, cujos elementos são chamados números naturais. A essência da caracterização de N reside na palavra "sucessor". O termo primitivo "sucessor"não é denido explicitamente. Seu uso e suas propriedades são regidos por algumas regras, abaixo enumeradas: (Regras) (a) Todo número natural tem um único sucessor; (b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes; (c) Existe um único número natural, chamado um e representado pelo símbolo, que não é sucessor de nenhum outro; (d) Seja X um conjunto de números naturais (isto é, X N). Se X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de X ainda pertence a X, então X = N. As armações a), b), c) e d) acima são conhecidas como os axiomas de Peano. Tudo o que se sabe sobre os números naturais pode ser demonstrado como consequência desses axiomas. Um engenhoso processo, chamado sistema de numeração decimal, permite representar todos os números naturais com o auxílio dos símbolos 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Portanto, deve car claro que o conjunto N =,, 3,... dos números naturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, são vazios de signicado.. Adição e Multiplicação nos N Entre os números naturais estão denidas duas operações fundamentais: a adição, que aos números n, p N faz corresponder a soma n + p e a multiplicação, que lhes associa o produto np. Com essas denições, de agora em diante, o sucessor de um número natural n será designado por n +. Quanto ao produto, põe-se n. = n por denição e, quando p, np é a soma de p parcelas iguais a n. 7

8 8 CAPÍTULO. CONJUNTOS NUMÉRICOS Com as explicações dadas acima, podemos agora compreender a denição de Cardinalidade dada no capítulo de Conjuntos... Zero e os números naturais Vimos na seção anterior que o 0 está dentro do sistema de numeração decimal. Convém agora incluirmos o zero como um numero natural, de modo que possamos estender as propriedades desse conjunto. Considerar zero como um número natural também facilita o desenvolvimento de fórmulas e denições. A ideia de conjunto vazio surge quando fazemos certas operações com conjuntos. Por exemplo, dado um conjunto, retiramos dele todos os seus elementos, do que resulta um conjunto vazio. Fazendo a interseção de dois conjuntos que não têm elemento em comum, vemos que essa interseção é um conjunto vazio. Isto nos sugere estender os números utilizados para contagem: (Definição). Designamos por zero a quantidade de elementos em um conjunto vazio. Indicamos o número zero com o símbolo 0..3 Os Inteiros Z Diante da necessidade de excluir elementos de um conjunto, nasce um novo conjunto no qual é incorporado um novo elemento no conjunto dos números naturais, integrando o que podemos chamar de "simétrico"ou "oposto"de um número. Por exemplo, consideremos a uma reta r um segmento AB cujo comprimento vale u: B' A B Podemos ver que o segmento AB também mede u, porém, o sentido é contrário ao do segmento AB, medimos a partir do zero para a esquerda. Embora saibamos que não existe distância negativa podemos entender isso denotando-o como "simétrico"ou o "oposto"de um número n por n em relação ao número 0, onde é a origem da reta. A matemática consagrou a notação n para o número negativo correspondente a n. Dessa maneira, podemos agora "retirar"elementos de um certo conjunto, por exemplo, suponhamos o conjunto que contenha 50 unidades de canetas e, deste conjunto, retiraremos 0 canetas para os alunos da tutoria, com isso, é como se estivéssemos adicionando o simétrico do número 0, ou seja, 0 ao número 50, da seguinte maneira 50 + ( 0) e o resultado que obteríamos seria o número 30, resultado este que seria conferido após a contagem do número restante de canetas. Dado o conjunto dos números naturais N = {0,,, 3,...}, para todo número natural n 0 consideramos o símbolo n. Denimos Definição (Números Inteiros). O conjunto dos números inteiros é (Observações). Z = {..., 3,,, 0,,, 3,...}. Os elementos do conjunto Z + = {,, 3,...} serão denominados inteiros positivos ou inteiros não-negativos.. Os elementos do conjunto Z = {... 3,, } inteiros negativos ou inteiros não-positivos. 3. O conjunto Z é denominado de conjunto dos inteiros não-nulos e é dado por Z = {..., 3,,,,, 3,...}.

9 .4. OS RACIONAIS Q 9 Obtemos assim um novo conjunto de números que inclui os números naturais. Nesse nosso novo conjunto as operações de adição e multiplicação já estão bem denidas, porém, podemos estender agora o conceito de subtração dado pela adição de um número n Z com o simétrico ou oposto de um número p, p Z, ou seja, n + ( p) = n p. Definição (Algoritmo de Divisão). Dados números inteiros a e b 0; existe e é único o par de números inteiros q e r tal que a = bq + r, 0 r < b Onde os números q, r, b e a são denominados quociente, resto, divisor e dividendo da divisão euclidiana de a por b. Definição Um número inteiro a se diz múltiplo de um número inteiro b se existir um número inteiro q tal que a = bq. Nesse caso, e se b 0, dizemos também que b divide a ou que b é divisor ou fator de a. Definição Para um inteiro a qualquer, denotamos por D(a) o conjunto de seus divisores e com M(a) o conjunto de seus múltiplos. Exemplo. D() = {,,, }; M() = {0, ±, ±4, ±6,...}. D( 3) = {,, 3, 3}; M( 3) = {0, ±3, ±6, ±9,...} Definição(Máximo divisor comum). Dados números inteiros a e b não simultaneamente nulos o elemento máximo do conjunto D(a) D(b) chama-se máximo divisor comum de a e b, e é indicado por mdc(a, b). Definição (Número primo). Denominamos primo a todo número inteiro > que não tem divisor positivo diferente de e dele mesmo. Chamamos de composto a todo número inteiro que tem divisor positivo diferente de e dele mesmo. Definição Os números inteiros a e b chamam-se relativamente primos se mdc(a, b) =. também são denominados primos entre si ou coprimos. Neste caso a e b.4 Os Racionais Q O termo "racional"deriva da palavra "razão"que, em matemática, denota quociente entre números. Sempre que a divisão de um inteiro por outro não era exata, os egípcios antigos, já por volta do ano 000 a.c., usavam frações para exprimir o resultado. E usavam também frações para operar com seu sistema de pesos e medidas. Contudo, por razões difíceis de explicar, com exceção das frações /3 e 3/4, às vezes, os egípcios usavam apenas frações unitárias, ou seja, frações cujo numerador é. Por exemplo, em um problema do papiro Rhind (cerca de 700 a.c.) no qual o escriba pede que se efetue a divisão de 9 por 8, a resposta é dada, usando a nossa notação, por: + /4 + /8 Embora os egípcios não adotassem sempre o mesmo procedimento, pode-se mostrar que toda fração entre 0 e é soma de frações unitárias, o que representa uma garantia teórica para essa opção. É com essa breve noção de uma fração que podemos introduzir o conjunto dos números racionais Q, que é denido da seguinte forma: { } p Q = q, p Z e q Z Onde p é chamado de numerador e q é chamado de denominador. Observações. Algumas denições com operações nos racionais.

10 0 CAPÍTULO. CONJUNTOS NUMÉRICOS. (Igualdade):. (Adição): 3. (Multiplicação): a b = c d ad = bc a b + c d = ad+bc bd a b c d = ac bd Notemos nalmente que todo número racional a/b pode ser representado por um número decimal. Na passagem de uma notação para outra podem ocorrer dois casos:. O número decimal tem uma quantidade nita de algarismos, isto é, é uma decimal exata. Exemplos: 3 = 3; = 0, 5; = 0, O número decimal tem uma quantidade innita de algarismos que se repetem periodicamente, isto é, é uma dízima períodica. Exemplos: 3 = 0, = 0, Os Reais R A construção dos números reais é extremamente técnica e foge do escopo de qualquer texto introdutório de Matemática. Apresentaremos R como sendo o conjunto dos números identicados com os pontos da reta numérica. A( 3 ) B( ) C( 7 3 ) Definição. Chama-se conjunto dos números reais R - aquele formado por todos os números com representação decimal, isto é, as decimais exatas ou periódicas (que são números racionais) e as decimais não exatas e não períodicas (chamadas números irracionais). Assim, todo racional é um número real Q R e, além dos racionais, estão em R números como: =, chamados números irracionais. π = 3, A relação de desigualdade x < y entre os números reais é fundamental. Por isso é conveniente destacar algumas de suas propriedades, a m de que saibamos o que estaremos fazendo quando operarmos com essa relação. Em primeiro lugar, vale a pena lembrar que todas as propriedades das desigualdades derivam de duas armações simples e óbvias, que enunciaremos a seguir. Tais armações se referem aos números reais positivos. Para signicar que o número real x é positivo, escreve-se x > 0. O conjunto dos números reais positivos será designado por R +. Assim R + = {x R; x > 0} As propriedades básicas dos números positivos, das quais resulta tudo que se pode provar sobre desigualdades, são as seguintes:

11 .5. OS REAIS R. P. Dado um número real x, há três possibilidades que se excluem mutuamente: ou x é positivo, ou x = 0 ou x é positivo.. P. A soma e o produto de números positivos são ainda números positivos. Com relação a propriedade P, nunca é demais lembrar que x signica "x com sinal trocado", ou seja, x é, por denição, o único número real tal que x + x = 0. Ainda com respeito a P, quando x é positivo, diz-se que x é um número negativo e escreve-se x < 0. A desigualdade entre números reais reduz-se ao conhecimento dos números positivos pois a rmação x < y signica que a diferença y x é um número positivo. As propriedades essenciais da relação x < y (que também se escreve y > x) são:. Tricotomia: dados x, y R vale uma, e somente uma, das alternativas seguintes: x < y, x = y ou y < x.. Transitividade: se x < y e y < z então x < z. 3. Monoticidade da adição: se x < y então, para todo z R tem-se x + z < y + z. 4. Monoticidade da multiplicação: se x < y e z é positivo então xz < yz. Propriedades fundamentais no estudo de desigualdades. Definição (Valor Absoluto ou Módulo). m é denido por: m = Dado m R, seu valor absoluto ou módulo e denotado por { m, se m 0 m, se m < 0 Outra maneira de se denir o valor absoluto consiste em pôr: x = max{x, x} i.e., o valor absoluto de x é o maior dos números x e x. Assim, por exemplo, x 3 = x 3 se x 3 e x 3 = 3 x quando x 3. Outra importante interpretação do valor absoluto é a seguinte: se x e y são respectivamente as coordenadas dos pontos X e Y sobre o eixo E então x y = distância do ponto X ao ponto Y x y Y X A interpretação do valor absoluto x y como a distância, no eixo real, entre os pontos de coordenadas x e y, permite que se possa enxergar intuitivamente o signicado e a resposta de algumas questões envolvendo módulos. Por exemplo, a igualdade x = 3 signica que o número x (ou o ponto que a ele corresponde no eixo) está a uma distância 3 do número. Logo, deve ser x = 5 (se x estiver à direita de ) ou x = (se estiver à esquerda). Se tivermos uma desigualdade, como x a < ε, com ε > 0, isto signica que a distância x ao ponto a é menor do que ε, logo x deve estar entre a ε e a + ε. Portanto o conjunto {x R; x a < ε} é o intervalo aberto {a ε, a + ε}. Este conceito será bastante útil quando formos estudarmos o quão próximo um número x estará próximo de um certo valor a no curso de Cálculo I - Limites. Quando se lida com valores absolutos, não basta saber que x é igual a x ou a x. É necessário especicar quando é que se tem cada um desses casos. Esta observação deve ser aplicada especialmente na resolução de desigualdades. Observações.

12 CAPÍTULO. CONJUNTOS NUMÉRICOS (a) Se m a, então m a ou m a (b) Se m a, então a m a Propriedade que será de fundamental importância no estudo de intervalos..6 Intervalos Dados dois números reais a e b, com a < b, denimos: Conjunto de Números Reais {x a < x < b} (a, b) {x a x < b} [a, b) {x a < x b} (a, b] {x a x b} [a, b] Notação do intervalo Região sobre a reta real a b {x x < b} (, b) b {x x b} (, b] b {x x > a} (a, ) a {x x a} [a, ) a R (, ) a a a b b b Os números reais a e b são denominados, respectivamente, extremo inferior e extremo superior do intervalo. Exemplos:. ], 5[= {x R < x < 5} é intervalo aberto.. [, 4] = {x R x 4} é intervalo fechado. 3. [ 5, 7[ = {x R 5 x < 7} é intervalo fechado à esquerda. 4. ] 3, ] = {x R 3 < x } é intervalo fechado à direita. Podemos usar também as propriedades de interseção e união denidas já no capítulo de conjuntos. Exemplo: Seja o conjunto A = [ 5, 3) e B = (, ). Represente os intervalos A B e A B na reta real. Solução..7 Os Complexos C O conjunto dos números complexos nasceu da necessidade de obter raízes de números negativos. Quando os gregos encontravam equações do tipo x + = 0 armavam que eram equações "impossíveis"de se resolver e deixavam o problema de lado, já que suas preocupações eram apenas calcular áreas e volumes na geometria, e para isso, os números positivos eram sucientes.

13 .7. OS COMPLEXOS C 3 Entretanto, com a evolução da humanidade, os matemáticos decidiram formalizar e aceitar esses números denindo o conceito de unidade imaginária dado por, i =. Após esse feito, compreenderam que o conjunto dos números reais era um subconjunto de um novo conjunto mais "completo"chamado Números Complexos. Estudaremos melhor os números complexos quando formos estudar polinômios em capítulos posteriores.

14 4 CAPÍTULO. CONJUNTOS NUMÉRICOS.8 Exercícios Propostos. Mostre que A (B C) = (A B) (A C) usando as denições de interseção e união.. Encontre o conjunto solução S para a equação abaixo: x x = 0 3. Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das armações: (I) (A B C ) C C = A (B C) (II) (A B C ) C = A (B C C ) C (III) B C C C = (B C) C Diga quais são verdadeiras ou falsas. Justique. 4. Resolva a equação 5 5 x = x, sabendo-se que x > Usando o fato de a 3 + b 3 + c 3 = 3abc se e só se a + b + c = 0. Mostre que é um número racional. 6. Encontre o conjunto solução S para a seguinte inequação: 5 x Uma grande ferramenta utilizada em demonstrações matemáticas é a desigualdade triangular: Demonstre esse fato. a + b a + b 8. Para provarmos que uma relação é válida para todo n N empregamos o princípio da indução finita (PIF) cujo enuciado segue: (a) Uma proposição P(n), aplicável aos números naturais n, é verdadeira para todo n N, n n 0, quando: (I) P(n 0 ) é verdadeira, isto é, a propriedade é válida para n = n 0, e; (II) Se k N, k n 0 e P(k) é verdadeira, então P(k + ) também é verdadeira. Use esse princípio para demonstrar as relações abaixo: a) b) c) n = n(n+) n = n(n+)(n+) n 3 = [ n(n+) ] 9. Mostre que o número é irracional. 0. Simplique as seguintes expressões: a) x x b) x 3 8 x c) x 4 x x. Ache o valor da expressão: ( )( + )( + )( + )( + )

15 CAPÍTULO 3. RELAÇÕES 3 Relações 3. Produto Cartesiano e Par Ordenado Para visualizar a emoção que é a Matemática, precisamos unir a Álgebra e a Geometria. Simplesmente, temos de encontrar uma maneira de representar as coisas algébricas usando a geometria. Uma das maiores conquista matemática de todos os tempos foi o chamado: Sistema de Coordenadas Cartesiano que é representado da seguinte forma: y 3 A(, ) x 3 Figura 3.: Plano Cartesiano O ponto A(, ) é chamado de par ordenado, o eixo x é chamado de eixo das abscissas enquanto que o eixo y é chamado de eixo das ordenadas. Um par ordenado consiste de dois objetos: o primeiro objeto do par e o segundo objeto do par. Se a, b são os dois objetos de um par ordenado, sendo a o primeiro objeto e b o segundo, denotamos o par ordenado (a, b). É claro que dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se e só se a = c e b = d. Observação. Note a diferença entre as noções de igualdade de pares ordenados e igualdade de conjuntos: os conjuntos {, } e {, } são iguais mas, por outro lado, os pares ordenados (, ) e (, ) são diferentes. Definição.(Produto cartesiano).dados os conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B, denotado A B (lê-se: A cartesiano B), é o conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b), onde a A e b B, isto é: A B = {(a, b) a A, b B} 5

16 6 CAPÍTULO 3. RELAÇÕES Observações. Em geral, A B B A. Se A e B são conjuntos nitos então A B é nito, e n(a B) = n(a).n(b). 3. (Representação gráfica do produto cartesiano). Podemos representar um produto cartesiano gracamente. Por exemplo, representemos gracamente o conjunto A B, onde A = {,, 3} e B = {, }: y x Figura 3.: representação gráca de A B Proposição (Propriedades do produto cartesiano). Para todos os conjuntos A, B, C, tem-se: (a) A = A =. (b) A (B C) = (A B) (A C). (c) A (B C) = (A B) (A C). Exemplos: (a) Se A = {x R x < 3 e B = {} então temos A B = {(x, ) x A}. A representação gráca de A B dá como resultado o conjunto de pontos do segmento paralelo ao eixo dos x da gura abaixo: y x (b) Se A = {x R x 3} e B = {x R x 5} temos A B = {(x, y) R x 3 e y 5} representado gracamente no plano cartesiano pelo conjunto de pontos de um retângulo. notemos que B A = {(x, y) R x 5 e y 3} é representado por um retângulo distinto do anterior.

17 3.. RELAÇÃO 7 y 6 5 y x x 3. Relação Definição. Dados os conjuntos A e B, uma relação R de A em B, denotada por R : A B (lê-se: R de A em B), é qualquer subconjunto do produto cartesiano A B. Exemplo. Dados os conjuntos A = {, 3, 5, 7} e B = {3, 9, 5, 0}, a relação R : A B, tal que R = {(a, b) b = 3a} é dado explicitamente pelos pares ordenados R = {(, 3); (3, 9); (5, 5)}. Uma outra maneira de se representar uma relação é através do diagrama de Venn, mostrado abaixo: Figura 3.3: Representação de uma relação por diagrama de Venn. Definição.(Domínio e imagem de uma Relação).. O domínio de uma relação R, denotado por D(R), é o conjunto formado pelos primeiros elementos de cada par ordenado da relação. No exemplo acima, o domínio é o conjunto D(R) = {, 3, 5}.. A imagem de uma relação R, denotada por Im(R), é o conjunto formado pelos segundos elementos de cada par ordenado da relação. No exemplo acima, a imagem é o conjunto Im(R) = {3, 9, 5}.

18 8 CAPÍTULO 3. RELAÇÕES 3.3 Exercícios Propostos. Dados os conjuntos A = {3, 5, 7} e B = {3, 9, 5, 35} a) determine A B b) determine B A c) determine A = A A. Dados os conjuntos A = {,, 0, } e B = {0,,, 3}. a) determine a relação R = {(a, b) A B b = a } b) determine a relação R = {(a, b) A b = a } c) determine a relação R 3 = {(a, b) B A b = a } 3. Dados os conjuntos A = {3, 5, 7} e B = {3, 9, 5, 35} a) determine a relação R : A B, tal que R = {(a, b) a e b são primos} b) determine a relação R : A B, tal que R = {(a, b) b = a + } 4. Dados os conjuntos A = {3, 8, 5, 4} e B = {, 3, 4, 5} a) determine a relação R = A B, tal que R : {(a, b) b = a + } b) determine a relação R : B A, tal que R = {(b, a) a = b } 5. Para as representações grácas abaixo, encontre o domínio e a imagem das relações. a) y 3 b) y (, ).5 (, 0) (3, 0) x (, 7 8 ) 0.5 (, 9 8 ) 3 (, ) x

19 3.3. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 9 (0, ) y 4 y (, e) (, ) ( 3, 3 ) (, 0) (, ) x (, e + ) 4 4 (, ) x c) (0, ) d) 4

20 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES 4 Funções 4. Introdução Denição (Função). Dados conjuntos A e B, uma função f : A B é uma regra que associa a cada x A um único y B. O elemento y B associado a x A é denotado por y = f(x). Podemos visualizar uma função por diagramas como o da gura abaixo, onde cada seta indica que o elemento y B está associado a cada x A: x a y z c d b Figura 4.: exemplo de função. Veja que a denição de função permite que quem elementos de B sem receber setas, ou ainda que existam elementos de B recebendo mais de uma seta. Note, contudo, as situações das guras abaixo são vetadas pela denição de função. A primeira situação é proibida por que não nenhuma seta partindo do elemento x A. A segunda situação é proibida porque do elemento x A parte mais de uma seta. x a y z c d b Figura 4.: não é função. 0

21 4.. INTRODUÇÃO x a y z c d b Figura 4.3: não é função. Na maior parte das vezes em que trabalhamos com funções, indicaremos quem é f(x) explicitando uma regra que a função deva satisfazer. Por exemplo, podemos dizer: considere a função f : R R dada por f(x) = x. Isto quer dizer que a função associa a cada x R seu quadrado. Veja que as condições para denição de função estão satisfeitas, porque cada real está associado a um outro, e a um só outro. Exemplo (Função identidade). Dado um conjunto qualquer A, a função identidade de A, denotada por Id A : A A, é a função dada por Id A (x) = x para todo x A. Exemplo (Sequências). Uma sequência (a n ) n de números reais é, rigorosamente falando, uma função f : N R. A notação usual para sequências é obtida denotando f(n) por a n, ou seja, a sequência é: a = f(), a = f(), a 3 = f(3),.. :.. Definição (Domínio de uma função). Dada uma função f : A B, denominamos o conjunto A de domínio da função f. Denotamos A = Dom(f), ou ainda A = D(f). Definição (Contra-domínio e imagem de uma função). Dada a função f : A B, denominamos o conjunto B de contra-domínio de f. A imagem de f, denotada por Im(f) é o subconjunto de B formado pelos y B que estão associados a algum x A. Em símbolos, Im(f) = {y B; y = f(x), x A} Quando y = f(x), dizemos ainda que y é a imagem de x (por f). subconjunto X A pela função f por: f(x) = {f(x); x X} É costume denotarmos a imagem de um Em palavras, o domínio é o conjunto de valores que a variável x pode assumir. É importante notarmos que, na maior parte das vezes, o domínio de uma função f : A B, com A, B R, é denido pela exigência de que as operações matemáticas que denem a função tenham sentido. Por exemplo, quando escrevemos f(x) = x está implícito que o domínio da função não pode contar 0, haja vista não podermos dividir por 0. Definição (Gráfico de uma função). Dada uma função f : A B, com A, B R reuniões de intervalos, o gráco de f é o conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano tais que x A, y B e y = f(x): Graf(f) = {(x, y) x A, y B e y = f(x)} Exemplo. (Função constante). Uma função constante é uma função f : R R dada por f(x) = c, para algum c R. Por denição, o gráco da função constante é o conjunto Graf(f) = {(x, y) x, y R e y = c} Então o gráco da função constante f(x) = c é a reta paralela ao eixo x e passando pelo ponto (0, c) do eixo y:

22 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES y (0, c) (a, f(a)) O a x Figura 4.4: gráco da função constante f(x) = c Exemplo (Função identidade de R). A função Id : R R é a função dada por Id R(x)=x para todo x R. Seu gráco é: Graf(Id R ) = {(x, y) x, y R e y = x} Os pontos da forma (x, x) e (x, x) são os pontos do plano cartesiano que estão a igual distância dos eixos horizontal e vertical. Portanto, o gráco da função Id R é a bissetriz do ângulo formado pelos eixos mostrada a seguir. Observe que a outra bissetriz é o gráco da função f : R R dada por f(x) = x. y (0, a) (a, f(a)) O a x Figura 4.5: gráco da função identidade Id R(x) = x Exemplo (Função afim). Uma função am é uma função f : R R dada por f(x) = ax + b, para algum par de números reais a, b, com a 0. Quando b = 0 a função am f recebe o nome particular de função linear. É fácil vericar que o gráco de uma função am é uma reta do plano cartesiano. Sendo então uma reta, para traçarmos tal gráco basta descobrirmos dois pontos sobre o mesmo. Para tanto, observe que ( f b ) = 0 e f(0) = b a de modo que, quando b 0, o gráco de f é a reta que passa pelos pontos A = ( b a, 0) e B = (0, b). Quando b = 0 a reta que representa o gráco linear f(x) = ax passa pela origem (0, 0) e pelo ponto (, a) (pois f() = a). A gura a seguir esboça o gráco de f(x) = ax + b para a, b > 0.

23 4.. INTRODUÇÃO 3 y B(0, b) A( b/a, 0) θ O x Figura 4.6: gráco da função am f(x) = ax + b Observações.. Os coecientes a e b da função am f(x) = ax + b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e coeficiente linear. Da Geometria Analítica, podemos calcular a "declividade"ou "coeciente angular"(denotado muitas vezes pela letra m) que uma função tem, para isto, é necessário que tenhamos os valores conhecidos de dois pontos distintos. A equação que nos dá essa declividade é dada por: tan(θ) = m = y x Considerando os pontos A( b/a, 0) e B(0, b) da gura acima, temos que: Como queríamos mostrar. tan(θ) = m = (b 0) (0 ( b/a)) = b b/a = a Exemplo (Função modular). A função modular é a função f : R R dada por f(x) = x. Pela denição de módulo de um número real, segue que: Graf(f) = {(x, x); x R, x 0} {(x, x); x R, x 0} Note que o domínio de uma função f : A B, com A, B R intervalos é simplesmente o conjunto dos pontos do eixo x que pertencem a A e tais que as perpendiculares traçadas por eles ao eixo x intersectam o gráco de f. A imagem de f, por sua vez, é o conjunto dos pontos do eixo y que pertencem a B e tais que as perpendiculares traçadas por eles ao eixo y intersectam o gráco de f.

24 4 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES y x Figura 4.7: gráco da função modular f(x) = x Vamos analisar agora como funções crescem ou decrescem. 4. Crescimento e decrescimento de funções Para facilitar a análise e construção de grácos de outros tipos de funções, considere a seguinte denição: Definição (Funções Monótonas). Seja I R um intervalo. Uma função f : I R é dita:. Crescente se x > x f(x ) > f(x ).. Decrescente se x > x f(x ) < f(x ). 3. Não-decrescente se x > x f(x ) f(x ) 4. Não-crescente se x > x f(x ) f(x ). Uma função de um dos tipos acima é em geral denominada uma função monótona. Vamos estudar agora um pouco o problema de determinar os valores máximo e/ou mínimo que uma função assume, bem como seus intervalos de monotonicidade. Mais precisamente, dada uma função f : I R, I R um intervalo, queremos investigar os dois seguintes problemas: Qual o maior (menor) valor que f assume? Em que intervalos f é crescente (decrescente)? Comecemos respondendo essas perguntas para as funções ans: Proposição (Função afim). Sejam a, b reais dados, sendo a 0. A função am f(x) = ax + b é crescente se a > 0 e decrescente se a < 0. Prova. Façamos a prova para o caso a > 0 (o caso a < 0 é análogo). Sejam x, y reais quaisquer, com x < y. Desde que a > 0, temos e f é crescente. f(x ) f(x ) = (ax + b) (ax + b) = a(x x ) > 0 A ideia usada na prova da proposição acima funciona muitas vezes para determinar se uma dada função é crescente ou decrescente. Vejamos os exemplos abaixo: Exemplo Mostre que f(x) = x 3 + x é crescente.

25 4.. CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES 5 Prova. Sejam x < x reais quaisquer. Devemos mostrar que f(x ) < f(x ), ou ainda que f(x ) f(x ) > 0. f(x ) f(x ) = x 3 x 3 + x x = (x x )(x + x x + x ) + (x x ) = (x x )(x + x x + x + ) Como x x > 0, basta mostrarmos que x + x x + x + > 0. Mas para tanto basta completar quadrados: x + x x + x + = (x + x x + x ) + 3x = ( x + x ) 3x + + > 0. 4 Mostrando que a função é crescente, já que todos os termos são positivos. Exemplo (Função quadrática). Sejam a, b, c R, sendo a 0. A função f : R R dada por: é denominada função quadrática (ou de segundo grau). f(x) = ax + bx + c Segue da forma canônica do trinômio de segundo grau que [ ( f(x) = a x + b ) ] a 4a A última expressão acima é denominada forma canônica da função de segundo grau. Dada uma função de segundo grau, chamaremos o discriminante do trinômio ax + bx + c de discriminante de f; às raízes de ax + bx + c = 0 (caso existam) chamamos raízes de f. Digressão a Geometria Analítica - Cônicas Definição (Excentricidade). Consideremos uma reta (r) e uma curva (λ) λ F(x F, y F ) P(x P, y P ) r O ponto F é chamado de foco da cônica e a reta (r) de diretriz. A razão entre a distância FP e a distância entre o ponto P e a reta (r) é denida como a excentricidade (e) de uma curva cônica: e = FP d(p, r)

26 6 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES Sabemos que a distância entre dois pontos distintos do plano cartesiano é dado por: d(a, B) = (x B x A ) + (y B y A ) E que a distância entre um ponto e uma reta é dada por: d(p, r) = ax p + by p + c a + b onde a, b, c são os coecientes da reta r : ax + by + c = 0. Observações. (a) Se e =, então a cônica é uma parábola. (b) Se 0 < e <, então a cônica é uma elipse. (c) Se e >, então a cônica é uma hipérbole. Exemplo. Mostre que a seguinte equação y = 4ρ (x h) + k descreve uma parábola cujo eixo focal (reta que passa pelo foco e é perpendicular a reta diretriz) é paralelo ao eixo das ordenadas e cujos foco e diretriz são, respectivamente, o ponto F(h; k + ρ) e a reta r : y r = k ρ, para ρ > 0. Solução. y y (k ρ) P(x, y) k ρ e.f λ F(h, k + ρ) V r x Pela denição de excentricidade e =, assim: FP = d(p, r) Usando a equação que nos dá a distância entre dois pontos, temos: FP = (x h) + (y (k + ρ)) A distância do ponto P à reta diretriz (r) é dada por: d(p, r) = y (k ρ) 0 + Portanto, fazendo a igualdade, temos: (x h) + (y (k + ρ)) = y (k ρ) Elevando ao quadrado: (x h) + (y (k + ρ) ) = ( y (k ρ) ) (x h) = (y (k ρ)) (y (k + ρ))

27 4.. CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES 7 Pela diferença de quadrados: E com isso mostramos que: (x h) = [(y (k ρ)) (y (k + ρ))] [y (k ρ) + (y (k + ρ))] (x h) = [(y k + ρ) (y k ρ)] [y k + ρ + (y k ρ)] (x h) = [y k + ρ y + k + ρ] [y k + ρ + y k ρ] (x h) = [ρ][y k] (x h) = 4ρ(y k) y = 4ρ (x h) + k A letra ρ geralmente é chamada de parâmetro da cônica. O ponto V é chamado de vértice da parábola. Vamos voltar para crescimento e decrescimento das funções. Proposição. (Crescimento e decrescimento de funções quadráticas). Sejam a, b, c R, com a 0, e f(x) = ax + bx + c. Então: (a) Se a > 0 então f não assume valor máximo; f assume seu valor mínimo 4a para x = b a ; f é decrescente em ( ] [, b a e crescente em b a, + ). (b) Se a < 0 então f não assume valor mínimo; f assume seu valor máximo 4a para x = b a ; f é crescente em ( ) [, b a e decrescente em b a, + ). (c) Se < 0 então af(x) > 0 para todo x R. (d) Se 0 então: ( (i) af(x) < 0 para x [ (ii) af(x) > 0 para x / b a b a ), b+ a ], b+ a Prova. (a) Sejam x > x b a. A forma canônica da função quadrática nos dá [ ( f(x ) f(x ) = a x + b ) ] (x + b = a(x x ) a [( x + b a ) + a ) ( x + b a )] > 0, (4.) uma vez que x > x b a implica que x x > 0 e x + b a, x + b a 0. Como a > 0 e ( x + a) b 0 para todo x, temos: ( f(x) = a x + b ) a 4a 4a Daí, temos f(x) = ( 4a a x + b a ( x + b a ) 4a = 4a ) = 0 x = b a. (4.) (b) A prova desse item é análoga à prova do item (a), sendo deixada como exercício. (c) Se < 0 então ( ) x + b [ a (x ) > 0 para todo x,e daí f(x) = a 4a + b ] a tem o mesmo sinal de a. 4a (d) Tratemos novamente o caso a > 0, sendo o outro caso análogo. Seja 0 e x 0 situado entre as raízes, isto é, b a < x 0 < b +. a

28 8 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES Então x < x 0 + b a < a ou ainda x0 + b a < a. Elevando ambos os membros ao quadrado chegamos a ( x 0 + b a forma canônica nos dá [ ( f(x 0 ) = a x 0 + b ) ] a 4a < 0. A análise para x 0 fora do intervalo das raízes é análoga. ) < 4a e daí a Se compararmos a forma canônica da função do segundo grau com a equação do exemplo mostrado na digressão sobre cônicas, percebemos que o gráco de uma função do segundo grau é sempre uma parábola. Assim, quando a > 0, b < 0, c < 0 e > 0, o gráco da função quadrática f(x) = ax + bx + c tem aproximadamente o formato da gura abaixo. Para justicar a gura 4.8, considere as seguintes observações: y d f(x) x (0, c) V Figura 4.8: gráco de f(x) = ax + bx + c para a > 0, b, c < 0, > 0. Quando a > 0, o item (a) da proposição acima diz que o ponto ( V = b a, ) 4a é o ponto de mínimo do gráco de f. Já quando a < 0, o item (b) diz que esse ponto é o ponto de máximo do gráco de f. Em ambos os casos tal ponto V será denominado o vértice do gráco. Escrevemos V = (x V, y V ), onde x V = b a, y V = 4a Observe que, de acordo com essa notação, a forma canônica de f se escreve f(x) = a[(x x V ) + y V ] Seja agora d a reta perpendicular ao eixo x e passando pelo vértice V do gráco. Tal reta d intersecta o eixo x no ponto (x V, 0). Sendo x, x reais tais que o ponto (x, 0) e (x, 0) sejam simétricos em relação à reta d, temos então x V x = x x V. Portanto, a forma canônica f nos dá f(x ) = a[(x x V ) + y V ] = a[(x V x ) + y V ] = f(x ) Assim, concluímos que o gráco de f é simétrico em relação à reta d. Se > 0 então a equação ax + bx + c = 0 tem raízes x = b a e x = b+ a. Assim, o gráco passa pelos pontos (x, 0), (x, 0). No caso da gura acima, desde que x + x = b a > 0 e x x = c a < 0, temos x < 0 < x.

29 4.. CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES 9 Desde que f(0) = c, o gráco passa pelo ponto (0, c). No caso da gura acima, tal ponto está situado acima do eixo x. O esboço do gráco de f(x) = ax + bx + c nos demais casos pode ser feito de modo análogo. Uma outra observação que podemos ter da função do segundo grau f(x) = ax + bx + c é que ela pode ser fatorada da seguinte forma: f(x) = ax + bx + c = a(x x )(x x ) onde x e x são as raízes da função quadrática. Corolário. Seja x 0 R. Em relação à função de segundo grau f(x) = ax + bx + c, se af(x 0 ) < 0 então > 0 e x 0 pertence ao intervalo formado pelas raízes de f. Prova. Analisemos o caso a > 0 (o outro caso é análogo): seja x 0 um real tal que f(x 0 ) < 0. Pela proposição anterior, não pode ser < 0. Assim, 0. Se = 0 segue da forma canônica que ( f(x) = a x + b ) 0 a uma contradição. Portanto, > 0. Segue agora novamente da proposição anterior que x 0 pertence ao intervalo das raízes de f. Podemos ainda abordar problemas de máximo e mínimo usando um pouco de desigualdades, como nos exemplos a seguir. Exemplo. Seja f : R + R dada por f(x) = x + x+. Qual o valor mínimo que f assume? Solução f(x) = x + x + = x + x + (4.3) = x + = (x + ) +. (4.4) x + x + Pela desigualdade entre as médias (M.A M.G), vem que (x + ) + x + (x + ) (x + ) =. Com a igualdade ocorrendo se e só se x + = /(x + ), ou seja, se e só se x = (uma vez que x > 0). Portanto, o valor mínimo de f é, obtido só quando x =. É fácil ver que f não assume valor máximo, quer dizer, podemos escolher valores para x que tornem f tão grande quanto queiramos. No curso de Cálculo Diferencial e Integral I, você verá com o seu professor outras formas mais aperfeiçoadas de calcular o mínimo dessa função.

30 30 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES 4.3 Exercícios Propostos. (Função Parte Inteira). A parte inteira de um real x é, por denição, o número x denido como o maior inteiro que não ultrapassa x. Assim, por exemplo, π = 3,, 3 = 3, etc. Trace o gráco da função f : R R dada por f(x) = x.. Determine a imagem da função f : R R dada por f(x) = x Determine a imagem da função f : R R dada por f(x) = x + x. 4. Determine o domínio da função f denida por quando x varia no conjunto dos reais. f(x) = x x 5. Seja f(x) = ax + kx, onde a R e k R. Determine o intervalo em que f é decrescente. 6. Sobre a função f : R + R dada por f(x) = x + x, determine: (a) O valor mínimo que f assume. (b) A imagem de f. 7. Seja f : R R a função quadrática dada por f(x) = ax + bx + c, onde a 0. Sabendo que x = e x = 5 são as raízes de f, e que f() = 8, pede-se: (a) Determinar a, b, c. (b) Calcular f(0). (c) Vericar se f assume máximo ou mínimo, justicando sua resposta. (d) As coordenadas do ponto extremo. 8. Determine a soma dos valores máximo e mínimo absolutos da função real 0, se x > 6 ou x < x 3 +, se x 6 f(x) =, se < x < x, se x 9. Considere as funções f, f, f : R R, sendo f (x) = x + 3, f (x) = 3 x + e f(x) igual ao maior valor entre f (x) e f (x), para cada x R. Determine: (a) Todos os x R tais que f (x) = f (x). (b) O menor valor assumido pela função f. (c) Todas as soluções da equação f(x) = Seja f a função denida por x, se x < 3 f(x) = 5, se x = 3 x +, se 3 < x Determine o domínio e a imagem de f e faça um esboço de seu gráco.. As funções f(x) e g(x), abaixo, possuem os mesmos domínios? Justique sua resposta. f(x) = x x + e g(x) = x. Os termos a, a,..., a n de uma P.A são os valores f(), f(),..., f(n) de uma função am. (a) Mostre que cada a i é igual a área de um trapézio delimitado pelo gráco de f, pelo eixo OX e pelas retas verticais de equações x = i e x = i +

31 4.3. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 3 y O i n x (b) Mostre que a soma S = a + a a n é igual à área do trapézio delimitado pelo gráco de f, pelo eixo OX e pelas retas verticais x = e x = n +. (c) Conclua que S = a +a n n. 3. Seja m uma função real de variável real denida como: m(x) = 7 x. Diz-se que uma função u, real de variável real, é contínua no ponto a de seu conjunto de denição se, para todo número natural real ɛ > 0, existe um número real δ > 0 tal que, se y é ponto do conjunto de denição de u e se y a < δ, então u(y) u(a) < ɛ. Quer-se testar a continuidade de m no ponto x =. Escolhe-se um ɛ = 0, 0. Determine um δ conveniente, para este valor de ɛ. Justique sua resposta. Obs: h é o valor absoluto de h.

32 3 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES 4.4 Composição de funções Dadas duas funções f : A B e g : B C temos, em última análise, regras bem denidas para, partindo de x A via f, obter y = f(x) B e, via g, obter z = g(y) C. Parece então razoável que possamos formar uma função que nos permita sair de A diretamente para C. Este é de fato o caso, e a função resultante é denominada a função composta de f e g. Definição. (Função composta). Dadas duas funções f : A B e g : B C, a função composta de f e g é a função g g : AC denida, para cada x A, por (g f)(x) = g(f(x)) Grosso modo a denição acima signica que, para determinarmos a imagem de x A por g f basta determinarmos a imagem de f(x) B por g. É fácil vericar que g f, como denida acima, é de fato uma função. Observe também que, para formarmos a composta de f e g devemos ter o domínio de g igual ao contra-domínio de f. Exemplo. Seja f : A B uma função qualquer e Id A : A A, Id B : B B as funções identidade de A e B, respectivamente. Então f Id A = f e Id B f = f Prova. Provemos que f Id A = f. O outro caso é análogo. Basta notar que f Id A é uma função de A em B e que, para todo x A, (f Id A )(x) = f(id A (x)) = f(x) Exemplo. Considere as funções f, g : R R dadas por f(x) = x e g(x) = /(x + ). Temos g f e f g funções de R em R, com (g f)(x) = g(f(x)) = (f(x)) + = (x ) + = x 4 + e ( ) (f g)(x) = f(g(x)) = (g(x)) = x = + x 4 + x + Esse exemplo mostra algo interessante. Podemos ter g f f g. Bem entendido, pode ser que possamos formar g f mas não possamos formar f g. Basta termos f : A B e g : B C, com C A. Contudo, mesmo que possamos formar ambas as funções, o exemplo mostra que ainda podemos ter g f f g. Apesar de não ser comutativa, a operação de composição de funções é associativa. Proposição. (Associatividade da composição). Sejam f : A B, g : B C e h : C D funções dadas. Então f (g h) = (f g) h Prova. Veja primeiro que ambas as funções acima são funções de A em D. Portanto, para serem iguais, devem associar a cada x A um mesmo elemento de D. Para ver isto, observemos que (f (g h))(x) = f((g g))(x) = f((g(h(x))) = (f g)(h(x)) = ((f g) h)(x). A proposição acima é muito importante, na medida em que nos assegura que, se tivermos funções f, g e h e pudermos compô-las, podemos denotar a função composta f g h simplesmente, não nos preocupando com qual composição efetuar primeiro. É também claro que vale uma observação análoga para mais de três funções. Exemplo. Sejam f, g : R + R + funções tais que Determine a expressão em função de g. Solução. Omitindo x quando conveniente, temos f(x) = x + 3x e (f g)(x) = x + 3 x + 3 = f g = f(g) = g + 3g

33 4.4. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES 33 donde (g + )/(3g ) = (x + )/3, ou ainda 3g + 3 = 3(x + )g. Olhando essa expressão como uma equação do primeiro grau em g, obtemos g = x+ para cada x R +. Como g deve ter imagem não-negativa, deve ser g(x) = x+ para todo x R +. e daí g(x) = ± x+ Dada uma função f : A B, nem sempre a imagem de f é igual ao contra-domínio B. No caso da função de segundo grau f(x) = x, por exemplo, a imagem de f é somente o conjunto dos y R tais que y 0. Este exemplo também mostra que podemos ter dois elementos distintos do domínio com a mesma imagem. De fato, para todo x R tem-se f(x) = x = ( x) = f( x). Para tratar tais casos, temos as seguintes denições: Definição. (Funções injetora, sobrejetora e bijetora). Uma função f : A B é dita (a) Injetora quando para todo y B existir no máximo um x A tal que f(x) = y. (b) Sobrejetora quando sua imagem for todo o conjunto B, isto é, quando para todo y B existir x A com y = f(x). (c) Bijetora quando for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Um outro modo de vericar que se uma função f é injetora é vericar se a condição f(x ) = f(x ) x = x é sempre satisfeita. Por outro lado, para garantirmos que uma função f : A B é sobrejetora devemos ser capazes de exibir, para cada y B, um x A tal que y = f(x). O caso de uma função bijetora (também denominada bijeção) f : A B é o melhor possível. Nela os elementos de A e B estão em correspondência biunívoca, ou seja, a cada elemento de B corresponde um e um só elemento de A. Exemplo. Seja f : R R uma função tal que f(f(x)) = x para todo x R. Prove que f é injetiva. Prova. Sejam x, x R tais que f(x ) = f(x ). Então f(f(x )) = f(f(x )), donde x = x. Mas isso é o mesmo que dizer que f é injetiva. Quando uma funçãof : A B for bijetora, podemos obter uma outra função g : B A simplesmente exigindo que f(x) = y g(y) = x É claro que o fato de ser f bijetiva garante que g é uma função denida sem ambiguidade. Ao contrário, se f não fosse sobrejetora, existiria um elemento y de B que não seria imagem de por f de nenhum elemento de A. Então não teríamos como denir g(y) a partir de f. Por outro lado, se f não fosse injetiva, existiriam dois elementos x e x com uma mesma imagem y. Quando tentássemos denir g por meio de f, como decidiríamos quem seria g(y) : x ou x?. Não é difícil ver que g, denida como acima, é de fato uma função e que (g f)(x) = x para todo x A e (f g)(y) = y para todo y B. Ademais, g é a única função que satisfaz essas igualdades, como é imediato vericar. Tal função g é denominada inversa de f. As observações acima mostram que só tem sentido pensarmos em uma inversa para f se f for uma bijeção. Definição (Função inversa). Seja f : A B uma bijeção dada. A função g : B A dada por g(y) = x y = f(x) é denominada a função inversa de f. Notação. Denotaremos sistematicamente a inversa de uma bijeção f por f. Surge agora naturalmente a questão de como calcular inversas de bijeções. complicado que o de compostas. Vejamos alguns exemplos. Esse cálculo é em geral mais