ROGÉRIO BRAGATO CUENCA CONTROLE ROBUSTO APLICADO A TROCADORES DE CALOR

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1 ROGÉRIO BRAGATO CUENCA CONTROLE ROBUSTO APLICADO A TROCADORES DE CALOR SÃO CAETANO DO SUL 2009

2 ROGÉRIO BRAGATO CUENCA CONTROLE ROBUSTO APLICADO A TROCADORES DE CALOR Dissertação apresentada à Escola de Engenharia Mauá do Centro Universitário do Instituto Mauá de Tecnologia para obtenção do título de Mestre em Engenharia de Processos Químicos e Bioquímicos. Linha de Pesquisa: Projeto, Análise e Controle de Processos Industriais Orientador: Prof. Dr. Fabrizio Leonardi SÃO CAETANO DO SUL 2009

3 AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus, por permitir que agregasse mais conhecimento e vivência com este trabalho, sempre me guiando, com discernimento e retidão. Aos meus pais, Elisabete e William, por serem interminável fonte de força e determinação, contribuindo, de forma inenarrável, dando-me coragem e ânimo para a conclusão deste trabalho. À minha imensamente querida irmã e eterno amor, Regina, que, independente de suas preocupações, ocupações ou da distância, sempre teve uma palavra de carinho e empenho nas horas difíceis. À minha namorada, Jacqueline, que me acompanhou, fielmente, desde o momento da inscrição para a entrevista do programa de Mestrado até o último instante da entrega desta dissertação, inexplicavelmente, com toda a paciência e perseverança que tem. Aos meus amigos e demais familiares, que muito ajudaram nas horas difíceis, da maneira que foi preciso. Ao meu orientador e amigo, Fabrizio Leonardi, por toda a sua dedicação e paciência em caminhar, junto comigo, rumo à linha de chegada desta etapa tão importante na vida de um professor. Por último, mas também de muita importância, meus agradecimentos à Escola de Engenharia Mauá, que, mais uma vez, me proporciona uma conquista e ao Centro Universitário da FEI, por ceder espaço para reuniões e colocar à disposição o seu laboratório, equipamentos e professores, para o desenvolvimento deste trabalho.

4 A Deus, meus pais, eterna fonte de coragem e perseverança, e minha irmã, sempre presente em todos os momentos de minha vida. Aos amigos e à minha namorada, que compreenderam as horas de dedicação, e ao meu mestre, Fabrizio, que dedicou horas de lazer para colaborar com esta importante etapa de aprendizagem.

5 I am convinced that He (God) does not play dice. God is subtle, but he is not malicious. God does not care about our mathematical difficulties. He integrates empirically. Albert Einstein

6 RESUMO Este trabalho trata do problema de projeto do sistema de controle de um trocador de calor do tipo casco e tubo com bypass, no qual a lei de controle é implementada por meio de um controlador industrial do tipo PID e seu projeto leva em consideração que alguns parâmetros do modelo da planta são incertos. Estas incertezas podem ser, por exemplo, devido à inevitável alteração do coeficiente global de troca térmica causada pela modificação do ponto de operação e a incerteza da dinâmica do atuador, o que é comum nos casos para os quais a modelagem não foi feita experimentalmente, mas apenas fenomenologicamente. Um grande desafio, no ambiente industrial, é obter o modelo matemático da planta, uma vez que estes modelos são tipicamente complexos e levam a projetos trabalhosos de controladores. As características do controlador escolhido, o Regulador Linear Quadrático (RLQ), são favoráveis a este cenário, uma vez que se os erros de modelagem podem ser incluídos na fase de projeto, preservando a estabilidade do controlador, mesmo em face de incertezas, permitindo que sejam utilizados modelos extremamente simples para o projeto do controle e com resultados satisfatórios. A lei de controle tipo realimentação de estados do controlador projetado é mapeada numa estrutura tipo PID, muito comum nos ambientes atuais de aplicação dos trocadores de calor. Como este mapeamento é apenas uma aproximação, é necessário reavaliar a condição de estabilidade robusta. Para ilustrar o desempenho temporal, a simulação do sistema de controle foi realizada num ambiente remoto, por meio do Real-Time Windows Target do MatLab. O controlador foi implementado num computador e a planta num outro, utilizando uma rede do tipo IP para a comunicação entre eles, com troca de dados sobre o protocolo de transporte UDP. Palavras-chave: 1. Controle robusto 2. Trocador de calor 3. Identidade de Kalman 4. Controlador PID 5. Protocolo UDP

7 ABSTRACT This works deals with the heat exchange control system project problems (shell and bypass tubes types), where the control lawn is implements by a industrial controller type PID, and it s project takes into consideration that some of the plant model parameters are uncertain. These uncertainties could be, e.g. due the unavoidable alteration of the global heat exchange coefficient caused by a modification in the operation point and the actuator dynamic uncertainty, which is very common in cases where the modeling was not made experimentationally only phenomenologically. The great challenge, in the industrial environment, is to obtain the mathematical model of the plant, given that these models are typically complex and take to massive control projects. The properties of the chosen controller, Linear Quadratic Regulator (RQL), are favorable to this scenery, given that if the modeling errors can be included in the project phase, preserving the stability of the controller, even with uncertainties, allowing the use of extremely simple models to the control project with satisfactory results. The projected controller s feedback state type control lawn is mapped into a PID type structure, very common on the recent heat exchange application environment. Since this mapping is just an approximation, becomes necessary to re-evaluate the bulk stability condition. Illustrating the temporal performance, the control system simulation was done in a remote environment, using MatLab s Real-Time Windows Target. The controller was implemented in a computer and the plant in other, utilizing an IP network for communication between them, with an UDP transport protocol data exchange. Keywords: 1. Bulk controller 2. Heat Exchanger 3. Kalman s Identity 4. PID controller 5. UDP Protocol.

8 LISTA DE SÍMBOLOS E SIGLAS U Coeficiente global de troca térmica EAR Equação Algébrica de Riccati Existe k d k i k P IK IP Ganho derivativo Ganho integral Ganho proporcional Identidade de Kalman Internet Protocol pinv Inversa generalizada ρ Matriz de penalidade MIMO Múltiplas entradas e múltiplas saídas PID Proporcional-Integrador-Derivativo RLG Regulador Linear Gaussiano RLQ Regulador Linear Quadrático SP Set Point E(s) Sinal de entrada do controlador U(s) Sinal de saída do controlador Transformada de Laplace TPC Transmission Control Protocol SISO Única entrada e única saída UDP User Datagram Protocol u Vetor de entrada da planta x Vetor de estados y Vetor saída da planta

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10 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 2-1 Trocador de calor casco e tubo...16 Figura 2-2 Trocador de calor tipo tubo duplo...17 Figura Controlador tipo P em malha fechada...20 Figura 2-4 Controlador tipo PI em malha fechada...20 Figura 2-5 Controlador tipo PID em malha fechada...21 Figura 2-6 Representação geométrica da incerteza não estruturada...28 Figura 2-7 Blocos de envio e recebimento de pacotes...31 Figura 2-8 Configurações do Packet Input...32 Figura 2-9 Configurações do Packet Output...32 Figura 2-10 Configuração de endereço de rede e portas de entrada e saída de dados...33 Figura 3-1 Diagrama em blocos do sistema controlado em malha fechada...37 Figura 3-2 Diagramas de Bode para graus de redução de 2 a Figura 3-3 Diagramas de Bode dos modelos linearizado, nominal e real...40 Figura 3-4 Diagrama de Nyquist para os modelos nominal e real...44 Figura 3-5 Diagrama de Bode de 1/erro...45 Figura 3-6 Diagramas de Bode barreira de robustez...46 Figura 3-7 Diagramas de Bode barreira de robustez violada...47 Figura 3-8 Resposta ao degrau de 10ºC...48 Figura 3-9 Planta simulada por UDP...50 Figura 3-10 Controle simulado por UDP...50 Figura 3-11 Resposta ao degrau no SetPoint do sistema de malha fechada (1000s de duração)...51 Figura 4-1 Resposta ao degrau de 10ºC de variação na temperatura no intervalo de tempo de 1000s..53 Figura 4-2 Diagramas de Bode comprovação da robustez...54 Figura 4-3 Resposta ao degrau com dinâmica da válvula de segunda ordem...55 Figura 7-1 Diagrama Simulink com o sistema controlado (real e linearizado)...69

11 SUMÁRIO 1. INTRUDUÇÃO Motivação Objetivos gerais Objetivos específicos REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Modelagem e simulação Software utilizado para a simulação Trocador de calor Trocador de calor do tipo casco e tubo Trocador de calor tubo duplo Trocador de calor em serpentina Coeficiente global de transferência de calor Controladores industriais O Regulador Linear Quadrático com estrutura PID Robustez Laboratório virtual Método de comunicação ESTUDO DE CASO Descrição da planta Metodologia Modelagem e linearização da planta Projeto do controlador e mapeamento para PID Análise da estabilidade e da robustez Execução do projeto através de laboratório virtual ANÁLISE DOS RESULTADOS Justificativa sobre os resultados Prova da robustez e da estabilidade CONCLUSÃO REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICE Script desenvolvido para linearizar o sistema Script desenvolvido para o projeto via RLQ Script desenvolvido para o mapeamento do PID Script desenvolvido para o projeto do controlador Sript utilizado para gerar gráficos com os resultados para estudo Diagrama, em Simulink, utilizado para a simulação do projeto...68

12 11 1. INTRUDUÇÃO Neste capítulo, serão mostrados os motivos que justificaram este trabalho, assim como o detalhamento dos objetivos a serem alcançados, teóricos e experimentais. Para melhor defini-los, os objetivos foram divididos em gerais e específicos, estando dispostos os itens parciais, de elevada importância, que caracterizam e amparam o resultado final Motivação O trocador de calor é um equipamento extremamente necessário para a indústria. Em alguns casos, são encontrados diversos trocadores na mesma linha de produção, podendo mesmo ser interligados. O projeto do controlador utilizado para manter as temperaturas destes trocadores de calor, normalmente não costuma receber grande atenção, sendo que, tipicamente, utilizam-se somente os métodos clássicos de controle. Para se projetar um controlador escolher os parâmetros adequados é necessário que o processo a ser controlado seja modelado matematicamente, onde, necessariamente, estão presentes os erros de modelagem, ou seja, a representação matemática não traduz a realidade de forma total. As técnicas de controle robusto buscam garantir a eficiência do controlador, mesmo diante destas diferenças entre a representação matemática e realidade.

13 Objetivos gerais Considerando os erros de modelagem, típicos em um trocador de calor, projetar um sistema de controle capaz de tolerar algumas incertezas no modelo, tendo como resultado final a sintonia robusta de um controlador PID quanto à estabilidade de malha fechada Objetivos específicos Utilizar um controlador do tipo Proporcional-Integrador-Derivativo (PID), onde sua sintonia é obtida do resultado de um projeto de controle robusto que utiliza a técnica do Regulador Linear Quadrático (RLQ), associada à Identidade de Kalman, considerando como incertezas não-paramétricas as variações do coeficiente global de troca térmica, a redução do modelo linearizado e a dinâmica da válvula de abertura do desvio de fluido quente. Comprovar, por meio de simulação, que o controlador obtido é, de fato, robusto. Aplicar o controlador projeto, utilizando dois computadores distintos. Um computador simulará a planta, juntamente com o atuador, e, no outro, residirá o controlador.

14 13 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Diversas etapas constituem o projeto do controlador proposto. Todas foram estudadas, com profundidade diferente, por diversos autores. Cabe, neste capítulo, mostrar os autores que foram considerados de interesse a este estudo e extrair de seus trabalhos o conhecimento necessário para as diferentes partes do projeto Modelagem e simulação Quando é necessário o projeto de qualquer tipo de controle industrial, é útil trabalhar com um modelo matemático aproximado do equipamento ou processo em questão. Segundo Barbosa e Santos (2007), pode-se dizer que modelagem matemática se refere ao uso da matemática em outras áreas de conhecimento. Tendo o modelo matemático em mãos, pode-se não só levantar o seu comportamento como também pontuar, quantificar e trabalhar muitas das imprecisões e incertezas deste modelo. Garcia (2005) diz, em seu livro, que diversos autores tentam traduzir o que é um modelo matemático, porém, todos convergem a um ponto comum: o modelo matemático é uma abstração, através de equação ou grupo de equações, sobre um processo real. E que é de extrema importância não priorizar este processo real na área de Engenharia, muito menos na de Química, mas estendê-lo também a outras áreas, como Administração e/ou Economia. Ainda segundo Garcia (2005), simulação é a obtenção da resposta temporal das variáveis de interesse (variáveis dependentes) de um modelo, quando se excita suas variáveis de entrada com sinais desejados e se definem os valores das condições iniciais das variáveis dependentes.

15 14 Percebe-se que, a função de um modelo matemático é estudar o comportamento de um equipamento, ou planta, relacionando sua (ou suas) saída(s) à sua (ou suas) entrada(s). Pode-se, então, pré-classificar os sistemas, que são passíveis de modelagem, em dois grupos distintos: os SISO (traduzindo do inglês: única entrada e única saída) ou os MIMO (traduzindo do inglês: múltiplas entradas e múltiplas saídas). Costuma-se estudar, primeiramente, os modelos SISO, pela complexidade reduzida em relação aos MIMO Software utilizado para a simulação Toda simulação depende de cálculos e apresentação de resultados, tanto numéricos quanto gráficos. Realizar uma simulação manual é possível, mas extremamente demorado e passível de erros. Desta forma, foi escolhida uma ferramenta computacional de grande poder de cálculo. Entre os softwares existentes no mercado, optou-se pelo MatLab (MATHWORKS, 2009), produzido pela MathWorks. Este programa tem extrema penetração no meio acadêmico, sendo utilizado, ainda, como apoio a diversos livros clássicos de modelagem matemática, sistemas dinâmicos e controle e automação. Traz, ainda, a possibilidade de interagir com o mundo externo, por meio de placa de aquisição de dados ou comunicação por portas e rede de dados, possibilitando, assim, a validação do modelo matemático da planta e a utilização do próprio programa como equipamento de controle. Ressalta-se, ainda, que este software possui inúmeras outras maneiras de se comunicar com outros periféricos (computadores ou elementos de uma rede de controle), utilizando diversos protocolos e métodos.

16 Trocador de calor Um equipamento muito utilizado, tanto na indústria e domesticamente, como dizem Hermes; Melo e Negrão (2001), quanto em áreas não tão óbvias como a Medicina, onde Drummond (2001) projetou um trocador de calor compacto para manter a temperatura do sangue em cirurgias, é o trocador de calor. Segundo Incropera e Dewitt (2003), existem diversos tipos de trocadores de calor, classificados quanto ao processo de transferência e sua topologia de construção. Em relação ao processo de transferência, pode-se, inicialmente, classificar o trocador de calor como de contato direto ou indireto, e este último, ainda, como de transferência direta ou de armazenamento. Nos trocadores de calor de contato indireto, os fluidos permanecem separados (não entram em contato) e o calor é transferido através de uma parede. Quando de transferência direta, possuem dois fluidos, separados por uma parede, que trocam calor entre si e, quando de armazenamento, possuem um fluido que transpassa o trocador de calor, que armazena a energia térmica transmitida ou recebida por este fluido, também chamado regenerador. Diferentemente, no trocador de calor de contato direto, ambos os fluidos se misturam, ou seja, entram em contato direto e realizam a transferência de calor sem nenhum meio de transporte, como, por exemplo, a parede citada anteriormente. Ressalta-se que nem sempre é permitido o contato entre os fluidos, tornando a utilização deste tipo de trocador de calor bastante rara. Quanto ao tipo de construção, pode-se classificar os trocadores como tipo placa ou tipo tubular, nos quais existem, ainda, sub-classificações: carcaça e tubo,

17 16 tubo duplo e serpentina. Não tendo contato direto, os fluidos trocam calor através de paredes, tornando sua utilização mais abrangente. Trocadores de calor do tipo tubular são construídos, geralmente, com tubos circulares e utilizados, principalmente, quando o processo de troca de calor envolve pressões ou temperaturas operacionais muito altas, destacando-se, em relação aos outros tipos de trocadores de calor. Tipicamente, são utilizados fluidos nas fases líquidas ou gasosas Trocador de calor do tipo casco e tubo Considera-se um trocador tipo casco e tubo (em algumas literaturas, chamado carcaça e tubos), aquele trocador que possui um volume de controle por onde circula determinado fluido e que, dentro deste volume, possui um ou mais tubos onde circulam o segundo fluido, fazendo com que exista troca de calor através das paredes destes tubos. Analisando-se a Fig. 2-1, tem-se que o fluido que circula de baixo para cima absorve calor do fluido que circula de cima para baixo, sem manter contato direto. Figura 2-1 Trocador de calor casco e tubo Fonte da figura 2.1: Adaptada de TROCADOR DE CALOR detecção de fuga-vazamento (óleo em água). Disponível em: < fugavazamento_(oleo_em_agua).asp> Acesso em: 02/11/2009.

18 Trocador de calor tubo duplo O trocador de calor do tipo tubo duplo tem seu princípio de funcionamento parecido com o tipo casco e tubo, porém, sua construção se faz por dois tubos concêntricos, onde um dos fluidos passa pelo tubo central e o outro passa pela parte anular, entre os tubos, normalmente em direção de contra-fluxo. Este tipo de trocador de calor tem como característica a fácil manutenção e sua utilização se faz, de forma geral, em pequenas aplicações. Figura 2-2 Trocador de calor tipo tubo duplo Trocador de calor em serpentina Este tipo de trocador de calor permite uma área de troca térmica muito maior que a do tipo tubo duplo, e sua eficiência também é consideravelmente maior. A particularidade deste tipo de trocador se dá pela dificuldade extrema de limpeza e manutenção da serpentina Coeficiente global de transferência de calor De extrema importância no estudo de trocadores de calor, é o estudo do coeficiente global de transferência de calor (U). Incropera e Dewitt (2003) relatam este coeficiente como o mais incerto de toda a análise. Ele é definido em termos de resistência térmica total para a transferência de calor entre dois fluidos. Convergem para este ponto também os autores Tonin e Negrão (2003), quando dizem que a Fonte da figura 2.2: Adaptada de TROCADOR DE CALOR detecção de fuga-vazamento (óleo em água). Disponível em: < fugavazamento_(oleo_em_agua).asp> Acesso em: 02/11/2009.

19 18 variação deste coeficiente, pelo fato da incrustação, prejudica a troca térmica e dificulta a medição de desempenho dos trocadores de calor. Estudos indicam que o coeficiente global de troca térmica pode ser considerado variante no tempo, motivo que gera imensa complexidade no cálculo e modelagem matemática do mesmo. Pode-se citar a incrustação no interior dos tubos do trocador de calor como exemplo de causa para variação deste coeficiente. Este coeficiente pode ser relacionado à resistência térmica total. Suponha uma parede para a troca de calor, onde temos, de um lado, o fluido quente, e do outro, o fluido frio. Nomeando as temperaturas, respectivamente, como Thot e Tcold, pode-se calcular a resistência térmica desta troca de calor. Tendo o valor genérico de resistência térmica como:, pode-se escrever o coeficiente global de troca térmica como:. (2-1) Existe, ainda, um segundo elemento que foi considerado desprezível, até o ponto atual, mas que pode gerar grande interferência no funcionamento do trocador. Este elemento existe graças às rugosidades que causam um contato imperfeito dos diversos materiais utilizados nas partes do trocador de calor e chama-se: resistência térmica de contato. Mesmo que tenham sido desenvolvidas teorias para prever esta resistência, os resultados não são confiáveis, aproximando da realidade apenas os obtidos experimentalmente. Diversas condições levam à alteração do coeficiente global de troca térmica, não só os motivos já apresentados, mas, também, devido à alteração da quantidade de matéria envolvida e à temperatura de trabalho, situações perfeitamente aceitáveis durante a operação de um equipamento. Outros autores estudaram este tipo de problema (PARISI, 2000).

20 Controladores industriais Existem diversas maneiras de se projetar o controle de uma planta industrial ou um processo. O controlador industrial de maior domínio na indústria é o tipo PID. Muitas vezes, a sintonia escolha dos parâmetros de operação do controlador é feita com base no método de Ziegler e Nichols (ZIEGLER; NICHOLS; ROCHESTER, 1942), considerado um clássico de sintonia. Muitos outros autores trabalharam a sintonia em controladores do tipo PID, pelo simples fato de serem utilizados em grande escala nas indústrias. Encontram-se artigos de datas diversas, sobre diversos meios de projeto de controle, nos quais existe ou a sintonia direta de um controlador PID ou o mapeamento para a sintonia de um controlador PID. Pode-se tomar como exemplos os artigos de Mukhopadhyay (1978) e de Leonardi (1993a), que tratam sobre mapeamentos de estratégias de controle para PID. Segundo Fernandes Júnior (2006), os controladores industriais do tipo PID possuem três ações combinadas: a proporcional, a integral e a derivativa. Cerchiaro (2006) também sintonizou um controlador do tipo PID para o controle de temperatura de um trocador de calor. Leonardi e Cruz (2005) tratam as três constantes do controlador do tipo PID quando mapeiam o resultado do método RLQ/LQG para PID. A ação proporcional é dada pela equação 2-2, onde a saída representa a entrada multiplicada por uma constante, que, por sua vez, é chamada ganho proporcional (K P ). A Fig. 2-3 traz este controlador aplicado em malha fechada.

21 20 (2-2) Figura Controlador tipo P em malha fechada Analogamente, pode-se encontrar, segundo Fernandes Júnior (2006), as ações proporcional-integral e proporcional-integral-derivativa, que são apresentadas, respectivamente, nas equações 2-3 e 2-4. Encontra-se, ainda, sequencialmente, os diagramas destes controladores aplicados em malha fechada, nas figuras 2-4 e 2-5. (2-3) (2-4) Figura 2-4 Controlador tipo PI em malha fechada

22 21 Figura 2-5 Controlador tipo PID em malha fechada Leonardi e Cruz (1993) organizaram os métodos de projeto de controle em relação ao tipo e domínio em que trabalham, classificação e tipo de análise: Tabela 2-1 Classificação dos tipos de projeto de controle CONTROLE CLÁSSICO CONTROLE MODERNO CONTROLE ROBUSTO ANÁLISE Diagramas de Bode Teste de Nyquist Critérios de Routh Lugar das Raizes Margens de Estab. Espaço de Estado Controlabilidade Observabilidade Proc. Estocásticos Valores Singulares Análise µ Realizações Balanceadas Fatoração Espectral PROJETO Controle PID Lead-Lag Filtro de Kalman RLQ RLG Síntese H Síntese µ RLQ/LTR Parametrização Q-Youla DOMÍNIO Frequência Tempo Frequência Fonte: adaptado de Leonardi e Cruz, 1993 Leonardi e Cruz (2005) comparam os métodos de controle, questionando as necessidades de cada um. Entre estes, pode-se encontrar o método de alocação de zeros, o model matching e o controle 2-D. Existem, ainda, diversas outras técnicas de projeto de sistemas de controle, porém, a última a ser abordada, com maior cautela, é o método do RLQ O Regulador Linear Quadrático com estrutura PID

23 22 O problema de regulação linear quadrática (ANDERSON, 1990) foi formulado usando a representação de um sistema na forma de espaço de estados. Ogata (2003) diz que um sistema moderno complexo pode ter muitas entradas e saídas e elas ainda podem ser complexamente interligadas necessitando simplificar, matematicamente, estas expressões. Diferentemente da teoria de controle clássico (convencional) a teoria de controle moderno não é fundamentada na relação entrada-saída ou nas funções de transferência, mas na combinação de equações diferenciais de primeira ordem, compondo um sistema de equações diferenciais vetorial-matricial de primeira ordem. É importante lembrar que, dada uma função de transferência, existem infinitas possibilidades de representação, no espaço de estados, onde sempre é utilizada uma destas possibilidades. Na representação de estados, consideram-se as seguintes equações matriciais: (2-5) em que: A é a matriz de estados; B é a matriz de entrada; C é a matriz de saída; D é a matriz de transmissão direta; x é o vetor de estado; u é o vetor de entrada; y é o vetor de saída. Com ilustração, considere o exemplo, a seguir, em que U(s) é a transformada de Laplace de u, e Y(s), a transformada de Laplace de y. A função de transferência Y(s)/U(s)

24 23 (2-6) tem a seguinte representação no espaço, como uma das possíveis: (2-7) (2-8) Para o problema de regulação linear quadrática, utilizando uma estrutura do tipo PID, a variável manipulada u é a saída do controlador e na lei de controle estão seus ganhos proporcional, integral e derivativo (PID). Esta resolução foi baseada no texto de Leonardi e Cruz (1993), no qual mostram o equacionamento, encontrado nas equações 2-9 a 2-12 para esta solução: (2-9) ou (2-10) em que: (2-11) (2-12) Continuando a solução, faz-se a definição de um vetor de estados aumentados z, que engloba também as saídas, equações 2-13 a 2-17: (2-13) (2-14)

25 24 (2-15) (2-16) (2-17) Tendo que o vetor de controle ótimo u*, equação 2-18, pode ser obtido resolvendo a equação de Riccati, equação 2-19, que apresenta como solução a matriz positiva-definida), segue a solução nas equações 2-20 a 2-22, nas quais as dimensões das sub-matrizes e são, respectivamente, n.n e n.l. (2-18) (2-19) (2-20) (2-21) (2-22) Se, pode-se então obter as matrizes de ganho, e, caso contrário, estas matrizes são obtidas através de soluções aproximadas, utilizando-se inversas generalizadas (NOBLE e DANIEL, 1977 e MORAES e CIRONE, 2003). O resultado final dos parâmetros do controlador é encontrado nas equações 2-24 e 2-25: (2-23) (2-24)

26 (2-25) 25

27 Robustez O artigo de Cuenca; Leonardi e Pereira (2009) foi utilizado como base para o conteúdo desta seção, onde os autores afirmam que para se estabelecer uma métrica de robustez, existe a necessidade de caracterizar o erro de modelagem, permitindo delimitar a incerteza que pode ser classificada como estruturada ou não-estruturada. Incertezas estruturadas representam variações paramétricas da planta, sendo provenientes de coeficientes imprecisos e estão associadas aos pólos e zeros da função. Considerando a função de transferência: (2-26) Supondo que o parâmetro d assuma o valor: d=100±25%, pode-se dizer que o parâmetro d é uma incerteza estruturada. Como uma alteração no valor de d, acarreta em alteração no valor dos pólos da função, conclui-se que as incertezas associadas aos valores de pólos são também paramétricas. Já a incerteza não-estruturada está intimamente ligada a elementos com características em função da frequência, como, por exemplo, as dinâmicas não modeladas da planta. O exemplo a seguir, ilustra a incerteza não-estruturada. Na função G2(s), suposta como o modelo da planta real, o termo representa uma dinâmica não modelada, enquanto o restante de G2(s) é tomada como a parte modelada.

28 27 (2-27) Dentre as maneiras encontradas para representar o erro de modelagem, a mais adequada, neste caso, é a forma multiplicativa: (2-28) onde representa a planta real e, o seu modelo nominal. Pode-se notar que o erro de modelagem multiplicativo é uma medida relativa do erro de modelagem. O erro de modelagem, em si, não é conhecido, mas, normalmente, é razoável se estimar uma função que é colocada como limite superior para, nas frequências relevantes para o problema estudado. Para se obter, de forma conveniente, uma condição de garantia de estabilidade do sistema, na presença de erros de modelagem, é preciso considerar a hipótese de que o sistema em malha fechada é estável, quando se utiliza o modelo nominal da planta. Adicionalmente, é preciso que o número de pólos instáveis de seja o mesmo de. No caso de incertezas não-estruturadas, significa dizer que a parte não modelada de é estável. Esta condição pode ser obtida a partir da representação geométrica da incerteza, como apresentado na Fig Nesta ilustração, é o controlador.

29 28 Figura 2-6 Representação geométrica da incerteza não estruturada O círculo representa a região incerta da função, para uma dada frequência ω. Se a região de incerteza está sempre do mesmo lado do ponto -1+0j, para todas as frequências ω, então, não há mudança no número de envolvimentos deste ponto. Assim, se o sistema nominal é estável, o sistema é também estável, para a planta real, ou seja, robustamente estável. O raio da região de incerteza é dado por: (2-29) ou (2-30) Para que a região de incerteza esteja sempre do mesmo lado do ponto -1+0j, é preciso que o vetor, que sai deste ponto e vai até o cento do círculo, seja estritamente maior que o raio, ou seja: (2-31)

30 29 Desta forma, (2-32) ou (2-33) Ou seja, 1 e( jω) determina uma barreira no diagrama de Bode de malha fechada. Se esta barreira não for violada, o sistema é robustamente estável. Tipicamente, para o caso de incertezas não-estruturadas, o erro é pequeno nas baixas frequências e elevado nas altas. Nestas condições, a barreira é limitante apenas nas altas frequências, onde, normalmente, o ganho de malha é pequeno, ou seja,, pelos efeitos de filtragem, típicos em plantas reais. Nesta situação, a condição de robustez pode ser aproximada por: (2-34) mais apropriada para fins de projeto, visto que é uma restrição no diagrama de Bode de malha aberta. Entretanto, ela é apenas orientativa, e a condição sobre a malha fechada deve sempre ser verificada, a posteriori Laboratório virtual Realizar medições e experimentos, numa planta industrial, é uma tarefa quase impossível, pelo grande impacto econômico que causaria ao seu proprietário. Por este motivo, estudos são realizados em maquetes de menores proporções, que reproduzem o mesmo parâmetro de funcionamento. Algumas universidades estão disponibilizando o chamado Laboratório online ou Laboratório virtual. Estes laboratórios são parte do projeto de

31 30 comunicação, através de redes de computadores (do tipo TCP/IP), para troca de informações. Existem diversos exemplos a serem explorados, como o sistema de visão DKR (DELATORE; LIMA; SILVA, 2007), onde um sistema de contagem de bolhas por uma tubulação translúcida tem seu monitoramento e atuação executados via rede TCP/IP (Internet). Outro caso de utilização de redes para comunicação é o Real-Time Windows Target, exemplificado no artigo de Demers-Roy e Hurteau (2005), onde executam o controle de um motor DC, usando dois computadores e o software MatLab Simulink, com os blocos mencionados. Com a prerrogativa de utilizar um computador de menor poder de processamento, eles propõem a criação de um disco de inicialização contendo o programa necessário para executar as instruções, independentemente do sistema operacional encontrado no computador. O Real-Time Windows Target encontrado no MatLab (MATHWORKS, 2009) possui, em sua documentação, exemplos de comunicação utilizando o protocolo UDP (User Datagram Protocol), que, diferentemente do protocolo TCP, não garante que a informação chegue ao seu destino, nem a sua integridade e tem a capacidade de enviar pacotes, utilizando toda a banda disponível, com a finalidade de transmitir o maior número de informações possível. Este protocolo não tem controle de fluxo ou outros controles de entrega (KUROSE e KEITH, 2006). Outros laboratórios virtuais foram desenvolvidos por alunos de universidades, em estudos de graduação e pós-graduação. Como exemplo, pode-se citar um pêndulo invertido, controlado pelo xpc Target (Real-Time Windows Target), do MatLab, para interação, via Internet, onde a comunicação entre o equipamento (pêndulo invertido) e o computador (MatLab Simulink) foi feito com protocolo UDP (HOYER et al., 2003).

32 31 Para esta comunicação de dados, pode-se encontrar, no software utilizado para a modelagem e simulação do processo MatLab, uma ferramenta de programação visual chamada Simulink Método de comunicação Existem diversos grupos de blocos para utilização da ferramenta gráfica Simulink. Um destes grupos é chamado Real-Time Windows Target, que consegue fazer esta troca de informações entre o sistema de simulação e o meio externo. Pode ser outro computador, executando o software, ou qualquer outro hardware externo. Basicamente, são necessários dois blocos componentes deste grupo, o Packet Input e o Packet Output, como pode ser visto na Fig Figura 2-7 Blocos de envio e recebimento de pacotes Estes blocos possuem configurações específicas de origem, destino, porta utilizada e tipo de dados que estão sendo enviados com seus respectivos tamanhos. Seguem, nas ilustrações das figuras 2.8 e 2.9, as possíveis configurações de ambos os blocos, ressaltando que no campo Sample Time é colocado o intervalo de tempo de cada amostra em segundos, no campo Input packet size é colocado o tamanho do pacote de dados a ser transmitido/recebido, este valor é combinado com o do campo Block output data types, onde é colocado o número de saídas e o tipo de variável vinculado a estas saídas. Na Fig. 2-8 é apresentado no campo block output data types quatro saídas de variáveis do tipo double, como cada variável deste tipo possui o tamanho de 8 bits, o campo Input packet size recebe o valor 32 referente a quatro saídas de 8 bits cada.

33 32 Figura 2-8 Configurações do Packet Input Figura 2-9 Configurações do Packet Output

34 33 Para que estes dois blocos funcionem, ainda faz-se necessária a configuração do destinatário e/ou remetente dos pacotes envolvidos, bem como a porta utilizada para esta conexão. Percebe-se a possibilidade de escolher diversas portas, dentro do mesmo endereço IP (Internet Protocol), possibilitando a utilização de mais de um bloco para a comunicação bidirecional e simultânea dos dados. Verificam-se estas possibilidades na Fig Figura 2-10 Configuração de endereço de rede e portas de entrada e saída de dados Desta forma, todos os dados que precisam ser enviados ao seu destinatário, seja ele um computador, executando um programa supervisor, ou uma planta industrial, aguardando um comando de um computador e utilizando o MatLab como controlador, chegam ao seu destino. O Real-Time Windows Target possui outros meios de comunicação que podem ser utilizados em conjunto, como, por exemplo, acesso à placa aquisitora de dados. Não só é possível transmitir de um computador a outro, como se pode também utilizar diversos blocos, packet output e packet input, de informações, simultaneamente, e criar comunicações unidirecionais e bidirecionais. É possível, ainda, o envio de pacotes para a rede toda, onde todos os possíveis receptores da rede receberão a informação na porta especificada na configuração do bloco. Toda esta interação é possível graças a um driver virtual, fazendo com que o MatLab consiga enviar e receber dados utilizando o endereço IP do computador no qual está em funcionamento. Tal evolução acontece de forma muito parecida