GUIA DO PROFESSOR. DESCRIÇÃO OBJETIVOS QUANDO USAR?

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1 Página 1 GUIA DO PROFESSOR Caro professor, caso tenha algum questionamento de qualquer natureza, não hesite em nos contactar pelo conteudosdigitais@im.uff.br DESCRIÇÃO Nesta atividade apresentamos cinco módulos que exploram o uso de matrizes em imagens digitais. O primeiro módulo mostra como imagens digitais binárias podem ser representadas por matrizes e como certas manipulações da imagem são realizadas através de operações nas linhas e colunas da matriz correspondente. O segundo módulo estuda imagens em tons de cinza através de um programa que permite modificar a intensidade de um pixel a partir de uma função definida pelo usuário. O terceiro módulo estuda imagens coloridas através do sistema RGB de cores. Neste sistema, três matrizes são usadas para especificar as quantidades de vermelho (red), verde (green) e azul (blue) da imagem. O quarto módulo mostra como uma cor do sistema RGB pode ser identificado com um ponto de um cubo (o cubo de cores). O quinto módulo mostra como usar as operações de multiplicação por escalar e soma de matrizes para criar um efeito de transição entre imagens de mesmo tamanho. OBJETIVOS Apresentar uma aplicação de matrizes e suas operações em imagens digitais; explorar o uso de funções no contexto de processamento de imagens. QUANDO USAR? Sugerimos que a atividade seja usada quando da apresentação da teoria das matrizes. COMO USAR? Decidir como usar o computador é uma questão que depende de alguns fatores: número de alunos na turma, número de computadores disponíveis no laboratório de informática e tempo disponível em sala de aula. Em virtude disto, vamos sugerir três estratégias de uso desta atividade: 1. Como um exercício extraclasse. Nesta modalidade, você pode propor a atividade para seus alunos como um dever de casa (valendo um ponto extra), para ser realizado fora do tempo de sala de aula, isto é, em um horário livre no laboratório da escola ou na própria casa do aluno, caso ele possua um computador. Você pode definir um prazo pré-determinado para a realização da atividade (por exemplo, uma semana). Achamos que não é preciso que você explique o funcionamento do

2 Página 2 software da atividade, pois incluímos uma animação ilustrando todos os seus recursos. Naturalmente, no decorrer do prazo do dever de casa, você poderá tirar dúvidas eventuais de seus alunos. Para tornar o trabalho mais orientado e focado, recomendamos fortemente que o dever de casa seja conduzido através de algumas questões que os alunos deverão estudar com o auxílio do software da atividade. O formulário de acompanhamento do aluno, apresentado mais embaixo, sugere vários exercícios. Este formulário também será útil como instrumento para uma discussão posterior em sala de aula (quando da devolução do formulário) e fornecerá subsídios para uma possível avaliação. 2. Em sala de aula com um projetor multimídia (datashow) Se você tiver acesso a um projetor multimídia (datashow) ou a um computador ligado na TV, você poderá usar o software desta atividade em sala de aula para, por exemplo, ao invés de desenhar os poliedros no quadro, exibi-los e manipulá-los através do computador. Se houver tempo, mesmo alguns exercícios do formulário de acompanhamento do aluno poderão ser resolvidos em sala de aula sob sua orientação. 3. Como uma atividade de laboratório sob a supervisão do professor. A grande vantagem desta modalidade é que você poderá acompanhar de perto como os seus alunos estão interagindo com o computador. Sugerimos que você apresente o jogo aos alunos, resolvendo um dos desafios como exemplo e, a partir daí, deixe-os brincar livremente, intervindo apenas quando necessário. Principalmente nas modalidades 1 e 3, recomendamos fortemente que o aluno preencha algum tipo de questionário de acompanhamento, para avaliação posterior. Sugerimos o seguinte modelo (sinta-se livre para modificá-lo de acordo com suas necessidades): matrix-aluno.rtf. Este formulário de acompanhamento do aluno também estará acessível na página principal da atividade através do seguinte ícone: As respostas dos questionamentos propostos neste formulário não estão incluídas com a atividade, mas elas podem ser solicitadas através do conteudosdigitais@im.uff.br.. OBSERVAÇÕES METODOLÓGICAS Relatos de experiências (comprovados em nossos testes) mostram que os alunos têm forte resistência em preencher o formulário de acompanhamento. Mais ainda: estes relatos mostram que, frequentemente, os alunos conseguem argumentar corretamente de forma verbal, mas enfrentam dificuldades ao fazer o registro escrito de suas ideias. Mesmo com as reclamações e resistência dos alunos, nossa sugestão é que você, professor, insista no preenchimento do formulário. Afinal, por vários motivos, é muito importante que o aluno adquira a habilidade de redigir corretamente um texto matemático que possa ser compreendido por outras pessoas. OBSERVAÇÕES TÉCNICAS

3 Página 3 A atividade pode ser acessada usando a internet, através do link (endereço alternativo: Se você preferir, solicite que o responsável pelo laboratório da escola instale a atividade para acesso offline, isto é, sem a necessidade de conexão com a internet. O jogo pode ser executado em qualquer sistema operacional: Windows, Linux e Mac OS. Porém, para executá-lo, é preciso que o computador tenha a linguagem JAVA instalada. A instalação da linguagem JAVA pode ser feita seguindo as orientações disponíveis no seguinte link Atenção: se você estiver usando a atividade offline através de uma cópia local em seu computador, é importante que os arquivos não estejam em um diretório cujo nome contenha acentos ou espaços. Importante: algumas distribuições Linux vêm com o interpretador JAVA GCJ Web Plugin que não é compatível com o applet da atividade. Neste caso, recomendamos que você solicite ao responsável pelo laboratório da escola que instale o interpretador nativo da Sun, disponível no link /pt_br/. Acessibilidade: a partir da Versão 2 do Firefox e da Versão 8 do Internet Explorer, é possível usar as combinações de teclas indicadas na tabela abaixo para ampliar ou reduzir uma página da internet, o que permite configurar estes navegadores para uma leitura mais agradável. Combinação de Teclas Efeito Ampliar Reduzir Voltar para a configuração inicial Vantagens deste esquema: (1) além de áreas de texto, este sistema de teclas amplia também figuras e aplicativos FLASH e (2) o sistema funciona para qualquer página da internet, mesmo para aquelas sem uma programação nativa de acessibilidade. DICAS O formulário de acompanhamento do aluno apresentado na atividade possui muitos exercícios, com vários níveis de dificuldade. Aplicá-los todos de uma vez pode cansar o aluno. Sugerimos que você faça uma seleção ou divisão do conteúdo. QUESTÕES PARA DISCUSSÃO APÓS A REALIZAÇÃO DA ATIVIDADE Sugerimos fortemente que seja feita uma discussão com os alunos após a realização da tarefa. Se você optou por levá-los ao laboratório, isto pode ser feito no próprio laboratório, logo após o término da atividade. Se você optou por um exercício extraclasse, a discussão pode ser feita quando da devolução do questionário. Esta discussão pode incluir as diferentes estratégias de solução dos exercícios adotada por cada aluno, a comparação das respostas dos alunos, as dificuldades encontradas na realização dos exercícios, a ênfase em propriedades e resultados importantes, as informações suplementares, etc. AVALIAÇÃO

4 Página 4 Como instrumento de avaliação, sugerimos que você peça para os alunos elaborarem um relatório descrevendo as perguntas e respostas apresentadas na discussão em sala de aula. Nesse relatório, o professor poderá avaliar as capacidades de compreensão, argumentação e organização do aluno. Recomendamos que o questionário preenchido durante a realização da atividade seja anexado ao relatório. REFERÊNCIAS Adelson, E. H. Lightness Perception and Lightness Illusions. Em Gazzaniga, M. (editor). The New Cognitive Neurosciences. MIT Press, pp , Bebis, G.; Egbert, D.; Shah, M. Review of Computer Vision Education. IEEE Transactions on Education, vol. 46, n. 1, pp. 2-21, Hyvärinen, A.; Hurri, J.; Hoyer, P. O. Natural Image Statistics A Probabilistic Approach to Early Computational Vision. Springer-Verlag, Tanimoto, S. L. Image Processing in Middle-School Mathematics. Proceedings of the First IEEE International Conference on Image Processing, Austin, TX, pp , [Clique aqui para voltar para a página principal!] Dúvidas? Sugestões? Nós damos suporte! Contacte-nos pelo conteudosdigitais@im.uff.br.

5 Anexo Formulário de Acompanhamento do Aluno

6 Atividade: matrizes e imagens digitais Aluno(a): Turma: Professor(a): Parte 01 MÓDULO: MATRIZES E IMAGENS BINÁRIAS Indique, na tabela abaixo, as respostas dos 8 desafios do Jogo dos Índices usando, para isto, os números das figuras dadas acima. Desafio 1 Desafio 2 Desafio 3 Desafio 4 Desafio 5 Desafio 6 Desafio 7 Desafio 8 Parte 02 A figura abaixo ilustra o desenho do Gato Félix em um sistema de eixos coordenados. Considere as seguintes transformações geométricas: I é a transformação identidade, R x é a reflexão em torno do eixo x, R y é a reflexão em torno do eixo y, R 90 é a rotação de 90 0 no sentido anti-horário em torno da origem 0, R 180 é a rotação de no sentido anti-horário em torno da origem 0 e R 270 é a rotação de no sentido anti-horário em torno da origem 0, 1

7 Cada uma das figuras abaixo pode ser obtida a partir da figura dada acima (no sistema de eixos coordenados) usando-se uma destas transformações ou uma composição destas transformações. Indique na segunda linha da tabela abaixo uma transformação (ou uma composição de transformações) que produz a figura correspondente. Na terceira linha, indique qual é a operação nos índices da matriz que produz a figura correspondente: (a i,j ), (a 36 i,j ), (a i, 36 j ), (a 36 i, 36 j ), (a j,i ), (a 36 j,i ), (a j, 36 i ), (a 36 j, 36 i ). Parte 03 Um pixel binário, isto é, um pixel que armazena duas cores (tipicamente, 0 para indicar a cor preta e 1 para indicar a cor branca) ocupa 1 bit de informação. (a) A imagem binária do Gato Félix apresentada no módulo é representada por uma matriz 35 por 35 formada por zeros e uns. Quantos bits são necessários para armazenar esta imagem? (b) Admitindo que 1 Byte = 8 bits, calcule o número de bytes necessários para armazenar a imagem binária 35 por 35 do Gato Félix. (c) Um CD-ROM típico tem capacidade de armazenamento igual a 700 MB (megabytes). Admitindo que 1 MB = 1024 KB (kilobytes) e 1 KB = 1024 Bytes, determine quantas cópias da imagem binária 35 por 35 do Gato Félix podem ser armazenadas em um CD-ROM. Parte 04 O que faz o botão Complementar da imagem? Seja A uma matriz de zeros e uns que representa uma imagem binária e seja B a matriz que representa a imagem obtida de A ao se aplicar a operação Complementar da imagem. Qual é a relação entre A e B? Tente explicar uma relação entre os elementos a ij e b ij! Parte 05 A figura dada a seguir é um círculo? Elabore sobre o assunto! MÓDULO: MATRIZES E IMAGENS EM TONS DE CINZA [01] Lembre-se que, no software deste módulo, a intensidade de um pixel em uma imagem em tons de cinza é um número inteiro no intervalo [0, 255]. O número 0 corresponde à cor preta e o número 255 à cor branca. (a) Descreva o que acontece com a imagem do Cristo Redentor quando a função f(c) = c é usada para alterar as intensidades dos pixels da imagem. A função f(c) = c aumenta a intensidade de todos os pixels? A taxa de variação da intensidade depende do valor de c? (b) Ainda com relação à imagem do Cristo Redentor, pressione o botão Reiniciar! e use a função f(c) = 2c para alterar as intensidades dos pixels da imagem. Descreva o que acontece. A função f(c) = 2c aumenta a intensidade de todos os pixels? A taxa de variação da intensidade depende do valor de c? (c) Por que ao se usar a função f(c) = c + 255, a imagem fica completamente branca? Por que ao se usar a função f(c) = c 255, a imagem fica completamente preta? [02] Descreva o que acontece com a imagem do Cristo Redentor quando a função f(c) = 255 c é usada (não se esqueça de, antes, pressionar o botão Reiniciar! para que a imagem original seja carregada). 2

8 [03] Usando uma função f adequada, tente modificar as intensidades dos pixels da figura abaixo e, com isto, descobrir qual é a mensagem secreta. [04] Se você quisesse realçar mais os tons escuros do que os tons claros de uma imagem em tons de cinza (a imagem do Cristo Redentor, por exemplo), qual função abaixo você usaria? Explique o motivo de sua escolha! f(c) = 255 (c/255) 1/2 f(c) = 255 (c/255) 2 [05] As duas funções acima possuem a seguinte propriedade: se c pertence ao intervalo [0, 255], então f(c) também pertence ao intervalo [0, 255]. Dê outros exemplos de funções que satisfazem esta propriedade e use-as para modificar uma das imagens da atividade, analisando como o formato do gráfico da função realça ou degrada os vários tons de cinza. [06] Ao especificar uma função f, você pode usar o comando Se, cuja sintaxe é a seguinte Se(v, F(c), G(c)). Se a condição v for satisfeita, então f(c) = F(c), caso contrário, f(c) = G(c). Por exemplo, se você digitar a seguinte expressão para a função f(c): Se(c > 100, 255, 0) todo pixel de intensidade maior do que 100 será transformado em um pixel branco, enquanto que os demais pixels serão transformados em pixels pretos (transformando então a imagem original em uma imagem binária). A tabela a seguir descreve os operadores que podem ser usados para formar a condição v. Operador Notação do Software Exemplo maior do que > Se(c > 100, 255, 0) menor do que < Se(c < 100, 255, 0) igual a == Se(c == 100, c, 255) maior do que ou igual a >= Se(c >= 100, c, c/3) menor do que ou igual a <= Se(c <= 100, 9c/10, 255) negação! Se (!(c < 100), 255, 0) ou Se((c < 100) (c > 200), 255, 200) e && Se((c > 100) && (c < 200), 255, 200) (a) Use o comando Se(c > t, 255, 0) com diferentes valores para o inteiro t a fim de converter a imagem do Cristo Redentor em uma imagem binária. Em computação gráfica, o número t é denominado threshold. Não se esqueça de reiniciar a imagem a cada nova escolha de t. (b) Que expressão você usaria para a função f a fim de exibir os pixels de intensidade 120 em preto e os demais pixels em branco? 3

9 MÓDULO: MATRIZES E IMAGENS COLORIDAS [01] As escolhas F(r, g, b) = r, G(r, g, b) = 0 e H(r, g, b) = 0 permitem visualizar a componente em vermelho de uma imagem. Use estas funções para, no software do módulo, visualizar a componente em vermelho da imagem do Cristo Redentor. Que funções você usaria para visualizar as componentes em verde e em azul? Não se esqueça de reiniciar a imagem a cada nova escolha de funções. [02] Uma imagem RGB produz uma imagem em tons de cinza quando suas componentes R, G e B são iguais para cada pixel (mas que podem mudar de pixel para pixel). (a) Use as funções F(r, g, b) = (30 r + 59 g + 11 b)/100, G(r, g, b) = (30 r + 59 g + 11 b)/100 e H(r, g, b) = (30 r + 59 g + 11 b)/100 para converter a figura colorida do Cristo Redentor para uma imagem em tons de cinza. Note F, G e H são médias aritméticas de r, g e b com pesos 30/100, 59/100 e 11/100 respectivamente. (b) Use agora médias aritméticas simples para fazer a conversão da figura colorida do Cristo Redentor para uma imagem em tons de cinza: F(r, g, b) = (r + g + b)/3, G(r, g, b) = (r + g + b)/3 e H(r, g, b) = (r + g + b)/3. (c) Tente outras médias, por exemplo, a que define luminância: F(r, g, b) = G(r, g, b) = H(r, g, b) = r g g. [03] No software do módulo você encontrará, entre as imagens disponíveis, a seguinte figura: (a) Observe os quadrados A e B. Eles possuem o mesmo tom de cinza? (b) No software da atividade, coloque o apontador do mouse sobre a superfície dos quadrados A e B (não sobre o nome das letras) e anote as componentes R, G e B de cada quadrado. Elas são iguais? (c) Se você acha que o computador lhe está enganando, imprima este desenho e, na figura impressa, verifique se os quadrados A e B possuem o mesmo tom de cinza. Em seguida, recorte estes quadrados e coloque-os um ao lado do outro. [04] Usando funções F, G e H adequadas, tente modificar as cores dos pixels da figura abaixo e, com isto, descobrir quais são as três palavras secretas. 4

10 [05] A figura abaixo foi elaborada por Akiyoshi Kitaoka ( Aparentemente, as espirais em verde e azul parecem ter cores diferentes mas, de fato, elas possuem a mesma cor: (R, G, B) = (0, 255, 150). Verifique que isto ocorre usando o software do módulo. MÓDULO: O SISTEMA RGB E O CUBO DE CORES [01] Por conveniência, a maioria dos sistemas gráficos usam apenas os números inteiros do intervalo [0, 255] para especificar as quantidades R, G e B que compõem uma cor. Quantas cores distintas este sistema pode representar? Observação: não existe um consenso com relação ao número de cores diferentes que o olho humano consegue distinguir. Os seguintes números são frequentemente citados nas referências: , , e [02] Quais são os pontos do cubo de cores que correspondem aos tons de cinza? [03] No software deste módulo, marque a cor marrom (R, G, B) = (165, 42, 42). Marque então pelo menos três cores (R, G, B) distintas que satisfazem a equação (R + G + B)/3 = 83 = ( )/3. [04] No sistema RGB, as cores primárias são vermelho [(R, G, B) = (255, 0, 0)], verde [(R, G, B) = (0, 255, 0)] e azul [(R, G, B) = (0, 0, 255)]. As cores secundárias, por sua vez, são aquelas obtidas através da combinação de duas cores primárias. Assim, no sistema RGB, as cores secundárias são amarelo [(R, G, B) = (255, 255, 0)], magenta [(R, G, B) = (255, 0, 255)] e cíano [(R, G, B) = (0, 255, 255)]. Marque no software deste módulo as cores primárias e secundárias do sistema RGB. Note que as cores primárias e secundárias, o preto e o branco correspondem aos vértices do cubo de cores. MÓDULO: MATRIZES E TRANSIÇÕES DE IMAGENS [01] Sejam a e b dois números reais. Defina c(t) = (1 t) a + t b para t [0, 1]. Mostre que c(0) = a e c(1) = b. Mostre também que, para todo t [0, 1], c(t) está entre a e b. Qual é o valor de c(t), para cada t [0, 1], quando a = b? 5