O PROBLEMA DE SEQUENCIAMENTO DA PRODUÇÃO EM UM AMBIENTE FLOWSHOP COM LINHAS SEMI- PARALELAS E OPERAÇÃO DE SINCRONIZAÇÃO FINAL

Transcrição

1 O PROBLEMA DE SEQUENCIAMENTO DA PRODUÇÃO EM UM AMBIENTE FLOWSHOP COM LINHAS SEMI- PARALELAS E OPERAÇÃO DE SINCRONIZAÇÃO FINAL Irce Fernandes Gomes Guimaraes (UFOP) profirce@yahoo.com.br Mauricio Cardoso de Souza (UFMG) mauricio@dep.ufmg.br Farouk Yalaoui (UTT) farouk.yalaoui@utt.fr Este artigo aborda uma variante do problema de sequenciamento flowshop centrado em uma indústria de material electro-eletrônico. O ambiente em estudo consiste de uma linha de montagem constituída por duas semi-linhas e uma operação de sincronização. As semi-linhas têm funcionamento paralelo e fornecem semi-produtos para a operação de sincronização, que finaliza a atividade de fabricação unindo os semi-produtos. A decisão deste problema consiste em obter a programação das tarefas de forma a otimizar o makespan. Foram propostos um modelo de programação linear inteira mista e variantes da heurística de NEH. Experimentos computacionais preliminares foram realizados em instâncias de problemas benchmarking da literatura para o problema de flowshop. Palavras-chave: Sequenciamento da produção, programação linear, heurística NEH

2 1. Introdução Diferentes modelos de planejamentos e de sequenciamento em manufatura são focos de estudos científicos, visando garantir um bom desempenho da produção de produto e serviço. Neste sentido, pode-se dizer que a programação da produção é uma das principais atividades em um sistema produtivo e é considerado por alguns pesquisadores um campo amplo e diversificado. Segundo Cheng et al. (2001), esta atividade pode ser definida genericamente como a alocação de recursos disponíveis para a execução de tarefas em um horizonte de tempo. Consiste em desenvolver modelos que auxiliem na escolha de melhores soluções de programação, com vistas a otimizar o fluxo de trabalho através do sistema. Geralmente, estes modelos objetivam eliminar os gargalos e ajustar as prioridades das etapas, observando as perdas e sobrecargas entre os centros de produção e ocupação da mão de obra. Para tal atividade, é necessário determinar o momento de iniciar e terminar cada tarefa e verificar a melhor utilização dos recursos, onde geralmente procura-se otimizar uma determinada medida de desempenho. Onwubolu (2002) apresenta diferentes critérios de otimização para o sequenciamento, os critérios mais comuns são aqueles que minimizam: o máximo fluxo, atraso de entrega, tempo ocioso dos equipamentos, tempo de setup. Neste sentido, alguns modelos de planejamentos e de sequenciamento em manufatura são apresentados para resolver problemas de planejamento de projetos, sequenciamento em sistema flexível de montagem, sequenciamento de lote econômico, planejamento e sequenciamento na cadeia de suprimento e sequenciamento de máquinas em ambientes openshop, flowshop e jobshop. Na literatura existem várias revisões para o problema de sequenciamento flowshop (por exemplo Framinan et.al (2004), Ruiz e Maroto (2005) e Gupta e Stafford (2006). Em Chakraborty e Laha (2007) uma heurística determinística para a solução do problema de sequenciamento flowshop em n-tarefas, m-máquina baseada na heurística de NEH foi analisada para minimizar o makespan. Ruiz e Maroto (2005) compara a evolução dos métodos de resolução do problema de flowshop permutacional com critério de makespan usando 25 heurísticas e metaheurísticas diferentes. Taillard (1990) mostra a superioridade do algoritmo de NEH comparando alguns métodos heurísticos para resolver o problema de sequenciamento flowshop. E finalmente, Kalczynski e Kamburowski (2007) aborda a questão da competitividade de outros métodos com a heurística NEH, eles fazem uma análise aprofundada da heurística de NEH observando a otimização, a melhora e o desempenho geral. 2

3 Neste artigo é apresentado um estudo de uma variante do problema de flowshop motivado por uma aplicação prática de sequenciamento da produção em uma linha de soldagem de uma indústria de material eletro-eletrônico. Os métodos para resolução utilizam modelagem em programação inteira e variantes da heurística NEH. O restante deste artigo está organizado como segue. Na seção 2 apresenta-se uma breve descrição sobre flowshop. Na seção 3 apresenta-se o modelo em estudo. Os métodos de resolução são descritos nas seções 4 e 5. Na seção 6 mostra-se os experimentos computacionais preliminares obtidos. E finalmente, as considerações finais são apresentadas na seção O problema flowshop O problema clássico de sequenciamento de tarefas em um ambiente de produção flowshop consiste em organizar o processamento de n tarefas em um conjunto de m máquinas distintas, configuradas em série. A principal característica deste problema é que as tarefas devem ter a mesma sequência tecnológica sendo que, cada tarefa tem um tempo de operação específico em cada uma das máquinas (GUPTA (1988)). A resolução consiste em determinar dentre as sequências possíveis, aquela que otimiza uma determinada medida de desempenho. Neste caso é possível encontrar a solução ótima em tempo polinomial quando o número de máquinas é igual a 2 (m=2), porém para m > 2 o problema é conhecido como NP-completo. Em geral, (n!) m sequências são consideradas, mas para esse caso específico são consideradas n! sequências possíveis. (RUIZ e MAROTO (2005)) As mais utilizadas consistem na minimização da duração total da programação ou minimização do tempo médio de fluxo. Alguns estudos desenvolvidos nesta área de pesquisa utilizam técnicas exatas como programação matemática para resolver esse problema. Exemplos que podem ser citados são o estudo apresentado por Wagner (1959) que propôs um modelo de programação linear inteira mista para o problema de sequenciamento de tarefas em um ambiente flowshop permutacional. Stafford (1988) que desenvolveu um modelo de programação linear inteira mista (PLIM) para o problema flowshop scheduling padrão com base em um modelo de Wagner (1959). Manne (1960) que empregou variáveis binárias inteiras para expressar a relação entre as restrições de não interferência para máquinas individuais. Pan (1997) que comparou cinco modelos matemáticos de programação inteira para os problemas jobshop e flowshop observando a performance e a quantidade de variáveis que foram utilizadas em cada modelo. E Ronconi et al. (2012) que utilizou formulações de programação linear inteira mista para minimizar o adiantamento e o atraso total das tarefas avaliando, em termos de custo 3

4 computacional, o problema flowshop com buffer ilimitado e buffer zero. Além destes estudos existem outros que propõem métodos exatos para a resolução de problemas flowshop. No entanto, devido a complexidade computacional, os métodos exatos geralmente levam muito tempo de CPU para resolver um problema com grande número de tarefas. Para resolver maiores instâncias muitos estudos apresentam, como alternativa, o uso de heurísticas para encontrar soluções razoáveis. Algumas delas são o algoritmo de Campbell et al. (1970), NEH (Nawaz, Enscore e Ham (1983)). Das citadas a mais encontrada para resolução de problemas flowshop com o objetivo de minimizar o makespan é a heurística de NEH. Para Kalczynski e Kamburowski (2007) essa é considerada a melhor heurística para resolver o problema de flowshop permutacional. Segundo Rad et al. (2009), esta heurística tem como pressuposto que uma tarefa com um tempo de processamento total elevado em todas as máquinas, deve receber maior prioridade em relação aos que tem tempo de processamento total baixo. Ela constrói a sequência final adicionando a cada passo uma nova tarefa e encontrando a melhor solução parcial. Um exemplo é mostrado em Pan et al. (2011) que apresentou a resolução do problema de sequenciamento em um ambiente flowshop, com buffer zero. Foram analisadas para a resolução, heurísticas que explorassem características específicas do problema e que pudessem encontrar boas soluções com esforços computacionais menores, sendo uma delas a heurísticas de enumeração de Nawaz-Enscore-Ham (NEH). Outro exemplo é o estudo de Allaoui e Artiba (2006) que investigou o problema de sequenciamento flowshop híbrido de dois estágios com apenas uma máquina no primeiro estágio, e m máquinas no segundo estágio com o objetivo de minimizar o makespan. 3. O modelo flowshop com linha semi-paralela e operação de sincronização final O modelo considerado é uma linha de montagem constituída por duas semi-linhas paralelas e uma operação de sincronização final. Cada semi-linha produz uma das metades do produto final, que são montadas em um único produto na operação de sincronização final. A ordem em que as metades referentes aos produtos finais de cada semi-linha deve ser a mesma. Sendo que, essa mesma ordem é respeitada na operação de sincronização final. A primeira semilinha possui um número q1 de máquinas e a segunda um número q2 de máquinas. Cada tarefa requer operações em cada máquina das semi-linhas com diferentes tempos de processamentos. As tarefas de uma semi-linha independem da finalização das tarefas da outra semi-linha. A sequência das tarefas nas semi-linhas são iguais e as atividades nas 4

5 primeiras máquinas não precisam iniciar ao mesmo tempo em cada semi-linha. Porém a operação final de sincronização para um produto, só poderá ser iniciada quando as operações para suas metades nas duas semi-linhas forem concluídas. A Figura 1 ilustra o ambiente estudado. Figura 1 - Modelo estudado Fonte: Elaborado pelos autores (2015) 4. Formulação matemática para o problema flowshop com linhas semi-paralelas e operação de sincronização final A formulação matemática foi adaptada no modelo proposto por Wagner (1959). Onde: z ij é considerada uma variável binária que assume o valor 1 se a tarefa i está na j th posição da permutação e 0 caso contrário; x l jk o tempo de espera na máquina k antes do início da tarefa na posição j da permutação de tarefas na semi-linha l; y l jk o tempo de espera da tarefa na j th posição da permutação, depois de terminar o processo na máquina k, enquanto espera que a máquina k+1 seja liberada; p l ri o tempo processamento da tarefa i na máquina r na semilinha l; c l j o tempo de fluxo máximo do conjunto de tarefas na semi-linha l; ml última máquina da semi-linha l e m l+1 máquina de sincronização. 5

6 A restrição 1 calcula o tempo de processamento máximo para minimizar a função objetivo. A restrição 2 assegura que cada tarefa ocupa somente uma única posição na sequência da permutação. A restrição 3 garante que em cada posição da sequência de permutação seja alocada por um único job. A restrição 4 garante a igualdade dos tempos de processamento mais tempos de espera de todo par de máquinas adjacentes. A existência de duas semi-linhas artificialmente independentes é considerada para determinar o c l j e o maior tempo de processamento entre as semi-linhas. A restrição 5 assegura que o tempo de espera de uma dada máquina que ocupa a posição 1 da permutação seja igual a soma dos tempos de processamento nas posições 1 das máquinas anteriores. A restrições 6 assegura que a tarefa atribuída na primeira posição da permutação de cada semi-linha tenha o tempo de espera para a máquina subsequente igual a zero. A restrição 7 determina o makespan de cada semi-linha como a soma dos tempos de processamento de todas as tarefas na máquina mais os tempos de espera das tarefas na última máquina. A restrição 8 assegura a igualdade dos makespans das semi-linhas. A restrição 9 garante que o makespan máximo seja maior ou igual ao makespan das semi-linhas l. A restrição 10 recebe o valor 1 se a tarefa i está na j th posição da permutação e 0 caso contrário. A restrição 11 assegura a não-negatividade do tempo de espera na máquina de cada semi-linha. 6

7 5. Variantes do algoritmo NEH para o problema flowshop com linhas semi-paralelas e operação de sincronização final A heurística NEH, inicia com um conjunto de n tarefas que são ordenados de acordo com os valores não-decrescentes da soma dos tempos de processamento em todas as m máquinas. Em seguida, as duas primeiras tarefas da ordenação são sequenciadas de modo a diminuir o makespan desta sequência parcial. As outras tarefas, a partir da terceira, são então inseridas (uma a uma) em uma posição da sequência parcial de forma a minimizar o makespan. Para este estudo serão consideradas três variantes algoritmo NEH considerando : a média dos tempo de operação das tarefas nas máquinas paralelas, o maior dos tempo de operação das tarefas nas máquinas paralelas, e cada semi-linha separadamente incluindo a máquina de sincronização (NEH av, NEH hi, e NEH sep ). O princípio geral das variantes é reduzir as duas semi-linhas em uma única linha e aplicar o algoritmo NEH. Neste caso, será considerado que as semi-linhas têm o mesmo número de máquinas. Estas variantes utilizarão as seguintes notações: como o tempo de processamento da tarefa i na máquina m na semi-linha 1; como tempo de processamento da tarefa i na máquina m na semi-linha 2; é o tempo de processamento da tarefa i na máquina de sincronização mf; e o tempo total de processamento da tarefa i Algoritmo de NEH considerando tempo médio de processamento em cada máquina paralela Esta variante considera o tempo médio de processamento ( ) utilizando o tempo de processamento da tarefa i na k esima máquina na semi-linha 1 com o tempo de processamento da tarefa i na k esima máquina na semi-linha 2. Através do tempo médio de processamento de cada máquina k, as tarefas são ordenadas de acordo com a ordem não decrescente da soma dos tempos de processamento em todas as máquinas. Em seguida, as duas primeiras tarefas da ordenação são sequenciados, de modo a reduzir o makespan desta sequência parcial. Os outros jobs, a partir da terceira, são então inseridas (uma a uma) em uma posição da sequência parcial que adquira o menor makespan. A sequência adquirida é considerada para todo o sistema. A Figura 2 apresenta o pseudocódigo do algoritmo. 7

8 Figura 2 Pseudo-código da variante de NEH av Fonte: Elaborado pelos autores (2015) 5.2 Algoritmo de NEH considerando maior tempo de processamento em cada máquina paralela Esta variante considera o maior tempo de processamento comparando a tarefa i na k esima máquina na semi-linha 1 com o tempo de processamento da tarefa i na k esima máquina na semi-linha 2. Através do maior tempo de processamento de cada máquina k, os jobs são ordenados de acordo com o algoritmo de NEH. A sequência adquirida é considerada para todo o sistema. A Figura 3 apresenta o pseudo-código do algoritmo. Figura 3 Pseudo-código da variante de NEH hi 8

9 Fonte: Elaborado pelos autores (2015) 5.3. Algoritmo de NEH considerando cada linha separadamente Nesta variante o algoritmo de NEH é aplicado separadamente na semi-linha 1 e na semi-linha 2 considerando a operação de sincronização. Depois de obter as sequências geradas por cada semi-linha, cada sequência é analisada no sistema original. A sequência que gerar o menor makespan é considerada para o sistema original. A Figura 4 apresenta o pseudo-código do algoritmo. Figura 4 Pseudo-código da variante de NEH sep Fonte: Elaborado pelos autores (2015) 6. Experimentos computacionais preliminares Para verificar o desempenho dos métodos apresentados foram criadas instâncias que pudessem atender o modelo em estudo. Estas instâncias têm os tempos de processamento das semi-linhas (1 e 2) e da máquina de sincronização. Elas foram elaboradas a partir do conjunto de instâncias referidas por Carlier (1978), Reeves (1995) e Taillard (1993). De forma que, para a realização de cada teste foram consideradas duas instâncias, uma representando a semilinha1 e outra a semi-linha2. Para a etapa de sincronização foram considerados os mesmos 9

10 tempos para as duas semi-linhas, estes tempos foram retirados de uma das instâncias escolhidas. Um exemplo de uma instância é mostrado na Tabela 1. Note que, na primeira coluna estão alocadas as tarefas que necessitam de processamento na linha de montagem, e as outras colunas indicam o tempo de processamento (Pi) de cada tarefa (Tj) sobre as máquinas (Mk) em cada semi-linha. E a última coluna mostra o tempo de processamento (Pi) de cada tarefa na máquina de sincronização. Tabela 1: Exemplo de instância Fonte: Elaborado pelos autores (2015) Os testes apresentados foram testados utilizando um computador com as seguintes configurações: Intel ir Core TM 3.1GHz with 4GB of memória. Os resultados do modelo matemático foram gerados utilizando o CPLEX e os resultados relativos a variantes do algoritmo foram implementados na linguagem C++. Para comparar os resultados, foi utilizado o desvio relativo (GAP) que, neste caso, mede a variação correspondente entre a solução ótima e o resultado da variante de NEH av. O GAP será calculado pela equação : onde: O GAP representa o desvio relativo médio; H NEHav corresponde ao makespan da variante considerada; e OPT sol corresponde ao makespan da programação matemática. A Tabela 2 mostra os makespan das instâncias testadas para o modelo matemático (PLIN) e das variantes de NEH av. A primeira coluna mostra a que instância se refere, a segunda e terceira colunas mostra o número de tarefas e número de máquinas sucessivamente. A quarta e a quinta colunas apresentam o makespan e o tempo de CPU do modelo de programação 10

11 matemática. As próximas colunas apresentam, rescpecivamente o makespan, tempo de CPU e o GAP para cada variante de NEH (NEHav, NEHhi e NEHsep). Ao final da tabela é encontrado os tempos de CPU médio e as médias do GAP. Tabela 2: Resultados computacionais dos modelos PLIM e das variantes de NEH PLIN NE AV NEH Hi NEH SEP Inst. MK T(s) MK T (s) Gap % MK T (s) Gap% T(s) Gap % C , ,46 16, ,44 16, ,54 2,53 C , ,67 8, ,52 6, ,55 4,54 C , ,73 16, ,76 16, ,22 16,77 C , ,27 40, ,22 34, ,48 21,32 C , ,29 7, ,35 20, ,85 3,50 C , ,24 41, ,58 52, ,17 20,00 R , ,32 46, ,85 25, ,87 22,57 R , ,29 54, ,22 26, ,87 16,09 R , ,54 37, ,58 23, ,92 19,58 R , ,61 22, ,78 28, ,94 8,74 R , ,18 26, ,34 23, ,45 10,73 R , ,35 19, ,43 30, ,43 26,72 R , ,03 24, ,06 28, ,93 18,41 R , ,84 28, ,23 23, ,32 25,42 T , ,86 30, ,54 5, ,57 5,06 T , ,86 19, ,65 20, ,64 3,77 T , ,74 15, ,78 26, ,75 13,69 T , ,82 24, ,87 31, ,78 12,45 T , ,83 15, ,88 12, ,83 10,93 T , ,83 37, ,88 27, ,83 8,47 T , ,98 14, ,98 15, ,89 4,05 T , ,26 16, ,32 17, ,32 5,81 T , ,95 29, ,21 33, ,33 22,41 T , ,95 19, ,24 6, ,78 13,35 T , ,96 34, ,13 41, ,89 19,38 T , ,98 35, ,98 35, ,25 19,85 T , ,18 29, ,29 34, ,71 22,59 T , ,09 35, ,73 15, ,62 7,51 T , ,45 41, ,45 4, ,09 14,45 T , ,45 35, ,45 35, ,78 11,67 Média 14,02 1, , , Fonte: Elaborado pelos autores (2015) 11

12 Para gerar os resultados do modelo matemático e das variantes do algoritmo de NEH foram utilizados 30 tamanhos de problemas diferentes. A Tabela 2 mostra os resultados adquiridos. Através destes resultados é possível observar que os valores ótimos para a maioria das instâncias foram encontrados em baixo tempo computacional. Porém, uma das instâncias apresentou alto tempo de CPU. As variantes de NEH apresentaram baixos tempos computacionais, porém os desvios médios relativos apresentaram os valores de 25,18 %, 21,96% e 13,65%. A variante da heurística NEH que apresentou o pior desvio foi a que utilizou a média entre os tempos de processamento em cada máquina (NEHav) e a variante que apresentou melhor resultado foi a que considerou as semi-linhas separadamente (NEH sep ). 7. Considerações finais. Este estudo apresentou o problema de programacão flowshop em uma linha semi-paralela e operação de sincronização final. O problema foi resolvido através de um modelo matemático baseado no modelo de Wagner (1959) e variantes do algoritmo de NEH (NEH av, NEH hi, e NEH sep ). Os resultados das heurísticas foram avaliados pelo desvio relativo médio (GAP). Observe que utilizando o método de programação inteira mista os makespans da maioria das instâncias são encontrados com baixo tempo de CPU. No entanto, ao resolvê-lo através das variantes da heurística de NEH, foi possível descobrir, através do cálculo de GAP, qual o desvio relativo médio das variantes de NEH e qual destas variantes apresentam menor desvio em relação ao ótimo. A variante que apresentou menor desvio relativo médio foi a NEH sep, sendo, para esse caso, o melhor método entre as três apresentadas. Outras pesquisas para continuidade deste estudo serão realizadas considerando outras heurísticas e meta-heurísticas que possam alcançar menores desvios em relação ao ótimo. Agradecimentos Os autores agradecem a agência CAPES e as universidades, UTT - França, UFMG- MG e UFOP-MG, pelo apoio ao desenvolvimento desta pesquisa. REFERÊNCIAS 12

13 ALLAOUI, Hamid, ARTIBA, Abdelhakim. Scheduling two-stage hybrid flow shop with availability constraints. Computers & Operations Research, v.33, p , CAMPBELL, Herbert G., DUDEK, Richard A., SMITH, Milton L. A heuristic algorithm for the n job, m machine sequencing problem. Management science, v.16, p , CARLIER, Jacques, Ordonnancements a contraintes disjonctives, RAIRO-Operations Research, v.4, p ,1978. CHAKRABORTY, Uday Kumar, LAHA, Dipak. An improved heuristic for permutation flowshop scheduling. International Journal of Information and Communication Technology, v.1,n. 1,p , CHENG, Jinliang, KARUNO, Yoshiyuki, KISE, Hiroshi. A shifting bottleneck approach for a parallel-machine flowshop scheduling problem. Journal of the Operations Research Society of Japan, v.44, p , FRAMINAN, Jose M.; GUPTA, Jatinder ND; LEISTEN, Rainer. A review and classification of heuristics for permutation flow-shop scheduling with makespan objective. Journal of the Operational Research Society, v. 55, p , GUPTA, Jatinder N.D., Two-stage, hybrid flowshop scheduling problem, Journal of the Operational Research Society, v.38, , GUPTA, Jatinder ND; STAFFORD, Edward F. Flowshop scheduling research after five decades. European Journal of Operational Research, v. 169, p , KALCZYNSKI, Pawel Jan; KAMBUROWSKI, Jerzy. On the NEH heuristic for minimizing the makespan in permutation flow shops. Omega, v. 35, p , MANNE, Alan S. On the job-shop scheduling problem. Operations Research, v.8, p , NAWAZ, Muhammad, ENSCORE, E. Emory, HAM, Inyong. A heuristic algorithm for the m-machine, n-job flow-shop sequencing problem. Omega, v.11,n.1, p , ONWUBOLU, Godfrey C. Emerging optimization techniques in production planning and control. London : Imperial College Press, PAN, Chao-Hsien. A study of integer programming formulations for scheduling problems. International Journal of Systems Science, v.28, p , PAN, Quan-Ke, WANG, Ling, GAO, Liang, et al. An effective hybrid discrete differential evolution algorithm for the flow shop scheduling with intermediate buffers. Information Sciences, v.181, p , RAD, Shahriar Farahmand, RUIZ, Rubén, BOROOJERDIAN, Naser. New high performing heuristics for minimizing makespan in permutation flowshops. Omega, v. 37, p , REEVES, Colin R. A genetic algorithm for flowshop sequencing. Computers & Operations Research, v.22, p.5-13, RONCONI, Débora P., BIRGIN, Ernesto G. Mixed-integer programming models for flowshop scheduling problems minimizing the total earliness and tardiness. In: Just-in-Time Systems. Springer, v.60, p , RUIZ, Rubén, MAROTO, Concepción. A comprehensive review and evaluation of permutation flowshop heuristics. European Journal of Operational Research, v.165, n.2, p , STAFFORD, Edward F. On the development of a mixed-integer linear programming model for the flowshop sequencing problem. Journal of the Operational Research Society, v.39, p ,

14 TAILLARD, Eric. Some efficient heuristic methods for the flow shop sequencing problem. European journal of Operational research, v. 47, n. 1, p , TAILLARD, Eric, Benchmarks for basic scheduling problems, European Journal of Operational Research v. 64, p , WAGNER, Harvey M. An integer linear programming model for machine scheduling. Naval Research Logistics Quarterly, v.6, p ,