AVALIAÇÃO DO PROCESSO DE RUPTURA EM VIGAS DE CONCRETO CONSIDERANDO OS ASPECTOS DINÂMICOS

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1 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL AVALIAÇÃO DO PROCESSO DE RUPTURA EM VIGAS DE CONCRETO CONSIDERANDO OS ASPECTOS DINÂMICOS MAURA ANGÉLICA MILFONT SHZU ORIENTADORA: GRACIELA NORA DOZ DE CARVALHO TESE DE DOUTORADO EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL PUBLICAÇÃO: E.TD - A/6 BRASÍLIA/DF: ABRIL 6

2 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL AVALIAÇÃO DO PROCESSO DE RUPTURA EM VIGAS DE CONCRETO CONSIDERANDO OS ASPECTOS DINÂMICOS MAURA ANGÉLICA MILFONT SHZU TESE SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE DOS REQUISÍTOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL. APROVADA POR: Pro a Graciela Nora Doz de Carvalho, Dr.Ing. (ENC-UnB) (Orientadora) Pro. José Luís V. de Brito, Dr.Sc. (ENC-UnB) (Examinador Interno) Pro a Yosiaki Nagato, Dr.Sc. (ENC-UnB) (Examinador interno) Pro. Ignacio Iturrioz, Dr.Sc (UFRGS) (Examinador Externo) Pro a. Silvana Maria Bastos Aonso e Silva, Ph.D. (UFPE) (Examinadora Externa) BRASÍLIA/DF, 9 DE ABRIL DE 6 ii

3 FICHA CATALOGRÁFICA SHZU, MAURA ANGÉLICA MILFONT Avaliação do Processo de Ruptura em Vigas de Concreto Considerando os Aspectos Dinâmicos. [Distrito Federal] 6. xxiii, 79p., 97 mm (ENC/FT/UnB, Doutora, Estruturas e Construção Civil, 6). Tese de Doutorado Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental..Método dos Elementos Discretos.Diagrama constitutivo.propagação da issura 4. Concreto I. ENC/FT/UnB II. Título (série) REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA SHZU, M. A. M. (6). Avaliação do Processo de Ruptura em Vigas de Concreto Considerando os Aspectos Dinâmicos. Tese de Doutorado em Estruturas e Construção Civil, Publicação E.TD-A/6, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, DF, 79p. CESSÃO DE DIREITOS AUTOR: Maura Angelica Milont Shzu. TÍTULO: Avaliação do Processo de Ruptura em Vigas de Concreto Considerando os Aspectos Dinâmicos. GRAU: Doutor ANO: 6 É concedida à Universidade de Brasília permissão para reproduzir cópias desta tese de doutorado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e cientíicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte dessa tese de doutorado pode ser reproduzida sem autorização por escrito do autor. Maura Angélica Milont Shzu Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Faculdade de Tecnologia Universidade de Brasília UnB Campus Darcy Ribeiro, 79-9 Brasília DF Brasil. iii

4 AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus pelas maniestações constantes de sua presença em minha vida. Ao meu esposo, Tawid, pelo amor sincero e desmedido, pelo apoio amigo, pela coniança e pelo incentivo. Ao meu ilho, João Pedro, nas vezes que me propicia momentos mágicos ao brincar dentro do meu ventre. Aos meus pais pelo entusiasmo e motivação em todas as ases de minha vida. As minhas irmãs pelo carinho e união, especialmente minha irmã Lara e meu cunhado Adonis que muito ajudaram na ase inal de minha tese. À proessora Graciela Doz pela orientação de extrema competência, pela paciência, incentivo, dedicação e amizade. Aos proessores do PEEC pelos conhecimentos transmitidos. Ao proessor Tarcísio Marciano da Rocha Filho, do departamento de Física, pelo interesse e satisação em dividir seus conhecimentos cientíicos, exercendo assim seu papel proissional e humano. Aos colegas do PECC que de uma orma ou de outra contribuíram para o meu amadurecimento pessoal e proissional, especialmente Carla Nascimento, Rosanna Duarte e Rúbia Carneiro pelo carinho e amizade. Aos proessores da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Ignácio Iturrioz, Roberto Rios e Virgínia d Ávila, pelos esclarecimentos prestados sempre que busquei. À Universidade de Brasília pela oportunidade, e ao CNPq pelo suporte inanceiro. iv

5 Dedico esta página a todas as pessoas que apostaram no meu crescimento proissional, em especial ao meu esposo, Tawid, pela coniança depositada com a qual me ajuda a subir os degraus da vida. v

6 RESUMO AVALIAÇÃO DO PROCESSO DE RUPTURA EM VIGAS DE CONCRETO CONSIDERANDO OS ASPECTOS DINÂMICOS. Autor: Maura Angélica Milont Shzu Orientadora: Graciela Doz Programa de Pós-graduação em Estruturas e Construção Civil Brasília, abril de 6 O concreto é um material quase-rágil e heterogêneo, e esta característica é avorável ao surgimento de issuras que podem se propagar com o tempo em estruturas submetidas a um carregamento. Vários avanços da teoria da mecânica da ratura aplicada ao concreto já oram conseguidos. Atualmente, existem três modelos básicos de diagramas constitutivos utilizados para a simular o comportamento do concreto: o linear, o bi-linear e o não linear. Vários pesquisadores utilizaram estes modelos para uma análise comparativa, dentre eles destacam-se, Petersson (98), Rots et al (985), Cornelissen et al (986), Horii (988), Jeerson e Wright (99), Gopalaratnam e Ye (99), Planas e Elices (99), Guinea et al (994), Li e Bazant (994), Ali (996) e Alaiate et al (997). No entanto, aqui, estes modelos constitutivos são usados sob uma abordagem ainda não explorada. Dierentes valores de deormações críticas são considerados e duas metodologias para a representação da heterogeneidade do concreto são apresentadas e comparadas neste trabalho. Objetiva-se, portanto, avaliar os resultados obtidos por cada análise, enocando os aspetos dinâmicos do processo da propagação de issuras em vigas de concreto. Alguns exemplos são avaliados e discutidos, possibilitando, através dos estudos conduzidos, o conhecimento do comportamento da propagação da issura ao longo do tempo e a inluência das ormas dos diagramas constitutivos aplicadas ao concreto sobre os resultados obtidos. vi

7 ABSTRACT AVALIATION OF CRACKING PROCESS IN CONCRETE BEAMS CONSIDERING DINAMICS ASPECTS Author: Maura Angélica Milont Shzu Supervisor: Graciela Doz Programa de Pós-graduação em Estruturas e Construção Civil Brasília, April o 6 The concrete is a quasibrittle and heterogeneous material. These attributes are avourable to arise cracks that could propagate with time in a loaded structures. Some advances o the racture mechanics theory applied to concrete have been already achieved. Nowadays, there are three basics models o constitutive diagrams used to simulate the concrete behaviour under crack propagation: the linear, bi-linear and non linear shapes. Several researchers used theses models or a comparative analysis, which are, Petersson (98), Rots et al (985), Cornelissen et al (986), Horii (988), Jeerson e Wright (99), Gopalaratnam e Ye (99), Planas e Elices (99), Guinea et al (994), Li e Bazant (994), Ali (996) e Alaiate et al (997). Though, these constitutive models are used, here, or an analysis that hadn t been discussed yet. Dierents values o critical deormations are consider and two methodologies or the simulation o the concrete heterogeneity are presented and compared in this work. The propose is to evaluate the results obtained by each analysis, emphasizing the dynamic aspects o crack propagation in concrete beams. Some examples are evaluated and discussed, allowing, through the analyses carried out, the knowledge o the behaviour o the crack propagation and the inluence o the constitutive law applied to concrete on results obtained. vii

8 SUMÁRIO - INTRODUÇÃO OBJETIVOS JUSTIFICATIVAS Ferramenta numérica Objeto de estudo Inluência da orma do diagrama constitutivo ESTRUTURAÇÃO DA TESE TEORIA DA MECÂNICA DA FRATURA UMA BREVE REVISÃO BIBLIOGRÁFICA CRITÉRIO DO BALANÇO ENERGÉTICO (TEORIA DE GRIFFITH) MODIFICAÇÃO DA TEORIA DE GRIFFITH POR IRWIN CRITÉRIO APROXIMADO DO CAMPO DE TENSÕES ELÁSTICA (TEORIA DE IRWIN) FATOR DE INTENSIDADE DE TENSÕES PARA ALGUNS CASOS PRÁTICOS LIMITE DE APLICABILIDADE... - MECÂNICA DA FRATURA APLICADA AO CONCRETO INTRODUÇÃO CARACTERÍSTICAS RELEVANTES DO CONCRETO MODELOS APROXIMADOS PARA A ANÁLISE NÃO LINEAR DA ZONA DE FRATURA Aproximação da issura discreta (modelo coesivo) Aproximação da issura distribuída MODELOS STRAIN-SOFTENING PARA A ANÁLISE NÃO LINEAR DO CONCRETO Modelo de Hillerborg, Modelo de Bazant, viii

9 .5 - DIFICULDADES MATEMÁTICAS ENCONTRADAS NOS MODELOS STRAIN-SOFTENING RECENTES CONTRIBUIÇÕES CIENTÍFICAS NA APLICAÇÃO DOS MÉTODOS NÃO LINEARES MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS INTRODUÇÃO DESCRIÇÃO DO MODELO UTILIZADO RELAÇÕES CONSTITUTIVAS PROPRIEDADES UNIDIRECIONAIS DO ELEMENTO CÚBICO CRITÉRIO DE RUPTURA E RELAÇÃO CONSTITUTIVA ELEMENTAR CONSIDERAÇÕES A RESPEITO DA ENERGIA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE MOVIMENTO FUNDAMENTOS TEÓRICOS Métodos de integração no tempo Aspectos da heterogeneidade Função de distribuição de probabilidade de Weibull Representação espectral Importância da consideração dos aspectos dinâmicos na ratura Particularidades do programa computacional MODELOS CONSTITUTIVOS INTRODUÇÃO MODELOS STRAIN-SOFTENING APLICADOS AO CONCRETO Modelo strain-sotening linear Modelo strain-sotening bi-linear Modelo strain-sotening não linear CONTRIBUIÇÕES ACADÊMICAS UTILIZANDO MODELOS STRAIN- SOFTENING APLICADOS AO CONCRETO... 8 ix

10 6 - ANÁLISES NUMÉRICAS INTRODUÇÃO MODELOS CONSTITUTIVOS ADOTADOS ANÁLISES NUMÉRICAS Análise comparativa das metodologias de Rios () e de Rocha (989) para a representação da heterogeneidade do concreto Simulação numérica utilizando o MED Resultados e discussões ANÁLISE DO PROCESSO DE PROPAGAÇÃO DA FISSURA Viga de Petersson (98) - Viga Inluência da variação da malha de discretização sobre os resultados obtidos com a simulação espectral Curvas orça-deslocamento vertical do ponto de aplicação da carga e curvas da variação da orça ao longo do tempo Curvas das energias gastas no processo de propagação da issura Trajetória da issura Curvas da variação da velocidade com o tempo Curvas da variação da aceleração com o tempo Viga de Petersson (98) - Viga Simulação numérica utilizando o MED Curvas orça-deslocamento vertical do ponto de aplicação da carga e curvas da variação da orça ao longo do tempo Curvas das energias gastas no processo de propagação da issura Trajetória da issura Curvas da variação da velocidade com o tempo Viga de Elices et al () Simulação numérica utilizando o MED Teste tipo I (K = ). Viga de Elices et al () Teste tipo (K ). Viga de Elices et al () CONCLUSÕES E SUGESTÕES CONCLUSÕES GERAIS CONCLUSÕES PARCIAS... 7 x

11 7.. - Viga do ensaio submetido à lexão em três pontos, Petersson (98) Viga de Elices et al () Teste tipo Viga de Elices et al () Teste tipo RECOMENDAÇÕESPARA TRABALHOS FUTUROS... 7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 7 xi

12 LISTA DE TABELAS Tabela 6.- Propriedades ísicas do material e parâmetros adotados para gerar o modelo teórico.... Tabela 6.- Propriedades ísicas do material e parâmetros adotados para gerar o modelo teórico da viga de Petersson (98)... 8 Tabela 6.- Propriedades ísicas do material e parâmetros adotados por Elices et al () Tabela 6.4- Propriedades ísicas do material e parâmetros adotados para gerar o modelo teórico da viga de Elices et al ()... 5 xii

13 LISTA DE FIGURAS Figura. - Placa bidimnesional de dimensões ininitas, (Broek, 988)... 7 Figura. - Esquema da variação da energia total, U, como uma unção do comprimento da issura, a, (Ewalds e Wanhil, 986)... Figura. - Diagrama orça-deslocamento para uma condição de deslocamento ixo... Figura.4 - Diagrama orça-deslocamento para uma condição de carregamento ixo... Figura.5 - Diagrama orça-deslocamento para uma variação muito pequena do comprimento da issura Figura.6 - Modos de carregamento, (Oller, )... 5 Figura.7 - Conigurações com atores de intensidades de tensões já deinidos, (Kanninen e Popelar, 985)... Figura.8 - Zona plástica na ponta extrema da issura, (Broek, 988)... Figura.9 - Correção do tamanho da issura em unção da plasticidade, (Ewalds e Wanhil, 986)... Figura. - Eeito do tamanho na escolha do método de análise da propagação da ratura, (Bazant e Oh, 98)... 4 Figura. - Características da zona de ratura. (a) Materiais rágeis; (b) materiais dúcteis; (c) materiais quase-rágeis (Bazant, )... 6 Figura. - Diagrama tensão - deormação. (a) Materiais dúcteis; (b) materiais quaserágeis (ACI COMMITE REPORT, 989) Figura.4 - Modelos strain-sotening (a) idealizado por Rashid, em 968, e (b) idealizado por Scanlon, 977. (ACI COMMITE REPORT, 989) Figura.5 - Zona de micro-issuras. (a) Tensão strain-sotening dentro da zona de ratura; (b) descarga ora da zona de ratura, (Rots et al, 985)... 8 Figura.6 - Modelo de Dugdale, 96, (Petersson, 98)... Figura.7 - Forças de coesão na extremidade da issura, (Petersson, 98).... Figura.8 - Curva de abrandamento do concreto. Modelo da issura ictícia, (Hillerborg et al, 976)... 4 Figura.9 - Curva de abrandamento do concreto. Modelo da banda de issura, (Bazant, )... 5 Figura. - Desenvolvimento da issura no modelo de Bazant, (Bazant e Oh, 98) Figura. - Inluência do comprimento do elemento no ramo descendente da lei σ(ε), (Oliver, 99) xiii

14 Figura 4. - Modelo cúbico apresentado por Nayeh e hezy (979) Figura 4. - Área eetiva de contribuição dos membros normais paralelos entre si, (Iturrioz, 995) Figura 4. - Plano que contém um conjunto de diagonais paralelas Figura Área eetiva de contrbuição das barras diagonais (Nayeh e hezy, 979) Figura Barras internas do elemento cúbico... 5 Figura Diagrama constitutivo elementar Figura Diagrama constitutivo elementar variando-se o valor de k r Figura Propagação instável da issura que resulta na geração da energia cinética, (Anderson, 994) Figura Diagrama de blocos simpliicado Figura 5. - Curvas strain-sotening para o concreto, (Gàlvez et al, ) Figura 5. - Modelos simpliicados da curva σ - ω. (a) Curva linear; (b) aproximação de Dugdale; (c) curva bi-linear para o concreto, e (d) curva bi-linear para um material de ibra armada, (Petersson, 98) Figura 5. - Curvas carga-deslocamento para os quatro modelos strain-sotening apresentados por Petersson (98). (a) Curva linear; (b) aproximação de Dugdale; (c) curva bi-linear para o concreto, e (d) curva bi-linear para um material de ibra armada Figura Relação tensão-deslocamento para materiais quase-rágeis, modelo de Hillerborg. (a) Modelo real aproximado, e (b) modelo bi-linear, (Petersson, 98) Figura Modelo strain-sotening não linear, (Bueno, 999)... 8 Figura Curva carga - deormação (ou deslocamento devido à lexão) experimental e teórica para uma viga à lexão em três pontos, (Petersson, 98)... 8 Figura Resposta carga-deslocamento à lexão para o modo I de ratura, (Rots et al, 985) Figura Resposta carga-abertura da issura para uma viga de duplo console, (Rots et al, 985) Figura Variações do comprimento da zona de ratura e abertura da issura medidos no momento de carga máxima, respectivamente, em relação ao tamanho da amostra, (Planas e Elices, 99) Figura 5. - Modelos de curvas strain-sotening, (Jeerson e Wright, 99). (a) Curva degrau secante; (b) curva degrau plano; (c) curva ina degrau plano, e (d) curva bi-linear padrão proposta por Petersson, (98) Figura 5. - Curvas strain-sotening linear e exponenciais, (Gopalaratnam e Ye, 99). 87 xiv

15 Figura 5. - Curva carga - delexão para os modelos strain-sotening linear e não linear, (Gopalaratnam e Ye, 99) Figura 5. - Energia de absorção versus comprimento da issura para dierentes tamanhos de vigas, (Gopalaratnam e Ye, 99) Figura Funções strain-sotening bi-linear, (Guinea et al, 994) Figura Curva carga - abertura da issura, onde σ N é a tensão nominal, (Guinea et al, 994)... 9 Figura Curva do eeito de escala calculada para os modelos strain-sotening linear, bi-linear, e pela lei do eeito de escala, onde D é a altura da viga e L é o comprimento característico, (Li e Bazant, 994)... 9 Figura Resposta carga-deslocamento, (Ali, 995) Figura 6. - Modelos constitutivos. (a) Linear (Petersson, 98); (b) bi-linear (Petersson, 98), e (c) não linear (Reinhardt, 984) Figura 6. - Esquema da viga ensaiada por Petersson (98) Figura 6. - Curva orça-deslocamento no centro do vão da viga (Petersson, 98) Figura Malha de dicretização de elementos discretos, viga... Figura Curva orça - deslocamentos da viga. Resultados de Petersson (98) e da análise do MED para um modelo strain-sotening linear considerando para a representação da heterogeneidade os métodos da análise espectral e da probabilidade de Weibull... Figura Malha de dicretização de elementos discretos ao longo de todo o comprimento da viga. Viga... Figura Curva orça-deslocamento, Petersson (98) versus MED. (a) Resultados do MED para uma malha de,m, e (b) Resultados do MED para uma malha de,m Figura Curva orça-deslocamentos da viga. Resultados de Petersson (98) e da análise do MED para um modelo strain-sotening linear... 5 Figura Curva orça-deslocamentos da viga. Resultados de Petersson (98) e da análise do MED para um modelo strain-sotening bi-linear Figura 6. - Curva orça-deslocamentos da viga. Resultados de Petersson (98) e da análise do MED para um modelo strain-sotening não linear... 6 Figura 6. - Curva orça-tempo da viga. Resultados da análise do MED para os três modelos strain-sotening xv

16 Figura 6. - Curvas strain-sotening com dierentes valores de deormação crítica, e. (a) curva strain-sotening linear; (b) curva strain-sotening bi-linear; (c) curva strain-sotening não linear Figura 6. - Curva orça-deslocamentos - viga. Resultados de Petersson (98) e da análise do MED para um modelo strain-sotening linear - Situação (E =,5 N/m ) Figura Curva orça-deslocamentos - viga. Resultados de Petersson (98) e da análise do MED para um modelo strain-sotening bi-linear - Situação (E =,5 N/m ) Figura Curva orça-deslocamentos - viga. Resultados de Petersson (98) e da análise do MED para um modelo strain-sotening não linear - Situação (E =,5 N/m ).... Figura Curva orça-tempo - viga. Resultados da análise do MED para os três modelos strain-sotening - Situação (E =,5 N/m )... Figura Curva orça-deslocamentos - viga. Resultados de Petersson (98) e da análise do MED para um modelo strain-sotening linear - Situação (ε três vezes maior).... Figura Curva orça-deslocamentos - viga. Resultados de Petersson (98) e da análise do MED para um modelo strain-sotening bi-linear - Situação (ε três vezes maior).... Figura Curva orça-deslocamentos - viga. Resultados de Petersson (98) e da análise do MED para um modelo strain-sotening não linear - Situação (ε três vezes maior).... Figura 6. - Curva orça-tempo - viga. Resultados da análise do MED para os três modelos strain-sotening - Situação (ε três vezes maior)... 4 Figura 6. - Variação das energias em unção do tempo. (a) energia externa; (b) energia elástica, e (c) energia de ratura... 6 Figura 6. - Variação das energias em unção do tempo - Situação (E =,5 N/m ). (a) energia externa; (b) energia elástica, e (c) energia de ratura Figura 6. - Variação das energias em unção do tempo - Situação (ε três vezes maior). (a) energia externa; (b) energia elástica, e (c) energia de ratura xvi

17 Figura Propagação da issura. Modelo strain-sotening linear. (a) Viga que mantém as propriedades deinidas por Petersson (98); (b) situação (E=,5. N/m ), e (c) situação (ε três vezes maior)... Figura Propagação da issura. Modelo strain-sotening bi-linear. (a) Viga que mantém as propriedades deinidas por Petersson (98); (b) situação (E=,5. N/m ), e (c) situação (ε três vezes maior)... Figura Propagação da issura. Modelo strain-sotening não linear. (a) Viga que mantém as propriedades deinidas por Petersson (98); (b) situação (E=,5. N/m ), e (c) situação (ε três vezes maior)... Figura Variação da velocidade de propagação da issura ao longo do tempo.... Figura Variação da velocidade de propagação da issura ao longo do tempo - Situação (ε três vezes maior) Figura Nó de controle. Ponto de reerência para medir as acelerações da propagação da issura... 5 Figura 6. - Variação da aceleração com o tempo. (a) na direção x do eixo cartesiano, e (b) na direção y do eixo cartesiano... 6 Figura 6. - Esquema da viga ensaiada por Petersson (98)... 7 Figura 6. - Curva orça - deslocamentos no centro do vão da viga (Petersson, 98)... 7 Figura 6. - Malha de dicretização de elementos discretos, viga... 8 Figura Curva orça - deslocamentos - viga. Resultados de Petersson (98) e da análise do MED para um modelo strain-sotening linear... 9 Figura Curva orça - deslocamentos - viga. Resultados de Petersson (98) e da análise do MED para um modelo strain-sotening bi-linear.... Figura Curva orça - deslocamentos - viga. Resultados de Petersson (98) e da análise do MED para um modelo strain-sotening não linear... Figura Curva orça-tempo da viga. Resultados da análise do MED para os três modelos strain-sotening.... Figura Curva orça-deslocamentos - viga. Resultados de Petersson (98) e da análise do MED para um modelo strain-sotening linear - Situação (E =, N/m ).... xvii

18 Figura Curva orça-deslocamentos - viga. Resultados de Petersson (98) e da análise do MED para um modelo strain-sotening bi-linear - Situação (E =, N/m ).... Figura Curva orça-deslocamentos - viga. Resultados de Petersson (98) e da análise do MED para um modelo strain-sotening não linear - Situação (E =, N/m ).... Figura Curva orça-tempo - viga. Resultados da análise do MED para os três modelos strain-sotening - Situação (E =, N/m )... Figura Curva orça-deslocamento - viga. Resultados de Petersson (98) e da análise do MED para um modelo strain-sotening linear - Situação (ε três vezes maior) Figura Curva orça-deslocamentos - viga. Resultados de Petersson (98) e da análise do MED para um modelo strain-sotening bi-linear - Situação (ε três vezes maior) Figura Curva orça-deslocamentos - viga. Resultados de Petersson (98) e da análise do MED para um modelo strain-sotening não linear - Situação (ε três vezes maior) Figura Curva orça-tempo - viga. Resultados da análise do MED para os três modelos strain-sotening - Situação (ε três vezes maior)... 6 Figura Variação das energias em unção do tempo. (a) energia externa; (b) energia elástica, e (c) energia de ratura... 7 Figura Variação das energias em unção do tempo - Situação (E =, N/m ). (a) energia externa; (b) energia elástica, e (c) energia de ratura Figura Variação das energias em unção do tempo - Situação (ε três vezes maior). (a) energia externa; (b) energia elástica, e (c) energia de ratura Figura Propagação da issura. Modelo strain-sotening linear. (a) Viga que mantém as propriedades deinidas por Petersson (98); (b) situação (E=,. N/m ), e (c) situação (ε três vezes maior)... 4 Figura Propagação da issura. Modelo strain-sotening bi-linear. (a) Viga que mantém as propriedades deinidas por Petersson (98); (b) situação (E=,. N/m ), e (c) situação (ε três vezes maior)... 4 xviii

19 Figura Propagação da issura. Modelo strain-sotening não linear. (a) Viga que mantém as propriedades deinidas por Petersson (98); (b) situação (E=,. N/m ), e (c) situação (ε três vezes maior)... 4 Figura Variação da velocidade de propagação da issura ao longo do tempo Figura Variação da velocidade de propagação da issura ao longo do tempo - Situação (ε três vezes maior) Figura Esquema da viga ensaiada por Elices et al () Figura Curva orça - deslocamentos no ponto de aplicação da carga. Resultados experimentais de Elices et al (). (a) Teste tipo, e (b) Teste tipo Figura Curva orça - deslocamentos no ponto de aplicação da carga. Média dos resultados experimentais de Elices et al (). (a) Teste tipo, e (b) Teste tipo Figura Malha de dicretização de elementos discretos Figura Curva orça - deslocamento. Resultados de Elices et al () e da análise do MED para um modelo strain-sotening linear. (a) teste tipo, e (b) teste tipo Figura Curvas orça - deslocamento. Resultados de Elices et al () e da análise do MED para um modelo strain-sotening linear. Teste tipo. (G = N/m) Figura Curvas orça - deslocamento. Resultados de Elices et al () e da análise do MED para um modelo strain-sotening bi-linear. Teste tipo. (G = N/m)... 5 Figura Curvas orça - deslocamento. Resultados de Elices et al () e da análise do MED para um modelo strain-sotening não linear. Teste tipo. (G = N/m)... 5 Figura Curva orça-tempo. Resultados da análise do MED para os três modelos strain-sotening. Teste tipo. (G = N/m)... 5 Figura Curvas orça-deslocamento. Resultados de Elices et al () e da análise do MED para um modelo strain-sotening linear. Teste tipo. (G = 5 N/m e ε três vezes maior) Figura Curvas orça-deslocamento. Resultados de Elices et al () e da análise do MED para um modelo strain-sotening bi-linear. Teste tipo. (G = 5 N/m e ε três vezes maior) Figura Curvas orça-deslocamento. Resultados de Elices et al () e da análise do MED para um modelo strain-sotening não linear. Teste tipo. (G = 5 N/m e ε três vezes maior) Figura Curvas orça-tempo. Resultados da análise do MED para os três modelos strain-sotening. Teste tipo. (G = 5 N/m e ε três vezes maior) xix

20 Figura Variação das energias em unção do tempo - Teste tipo (G = N/m). (a) energia externa; (b) energia elástica e (c) energia de ratura Figura Variação das energias em unção do tempo - Teste tipo (G = 5 N/m e ε três vezes maior). (a) energia externa; (b) energia elástica e (c) energia de ratura Figura Propagação da issura. modelo strain-sotening linear - Teste tipo. (a) situação - (G = N/m); (b) situação - (G = 5 N/m e ε três vezes maior)... 6 Figura Propagação da issura. modelo strain-sotening bi-linear - Teste tipo. (a) situação - (G = N/m); (b) situação - (G = 5 N/m e ε três vezes maior)... 6 Figura Propagação da issura. modelo strain-sotening não linear - Teste tipo. (a) situação - (G = N/m); (b) situação - (G = 5 N/m e ε três vezes maior)... 6 Figura Variação da velocidade de propagação da issura ao longo do tempo. Teste tipo (G = N/m) Figura Variação da velocidade de propagação da issura ao longo do tempo. Teste tipo (G = 5 N/m e ε três vezes maior) Figura Curvas orça - deslocamento. Resultados de Elices et al () e da análise do MED para um modelo strain-sotening linear. Teste tipo. (G = N/m) Figura Curvas orça - deslocamento. Resultados de Elices et al () e da análise do MED para um modelo strain-sotening bi-linear. Teste tipo. (G = N/m) Figura Curvas orça - deslocamento. Resultados de Elices et al () e da análise do MED para um modelo strain-sotening não linear. Teste tipo. (G = N/m) Figura Curvas orça - deslocamento. Resultados de Elices et al () e da análise do MED para um modelo strain-sotening linear, bi-linear e não linear. Teste tipo. (G = 5 N/m e ε três vezes maior) xx

21 LISTA DE SÍMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAÇÕES a - Comprimento da issura a a eq A b c c A C i,j C ρ CV D E EA d EA n n t tk ck cm tm F - Comprimento real da issura - Comprimento equivalente da issura - Área de inluência da barra - Abertura da issura - Amortecimento proporcional à massa - Constante que relaciona a área de inluência da barra e seu comprimento - Matriz das constantes elásticas - Velocidade de propagação da onda - Coeiciente de variação para simular a heterogeneidade do material - Constante vinculada ao coeiciente de amortecimento crítico - Módulo de elasticidade - Rigidez das barras diagonais - Rigidez das barras normais - Frequência natural de vibração do modo n - Tensão máxima - Resistência característica à tração do concreto - Resistência característica à compressão do concreto - Resistência média à compressão do concreto - Resistência de tração média do concreto - Trabalho realizado pelas orças externas G - Energia elástica liberada no processo de ratura, (Griith, 9) G c - Energia elástica crítica liberada no processo de ratura, (Griith, 9) G G c k r K K I K IC l ch L c - Energia especíica de ratura - Energia especíica de ratura crítica - Fator de ductilidade - Fator de intensidade de tensões - Fator de intensidade de tensões no modo I de ratura - Fator de intensidade crítico de tensões no modo I de ratura - Comprimento característico de ratura - Comprimento do elemento discreto xxi

22 L cr m P P cr r r R R T U U U a U γ V t crit β δ ε ε p ε γ γ e γ p ν ϕ i,j ϕ d ϕ n σ σ x, σ y τ xy ω ϑ - Comprimento crítico do elemento discreto - Massa - Força concentrada - Força máxima - Distância da ponta da issura até um ponto na superície da amostra - Metade da largura da zona plástica - Energia absorvida no processo de ratura - Fator de alha - Energia cinética - Energia total - Energia elástica de uma placa sem alhas - Variação da energia de deormação elástica - Variação da energia de superície elástica - Velocidade de propagação da issura - Intervalo crítico de integração - Parâmetro de escala da distribuição de Weibull - Delexão - Deormação - Deormação associada à tensão crítica de ruptura - Deormação para a qual a issura já está completamente desenvolvida - Parâmetro de orma da distribuição de Weibull - Energia de ratura proveniente do trabalho elástico - Energia de ratura proveniente do trabalho plástico - Coeiciente de Poisson - Constantes elásticas - Constantes elásticas das barras diagonais - Constantes elásticas das barras normais - Tensão - Tensão na direção x e y, respectivamente - Tensão cisalhante - Abertura dos lábios da issura - Módulo de elasticidade transversal xxii

( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )

( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) Física 0 Duas partículas A e, de massa m, executam movimentos circulares uniormes sobre o plano x (x e representam eixos perpendiculares) com equações horárias dadas por xa ( t ) = a+acos ( ωt ), ( t )

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