MOQ 43 PESQUISA OPERACIONAL. Professor: Rodrigo A. Scarpel

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1 MOQ 43 PESQUISA OPERACIONAL Professor: Rodrigo A. Scarpel

2 Pesquisa Operacional Pesquisa Operacional é o uso do método científico com o objetivo de prover departamentos executivos de elementos quantitativos para a tomada de decisões Kittel ( 1947) A Pesquisa Operacional é a aplicação do método científico, por equipes multidisciplinares, a problemas envolvendo o controle de sistemas organizados de forma a fornecer soluções que melhor interessam a determinada organização Ackoff (1968) Conceitos-chave: a) uso ou aplicação para resolver problemas reais b) apoio a tomada de decisões c) multidisciplinariedade

3 Pesquisa Operacional Durante a Segunda Guerra Mundial, os líderes militares solicitaram que cientistas estudassem problemas como posicionamento de radares, armazenamento de munições e transporte de tropa, etc... A aplicação do método científico e de ferramentas matemáticas em operações militares passou a ser chamado de Pesquisa Operacional. A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada voltada para a resolução de problemas reais, tendo como foco a tomada de decisões.

4 O processo da Pesquisa Operacional:

5 O processo da Pesquisa Operacional: Definição do problema: 1. Quais são as alternativas para a decisão? 2. Sob quais restrições a decisão é tomada? 3. Qual seria um critério objetivo para avaliar as alternativas? Implementação da solução Validação do modelo: 1. Formulação está adequada? 2. Resolve o problema? Construção do modelo: Resolução do modelo: 1. Utilização de algoritmos ou métodos de resolução 2. Análise de sensibilidade

6 Definição do problema: Gestão da Cadeia de Suprimentos: Strategic Facility, Product & Capacity Planning Tactical Execution Component Supplier Management Advanced Planning & Scheduling Transportation Planning ERP Produção funcional sob encomenda Inventory Planning Produção em linha Demand Planning Produção em lotes por grupo Produção em linha por lotes Source: Supply Chain Management Review Supply Operations Logistics Demand

7 Definição do problema: Planejamento de empresas de transporte aéreo: Source: Prof C. Barnhart (MIT)

8 Construção do modelo: Categorias de modelos: Relacionamento funcional f( ) Valores das variáveis independentes Técnicas de Pesquisa Operacional M O D E L O S Prescritivos (determinísticos) Preditivos Descritivos (estocásticos) Conhecido, bem definido Desconhecido, mal definido Conhecido, bem definido Conhecido ou sob o controle do tomador de decisão Conhecido ou sob o controle do tomador de decisão Desconhecido ou incerto Programação linear, não linear, inteira, Redes, Combinatória, entre outras Análise de regressão, Análise de séries temporais, entre outras Simulação, teoria de filas, otimização robusta, entre outros

9 Programação da disciplina: Semana Conteúdo 1 Apresentação da disciplina. Formulação de problemas de programação matemática. 2 Introdução à Programação Linear (PL). Resolução gráfica de problemas de PL. 3 Resolução de Problemas de PL pelo método simplex. A matemática do método simplex. 4 Análise de Sensibilidade. Problemas com soluções iniciais (Método das 2 fases e o Big-M). Degeneração, ciclagem e convergência do método simplex. 5 O problema dual. Formulação e Interpretação econômica do problema dual. Teoremas da dualidade. 6 Algoritmos simplex adicionais. Análise pós-otimização. 7 Prova 1 8 Princípios de programação multiobjetivo. Resolução computacional de problemas de programação matemática. 9 (1) O Problema do Transporte (e do transbordo). O Problema da Designação. 10 (2) Programação Linear Inteira. O método Branch and Bound. 11 (3) Otimização em Redes. O problema do caixeiro viajante e do carteiro chinês. Os problemas do caminho mínimo, do fluxo máximo e da árvore geradora mínima. 12 (4) Princípios de otimização combinatória. Programação dinâmica. 13 (5) Introdução a programação não-linear. 14 (6) Otimização global e métodos não exatos para resolução de problemas de programação matemática. 15 (7) Prova 2 16 (8) Fechamento da disciplina.

10 Avaliação: 2 Provas (1 por bimestre na 7 a semana) Exame: 1 Trabalho individual (entrega até o dia 8/12 às 12h) Itens do relatório Avaliação do trabalho: Formulação do problema Resolução por computador Análise de sensibilidade Interpretação dos resultados 1. O TRABALHO FOI ENTREGUE DENTRO DO PRAZO? (20%) 2. A FORMULAÇÃO E RESOLUÇÃO ESTÃO CORRETAS? (40%) 3. A INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS E A ANÁLISE DE SENSIBILIDADE ESTÃO CORRETAS? (30%) 4. O RELATÓRIO ESTÁ BEM FEITO? (10%)

11 Bibliografia: Taha, H. A., Pesquisa Operacional, 8 a edição. Pearson (Prentice-Hall), Taha, H. A. Operations Research An Introduction, 8th.edition. Pearson (Prentice Hall), Winston, W.L., Operations Research, 4th.edition. Brooks/Cole (Thomson), Wagner, H.M., Pesquisa Operacional, 2 a edição. Prentice-Hall do Brasil, Hillier, F.S. and Lieberman, G.J., Introduction to Operations Research, McGraw Hill, 2000.

12 MOQ 43 FORMULAÇÃO EM PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA Professor: Rodrigo A. Scarpel

13 ETAPAS NA FORMULAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO: Identificar as variáveis de decisão do problema Construir sua função objetivo Definir suas restrições Construção do modelo:

14 PROBLEMAS CLÁSSICOS: Problema da mistura Problemas de planejamento Problemas de alocação de recursos Problemas de localização e cobertura Problemas de corte e empacotamento Ajuste de curvas Otimização de carteiras de investimento

15 PROBLEMAS CLÁSSICOS: o problema da mistura Estão entre os primeiros problemas de programação linear implementados com sucesso na prática. Essa classe de problemas consiste em combinar materiais com o objetivo de gerar produtos com características convenientes (respeitando as restrições) minimizando seu custo de produção. Exemplos: Formulação de rações / dietas Formulação de produtos na indústria química Formulação de ligas metálicas

16 Problema 1: Problema da Mistura Quanto comprar de cada insumo? Quanto fabricar de cada produto? MP MP1: Gasolina Pura MP2: Octanas MP3: Aditivos P1: Gasolina Verde P2: Gasolina Azul P3: Gasolina Amarela Gasolina Octanas Aditivos Lucro Pura Gasolina Verde 22% 50% 28% R$ 0,48/l Gasolina Azul 55% 32% 13% R$ 0,40/l Gasolina Amarela 72% 20% 8% R$ 0,29/l Disponibilidade (l)

17 PROBLEMAS CLÁSSICOS: problemas de planejamento Esta é uma classe de problemas bastante ampla sendo aplicável a problemas de planejamento da produção e financeiro. Essa classe de problemas (produção) consiste em decidir quais produtos e quanto fabricar em um período respeitando as restrições (máquinas, insumos, demanda, capacidade de armazenagem, ) maximizando o lucro obtido. Exemplos: Mix de produção (planejamento estático) Planejamento em multiplos períodos

18 Problema 2: Mix de Produção (planejamento estático) MADEIRA CORTE MONTAGEM ACABAMENTO PORTA DE MADEIRA L=$4,00 ALUMÍNIO PORTA DE ALUMÍNIO L=$6,00 Corte Montagem Acabamento Madeira 1,5 h/porta 3,0 h/porta 1 h/porta Alum ínio 4,0 h/porta 1,5 h/porta 1 h/porta Disponibilidade 24 h 21 h 8 h EXPANSÃO DA PRODUÇÃO: MÁQUINA CORTE: +5h (INVEST=$50) / +15h (INVEST=$80) MÁQUINA MONTAGEM: +6h (INVEST=$30) / +15h (INVEST=$50) NOVAS RESTRIÇÕES: INVESTIMENTO NÃO PODE EXCEDER $120 POSSÍVEIS RELAÇÕES DE PRECEDÊNCIA ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUSIVAS NECESSIDADE DE SET-UP: CORTE: +0,5h (MADEIRA) / +1h (ALUMÍNIO)

19 Problema 2: Mix de Produção Curto prazo: planejamento da produção Quanto comprar de cada insumo? Quanto fabricar de cada produto? Médio prazo: expansão da produção Quais etapas do processo são gargalo? Planejamento da expansão

20 Problema 3: Problema do Planejamento da Produção Um fabricante de barcos deve decidir quantas unidades serão fabricadas nos próximos 4 trimestres. Em sua carteira de pedidos há 40 barcos a serem entregues no primeiro trimestre, 60 no segundo trimestre, 75 no terceiro trimestre e 25 no quarto trimestre. No início do primeiro trimestre o fabricante terá 10 barcos em estoque e tem capacidade de produzir 40 barcos por trimestre (nesse caso cada barcos custa $40.000). Há a possibilidade de produzir unidades adicionais, porém o custo unitário vai para $ O custo de carregamento (manter um barco estocado) é de $ Faça o planejamento da produção objetivando minimizar o custo total nos próximos 4 trimestres.

21 Problema 4: Problema da Programação de Projetos Construir pilares de uma edificação: ATIVIDADE DESCRIÇÃO PREDECESSOR IMEDIATO DURAÇÃO (h) A Preparo da armadura - 6 B Preparo da forma - 5 C Lançamento da armadura A 4 D Lançamento da forma B, C 2 E Providências para concretagem - 2 F Aplicação do concreto E, D 3 G Cura do concreto F 72 H Desforma do pilar G 3 Objetivos: i. Determinar o número mínimo de horas para o projeto ii. Determinar o caminho crítico Vars. Decisão: t i (tempo de início da atividade i, i=a,...,h)

22 PROBLEMAS CLÁSSICOS: probl. alocação de recursos Esta é uma classe de problemas aplicável aos problemas operacionais das empresas (programação das atividades). Essa classe de problemas consiste em decidir como os recursos existentes (recursos humanos, aeronaves, equipamentos, ) serão alocados de forma a atender o planejamento, minimizando a quantidade de recursos necessários. Exemplos: Alocação dos funcionários Alocação de aeronaves e tripulantes.

23 Problema 5: Programação de ônibus Uma empresa de transporte urbano de passageiros quer determinar a quantidade mínima de ônibus necessários para atender sua programação. Dados: 1.Devido à mautenção diária obrigatória, cada ônibus só pode circular apenas 8 horas sucessivas por dia 2. Necessidade:

24 PROBLEMAS CLÁSSICOS: cobertura e localização: Problema da cobertura: selecionar o menor número de colunas para atender todas as linhas de uma matriz. Utilidade: localização de instalações (postos de atendimento), divisão de regiões para exploração da força de vendas, Pontos pretos indicam que a coluna atende a linha

25 Problema 6: COBERTURA E LOCALIZAÇÃO 1,2 F 2,1 1,9 B H 1,2 I 3,4 X A 1,7 1,9 K 1,7 2,8 M 2,2 1,5 0,7 D E 3,2 1,3 1,2 L 2,2 2,1 O 1,2 0,9 C 2,5 3,2 N 0,8 1,4 G 1,2 J 0,7 P Q R 4,6 2,4 2,2 0,5 0,8 1,4 2,6 4,2 S 1,2 2,2 T U V 2,8 Z

26 Problema 6: COBERTURA E LOCALIZAÇÃO 1,2 A 1,7 1,9 K 1,7 F H 2,1 1,9 B 0,9 2,2 1,5 C 0,7 D 2,5 E 3,2 1,3 3,2 1,2 2,8 L N 2,2 2,1 0,8 M 1,4 O 1,2 G J 0,7 Q 1,2 1,2 P I 2,4 0,5 1,4 0,8 2,6 S R T 4,2 1,2 2,2 3,4 2,2 V 4,6 U X 2,8 Z Distância máxima: 3 km A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V X Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V X Z

27 PROBLEMAS CLÁSSICOS: probl. corte e empacotamento Problema 7: Corte de rolos de papel Uma empresa fabrica rolos de papel com 20 pés de comprimento (diâmetro padrão). Em uma certa semana recebeu 3 pedidos: Como fazer as entregas de forma a minimizar a perda devido ao corte dos rolos?

28 Problema 7: Corte de rolos de papel

29 Problema 8: Ajuste de curvas Um pouco de história Ajuste de curvas: 1. MAE 1786 e MSAE Mínimos quadrados / MSE 1809

30 Problema 9: Otimização de carteiras de investimento PortVar n i1 2 i p 2 i n1 n 2 i1 ji1 ij p i p j, em que p i é a proporção da carteira investida no ativo i, i 2 é a variância do retorno do ativo i e ij = ji é a covariância entre os investimentos i e j. Matriz de variâncias e covariâncias:

31 MOQ 43 PROGRAMAÇÃO LINEAR Professor: Rodrigo A. Scarpel

32 Problemas de programação linear (PPL): ( Maximizar Z: função objetivo / Minimizar) Z a Sujeito a :..., a i : coeficientes da função objetivo, i = 1,,n x i : variáveis de decisão, i = 1,,n b ji : coeficientes tecnológicos, i = 1,,n e j = 1,,k c j : constantes do lado direito (right-hand-side), j = 1,,k b b b k1 x x x x x , a b b b k 2 x 2 x x 2 x a x... b... b... b 2, n 1n 2n kn x n x n n x xn x n c c c k

33 Hipóteses em Programação Linear: Proporcionalidade: todos os retornos / custos e recursos utilizados variam proporcionalmente a variável de decisão (não há economia de escala); Aditividade: o efeito total de quaisquer duas variáveis é a soma dos efeitos individuais (não há sinergia ou efeito de substituição). Exemplo: o custo total é a soma dos custos individuais; Divisibilidade: as variáveis de decisão podem assumir valores fracionados. Se essas variáveis só puderem assimir valores inteiros o problema é de programação inteira (PI); Certeza (Determinístico): todos os parâmetros do modelo são constantes conhecidas (não são variáveis aleatórias);

34 Problema 1: Mix de Produção Giapetto Woodcarving, Inc fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido por $27 e usa $10 de matéria-prima. Cada soldado fabricado incrementa os custos variáveis de trabalho e "overhead" por $14. Um trem é vendido por $21 e usa $9 de matéria-prima. Cada trem produzido incrementa os custos variáveis de trabalho e "overhead" por $10. A fabricação de soldados de madeira e de trens requer dois tipos de trabalho qualificado: carpintaria e acabamento. Um soldado requer 2 horas de trabalho de acabamento e 1 hora de trabalho de carpintaria. Um trem requer 1 hora de trabalho de acabamento e 1 hora de trabalho de carpintaria. A cada semana, Giapetto pode obter toda a matéria prima necessária, mas dispõe de somente 100 horas de trabalho de acabamento e 80 horas de trabalho de carpintaria. A demanda para os trens é ilimitada, mas no máximo 40 soldados são vendidos a cada semana. A Giapetto deseja determinar seu mix de produção de forma a maximizar seu lucro semanal (faturamento menos custos).

35 Formas de Representação: Formato padão: todas as restrições são igualdades e todas as variáveis são não-negativas. Formato canônico: (problema de minimização) todas as variáveis são não-negativas e todas as restrições são do tipo.

36 Método Simplex Formalização (Problema de Maximização): Inicialização: Encontrar uma solução básica viável ( B). Passo principal: Seja z k - c k = Mínimo {z j - c j : j R}. Se z k - c k 0 pare - a solução é ótima. Caso contrário examine y k. Se y k 0 pare a solução ótima é ilimitada. Se y k > 0 determine o índice r como: r Minimo 1im b y i ik : y ik 0 Atualize o tableau pivotando em y ik (atualize as variáveis básicas e as não básicas com x k que entra na base e x i que sai). Repita o passo principal

37 B R Em cada iteração: x B = B -1.b w = c BT.B -1 z = w.b = c B.B -1. b z j - c j = w.a j - c j y j = B -1. a j A matemática do método simplex: a a a a a a A n,m 1,m n,2 1,2 n,1 1,1 m 1 b b b, m 1 n 1 f f x x x, 0 0 c c c n 1,

38 Problema 2: Problema da Mistura Um fabricante de bebidas pretende lançar um novo refrigerante que é obtido misturando refrigerante sabor laranja e suco de laranja. Análises executadas pelo fabricante mostraram que cada ml de refrigerante sabor laranja tem 5 mg de açúcar e 1 mg de vitamina C e que cada 1 ml de suco de laranja tem 2 mg de açúcar e 3 mg de vitamina C. O custo de produção de 100 ml de refrigerante sabor laranja é de R$0,20 e de 100 ml de suco de laranja é de R$0,50. O departamento de marketing da empresa decidiu que o novo refrigerante será comercializado em embalagens de 300 ml e que cada unidade do produto deve conter no mínimo 600 mg de vitamina C e no máximo mg de açúcar. O fabricante deseja determinar a composição do novo refrigerante de forma a minimizar o custo para produzir o produto.

39 Método Simplex Formalização (Problema de Minimização): Inicialização: Encontrar uma solução básica viável ( B). Alternativas (se a origem não for uma solução viável): Método das 2 fases / Big-M Passo principal: Seja z k - c k = Máximo {z j - c j : j R}. Se z k - c k 0 pare - a solução é ótima. Caso contrário examine y k. Se y k 0 pare a solução ótima é ilimitada. Se y k > 0 determine o índice r como: r Minimo 1im b y i ik : y ik 0 Atualize o tableau pivotando em y ik (atualize as variáveis básicas e as não básicas com x k que entra na base e x i que sai). Repita o passo principal

40 MOQ 43 DEGENERAÇÃO, CICLAGEM E CONVERGÊNCIA DO SIMPLEX Professor: Rodrigo A. Scarpel rodrigo@ita.br

41 Degeneração em programação linear: Definição: Um PPL é degenerado se há pelo menos uma solução básica viável com uma variável básica com valor zero (=0). Se há, essa solução é uma solução básica viável degenerada. A degeneração ocorre quando há empate na saída (regra da razão). Consequências da degeneração: Se um PPL é degenerado o simplex pode apresentar inconsistências. Se um PPL tem muitas soluções básicas viáveis degeneradas o simplex costuma ser ineficiente. Se um PPL é degenerado pode haver ciclismo, o que pode interferir na convergência do algoritmo.

42 Exemplo de PPL degenerado, inconsistente e ineficiente: FO: Max Z = 5*x 1 + 3*x 2 x 2 S.A. 4*x 1 + 2*x *x 1 + 1*x *x 1 + 1*x 2 4 x 1, x 2 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS Z x x x Z 0-7/4 0 5/4 0 25/2 x x 1 1 1/4 0 1/4 0 5/2 x 5 0 3/4 0 1/4 1 3/2 Z 0 0 7/4-1/ x x /4 1/2 0 2 x /4 1/2 1 0 Z x / x / x / x 1

43 Exemplo de ciclagem: FO: Min -¾ x 1 +20x 2 ½ x 3 +6x 4 S.A. ¼ x 1 8x 2 x 3 + 9x 4 0 ½ x 1 12x 2 ½ x 3 +7x 4 0 x 3 1 x 1, x 2, x 3, x 4 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 RHS Z 3/4-20 1/ x 5 1/ x 6 1/ / x Z 0 4 7/ x x / x Z x x /8-15/4-1/2 1/4 0 0 x Z -1/ x 3 1/ /2-3/ x 2-3/ /16 1/16-1/8 0 0 x 7-1/ /2 3/ Z 1/ x 3-5/ x 4-1/4 16/ /3-2/3 0 0 x 7 5/ Z 7/ / x 5-5/4 28 1/ x 4 1/6-4 -1/ /3 0 0 x Z 3/4-20 1/ x 5 1/ x 6 1/ / x

44 Regra para previnir o ciclismo: Regra Lexicográfica: Passo principal: Seja z k -c k = Max {z j -c j : jr}. Se z k - c k 0 pare - a solução é ótima. Caso contrário examine y k. Se y k 0 pare a solução ótima é ilimitada. Se y k > 0 determine o índice r como: r Minimo 1im b y i ik : y ik 0 Em caso de empate, deixará a base a variável com o menor y ik Atualize o tableau pivoteando em y ik (atualize as variáveis básicas e as não básicas com x k que entra na base e x i que sai). Repita o passo principal

45 Exemplo de PPL degenerado, inconsistente: FO: Max Z = 5*x 1 + 3*x 2 x 2 S.A. 4*x 1 + 2*x *x 1 + 1*x *x 1 + 1*x 2 4 x 1, x 2 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS Z x x x Z 0-7/4 0 5/4 0 25/2 x x 1 1 1/4 0 1/4 0 5/2 x 5 0 3/4 0 1/4 1 3/2 Z /3 7/3 16 x /3-4/3 0 x /3-1/3 2 x /3 4/3 2 x 1

46 Regra para previnir o ciclismo: Regra de Brant: Passo principal: Seja z k -c k = Max (Min) {z j -c j : jr}. Se z k - c k () 0 pare - a solução é ótima. Caso contrário examine y k. Se y k 0 pare a solução ótima é ilimitada. Se y k > 0 determine o índice r como: r Minimo 1im b y i ik : y ik 0 Em caso de empate, deixará a base a variável com o menor (maior) y ik Atualize o tableau pivoteando em y ik (atualize as variáveis básicas e as não básicas com x k que entra na base e x i que sai). Repita o passo principal

47 Exemplo de PPL degenerado, inconsistente: FO: Max Z = 5*x 1 + 3*x 2 x 2 S.A. 4*x 1 + 2*x *x 1 + 1*x *x 1 + 1*x 2 4 x 1, x 2 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS Z x x x Z 0-7/4 0 5/4 0 25/2 x x 1 1 1/4 0 1/4 0 5/2 x 5 0 3/4 0 1/4 1 3/2 Z /3 7/3 16 x /3-4/3 0 x /3-1/3 2 x /3 4/3 2 x 1

48 Convergência do método simplex: Teorema: se todas as soluções básicas viáveis de um PPL forem não degeneradas, o método simplex é finito. Implicações: Número máximo de soluções básicas viáveis: n! / (n-m)!m! Na prática observa-se que o número máximo de iterações não passa de 3m/2. Assim, este pode ser considerado um bom ponto de parada. Como se houver degeneração, no caso extremo pode haver ciclismo, se houver degeneração o método simplex pode não ser finito.

49 OBSERVAÇÃO Este material refere-se às notas de aula do curso MOQ-43 (Pesquisa Operacional) do Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Não substitui o livro texto, as referências recomendadas e nem as aulas expositivas. Este material não pode ser reproduzido sem autorização prévia do autor. Quando autorizado, seu uso é exclusivo para atividades de ensino e pesquisa em instituições sem fins lucrativos.