rio de Guerra Eletrônica EENEM 2008 Estatística stica e Probabilidade 1/59

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1 ITA - Laboratório rio de Guerra Eletrônica EENEM 2008 Estatística stica e Probabilidade Aula 06: Intervalo de Confiança e Teste de Hipótese 1/59

2 população probabilidade (dedução) inferência estatística stica (indução) amostra 2/59

3 Inferência Estatística stica Utilização de dados amostrais para fazer inferências (ou generalizações ões) sobre uma população para estimar o valor de um parâmetro populacional ou para formular uma conclusão sobre uma população 3/59

4 Lembrar: Dados coletados de forma imprecisa ou descuidada podem ser totalmente destituídos dos de valor, mesmo que a amostra seja suficientemente grande 4/59

5 Teorema Central do Limite Sejam X 1, X 2,, X n uma seqüência de variáveis veis aleatórias iid cada uma tendo média µ e variância σ 2. Então para um n grande,, a distribuição de X 1 + X X n é aproximadamente normal com média nµ e variância nσ 2. Logo: X X n 1 n μ ~ N (0,1) σ n 5/59

6 Teorema Central do Limite conseqüência do TCL: na medida em que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição amostral das médias amostrais tende para uma distribuição normal fundamento para a estimativa de parâmetros populacionais e para o teste de hipóteses 6/59

7 Teorema Central do Limite se extraímos amostras de mesmo tamanho da mesma população ão, calculamos suas médias e construímos um histograma dessas médias, esse histograma tende para a forma de um sino de uma distribuição normal isso é verdade independentemente da forma da distribuição da população original -> exemplo EXCEL 7/59

8 Teorema Central do Limite Dado: A variável vel aleatória x tem distribuição (que pode ser normal ou não), com média μ e desvio-padrão σ Amostras de tamanho n são extraídas aleatoriamente dessa população 8/59

9 Teorema Central do Limite Conclusões: Na medida em que o tamanho da amostra aumenta,, a distribuição das médias amostrais x tende para uma distribuição normal A média das médias amostrais será a média populacional μ (μ x = μ) O desvio-padrão das médias amostrais será σ x = σ/ n 9/59

10 10/59

11 Teorema Central do Limite Regras práticas de uso comum: Para amostras de tamanho n > 30, a distribuição das médias amostrais pode ser aproximada satisfatoriamente por uma distribuição normal. A aproximação melhora na medida em que aumenta o tamanho da amostra n 11/59

12 Teorema Central do Limite Regras práticas de uso comum: Se a própria pria distribuição original (a população ão) ) tem distribuição normal então as médias amostrais terão distribuição normal para qualquer tamanho amostral n. 12/59

13 Exemplo Dado que a população de homens tem pesos distribuídos dos normalmente com média de 173 lb e desvio-padrão de 30 lb (com base em dados do National Health Survey dos EUA), determine a probabilidade de que a) um homem escolhido aleatoriamente pese mais de 180 lb b) em 36 homens escolhidos aleatoriamente,, o peso médio seja superior a 180 lb 13/59

14 Exemplo a) estamos em face de um valor individual proveniente de uma população com distribuição normal: z = (x - μ)/ )/σ = ( )/30 = 0,23 Recorremos à tabela A.3 para determinar Φ(0,23) = 0,5910. Entretanto, estamos interessados na probabilidade de que o homem pese mais de 180 lb, ou seja: 1-0,5910 = 0,4090 ( ( 41%) 14/59

15 Exemplo b) utilizamos o TLC pois estamos lidando agora com a média para um grupo de 36 valores,, e não um valor individual. Como temos agora uma distribuição de médias amostrais, devemos usar os parâmetros μ x e σ x, que são calculados como segue: μ x = μ = 173 σ x = σ/ n n = 30/ = 5 15/59

16 Exemplo z = (x - μ x )/σ x = ( )/5 = 1, Φ(1,40) = 1-0,9192 = 0,0808 ( ( 8,1%) Há uma probabilidade de 41% de um homem pesar mais de 180 lb, mas a probabilidade de 36 homens terem peso médio superior a 180 lb é de apenas 8,1%. É muito mais fácil um único indivíduo duo se afastar da média,, do que um grupo de 36 indivíduos duos.. Um peso extremo entre os 36 perderá seu impacto quando considerado em conjunto com os outros 35 pesos. 16/59

17 Exercício cio 35 As idades dos aviões comerciais dos EUA têm uma média de 13,0 anos e um desvio-padrão de 7,9 anos (com base em dados da FAA, o Departamento de Aviação Civil dos EUA). Se a FAA seleciona aleatoriamente 35 aviões comerciais para um teste especial de resistência,, determine a probabilidade de a idade média desse grupo de aviões ser superior a 15,0 anos. 17/59

18 Definição Um intervalo de confiança (ou estimativa intervalar) é uma amplitude (ou( um intervalo) ) de valores que tem probabilidade de conter o verdadeiro valor da população 18/59

19 Definição O grau de confiança é a probabilidade 1 - α (comumente expressa como o valor percentual equivalente) ) de o intervalo de confiança conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional.. O grau de confiança também é chamado nível de confiança ou coeficiente de confiança. 19/59

20 grau de confiança São escolhas comuns para o grau de confiança: : 90% (com α = 0,10), 95% (com α = 0,05) e 99% (com α = 0,01). Dentre essas,, a mais utilizada é 95%. α/2 1 - α α/2 -z α/2 z α/2 20/59

21 Definição Um valor crítico é o número na fronteira que separa os valores das estatísticas sticas amostrais prováveis veis de ocorrerem,, dos valores que têm pouca chance de ocorrer.. O número z α/2 é um valor crítico que é um escore z com a propriedade de separar uma área de α/2 na cauda direita da distribuição normal padrão. Há uma área de 1 α entre as fronteiras verticais em -z α/2 e z α/2 /2. 21/59

22 Exercício cio 36 Ache o valor crítico z α/2 correspondente aos graus de confiança 90%, 95% e 99%. grau de confiança α valor crítico z α/2 90% 95% 99% 22/59

23 Definição Quando utilizamos dados amostrais para estimar uma média populacional μ,, a margem de erro, denotada por E, é a diferença máxima provável vel (com probabilidade 1 α) ) entre a média amostral observada x e a verdadeira média populacional μ.. A margem de erro E é chamada também erro máximo da estimativa e pode ser obtida multiplicando-se o valor crítico pelo 23/59 desvio-padrão das médias amostrais.

24 Intervalo de confiança para a média populacional μ com base em grandes amostras (n>30) x - E < μ < x + E onde E = z α/2 s σ n se n > 30 podemos substituir σ pelo desvio-padrão amostral s 24/59

25 Interpretação Desde que utilizemos dados amostrais para achar os limites específicos x ± E, esses limites incluirão, ou não incluirão,, a média populacional μ. É incorreto afirmar que μ tem 95% de chance de estar entre os limites porque μ é uma constante, não uma variável vel aleatória ria. 25/59

26 Interpretação do intervalo de confiança verdadeiro valor de μ A correta interpretação de 95% de confiança baseia-se na interpretação de probabilidade pela freqüência no longo prazo. Espera-se que, após um grande número de repetições, 95% dos intervalos contenham o verdadeiro valor da média. 26/59

27 Exercício cio 37 Os dois intervalos de confiança a seguir referem-se à média populacional da freqüência de ressonância (Hz) de todas as raquetes de tênis de um certo tipo: (114,4; 115,6) e (114,1; 115,9) a) Qual o valor da média amostral da freqüência de ressonância? b) Ambos os intervalos foram calculados do mesmo conjunto de dados. Qual deles tem 90% de grau de confiança e qual tem 99%? Por que? 27/59

28 Exercício cio 38 A tensão de ruptura (kv) de um circuito isolante foi monitorada e obtiveram-se os seguintes valores: 62, 50, 53, 57, 41, 53, 55, 61, 59, 64, 50, 53, 64, 62, 50, 68, 54, 55, 57, 50, 55, 50, 56, 55, 46, 55, 53, 54, 52, 47, 47, 55, 57, 48, 63, 57, 57, 55, 53, 59, 53, 52, 50, 55, 60, 50, 56, /59

29 Exercício cio 38 (cont.) a) determine o intervalo de confiança para a média populacional com grau de confiança de 95% b) qual deveria ser o tamanho da amostra se desejássemos ssemos um intervalo de confiança de apenas 2 kv (95%)? Considere que os valores da população estão entre 40 e 70 kv. 29/59

30 Teste de hipótese Quando quisermos avaliar um parâmetro populacional, sobre o qual não possuímos nenhuma informação com respeito a seu valor, não resta alternativa a não ser estimá-lo através do intervalo de confiança. 30/59

31 Teste de hipótese No entanto,, se tivermos alguma informação com respeito ao valor do parâmetro que desejamos avaliar, podemos testar esta informação no sentido de aceitá-la como verdadeira ou rejeitá-la. 31/59

32 Hipótese É uma conjectura, uma resposta provisória ria que, de acordo com certos critérios, rios, será rejeitada ou não- rejeitada. Hipótese Estatística stica São suposições que se faz, acerca dos parâmetros de uma população ao tentar a tomada de decisões. Essas suposições podem ser verdadeiras ou não, de acordo com a análise dos dados disponíveis. 32/59

33 Hipótese nula e alternativa Hipótese nula (H 0 ) é qualquer hipótese que será testada. Hipótese alternativa (H 1 ) é qualquer hipótese diferente da hipótese nula. O teste de hipótese coloca a hipótese nula H 0 em contraposição à alternativa H 1. 33/59

34 Teste de hipótese É uma regra de decisão que permite aceitar ou rejeitar como verdadeira uma hipótese nula com base na evidência amostral. Isto significa que utilizaremos uma amostra desta população para verificar se a amostra confirma ou não o valor do parâmetro informado pela hipótese nula. 34/59

35 Intervalo de confiança ~N(0,1) o valor 2 está a 2σ da média µ=0 População Amostra ~N(2,1) o valor 0 está a 2σ da média µ=2 35/59

36 Teste de hipótese Unilateral direito H 0 : parâmetro r H 1 : parâmetro > r α 36/59

37 Teste de hipótese Unilateral esquerdo H 0 : parâmetro r H 1 : parâmetro < r α 37/59

38 Teste de hipótese Teste bilateral H 0 : parâmetro = r H 1 : parâmetro r α/2 1 - α α/2 38/59

39 Teste de Hipótese 39/59

40 Exemplo Um fabricante de splinkers utilizados em sistema contra-incêndio incêndio, diz que a temperatura de ativação do seu equipamento é 130ºF. Uma amostra de 9 sistemas quando testados apresentaram uma média amostral de 131,08ºF. Se a distribuição dos tempos de ativação é normal com desvio-padrão 1,5ºF, os dados contradizem a afirmação do fabricante com grau de confiança α = 0,01? 40/59

41 Parâmetro de interesse: μ = verdadeira temperatura média de ativação Hipótese nula: H 0 : μ = 130 Hipótese alternativa: : H 1 : μ 130 Teste: : z = (x-μ 0 )/(σ/ n) Região de rejeição ão: : z z 0,005 = 2,58 ou z -z 0,005 = -2,58 Substituindo n = 9 e x = 131,08: z = (131,08-130)/(1,5/ 130)/(1,5/ 9) = 2,16 O valor de z computado não cai na região de rejeição ão.. Os dados não fornecem indicações fortes de que a média seja diferente do valor projetado de /59

42 Comparando dois conjuntos de dados Existe diferença a entre o radar A e o radar B? H 0 : x 1 = x 2 H 1 : x 1 x 2 Rejeita-se a hipótese se: x x = > < = ( + 2) 1 2 ts t 2 2 α ou tα usando v n1 n2 s 2 2 x sx n n /59

43 Erros Erro tipo I: consiste em rejeitar uma hipótese H 0 quando H 0 é verdadeira P(erro tipo I) = α Erro tipo II: consiste em aceitar como verdadeira uma hipótese H 0 quando H 0 é falsa P(erro tipo II) = β 43/59

44 A hipótese nula é verdadeira A hipótese nula é falsa Decisão Rejeitar a hipótese nula Não rejeitamos a hipótese nula ERRO TIPO I (rejeição de uma hipótese nula verdadeira) Decisão correta Decisão correta ERRO TIPO II (não rejeição de uma hipótese nula falsa) 44/59

45 Controle dos erros Pode-se mostrar que α, β e o tamanho da amostra n estão inter-relacionados relacionados, de forma que, escolhidos quaisquer dois deles, o terceiro está automaticamente determinado. A prática comum consiste em estabelecer previamente os valores de α e n, de modo que o valor de β surge naturalmente. 45/59

46 Controle dos erros Para α fixo,, um aumento do tamanho n da amostra ocasiona uma redução de β. Para um n fixo, uma diminuição de α acarreta um aumento de β. Para reduzir α e β, devemos aumentar o tamanho da amostra (em função do tempo, custo e outros fatores relevantes). 46/59

47 Diferença a Militar Significativa A diferença a medida entre o que é considerado um sistema ruim e o requisito de um sistema bom é chamada de diferença a militar significativa.. Exemplificando: se o requisito de um míssil m é ter probabilidade de acerto de 95% e o decisor definir a probabilidade mínima de acerto de 60% (abaixo disto o míssil m seria considerado ruim), então a diferença militar significativa é de 35% (95%-60%). 47/59

48 Cálculo do n n ( Z Z ) 2 α + β σ = μ1 μ0 μ 0 Z α Z β μ 1 48/59

49 Exemplo: Requisito: MTTR de 6 horas ou menos Performance atual: MTTR de 7 horas α de 0,05 e β de 0,10 (o decisor aceita erroneamente rejeitar um sistema bom em 5% das vezes e quer uma probabilidade de 90% de detectar um sistema ruim) Testes anteriores mostraram um σ=1,5 Da tabela t: : Z α =1,645 e Z β =1,28 Logo: n=19,27 arredondando: n=20 49/59

50 3 casos A população tem distribuição normal e seu desvio-padrão é conhecido: utilizar σ Testes com amostras grandes: substituir σ por s (desvio-padrão da amostra) Testes com amostras pequenas: utilizar a distribuição t-student 50/59

51 Exercício cio 39 O Jack Wilson Health Club afirma, em um anúncio ncio, que você perderá peso após dois dias apenas com a dieta e o programa de exercícios cios Jack Wilson.. Um teste é realizado a partir da seleção aleatória de 33 pessoas que aderiram ao programa. Verificou-se que essas 33 pessoas perderam, em média,, 0,37 lb de peso, com um desvio-padrão de 0,98 lb. Teste a afirmação do anúncio ncio ao nível de significância de 0,05. 51/59

52 Exercício cio 40 Alguém sugere que,, no teste de hipótese tese, é possível eliminar um erro tipo I fazendo-se α = 0. Em um teste bilateral, que valores críticos correspondem a α = 0? Se α = 0, a hipótese nula pode ser rejeitada? 52/59

53 Método do valor P Um valor P (ou valor de probabilidade) ) de obter um valor da estatística stica amostral de teste no mínimo tão extremo como o que resulta dos dados amostrais, na suposição de a hipótese nula ser verdadeira. Enquanto a abordagem tradicional resulta em uma conclusão do tipo rejeitar/não rejeitar, os valores p dão o grau de confiança ao rejeitarmos uma hipótese nula. 53/59

54 Método do valor P Por exemplo,, um valor P de 0,0002 leva- nos a rejeitar a hipótese nula, mas pode também sugerir que os resultados amostrais sejam extremamente incomuns,, se o valor alegado de μ é,, de fato, correto. Em contraste, para um valor P de 0,40, não rejeitamos a hipótese nula, porque os resultados amostrais podem facilmente ocorrer se o valor alegado de μ é correto. 54/59

55 Método do valor P Cálculo do valor P: P = 1 - Φ(z) Φ(z) testes unilaterais direitos testes unilaterais esquerdos 2 [1 - Φ( z )] testes bilaterais 55/59

56 Método do valor P valor P < 0,01 0,01 a 0,05 > 0,05 interpretação elevada significância estatística stica; evidência muito forte contra a hipótese nula estatisticamente significante; evidência adequada contra a hipótese nula evidência insuficiente contra a hipótese nula 56/59

57 Exercício cio 41 Com o método do valor P e o nível de 0,05 de significância, refaça o exercício cio /59

58 Exercício cio 42 Lâmpadas de um certo tipo são anunciadas como possuindo uma média de tempo de vida de 750 horas.. O preço dessas lâmpadas é bastante favorável vel, então um potencial cliente decidiu fechar uma compra,, a menos que a vida média das lâmpadas se verificasse ser menor que a anunciada. Uma amostra aleatória de 50 lâmpadas foi testada e os dados analisados no MINITAB resultando no seguinte relatório rio: 58/59

59 Exercício cio 42 (cont.) Variable N Mean StDev SEMean Z P-Value lifetime Que conclusão seria apropriada para um nível de significância de 0,05? E para 0,01? Que nível de significância e conclusão você recomendaria? 59/59

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