Tópicos de Laboratório de Física Moderna. Carlos R A Lima

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3 Tópicos de Laboratório de Física Moderna Carlos R A Lima 2 de Maio de 2013

4 Tópicos de Laboratório de Física Moderna 2

5 Conteúdo 1 Radiação de Corpo Negro Objetivo Introdução Teórica Radiação Térmica Corpo Negro Teoria clássica de Rayleigh-Jeans para a radiação de corpo negro Teoria quântica de Planck para a radiação de corpo negro Material Necessário Procedimento experimental Exercícios Efeito Fotoelétrico Objetivo Introdução Teórica Material Necessário Procedimento experimental O potencial frenador O limiar fotoelétrico Exercícios Determinação da razão e/m do elétron e a experiência de Millikan Objetivo Introdução Teórica A razão e/m do elétron A experiência de Millikan Material Necessário Procedimento experimental Determinação da razão e/m do elétron A experiência de Millikan Exercícios A velocidade da luz Objetivo Introdução Teórica Aspectos históricos Propagação de ondas eletromagnéticas em cabos coaxiais Material Necessário Procedimento experimental Exercícios Atenuação das radiações ionizantes Objetivo Introdução Teórica Aspectos históricos Características da radiação ionizante e interação com a matéria Fontes radioativas O contador Geiger-Müller Tópicos de Laboratório de Física Moderna 3

6 CONTEÚDO 5.3 Material Necessário Procedimento experimental Determinação da voltagem de operação do contador Geiger- Müller Atenuação das radiações γ e β por Lâminas de chumbo e alumínio Espectro Atômico e a experiência de Franck-Hertz Objetivo Introdução Teórica Introdução Espectro atômico Modelo atômico de Bohr O experimento de Franck - Hertz Material Necessário Procedimento experimental Espectro atômico Experiência de Franck-Hertz Exercícios Tópicos de Laboratório de Física Moderna 4

7 CONTEÚDO Introdução A disciplina de Laboratório de Física Moderna tem como objetivo abordar tópicos experimentais relacionados à tópicos de Física Moderna. Nessa disciplina o estudante de física terá os primeiros contatos com as experiências clássicas que deram origem ao advento da teoria quântica e relatividade à partir do início do século XX. A idéia é reproduzir as principais experiências que deram origem ao desenvolvimento da Física moderna, desde a determinação da velocidade da luz, a experiência de Planck sobre a radiação de um corpo negro, passando por experiências importantes de física nuclear tais como a desintegração e o decaimento radioativo de núcleos atômicos realizados por Rutherford, Becquerel, M. S. Curie e outros, até a experiência de Franck-Hertz sobre a confirmação experimental da quantização das energias atômicas. Na sequência, descreve-se o detalhes e abordagens para essa disciplina. A disciplina de Laboratório de Física Moderna é uma matéria com ênfase em tópicos experimentais, na qual a turma de estudantes deverá ser dividida em grupos de trabalho, de modo que cada grupo terá no máximo 05 integrantes. As aulas serão compostas por introdução teórica e procedimentos experimentais discriminados na unidade programática da disciplina. A introdução teórica são correlacionados aos procedimentos experimentais e deverão ser estudados pelos alunos antes da execução dos experimentos. Cada grupo de estudantes fará, simultaneamente, diferentes experiências que, ao final, serão trocadas, tal que o primeiro grupo fará a experiência do segundo e vice-versa. Uma vez terminado esse primeiro par de experimentos, outros serão feitos, até que todos eles sejam executados pelos grupos. A idéia é que os experimentos sejam feitos em esquema de rodízio, tal que todas as experiências funcionem simultaneamente e atenda vários estudantes de equipes com o menor número de integrantes possível. Os textos teóricos serão acompanhados por exercícios que também devem ser resolvidos pelos estudantes antes da execução dos experimentos. Cada grupo deverá ter um caderno de laboratório com páginas numeradas tipo ATA, para anotações de dados, tabelas e cálculos obtidos durante os experimentos. Esse caderno de laboratório deverá acompanhar a equipe durante todas as experiências. Todos os dados e resultados que a equipe considerar relevantes, deverão ser apresentados ao professor por escrito em forma de relatório. A forma dos relatórios deverá seguir o mesmo padrão para todas as experiências, contemplando os seguintes ítens: Título, Autores, Instituição, Objetivos e metas, Teoria, Procedimento experimental, Resultados, Conclusões, Referências. Cada relatório deverá ser entregue ao professor, no máximo, após 15 dias ao término da experiência. No final do semestre, quando todas as experiências estiverem sido executadas, cada estudante será submetido individualmente a uma prova prática e outra teórica. A prova prática será preparada na forma de um pequeno roteiro e dados experimentais simulados de qualquer uma das experiências realizada durante o semestre. A prova teórica conterá questões conceituais e exercícios relacionados a introdução teórico e procedimentos experimentais abordados na disciplina. No final do curso, cada estudante será avaliado com base nas média de relatórios (R), média de exercícios (E), prova teórica (T ) e prova prática (P ). A média final (M) será calculada como: M =0, 25(R)+0, 05(E)+0, 35(T )+0, 35(P ). Os alunos que alcançar média final igual ou superior a 60 estarão liberados e aprovados. Alunos que perderam a prova escrita ou a prova prática por motivos de saúde, terão direito a fazer uma segunda chamada desde que façam pedido justificado da falta num prazo de 48 horas úteis a partir do término da prova. A média final deverá ser também igual ou superior a 60. Tópicos de Laboratório de Física Moderna 5

8 CONTEÚDO Tópicos de Laboratório de Física Moderna 6

9 Experimento 1 Radiação de Corpo Negro 1.1 Objetivo Determinação do espectro de radiação de um corpo negro e medida da temperatura do filamento de uma lâmpada submetida a diferentes voltagens. Nesse experimento, a emissão eletromagnética do filamento aquecido de uma lâmpada incandescente é tratada como uma radiação de corpo negro. O espectro da radiação é analisado por um monocromador convencional. O monocromador é dotado de uma rede de difração apropriada para as regiões infravermelho, visível e ultravioleta do espectro eletromagnético. O monocromador é dotado também de um fotodetector semicondutor necessário para a medida das intensidades luminosas de todos os comprimentos de onda emitidos pelo filamento aquecido. Na verdade, por ser linear somente na região visível do espectro eletromagnético, esse não é o melhor detector para esse tipo de experimento. O ideal seria um fotodetector com uma linearidade espectral mais larga, tais como ocorre com os fotodetectores construídos a base de termopares. Entretanto, como a não linearidade nas outras regiões do espectro eletromagnético não é tão grande, é possível ainda obter resultados satisfatórios. 1.2 Introdução Teórica Radiação Térmica Um trabalho apresentado por Max Karl Ernest Ludwig Planck, em 14 de dezembro de 1900, intitulado "Sobre a teoria da lei da distribuição de energia do espectro normal", mostrando que certas teorias clássicas da termodinâmica não estavam sendo verificadas, marcou o início de uma nova revolução na física. Essa data é considerada como sendo a data do nascimento da física quântica. Assim como a teoria da relatividade, a teoria quântica não descarta a teoria clássica, mas é uma generalização que inclui as leis clássicas como casos particulares. Os corpos aquecidos emitem uma radiação denominada de radiação térmica que, em geral, tem uma distribuição espectral contínua. A radiação térmica são ondas eletromagnéticas geradas pelas oscilações de partículas carregadas que compõem os corpos aquecidos. Numa temperatura normal, um corpo pode ser visto, não por emissão, mas por reflexão da luz. Entretanto, em altas temperaturas os corpos podem emitir luz visível, embora mais de 90% esteja na região do infravermelho do espectro eletromagnético. Carvão em brasas, filamentos de lâmpadas acesas e estrelas, são exemplos típicos de corpos que irradiam no visível. O pirômetro óptico é um instrumento capaz de registrar a temperatura de um corpo aquecido através da medida da sua distribuição espectral de frequência. A distribuição espectral de frequência da radiação térmica, a uma temperatura T, é descrita pela radiância espectral R T (ν)dν, que nada mais é que a energia irradiada por unidade de área e tempo, em um intervalo de frequência entre ν e ν + dν. A radiância espectral total R T, ou intensidade total da radiação, emitida por um objeto aquecido a uma temperatura T,é R T = 0 R T (ν) dν (1.1) A distribuição espectral da radiação térmica de um objeto aquecido também pode ser descrita em termos de comprimento de onda, como R T = 0 R T (ν) dν = 0 R T (λ) dλ (1.2) Tópicos de Laboratório de Física Moderna 7

10 Radiação de Corpo Negro A integração sobre ν pode ser transformada numa integração sobre λ, como R T = 0 R T (ν) dν = 0 R T (ν) dν dλ dλ = 0 R T (ν) dν dλ dλ O intervalo de integração foi invertido para acomodar a relação inversa ν = c/λ, entre ν e λ. Comparando o último integrando desta equação com o último integrando da Eq.1.2, obtém-se R T (λ) = R T (ν) dν dλ = R T (ν) c λ 2 pois, como ν = c/λ, entãodν/dλ = c/λ 2. De um modo geral, para quaisquer funções F (λ) e F (ν), F (ν) = λ2 F (λ) (1.3) c Assim, a dependência de uma função F (ν) com ν não é equivalente a dependência de uma função F (λ) com λ Corpo Negro Em geral,o espectro da radiação térmica emitido por um objeto aquecido depende da sua composição. Entretanto, a experiência mostra que é possível idealizar um objeto aquecido que emite um espectro de caráter universal. Trata-se do corpo negro, que são corpos cujas superfícies absorve toda a radiação térmica que neles incidem. Todos os corpos negros, numa temperatura T, emitem radiação térmica de mesmo espectro. Um corpo negro pode ser idealizado por uma cavidade ressonante dotada de um pequeno orifício como mostra a Fig.1.1. Fig. 1.1: Cavidade ressonante com um pequeno orifício que se comporta como um corpo negro ideal. Praticamente, toda a radiação, vinda do meio externo, que entra na cavidade através do orifício, não conseguindo sair dela, acaba sendo absorvida pelas suas paredes. Por causa das agitações térmicas, as partículas carregadas que compõem as paredes da cavidade ressonante, oscilam e produzem radiação térmica. A radiação térmica emitida através do orifício da cavidade ressonante, é denominada de radiação de cavidade e tem característica espectral de radiação de corpo negro. Em 1879, Josef Stefan, usando argumentos empíricos, demonstrados teoricamente mais tarde por Ludwig Edward Boltzmann, propôs que a radiância total de um corpo negro fosse proporcional a quarta potência da temperatura T, isto é, R T = σt 4 (1.4) onde σ =5, W/(m 2 K 4 ) é denominado de constante de Stefan-Boltzmann e a Eq.1.4 é conhecida como lei de Stefan-Boltzmann. A Fig.1.2 mostra o comportamento experimental da radiância espectral R T (λ) em função do comprimento de onda λ, para diferentes temperaturas T, característico de um corpo negro típico. A primeira versão desse resultado foi obtida por Otto Richard Lummer e Ernest Pringheim em A figura mostra que os máximos do espectro, correspondentes aos comprimentos de onda λ max, ou às frequências ν max = c/λ max, deslocam-se com o aumento da temperatura T. Em 1893, usando argumentos da termodinâmica, Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien já tinha mostrado que o valor do comprimento de onda λ max, para o qual a radiância espectral é máxima, é inversamente ao valor da temperatura T, isto é, λ max α 1 T (1.5) Tópicos de Laboratório de Física Moderna 8

11 1.2 Introdução Teórica Fig. 1.2: Radiância espectral de um corpo negro em função do comprimento de onda λ e temperatura T. Tal comportamento ficou conhecido como lei do deslocamento de Wien. Deve-se observar que os comprimentos de onda λ max, correspondentes aos valores máximos da radiâncias R T (λ), diminuem com o aumento da temperatura T. Esse fato é caracterizado por um desvio do vermelho para o azul no espectro da radiação térmica. A constante de proporcionalidade na Eq.1.5, conhecida como constante de Wien, foi obtida experimentalmente e vale λ max T =2, m K (1.6) Teoria clássica de Rayleigh-Jeans para a radiação de corpo negro No início do século XX, John William Strutt Rayleigh e James Hopwood Jeans, utilizaram a teoria clássica para estudar a densidade de energia da radiação de cavidade, ou de corpo negro, o que resultou em sérias inconsistências com dados experimentais. Essas inconsistências são os fatos científicos mais importantes que deram origem à teoria quântica moderna. Nesta seção é apresentado os cálculos realizados por Rayleigh e Jeans destacando as inconsistências observadas. Na seção seguinte, é discutida a teoria de Planck para a radiação de corpo negro, que introduziu a quantização da energia e os princípios da teoria quântica. Viu-se que a radiação térmica emitida através de um pequeno orifício em uma cavidade ressonante, aquecida a uma temperatura T, como a mostrada na Fig.1.1, tem características espectrais de radiação de corpo negro. O espectro de radiação emitido através do orifício pode ser definido por uma radiância espectral R T (ν). Entretanto, é mais útil definir o espectro de radiação em termos de uma densidade de energia ρ T (ν) contida no interior da cavidade ressonante. Não é difícil mostrar que a relação entre essas grandezas é dada por ou, em termos de comprimento de onda, R T (ν)dν = c 4 ρ T (ν)dν (1.7) R T (λ)dλ = c 4 ρ T (λ)dλ (1.8) pois, da Eq.1.3, R T (ν) = λ2 c R T (λ) e ρ T (ν) = λ2 c ρ T (λ). Para evitar complicações desnecessárias e ao mesmo tempo não perder aspectos gerais do problema, assume-se uma cavidade ressonante cúbica com os lados de comprimentos L e perfeitamente condutora, como mostra a Fig.1.3. Nesse caso, a radiação eletromagnética fica confinada no interior da cavidade ressonante e as três componentes do campo elétrico e do campo magnético, podem ser tratados separadamente. Por causa das múltiplas reflexões nas paredes planas e paralelas da cavidade cúbica, cada componente dos campos recombinam-se formando ondas estacionárias que, assim como as próprias componentes, satisfazem as equações de Maxwell. Como se verá na sequência, as energias das ondas eletromagnéticas estacionárias são armazenadas na forma de modos eletromagnéticos discretos de frequência ν. Assim, a densidade de energia espectral ρ T (ν)dν num intervalo de frequências entre ν e ν + dν, pode ser calculada contando o número de modos eletromagnéticos D ν (ν)dν, no mesmo intervalo de frequências, multiplicando o valor pela energia ε de cada modo e dividindo o resultado pelo volume V = L 3 da cavidade, isto é, Tópicos de Laboratório de Física Moderna 9

12 Radiação de Corpo Negro Fig. 1.3: Cavidade ressonante cúbica perfeitamente condutora a uma temperatura T. ρ T (ν)dν = D ν(ν)dν ε (1.9) V A função D ν (ν) define o número de modos ν por unidade de intervalo de frequência dν e é denominado de densidade de estados eletromagnéticos. Não é difícil perceber que D ν (ν) depende somente do volume V da cavidade ressonante e não da sua forma. Para calcular os modos eletromagnéticos discretos associados às ondas eletromagnéticas estacionárias confinadas no interior da cavidade cúbica ressonante, pode-se recorrer as propriedades básicas do eletromagnetismo clássico. O comportamento espacial e temporal dos campos elétrico E e magnético B são obtidos por meio das soluções das equações de Maxwell. Entretanto, por causa da natureza vetorial desses campos, a solução geral do problema deve incluir suas três componentes espaciais. Para alcançar esse objetivo, pode-se resolver inicialmente um caso hipotético onde a cavidade ressonante é unidimensional de comprimento L. Baseado nesse resultado particular, pode-se extender a solução ao caso geral tridimensional. Seja então a propagação de uma onda eletromagnética ao longo do eixo x, onde paredes metálicas planas e paralelas, encontram-se nas posições x = 0 e x = L, como mostra a Fig.1.4(a). Fig. 1.4: Propagação da onda eletromagnética estacionária ao longo do eixo x. A componente E y = E y (x, t) do campo elétrico E, deve satisfazer a equação da onda eletromagnética dada por 2 x 2 E y(x, t) = 1 2 c 2 t 2 E y(x, t) (1.10) Como se pode verificar por substituição direta, a onda plana co-senoidal que se desloca para a direita E y (x, t) = E 0y cos(kx ωt) e a onda plana co-senoidal que se desloca para a esquerda E y (x, t) = E 0y cos( kx ωt) = E 0y cos(kx + ωt) são soluções apropriadas da Eq Para essa verificação é importante lembrar que a velocidade da luz c no vácuo pode ser escrita em termos do número de onda k =2π/λ e da frequência angular ω =2πν, como c = λν =(2π/k)(ω/2π) =ω/k. Como a Eq.1.10 é uma equação diferencial parcial (EDP) linear de segunda ordem, a combinação linear, ou superposição, das duas soluções anteriores E y (x, t) =E 0y [cos(kx ωt) cos(kx + ωt)] = (E 0y senωt)senkx (1.11) Tópicos de Laboratório de Física Moderna 10

13 1.2 Introdução Teórica fornece a solução geral do problema. Pode-se recorrer a identidade trigonométrica cosα cosβ = 2sen1/2(α + β)sen1/2(α β), para demonstrar a Eq Também por substituição direta, pode-se verificar que a Eq.1.11 é de fato solução da Eq A Eq.1.11 descreve uma onda senoidal (senkx) fixa no tempo cuja amplitude (E 0y senωt) tem uma variação senoidal no tempo. Esse comportamento é mostrado na Fig.1.4(b) e fornece a descrição geral das ondas estacionárias que se formam no interior da cavidade ressonante unidimensional. Como a onda eletromagnética é uma vibração transversal, com o campo elétrico E perpendicular à direção de propagação, então esse campo é paralelo às paredes da cavidade cúbica metálica. Por causa disso, ele acaba sendo neutralizado com o surgimento de correntes elétricas na superfície do condutor. Assim, deve-se esperar que as ondas eletromagnéticas estacionárias, que se propagam ao longo do eixo x, apresentam nodos de energia nos planos x =0e x = L, exatamente como ocorre com uma corda oscilante com ambas as extremidades fixadas. Para que o campo E y (x, t), na Eq.1.11, seja nulo em x = L, é necessário que senkl =0ou k = nπ L, com n =1, 2, 3,... (1.12) Como k =2π/λ, os comprimentos de onda λ das ondas estacionárias devem assumir somente valores discretos dados por λ = 2L n, n =1, 2, 3,... (1.13) ou, em termos da frequência ν, ν = c λ = c n, n =1, 2, 3,... (1.14) 2L Esta condição determina um conjunto de valores possíveis de comprimentos de onda λ, ou frequência ν, de ondas estacionárias, que devem se propagar na cavidade unidimensional. A Fig.1.5 mostra as três primeiras ondas estacionárias, definidas para n =1, 2, 3,... Fig. 1.5: Três primeiras ondas estacionárias definidas para n =1, 2, 3. Condições similares ocorrem também para as outras duas componentes do campo elétrico individualmente. Não é difícil mostrar que, no caso tridimensional, as frequências dos modos eletromagnéticos no interior da cavidade ressonante, são ν = c n 2L 2 x + n 2 y + n 2 z, com n x,n y,n z =1, 2, 3,... (1.15) uma equação análoga à Eq.1.14 que, entretanto, depende dos números inteiros n x,n y,n z correspondentes a cada uma das coordenadas espaciais. A contagem do número de modos D ν (ν)dν, no intervalo de frequência entre ν e ν + dν, pode ser calculada construindo uma esfera de raio r = n 2 x + n 2 y + n 2 z (1.16) em coordenadas retangulares no espaço n x,n y,n z, tal que o conjunto de inteiros (n x,n y,n z ) definam pontos no interior de um octante, como mostra a Fig.1.6. O espaço é limitado a um octante somente porque n x,n y,n z > 0. Tópicos de Laboratório de Física Moderna 11

14 Radiação de Corpo Negro Fig. 1.6: Octante esférico de raio r no espaço n x,n y,n z. O volume total do octante esférico pode ser dividido em volumes unitários contendo, cada um, somente um ponto (n x,n y,n z ), tal que a densidade ρ p de pontos seja ρ p =1 ponto por unidade de volume (1.17) Cada ponto define uma frequência ν, cuja dependência com o raio r, de acordo com as Eqs.1.15 e 1.16 r = 2L c ν (1.18) Assim, calcular o número de nodos D ν (ν)dν, entre ν e ν + dν, é equivalente a calcular o número de pontos D r (r)dr, contidos na região esféricas entre r e r + dr. O valor de D r (r)dr pode ser calculado multiplicando o volume esférico entre r e r + dr pela densidade ρ p de pontos, isto é, D ν (ν)dν = D r (r)dr =( 1 8 4πr2 )drρ p = 1 2 πr2 dr pois ρ p =1. Substituindo a Eq.1.18 e sua derivada dr = 2L c dν na equação anterior, obtém-se D ν (ν)dν = 1 2 π(2l 2L c ν)2 4πν2 dν = Vdν (1.19) c c3 onde, usou-se o volume da cavidade como V = L 3. Finalmente, deve-se multiplicar o resultado da Eq.1.19 por um fator 2, pois existem, na verdade, duas ondas independentes, correspondentes a dois possíveis estados de polarização para a radiação eletromagnética, como mostrado na Fig.1.7. Fig. 1.7: Duplo estado de polarização para a onda eletromagnética. Assim, a forma correta de escrever a Eq.1.19 é Tópicos de Laboratório de Física Moderna 12

15 1.2 Introdução Teórica D ν (ν)dν = 8πV c 3 ν2 dν (1.20) Combinando a Eq.1.20 com a Eq.1.9, obtém-se ρ T (ν)dν = 8πν2 ε dν (1.21) c3 Classicamente, as ondas estacionárias de frequência ν, são geradas por oscilações de partículas carregadas que formam as paredes da cavidade, como se fossem pequenos corpos presos à molas, mantidos em equilíbrio térmico a uma temperatura T. Oprincípio da equipartição da energia, aplicado ao modelo clássico de um sistema de moléculas, ou átomos, livres de potenciais, em equilíbrio térmico a uma temperatura T, afirma que, a energia cinética média por molécula, ou átomo, por grau de liberdade, é 1 2 k BT onde k B =1, J/K é a constante de Boltzmann. Pode-se aplicar este mesmo princípio às partículas oscilantes nas paredes da cavidade desde que se considere também a energia potencial de aprisionamento das partículas. No equilíbrio térmico, em média, as contribuições da energia cinética e potencial para a energia total, são iguais a 1/2k B T. Logo, nessas condições, a energia média total será k B T. No caso em questão, tem-se somente um grau de liberdade, dada pela direção de oscilação das partículas espacialmente localizadas, geradoras das vibrações transversais do campo elétrico E das ondas estacionárias. Conclui-se, portanto, que cada modo eletromagnético tem energia média total dada por ε = k B T (1.22) É importante mencionar que, do ponto de vista da teoria clássica, a energia média total tem o mesmo valor para todos os modos eletromagnéticos na cavidade, independentemente de suas frequências ν. Substituindo a Eq.1.22 na Eq.1.21, obtém-se a densidade de energia na cavidade com frequências entre ν e ν + dν, de acordo com as previsões clássicas, como ρ T (ν)dν = 8πν2 k B T c 3 dν (1.23) Esta equação é conhecida como a fórmula de Rayleigh-Jeans para a radiação de corpo negro. A Fig.1.8 mostra o comportamento da densidade de energia ρ T (ν) em função da frequência ν para uma temperatura T = 1500 K de acordo com a Eq.1.23, bem como o resultado experimental correspondente. A discordância entre o resultado teórico e o experimental é evidente. O espectro clássico se aproxima do resultado experimental somente no limite de baixas frequências. A medida que a frequência cresce, a teoria prever uma tendência ao infinito para a densidade de energia enquanto que a experiência prevê uma tendência a zero da mesma grandeza. A tendência ao infinito de ρ T (ν) para altas frequências ν, na teoria de Rayleigh-Jeans, ficou conhecida como a catástrofe do ultravioleta. Fig. 1.8: Resultado teórico de Rayleigh-Jeans para a radiação de um corpo negro comparado com o resultado experimental. Tópicos de Laboratório de Física Moderna 13

16 Radiação de Corpo Negro O problema da radiação de corpo negro foi resolvido por Max Planck, assumindo uma hipótese sobre o princípio da equipartição da energia contraditória à teoria clássica da termodinâmica. Na próxima seção é discutido os detalhes dessa hipótese e sua importância na origem da teoria quântica Teoria quântica de Planck para a radiação de corpo negro Na tentativa de solucionar a inconsistência entre a teoria clássica e a experiência para a radiação de cavidade, Max Planck teve que assumir uma hipótese que violava o princípio da equipartição da energia. Planck percebeu que o resultado experimental seria reproduzido quando lim ε = k BT e lim ε =0 (1.24) ν 0 ν isto é, a energia total média tende a k B T, como na teoria clássica, quando a frequência tende a zero, mas tende a zero quando a frequência tende ao infinito. Assim, Planck supôs que a energia média dos modos eletromagnéticos seja uma função da frequência ν, contrariando o princípio clássico da equipartição da energia. O princípio da equipartição da energia tem sua origem na distribuição de partículas clássicas de Boltzmann, que fornece a probabilidade de encontrar o sistema, em equilíbrio térmico a uma temperatura T, com uma energia entre ε e ε+dε. A teoria da mecânica estatística mostra que a distribuição de partículas clássicas de Boltzmann é dada por P (ε)dε = 1 k B T e ε/k BT dε (1.25) A energia média ε pode ser calculada a partir da distribuição de Boltzmann observando que ε = 0 0 εp (ε) dε = P (ε) dε 0 εp (ε) dε = Área (1.26) O denominador fornece a probabilidade de encontrar o sistema com alguma energia ε sendo, portanto, igual a unidade. A integral na Eq.1.26 pode ser calculada utilizando a Eq.1.25 e o resultado reproduz o princípio da equipartição da energia, isto é, ε = k B T (1.27) A Eq.1.26 mostra que ε = k B T é a área abaixo do gráfico de εp (ε) em função ε, como mostra a Fig.10. A função εp (ε) foi obtida diretamente da Eq Pode-se mostrar que o ponto de máximo desta função ocorre também para ε = k B T = ε. Fig. 1.9: Gráfico de εp (ε) em função de ε. A grande contribuição de Planck foi a descoberta de que a condição lim ε =0, poderia ser alcançada quando ν se modifica o cálculo de ε a partir de P (ε)dε. Planck observou que, em vez de assumir valores contínuos, a energia ε deveria assumir somente valores discretos distribuídos uniformemente como ε =0, Δε, 2Δε, 3Δε,... (1.28) Tópicos de Laboratório de Física Moderna 14

17 1.2 Introdução Teórica onde Δε é uma porção constante obtida da diferença entre valores consecutivos da energia. Com essa hipótese, as integrais na Eq.1.26, usadas para calcular ε, devem ser substituídas por somatórios, isto é, ε = ε n P (ε n ) n=0 P (ε n ) n=0 (1.29) A Fig.1.10 mostram os cálculos gráficos de ε a partir de εp (ε) para, (a) Δε <<k B T, (b) Δε k B T e (c) Δε >>k B T. Os valores de ε, em cada caso, são dados pelas áreas dos retângulos hachurados. Fig. 1.10: Comportamento gráfico de ε de acordo com a Eq.??. O valor de k B T será a área abaixo da curva suave. Observa-se que quando Δε <<k B T, o valor de ε k B T, isto é, praticamente igual ao resultado clássico. Entretanto, quando Δε k B T ou ε >> k B T, o valor ε será menor do que k B T, pois a redução da área definida pelos elementos discretos começa a se tornar importante quando comparada com a área definida pelos elementos contínuos. Assim, pode-se concluir que: Δε k B T para Δε pequeno e Δε 0 para Δε grande Como Planck precisava obter o primeiro resultado para baixas frequência ν e o segundo para grandes valores de ν, então o valor ε deveria ser proporcional a ν, isto é, ε = hν (1.30) onde h é a constante de proporcionalidade. Cálculos posteriores permitiram que Planck determinasse o valor de h, ajustando resultados teóricos com dados experimentais, obtendo h 6, J s 4, ev s (1.31) Esta constante ficou conhecida como a constante de Planck. A conversão de Joule em elétron-volt foi feita a partir da identidade 1 ev =1, J, definida no Cap.??. Assumindo então nas Eqs.1.29 e Eq.1.25, obtém-se onde ε = ε n P (ε n ) n=0 P (ε n ) n=0 ε = nhν, n =1, 2, 3,... (1.32) = n=0 n=0 nhν k B T e nhν/k BT 1 k B T e nhν/k BT = k B T n=0 n=0 nαe nα e nα ou, como α = hν k B T (1.33) Tópicos de Laboratório de Física Moderna 15

18 Radiação de Corpo Negro então α d α d e nα α d dα ln dα dα e nα e nα n=0 n=0 = = = n=0 e nα e nα n=0 n=0 ( ε = k B T α d ) dα ln e nα = hν d dα ln onde usou-se o valor de α dado na Eq Usando a expansão binomial n=0 n=0 n=0 e nα n=0 nαe nα e nα obtém-se ou e nα =1+e α + e 2α ( 1 e α) 1 n=0 ε = hν d dα ln ( 1 e α) 1 = hν (1 e α ) 1 ( 1)(1 e α ) 2 e α = hνe α hν = 1 e α e α 1 hν ε = (1.34) e hν/k BT 1 Substituindo a Eq.1.34 na Eq.1.21, obtém-se a densidade de energia no intervalo de frequências entre ν e ν + dν como ρ T (ν)dν = 8πh ν 3 c 3 dν (1.35) e hν/k BT 1 Essa equação descreve o espectro de um corpo negro de acordo com o modelo quântico de Planck. Este resultado está de acordo com os resultados experimentais. Em muitos casos é conveniente tratar o espectro de corpo negro em termos de comprimento de onda λ em vez de frequência ν. Da Eq.1.3, tem-se ρ T (λ) = c λ 2 ρ T (ν) (1.36) Substituindo a Eq.1.36 na Eq.1.35, com a exclusão de dν em ambos os lados, escrevendo em seguida ν = c/λ e multiplicando ambos os lados por dλ, obtém-se ρ T (λ)dλ = 8πhc dλ λ 5 (1.37) e hc/λk BT 1 Substituindo a Eq.1.37, com a exclusão de dλ em ambos os lados, na Eq.1.8, é possível mostrar que o comportamento teórico da radiância espectral R T (λ) = c 4 ρ T (λ) em função de λ, para diferentes temperaturas T, obtido do modelo de Planck para a radiação de corpo negro, está de acordo com os gráficos experimentais mostrados na Fig.1.2. A lei de Stefan-Boltzmann, dada na Eq.1.4, e a lei do deslocamento de Wien, dada na Eq.1.6, podem ser obtidas a partir da fórmula de Planck. A lei de Stefan-Boltzmann pode ser obtida integrando a fórmula de Planck sobre todo o espectro de comprimento de onda λ. Por outro lado, a lei do deslocamento de Wien pode ser obtida encontrando o ponto de máximo da função ρ T (λ), isto é, Para este último caso, o resultado é dρ T (λ) dλ =0 (1.38) hc λ max T = 2, m K (1.39) 4, 965 k B que está de acordo com a lei do deslocamento de Wien. Tópicos de Laboratório de Física Moderna 16

19 1.3 Material Necessário 1.3 Material Necessário Monocromador com lâmpada de filamento, goniômetro, fonte de tensão variável, multímetro, fotodetector e cabos. 1.4 Procedimento experimental 1. A fotografia da Fig.1.11 (a), mostra todos os componentes que serão usados na experiência. A Fig.1.11 (b) mostra um diagrama esquemático das ligações da montagem experimental. Abra o monocromador, identifique todos os componentes, ligue a fonte de tensão variável, gire o micrômetro do goniômetro e observe como funciona o equipamento. As fotografias da Fig.1.12 (a) e (b) mostram os detalhes de todos os elementos ópticos que compõe o monocromador e a fotografia da Fig.1.12 (c) mostra em detalhe o goniômetro que será usado para a medida angular da rede de difração. Observe que o goniômetro é dotado de um vernier que permite um precisão angular de 1/10 de grau. Evite tocar a rede de difração pois sobre ela existe uma película protetora muito sensível. Fig. 1.11: (a) Componentes usados na experiência, (b) Diagrama esquemático das ligações da montagem experimental. Fig. 1.12: (a) e (b) elementos ópticos que compõe o monocromador e (c) detalhe do goniômetro. 2. Feche o monocromador, ajuste a voltagem com a qual a lâmpada será submetida em 4, 0 V e proceda a experiência. O voltímetro deve ser mantido na posição DC. 3. Atuando no goniômetro em sentido horário, mude a posição angular θ da rede de difração de 0 a 30 graus anotando, em cada caso, a intensidade de sinal detectado I 1 em volts, na coluna apropriada da Tab.1.1. Tópicos de Laboratório de Física Moderna 17

20 Radiação de Corpo Negro θ ( 0 ) λ (nm) I 1 (V ) I 2 (V ) I 3 (V ) I 4 (V ) I 5 (V ) I (V ) u e (I) (V ) 0, violeta He 1, , violeta H 3, azul He 4, , , verde H 7, verde He 8, , , , , amarelo He 13, , , , , vermelho H 18, vermelho He 20, , , , , , Tab. 1.1: Intensidade de sinal detectado em função do comprimento de onda para o caso em que a lâmpada é submetida a uma voltagem de V =4, 0 Volts. Nessa tabela, os comprimentos de onda são acompanhados por um termo entre parênteses que indicam as cores e as lâmpadas espectrais com as quais o equipamento foi calibrado. 4. Repita o passo 3 mais 4 (quatro) vezes, retornando sempre o micrômetro para a posição inicial e anote todas as medidas nas colunas apropriadas da Tab Calcule e anote na Tab.1.1 o valor médio I da intensidade, do conjunto de medidas n =5para cada valor do comprimento de onda λ, usando para isso a seguinte equação: I = 1 n 6. Calcule e anote na Tab.1.1 a incerteza expandida u e (I) da intensidade, do conjunto de medidas n =5 para cada valor do comprimento de onda λ, usando para isso a equação n i=1 ( t u e (I) =tu(i) =tσ m = n Ii 2 1 n ) 2 I i n(n 1) n onde u(i) é a incerteza associada as medidas da intensidade que pode ser calculada usando o conceito de desvio padrão da média σ m e o parâmetro de Student t é um fator de abrangência que pode ser escolhido para fornecer um nível de confiança de 95%. Para uma explanação adequada do conceito de incerteza expandida, consulte a apostila "Análise de dados para Laboratório de Física". 7. Para construir o gráfico do intensidade média de sinal I em função do comprimento de onda λ, marque os pontos da Tab.1.1 no papel milimetrado anexo. No gráfico, coloque barras de erro na vertical, referentes as medidas das intensidades de sinal, com magnitudes iguais às incertezas expandidas u e (I) associadas a essas medidas, e trace a curva que melhor se ajusta aos pontos do gráfico. Tópicos de Laboratório de Física Moderna 18 I i i=1 i=1

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