APLICAÇÃO DO MÉTODO AHP-FUZZY

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1 APLICAÇÃO DO MÉTODO AHP-FUZZY Débora Ferro de Souza Tatiany Vieira Maria Regina Carvalho Macieira Lopes 3 Reinaldo Francisco 4 Resumo: Neste trabalho é apresentado o método multicritério Analytic Hierarchy Process AHP na versão fuzzy. O método AHP pertencente à família dos métodos de subordinação desenvolvidos com a finalidade de auxiliar no processo de tomada de decisão. Tem como base a representação de um problema complexo através de uma estruturação hierárquica, que consiste da definição do objetivo global e decomposição do sistema em vários níveis, o que possibilita a visualização do sistema como um todo e seus componentes. Como exemplo de aplicação é tratado um problema de seleção de candidatos a uma vaga de emprego. Palavras-chave: Multicritério; AHP; fuzzy. Introdução: A Análise Multicritério vem sendo utilizada como importante ferramenta quando se dispõe de vários critérios de análise, bem como quando se incorporam variáveis de difícil mensuração. Em geral, os critérios considerados são conflitantes e suas respectivas importâncias não são facilmente determinadas. Neste sentido, o método Analytic Hierarchy Process - AHP é uma poderosa e flexível ferramenta de tomada de decisão que sistematiza a definição dos pesos desses critérios. Neste trabalho é apresentada e discutida uma aplicação desse método utilizando na matriz de entrada do sistema, números fuzzy triangulares.. Método AHP O Método Analítico Hierárquico, do inglês Analytic Hierarchy Process AHP, foi desenvolvido por Thomas L. Saaty na década de 70. O AHP foi desenhado para refletir a maneira como as pessoas pensam, ou seja, identificando objetos e idéias e também as relações entre eles, com o objetivo de decompor a complexidade encontrada. Tem como base a representação de um problema complexo através de uma estruturação hierárquica, que consiste da definição do objetivo global e decomposição do sistema em vários níveis, o que possibilita a visualização do sistema como um todo e seus componentes. A construção de uma hierarquia dependerá dos objetivos escolhidos para decompor a complexidade daquele sistema. O objetivo principal deve estar no primeiro nível da hierarquia; os sub-objetivos, num nível abaixo; em seguida, os critérios e, finalmente, as alternativas. A estrutura de uma hierarquia simples é mostrada na figura. Deseja-se encontrar a influência que cada alternativa exerce sobre cada um dos critérios utilizados. Deve-se, também, verificar qual é a influência que cada critério exerce sobre o objetivo geral. Desta forma, pode-se então determinar qual é o poder de cada alternativa sobre o objetivo geral, gerando uma escala de importância dessas alternativas. Graduanda do curso de Matemática Unicentro Guarapuava deboraferrodesouza@yahoo.com.br Graduanda do curso de Matemática Unicentro Guarapuava tatianyvieira@hotmail.com 3 MSc -UNICENTRO Guarapuava-Pr - mrlopes@unicentro.br 4 MSc -UNICENTRO Guarapuava-Pr - reinaldo@unicentro.br 04

2 Para medir os impactos que os elementos do nível mais baixo exercem sobre o objetivo geral, comparam-se os pares de alternativas disponíveis, com relação a cada critério utilizado. Também, os critérios são comparados par-a-par, de acordo com sua importância para atingir o objetivo geral. Tal comparação pode ser fundamentada em uma escala de intensidade de importância, com valores variando entre e 9, segundo SAATY []. O valor é designado quando as duas alternativas comparadas contribuem igualmente para o objetivo, o valor 3, quando uma alternativa é considerada fracamente mais importante que a outra, segundo o critério considerado, e assim sucessivamente. Se uma alternativa A i tem um valor de importância em comparação à alternativa A j, então A j terá o valor recíproco quando comparada com A i.. Descrição do método Considerando o problema de analisar n alternativas por um decisor ou grupo de decisores, tem-se o objetivo de designar julgamentos das importâncias relativas dessas alternativas, quantificando esses julgamentos com o propósito de permitir uma ordenação de todas as alternativas. Seja o conjunto de alternativas A, A,..., A n. Os julgamentos par-a-par são representados por uma matriz quadrada de ordem n, A=(a ij ), i,j=,,..., n. Na posição (i, j) representa-se a razão entre os pesos que a alternativa A i tem sobre A j em relação a um critério considerado em um nível imediatamente acima da hierarquia. A matriz A é recíproca, ou seja, a ji =/a ij, a ij 0. Ainda, se A i é considerada de igual importância relativa que A j, então a ij =a ji =; em particular, a ii =, para todo i. Assim, a matriz de comparação entre os pares de alternativas tem a forma: a... an /a... a n A = /a n /a n... e registra os julgamentos feitos pelos decisores. O problema se concentra, então, em encontrar os pesos w, w,..., wn de cada alternativa, que reflitam os julgamentos efetuados. Se os julgamentos forem perfeitos em todas as comparações, então a = a. a para quaisquer i, j, k e a matriz será consistente. Essa consistência será obtida, por exemplo, se as comparações forem baseadas em medições exatas, ou seja, se os pesos w i forem conhecidos. Desta forma, tem-se: w w i j wi a ij. a jk =. = = aik w w w a ji w = w j i j i k = w / w j k = a ij Neste caso, a matriz A pode ser representada como segue: w w w... w w wn w w w... A = w w w n w n wn wn... w w wn Multiplicando-se a matriz A pelo vetor [ w ] T w... wn obtem-se: ik ij jk 05

3 w w w... w w wn w w w w w... w = w w w w. n. n w n wn wn wn wn... w w wn ou seja, A. w = n. w. () Assim sendo, a busca do vetor de pesos das alternativas é equivalente à resolução da equação acima, o que significa encontrar o autovetor w de A, associado ao autovalor n. Além de ser recíproca, pode-se verificar facilmente que a matriz A é irredutível 5, já que não possui elementos nulos. Pelo Teorema de Perron-Frobenius, se A é uma matriz irredutível, com todos os elementos a ij não-negativos, então existe um número real positivo λ satisfazendo as seguintes propriedades: (i) Existe um vetor real v, com todos os elementos positivos, tal que Av= λ v; (ii) λ possui multiplicidade algébrica e geométrica ; (iii)para cada autovalor λ i de A, λi λ. Estes resultados garantem a existência de solução para a equação(), ou seja, do vetor de pesos procurado. Pode-se verificar que todas as linhas da matriz A são combinações lineares da primeira. Assim, todos os autovalores de A serão nulos, exceto um. Como os elementos da diagonal principal de A, a ii são iguais a um e o somatório dos autovalores é igual ao traço da matriz, o autovalor não nulo será o valor n (λ +λ +...+λ n =λ =n). Se os coeficientes a ij de uma matriz positiva recíproca sofrem pequenas perturbações, então os autovalores sofrem também pequenas perturbações 6. No caso em que a equação () se verifica inicialmente, essas pequenas perturbações fazem com que o maior autovalor permaneça próximo de n e os demais, próximos de zero. SAATY [] demonstra que se A é uma matriz positiva e recíproca, então λ n. max = w / w ε. A Essas perturbações podem ser consideradas pela forma geral ij ( i j ) ij consistência ocorrerá quando ε ij =. n λ i n i= Define-se µ =, e como λ i = n, tem-se: n i= λmax n µ = ; λmax λ n o índice de consistência (IC) que avalia se os julgamentos efetuadas são perfeitamente relacionados. A consistência de uma matriz recíproca positiva ocorrerá quando o seu autovalor máximo for igual a n. Para estimar a diferença entre estes valores usa-se o quociente a 5 Uma matriz quadrada A é chamada de redutível se existir uma matriz de permutação P tal que P T AP= A A 0 A. Uma matriz quadrada que não é redutível é chamada de irredutível. Uma matriz de permutação é qualquer matriz que pode ser criada a partir de permutações de linhas e/ou colunas de uma matriz identidade. 6 Esta observação não é válida para matrizes positivas em geral, apenas para matrizes positivas recíprocas, conforme SAATY []. 06

4 ( λ n) /( n ) max. Uma medida de consistência pode ser estimada comparando-se esse valor com a mesma razão calculada de uma matriz recíproca de julgamentos gerados aleatoriamente, de mesma ordem. Esta medida é chamada de razão de consistência (RC), dada por: IC RC =, sendo IR o índice randômico. IR Uma tabela com o índice randômico para matrizes de ordem até 5 é dada a seguir conforme apresentada em Saaty []: ORDEM IR 0 0 0,58 0,90,,4,3,4,45,49,5,48,56,57,59 Em aplicações, geralmente considera-se aceitável uma razão de consistência de até 0,0. Após o cálculo dos autovetores de cada matriz que corresponde aos julgamentos par-a-par das alternativas com relação a cada critério, em todos os níveis, tem-se a situação ilustrada na figura.. OBJETIVO GERAL u u M u p v v M CRITÉRIO CRITÉRIO vn v v M vn... CRITÉRIO p v p v p M v pn ALTERNATIVA A ALTERNATIVA A ALTERNATIVA A n... Figura : Autovetores calculados pelo AHP Para cada alternativa A i considerada, um valor é calculado da seguinte forma: u.v i + u.v i + u 3.v 3i u p.v pi A ordenação das alternativas, e até mesmo a escolha é efetuada a partir desses pesos calculados, que correspondem às importâncias relativas de cada alternativa.. Método AHP-Fuzzy O método AHP na versão fuzzy utiliza o mesmo procedimento do modelo clássico. São considerados como valores de entrada, números fuzzy triangulares e utilizada aritmética específica para tais números. Um número fuzzy triangular M(l,m,u) é dado pela função de pertinência µ (x) : 07

5 x l m l x u µ ( x) = m u 0 se se cc x [l,m] x [m, u] em que m é o valor modal e l (lower) e u (upper) os espalhamentos à esquerda e à direita, respectivamente. Estes espalhamentos caracterizam a imprecisão da quantidade tratada. Sejam M = ( l, m, u) e M = ( l, m, u) números fuzzy triangulares, no desenvolvimento do método AHP são consideradas as operações : i ) ( l, m, u ) ( l, m, u ) = ( l + l, m + m, u + ) ( u ( ii ) λ ( l, m, u) = ( λl, λm, λu) λ > 0, λ R ( ) (,, ) (,, iii l m u = ) u m l Na matriz recíproca A de entradas fuzzy, tem-se: a ij = ( l, m, u) e a ji = (, m, ) u l Aplicando o princípio de extensão fuzzy proposto por CHANG [] obtém-se: m n m S j = M k M k () i= = = i j V e V O julgamento par a par é dado por (figura ): ( M M ) ( M M ) = see m m = µ ( d) = hgt( M M ) = ( m u l u ) ( m l ) (3) µ(x) M M d l m l u m u Figura : Comparação M e M Generalizando tem-se V ( M M, M,... M k ) = minv ( M M i ); i =,,... k que são as comparações do número fuzzy triangular M com os demais. Finalmente, obtém-se o vetor de pesos (dos critérios, das alternativas avaliadas em relação a cada critério, etc, dependendo da complexidade do modelo hierárquico construído) 3. Estudo de Caso 08

6 3. Seleção de candidatos para o cargo de vendedor Para ilustrarmos este trabalho aplicamos o método AHP, em um exemplo de seleção de candidatos a uma vaga de vendedor de loja, sendo consideradas as características pessoais dos candidatos e que já possua experiência profissional no ramo (problema representado na figura 3). As características pessoais (critérios) consideradas, bem como o significado de cada uma são definidas a seguir: Atitude(C): Saber abordar o cliente ao entrar na loja, lhe dando confiança e segurança; Comunicação(C): Comunicar-se com o cliente atendendo todas as suas necessidades, fazendo perguntas objetivas e informando sobre seus produtos; Habilidade para observar(c3): Perceber o tipo de cliente com o qual esta se relacionando, procurando conhecer seu perfil, suas características e cultura; Habilidade para ouvir(c4): Saber que seus clientes informarão tudo que necessitam se tiverem a oportunidade de falar. Saber fazer as perguntas e ouvir as respostas com bastante atenção; Figura 3: Estruturação do problema 3. Emissões das opiniões e das avaliações Nesta etapa, foram ouvidas as opiniões de duas pessoas que realizaram as entrevistas, e os valores das comparações par a par construídos segundo a escala Saaty. Na tabela podemos observar a matriz de comparação entre os critérios sendo levado em consideração a relevância de um critério sobre o outro. Tabela : matriz de comparação entre os critérios Critérios C C C3 C4 C (,,) (., 3, 3.9) (0.66,, ) (0.6,,.5) (.4,,.6) (0.55,, 5) (0.37, 0.5, 0.76) C (0.5, 0.33, 0.47) (,,) (.4,,.6) (0.37, 0.5, 0.76) 09

7 (0.38, 0.5, 0.7) (.5, 3, 3.5) (0.66,, ) C3 (0.5,,.5) (0.38, 0.5, 0.7) (,,) (0.6,,.5) (0.,,.8) C4 (0.4,,.6) (0.8, 0.33, 0.4) (.3,,.7) (0.4,,.6) (0.35, 0.5, 0.83) (,,) (.3,,.7) (0.5,,.5) (.,,.8) Na tabela foram feitas as médias entre as opiniões. Tabela : matriz da média entre as opiniões Critérios C C C3 C4 C (,,) (.75,.5, 3.5) (0.6,, 3.5) (0.50, 0.75,.63) C (0.3, 0.4,0.59) (,,) (.95,.5, 3.05) (0.5, 0.75,.38) C3 (0.35,,.65) (0.33, 0.4,0.56) (,,) (0.49, 0.75,.67) C4 (0.85,.5,.) (0.9,.5,.) (0.8,.5,.) (,,) Pela fórmula (), temos: S= (3.86, 5.5, 9.38) (/7.73, /8.59, /3.57) = (0.4, 0.8, 0,70) S= (3.79, 4.67, 6.0) (/7.73, /8.59, /3.57) = (0.4, 0.5, 0.45) S3= (.7, 3.7, 4.88) (/7.73, /8.59, /3.57) = (0.08, 0.7, 0.36) S4= (3.55, 5.5, 7.45) (/7.73, /8.59, /3.57) = (0.3, 0.30, 0.56) Usando a fórmula (3) vem: V(S S)= V(S S3)= V(S S3)==0.97 V(S S)=0.9 V(S S3)= V(S S4)=0.86 V(S3 S)=0.67 V(S3 S)=0.79 V(S3 S4)=0.64 V(S4 S)= V(S3 S)= V(S3 S4)= E finalmente tirando o mínimo das comparações de cada critério com os outros dois critérios, temos: d(c)= V(S S, S3, S4)= min(, 0.97, )= 0.97 d(c)= V(S S, S, S3)= min(0.9,, 0.86)= 0.86 d(c3)= V(S3 S, S, S4)= min(0.67, 0.79, 0.64)= 0.64 d(c4)= V(S4 S, S, S3)= min(,, )= Portanto w' =(0.97, 0.86, 0.64, ) Através da normalização, obtivemos o peso dos vetores com seus respectivos critérios C, C, C3 e C4: 0

8 WC= (0.8, 0.5, 0.8, 0.9) Ao prosseguir no processo de decisão, foi comparado os três candidatos A, A e A3 em cada um dos critérios separadamente. Dessa forma repetimos todo o processo. Na tabela 3 temos a matriz de comparação entre os entrevistados levando em consideração a relevância de uma pessoa sobre a outra no critério atitude. Tabela 3: matriz de comparação (critério atitude) A A A3 (,, ) (0.37, 0.5, 0.77) (0.4, 0.5, 0.67) (0.63,,.5) (0.36, 0.5, 0.83) A (.3,,.7) (.5,,.5) (,, ) (.6, 3, 3.4) (.,,.9) A3 (0.4,,.6) (.,,.8) (0.9, 0.33, 0.38) (0.34, 0.5, 0.9) (,, ) Tabela 4: matriz da média aritmética (critério atitude) A A A3 A (,, ) (0.39, 0.5, 0.7) (0.5, 0.75,.67) A (.4,,.6) (,, ) (.85,.5, 3.5) A3 (0.8,.5,.) (0.3, 0.4, 0.65) (,, ) S= (.89,.5, 3.39) (/3.99, /0.67, /8.6)= (0.4, 0., 0.4) S=(4.5, 5.5, 6.75) (/3.99, /0.67, /8.6)= (0.3, 0.5, 0.8) S3=(.,.9, 3.85) (/3.99, /0.67, /8.6)= (0.5, 07, 0.47) V(S S)=0.6 V(S S)= V(S3 S)= V(S S3)=0.8 V(S S3)= V(S3 S)=0.40 d(c)= V(S S, S3)= min(0.6, 0.8)= 0.6 d(c)= V(S S,S3)= min(, )= d(c3)= V(S3 S, S)= min(, 0.4)= 0.4 w' = (0.6,, 0.4)

9 Logo w = (0.6, 0.6, 0.4) Na tabela 5 temos a matriz de comparação entre os entrevistados levando em consideração a relevância de uma pessoa sobre a outra no critério comunicação. Tabela 5: matriz de comparação (critério comunicação) A A A3 A (,, ) (0.67,, ) (0.37, 0.5, 0.7) (0.59,, 3.33) (0.83,,.5) A (0.5,,.5) (,, ) (.3, 3, 3.7) (0.3,,.7 ) (.5, 3, 3.5) A3 (.3,,.7) (0.7, 0.33, 0.43) (,, ) (0.8,,.) (0.9, 0.33, 0.4) Tabela 6: matriz da média aritmética (critério comunicação) A A A3 A (,, ) (0.63,,.67) (0.6, 0.75, 0.7) A (0.4,,.6) (,, ) (.4, 3, 3.5) A3 (.05,.5,.95) (0.8, 0.33, 0.4) (,, ) S=(.3,.75, 4.38) (/3.95, /0.58, /8.36) = (0.6, 0.6, 0.5) S=(3.8, 5, 6.) (/3.95, /0.58, /8.36) = ( 0.7, 0.47, 0.74) S3=(.3,.83, 3.37) (/3.95, /0.58, /8.36) = (0.6, 0.7, 0.4) V(S S)=0.54 V(S S)= V(S3 S)= V(S S3)=0.97 V(S S3)= V(S3 S)=0.39 d(c)= V(S S, S3)= min(0.54, 0.97)= 0.54 d(c)= V(S S,S3)= min(, )= d(c3)= V(S3 S, S)= min(, 0.39)= 0.39 w' = (0.54,, 0.39)

10 Logo w = (0.8, 0.5, 0.) Nesta matriz é avaliado o critério habilidade pra observar. Tabela 7: matriz de comparação (critério habilidade para observar) A A A3 A (,, ) (0.63,, ) (0.67,, ) (0.67,, ) (0.37, 0.5, 0.77) A (0.4,,.6) (,, ) (., 3, 3.9) (0.5,,.5) (.5,,.5) A3 (0.5,,.5) (0.6, 0.33, 0.48) (,, ) (.3,,.7) (0.4, 0.5, 0.67) Depois de feito as médias aritméticas entre as opiniões vem: S= (.7,.75, 4.39) (/3.8, /07, / 7.65) = (0.6, 0.7, 057) S= (3.5, 4.5, 5.55) (/3.8, /07, / 7.65) = (0.4, 0.44, 0.75) S3= (.3,.9, 3.68) (/3.8, /07, / 7.65) = (0.6, 0.9, 0.48) V(S S)=0.66 V(S S3)=0.95 V(S S)= V(S S3)= V(S3 S)= V(S3 S)=0.6 d(c)= V(S S, S3)= min(0.66, 0.95)= 0.66 d(c)= V(S S,S3)= min(, )= d(c3)= V(S3 S, S)= min(, 0.6= 0.6 w' = (0.66,, 0.6) Logo w = (0.9, 0.44, 0.7) E finalmente é avaliado o critério habilidade pra ouvir. 3

11 Tabela 9: matriz de comparação (critério habilidade para ouvir) A A A3 A (,, ) ( 0.34, 0.5, 09) (0.63,,.5) (0.9, 0.33, 0.4) (0.36, 0.5, 0.83) A (.,,.9) (0.4,,.6) (,, ) (.3,,.7) (0.5,,.5) A3 (.5, 3, 3.5) (.,,.8) ( 0.37, 0.5, 0.77) (0.67,, ) (,, ) Depois de feito as médias aritméticas entre as opiniões vem: S= (.8,.7, 3.33) (/.9, /0.4, /7.84)= (0.4, 0., 0.4) S= (.65, 4, 4.05) (/.9, /0.4, /7.84)= (0., 0.38, 0.5) S3= (3.37, 4.5, 5.54) (/.9, /0.4, /7.84)= (0.6, 0.4, 0.7) V(S S)=0.55 V(S S)= V(S3 S)= V(S S3)=0.44 V(S S3)=0.9 V(S3 S)= d(c)= V(S S, S3)= min(0.55, 0.44)= 0.44 d(c)= V(S S,S3)= min(, 0.9)= 0.9 d(c3)= V(S3 S, S)= min(, )= w' = (0.44, 0.9, )Logo w = (0.9, 0.38, 0.43 Nesta etapa é comparado os candidatos com os critérios (usando cada w calculado nas etapas acima). Tabela : comparação (critério candidato) A A A3 C C C C

12 WC= (0.8, 0.5, 0.8, 0.9) (obtido nas comparações entre os critérios) Fazendo: (A) (WC)= = 0. (A) (WC)= = 0.49 (A3) (WC)= = 0.9 Como resultado final temos: Tabela : resultado final A A A3 Resultado final Resultados e discussão A finalidade deste trabalho foi estudar a teoria e as definições do método AHP- FUZZY, bem como foi possível diante das aplicações vistas e estudadas aplicar este método na seleção de candidatos para o cargo de vendedor, onde foi verificado que o candidato A é a pessoa mais apta a exercer esta função. 5 Referências Bibliográficas [] SAATY, T. The Analytic Hierarchy Process. McGraw Hill, New York, 980. [] Chang D.Y., Applications of the extent analysis method on fuzzy AHP, European Journal of Operation Research,Volume 95, Number 3,