Após enunciar uma forma do princípio de indução e usá-lo em um exemplo, passaremos a descrever duas situações envolvendo indução:

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Após enunciar uma forma do princípio de indução e usá-lo em um exemplo, passaremos a descrever duas situações envolvendo indução:"

Transcrição

1 Vale para 1, para 2, para 2,..., Vale Sempre? Renate Watanabe Universidade Mackenzie Neste artigo vamos fazer, inicialmente, algumas afirmações sobre números naturais que são verdadeiras para os números 1, 2, 3 e muitos outros e vamos tentar responder à pergunta: elas são verdadeiras sempre? Após enunciar uma forma do princípio de indução e usá-lo em um exemplo, passaremos a descrever duas situações envolvendo indução: - uma, para ver se, de acordo com uma lenda, o mundo está para acabar, e - outra, para provar que inteligência é contagiosa, pois demonstraremos que havendo um aluno inteligente numa classe com n alunos, então todos os alunos da classe são inteligentes. O objetivo do artigo é enriquecer o estoque de fatos e problemas interessantes que professores colecionam para usar em momentos oportunos nas aulas que ministram. Verdadeiro ou falso? 1. n IN, n < n IN, n 2 + n + 41 é um número primo. 3. n IN*, 991n não é um quadrado perfeito. 4. n IN*, a soma dos n primeiros números ímpares é n n IN*, 2n + 2 é a soma de dois números primos. Vejamos: 1. n < 100 é uma sentença verdadeira para n = 1, n = 2, n = 3 e outros, mas tornase falsa para qualquer número natural maior do que 99. Portanto, n IN, n < 100 é uma sentença falsa 1

2 2. n 2 + n + 41 é um número primo é uma sentença verdadeira para n = 1, n = 2, n = 3 e outros. De fato, ela é verdadeira para todos os números naturais menores do que 40. Porém o número não é primo, mostrando que a sentença = 40. (40 + 1) + 41 = n IN, n 2 + n + 41 é um número primo é uma sentença falsa. Em 1772, Euler mostrou que f(n) = n 2 + n + 41 assumia valores primos para n = 0, 1, 2,..., 39. Observando que f(n 1) = f( n), vê-se que n 2 + n + 41 assume valores primos para 80 inteiros consecutivos: 40, 39,..., -1, 0, 1,..., 39. Substituindo a variável n por n 40, obtém-se f(n 40) = g(n) = n 2 79n que assume valores primos para todos os números naturais de 0 até 79 um record para trinômios do segundo grau (1) n não é um quadrado perfeito é uma sentença verdadeira para n = 1, n = 2, n = 3 e, mesmo após muitas e muitas tentativas, não se acha um número que a torne falsa. Pudera! O menor número natural n para o qual 991n é um quadrado perfeito é e, portanto, a sentença (2) n IN*, 991n não é um quadrado perfeito é falsa. 4. A soma dos n primeiros números ímpares é n 2 é uma sentença verdadeira para n = 1, n = 2, n = 3 e, como no caso anterior, após muitas e muitas tentativas, não se acha um número natural que a torne falsa. Neste caso, tal número não existe pois, como veremos adiante, esta sentença é verdadeira sempre. 5. 2n + 2 é a soma de dois números primos é uma sentença verdadeira para n = 1, n=2, n=3 e, como nos dois exemplos anteriores, após muitas e muitas tentativas, não se encontra um número natural que a torne falsa. Mas agora temos uma situação nova: ninguém, até hoje, encontrou um número que tornasse a sentença falsa e ninguém, até hoje, sabe demonstrar que a sentença é verdadeira sempre. 2

3 A sentença é a famosa conjetura de Goldbach (3) feita em 1742, em uma carta dirigida a Euler: Tudo inteiro par, maior do que 2, é a soma de dois números primos. Não se sabe, até hoje, se esta sentença é verdadeira ou falsa. Em suma, dada uma afirmação sobre números naturais, se encontrarmos um contraexemplo, saberemos que a afirmação não é sempre verdadeira. E se não acharmos um contra-exemplo? Neste caso, suspeitando que a afirmação seja verdadeira sempre, uma possibilidade é tentar demonstrá-la recorrendo ao princípio da indução. Princípio da indução finita Seja S um conjunto de números naturais, com as seguintes propriedades: 1. 0 S 2. k IN, se k S, então k + 1 S. Nestas condições, S = IN. Vamos ver como este princípio nos permite demonstrar que a sentença 4 é verdadeira. Demonstração: n IN*, a soma dos n primeiros números ímpares é n 2. Seja S o conjunto dos números naturais n para os quais a soma dos n primeiros números ímpares é n S, pois a soma dos 1 primeiros números ímpares é 1 = Vamos supor que k S, isto é, que a soma dos k primeiros números ímpares seja k 2. Vamos provar que k + 1 S, isto é, que a soma dos k + 1 primeiros números ímpares é (k + 1) 2. Estamos supondo que e queremos provar que k 1 = k k + 1 = (k + 1) 2.Basta observar que (2k 1) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) = (k + 1) 2 3

4 O princípio da indução nos garante, agora, que S = IN*, ou seja, a afirmação a soma dos n primeiros ímpares é n 2 é verdadeira para todos os números naturais maiores do que zero. No 2 o. grau o professor encontra muitas oportunidades para fazer demonstrações por indução, se assim o desejar, mas não nos deteremos aqui para dar os exemplos clássicos. Uma lenda Após a criação do mundo, em um mosteiro escondido na Índia, o Grande Criador colocou uma placa de bronze e nela fixou três bastões cobertos de diamantes. Em um dos bastões, em ordem decrescente de tamanho, colocou 64 discos de ouro. E assim disse aos monges: Transfiram esta pilha de discos para outro bastão, movendo, ininterruptamente, um disco de cada vez e nunca permitindo que um disco fique acima de um menor. Quando terminarem esta tarefa e os 64 discos estiverem em outro bastão, este templo se reduzirá a pó e com um estrondo de trovões o mundo acabará. Dizem os sábios que o mundo foi criado há 4 bilhões de anos aproximadamente e os monges, desde a criação, estão movendo os discos na razão de um disco por segundo. Será que veremos o mundo acabar? É muito difícil imaginar os movimentos feitos com uma pilha de 64 discos. Imaginemos uma pilha com 1 disco: Para 1 disco, a transferência se dá com 1 movimento: m 1 = 1 Dois discos 4

5 m 2 = 3 Para 2 discos, a transferência se dá com 3 movimentos. Três discos: m 3 = 7 Quatro discos: m 4 = 15 Já se pode ver como deslocar n discos, com um menor número de movimentos possível: inicialmente, movem-se n 1 discos para o bastão de trás, com m n-1 movimentos; em seguida, move-se o n-ésimo disco para o outro bastão da frente, com 1 movimento; finalmente movem-se os n 1 discos do bastão de trás para o da frente, com m n-1 movimentos. Tem-se: m n = m n m n 1 = 2m n Façamos uma tabela com o número de discos e o número de movimentos mínimo para mudá-los de um bastão para outro: n m n Precisamos descobrir o valor de m 64 porque m 64 segundos após a criação do mundo, ele acabará e já se passaram 4 bilhões de anos! Observando a segunda linha da tabela vemos que os seus números são, a menos de 1: 2, 4, 8, 16, 32, 64, ou seja, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, 2 6, o que nos leva a fazer a seguinte conjetura: m n = 2 n 1 5

6 Esta sentença é verdadeira para n = 1, 2, 3,4 5, 6, mas será verdadeira sempre? Tentemos demonstrá-la por indução. Seja S o conjunto dos números naturais n tais que n discos são movidos com 2 n 1 movimentos. 1 S, pois para 1 disco necessitamos de 1 = movimentos. Vamos supor que k S, isto é, k discos são removidos com 2 k 1 movimentos. Vamos provar que k + 1 S, isto é, que m k +1 = 2 k Para remover k + 1 discos passamos, inicialmente, k discos para o bastão de trás com m k movimentos; em seguida, com 1 movimento, o (k + 1) ésimo disco vai para o outro bastão da frente; com m k movimentos, os k discos de trás passam para o bastão da frente. Isto é, m k + 1 = m k m k. m k + 1 = 2 k k 1 = 2. 2 k 1 = 2 k e isto mostra que k + 1 S. O princípio da indução nos garante que n discos podem sempre ser removidos com 2 n 1 movimentos e, em particular, m 64 = E assim, ficamos sabendo que segundos após a criação do mundo, ele terminará. Com um pouco mais de Matemática ficaremos sabendo se isto ocorrerá logo. Façamos alguns cálculos. Quantos segundos têm um ano? Exagerando, vamos supor que os monges façam 2 25 movimentos por ano (na verdade fazem 2 39 = = > Passaram-se até hoje 4 bilhões de anos, ou seja, anos. Podemos ficar tranquilos faltam mais do que 508 bilhões de anos para os monges terminarem sua tarefa isto, supondo que eles não errem no caminho. 6

7 Os bastões com 7, 8 ou 9 discos constituem um brinquedo conhecido como Torre de Hanoi (4), inventado pelo matemático francês Edouard Lucas ( ) e já vendido como brinquedo em Um folheto o acompanhava contando a lenda acima. E. Lucas demonstrou um teorema conhecido como teste de Lucas que lhe permitiu provar, entre outros fatos, que é um número primo e este foi, até 1952, o maior número primo conhecido = (5) Alunos inteligentes O teorema que vamos enunciar e demonstrar é uma versão mais popular de uma demonstração atribuída a A. Tarski ( ) de que todos os números naturais são iguais (6). O enunciado do teorema é o seguinte: n IN*, se numa classe com n alunos um for inteligente, então todos os alunos da classe são inteligentes. Demonstração (por indução): Seja S o conjunto dos números naturais n tais que se numa classe com n alunos, um for inteligente, então todos são inteligentes S, pois se numa classe com 1 aluno, um for inteligente, então todos (ele, somente) são inteligentes. 2. Vamos supor que k S, isto é, se numa classe com k alunos, um for inteligente, então todos são inteligentes. Vamos provar que k + 1 S: Imaginemos uma classe com k + 1 alunos, dos quais um é inteligente. Vamos pedir que um dos alunos, não o inteligente, saia da classe. Restam na classe k alunos dos quais um é inteligente. Pela hipótese (k S), todos os k alunos da classe são inteligentes. Chamemos de volta o aluno que saiu. Temos k + 1 alunos dos quais, com certeza, k já são inteligentes. 7

8 Vamos pedir que um dos k alunos inteligentes saia da classe. Restam na classe k alunos dos quais um (até mais do que um) é inteligente. Pela hipótese (k S), todos os k alunos da classe são inteligentes. Chamando de volta o aluno que saiu, teremos uma classe com k + 1 alunos inteligentes, isto é, k + 1 S. Pelo princípio da indução, qualquer que seja n > 0, se numa classe com n alunos, um for inteligente, então todos são inteligentes. Mas, pela nossa experiência, infelizmente, isto é bobagem. E agora? Onde está o erro? Referências (1) Euler e a Teoria dos Números, RPM 4, p. 12. Mathematical Gems II, R. Honsberger, MAA, p. 29. (2) Induction in Geometry, L. Golovina, I. M. Yaglom, Mir, p. 8. (3) A experiência matemática, P. J. Davis, R. Hersh, Francisco Alves, p (4) Divertimentos Matemáticos, Martin Gardner, Ibrasa, p. 59. Matemática e Imaginação, E. Kasner, J. Newman Zahar, p A Torre de Hanói, Revista de Ensino de Ciência, 11, p. 21 (5) Elementos de Álgebra, L. H. Jacy Monteiro, Ao Livro Técnico, p (6) Enrichment Mathematics for High School, NCTM, p

9 Regras mnemônicas para memorizar os primeiros dígitos do número π Em inglês: YES, I HAVE A NUMBER (Sim, eu tenho um número) 3, Ou SEE, I HAVE A RHYME ASSISTING MY FEEBLE BRAIN ITS TASKS SOMETIME RESISTING 3, (Veja eu tenho uma rima ajudando meu fraco cérebro às vezes resistindo às suas tarefas). Em francês: QUE J AIME A FAIRE APPRENDRE UN NOMBRE UTILE AUX SAGES (Que eu gostaria de ensinar um número útil aos sábios) E, em português, o colega conhece algo semelhante? Com números: (enviado por José M. de Azevedo Netto, São Paulo, SP) 9

VALE PARA 1, PARA 2, PARA 3,... VALE SEMPRE?

VALE PARA 1, PARA 2, PARA 3,... VALE SEMPRE? VALE PARA 1, PARA 2, PARA 3,.... VALE SEMPRE? Renate Watanabe As afirmações abaio, sobre números naturais, são verdadeiras para os números 1, 2, 3 e muitos outros. Perguntamos: elas são verdadeiras sempre?

Leia mais

A Torre de Hanói e o Princípio da Indução Matemática

A Torre de Hanói e o Princípio da Indução Matemática A Torre de Hanói e o Princípio da Indução Matemática I. O jogo A Torre de Hanói consiste de uma base com três pinos e um certo número n de discos de diâmetros diferentes, colocados um sobre o outro em

Leia mais

MA12 - Unidade 3 Denição por Recorrência Aplicações da Indução Semana de 11/04 a 17/04

MA12 - Unidade 3 Denição por Recorrência Aplicações da Indução Semana de 11/04 a 17/04 MA1 - Unidade 3 Denição por Recorrência Aplicações da Indução Semana de 11/04 a 17/04 Esta unidade está dividida em duas partes. Na primeira, mostraremos como denir objetos matemáticos por recorrência

Leia mais

5 Equacionando os problemas

5 Equacionando os problemas A UA UL LA Equacionando os problemas Introdução Nossa aula começará com um quebra- cabeça de mesa de bar - para você tentar resolver agora. Observe esta figura feita com palitos de fósforo. Mova de lugar

Leia mais

Exercícios Teóricos Resolvidos

Exercícios Teóricos Resolvidos Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar

Leia mais

Recursividade. Aula 9

Recursividade. Aula 9 Recursividade Aula 9 Em matemática vários objetos são definidos apresentando-se um processo que os produz. Ex PI (circunferência/diâmetro) Outra definição de um objeto por um processo é o fatorial de um

Leia mais

Estruturas Discretas INF 1631

Estruturas Discretas INF 1631 Estruturas Discretas INF 1631 Thibaut Vidal Departamento de Informática, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Rua Marquês de São Vicente, 225 - Gávea, Rio de Janeiro - RJ, 22451-900, Brazil

Leia mais

Alunos dorminhocos. 5 de Janeiro de 2015

Alunos dorminhocos. 5 de Janeiro de 2015 Alunos dorminhocos 5 de Janeiro de 2015 Resumo Objetivos principais da aula de hoje: entender a necessidade de se explorar um problema para chegar a uma solução; criar o hábito (ou pelo menos entender

Leia mais

Bases Matemáticas. Aula 2 Métodos de Demonstração. Rodrigo Hausen. v. 2013-7-31 1/15

Bases Matemáticas. Aula 2 Métodos de Demonstração. Rodrigo Hausen. v. 2013-7-31 1/15 Bases Matemáticas Aula 2 Métodos de Demonstração Rodrigo Hausen v. 2013-7-31 1/15 Como o Conhecimento Matemático é Organizado Definições Definição: um enunciado que descreve o significado de um termo.

Leia mais

Calculando RPM. O s conjuntos formados por polias e correias

Calculando RPM. O s conjuntos formados por polias e correias A U L A Calculando RPM O problema O s conjuntos formados por polias e correias e os formados por engrenagens são responsáveis pela transmissão da velocidade do motor para a máquina. Geralmente, os motores

Leia mais

Princípio da Indução Matemática: P(1) verdadeira ( k)[p(k) verdadeira P(k+1) verdadeira] ENTÃO P(n) verdadeira para todos os n inteiros positivos

Princípio da Indução Matemática: P(1) verdadeira ( k)[p(k) verdadeira P(k+1) verdadeira] ENTÃO P(n) verdadeira para todos os n inteiros positivos Indução Matemática Princípio da Indução Matemática: P(1) verdadeira ( k)[p(k) verdadeira P(k+1) verdadeira] ENTÃO P(n) verdadeira para todos os n inteiros positivos O Princípio da Indução Matemática é

Leia mais

Estrutura de Dados Básica

Estrutura de Dados Básica Estrutura de Dados Básica Professor: Osvaldo Kotaro Takai. Aula 7: Recursividade O objetivo desta aula é apresentar o conceito de recursão para solução de problemas. A recursão é uma técnica de programação

Leia mais

O PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS

O PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS Instituto de Ciências Exatas - ICEx Departamento de Matemática O PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS Priscilla Alves Ferreira Belo Horizonte 2011 Priscilla Alves Ferreira

Leia mais

Módulo 1: Contextualização

Módulo 1: Contextualização Módulo 1: Contextualização Este trabalho, tem o objetivo de auxiliar os alunos das disciplinas de Introdução a Programação de Computadores, para cursos de Engenharia e de Automação, em seus estudos e no

Leia mais

ALGUMAS ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO CIENTÍFICA REALIZADAS PELOS ESTUDANTES

ALGUMAS ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO CIENTÍFICA REALIZADAS PELOS ESTUDANTES ALGUMAS ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO CIENTÍFICA REALIZADAS PELOS ESTUDANTES Trinh Dang Khoi ( ISCED/Luanda ) Ta thi Oanh ( Faculdade de Ciências ) Este trabalho baseia-se fundamentalmente na busca de respostas

Leia mais

Teorema de Pitágoras. Módulo 1 Unidade 10. Para início de conversa... Matemática e Suas Tecnologias Matemática 1

Teorema de Pitágoras. Módulo 1 Unidade 10. Para início de conversa... Matemática e Suas Tecnologias Matemática 1 Módulo 1 Unidade 10 Teorema de Pitágoras Para início de conversa... Certamente, você já deve ter ouvido falar no Teorema de Pitágoras. Pois bem, nesta unidade, ele será o centro das atenções, mas vamos

Leia mais

MD Sequências e Indução Matemática 1

MD Sequências e Indução Matemática 1 Sequências Indução Matemática Renato Martins Assunção assuncao@dcc.ufmg.br Antonio Alfredo Ferreira Loureiro loureiro@dcc.ufmg.br MD Sequências e Indução Matemática 1 Introdução Uma das tarefas mais importantes

Leia mais

Calculando distâncias sem medir

Calculando distâncias sem medir alculando distâncias sem medir UUL L No campo ocorrem freqüentemente problemas com medidas que não podemos resolver diretamente com ajuda da trena. Por exemplo: em uma fazenda, como podemos calcular a

Leia mais

XXXVIII OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase (9 de agosto de 2014) Nível (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental)

XXXVIII OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase (9 de agosto de 2014) Nível (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental) Instruções: XXXVIII OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase (9 de agosto de 2014) Nível (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental) Folha de Perguntas A duração da prova é de 3h30min. O tempo

Leia mais

SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM REDE NACIONAL PROFMAT

SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM REDE NACIONAL PROFMAT SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM REDE NACIONAL PROFMAT GABARITO da 3 a Avaliação Nacional de Aritmética - MA14-21/12/2013 Questão 1. (pontuação: 2) (1,0) a) Enuncie e demonstre

Leia mais

Lógica de Programação

Lógica de Programação Lógica de Programação Significa o uso correto das leis do pensamento e de processos de raciocínio para a produção de soluções logicamente válidas e coerentes, que resolvam com qualidade os problemas que

Leia mais

Lista n 0 1 de Exercícios de Teoria da Computação

Lista n 0 1 de Exercícios de Teoria da Computação Lista n 0 1 de Exercícios de Teoria da Computação UFU-Curso de Bacharelado em Ciência da Computação - 7 0 período Profa. Sandra de Amo Exercícios de Revisão : Autômatos e Gramáticas 1. Mostre que a linguagem

Leia mais

Quem te fala mal de. 10º Plano de aula. 1-Citação as semana: Quem te fala mal de outra pessoa, falará mal de ti também." 2-Meditação da semana:

Quem te fala mal de. 10º Plano de aula. 1-Citação as semana: Quem te fala mal de outra pessoa, falará mal de ti também. 2-Meditação da semana: 10º Plano de aula 1-Citação as semana: Quem te fala mal de outra pessoa, falará mal de ti também." Provérbio Turco 2-Meditação da semana: Mestre conselheiro- 6:14 3-História da semana: AS três peneiras

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ PIBID-PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO A DOCÊNCIA PROVAS E DEMONSTRAÇÕES EM MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ PIBID-PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO A DOCÊNCIA PROVAS E DEMONSTRAÇÕES EM MATEMÁTICA 1 DOCÊNCIA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ PIBID-PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO A PROVAS E DEMONSTRAÇÕES EM MATEMÁTICA Fabio da Costa Rosa Fernanda Machado Greicy Kelly Rockenbach da Silva

Leia mais

X.0 Sucessões de números reais 1

X.0 Sucessões de números reais 1 «Tal como a tecnologia requer as tøcnicas da matemætica aplicada, tambøm a matemætica aplicada requer as teorias do nœcleo central da matemætica pura. Da l gica matemætica topologia algøbrica, da teoria

Leia mais

Sérgio Carvalho Matemática Financeira

Sérgio Carvalho Matemática Financeira Sérgio Carvalho Matemática Financeira Resolução Matemática Financeira ICMS-RJ/2008 Parte 02 33. Uma rede de lojas, que atua na venda de eletrônicos, anuncia a venda de notebook da seguinte forma: - R$

Leia mais

RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES OBJETIVAS DO EXAME NACIONAL DE SELEÇÃO PARA O PROFMAT

RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES OBJETIVAS DO EXAME NACIONAL DE SELEÇÃO PARA O PROFMAT UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA (UNIDADE ACADÊMICA DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA) PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL TUTOR: PROF.

Leia mais

APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES 1ª. ORDEM

APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES 1ª. ORDEM APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES 1ª. ORDEM Decaimento radioativo Resultados experimentais mostram que elementos radioativos desintegram a uma taxa proporcional à quantidade presente do elemento. Se Q = Q(t) é a

Leia mais

Realizando cálculos para o aparelho divisor (I)

Realizando cálculos para o aparelho divisor (I) Realizando cálculos para o aparelho divisor (I) A UU L AL A Você já estudou como fazer os cálculos para encontrar as principais medidas para a confecção de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos. Vamos

Leia mais

Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional. n=1

Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional. n=1 Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional MA Números e Funções Reais Avaliação - GABARITO 3 de abril de 203. Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras

Leia mais

Imagens Mentais Por Alexandre Afonso

Imagens Mentais Por Alexandre Afonso 2 Imagens Mentais Por Alexandre Afonso 1ª Edição, 08/04/2016 As novas edições serão sempre disponibilizadas no link: http://alexandreafonso.com.br/e book imagens mentais 2016 alexandreafonso.com.br. Todos

Leia mais

Programa de Edição de Textos- Profª Érica Barcelos CAPÍTULO 2

Programa de Edição de Textos- Profª Érica Barcelos CAPÍTULO 2 Programa de Edição de Textos- Profª Érica Barcelos CAPÍTULO 2 2. MANIPULAÇÃO DE DOCUMENTOS Os processadores de textos possibilitam a criação e a manipulação de diversos modelos de documentos. Com eles

Leia mais

Resíduos Quadráticos e Fatoração: uma aplicação à criptoanálise do RSA

Resíduos Quadráticos e Fatoração: uma aplicação à criptoanálise do RSA Resíduos Quadráticos e Fatoração: uma aplicação à criptoanálise do RSA Charles F. de Barros 20 de novembro de 2008 Resumo Faremos uma breve introdução ao conceito de resíduos quadráticos, descrevendo em

Leia mais

É PROIBIDO O USO COMERCIAL DESSA OBRA SEM A AUTORIZAÇÃO DO AUTOR

É PROIBIDO O USO COMERCIAL DESSA OBRA SEM A AUTORIZAÇÃO DO AUTOR É PROIBIDO O USO COMERCIAL DESSA OBRA SEM A AUTORIZAÇÃO DO AUTOR Introdução: Aqui nesse pequeno e-book nós vamos relacionar cinco super dicas que vão deixar você bem mais perto de realizar o seu sonho

Leia mais

Índice. - Introdução... 3. - Economize em Gastos... 7 com Supérfluos. - Controle Seus Sentimentos... 11

Índice. - Introdução... 3. - Economize em Gastos... 7 com Supérfluos. - Controle Seus Sentimentos... 11 1 Índice - Introdução... 3 - Economize em Gastos... 7 com Supérfluos - Controle Seus Sentimentos... 11 - Quite suas Dívidas, mesmo... 14 que Seja Necessário Fazer um Empréstimo - Não Siga a Massa, Existem...

Leia mais

Jogos Matemáticos. Jorge Nuno Silva

Jogos Matemáticos. Jorge Nuno Silva Jogos Matemáticos Jorge Nuno Silva 1 Introdução Por Jogos Matemáticos designam-se puzzles, problemas e actividades que vão da simples charada à questão matemática ainda em aberto. A História da Matemática

Leia mais

Poliminós e o Tabuleiro de Xadrez Prof. Onofre Campos (onofrecampos@secrel.com.br) Prof. Carlos Shine (cyshine@yahoo.com)

Poliminós e o Tabuleiro de Xadrez Prof. Onofre Campos (onofrecampos@secrel.com.br) Prof. Carlos Shine (cyshine@yahoo.com) Poliminós e o Tabuleiro de Xadrez Prof. Onofre Campos (onofrecampos@secrel.com.br) Prof. Carlos Shine (cyshine@yahoo.com) 1. O dominó Você já deve conhecer o dominó. Não vamos pensar no jogo de dominós

Leia mais

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas?

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas? Recorrências Muitas vezes não é possível resolver problemas de contagem diretamente combinando os princípios aditivo e multiplicativo. Para resolver esses problemas recorremos a outros recursos: as recursões

Leia mais

Eu tenho a força! Será?

Eu tenho a força! Será? A UU L AL A Eu tenho a força! Será? Várias vezes vemos na televisão alguém gritando Eu tenho a força e, então, começa uma verdadeira pancadaria! Logo o super-herói sai do meio da confusão tirando pó do

Leia mais

Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior

Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=disc jc Aula 07 ATIVIDADE 01 Na aula anterior, vimos como rastrear pontos. Abra o arquivo

Leia mais

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO AULA QUINZE: Matrizes & Determinantes (Parte II) Olá, amigos! Pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula na semana passada. Motivos de força maior nos impediram de fazê-lo, mas

Leia mais

CONCEITOS MATEMÁTICOS ENVOLVIDOS NO FUNCIONAMENTO DA CRIPTOGRAFIA RSA

CONCEITOS MATEMÁTICOS ENVOLVIDOS NO FUNCIONAMENTO DA CRIPTOGRAFIA RSA CONCEITOS MATEMÁTICOS ENVOLVIDOS NO FUNCIONAMENTO DA CRIPTOGRAFIA RSA Cristiane Moro 1 Raquel Cerbaro 2 Andréia Beatriz Schmid 3 Resumo: A criptografia visa garantir que somente pessoas autorizadas tenham

Leia mais

Hoje estou elétrico!

Hoje estou elétrico! A U A UL LA Hoje estou elétrico! Ernesto, observado por Roberto, tinha acabado de construir um vetor com um pedaço de papel, um fio de meia, um canudo e um pedacinho de folha de alumínio. Enquanto testava

Leia mais

Desenvolvido por: Rafael Botelho botelhotech@gmail.com http://rafaelbotelho.com

Desenvolvido por: Rafael Botelho botelhotech@gmail.com http://rafaelbotelho.com Desenvolvido por: Rafael Botelho botelhotech@gmail.com http://rafaelbotelho.com Guia de Instalação do BRlix Como tenho visto no fórum do BRlix que muitas pessoas estão encontrando dificuldades na instalação

Leia mais

O problema do jogo dos discos 1

O problema do jogo dos discos 1 O problema do jogo dos discos 1 1 Introdução Roberto Ribeiro Paterlini Departamento de Matemática da UFSCar Temos aplicado o problema do jogo dos discos em classes de estudantes de Licenciatura em Matemática

Leia mais

O Princípio da Indução diz o seguinte:

O Princípio da Indução diz o seguinte: (*) +-,/. 01+$243/5246/798 : ;"=@?9A@BDC@E@? "!$#%& ' O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos referentes aos números naturais. Por isso deve-se adquirir prática

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = =

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = = Energia Potencial Elétrica Física I revisitada 1 Seja um corpo de massa m que se move em linha reta sob ação de uma força F que atua ao longo da linha. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo

Leia mais

O Grilo Cantante. Série Matemática na Escola

O Grilo Cantante. Série Matemática na Escola O Grilo Cantante Série Matemática na Escola Objetivos 1. Apresentar e resolver uma charada algébrica; 2. Mostrar como usar o sistema de numeração decimal para resolver alguns problemas. O Grilo Cantante

Leia mais

CURSO ON-LINE PROFESSOR: VÍTOR MENEZES

CURSO ON-LINE PROFESSOR: VÍTOR MENEZES Caros concurseiros, Como havia prometido, seguem comentários sobre a prova de estatística do ICMS RS. Em cada questão vou fazer breves comentários, bem como indicar eventual possibilidade de recurso. Não

Leia mais

SEGURANÇA PÚBLICA ASSUNTO DE TODOS

SEGURANÇA PÚBLICA ASSUNTO DE TODOS SEGURANÇA PÚBLICA ASSUNTO DE TODOS Minhas áreas de atuação são, pela ordem de número de eventos: Gestão de Projetos; Gestão de Ativos; Gestão de Segurança Industrial e Gestão Estratégica de empresas. Considero-me,

Leia mais

Respostas de MAIO. A sequência é formada elevando-se ao quadrado os números 2,3,4... e somandolhes 2 em cada caso.

Respostas de MAIO. A sequência é formada elevando-se ao quadrado os números 2,3,4... e somandolhes 2 em cada caso. Respostas de MAIO Dia 1: O menor número de ovos é 91. Dia 2: O nível da água baixa. No barquinho, a moeda desloca a mesma massa de água que a do barquinho, portanto, um volume maior que o da moeda. Na

Leia mais

Entrevistado: Almir Barbassa Entrevistador: - Data:11/08/2009 Tempo do Áudio: 23 30

Entrevistado: Almir Barbassa Entrevistador: - Data:11/08/2009 Tempo do Áudio: 23 30 1 Entrevistado: Almir Barbassa Entrevistador: - Data:11/08/2009 Tempo do Áudio: 23 30 Entrevistador- Como o senhor vê a economia mundial e qual o posicionamento do Brasil, após quase um ano da quebra do

Leia mais

Contagem II. Neste material vamos aprender novas técnicas relacionadas a problemas de contagem. 1. Separando em casos

Contagem II. Neste material vamos aprender novas técnicas relacionadas a problemas de contagem. 1. Separando em casos Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 5 Contagem II Neste material vamos aprender novas técnicas relacionadas a problemas de contagem. 1. Separando em

Leia mais

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU 1 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU Equação do 1º grau Chamamos de equação do 1º grau em uma incógnita x, a qualquer expressão matemática que pode ser escrita sob a forma: em que a e b são números reais,

Leia mais

Manifeste Seus Sonhos

Manifeste Seus Sonhos Manifeste Seus Sonhos Índice Introdução... 2 Isso Funciona?... 3 A Força do Pensamento Positivo... 4 A Lei da Atração... 7 Elimine a Negatividade... 11 Afirmações... 13 Manifeste Seus Sonhos Pág. 1 Introdução

Leia mais

REVISÃO E AVALIAÇÃO DA MATEMÁTICA

REVISÃO E AVALIAÇÃO DA MATEMÁTICA 2 Aula 45 REVISÃO E AVALIAÇÃO DA 3 Vídeo Arredondamento de números. 4 Arredondamento de números Muitas situações cotidianas envolvendo valores destinados à contagem, podem ser facilitadas utilizando o

Leia mais

INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE

INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE Preliminares No estudo de sistemas de controle, e comum usar-se diagramas de blocos, como o da figura 1. Diagramas de blocos podem ser utilizados

Leia mais

MA14 - Aritmética Unidade 24 Resumo

MA14 - Aritmética Unidade 24 Resumo MA14 - Aritmética Unidade 24 Resumo Introdução à Criptografia Abramo Hefez PROFMAT - SBM Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do

Leia mais

Presidência da República Casa Civil Secretaria de Administração Diretoria de Gestão de Pessoas Coordenação Geral de Documentação e Informação

Presidência da República Casa Civil Secretaria de Administração Diretoria de Gestão de Pessoas Coordenação Geral de Documentação e Informação Presidência da República Casa Civil Secretaria de Administração Diretoria de Gestão de Pessoas Coordenação Geral de Documentação e Informação Coordenação de Biblioteca 14 Discurso: em encontro com professores

Leia mais

(a 1 + a 100 ) + (a 2 + a 99 ) + (a 3 + a 98 ) +... + (a 50 + a 51 ).

(a 1 + a 100 ) + (a 2 + a 99 ) + (a 3 + a 98 ) +... + (a 50 + a 51 ). Questão 1. A sequência 0, 3, 7, 10, 14, 17, 21,... é formada a partir do número 0 somando-se alternadamente 3 ou 4 ao termo anterior, isto é: o primeiro termo é 0, o segundo é 3 a mais que o primeiro,

Leia mais

Lista de Exercícios 4: Soluções Sequências e Indução Matemática

Lista de Exercícios 4: Soluções Sequências e Indução Matemática UFMG/ICEx/DCC DCC Matemática Discreta Lista de Exercícios : Soluções Sequências e Indução Matemática Ciências Exatas & Engenharias o Semestre de 05 O conjunto dos números racionais Q é enumerável, ou seja,

Leia mais

A TEORIA DO CONHECIMENTO DE DESCARTES E SUA RELAÇÃO COM A GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

A TEORIA DO CONHECIMENTO DE DESCARTES E SUA RELAÇÃO COM A GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA A TEORIA DO CONHECIMENTO DE DESCARTES E SUA RELAÇÃO COM A GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA Danilo Pereira Munhoz Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho danilomunhoz@gmail.com Fabrícia Lélis Universidade

Leia mais

Descobrindo o custo do concorrente...

Descobrindo o custo do concorrente... Descobrindo o custo do concorrente... * José Alberto Bonassoli Você não precisa fazer espionagem industrial para conhecer o custo da concorrência! Nem tampouco precisará comprar funcionários deles ou tampouco

Leia mais

O princípio multiplicativo

O princípio multiplicativo A UA UL L A O princípio multiplicativo Introdução A palavra Matemática, para um adulto ou uma criança, está diretamente relacionada com atividades e técnicas para contagem do número de elementos de algum

Leia mais

Podemos concluir: Todas as funções desse tipo passam pelos pontos: (0,0),(-1,-1) e (1,1). Todas as funções desse tipo são exemplos de funções ímpares.

Podemos concluir: Todas as funções desse tipo passam pelos pontos: (0,0),(-1,-1) e (1,1). Todas as funções desse tipo são exemplos de funções ímpares. 4.3 Funções potência Uma função da forma f(x)=x n, onde n é uma constante, é chamada função potência. Os gráficos de f(x)=x n para n=1,2,3,4 e 5 são dados a seguir. A forma geral do gráfico de f(x)=x n

Leia mais

Soluções de Questões de Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ

Soluções de Questões de Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ Soluções de Questões de Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ. Questão Sistemas de Numeração No sistema de numeração de base 2, o numeral mais simples de

Leia mais

O desafio de substituir letras por números: que conteúdos e estratégias podem ser desenvolvidos?

O desafio de substituir letras por números: que conteúdos e estratégias podem ser desenvolvidos? Texto complementar O desafio de substituir letras por números: que conteúdos e estratégias podem ser desenvolvidos? Helena N. Cury e Maria Laura F. B. Sampaio MATEMÁTICA 1 Matemática Assunto: Desafios

Leia mais

Objetivos. Material a ser utilizado. - Cópias da atividade em número suficiente. Procedimentos

Objetivos. Material a ser utilizado. - Cópias da atividade em número suficiente. Procedimentos Objetivos - Ler uma notícia e identificar o título e o assunto principal do texto. - Perceber a importância do tema da notícia para a compreensão dos problemas ambientais. - Identificar personagens de

Leia mais

REPRESENTAÇÃO DE DADOS E SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

REPRESENTAÇÃO DE DADOS E SISTEMAS DE NUMERAÇÃO REPRESENTAÇÃO DE DADOS E SISTEMAS DE NUMERAÇÃO Profs. M.Sc. Lucio M. Duarte e Ph.D. Avelino Zorzo 1 Faculdade de Informática - PUCRS 1 REPRESENTAÇÃO DE DADOS Acredita-se que a criação de números veio com

Leia mais

Sistemas Lineares. Módulo 3 Unidade 10. Para início de conversa... Matemática e suas Tecnologias Matemática

Sistemas Lineares. Módulo 3 Unidade 10. Para início de conversa... Matemática e suas Tecnologias Matemática Módulo 3 Unidade 10 Sistemas Lineares Para início de conversa... Diversos problemas interessantes em matemática são resolvidos utilizando sistemas lineares. A seguir, encontraremos exemplos de alguns desses

Leia mais

SISTEMAS ESPECIALISTAS

SISTEMAS ESPECIALISTAS SISTEMAS ESPECIALISTAS Pasteur Ottoni de Miranda Junior DCC PUC Minas Postado em www.pasteurjr.blogspot.com Sistemas especialistas (SE) representam o comportamento de um especialista humano em determinada

Leia mais

CAPÍTULO 3 - TIPOS DE DADOS E IDENTIFICADORES

CAPÍTULO 3 - TIPOS DE DADOS E IDENTIFICADORES CAPÍTULO 3 - TIPOS DE DADOS E IDENTIFICADORES 3.1 - IDENTIFICADORES Os objetos que usamos no nosso algoritmo são uma representação simbólica de um valor de dado. Assim, quando executamos a seguinte instrução:

Leia mais

Aula 9 ESCALA GRÁFICA. Antônio Carlos Campos

Aula 9 ESCALA GRÁFICA. Antônio Carlos Campos Aula 9 ESCALA GRÁFICA META Apresentar as formas de medição da proporcionalidade entre o mundo real e os mapas através das escalas gráficas. OBJETIVOS Ao final desta aula, o aluno deverá: estabelecer formas

Leia mais

Experimento. Guia do professor. Qual é a área do quadrilátero? Secretaria de Educação a Distância. Ministério da Ciência e Tecnologia

Experimento. Guia do professor. Qual é a área do quadrilátero? Secretaria de Educação a Distância. Ministério da Ciência e Tecnologia Geometria e medidas Guia do professor Experimento Qual é a área do quadrilátero? Objetivos da unidade 1. Apresentar diferentes formas de se calcular ou aproximar a área de quadri láteros; 2. Analisar situações

Leia mais

Tópico 02: Movimento Circular Uniforme; Aceleração Centrípeta

Tópico 02: Movimento Circular Uniforme; Aceleração Centrípeta Aula 03: Movimento em um Plano Tópico 02: Movimento Circular Uniforme; Aceleração Centrípeta Caro aluno, olá! Neste tópico, você vai aprender sobre um tipo particular de movimento plano, o movimento circular

Leia mais

Somatórias e produtórias

Somatórias e produtórias Capítulo 8 Somatórias e produtórias 8. Introdução Muitas quantidades importantes em matemática são definidas como a soma de uma quantidade variável de parcelas também variáveis, por exemplo a soma + +

Leia mais

AV2 - MA 12-2012. (a) De quantos modos diferentes posso empilhá-los de modo que todos os CDs de rock fiquem juntos?

AV2 - MA 12-2012. (a) De quantos modos diferentes posso empilhá-los de modo que todos os CDs de rock fiquem juntos? Questão 1. Num porta-cds, cabem 10 CDs colocados um sobre o outro, formando uma pilha vertical. Tenho 3 CDs de MPB, 5 de rock e 2 de música clássica. (a) De quantos modos diferentes posso empilhá-los de

Leia mais

Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2)

Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2) Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2) Nessa aula continuaremos nosso estudo sobre limites de funções. Analisaremos o limite de funções quando o x ± (infinito). Utilizaremos o conceito

Leia mais

Vamos poupar dinheiro!

Vamos poupar dinheiro! Módulo 2 Unidade 8 Vamos poupar dinheiro! Para início de conversa... Observe a história em quadrinho abaixo: Matemática e suas Tecnologias Matemática 33 Todos nós sabemos que é muito bom guardar um dinheirinho

Leia mais

Exercícios 1. Determinar x de modo que a matriz

Exercícios 1. Determinar x de modo que a matriz setor 08 080509 080509-SP Aula 35 MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A, tal que: A A = A A = I n

Leia mais

A prova no geral foi bem tranquila, e tenho certeza de que meus alunos não tiveram problemas para tratorar as questões de ARM.

A prova no geral foi bem tranquila, e tenho certeza de que meus alunos não tiveram problemas para tratorar as questões de ARM. Questões Comentadas E aqui estamos nós de novo. Recebi vários emails sobre questões específicas que poderiam trazer dúvidas a respeito de seu entendimento. A gente vai ver tudo agora! A prova no geral

Leia mais

Algoritmos e Linguagens de Programação. Álgebra Booleana. Faculdade Pitágoras Prof. Edwar Saliba Júnior Abril de 2007. Unidade 02-001 Álgebra Booleana

Algoritmos e Linguagens de Programação. Álgebra Booleana. Faculdade Pitágoras Prof. Edwar Saliba Júnior Abril de 2007. Unidade 02-001 Álgebra Booleana Álgebra Booleana Faculdade Pitágoras Prof. Edwar Saliba Júnior Abril de 2007 1 Histórico A álgebra booleana, também conhecida como álgebra de boole, foi criada pelo matemático inglês George Boole (1815-1864)

Leia mais

CONSTRUINDO O CONCEITO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL A PARTIR DOS OBJETOS DIGITAIS DE APRENDIZAGEM TORRE DE HANÓI E GEOGEBRA. Dejair Frank Barroso 1

CONSTRUINDO O CONCEITO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL A PARTIR DOS OBJETOS DIGITAIS DE APRENDIZAGEM TORRE DE HANÓI E GEOGEBRA. Dejair Frank Barroso 1 CONSTRUINDO O CONCEITO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL A PARTIR DOS OBJETOS DIGITAIS DE APRENDIZAGEM TORRE DE HANÓI E GEOGEBRA. Dejair Frank Barroso 1 Resumo O artigo discute as características de Objetos de aprendizagem

Leia mais

Presidência da República Casa Civil Secretaria de Administração Diretoria de Gestão de Pessoas Coordenação Geral de Documentação e Informação

Presidência da República Casa Civil Secretaria de Administração Diretoria de Gestão de Pessoas Coordenação Geral de Documentação e Informação Presidência da República Casa Civil Secretaria de Administração Diretoria de Gestão de Pessoas Coordenação Geral de Documentação e Informação Coordenação de Biblioteca 88 Discurso na cerimónia de inauguração

Leia mais

QUADRADO MÁGICO - ORDEM 4

QUADRADO MÁGICO - ORDEM 4 CONCEITO Partindo da definição original, os QUADRADOS MÁGICOS devem satisfazer três condições: a) tabela ou matriz quadrada (número de igual ao número de ); b) domínio: com elementos assumindo valores

Leia mais

"Busca pelo Envolvimento do Funcionário Parte Dois: O Poder do Reforço Positivo.

Busca pelo Envolvimento do Funcionário Parte Dois: O Poder do Reforço Positivo. "Busca pelo Envolvimento do Funcionário Parte Dois: O Poder do Reforço Positivo. Por Bill Sims, Jr. www.safetyincentives.com Na primeira parte desta história, expliquei sobre os três tipos de funcionários

Leia mais

Treinamento Adsense O curso que ensina você a construir um negócio do zero. E faturar e Ganhar ate R$4,5MIL por Mês na Internet

Treinamento Adsense O curso que ensina você a construir um negócio do zero. E faturar e Ganhar ate R$4,5MIL por Mês na Internet Treinamento Adsense O curso que ensina você a construir um negócio do zero E faturar e Ganhar ate R$4,5MIL por Mês na Internet Olá você não me conhece, então deixa eu me apresentar: Meu nome é Rodrigo

Leia mais

Questões de raciocínio lógico Aula 2

Questões de raciocínio lógico Aula 2 Questões de raciocínio lógico Aula 2 Tópicos abordados: Lógica da argumentação Diagramas lógicos Emerson Marcos Furtado* 1. (ESAF-adap.) Pedro toca piano se e somente se Vítor toca violino. Ora, Vítor

Leia mais

MATEMÁTICA: DESENVOLVENDO ATIVIDADES ENIGMÁTICAS COM MATEMÁGICA E LÓGICA PARA OS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL

MATEMÁTICA: DESENVOLVENDO ATIVIDADES ENIGMÁTICAS COM MATEMÁGICA E LÓGICA PARA OS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL MATEMÁTICA: DESENVOLVENDO ATIVIDADES ENIGMÁTICAS COM MATEMÁGICA E LÓGICA PARA OS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL Francisca Terezinha Oliveira Alves (UFPB) ftoalves@yahoo.com.br Luciano Moreira da Silva

Leia mais

XXXVI OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase (11 de agosto de 2012) Nível (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental)

XXXVI OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase (11 de agosto de 2012) Nível (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental) Instruções: XXXVI OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase (11 de agosto de 2012) Nível (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental) Folha de Perguntas A duração da prova é de 3h30min. O tempo

Leia mais

1.000 Receitas e Dicas Para Facilitar a Sua Vida

1.000 Receitas e Dicas Para Facilitar a Sua Vida 1.000 Receitas e Dicas Para Facilitar a Sua Vida O Que Determina o Sucesso de Uma Dieta? Você vê o bolo acima e pensa: Nunca poderei comer um doce se estiver de dieta. Esse é o principal fator que levam

Leia mais

Miguel Abreu. Encontro Nacional do Programa Gulbenkian Novos Talentos em Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 7-8.Setembro.

Miguel Abreu. Encontro Nacional do Programa Gulbenkian Novos Talentos em Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 7-8.Setembro. Centro de Análise Matemática, Geometria e Sistemas Dinâmicos Instituto Superior Técnico Encontro Nacional do Programa Gulbenkian Novos Talentos em Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 7-8.Setembro.27

Leia mais

No meu caso usei o huawei e1756, onde tirei a opção de autorun, pois se estiver ativada, não será detectado pelo sistema.

No meu caso usei o huawei e1756, onde tirei a opção de autorun, pois se estiver ativada, não será detectado pelo sistema. Esse manual tem por finalidade atualizar a firmware das centrais multimídias chinesas da RoadRover. A minha central é uma axis digital car pc Model Number: C7010LE Para usarmos o waze é necessário, claro,

Leia mais

Revisando a Aritmética

Revisando a Aritmética Revisando a Aritmética 1.Revisando os sistemas decimais e convertendo números para outras bases. 2.Usando Maple para converter números binários e hexadecimais para outras bases. 3.Distinguindo frações

Leia mais

A Curva Normal Luiz Pasquali

A Curva Normal Luiz Pasquali Capítulo 3 A Curva Normal Luiz Pasquali 1 A História da Curva Normal A curva normal, também conhecida como a curva em forma de sino, tem uma história bastante longa e está ligada à história da descoberta

Leia mais

5 Transformadas de Laplace

5 Transformadas de Laplace 5 Transformadas de Laplace 5.1 Introdução às Transformadas de Laplace 4 5.2 Transformadas de Laplace definição 5 5.2 Transformadas de Laplace de sinais conhecidos 6 Sinal exponencial 6 Exemplo 5.1 7 Sinal

Leia mais

CRIPTOGRAFIA: UMA APLICAÇÃO DA MATEMÁTICA DISCRETA ATRAVÉS DA IMPLEMENTAÇÃO DA CIFRA DE CÉSAR EM VISUALG

CRIPTOGRAFIA: UMA APLICAÇÃO DA MATEMÁTICA DISCRETA ATRAVÉS DA IMPLEMENTAÇÃO DA CIFRA DE CÉSAR EM VISUALG CRIPTOGRAFIA: UMA APLICAÇÃO DA MATEMÁTICA DISCRETA ATRAVÉS DA IMPLEMENTAÇÃO DA CIFRA DE CÉSAR EM VISUALG ENCRYPTION: AN APPLICATION OF DISCRETE MATHEMATICS THROUGH THE IMPLEMENTATION OF CAESAR CIPHER BY

Leia mais

Presidência da República Casa Civil Secretaria de Administração Diretoria de Gestão de Pessoas Coordenação Geral de Documentação e Informação

Presidência da República Casa Civil Secretaria de Administração Diretoria de Gestão de Pessoas Coordenação Geral de Documentação e Informação Presidência da República Casa Civil Secretaria de Administração Diretoria de Gestão de Pessoas Coordenação Geral de Documentação e Informação Coordenação de Biblioteca 101 Discurso na cerimónia de inauguração

Leia mais

CAPÍTULO 5: O EMPREGO DE: Este, Esse ou Aquele

CAPÍTULO 5: O EMPREGO DE: Este, Esse ou Aquele CAPÍTULO 5: O EMPREGO DE: Este, Esse ou Aquele Em português existem três pronomes demonstrativos com suas formas variáveis em gênero e número e invariáveis [isto, isso, aquilo]. Eles assinalam a posição

Leia mais

A ideia de coordenatização (2/2)

A ideia de coordenatização (2/2) 8 a : aula (1h) 12/10/2010 a ideia de coordenatização (2/2) 8-1 Instituto Superior Técnico 2010/11 1 o semestre Álgebra Linear 1 o ano das Lics. em Engenharia Informática e de Computadores A ideia de coordenatização

Leia mais