caderno do PROFESSOR matemática ensino fundamental 7 a - SÉRiE volume

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1 cderno do PROFESSOR ensino fundmentl 7 - SÉRiE volume 009 mtemátic MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 1 4/8/09 5:10:37 PM

2 Governdor José Serr Vice-Governdor Alberto Goldmn Secretário d Educção Pulo Rento Souz Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Cmrgo Chefe de Gbinete Fernndo Pdul Coordendor de Estudos e Norms Pedgógics Vléri de Souz Coordendor de Ensino d Região Metropolitn d Grnde São Pulo José Benedito de Oliveir Coordendor de Ensino do Interior Rubens Antonio Mndett Presidente d Fundção pr o Desenvolvimento d Educção FDE Fábio Bonini Simões de Lim EXECUÇÃO Coordenção Gerl Mri Inês Fini Concepção Guiomr Nmo de Mello Lino de Mcedo Luis Crlos de Menezes Mri Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundção Crlos Alberto Vnzolini Presidente do Conselho Curdor: Antonio Rfel Nmur Musct Presidente d Diretori Executiv: Muro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologis plicds à Educção: Guilherme Ary Plonski Coordendors Executivs de Projetos: Betriz Scvzz e Angel Sprenger COORDENAÇÃO TéCNiCA CENP Coordendori de Estudos e Norms Pedgógics Coordenção do Desenvolvimento dos Conteúdos Progrmáticos e dos Cdernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveir AUTORES Ciêncis Humns e sus Tecnologis Filosofi: Pulo Miceli, Luiz Christov, Adilton Luís Mrtins e Renê José Trentin Silveir Geogrfi: Angel Corrê d Silv, Jime Tdeu Oliv, Rul Borges Guimrães, Regin Arujo, Regin Céli Beg dos Sntos e Sérgio Ads Históri: Pulo Miceli, Diego López Silv, Glydson José d Silv, Mônic Lungov Bugelli e Rquel dos Sntos Funri Sociologi: Helois Helen Teixeir de Souz Mrtins, Mrcelo Sntos Msset Lcombe, Meliss de Mttos Piment e Stell Christin Schrijnemekers Ciêncis d Nturez e sus Tecnologis Biologi: Ghisleine Trigo Silveir, Fbíol Bovo Mendonç, Felipe Bndoni de Oliveir, Lucilene Aprecid Espernte Limp, Mri August Querubim Rodrigues Pereir, Olg Aguilr Sntn, Pulo Roberto d Cunh, Rodrigo Venturoso Mendes d Silveir e Solnge Sores de Cmrgo Ciêncis: Ghisleine Trigo Silveir, Cristin Leite, João Crlos Miguel Tomz Micheletti Neto, Julio Cézr Foschini Lisbô, Lucilene Aprecid Espernte Limp, Mír Btistoni e Silv, Mri August Querubim Rodrigues Pereir, Pulo Rogério Mirnd Correi, Rent Alves Ribeiro, Ricrdo Rechi Aguir, Rosn dos Sntos Jordão, Simone Jconetti Ydi e Yssuko Hosoume Físic: Luis Crlos de Menezes, Soni Slem, Estevm Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Pulo de Crvlho Pissi, Mrcelo de Crvlho Bonetti, Murício Pietrocol Pinto de Oliveir, Mxwell Roger d Purificção Siqueir e Yssuko Hosoume Químic: Denilse Moris Zmbom, Fbio Luiz de Souz, Hebe Ribeiro d Cruz Peixoto, Isis Vlenç de Sous Sntos, Lucine Hiromi Akhoshi, Mri Eunice Ribeiro Mrcondes, Mri Fernnd Pentedo Lms e Yvone Muss Esperidião A Secretri d Educção do Estdo de São Pulo utoriz reprodução do conteúdo do mteril de su titulridde pels demis secretris de educção do pís, desde que mntid integridde d obr e dos créditos, ressltndo que direitos utoris protegidos* deverão ser diretmente negocidos com seus próprios titulres, sob pen de infrção os rtigos d Lei nº 9.610/98. * Constituem direitos utoris protegidos tods e quisquer obrs de terceiros reproduzids no mteril d SEE-SP que não estejm em domínio público nos termos do rtigo 41 d Lei de Direitos Autoris. Ctlogção n Fonte: Centro de Referênci em Educção Mrio Covs S39c São Pulo (Estdo) Secretri d Educção. Cderno do professor: mtemátic, ensino fundmentl - 7ª- série, volume / Secretri d Educção; coordenção gerl, Mri Inês Fini; equipe, Crlos Edurdo de Souz Cmpos Grnj, José Luiz Pstore Mello, Nílson José Mchdo, Roberto Perides Moisés, Wlter Spinelli. São Pulo : SEE, 009. ISBN Lingugens, Códigos e sus Tecnologis Arte: Gerldo de Oliveir Suzign, Gis Picosque, Jéssic Mmi Mkino, Mirin Celeste Mrtins e Syonr Pereir Educção Físic: Adlberto dos Sntos Souz, Crl de Meir Leite, Jocimr Dolio, Lucin Venâncio, Luiz Snches Neto, Muro Betti, Rent Els Strk e Sérgio Roberto Silveir LEM Inglês: Adrin Rnelli Weigel Borges, Alzir d Silv Shimour, Lívi de Arújo Donnini Rodrigues, Priscil Myumi Hym e Sueli Slles Fidlgo Língu Portugues: Alice Vieir, Débor Mllet Pezrim de Angelo, Eline Aprecid de Aguir, José Luís Mrques López Lndeir e João Henrique Nogueir Mteos Mtemátic Mtemátic: Nílson José Mchdo, Crlos Edurdo de Souz Cmpos Grnj, José Luiz Pstore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreir d Fonsec, Ruy Césr Pietropolo e Wlter Spinelli Cderno do Gestor Lino de Mcedo, Mri Eliz Fini e Zuleik de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenção Executiv: Betriz Scvzz Assessores: Alex Brros, Antonio Crlos de Crvlho, Betriz Bly, Eline Ymbnis, Helois Amrl Dis de Oliveir, José Crlos Augusto, Luiz Christov, Mri Elois Pires Tvres, Pulo Edurdo Mendes, Pulo Roberto d Cunh, Pepit Prt, Ruy Césr Pietropolo, Solnge Wgner Loctelli e Vness Dis Moretti Equipe Editoril Coordenção Executiv: Angel Sprenger Assessores: Denise Blnes e Luis Márcio Brbos Projeto Editoril: Zuleik de Felice Murrie Edição e Produção Editoril: Conexão Editoril, Edições Jogo de Amrelinh e Occy Design (projeto gráfico) APOiO FDE Fundção pr o Desenvolvimento d Educção CTP, Impressão e Acbmento Esdev Indústri Gráfic 1. Mtemátic. Ensino Fundmentl 3. Estudo e ensino I. Fini, Mri Inês. II. Grnj, Crlos Edurdo de Souz Cmpos. III. Mello, José Luiz Pstore. IV. Mchdo, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Wlter. VII. Título. CDU: 373.3:51

3 Prezdo() professor(), Vinte e cinco nos depois de hver ceito o convite do nosso sudoso e querido Governdor Frnco Montoro pr gerir Educção no Estdo de São Pulo, novmente ssumo noss Secretri d Educção, convocdo gor pelo Governdor José Serr. Apesr d notóri mudnç n cor dos cbelos, que os vinte e cinco nos não negm, o que permnece imutável é o meu entusismo pr brçr novmente cus d Educção no Estdo de São Pulo. Entusismo licerçdo n visão de que Educção é o único cminho pr construirmos um pís melhor e mis justo, com oportuniddes pr todos, e n convicção de que é possível relizr grndes mudnçs nest áre prtir d ção do poder público. Nos nos 1980, o nosso mior desfio er crir oportuniddes de educção pr tods s crinçs. No período, tivemos de construir um escol nov por di, um sl de ul cd três hors pr dr cont d demnd. Aliás, té recentemente, tods s polítics recomendds pr melhorr qulidde do ensino concentrvm-se ns condições de ensino, com expecttiv de que viessem produzir os efeitos desejdos n prendizgem dos lunos. No Brsil e em São Pulo, em prticulr, pesr de não termos tingido s condições ideis em relção os meios pr desenvolvermos um bom ensino, o fto é que estmos melhor do que há dez ou doze nos em todos esses quesitos. Entretnto, os indicdores de desempenho dos lunos não têm evoluído n mesm proporção. O grnde desfio que hoje enfrentmos é justmente esse: melhorr qulidde de noss educção públic medid pelos indicdores de proficiênci dos lunos. Não estmos sós neste prticulr. A miori dos píses, inclusive os mis desenvolvidos, estão lidndo com o mesmo tipo de situção. O Presidente Brck Obm, dos Estdos Unidos, dedicou um dos seus primeiros discursos pós posse pr destcr extmente esse mesmo desfio em relção à educção públic em seu pís. Melhorr esses indicdores, porém, não é tref de presidentes, governdores ou secretários. É dos professores em sl de ul no trblho diário com os seus lunos. Este mteril que hoje lhe oferecemos busc judá-lo nest su missão. Foi elbordo com jud de especilists e está orgnizdo em bimestres. O Cderno do Professor oferece orientção complet pr o desenvolvimento ds Situções de Aprendizgem proposts pr cd disciplin. Espero que este mteril lhe sej útil e que você leve em considerção s orientções didático-pedgógics qui contids. Estremos tentos e prontos pr esclrecer sus dúvids e ctr sus sugestões pr melhorr eficáci deste trblho. Alcnçrmos melhores indicdores de qulidde em nosso ensino é um questão de honr pr todos nós. Juntos, hveremos de conduzir nosss crinçs e jovens um mundo de melhores oportuniddes por meio d educção. Pulo Rento Souz Secretário d Educção do Estdo de São Pulo MAT_CP_8_vol_AF.indd 3 4/17/09 10:18:05 AM

4 SuMário São Pulo fz escol um Propost Curriculr pr o Estdo 5 Fich do Cderno 7 orientção gerl sobre os Cdernos 8 Situções de Aprendizgem 11 Situção de Aprendizgem 1 Aritmétic com álgebr: s letrs como números 11 Situção de Aprendizgem Produtos notáveis: significdos geométricos 19 Situção de Aprendizgem 3 Álgebr: ftorção e equções 33 Situção de Aprendizgem 4 Aritmétic e geometri: Expressão lgébric de lgums ideis fundmentis 4 Orientções pr Recuperção 49 Recursos pr mplir perspectiv do professor e do luno pr compreensão do tem 50 Considerções finis 5 Conteúdos de Mtemátic por série/bimestre do Ensino Fundmentl 54 4 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 4 4/8/09 :11:30 PM

5 São PAulo FAz ESColA uma ProPoStA CurriCulAr PArA o EStAdo Prezdo() professor(), É com muit stisfção que presento todos versão revist dos Cdernos do Professor, prte integrnte d Propost Curriculr de 5 8 séries do Ensino Fundmentl Ciclo II e do Ensino Médio do Estdo de São Pulo. Est nov versão tmbém tem su utori, um vez que inclui sus sugestões e crítics, presentds durnte primeir fse de implntção d propost. Os Cdernos form lidos, nlisdos e plicdos, e nov versão tem gor medid ds prátics de nosss sls de ul. Sbemos que o mteril cusou excelente impcto n Rede Estdul de Ensino como um todo. Não houve discriminção. Crítics e sugestões surgirm, ms em nenhum momento se considerou que os Cdernos não deverim ser produzidos. Ao contrário, s indicções vierm no sentido de perfeiçoá-los. A Propost Curriculr não foi comunicd como dogm ou ceite sem restrição. Foi vivid nos Cdernos do Professor e compreendid como um texto repleto de significdos, ms em construção. Isso provocou justes que incorporrm s prátics e considerrm os problems d implntção, por meio de um intenso diálogo sobre o que estv sendo proposto. Os Cdernos dilogrm com seu público-lvo e gerrm indicções precioss pr o processo de ensino-prendizgem ns escols e pr Secretri, que gerenci esse processo. Est nov versão consider o tempo de discussão, fundmentl à implntção d Propost Curriculr. Esse tempo foi compreendido como um momento único, gerdor de novos significdos e de mudnçs de ideis e titudes. Os justes nos Cdernos levrm em cont o poio movimentos inovdores, no contexto ds escols, postndo n possibilidde de desenvolvimento d utonomi escolr, com indicções permnentes sobre vlição dos critérios de qulidde d prendizgem e de seus resultdos. 5 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 5 4/8/09 :11:30 PM

6 Sempre é oportuno relembrr que os Cdernos espelhrm-se, de form objetiv, n Propost Curriculr, referênci comum tods s escols d Rede Estdul, revelndo um mneir inédit de relcionr teori e prátic e integrndo s disciplins e s séries em um projeto interdisciplinr por meio de um enfoque filosófico de Educção que definiu conteúdos, competêncis e hbiliddes, metodologis, vlição e recursos didáticos. Est nov versão dá continuidde o projeto político-educcionl do Governo de São Pulo, pr cumprir s 10 mets do Plno Estdul de Educção, e fz prte ds ções proposts pr construção de um escol melhor. O uso dos Cdernos em sl de ul foi um sucesso! Estão de prbéns todos os que creditrm n possibilidde de mudr os rumos d escol públic, trnsformndo- em um espço, por excelênci, de prendizgem. O objetivo dos Cdernos sempre será poir os professores em sus prátics de sl de ul. Posso dizer que esse objetivo foi lcnçdo, porque os docentes d Rede Públic do Estdo de São Pulo fizerm dos Cdernos um instrumento pedgógico com vid e resultdos. Conto mis um vez com o entusismo e dedicção de todos os professores, pr que possmos mrcr Históri d Educção do Estdo de São Pulo como sendo este um período em que buscmos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigm que pesou sobre escol públic nos últimos nos e oferecer educção básic de qulidde tods s crinçs e jovens de noss Rede. Pr nós, d Secretri, já é possível ntever esse sucesso, que tmbém é de vocês. Bom no letivo de trblho todos! Mri inês Fini Coordendor Gerl Projeto São Pulo Fz Escol 6 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 6 4/8/09 :11:30 PM

7 FiCHA do CAdErno Aritmétic, Àlgebr e Geometri: lingugens que se complementm nome d disciplin: Mtemátic áre: Mtemátic Etp d educção básic: Ensino Fundmentl Série: 7ª - Período letivo: º- bimestre de 009 tems e conteúdos: Aritmétic e Álgebr s letrs como números Álgebr e Geometri: produtos notáveis Álgebr: ftorção e equções Aritmétic e Geometri: expressão lgébric de lgums ideis fundmentis 7 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 7 4/8/09 :11:30 PM

8 orientação GErAl SobrE os CAdErnoS Os tems escolhidos pr compor o conteúdo disciplinr de cd bimestre não se fstm, de mneir gerl, do que é usulmente ensindo ns escols, ou do que é presentdo pelos livros didáticos. As inovções pretendids referem-se à form de bordgem dos mesmos, sugerid o longo dos Cdernos de cd um dos bimestres. Em tl bordgem, busc-se evidencir os princípios nortedores do presente currículo, destcndo-se contextulizção dos conteúdos, s competêncis pessois envolvids, especilmente s relcionds com leitur e escrit mtemátic, bem como os elementos culturis internos e externos à Mtemátic. Em todos os Cdernos, os conteúdos estão orgnizdos em oito uniddes de extensões proximdmente iguis, que podem corresponder oito semns de trblho letivo. De cordo com o número de uls disponíveis por semn, o professor explorrá cd ssunto com mis ou menos profundmento, ou sej, escolherá um escl dequd pr o trtmento do mesmo. A critério do professor, em cd situção específic, o tem correspondente um ds uniddes pode ser estendido pr mis de um semn, enqunto o de outr unidde pode ser trtdo de modo mis simplificdo. no entnto, no fto de que somente o professor, em su circunstânci prticulr, e levndo em considerção seu interesse e o dos lunos pelos tems presentdos, pode determinr dequdmente qunto tempo dedicr cd um ds uniddes. Ao longo dos Cdernos, são presentds, lém de um visão pnorâmic do conteúdo do bimestre, qutro Situções de Aprendizgem (1,, 3 e 4), que pretendem ilustrr form de bordgem sugerid, instrumentndo o professor pr su ção n sl de ul. As tividdes são independentes e podem ser explords pelos professores com mis ou menos intensidde, segundo seu interesse e de su clsse. Nturlmente, em rzão ds limitções no espço dos Cdernos, nem tods s uniddes form contemplds com Situções de Aprendizgem, ms expecttiv é de que form de bordgem dos tems sej explicitd ns tividdes oferecids. São presentdos tmbém, em cd Cderno sempre que possível, mteriis disponíveis (textos, softwres, sites, vídeos, entre outros) em sintoni com form de bordgem propost, que podem ser utilizdos pelo professor pr o enriquecimento de sus uls. É desejável que o professor tente contemplr tods s oito uniddes, um vez que, junts, compõem um pnorm do conteúdo do bimestre, muits vezes, um ds uniddes contribui pr compreensão ds outrs. Insistimos, Compõem o Cderno ind lgums considerções sobre vlição ser relizd, bem como o conteúdo considerdo indispensável o desenvolvimento ds competêncis esperds no presente bimestre. 8 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 8 4/8/09 :11:30 PM

9 Mtemátic - 7 série - Volume Conteúdos básicos do bimestre O estudo forml d álgebr começ no finl d 6ª- série, por meio do uso de letrs pr representr situções e d resolução de equções simples, e tem continuidde n 7ª- série qundo o enfoque volt-se pr s regrs de mnipulção dos símbolos lgébricos. Est propost de orgnizção curriculr não interfere diretmente n ordem trdicionl de bordgem dos tems d álgebr, porém, sugere um form diferente de trtá-los, especilmente no que diz respeito o cálculo lgébrico que ocuprá totlidde do º- bimestre d 7ª- série. Normlmente, tribuímos o estudo d álgebr s funções de generlizr ritmétic, de possibilitr um processo pr resolução de problems, de permitir representção d vrição de grndezs e, ind, de formlizr estruturs mtemátics. Entendemos que esss qutro funções devem ser explords de form relciond, e não como blocos isoldos dentro do plnejmento. Dess form, s tividdes proposts devem ser interpretds como um form de estbelecer relção entre dus ou mis ds funções do estudo d álgebr. A Situção de Aprendizgem 1 explor investigção de pdrões e regulriddes em sequêncis numérics sob o ponto de vist d diversidde de representções com letrs. A estrtégi utilizd pr que diversidde de representções poss ser trblhd prtir d investigção dos lunos é de ssocir s sequêncis numérics o rrnjo geométrico de bolinhs, rrnjo esse que poderá ser identificdo pelo luno de diferentes mneirs (por linhs, coluns, regrupndo bolinhs, completndo bolinhs). A prtir d diversidde de expressões com letrs que podem ser obtids de cd um ds sequêncis, o professor poderá trblhr, por meio d idei de equivlênci, generlizção de lgums proprieddes como distributiv no produto, comut tiv e ssocitiv, inicids no 1º- bimestre d 6ª- série com os números nturis. N Situção de Aprendizgem, o tem centrl ser desenvolvido são os produtos notáveis e estrtégi bsei-se no uso d Geometri. Muitos lunos enfrentm dificulddes no desenvolvimento dos produtos notáveis provvelmente porque prendem o ssunto como mer técnic lgébric, sem compreender o seu sentido, e porque veem o ssunto de form desvinculd de su plicção. O uso diversificdo de lingugens em prticulr d lingugem geo métric no cso dos produtos notáveis ssume ppel muito importnte n proprição de significdos no contexto d álgebr. N sequênci, propost d Situção de Aprendizgem 3 é trblhr ftorção, produtos notáveis e frções lgébrics e simplificções de form contextulizd. Ness direção, trblh-se trdução de problems enuncidos n língu mtern pr lingugem d álgebr como pontpé inicil d tividde. Tmbém será presentd ness Situção de Aprendizgem distinção entre s ideis de iguldde e identidde, o que represent um importnte psso pr compreensão do uso de letrs no sen tido de incógnit e de vriável. 9 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 9 4/8/09 :11:30 PM

10 N Situção de Aprendizgem 4, propõem-se tividdes ns quis, mis um vez, o uso d lingugem escrit e ds lingugens ritmé tic, lgébric e geométric precem de form integrd. Problems ritméticos e lgébricos que normlmente são trtdos em séries posteriores, como o do número de digonis de um polígono ou d som dos n primeiros números ímpres, serão presentdos de form simples permitindo o seu uso no desenvolvimento de hbiliddes relcionds o cálculo lgébrico. É importnte lembrr que s Situções de Aprendizgem 1,, 3 e 4 não esgotm nem os tems nem s possibiliddes de bordgem do tem expressões lgébrics n 7ª- série. No entnto, metodologi propost consiste n presentção de um form integrd de explorção ds diverss funções d álgebr e n vlorizção do uso d diversidde de lingugens como estrtégi pr prendizgem com significdo, e não como simples regr. É possível que sistemtizção de lguns tems do bimestre tmbém tenh de ser trblhd por exercícios disponíveis n miori dos livros didáticos, cbendo o professor dequr esse trblho às neces siddes dos seus lunos. Qudro gerl de conteúdos do º- bimestre d 7ª- série do Ensino Fundmentl unidde 1 Expressões lgébrics: equivlênci e trnsformções. unidde Expressões lgébrics: operções. unidde 3 Produtos notáveis e ftorção: bordgem geométric. unidde 4 Produtos notáveis e ftorção: bordgem lgébric. unidde 5 Produtos notáveis e ftorção: bordgem lgébric. unidde 6 Ftorção e simplificção de frções lgébrics. unidde 7 Ftorção e simplificção de frções lgébrics. unidde 8 Expressão lgébric de lgums ideis fundmentis d ritmétic e d álgebr. 10 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 10 4/8/09 :11:31 PM

11 Mtemátic - 7 série - Volume SituçõeS de prendizgem SItução de PrendIzgem 1 ritmétic Com ÁLgeBr: S LetrS Como números tempo previsto: 1 semn. Conteúdos e tems: uso de letrs representndo números; operções com letrs representtivs de números; expressões lgébrics; propriedde distributiv d multiplicção com relção à dição e à subtrção. Competêncis e hbiliddes: compreender o uso de letrs representtivs de números; generlizr pdrões em sequêncis por meio de expressões lgébrics; reconhecer equivlêncis entre expressões lgébrics; relizr operções simples com polinômios. estrtégis: proposição de sequêncis com diferentes pdrões pr serem nlisds por estrtégis diversificds de contgem, n busc d identificção de equivlêncis; tividdes individuis e em grupo; resolução de situções-problem. roteiro pr plicção d Situção de prendizgem 1 introdução o uso de letrs n representção de problems normlmente é feit n 6ª- série como um preprção pr o estudo ds equções. n 7ª- série, o desenvolvimento de novs hbiliddes pr o cálculo lgé brico pode ser inicido prtir de um tividde que possibilite discussão de proprieddes ds operções lgébrics por meio d equivlênci entre expressões. ness direção, equivlênci entre expressões como (x + 3) e (x + 3)+ +(x + 3) e x + 6, ou entre (x + ). (x + 3) e x² + 5x + 6, ou ind entre x² 4 e (x + ). (x ) pode ser trblhd por meio de lguns recursos geométricos como, por exemplo, n seguinte tividde: Cd figur d sequênci de bolinhs seguir está indicd por um número. Qul seri um fórmul pr determinr o número de bolinhs de um figur genéric dess sequênci, por exemplo, d figur n? Propondo um problem como esse os lunos, é possível que eles presentem mis de um solução, o que deve ser usdo como recurso pr se verificr equivlênci entre expressões. Vej lgums possibiliddes diferentes pr resolver esse problem: 1. Identificndo regulridde por linhs MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 11 4/8/09 4:4:15 PM

12 Nesse cso, note que n primeir linh sempre teremos o número de bolinhs igul o número que represent e figur e, n segund linh, o totl de bolinhs será sempre um menos que o número d figur. Usndo letr n pr representr o número d figur, o totl de bolinhs pode ser representdo por n+(n 1).. Identificndo regulridde por coluns Agor, o número de coluns é igul o número d figur e temos dus bolinhs em cd colun, exceto em um dels (últim colun) que terá pens um bolinh. Se preenchermos colun que tem pens um bolinh com mis um bolinh, podemos clculr o totl de bolinhs multiplicndo-se o número de coluns pelo de linhs e subtrindo bolinh dicionl o finl d cont. Usndo letrs, o totl de bolinhs d figur n será n 1. Um vez que s dus expressões obtids são equivlentes, n + (n 1) tem de ser idêntico n 1, o que signific dizer que mbs expressões devem ser válids pr qulquer n. Decorre, portnto, que n + n tem de ser igul n. Vej gor outr sequênci e lgums ds soluções possíveis: Fechndo retângulos de n linhs e 3 coluns, devemos crescentr ind n 1 bolinhs Nesse cso, fórmul seri 3n + (n 1). Completndo figur com um bolinh, fechmos retângulos de n linhs por 4 coluns A fórmul, que gor seri 4n 1, pode ser comprd com nterior de onde se conclui que 3n + n tem de ser igul 4n. Veremos, seguir, um exemplo em que podemos trblhr multiplicção de letrs: N resolução 1, orgnizmos figur em n linhs por n + coluns, (1: 1 linh 3 coluns; : linhs 4 coluns; 3: 3 linhs 5 coluns, etc.). Já n resolução, orgnizmo-l em qudrdos com n² bolinhs, mis o dobro de n (1: 1 + ; : 4 + 4; 3: 9 + 6; 4: , etc.). Resolução

13 Mtemátic - 7 série - Volume Com isso chegmos à expressão: n.(n + ). resolução A expressão gerl gor será: n + n. Assim, mostr-se equivlênci entre n.(n + ) e n² + n. A riquez dess tividde como instrumento didático está n busc de representções distints, porém, equivlentes, pr indicr o número de bolinhs em função do número d figur. Assim, é importnte que o professor incentive seus lunos buscr mis de um expressão e mostrr equivlênci entre s expressões obtids. A seguir, presentmos outros exemplos de tividdes que permitem esse tipo de explorção, bem como lgums possíveis estrtégis de soluções. Atividde 1 Cd figur d sequênci de bolinhs seguir está indicd por um número. Qul seri fórmul pr determinr o número de bolinhs de um figur genéric n dess sequênci? Pr est tividde presentmos qutro soluções: Solução 1 4(n + 1) São contds 4 fils com um bolinh mis que o número d figur. 4 Contudo, s bolinhs do cnto são contds dus vezes, por tnto, devemos subtrir 4 do totl. 4(n + 1) 4 Expressão finl. 13 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 13 4/8/09 :11:31 PM

14 Solução 3 4(n 1) São contdos 4 grupos com um bolinh menos que o número d figur Sobrm 4 bolinhs no cnto, portnto, devemos crescentr 4 o totl. 4(n 1) + 4 Expressão finl. Solução 3 4 4n São contdos 4 grupos com o número de bolinhs igul o número d figur. 4n Expressão finl. Solução 4 5 (n + 1) Complet-se figur fechndo um qudrdo com quntidde de linhs e coluns iguis o número d figur crescido de 1. A quntidde de bolinhs nesse qudrdo será, portnto, igul o qudrdo do número d figur crescido de um unidde. 5 (n 1) Devemos, contudo, subtrir do totl de bolinhs s crescentds nteriormente. Ests formm um segundo qudrdo que tem quntidde de linhs e coluns iguis o número d figur, menos 1. Portnto, quntidde de bolinhs no qudrdo menor é igul o qudrdo do número d figur diminuído um unidde. (n + 1) ( n 1) Expressão finl. 14 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 14 4/8/09 :11:3 PM

15 Mtemátic - 7 série - Volume De form resumid, teremos: Numericmente, é possível se observr vlidde dest fórmul: 1: (1 + 1) ; : ( + 1) ; 3: (3 + 1) ; 4: (4 + 1) ;...; n (n + 1) 4 (n+1) (n 1) 4 n (n + 1) (n 1) Vmos gor estudr um formto que depois se tornrá muito fmilir os lunos. O enuncido será o mesmo ds tividdes nteriores. Solução : Nesse cso, formmos um qudrdo de n linhs por n coluns, dois retângulos de n por 1 e devemos crescentr ind 1 bolinh. Temos, portnto, fórmul: n + n Atividde Cd figur d sequênci de bolinhs seguir está indicd por um número. Qul seri um fórmul pr determinr o número de bolinhs de um figur genéric n dess sequênci? Com isso, estbelecemos equivlênci entre (n + 1) e n + n + 1. Outros exemplos podem ser utilizdos como form de motivr busc de um reorgnizção d figur que fcilite identificção de um fórmul, como o exemplo mostrdo seguir que trblh com som dos termos de um sequênci que no Ensino Médio identificrão por um progressão ritmétic. Solução 1: Numéricmente é possível observr que cd número n d figur corresponde um qu drdo de n + 1 linhs e n + 1 coluns. A fórmul será (n + 1) Atividde 3 Anlise sequênci seguir e escrev um fórmul que indique o número de bolinhs de um figur qulquer n MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 15 4/8/09 :11:3 PM

16 Pr resolver o problem, vmos regrupr s bolinhs de form diferente: Agor, completndo os retângulos teremos: Observe que pr formr esse último qudro necessitmos: f crescentr digonl, indicd em vermelho, que possui um bolinh mis que o número d figur; f crescentr um quntidde igul que queremos contr em um form espelhd, com relção à digonl, indicd n cor verde. Portnto, temos qudrdos de n + 1 linhs por n + 1 coluns, formdos pelos créscimos ds n + 1 bolinhs (digonl) e d imgem espelhd de bolinhs que queremos contr. Assim, o totl de bolinhs d figur n será ddo por (n + 1) (n + 1). Utilizndo s regrs de cálculo lgébrico que form discutids nos outros exemplos, o luno poderá reescrever ess fórmul como n + n, n. (n + 1) ou ind,. N tividde seguir, propomos mis lgums situções que permitem construção de equivlêncis entre diferentes expressões lgébrics. Pr relizr ess tividde, o professor pode dividir sl em pequenos grupos e sugerir que estes encontrem três forms equivlentes em cd item. Relizndo s operções simples prendids té qui, os lunos podem verificr equivlênci entre s expressões encontrds. Atividde 4 Determine fórmuls pr o cálculo do número de bolinhs de cd figur em função do número d figur (chme o número d figur de n). 1) ) 3) A seguir estão presentes lgums soluções pr cd tividde 1) (n + 1) + (n 1) 3(n + 1) 3(n 1) + 4 ) n + (n + 1) n 1 (n + 1) MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 16 4/14/09 3:37:3 PM

17 Mtemátic - 7 série - Volume 3) 1 3 Atividde 6... Encontre outrs fórmuls equivlentes cd item d tividde nterior. (n + ) + (n + 1) (n + ) + (n + 3) 4 (n + 3)(n + ) n (n + 1) É possível que os lunos proponhm s seguintes soluções: Vmos gor propor um trblho diferente. Figurs Fórmul Vmos presentr pr os lunos um expressão e pedir que eles fçm representção 1) 1 em bolinhs. Atividde n + 3 Dd fórmul pr o cálculo do número de bolinhs de cd figur em função do número d figur (chme o número d figur de n) fç um desenho representtivo pr n = 1, n =, n = 3 e n = 4. ) 1 1) n + (n + 1) + (n + ) Ess é um possível solução: 3 4 n + 4n ) (n + ) Ess é um possível solução pr o problem: Considerções sobre vlição Em relção o processo de vlição, o professor deve escolher os tipos de instrumentos dequdos que sejm comptíveis com s crcterístics do conteúdo específico ensindo e com s condições e crcterístics d clsse. Ou sej, vlição deve ter utori do professor, pois 17 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 17 4/8/09 :11:33 PM

18 ele é o responsável pel formção dos lunos n disciplin que ministr. Contudo, considermos importnte reflexão sobre lguns princípios nortedores d ção vlitiv: tur como monitores sob supervisão do professor. Esse processo, ssim como o resultdo d reelborção d prov, tmbém pode ser vlido; f os instrumentos devem ser diversifi cdos, de form contemplr não pens diversidde de competêncis entre os lunos, ms tmbém s váris dimensões do conhecimento estuddo; f prov é um instrumento importnte no processo de vlição, ms não pode ser o único. É possível relizr um prov de diferentes mneirs. Por exemplo: com ou sem consult; no tempo de um ul ou em um tempo mior; n sl de ul, n bibliotec ou em cs; individul mente ou em grupo, etc. O formto d prov deve estr treldo os objetivos de prendizgem determindos pelo professor; f os momentos que ntecedem um prov (estudo) e os que vêm depois d prov (correção e refcção) devem ser vlorizdos e contempldos no processo de vlição. A elborção de roteiros de estudo, incluindo lists de exercícios e questões nortedors, judm o luno sistemtizr seu conhecimento. O professor pode vlir como esse estudo foi feito e tmbém vlir s notções e os exercícios resolvidos pelos lunos. A correção d prov pode ser feit pelos próprios lunos, com lgums orientções de cráter gerl dds pelo professor. Alguns lunos podem f utovlição constitui um ferrment essencil n formção do luno e deve ser considerd dentro do processo de vlição do bimestre. É preciso ter muito cuiddo pr não bnlizr esse instrumento. O professor deve discutir com os lunos o significdo d utovlição e como el pode servir como instrumento de utoconhecimento pr o luno. Ao finl dest primeir Situção de Aprendizgem, expecttiv é de que o luno tenh se fmilirizdo com possibilidde de expressão de um movimento quntittivo por meio de um fórmul ou de um expressão lgébric. Recuperndo noção de equivlênci trtd no 1 o bimestre d 7ª- série, gor o que se busc é equivlênci entre expressões com letrs, que representm generlizção de um determindo pdrão. Ns tividdes presentds, colborção entre álgebr e geometri pode ser notd e será profundd no decorrer ds situções seguintes. Considermos que o desenvolvimento d Situção de Aprendizgem foi stisftório se os lunos se sentirm motivdos encontrr s expressões equivlentes e se eles conseguirm generlizr lgums proprieddes como comuttiv, ssocitiv e distributiv no produto. 18 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 18 4/8/09 :11:33 PM

19 Mtemátic - 7 série - Volume O professor pode observr que s tividdes proposts permitem um trblho coopertivo. À medid que lguns lunos vão encontrndo soluções, o professor pode propor que estes s exponhm pr o grupo d sl, permitindo mior interção entre os lunos. Muits vezes, s lingugens que os lunos utilizm em sus explicções tornm-se mis significtivs, permitindo um mior compreensão por prte dos lunos que ind não hvim chegdo à solução do problem. SiTuAçãO DE APrEnDizAgEM PrODuTOS notáve is: SigniFiCADOS geométricos Tempo previsto: 1 semn. Conteúdos e tems: produtos notáveis; trinômio qudrdo perfeito; diferenç de qudrdos; áre e perímetro de figurs plns. Competêncis e hbiliddes: compreender demonstrção geométric de um produto notável, de um trinômio qudrdo perfeito e d diferenç de dois qudrdos; utilizr lingugem lgébric pr representr áre e o perímetro de um figur pln; interpretr enuncidos; trnspor ideis relcionds à álgebr pr geometri; generlizr e orgnizr ddos prtir de um cert propriedde. Estrtégis: presentção de um coleção de exercícios exemplres que explorm diferentes contextos. Roteiro pr plicção d Situção de Aprendizgem ( ) ( ) É importnte que o luno entend que iguldde ( + b ) = + b + b é um for m simplificd de se clculr o produto + b. + b sem ter que fzer o seu desenvolvimento completo. Contudo, simples memorizção desss expressões, desprovid de significdo, não constituiu o melhor cminho pr compreensão d álgebr pelos lunos. nesse sentido, propomos que o professor explore o significdo geométrico dos produtos notáveis e su relção com o trinômio qu drdo perfeito. O uso de letrs pr representr s medids dos ldos de um figur geométric constitui recurso importnte n formção lgébric dos lunos. É o psso pr generlizção de determinds proprieddes relcionds o perímetro ou à áre desss figurs. A áre de um qudrdo de ldo 5 é igul 5. 5 = 5 = 5. A áre de um qudrdo de ldo 10 vle 10 = 100. Então, áre de um qudrdo genérico de ldo vle. Do mesmo modo, o perímetro de um qudrdo de ldo pode ser escrito como 4. Esss noções serão plicds no 4º- bimestre d 7 série, qundo serão estudds demonstrções geométrics envolvendo o teorem de Tles, de Pitágors e s deduções ds fórmuls de áres de outros polígonos. 19 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 19 4/8/09 4:4:5 PM

20 Pr que os lunos possm fzer uso desse procedimento, é necessário que eles conheçm s fórmuls d áre e do perímetro ds figurs geométrics básics, como o qudrdo, o retângulo e o triângulo. Pr profundr s ideis reltivs às proprieddes comuttiv e distributiv, por exemplo, o professor pode sugerir os lunos que encontrem expressões equivlentes às reltivs o cálculo de áres de retângulos. estbeleçm expressões lgébrics com bse em situ ções geométrics: Atividde 1 Observe s figurs seguir e represente áre de cd retângulo por dus expressões lgébrics equivlentes: 1) x Pr discutir iguldde x( + 4) = x + x4 = = x + 4x, pode-se interpretr áre do retângulo com dimensões x e + 4: y 7 y ) x 5 x y Decompondo o comprimento ns medids e 4, encontrmos dois retângulos de mesm áre que o nterior: x x 4x O primeiro retângulo pode ser decomposto d seguinte form: Podemos, portnto, concluir que x( + 4) = = x + 4x. 1) x x ( y) A seguir, presentmos lgums tividdes que podem ser proposts os lunos pr que y 7 y 0 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 0 4/8/09 :11:34 PM

21 Mtemátic - 7 série - Volume 1) x x 7x yx x + 7x + yx 3 3 3b 7 y b y Assim, ess situção nos permite escrever que x. ( y) = x + 7x + yx. N situção, temos seguinte possibilidde: x + 5 ) x 5 + b Um expressão equivlente à dd n tividde é 3( + b). Com isso, observmos que 3( + b) = 3 + 3b, o que evidenci propriedde distributiv d multiplicção com relção à dição. Atividde 3 A expressão x(y 3) refere-se à áre de um retângulo. Represente geometricmente ess expressão e encontre um expressão equivlente el. + y y xy 5y Nesse cso, o ftor comum é o x, portnto, ele será medid do ldo comum n construção do retângulo, outr medid deve ser (y 3). Ess situção pode ser interpretd x 10 geometricmente como: ( + y)(x + 5) = x xy + 5y x x(y 3) Atividde 3 y 3 A expressão 3 + 3b refere-se à áre de um retângulo. Represente geometricmente ess expressão e encontre um expressão equivlente el. Aqui devemos observr que como o 3 é um ftor comum em mbs prcels, um ds dimensões do retângulo deve ser 3, e outr, som de com b. Portnto, figur será: y Pensndo n áre do retângulo de ldos x e y, podemos observr que: x(y 3) = x xy x 3x y 3 1 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 1 4/8/09 :11:34 PM

22 Portnto x(y 3) = xy 3x, o que evidenci propriedde distributiv d multiplicção com relção à subtrção. A prtir deste momento, o professor pode explorr compreensão desss proprieddes utilizndo outrs situções como esss ou propondo os lunos muits ds situções que encontrmos em livros didáticos. produto pode ser interpretdo como áre de um retângulo de medids de ldos (x + ) e (x + b). Decompondo figur pels medids x, e b, encontrmos: um qudrdo de ldo x, um retângulo de ldos x e, um retângulo de ldos x e b e um retângulo de ldos e b. x + x + x x Produtos notáveis x + b x x + b x x x O desenvolvimento do produto d som de dois números como (x + ). (x + b) refere-se um situção gerl que permite, lém de su posterior interpretção no desenvolvimento especí - fico dos produtos notáveis como ( + b) e ( b), construção de noções fundmentis plicds tnto à ftorção de trinômios qunto à resolução de equções de segundo gru pelo método conhecido como som e produto ds rí zes. Ns tividdes seguir, propomos um explorção sobre esse produto, mis um vez usndo interpretção geométric. Vle ressltr que ess estrtégi será retomd n Situção de Aprendizgem 3, qundo bordremos ftorção e resolução de equções por cálculo mentl. b b xb b Dess form, podemos escrever: (x + ). (x + b) = x + x + xb + b. O precimento, ness expressão, d som x + xb, pode ser interpretdo como ( + b)x, pois, conforme o que foi discutido nteriormente, podemos relocr os retângulos d seguinte form: xb xb Atividde 4 x x Represente geometricmente o produto (x + ). (x + b) e, depois, encontre um expressão equivlente ele. Pr resolver ess situção, propomos que o professor discut com turm que esse + b x xb x MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 4/8/09 :11:34 PM

23 Mtemátic - 7 série - Volume Obtendo seguinte configurção: x + ( + b)x som dos termos + b produto dos termos Portnto, (x + ). (x + b) = x + ( + b)x + b. Ness expressão, identificmos que no desenvolvimento de (x + ). (x + b), quntidde de x, isto é, o coeficiente de x, é som dos números ( + b) e o termo independente é o produto dos mesmos termos. b. A áre do qudrdo inteiro corresponde x, pr chegrmos o vlor de (x ). (x b) devemos retirr os retângulos de áres x e bx e crescentr um vez áre do retângulo de ldo b, que foi retird dus vezes (um n áre x e outr n áre bx). Geometricmente, temos: (x ) (x b) = Outr situção ser estudd gor é que envolve o produto d diferenç de dois números, isto é: (x ). (x b). Atividde 5 x Represente geometricmente o produto (x ). (x b) e, depois, encontre um expressão equivlente ele. x x x Pensndo nesse produto como áre de um re- x x tângulo, medid de um ldo será (x ) e de outro (x b). Isso pode ser formdo prtir de x um qudrdo de ldo x, como mostr figur: x x + x b x b (x ).(x b) b bx b b bx +b Chegmos, então, à expressão (x ).(x b)= = x x xb + b. Vle observr que ess 3 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 3 4/8/09 :11:35 PM

24 expressão é equivlente à (x ).(x b)= = x ( + b)x + b, o que, mis um vez, permite-nos concluir que o coeficiente de x, embor negtivo, refere-se à som ( + b) e o termo independente o produto. b. A prtir desss situções proposts, o professor pode destcr junto o grupo de lunos s semelhnçs e diferençs presentes no desenvolvimento lgébrico de (x + ). (x + b) e de (x ). (x b). Como vimos, o termo comum x é elevdo o qudrdo; se o produto for entre som de dois números, o coeficiente de x, isto é, o segundo termo, será positivo, cso sej diferenç de dois números, ele será negtivo. Além disso, o coeficiente do segundo termo refere-se à som ( + b) e o termo independente, ou terceiro termo do desenvolvimento, será igul o produto. b. Com tis desenvolvimentos, o professor poderá mplir esse tipo de explorção propondo tividdes como representção de produtos (x + ). (x + 5) ou de (x 3). (x 1). um vez percebendo o domínio desss ideis reltivs às interpretções geométrics de ftos lgébricos desses produtos notáveis, o professor pode recorrer às situções que envolvem o domínio d propriedde sem que sej feito o uso d propriedde distributiv ou do recurso geométrico. Isso é o que propomos no exercício seguir. Atividde 6 Desenvolv os produtos seguir sem plicr propriedde distributiv ou representção geométric: ) (x + 3). (x + 5) = x + (3 + 5)x = x + 8x + 15 b) (x 7). (x 10) = x (7 + 10)x = x 17x + 70 c) (x + 1). (x + 1) = x + (1 + 1)x = x + x + 1 d) (x 4). (x 6) = x (4 + 6)x = x 10x + 4 os qudrdos perfeitos A iguldde ( + b) = + b + b será dis cutid como um cso prticulr d situção estudd nteriormente. Ess prticulridde reside no fto de figur representtiv ser um qudrdo. A importânci desses desenvolvimentos lgébricos n mtemátic e em outrs situções requer que el sej desenvolvid de form permitir que os lunos tribum significdo à expressão lgébric decorrente do produto ou d potênci em questão. Pr isso, retommos demonstrção geométric prtir d decomposição de um qudrdo de ldo + b que tem áre igul ( + b). Ele pode ser decomposto em qutro figurs: um qudrdo de áre, outro qudrdo de áre b, e dois retângulos de áre. b. A som ds áres ds qutro figurs é igul à áre do qudrdo mior, como mostr figur seguir: 4 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 4 4/8/09 :11:35 PM

25 Mtemátic - 7 série - Volume + b + b =. b + + b b b. b ( + b) = + b + b Atividde 7 Convém slientr os lunos que, com bse ness demonstrção, qulquer trinômio qudrdo perfeito pode ser representdo geometricmente por um qudrdo. Vejmos o seguinte exemplo: o trinômio qudrdo perfeito x + 4x + 4 pode ser representdo como um qudrdo de ldo (x + ) composto pels seguintes figurs: um qudrdo de ldo x e áre x, um qudrdo de ldo e áre 4, e dois retângulos de ldos x e e áre x. x + x x x x x + Fç representção geométric dos seguintes trinômios qudrdos perfeitos: ) ² b) 4x + 4x x x 4x x x A iguldde ( b)² = ² b + b² tmbém pode ser demonstrd geometricmente prtindo de um qudrdo de ldo, conforme mostr figur. x + 1 x 4 b ( b) Contudo, um trinômio como x 4x 4 não será um qudrdo perfeito pois o terceiro termo 4, está precedido do sinl menos ( ). b b A áre do qudrdo interno de ldo ( b) vle ( b). El equivle áre do qudrdo mior ( ), 5 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 5 4/8/09 :11:36 PM

26 subtríd ds áres dos retângulos de ldos e b (. b). Contudo, é preciso dicionr áre do qudrdo de ldo b (b ), pois o mesmo foi retirdo dus vezes o subtrirmos os retângulos do qudrdo mior. Ess operção pode ser visulizd geometricmente n figur seguir: ( b). b = + b. b ( b) = b + b O produto notável (x 5) pode ser representdo geometricmente d seguinte form: x x 5 (x 5) x 5 5 Atividde 8 Represente geometricmente os seguintes produtos notáveis: ) 6 9 b) 9x 6x 1 3 ( 3) x 1 3x (3x 1) Outr iguldde importnte n álgebr é diferenç de dois qudrdos. Algebricmente, ess iguldde signific que diferenç entre o qudrdo de dois números é igul o produto d som pel diferenç entre esses dois números, isto é b = = ( + b).( b). Pr presentr esse produto notável, o professor pode propor seguinte tividde os lunos pedindo que eles construm s peçs do modelo em ppel e fçm mnipulção. O professor pode pedir que cd luno constru seu modelo com um medid pr e b, podendo depois verificr vlidde d firmção pr qulquer um desses vlores, generlizndo, portnto, pr medids e b: Geometricmente, iremos construir um qudrdo de ldo e retirr do mesmo um qudrdo de ldo b, conforme figur seguir: 6 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 6 4/8/09 :11:36 PM

27 Mtemátic - 7 série - Volume A prtir do conhecimento destes produtos notáveis, podemos explorr situções mis complexs, como que sugerimos seguir. Atividde 9 b b Represente geometricmente expressão lgébric 16x 9y e, depois, encontre um expressão equivlente el, como o produto de dois números. b b A figur resultnte pode ser dividid o meio e sus prtes relocds d seguinte form: b 1ª- Solução Agor, o luno pode pensr que temos diferenç de dois qudrdos, um com áre 16x² e outro com áre 9y². Portnto, deve concluir que o ldo do qudrdo mior é 4x, e o do qudrdo menor, 3y. Procedendo conforme o modelo, podemos encontrr como solução: 4 x 4 x 4x 16x 9y 4x 3y b 3y b b 3y 3y 4 x Obtemos, ssim, um retângulo cuj áre vle ( + b). ( b). Podemos concluir ssim que: b = ( + b).( b) + b 4x 3y 4x 4x + 3y 3y 4x 3y 4x 3y b Concluindo que 16x 9y = (4x + 3y).(4x 3y). 7 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 7 4/8/09 :11:38 PM

28 ª- Solução Outr form que o professor pode encontrr ou sugerir os lunos é que se segue. Tom-se um qudrdo de ldo 4x e em seu interior um qudrdo de ldo 3y. Termind ess etp, o professor pode sugerir outrs situções similres ess que servem como um introdução à ftorção, tem d próxim Situção de Aprendizgem. 3y 4x 4x 3y Com o intuito de trblhr um pouco mis com este mnejo lgébrico-geométrico, propomos um tipo de exercício que envolve demonstrções. 4x 3y 4x 3y Em seguid, observe que diferenç dos qudrdos (16x 9y ) signific sobr do retângulo com medids 4x e (4x 3y) e 3y e (4x 3y) Atividde 10 A figur seguir mostr um qudrdo de ldo c formdo por 4 triângulos retângulos e 1 qudrdo menor. Mostre que c = + b. c b Podemos, gor rrnjr s peçs de modo construirmos um retângulo de ldos (4x + 3y) e (4x 3y). 4x 3y 4x 4x 3y 4x 3y A áre do qudrdo de ldo c vle c. Os triângulos de ldo, b e c têm áre igul b.. O qudrdo menor, como vemos n figur, tem ldos iguis (b ), portnto, su áre é (b ). A áre do qudrdo mior é igul som ds áres dos triângulos e do qudrdo menor. c 4x 3y b 4x 3y 4x + 3y Portnto, podemos concluir que 16x 9y = = (4x + 3y).(4x 3y). b b 8 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 8 4/8/09 :11:39 PM

29 Mtemátic - 7 série - Volume Portnto: c = 4 b. c = b + b + b c = + b + ( b) A solução desse problem é um demonstrção do Teorem de Pitágors, que enunci que, em todo triângulo retângulo, o qudrdo d hipotenus é igul à som dos qudrdos dos ctetos. Nesse momento, o professor não precis enuncir este teorem, um vez que ele é o objeto de estudo do 4º- bimestre d 7ª- série. um noção do desenvolvimento de outrs potêncis ( + b) Apoidos em noções simples como o digrm de árvore, utilizdo no 1º- bimestre d 7ª- série, proprieddes de potêncis e nos produtos notáveis presentdos té esse momento, entendemos que é possível inicirmos um estudo sobre s regulriddes presentes no desenvolvimento de potêncis sucessivs do binômio ( + b) n. A investigção que propomos segue um modelo que vem sendo dotdo o longo dos conteúdos dest propost curriculr: identificr pdrões no sentido de generlizr e orgnizr ddos prtir de cert propriedde. Inicilmente, o professor pode propor pr grupos de lunos que completem seguinte tbel d expnsão d expressão ( + b) n pr n = 0, 1, e 3: ( + b) 0 ( + b) 1 ( + b) ( + b) 3 Os três primeiros csos já são conhecidos. A solução de ( + b) 3 pode ser encontrd plicndo-se seguinte propriedde de potênci: ( + b) 3 = ( + b). ( + b) = = ( + b). ( + b + b ) = = b + 3b + b 3 Geometricmente, seri o mesmo de pensr o volume de um cubo com rests ( + b), no cso, ( + b) refere-se à áre d bse do cubo e ( + b) à ltur do cubo: ( + b) ( + b) ( + b) ( + b) desenvolvimento ( + b) 0 = 1 ( + b) 1 = + b ( + b) = + b + b ( + b) 3 = b + 3b + b 3 Tendo tbel complet, o professor pode destcr, junto os lunos, que no desenvolvimento ds potêncis sucessivs de ( + b) n, de 9 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 9 4/8/09 :11:39 PM

30 form gerl, o número de termos é sempre um unidde mis que o expoente, isto é, igul n + 1. Esse fto é importnte, pois permite o luno um nálise que pode fzê-lo evitr um erro muito comum que é desenvolver ( + b) como simplesmente + b. Assim, o observr o expoente, esper-se que ele conclu que encontrrá um trinômio. A prtir desse ponto, podemos colocr como um primeiro desfio os lunos que determinem quntos termos terá o desenvolvimento de, por exemplo, ( + b) 5. Nesse cso, o desenvolvermos potênci, encontrremos 6 termos. Ms quis são eles? Será possível encontrr esses termos sem que sejm necessários os processos de distribuição? Neste momento, o professor pode presentr os lunos possibilidde de desenvolver potêncis sucessivs de ( + b) n plicndo o digrm de árvore utilizdo no bimestre nterior: ( + b) 0 1 b ( + b) 1 + b b b ( + b) + b + b b b b ( + b) b + 3b + b 3 b b b b ( + b) b + 6 b + 4b 3 + b 4 b b b b b ( + b) b b + 10 b 3 + 5b 4 + b 5 Com bse ness configurção tringulr, o professor pode comentr com os lunos que existe um pdrão o qul permite determinr os termos literis e os coeficientes do desenvolvimento de ( + b) n sem que sej necessário efetução do produto. Pr isso, devemos, em um processo de nálise, seprr prte literl dos coeficientes. Assim, os lunos podem observr os expoentes de cd prte literl e perceber que, d esquerd pr direit, o expoente de diminui de n pr 0, (o primeiro termo n pode ser escrito como n. b 0 ) e o expoente de b ument de 0 n, (o último termo b n pode ser escrito como 0. b n ). 30 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 30 4/8/09 :11:39 PM

31 Mtemátic - 7 série - Volume Com relção os coeficientes, um vez expost em crtz ou n lous configurção tringulr nterior, pode-se destcr os coeficientes com círculos, como ilustr figur: 1 b b b b 1 + b + 1 b b b b 1 3 b + 3 b b + 3 b b + 1 b 3 b b + 6 b + 4 b b 4 b b b b b b b + 10 b b 4 1 b 5 Imginndo esses números escritos em cubos, de modo que dispostos formem um pirâmide, como mostrd bixo, é possível observr que cd vlor escrito n fce do cubo é igul à som dos que estão sobre ele: Esse esquem é conhecido há muito tempo e foi mplmente utilizdo pelo mtemático frncês Blise Pscl ( ) no desenvolvimento de su teori d probbilidde. A prtir dí, é possível concluir que, pr o desenvolvimento de ( + b) 6 : 1 f o número de termos desse desenvolvi- 1 1 mento é 7; 1 1 f s prtes literis serão 6, 5 b, 4 b, 3 b 3, b 4, b 5 e b 6 ; f os coeficientes serão 1, 6, 15, 0, 15, e Portnto: 1 1 ( + b) 6 = b b b b 4 + 6b 5 + b 6 31 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 31 4/8/09 :11:40 PM

32 Qunto os coeficientes, os lunos ind podem ser estimuldos perceber lgums proprieddes n tbel, que se referem o conhecido Triângulo de Pscl. Entre els, podemos destcr: Coeficientes Portnto, os coeficientes de ( + b) 6 podem ser determindos prtir d linh dos coeficientes de 5, d seguinte form: ( + b) 0 1 ( + b) ( + b) 1 1 ( + b) ( + b) ( + b) ) Os extremos são ocupdos pelo número 1 e dois termos equidistntes dos extremos são iguis (figur 1). ) A som de dois elementos consecutivos de um mesm linh será o número d linh seguinte bixo do segundo elemento (figur ). O professor pode sugerir que os lunos escrevm, por exemplo, o desenvolvimento de ( + b) 10. Estudos similres esses são objeto de estudos do Ensino Médio, prticulrmente qundo se trt de problems e contgens e Binômios de Newton. Contudo, pelo uso de noções elementres de álgebr e potêncis, entendemos esse ser um momento oportuno de trzermos esse tipo de investigção. Fic crgo do professor perceber s condições de plicção dess tividde, podendo ser propost os lunos como um pequeno projeto de pesquis. Considerções sobre vlição Coeficientes Figur 1 Coeficientes Figur O tem dess Situção de Aprendizgem é produto notável. O termo notável, no cso, pode indicr tnto importânci desse conhecimento pr o desenvolvimento de outrs noções reltivs às operções lgébrics, à solução de equções e à demonstrção de fórmuls, qunto possibilidde de ele ser visulizdo rpidmente em vários contextos. Pr ess rápid visulizção, bordgem dotd poiou-se no seu significdo em contextos geométricos. Dess form, um 3 MAT_CP_7A_VOL_AF.indd 3 4/8/09 :11:40 PM

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