Funções UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Funções UTILIZAR COMO UMA DIRETRIZ OS CAPÍTULOS DE 0 A 3 DO LIVRO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE ROBERTO ROMANO. ENTRETANTO, ESSE LIVRO PECA PELA FALTA DE APLICAÇÕES E BREVIDADE NO TRATAMENTO DOS TEMAS. PARA APLICAÇÕES O LIVRO CÁLCULO I DE DEBORAH HUGHES-HALLETT É SUFUCIENTE. ELE PROVÊ UMA COMPLEMENTAÇÃO NATURAL DO LIVRO DO ROMANO, NO QUE SE REFERE À APLICAÇÕES. PARA A PARTE DE FUNÇÕES RACIONAIS, SEQÜÊNCIAS E SÉRIES O LIVRO PRÉ- CÁLCULO DE F. SAFIER CONTÉM UMA APRESENTAÇÃO POBRE, MAS QUE COBRE O NECESSÁRIO. AS LISTAS DE EXERCÍCIOS FORAM PREPARADAS COM OS LIVROS DO ROMANO, DA DEBORAH, DE SAFIER E DE UMA APOSTILA DE EXERCÍCIOS DA UNIVERSIDADE DE TORONTO. ELES COBREM TODO O CONTEÚDO QUE É APRESENTADO AQUI. CURITIBA JANEIRO DE 2008

2 PARTE 1 RÚMEROS REAIS 1.0 NOTAÇÕES E NOÇÕES DE CONJUNTOS: Esta é apenas uma parte para fixar linguagem, onde não é necessário aprofundar os tópicos. Introduzir a simbologia básica (,, e ) usada em matemática e a as noções de, universo,,,, igualdade entre conjuntos,,, diferença e complementar. Também comentar sobre a noção de variável, isto é, um elemento genérico de um conjunto e a noção de subconjunto definido por uma propriedade (uma sentença P(x) que contem uma variável x de um conjunto A). Introduzir por fim a idéia de produto cartesiano, explicitando a diferença entre as notações {a,b} e (a,b). 1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS Comentar brevemente a respeito de cada um dos conjuntos:, e (para nós, o interesse nos naturais estará em contagens primeiro, segundo,... por isso, = {1,2,3,...} ). Introduzir as noções de dizimas periódicas e não-periódicas, existência de irracionais, e provar a irracionalidade de 2 (deve-se explicitar, com exemplos, que os irracionais não são raros, e nem em menor quantidade que os racionais). Mostrar, com exemplos, que a soma de irracionais pode ser racional. Explicitar a diferença entre raiz quadrada e raiz de uma equação. Apresentar o conjunto munido das operações de corpo, explorando conseqüências dessas propriedades (o que se pode deduzir delas). Introduzir a relação de ordem e representação geométrica de como reta. Comentar a respeito da completude de e da densidade de em (entre dois reais existe um racional se houver tempo, ir mais a fundo, falando sobre a propriedade arquimediana e deduzindo dela a densidade). 1.2 DESIGUALDADES, INTERVALOS, VALOR ABSOLUTO E INEQUAÇÕES Introduzir a noção de intervalo, fazendo a associação entre a forma algébrica (de conjunto) e a geométrica, representada na reta real. Aqui também entram os símbolos, ±, usados como notação para representação dos intervalos infinitos. Trabalhar a representação geométrica das uniões e intersecções de intervalos. Resolver as primeiras inequações (sem envolver módulo), apresentando o método das cerquinhas, utilizando o que foi feito com uniões e intersecções de intervalos. Definir o valor absoluto, e deduzir deles as propriedades fundamentais, já com vistas ao que será necessário para resolver as inequações com módulo. Resolução de inequações envolvendo módulos. Nas inequações, explorar produtos de funções lineares, situações em que seja necessário fatoração ou completamento de quadrado, quocientes e situações em que a passagem para o outro membro deva ser feita com cuidado, como no 1 caso dessa: < 2x. x 1 2

3 PARTE 2 RENERALIDADES SOBRE FUNÇÕES Aqui são tratados apenas os aspectos mais genéricos sobre funções, sem ainda uma preocupação direta com as funções reais. É importante estabelecer a linguagem matemática e fixar as notações que serão usadas nas partes seguintes. 2.1 RELAÇÕES, FUNÇÕES E GRÁFICOS Não é necessária a idéia genérica de relação. De início, uma função pode ser definida intuitivamente como uma regra, com certas propriedades. Depois se pode identificar domínio, contra-domínio e imagem, inclusive utilizando diagramas de Venn para fixar o aspecto visual. Estabelecer quando ocorre a igualdade de funções. A definição do gráfico serve também para interpretar função como um subconjunto de um produto cartesiano (do domínio com o contra-domínio), permitindo agora explorar se certas relações são ou não funções. 2.2 FUNÇÕES INJETORAS, SOBREJETORAS E BIJETORAS Definir funções injetora e sobrejetora, trabalhando exemplos em que as propriedades são válidas e em que não são. Trabalhar nesse momento a idéia de função bijetora de forma usual (como sendo injetora e sobre) já encaminhando para a idéia de inversa, que será mais explorada ao se tratar da composição. 2.3 COMPOSIÇÕES E INVERSAS Definir a composição de funções (sempre amparado pelos diagramas de Venn que dão a idéia visual) trabalhando exemplos. Construir a inversa de uma função bijetora, e verificar suas propriedades básicas de composições. PARTE 3 RUNÇÕES REAIS ELEMENTARES Aqui são tratadas explicitamente as funções reais, com todas as suas particularidades. 3.1 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO REAL Nessa parte é importante frisar que, muitas vezes, apenas é dada a regra f (x) sem especificar seu domínio e contra-domínio. Nesses casos, interpreta-se sempre f como uma função real, cujo domínio é o maior subconjunto de no qual a regra f (x) está definida. 3.2 FUNÇÕES: CONSTANTE, DO PRIMEIRO GRAU E MÓDULO Apresentar as funções: constante, do primeiro grau e módulo. Frisar em cada caso qual o domínio, imagem, esboço do gráfico, crescimento e decrescimento de cada uma delas. Ao se tratar as funções do primeiro grau observar que há a família das funções lineares que são as funções da forma f(x) = ax + b, 3

4 ( a 0 ) e identificar o papel que as constantes a e b desempenham no gráfico. Também dar ênfase na função identidade. 3.3 FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU Apresentar a função do segundo grau identificando os elementos da parábola: vértice, raízes, intervalos de crescimento e decrescimento, e concavidade. (Pode-se aqui deduzir a forma canônica do trinômio do segundo grau como o Elon faz, obtendo os intervalos de crescimento e decrescimento e a fórmula de Bháskara.) Aproveitar para deduzir a fórmula de Bháskara através do completamento de quadrados e definir genericamente funções côncavas para cima e para baixo. Explorar o aspecto que as constantes desempenham na forma do gráfico da parábola, bem como problemas quadráticos de máximos e mínimos. 3.4 FUNÇÕES: COLCHETE, DEFINIDA POR PARTES E ESCADA Essas funções não são nada familiares aos estudantes. Apresentar cada uma delas obtendo seu domínio, imagem, esboço do gráfico, crescimento e decrescimento. Observe que a função escada é um tipo de função definida por partes. Nos exemplos de funções definidas por partes fazer uso daquelas vistas anteriormente (ou combinações delas). Aqui também podem ser apresentadas funções mais exóticas, tais como a função impulso (de Heaveside). O livro de cálculo do Spivak contém algumas muito interessantes. Se houver tempo, falar um pouco de funções modulares. 3.5 OPERAÇÕES COM FUNÇÕES E GRÁFICOS DE INVERSAS E DESLOCAMENTOS Uma vez apresentadas algumas funções elementares pode-se estabelecer o significado de função soma, função produto, etc, e como ficam o domínio e imagem delas. Estabelecer algumas inversas (como as raízes) definindo seu domínio, imagem e apresentando o processo de traçar seu gráfico através da reflexão sob a reta y = x. Tratar os deslocamentos vertical e horizontal, e a multiplicação por constantes, para se construir gráficos como os de 3 f ( x 2) + 1 conhecendo-se o de f. Explorar situações em que isso ocorre, frente às funções elementares vistas antes. Também é possível dar uma idéia do gráfico de f ( x) + g( x) e de f ( x) g( x) conhecendo-se os gráficos de f e de g, Aqui pode-se fazer alguns exercícios como os que se encontram resolvidos nas páginas 94 a 98 do livro do Romano. 3.6 FUNÇÃO EXPONENCIAL E EXPOENTES FRACIONÁRIOS Antes de iniciar o trabalho com exponenciais é necessário rever as propriedades de potências para expoentes naturais, inteiros, racionais e reais. Exigindo a validade das propriedades de produto de potências de mesma base e potência de potência (validadas para expoentes em ) pode-se deduzir as propriedades de expoentes inteiros e racionais ( 0 n n 1/ n n a = 1, a = 1/ a, a = a ). Na verdade, essa á a proposta do Elon. Entretanto, para expoentes reais só há dois modos: usando seqüências de racionais ou supremo. Nenhum desses casos é próprio para essa altura do curso. Portanto, apenas comentar o que seria um expoente real em vista de aproximações desse real por racionais. Trabalhar as equações exponenciais de todos os tipos para, por fim, definir as funções exponenciais, identificando seus elementos (domínio e imagem). Introduzir o número de Euler 4

5 e = 2, , aproveitando para falar do significado da aproximação ( 1+ 1/ n) n a medida que n aumenta. Isso pode ser feito por meio de problemas de capitalização, que apresentam de uma forma prática a aproximação do e (ver livro da Deborah). Há inúmeros casos práticos onde aparecem as exponenciais (decaimento radioativo, afinação, crescimento, juros compostos, etc). Pode-se, ainda que informalmente, tratar situações em que se calcula o logaritmo (sem defini-lo) por aproximação. Finalmente, ainda nesse bloco, apresentar as n funções da forma f ( x) = x com n par e ímpar, dando o formato padrão dos gráficos e identificando os elementos em cada caso (n par e n ímpar). Apresentar as funções com expoente fracionário, comparando-as entre si e com as potências inteiras. Esse é o lugar para tratar essas funções lembrando que, em x x ln 2 x muitas situações escreve-se, por exemplo 2 = e ou x ln = e. 3.7 FUNÇÃO LOGARÍTMICA Talvez a forma mais simples de se introduzir o logaritmo seja através de problemas de cálculo do tempo de duplicação, ou que usem uma idéia semelhante a essa. Com isso fica claro tanto a idéia do logaritmo como inversa da exponencial quanto da forma de seu gráfico. Provar as propriedades de logaritmos, frisando que todas são conseqüências das propriedades de exponencial. Introduzir a função ln. Isso pode ser feito em problemas onde se x quer expressar a função 2 como uma exponencial de base e, isto é, encontrar k x kx tal que 2 = e. Utilizar o logaritmo para resolução de problemas de crescimento/decaimento exponencial, tais como: uma amostra possui hoje 91% do carbono 14 que possuía de início determine a idade da amostra. Aqui se deve usar calculadora, a fim de ganhar tempo com os cálculos. 3.8 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Introduzir o ciclo trigonométrico, a noção de radiano e as funções trigonométricas seno e co-seno. (Pode-se fazer isso como o Elon faz, definindo it a função de Euler que na verdade é e ou como no livro do Manfredo de trigonometria e números complexos.) Trabalhar todos os elementos: domínio, relações fundamentais, período, fórmulas de adição e variação (ver livro do Manfredo). Para a variação usar a idéia da tabela apresentada no livro do Romano, que leva diretamente ao gráfico dessas funções. As relações trigonométricas cos( x / 2) = sen( x) e sen( x + / 2) = cos( x) podem ser deduzidas através de mudanças de escala, já vistas antes, ou através das propriedades da função de Euler. Todas as outras funções: secante, cossecante, tangente, cotangente devem ser tratadas de forma semelhante calcula-se o domínio, a variação, o período, a imagem, as relações fundamentais, constrói-se a tabela e traça-se o gráfico. Isso está bem feito no livro do Romano. As trigonométricas inversas podem agora ser construídas sem grandes problemas. Basta tomar a parte principal de cada uma das funções trigonométricas (para que sejam bijetoras) e determinar domínio, imagem e gráfico das trigonométricas inversas. Talvez não seja necessário construir todas, mas fazer algumas, e indicar a parte principal para que o aluno faça as outras. Há algumas propriedades importantes, que precisam ser deduzidas, pois serão usadas mais adiante em derivadas, tais como a simplificação de cos( arcsen x ). 5

6 Pode-se aprofundar um pouco mais, caso haja tempo, explorando funções periódicas em geral, tais como x [x] e a função de Dirichlet. 3.9 POLINÔMIOS Aqui é importante um trabalho algébrico prévio. Para isso, introduzir a noção de polinômio como expressão algébrica, identificando o grau. Explorar a igualdade, a soma, subtração, produto e divisão de polinômio, dando especial ênfase nessa última. Estudar raízes e a fatoração de polinômios, explorando a ligação entre raiz, fatoração e divisão por exemplo, se a é uma raiz de p(x) então vale que p(x) = (x a)q(x). Pode-se trabalhar também as relações entre os coeficiente e as raízes, bem como provar o método para se encontrar raízes racionais. (Há também a fórmula de Newton para calcular somas de potências de raízes.) Finalmente, explorar a forma do gráfico dos polinômios, de acordo com seu grau, dando especial ênfase à forma gráfica de uma raiz simples e uma dupla FUNÇÕES RACIONAIS E ASSÍNTOTAS (VER SE HÁ TEMPO) Apresentar as funções racionais, e efetuar operações com elas, inclusive pode-se trabalhar um pouco de frações parciais aqui. Na determinação do domínio, da imagem e da forma gráfica, as assíntotas aparecem naturalmente. Por isso, esse é o lugar de defini-las e trabalhá-las, pensando nos gráficos que se quer traçar. PARTE 4 REQÜÊNCIAS, SÉRIES E LIMITES 4.1 SEQÜÊNCIAS E SÉRIES Nessa parte o que se pretende é introduzir a notação abreviada para seqüências e séries finitas ou infinitas: ( =, k an ) n 1 ( a n ) n=1 k a n n= 1, e n=1 a. A ênfase deve ser na passagem da seqüência ou série, escrita por extenso, para a forma abreviada e vice-versa, explorando propriedades da escrita abreviada. 4.2 SEQÜÊNCIAS E SÉRIES ESPECIAIS E A NOÇÃO DE LIMITE Explorar as progressões aritméticas e geométricas, utilizando as notações de seqüência. Calcular a somas de PA s e PG s, expressando o resultado na forma de somatório. Explorar a noção intuitiva de limite de seqüências e séries, dando uma ênfase especial à série geométrica. n 6