AULA #13. Projeto de Controladores

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1 AULA #13 Projeto de Controladores

2 Projeto de Controladores Depois de escolhido o tipo de controlador (P, PI ou PID), ainda existe a questão de se escolher quais os valores de seus parâmetros (K c, τ I e τ D ). Este procedimento é conhecido como Projeto de Controladores ou Ajuste de Controladores, sendo baseado na resposta estacionária e na resposta dinâmica do sistema de controle. Critério de Performance da Resposta Estacionária O principal critério de performance neste caso é estabelecer o erro igual a zero para o estado estacionário. Tomando-se este critério, sabe-se que o controlador P, na maioria das situações, não elimina o desvio permanente, enquanto que o controlador PI sim. Além disso, em um controlador PID, a medida que K c aumenta, o offset é reduzido. Critério de Performance da Resposta Transiente A malha fechada deve satisfazer aos seguintes critérios de performance: o sistema em malha fechada deve ser estável os efeitos da perturbação devem ser minimizados respostas rápidas, porém suaves, a variações no valor de referência 1/4 de razão de decĺınio 5% de sobre-elevação

3 evitar ações de controle excessivas (reduzir desgaste da válvula de controle) o sistema de controle deve ser robusto: insensível a variações nas condições operacionais e a erros no modelo do processo Em problemas de controle é muito difícil atender a todos a esses critérios, pois eles são muitas vezes conflitantes. Por exemplo, diminuindo-se o valor da sobre-elevação através da redução de K c, torna a resposta em malha fechada mais lenta. De uma maneira geral, ajustes de um controlador PID que minimizam os efeitos da perturbação tendem a aumentar a sobre-elevação para variações no valor de referência. De forma semelhante, ajustes para gerar uma resposta rápida e suave a variações no valor de referência, geralmente resultam em respostas lentas para perturbações. Outro conflito muito comum é entre robustez e performance: torna-se um sistema de controle robusto escolhendo valores conservativos para os parâmetros do controlador (por exemplo, K c pequeno e τ I grande). Entretanto, essa escolha resulta em respostas lentas a variações na carga e valor de referência. Isto é, a performance do controlador é afetada. Cabe, então, ao projetista saber balancear as características em conflito, a fim de se obter a melhor resposta desejada. Existem diversos procedimentos de ajuste de controladores. O objetivo desses métodos é fornecer valores aproximados para os parâmetros de controladores PID a serem implementados na planta. Em última instância, a sintonia em campo é a que será efetivamente usada.

4 Método da Síntese Direta O Método da Síntese Direta consiste em especificar o comportamento da malha fechada (1 a ordem, 2 a ordem subamortecido, etc), G CL (s), calculando a função de transferência do controlador, G c (s), que forneça este comportamento desejado. Portanto, a questão fundamental no Método da Síntese Direta é especificar a resposta em malha fechada desejada. Seja o diagrama de blocos padrão para um sistema de controle por I O I F I A I /? I K I / I 2 H? A I I O I y(s) = G c(s)g(s) 1 + G c (s)g(s) }{{} Gservo (s) Considerando operação servo y(s) = G c(s)g(s) 1 + G c (s)g(s) }{{} Gservo (s)=g CL(s) y sp (s) G c (s)g(s) }{{} Gcarga (s) y sp (s) = G CL (s)y sp (s) d(s) A função de transferência G(s) = G f (s)g p (s)g m (s) representa a função de transferência do processo mais a instrumentação pertinente, menos o controlador.

5 Resolvendo a equação da malha fechada para G c (s) G c (s) = 1 G(s) Observações Importantes: G CL (s) [1 G CL (s)] a função de transferência do controlador, G c (s), pode resultar em uma equação de projeto pouco prática, pois a função de transferência G(s) normalmente não é conhecida. Neste caso, um procedimento de projeto seria obtido aproximando-se G(s) pelo modelo do processo G(s) = G f (s) G p (s) G m (s). observe que o controlador G c (s) contém o inverso do processo, 1/G(s). Portanto, o cancelamento pólozero é usado na determinação de G CL (s): os pólos do controlador cancelam os zeros do processo, enquanto que os zeros do controlador cancelam os pólos do processo. se o processo apresentar um pólo instável é matematicamente possível introduzir um zero no controlador de mesmo valor. cancelamento pólo-zero exato é praticamente impossível de ser obtido, devido às imprecisões na localização dos pólos e zeros do processo. Um pólo instável do processo, não exatamente cancelado pelo zero do controlador, poderá redundar em uma operação instável. cuidado especial deve ser adotado na utilização do Método da Síntese Direta.

6 a). controle perfeito No controle perfeito a variável controlada deve acompanhar qualquer variação no valor de referência instantaneamente e sem erro: Com isso, y(s) = y sp (s) G CL (s) = 1 G c (s) = 1 1 G(s) 1 1 = 1 1 G(s) 0 Portanto, controle perfeito não é alcançado com controle por realimentação, pois a saída acompanharia o valor de referência somente se o ganho do controlador fosse infinito. Como não existe erro, a ação corretiva feedback não ocorre. Entretanto, pode-se aproximar o controle perfeito fazendo G c (s) = K c G(s) O controle perfeito seria, então, igual a G CL (s) = K c G(s) G(s) 1 + K c G(s) G(s) = K c 1 + K c O controle perfeito é aproximado no limite quando K c, desde que G CL (s) 1. Observações Importantes: o controlador perfeito não será realizável se o processo contiver atrasos ou mais pólos do que zeros se o processo contiver um zero positivo, o controlador conterá também um pólo positivo e, portanto, será instável

7 b). processos de fase mínima Parece bem natural especificar que a resposta desejada em malha fechada seja de primeira ordem, uma vez que suas características são bem conhecidas: G CL (s) = 1 τ c s + 1 Observe que τ c é o único parâmetro a ser ajustado (parâmetro de projeto), representando a constante de tempo da resposta em malha fechada: τ c elevado resposta lenta (mais robusta) em malha fechada τ c pequeno resposta rápida em malha fechada O ganho da malha fechada é feito igual a 1 para garantir ausência de offset. Portanto, G c (s) = 1 G CL (s) G(s) [1 G CL (s)] = 1 1 τ c s+1 G(s) 1 1 τ c s+1 = 1 G(s) Observe que o controlador obtido contém ação integral (1/τ c s) como resultado da especificação de ganho unitário para a malha fechada. b.1). processo de 1 a ordem Considere o processo de 1 a ordem Resolvendo para G c (s) G(s) = K p τ p s + 1 G c (s) = 1 1 G(s) τ c s = τ ps K p τ c s = τ p K p τ c ( ) τ p s 1 τ c s

8 Veja que o controlador obtido pelo Método da Síntese Direta para um processo de 1 a ordem é simplesmente um controlador PI, onde G c (s) = τ ( p ) ( K c ) K p τ c τ p s τ }{{} I s }{{} síntese direta PI Observações Importantes: { Kc = τ p K p τ c τ I = τ p observe que será necessário ajustar apenas um parâmetro: a constante de tempo da malha fechada, τ c faz-se τ I = τ p e ajusta-se K c on-line até obter a resposta em malha fechada desejada b.2). processo de 2 a ordem Considere o processo de 2 a ordem G(s) = Resolvendo para G c (s) K p (τ p1 s + 1)(τ p2 s + 1) G c (s) = 1 1 G(s) τ c s = (τ p1s + 1)(τ p2 s + 1) 1 K p τ c s G c (s) = τ p1τ p2 s 2 + (τ p1 + τ p2 )s K p τ c s G c (s) = τ p1 + τ p2 + 1 K p τ c K p τ c s + τ p1τ p2 s G c (s) = τ p1 + τ p2 K p τ c [ 1 + K p τ c 1 (τ p1 + τ p2 )s + τ p1τ p2 s τ p1 + τ p2 ]

9 Veja que o controlador obtido pelo Método da Síntese Direta para um processo de 2 a ordem é simplesmente um controlador PID, onde G c (s) = τ [ p1 + τ p K p τ c (τ p1 + τ p2 )s + τ ] p1τ p2 s τ p1 + τ }{{ p2 } síntese direta ( K c ) τ I s + τ Ds }{{} PID Observações Importantes: K c = τ p1+τ p2 K p τ c τ I = τ p1 + τ p2 τ D = τ p1τ p2 τ p1 +τ p2 observe que será necessário ajustar apenas um parâmetro: a constante de tempo da malha fechada, τ c faz-se τ I = τ p1 + τ p2 e τ D = τ p1τ p2 τ p1 +τ p2 e ajusta-se K c online até obter a resposta em malha fechada desejada

10 c). processos de fase não mínima Processos de fase não mínima apresentam tempos mortos ( time delays ) e zeros no semi-plano direito do plano complexo ( RHP zeros ): G(s) = K pe τ ds τ p s + 1 G(s) = K p( as + 1) τ p s + 1 : tempo morto : RHP zero 1/a (a > 0) Seria natural também escolher um sistema de primeira ordem para representar o comportamento da malha fechada: G CL (s) = 1 τ c s + 1 Entretanto, essa escolha sem considerar o tempo morto ou RHP zero tornará a malha fechada inviável de ser implementada ou instável: tempo morto G c (s) = 1 G(s) 1 τ c s = τ ps + 1 K p e τ ds 1 τ c s = τ p K p τ c ( ) e τ ds τ p s O controlador resultante corresponde a um controlador PI com o termo adicional e τ ds. Este termo não é fisicamente realizável porque requer o conhecimento de erros futuros para obter a ação de comando presente. RHP zero G c (s) = 1 1 G(s) τ c s = τ ps K p ( as + 1) τ c s A presença de pólo RHP é devido a inversão do RHP zero do processo, tornando o controlador instável e

11 a ação de controle não limitada (elemento final de controle irá saturar). Por esses motivos, um controlador fisicamente realizável e estável pode ser obtido se a resposta desejada da malha fechada contiver o mesmo atraso e RHP zeros do processo. c.1). processos com tempo morto Reformulando a resposta desejada para a malha fechada, incluindo o tempo morto, tem-se G CL (s) = e τ dcs τ c s + 1 onde, agora, τ c e τ dc são parâmetros de projeto (o controlador será fisicamente realizável se τ dc τ d ). Para τ dc = τ d, G c (s) = 1 G CL (s) G(s) [1 G CL (s)] = 1 G c (s) = 1 G(s) e τ ds τ c s + 1 e τ ds G(s) e τ d s τ c s+1 1 e τ d s τ c s+1 Aproximando-se e τ ds 1 τ d s no denominador de G c (s), este assumirá a forma de um controlador PID padrão: e τ ds G c (s) = 1 G(s) (τ c + τ d )s Observe que não foi necessário efetuar a mesma aproximação do e τ ds do numerador de G c (s), pois este será cancelado com termo idêntico em G(s). c.1.1). processo de 1 a ordem com tempo morto Considere o processo de 1 a ordem com tempo morto G(s) = K pe τ ds τ p s + 1

12 Resolvendo para G c (s) e τ ds e τ ds G c (s) = 1 G(s) (τ c + τ d )s = τ ps + 1 K p e τ ds (τ c + τ d )s ( τ p G c (s) = ) K p (τ c + τ d ) τ p s Veja que o controlador obtido pelo Método da Síntese Direta para um processo de 1 a ordem com tempo morto é simplesmente um controlador PI, onde ( τ p G c (s) = ) K p (τ c + τ d ) τ p s }{{} síntese direta ( G c (s) = K c ) τ I s }{{} PI { Kc = τ p K p (τ c +τ d ) τ I = τ p c.1.2). processo de 2 a ordem com tempo morto Considere o processo de 2 a ordem com tempo morto G(s) = Resolvendo para G c (s) G c (s) = 1 G(s) e τ ds K p e τ ds (τ p1 s + 1)(τ p2 s + 1) (τ c + τ d )s = (τ p1s + 1)(τ p2 s + 1) K p e τ ds G c (s) = τ p1τ p2 s 2 + (τ p1 + τ p2 )s K p (τ c + τ d )s G c (s) = τ [ p1 + τ p K p (τ c + τ d ) (τ p1 + τ p2 )s + τ ] p1τ p2 s τ p1 + τ p2 e τ ds (τ c + τ d )s Veja que o controlador obtido pelo Método da Síntese Direta para um processo de 2 a ordem com tempo morto

13 é simplesmente um controlador PID, onde G c (s) = τ [ p1 + τ p K p (τ c + τ d ) (τ p1 + τ p2 )s + τ ] p1τ p2 s τ p1 + τ }{{ p2 } síntese direta ( K c ) K c = τ p1+τ p2 τ I s + τ K p (τ c +τ d ) Ds τ I = τ p1 + τ p2 }{{} τ D = τ p1τ p2 τ p1 +τ p2 PID c.2). processos com um RHP zero 1/a (a > 0) Reformulando a resposta desejada para a malha fechada, incluindo o RHP zero 1/a (a > 0), tem-se G CL (s) = as + 1 τ c s + 1 onde, agora, τ c e a são parâmetros de projeto. Assim, G c (s) = 1 G(s) G c (s) = 1 G(s) G CL (s) [1 G CL (s)] = 1 G(s) as + 1 (τ c + a)s as+1 τ c s+1 1 as+1 τ c s+1 Observe que G c (s) assume a forma de um controlador PID padrão: G c (s) = 1 as + 1 G(s) (τ c + a)s De forma semelhante, chegar-se-á às expressões para os controladores PID considerando processos de 1 a e 2 a ordem com um RHP zero 1/a (a > 0): c.2.1). processo de 1 a ordem com um RHP zero

14 Considere o processo de 1 a ordem com RHP zero 1/a (a > 0) G(s) = K p( as + 1) τ p s + 1 O controlador obtido pelo Método da Síntese Direta para um processo de 1 a ordem com um RHP zero é simplesmente um controlador PI, onde ( τ p G c (s) = ) K p (τ c + a) τ p s }{{} síntese direta ( G c (s) = K c ) τ I s }{{} PI { Kc = τ p K p (τ c +a) τ I = τ p c.2.2). processo de 2 a ordem com RHP zero Considere o processo de 2 a ordem com RHP zero 1/a (a > 0) G(s) = K p ( as + 1) (τ p1 s + 1)(τ p2 s + 1) O controlador obtido pelo Método da Síntese Direta para um processo de 2 a ordem com um RHP zero é simplesmente um controlador PID, onde G c (s) = τ [ p1 + τ p K p (τ c + a) (τ p1 + τ p2 )s + τ ] p1τ p2 s τ p1 + τ }{{ p2 } ( K c ) τ I s + τ Ds }{{} PID síntese direta K c = τ p1+τ p2 K p (τ c +a) τ I = τ p1 + τ p2 τ D = τ p1τ p2 τ p1 +τ p2

15 Controle com Modelo Interno IMC Diferentemente do Método da Síntese Direta, o Controle com Modelo Interno (IMC) considera o modelo do processo como parte integrante do controlador. Com o uso expĺıcito do conhecimento de processo, o projeto do controlador: leva em conta as incertezas do modelo permite contrabalancear a performance com a robustez do sistema de controle, a variações no processo e erros de modelagem a). desenvolvimento da estrutura IMC Quando o processo está no estado estacionário, e não há perturbações, então as entradas e saídas são iguais a zero (em variáveis-desvio). Considere, por exemplo, que se deseja mudar a saída, y(s), de modo que ela siga o seu valor de referência, y sp (s). Isso pode ser feito projetando um controlador em malha aberta, G c(s), tal que uma relação desejada entre a y(s) e y sp (s) seja especificada e tenha características dinâmicas apropriadas (resposta rápida sem muita sobre-elevação, sem offset, etc): y(s) y sp (s) = G c(s)g(s) onde G(s) = G F (s)g p (s)g m (s) relaciona o processo e toda a instrumentação envolvida, menos o controlador. O I F I /? I K I / I 2 H? A I I O I No entanto, na presença de incertezas no modelo do processo e de perturbações, alguma forma de realimentação

16 é necessária para compensar o efeito delas sobre a resposta, y(s). Embora o procedimento de projeto do IMC seja idêntico ao procedimento de projeto de um controlador em malha aberta, a sua implementação resulta em um sistema de controle por realimentação. Isto é, o IMC é capaz de compensar para incertezas no modelo e perturbações, enquanto que o controle em malha aberta não. Além disso, para muitos processos, a estrutura IMC pode ser formulada como a estrutura feedback padrão. Com isso, nesses casos, o IMC acaba por se assemelhar a um controlador PID. Isso é muito saúdavel, já que é possível se utilizar equipamentos e algoritmos padrões (controladores PID) para implementar conceitos de controle avançado. O desenvolvimento da estrutura IMC parte da estrutura do controle em malha aberta: considere que um modelo do processo, G(s), está disponível e recebe a mesma variável manipulada que chega ao processo real (planta) O I F I /? I K I / I 2 H? A I I O I I F H? A I I // II 22 HH?? AA II II O I I = A pode-se, agora, subtrair a resposta do processo (medida real) da resposta do modelo (predição do modelo) para determinar o erro do modelo

17 O I F I /? I K I / I 2 H? A I I O I // II 22 HH?? AA II II O I O I O I A A a perturbação, também, pode ser incorporada ao I O I F I /? I K I / I 2 H? A I I O I // II 22 HH?? AA II II O I O I O I A A Assim, o cálculo da incerteza do modelo também inclui perturbações não-medidas. essa informação pode ser agora usada pelo controlador para compensar os erros de modelagem e perturbações

18 @ I O I F I O I F I /? I K I / I 2 H? A I I O I // II 22 HH?? AA II II O I O I O I Forma-se, assim, a estrutura IMC, onde d(s) = perturbação d(s) = perturbação estimada G(s) = processo (planta) G(s) = modelo do processo G c(s) = controle com modelo interno y sp (s) = valor de referência ỹ sp (s) = valor de referência modificado (corrige para erro no modelo e perturbações) u(s) = variável manipulada (saída do controlador) y(s) = variável de saída (medida) do processo ỹ(s) = variável de saída do modelo b). casos limites b.1). modelo perfeito, sem perturbações Se o modelo é perfeito ( G(s) = G(s)) e não há perturbações (d(s) = 0), então o sinal de realimentação é zero e y(s) = G c(s)g(s)y sp (s) Note que esta relação é exatamente igual à relação obtida com o controle em malha aberta. Isto é interessante, pois se o controlador, G c (s), é estável e o processo, G(s), é também estável, o sistema em malha fechada é estável

19 (lembre que um controlador por realimentação padrão pode se tornar instável com uma escolha incorreta dos valores de seus parâmetros). b.2). modelo perfeito, com perturbações Se o modelo é perfeito ( G(s) = G(s)) e há perturbações (d(s) 0), então o sinal de realimentação é igual a d(s) = d(s): realimentação é necessária para compensar o efeito de perturbações não-medidas. b.3). incerteza no modelo, sem perturbações Se o modelo apresenta erros ( G(s) G(s)) e não há perturbações (d(s) = 0), então o sinal de realimentação é igual a d(s) = [G(s) G c(s)]u(s): realimentação é necessária para compensar o efeito das incertezas no modelo. Isso ilustra que, as razões para controle por realimentação são: presença de perturbações não-medidas presença de incertezas no modelo respostas em malha fechada mais rápidas do que em malha aberta estabilização de sistemas instáveis em malha aberta c). controle IMC-PID A estrutura IMC pode ser rearranjada para fornecer a estrutura PID padrão. Desta forma, consegue-se utilizar explicitamente o modelo do processo em um controlador PID:

20 @ I O I F I O I F I /? I K I / I 2 H? A I I O I // II 22 HH?? AA II II O I O I O I 1 + /? I O I F I A I O I F I /? I K I / I 2 H? A I I O I O I // II 22 HH?? AA II II 2 1, A equivalência entre as duas estruturas acontece quando a malha interna formada por G c(s) e G(s) corresponde ao controlador PID padrão igual a u(s) e(s) = G c(s) = G c (s) = G c(s) 1 G c(s) G(s) ou G c (s) 1 + G c (s) G(s) Portanto, a seguinte relação em malha fechada para o

21 IMC pode ser obtida: y(s) = G c(s)g(s) 1 + G c(s)[g(s) G(s)] y sp(s) + 1 G c(s)g(s) 1 + G c(s)[g(s) G(s)] d(s) c.1). modelo perfeito, operação servo (d(s) = 0) ou operação reguladora (y sp (s) = 0) y(s) = G c(s)g(s)y sp (s) + [1 G c(s)g(s)]d(s) Se o modelo é perfeito ( G(s) = G(s)), seja para operação servo deseja-se que y(s) = y sp (s) ou operação reguladora deseja-se que y(s) = 0, o controlador IMC deve ser igual ao inverso do modelo do processo G c(s) = 1 G(s) controle perfeito Desta forma, com ou sem erro entre o processo e seu modelo, o controlador IMC resultante pode ser inviável, seja por ser instável ou requerer predição. d). procedimento de projeto do IMC O procedimento de projeto do IMC ocorre nas seguintes etapas: Etapa 1 desenvolva um modelo para o processo, G(s) Etapa 2 fatore o modelo do processo em duas partes: uma parte que possa ser invertida (parte boa do modelo G (s)) e outra parte que não possa ser invertida (parte ruim do modelo G + (s)). A parte ruim do modelo é aquela que conterá quaisquer atraso

22 por transporte e zeros no semi-plano direito do plano complexo (RHP zeros): G(s) = G + (s) G (s) O objetivo dessa fatoração é garantir que o controlador projetado seja estável e não requera predição. Etapa 3 forme o controlador IMC ideal. O controlador IMC ideal é aquele formado pelo inverso da parte que pode ser invertida do modelo do processo, G (s) (parte boa do modelo): G c(s) = 1 G (s) Evita-se, assim, que o controlador IMC, G c(s), contenha elementos que o tornariam instável ou requeririam predição (atraso por transporte e RHP zeros do G + (s)). Etapa 4 adicione um filtro, F(s), para tornar o controlador próprio (uma função de transferência é própria se a ordem do polinômio do denominador é maior ou igual a ordem do polinômio do numerador);isto é, que G c(s) seja fisicamente realizável: G c(s) = 1 G (s) F(s) O filtro, F(s), pode assumir as seguintes formas: variação degrau no valor de referência: normalmente o filtro assume a forma 1 F(s) = (τ c s + 1) r onde r é selecionado para tornar o controlador próprio ou que a ação derivativa ideal seja permitida (a ordem do numerador excede a ordem do denominador em 1).

23 variação rampa no valor de referência: aconselha-se utilizar o filtro F(s) = rτ cs + 1 (τ c s + 1) r rejeição a perturbações degrau na carga e processos integradores ou instáveis: o filtro recomendado é o F(s) = τ ns + 1 (τ c s + 1) r onde τ n é selecionado para cancelar a constante de tempo mais lenta do processo. Etapa 5 ajuste a constante de tempo do filtro, τ c, para selecionar a velocidade da resposta da malha fechada τ c elevado resposta lenta (mais robusta) em malha fechada τ c pequeno resposta rápida em malha fechada Etapa 6 realize simulações em malha fechada para ambas as situações de modelo perfeito e com incertezas. Ajuste τ c balenceando performance e robustez. Valores iniciais para τ c estão na faixa de 1/3 a 1/2 da constante de tempo dominante do processo. d.1). modelo perfeito y(s) = G + (s)f(s)y sp (s) + [1 G + F(s)]d(s) operação servo, d(s) = 0: y(s) = G + (s)f(s)y sp (s) operação reguladora, y sp (s) = 0: y(s) = [1 G + F(s)]d(s)

24 Observe que, nestes casos, a parte ruim do modelo, G + (s), aparece na resposta da malha fechada: resposta inversa para RHP zeros e tempo morto para atraso por transporte. e). projeto do IMC-PID A estrutura IMC pode ser usada para obter os ajustes PID de um controlador G c (s) a uma grande variedade de modelos de processos. e.1). processo de 1 a ordem Considere o processo de 1 a ordem G(s) = K p τ p s + 1 passo 1 encontre a função de transferência própria do controlador IMC, G c(s), que inclua um filtro F(s): G(s) = G + (s) G (s) = }{{} 1 G + (s) K p τ p s + 1 }{{} G (s) G c (s) = 1 G (s) F(s) = τ ps + 1 K p 1 τ c s + 1 G c(s) = 1 K p τ p s + 1 τ c s + 1 passo 2 encontre o controlador por realimentação equivalente, G c (s), usando a transformação: G c (s) = G c(s) 1 G c(s) G(s) = 1 τ p s+1 K p τ c s K p τ p s+1 τ c s+1 K p τ p s+1 = τ ps + 1 K p τ c s

25 passo 3 rearranje a equação de G c (s) para que fique semelhante a um PID. Neste caso, o controlador resultante é um PI: G c (s) = τ ( p ) ( K c ) K p τ c τ p s τ }{{} I s }{{} IMC PI Observações Importantes: { Kc = τ p K p τ c τ I = τ p veja que o ganho proporcional K c é inversamente relacionado a constante de tempo da malha fechada, τ c, o que faz sentido: se τ c é pequeno (resposta rápida), o ganho proporcional deve ser alto; se τ c é grande (resposta lenta), o ganho proporcional deve ser pequeno observe que será necessário ajustar apenas um parâmetro: a constante de tempo do filtro, τ c faz-se τ I = τ p e ajusta-se K c on-line até obter a resposta em malha fechada desejada Este procedimento pode ser usado para desenvolver o controlador PID equivalente para outras funções de transferência.

26 Ajuste do Controlador IMC-PID (G c (s)) para Processos Estáveis e Integradores G(s) F(s) K c τ I τ D τ F A K p τ p s+1 1 τ c s+1 τ p K p τ c τ p B a K p τ p s+1 τ n s+1 (τ c s+1) 2 2τ p τ c K p τ c 2τ p τ c τ 2 c τ p C K p (τ p1 s+1)(τ p2 s+1) 1 τ c s+1 τ p1 +τ p2 K p τ c τ p1 + τ p2 τ p1 τ p2 τ p1 +τ p2 D K p τ 2 p s 2 +2ζτ p s+1 1 τ c s+1 2ζτ p K p τ c 2ζτ p τ p 2ζ E b K p τ 2 p s 2 +2ζτ p s+1 1 (τ c s+1) 2 ζτ p K p τ c 2ζτ p τ p 2ζ τ c 2 F c K p ( βs+1) τ 2 p s 2 +2ζτ p s+1 1 (τ c s+1) 2ζτ p K p (β+τ c ) 2ζτ p τ p 2ζ G b,c K p ( βs+1) τ 2 p s 2 +2ζτ p s+1 βs+1 ( βs+1)(τ c s+1) 2ζτ p K p (2β+τ c ) 2ζτ p τ p 2ζ βτ c 2β+τ c

27 Ajuste do Controlador IMC-PID (G c (s)) para Processos Estáveis e Integradores G(s) F(s) K c τ I τ D τ F H K p s 1 τ c s+1 1 K p τ c I d K p s 2τ c s+1 (τ c s+1) 2 2 K p τ c 2τ c J K p s(τ p s+1) 1 τ c s+1 1 K p τ c τ p K d K p s(τ p s+1) 2τ c s+1 (τ c s+1) 2 2τ c +τ p K p τ 2 c 2τ c + τ p 2τ c τ p 2τ c +τ p

28 Observações Importantes: a O controlador é projetado para melhorar a rejeição a perturbações na carga: τ n = 2τ pτ c τ 2 c τ p. Observe que desejase τ n > 0, o que conduz a τ c < 2τ p. b O controlador ] é[ um ] PID com atraso dinâmico: G c (s) =. K c [τ I τ D s 2 +τ I s+1 τ I s 1 τ F s+1 c Assume-se β > 0 (resposta inversa, RHP zeros). d O controlador é projetado para variação rampa no valor de referência. Também conduz a melhor rejeição a perturbações. e.2). processo de 1 a ordem com tempo morto Considere o processo de 1 a ordem com tempo morto G(s) = K pe τ ds τ p s + 1 passo 1 use aproximação de Padé de 1 a ordem para o tempo morto e τds τ d s+1 2, tal que agora s+1 τ d 2 G(s) = K p( τ d 2 s + 1) (τ p s + 1)( τ d 2 s + 1) passo 2 fatore G(s) G(s) = G + (s) G (s) = ( τ d 2 s + 1) }{{} (τ p s + 1)( τ d }{{ 2 s + 1) } G + (s) G (s) passo 3 forme o controlador idealizado G c(s) = 1 G (s) = (τ ps + 1)( τd 2 s + 1) K p K p

29 passo 4 adicione um filtro F(s) G c(s) = 1 G (s) F(s) = (τ ps + 1)( τd 2 s + 1) 1 K p τ c s + 1 Observe que, propositadamente, G c(s) não é feita própria. Do contrário não seria obtido um controlador PID. Usa-se a opção derivativa, onde permite-se o numerador ser uma ordem de grandeza maior do que o denominador. passo 5 encontre o controlador PID equivalente G c (s) G c (s) = G c(s) 1 G c(s) G(s) = G c (s) = (τ ps + 1)( τ d 2 s + 1) K p (τ c )s G c (s) = 1 2 τ pτ d s 2 + (τ p τ d)s + 1 K p (τ c )s (τ p s+1)( τ d 2 s+1) K p 1 τ c s+1 1 (τ ps+1)( τ d 2 s+1) K p 1 τ c s+1 K p ( τ d 2 s+1) (τ p s+1)( τ d 2 s+1) τ p + Multiplicando a equação de G c (s) por 1 2 τ d τp +1τ, encontra-se 2 d os parâmetros do controlador PID [ ] τ p G c (s) = τ d 1 K p (τ c τ 1 + d) (τ p τ d)s + τ pτ d s 2τ p + τ d }{{} IMC ( K c ) K c = τ p+ 1 τ 2 d τ I s + τ K p (τ c + 1 Ds τ 2 d) τ I = τ p + }{{} 1 2 τ d τ D = τ pτ d 2τ PID p +τ d Observações Importantes: recomenda-se que τ c > 0,8τ d devido à aproximação de Padé realizada

30 observe que será necessário ajustar apenas um parâmetro: a constante de tempo do filtro, τ c faz-se τ I = τ p τ d e τ D = τ pτ d 2τ p +τ d e ajusta-se K c online até obter a resposta em malha fechada desejada Este procedimento pode ser usado para desenvolver o controlador PID equivalente para outras funções de transferência com tempo morto.

31 Ajuste do Controlador IMC-PID (G c (s)) para Processos Estáveis com Tempo Morto G(s) F(s) K c τ I τ D τ F Notas a A K p e τ d s τ p s+1 1 τ c s+1 τ p τ d K p (τ c τ d) τ p τ d τ p τ d 2τ p +τ d 1 B K p e τ d s τ p s+1 1 τ c s+1 τ p K p τ c τ p 2 C K p e τ d s τ p s+1 1 τ c s+1 τ p K p (τ c +τ d ) τ p 3 D K p e τ d s s τ n s+1 (τ c s+1) 2 2τ c +τ d K p (τ c +τ d ) 2 2τ c + τ d 3 E b K p e τ ds 1 (τ c s+1) 2 τ d K p (4τ c +τ d ) τ d 2 τ d 6 2τ 2 c τ2 d 6 4τ c +τ d 4

32 Observações Importantes: a IMC-PID é baseado na aproximação de 1 a ordem de Padé para o tempo morto, a não ser que se diga o contrário: 1. G c(s) é imprópria; recomendando-se τ c > 0,8τ d 2. tempo morto é desprezado; recomenda-se τ c > 1,7τ d 3. tempo morto é aproximado por aproximação de séries de Taylor: ( τ d s + 1) 4. uma aproximação de 2 a ordem de Padé foi utilizada para o tempo morto b O[ controlador ] é[ um ] PID com atraso dinâmico: G c (s) = K c. τ I τ D s 2 +τ I s+1 τ I s 1 τ F s+1 Em todos os casos recomenda-se fazer τ c > 0,2τ p. e.3). processo de 1 a ordem instável Considere o processo de 1 a ordem instável, com pólo 1/τ p G(s) = K p τ p s + 1 passo 1 encontre a função de transferência do controlador IMC, G c(s), G c(s) = 1 G (s) F(s) = ( τ ps + 1) K p τ n s + 1 (τ c s + 1) 2 Escolha um filtro de segunda ordem para tornar o controlador G c(s) próprio, com numerador e denominador

33 de mesma ordem. Deve-se, agora, encontrar τ n tal que F(s = 1/τ p ) = 1: F(s = 1/τ p ) = τ ( ) n(1/τ p ) + 1 [τ c (1/τ p )s + 1] = 1 τ τc 2 n = τ c + 2 τ p passo 2 após algum algebrismo, encontre o controlador PID equivalente G c (s) G c (s) = G c (s) = G c (s) = G c (s) 1 G c(s) G(s) = τ n (τ n s + 1) τ p s+1 K p τ n s+1 (τ c s+1) 2 1 τ ps+1 K p τ n s+1 (τ c s+1) 2 K p (2τ c τ n ) τ n s ( τ n ) K p (2τ c τ n ) τ n s }{{} IMC ( K c ) { Kc = τ I s } {{ } PI τ n K p (2τ c τ n ) τ I = τ n = τ c (τ c τ p + 2 )

34 Ajuste do Controlador IMC-PID (G c (s)) para Processos Instáveis G(s) F(s) K c τ I τ D Notas A K p τ p s+1 τ n s+1 (τ c s+1) 2 τ n K p (2τ c τ n ) τ n 1 B C K p ( τ p1 s+1)(τ p2 s+1) K p (τ p3 s+1) ( τ p1 s+1)(τ p2 s+1) τ n s+1 τ p1 (τ n +τ p2 ) (τ c s+1) 2 K p τc 2 ( ) τ n s+1 1 (τ c s+1) 2 K p 1 + 2τ p1 τ c τ n + τ p2 τ n τ p2 τ n +τ p2 2 τ n 2,3

35 Observações Importantes: ) (τ 1. τ n = τ c c τ p + 2 ( ) τ 2. τ n = τ c c τ p1 + 2 ] [τ 3. controlador é um PI com filtro: G c (s) = K I s+1 c τ I s ] [ τp2 s+1 τ p3 s+1

36 Método de Ajuste Baseado na Oscilação em Malha Fechada Este foi o primeiro método de ajuste dos parâmetros de um PID amplamente utilizado. Ele foi apresentado por Ziegler e Nichols em a). método de Ziegler-Nichols em malha fechada A técnica de ajuste de Ziegler-Nichols em malha fechada (ou simplesmente método de Ziegler-Nichols ZN) foi talvez o primeiro método rigoroso de ajuste de controladores PID. A técnica não é hoje mais utilizada extensamente, porque o comportamento da malha fechada tende a se tornar oscilatório e sensível a incertezas. Ela é apresentada mais por razões históricas e porque ela é similar às técnicas usadas em controle auto-ajustáveis ( autotuning ). O método de ZN consiste nas seguintes etapas: 1. com controle proporcional apenas (τ I e τ D = 0), aumenta-se o valor do ganho proporcional K c até surgir uma oscilação contínua da variável I O I F I A I /? I K I 2 H /? AI I I O I? K 2. o valor do ganho proporcional que provoca essa oscilação contínua é chamado de ganho crítico ou último, K u. Com esse valor do ganho proporcional, a malha se encontra no limite de estabilidade (marginalmente estável) com um controlador proporcional. O período de oscilação observado quando K c = K u

37 (o intervalo de tempo entre dois picos sucessivos) chama-se período crítico ou último, P u. 3 Oscilação Contínua com Controle Proporcional: K c =K u 2.5 P u y tempo 3. os ajustes de ZN são calculados a partir de K u e P u, conforme mostra a tabela Ajuste de ZN em Malha Fechada Controlador K c τ I τ D P 0,5K u PI 0,45K u P u 1,2 PID 0,6K u P u 2 P u 8

38 Observações Importantes: normalmente, o distúrbio na malha é introduzido pelo valor de referência. Pode-se variar o seu valor com pequenos degraus em torno da condição de operação normal do processo. Cuidado especial deve ser adotado quando o ganho proporcional aumenta, pois isso pode levar a válvula e o sensor a saturação. as relações de sintonia propostas por Ziegler e Nichols foram desenvolvidas para fornecer uma razão de decĺınio 1/4. o ajuste de ZN freqüentemente conduz a malha a oscilações indesejáveis para um processo típico. os parâmetros de ajuste também não são muito robustos; isto é, são muito sensíveis às incertezas do processo. a malha pode se tornar instável com a mudança das condições operacionais.

39 b). método de Tyreus e Luyben em malha fechada Tyreus e Luyben sugeriram regras de ajuste de parâmetros que provocam menos oscilações e que são menos sensíveis às mudanças nas condições operacionais e às incertezas do processo: Ajuste de Tyreus-Luyben em Malha Fechada Controlador K c τ I τ D PI PID K u 3,2 2,2P u K u 2,2 2,2P u P u 6,3 Em ambos os casos, observe que a ação proporcional é reduzida quando ação integradora é adicionada (PI). Já quando a ação derivativa é incorporada, pode-se elevar o efeito da ação proporcional, conseguindo uma resposta mais rápida (PID).

40 Método de Ajuste Baseado na Curva de Reação de Processo O método de ajuste de ZN é baseado em testes que forçam o processo a oscilar continuamente. O grande problema desse procedimento é levar o sistema ao limite da instabilidade, além de necessitar de um considerável intervalo de tempo para obter a oscilação contínua. Uma alternativa a esse método foi proposta por Cohen e Coon, em 1953, que apresentaram relações de projeto baseadas em modelos de processos obtidos a partir de teste degrau em malha aberta. a). método de Cohen-Coon (CC) O procedimento de Cohen e Coon ficou conhecido como Método da Curva de Reação de Processo. A aplicação do método baseia-se nos seguintes procedimentos: abra-se a malha entre o controlador e o elemento final de controle. introduz-se uma perturbação degrau de amplitude A na variável que atua sobre o elemento final de controle. registra-se o valor da variável de saída com o tempo. A curva y(t) é a chamada Curva de Reação de Processo. A função de transferência entre y(s) e u(s) chama-se Função de Transferência da Malha Aberta y(s) u(s) = G(s) = G f(s)g p (s)g m (s) e representa a função de transferência do processo mais a instrumentação pertinente, menos o controlador.

41 ) O I F I A I /? I K I 2 H /? AI I I O I Cohen e Coon observaram que uma grande variedade de processos possuem curvas de reação de processo semelhantes e com forma S chamada sigmoidal 350 Curva de Reação de Processo: resposta ao degrau 300 y tempo Esta curva pode ser adequadamente aproximada pela resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem com tempo morto ( FOPDT ) y(s) u(s) = G(s) K pe τds τ p s + 1

42 K ) J Os parâmetros K p, τ p e τ d podem ser estimados a partir da curva de reação do processo, seguindo os passos abaixo: 1. K p ganho estacionário do processo ele pode ser facilmente determinado lendo-se o valor final de y(t) e calculando K p = y u = B A 350 Curva de Reação de Processo: resposta ao degrau 300 # B y tempo 2. τ p constante de tempo do processo ela é calculada a partir da inclinação, S, da reta tangente ao ponto de inflexão de y(t) τ p = y S = B S Lembre que, para a resposta ao degrau de um sistema de 1 a ordem, a maior inclinação da reta tangente

43 ocorre a t = 0 (ou a t = τ d, quando com tempo morto), sendo igual a S = y τ p = B τ p 350 Curva de Reação de Processo: resposta ao degrau reta tangente ao ponto de inflexão 300 B y S=B/τ p τ d τ p resposta real 1 a ordem + tempo morto tempo A presença de ruídos de medida é a principal desvantagem em utilizar a inclinação da reta tangente no ponto de inflexão em y(t) para determinar τ p. Tornase muito difícil identificar o ponto de inflexão. 3. τ d tempo morto do processo tempo decorrido do início da perturbação até o início em que a resposta sente a perturbação. Ele é encontrado a partir da interseção da reta tangente com a abscissa, sendo considerado tempo morto aparente. Com base no modelo aproximado (primeira ordem com tempo morto), Cohen e Coon propuseram relações de

44 projeto baseadas em uma resposta com 1/4 de razão de decĺınio (como Ziegler e Nichols): Ajuste de Cohen-Coon em Malha Aberta Curva de Reação de Processo Controlador K c τ I τ D P PI PD PID ( ) 1 τ p K p τ d 1 + τ d 3τ p ( ) 1 τ p 9 K p τ d 10 + τ d 12τ p ( ) 1 τ p 5 K p τ d 4 + τ d 6τ p ( ) 1 τ p 4 K p τ d 3 + τ d 4τ p τ d 30+3τ d /τ p 9+20τ d /τ p τ d 6 2τ d /τ p 22+3τ d /τ p τ d 32+6τ d /τ p 13+8τ d /τ p τ d τ d /τ p b). método de Ziegler-Nichols (ZN) Ziegler e Nichols também obtiveram diferentes expressões para o ajuste dos parâmetros dos controladores, através de um procedimento semelhante ao utilizado por Cohen e Coon. Os resultados foram os seguintes:

45 Ajuste de Ziegler-Nichols em Malha Aberta Curva de Reação de Processo Controlador K c τ I τ D P PI PID 1 K p τ p τ d 0,9 K p τ p τ d 3,3τ d 1,2 K p τ p τ d 2τ d 0,5τ d Observações Importantes: um problema importante nesses métodos é que eles normalmente não são muito robustos; isto é, pequenas variações nos parâmetros do processo podem causar a instabilidade do sistema em malha fechada. esses métodos utilizam apenas um ponto para estimar a constante de tempo, τ p. para processos que apresentam atraso por transporte muito pequeno; isto é, τ d próximo de zero, a curva de reação do processo fica semelhante à resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem simples. Os ajustes de CC e ZN indicarão um valor extremamente elevado de K c. Escolhe-se o maior valor possível para reduzir o desvio permanente, quando um controlador proporcional for empregado.

46 Modelos Empíricos Para muitos processos é mais vantajoso, por questão de tempo e/ou esforço, desenvolver modelos empíricos do que fundamentais. Particularmente, se o interesse principal é ajustar uma malha de controle específica, é mais interessante obter um modelo entrada-saída, do tipo função de transferência, a partir de um teste na planta. O teste na planta mais utilizado é realizar uma perturbação degrau na variável manipulada de interesse (saída do controlador) e observar a resposta da saída medida do processo. A partir de então, um modelo é desenvolvido de modo a obter a melhor semelhança entre a saída do modelo e a saída do processo observada. Uma das principais considerações na hora de desenvolver um modelo entrada-saída é selecionar o melhor pareamento (casamento) entre as possíveis variáveis de entrada e saída do processo. Feita essa seleção, traz-se o processo para uma condição estacionária consistente e desejável, antes da perturbação degrau ser aplicada. Uma importante decisão diz respeito a amplitude do degrau a ser implementado na variável de entrada: se o degrau tem amplitude muito pequena, a saída medida pode não mudar significativamente para desenvolver o modelo. Este fato é particularmente importante quando o sinal medido apresenta muito ruído. Neste caso, a amplitude do degrau na entrada deve ser tal que a relação sinal de saída / ruído seja alta o suficiente para se obter um bom modelo. se o degrau tem amplitude muito elevada, a variável de saída pode variar tanto, que o produto fica fora

47 de especificação durante muito tempo, enquanto o teste é realizado (claramente, essa não é uma solução economicamente recomendável). Também, se o degrau é elevado, efeitos não-lineares podem predominar, conduzindo o processo a condições operacionais bem diferentes das desejadas. Claramente, a perturbação deve ser de tal magnitude que seja possível observar o comportamento da variável de saída (ela deve ir acima do ruído), mas não tão elevada de modo a provocar grandes alterações no seu valor (causando problemas econômicos e/ou produzindo efeitos não-lineares significativos). O modelo mais utilizado para o projeto de sistemas de controle é o modelo representado por uma função de transferência de primeira ordem com tempo morto. a). sistema de 1 a ordem com tempo morto: resposta ao degrau A resposta ao degrau de amplitude A de um sistema de 1 a ordem com tempo morto y(s) u(s) = G(s) = K pe τds τ p s + 1 tem a seguinte expressão: 0 [,0 t < τ ( d y(t) = K p A 1 e t τ )] d τp, t τ d Os três parâmetros do processo K p, τ p e τ d podem ser estimados a partir de um único teste na planta: o ganho do processo, K p, é obtido calculando-se a razão entre o variação total da resposta ao degrau,

48 y, e a variação total da entrada perturbada com um degrau de amplitude A, u = A o tempo morto, τ d, corresponde ao intervalo de tempo observado entre o instante inicial da perturbação degrau e o momento inicial quando a resposta começa a se alterar Diversos métodos para determinar a constante de tempo do sistema, τ p, podem ser utilizados: a.1). tempo para atingir 63,2% da variação final da resposta Fazendo-se t = τ p +τ d na equação da resposta ao degrau, de um sistema de 1 a ordem com tempo morto, obtém-se [ ( y(τ p + τ d ) = K p A 1 e τp+τ )] d τ d ] τp = K p A [1 e (1) y(τ p + τ d ) = 0,632K p A = 0,632 y = 0,632B Portanto, t 63,2% = τ p + τ d corresponde ao intervalo de tempo para a resposta do sistema atingir 63,2% de sua variação final.

49 350 Curva de Reação de Processo: resposta ao degrau 300 B y 250 0,632 B 200 τ d τ p tempo a.2). método da inclinação máxima A máxima inclinação da reta tangente a resposta ao degrau, aplicado a t = 0, de um sistema de primeira ordem com tempo morto ocorre em t = τ d : τ p = y S = K p u = B S S Portanto, a maior inclinação à curva de reação de processo, y(t), é utilizada na determinação de τ p. Essa maior inclinação ocorre no ponto de inflexão de y(t), sendo igual a S.

50 350 Curva de Reação de Processo: resposta ao degrau reta tangente ao ponto de inflexão 300 B y S=B/τ p τ τ d p resposta real 1 a ordem + tempo morto tempo Observe que, os dois métodos de cálculo de τ p anteriores são baseados em apenas um ponto da curva de reação de processo. a.3). método com dois pontos Os métodos a seguir utilizam dois pontos da curva de reação do processo para a determinação de τ p. a.3.1). tempo para atingir 28,3% e 63,2% da variação final da resposta A constante de tempo τ p e o tempo morto τ d podem ser obtidos das seguintes relações τ p = 1,5(t 63,2% t 28,3% ) τ d = t 63,2% τ p onde t 28,3% e t 63,2% são os tempos para atingir 28,3% e 63,2% da variação final da resposta, respectivamente.

51 340 Curva de Reação de Processo: resposta ao degrau y ,632 B B 220 0,283 B t 28,3% t 63,2% tempo a.3.2). tempo para atingir 35,3% e 85,3% da variação final da resposta Sundaresan e Krishnaswamy, em 1977, propuseram o cálculo de τ p e τ d a partir de dois pontos da curva de reação do processo, utilizando as seguintes relações τ p = 0,67(t 85,3% t 35,3% ) τ d = 1,3t 35,3% 0,29t 85,3% onde t 35,3% e t 85,3% são os tempos para atingir 35,3% e 85,3% da variação final da resposta, respectivamente.

52 350 Curva de Reação de Processo: resposta ao degrau 300 B y 250 0,853 B 0,353 B 200 t 35,3% t 85,3% tempo a.4). regressão linear Pode-se determinar a constante de tempo ajustando os pontos da curva de reação do processo a uma linha reta. Para tanto, rearranja-se a solução ao degrau de um sistema de primeira ordem com tempo morto, tal que [ )] [ )] = y ln y y(t) y ( ) y y(t) y y(t) = K p A ( = e t τd ) τp = t τ p + τ d τ p ( 1 e t τd τp ( 1 e t τd τp onde y = K p A = B é o valor final da resposta do sistema, em variável-desvio. y(t) também está em variável-desvio. Os parâmetros do modelo de primeira ordem com tempo morto são assim calculados:

53 o ganho do processo, K p, é obtido calculando-se K p = y A a constante de tempo, τ p, é calculada do coeficiente angular da reta ajustada, α, τ p = 1 α o tempo morto, τ d, é calculado do coeficiente linear da reta ajustada, β, τ d = βτ p 2 1 τ d /τ p Regressão Linear resposta real regressão linear 0 ln(y y/y ) α = 1/τ p tempo

54 Após o ajuste linear, obtém-se o seguinte modelo de primeira ordem com tempo morto, representado na figura abaixo e comparado à curva de reação de processo 350 Curva de Reação do Processo: resposta ao degrau 300 y resposta real regressão linear: 1 a ordem+tempo morto tempo

55 J J Método de Ajuste Baseado na Minimização da Integral do Erro Os parâmetros de ajuste baseados na razão de decĺınio igual a 1/4 não são únicos. Na tentativa de criar relações de projeto únicas, foram desenvolvidos critérios de performance da malha fechada que minimizavam o desvio entre o valor de referência e o valor da variável controlada, ou o erro. Como o erro é uma função do tempo, a soma do erro a cada instante deve ser minimizada. Como as relações de projeto pretendem minimizar a integral do erro, este método é conhecido com Minimização da Integral do Erro. A J F H A C K H = E J A C H A H H A J F I A H L E J A C H A H H Como a integral do erro não pode ser minimizada diretamente, pois um erro negativo muito grande seria o mínimo, são utilizadas diferentes formulações para a integral: a.1). integral do erro absoluto ( IAE )

56 IAE = 0 e(t) dt O IAE é utilizado principalmente para suprimir erros pequenos. Lembrando que o e(t) = y sp (t) y(t). a.2). integral do quadrado do erro ( ISE ) ISE = 0 e 2 (t)dt O ISE é utilizado principalmente para suprimir erros maiores, pois contribuem mais para o valor da integral do que e(t) < 1. Esses erros maiores normalmente ocorrem no início da resposta, do que erros pequenos, que ocorrem ao final da mesma. Entretanto, na tentativa de reduzir os erros iniciais, o critério ISE resulta em ganhos proporcionais maiores e respostas mais oscilatórias (razão de decĺınio alta), com o erro oscilando ao redor de zero por um tempo relativamente longo. Este fenômeno sugere que o critério de performance deveria conter uma penalidade que incluísse o tempo de resposta. a.2). integral do erro absoluto ponderado pelo tempo ( ITAE ) ITAE = 0 t e(t) dt

57 Esse critério é principalmente utilizado para suprimir erros que persistem por um longo tempo, ampliando o efeito mesmo dos pequenos erros no valor da integral. a.2). integral do quadrado do erro ponderado pelo tempo ( ITSE ) ITSE = 0 te 2 (t)dt Observações Importantes: os critérios de performance da integral do erro utilizam toda a resposta da malha fechada, indo de t = 0 até o novo estado estacionário. a menos que lim t e(t) = 0, os índices de performance tendem a infinito. quando lim t e(t) não tende a zero, pode-se definir o erro como e(t) = y( ) y(t) Desta forma tem-se índices de performance finitos. Este é o caso quando não se usa ação integral, onde o erro não é forçado a zero. diferentes critérios de performance conduzem a diferentes projetos de controladores. a forma da perturbação considerada (degrau, rampa, etc.) também afeta os parâmetros do controlador projetado. o modo de operação da malha de controle (op. reguladora ou op. servo) conduz a projetos diferentes.

58 Fórmulas de ajuste para atender os critérios de performance da integral do erro foram calculadas para variações degrau na carga e no valor de referência, considerando o modelo do sistema como de primeira ordem com tempo morto (G p (s) = G d (s)) e controlador PID: Fórmulas para a Minimização do Erro Integral Operação Servo Modelo do Processo G(s) = K pe τ d s τ p s+1 Controlador PI ) G c (s) = K c (1 + 1 τ I s Integral do Erro IAE ITAE ( ) K c = a b1 1 τ d a 1 = 0,758 0,586 K p τ p b 1 = -0,861-0,916 τ I = τ p a 2 +b 2 ( τd τp ) a 2 = 1,02 1,03 b 2 = -0,323-0,165 ) Controlador PID G c (s) = K c (1 + 1 τ I s + τ Ds Integral do Erro IAE ITAE ( ) K c = a b1 1 τ d a 1 = 1,086 0,965 K p τ p b 1 = -0,869-0,855 τ I = τ p a 2 +b 2 ( τd τp ) a 2 = 0,740 0,796 b 2 = -0,130-0,147 τ D = a 3 τ p (τ d τ p ) b3 a 3 = 0,348 0,308 b 3 = 0,914 0,9292 para 0,1 τ d /τ p 1,0

59 Fórmulas para a Minimização do Erro Integral Operação Reguladora Modelo do Processo Controlador P G(s) = K pe τ d s τ p s+1 G c (s) = K c Integral do Erro ISE IAE ITAE ) b (τ K c = a d a = 1,411 0,902 0,490 K p τ p b = -0,917-0,985-1,084 ) Controlador PI G c (s) = K c (1 + 1 τ I s Integral do Erro ISE IAE ITAE ( ) K c = a b1 1 τ d a 1 = 1,305 0,984 0,859 K p τ p b 1 = -0,959-0,986-0,977 τ I = τ p a 2 ( ) b2 τ d a 2 = 0,492 0,608 0,674 τ p b 2 = 0,739 0,707 0,680 ( ) Controlador PID G c (s) = K c τ I s + τ Ds Integral do Erro ISE IAE ITAE ( ) K c = a b1 1 τ d a 1 = 1,495 1,435 1,357 K p τ p b 1 = -0,945-0,921-0,947 τ I = τ p a 2 ( ) b2 τ d a 2 = 1,101 0,878 0,842 τ p b 2 = 0,771 0,749 0,738 τ D = a 3 τ p (τ d τ p ) b3 a 3 = 0,560 0,482 0,381 b 3 = 1,006 1,137 0,995 para 0,1 τ d /τ p 1,0