SIMULAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS DE UMA PLANTA DIDÁTICA PARA CONTROLE DE NÍVEL E TEMPERATURA EM UM CLUSTER BEOWULF

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO ESCOLA DE MINAS COLEGIADO DO CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO SIMULAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS DE UMA PLANTA DIDÁTICA PARA CONTROLE DE NÍVEL E TEMPERATURA EM UM CLUSTER BEOWULF MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO TIAGO VENTURINI DA SILVA Ouro Preto, 2012

2 TIAGO VENTURINI DA SILVA SIMULAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS DE UMA PLANTA DIDÁTICA PARA CONTROLE DE NÍVEL E TEMPERATURA EM UM CLUSTER BEOWULF Monografia apresentada ao Curso de Engenharia de Controle e Automação da Universidade Federal de Ouro Preto como parte dos requisitos para a obtenção do Grau de Engenharia de Controle e Automação. Orientador: Prof. Dr. Agnaldo José da Rocha Reis Co-orientadora: Profª. Drª. Karla Pimenta Palmieri Ouro Preto Escola de Minas UFOP Dezembro/2012

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4 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deus que tem me dado forças nas horas difíceis. Agradeço a minha mãe, Maria de Lourdes da Silva Venturini, pelo apoio e por ser a minha inspiração dando exemplo de perseverança. Agradeço a República Boemia pelas alegrias e aprendizado e aos amigos de Ouro Preto que levarei em meu coração, obrigado por me ensinar a amar ao próximo. Agradeço aos meus mestres que ensinaram que a busca pelo conhecimento deve ser frequente e a que sabedoria do homem é algo que ninguém tira. E agradeço também a Fundação Gorceix por ter me apoiado todo esse tempo que residi em Ouro Preto.

5 EPÍGRAFE A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho original Albert Einstein Tudo posso naquele que me fortalece Filipenses 4:13

6 RESUMO É apresentada a modelagem matemática de uma planta didática para controle de nível e temperatura e a simulação no Matlab instalado no Ubuntu (sistema operacional baseado em GNU/Linux) que realiza cálculos em paralelo. A conexão entre as máquinas realiza-se por meio da rede Ethernet com auxilio de um equipamento denominado switch. A simulação no Matlab com processamento paralelo acontece devido a um toolbox específico. Através da simulação no Matlab, gráficos serão gerados a fim de estudo e análise do desempenho. Toda a configuração do projeto inclui a essência em montar um cluster de computadores do tipo Beowulf em um sistema operacional livre e realizar neste a simulação da modelagem matemática da planta didática para controle de nível e temperatura. A simulação de modelos matemáticos de uma planta didática para controle de nível e temperatura em software livre é relevante para estudos na área acadêmica por possuir baixo custo e economizar tempo. Palavras-chave: Ubuntu, Matlab, cluster Beowulf, controle de nível e temperatura, modelagem matemática.

7 ABSTRACT It presented the mathematical modeling of a plant for teaching and temperature level control and simulation in Matlab installed on Ubuntu (operating system based on GNU / Linux) that performs calculations in parallel. The connection between the machines is carried out through the Ethernet network with the aid of equipment called a switch. The MATLAB simulation with parallel processing is due to a specific toolbox. By MATLAB simulation, graphics are generated in order to study and analyze the performance. All configuration of the project includes the essence of setting up a cluster of computers in a Beowulf-type free operating system and conduct simulation modeling in mathematics teaching to the plant level control and temperature. The simulation of mathematical models of a didactic plan for level control and temperature on free software is relevant to studies in the academic area by having low cost and save time. Keywords: Ubuntu, Matlab, Ethernet, cluster, Beowulf, Linux, level and temperature control, mathematical modeling

8 LISTA DE ABREVIAÇÕES CLP Computador Lógico Programável UFOP Universidade Federal de Ouro Preto TECIND Laboratório De Tecnologia Industrial Da UFOP LABSISTER Laboratório De Sistemas Térmicos Da UFOP NFS Network File System NASA National Aeronautics and Space Administration IEEE Institute of Electrical and Electronic Engineers PC Personal Computer HPCC High Performance Computing and Communications LTS Long Term Support MPI Message Passing Interface PVM Parallel Virtual Machine LAN Local Area Network DEC Digital Equipment Corporation RAM Random Access Memory DVD Digital Versatile Disc

9 LISTA DE SÍMBOLOS E SIGLAS ρ Densidade da água (kg/cm 3 ) c p h H Calor específico da água a pressão constante (J/kg. C) Nível de água generalizado (cm) Nível de água específico (cm) A Área da seção transversal do tanque (cm 2 ) Av Área seção transversal das válvulas (cm 2 ) C Capacitância do tanque (cm 2 ) V Volume de água (cm 3 ) V v Volume total do vidro (cm 3 ) Q Vazão de água específica (cm 3 /s) Q e Q s Vazão de entrada generalizada (cm 3 /s) Vazão de saída generalizada (cm 3 /s) g Aceleração da gravidade (cm/s 2 ) T Temperatura ( C) Temperatura ambiente ( C) t Tempo (s) Condutividade térmica efetiva, (W/m. C) Capacidade térmica no tanque (J/ C) Resistência térmica no tanque ( C.s/J) e Espessura do vidro (cm) ρ v Densidade do vidro (kg/cm 3 ) Quantidade de energia fornecida para água (J/s) Coeficiente de transferência de calor por convecção (W/cm. C)

10 LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 Sistema operacional Ubuntu LTS Figura 3.1 Diagrama esquemática do cluster Beowulf Figura 3.2 Cluster Beowulf montando no laboratório Figura 3.2 Equipamento switch usado no cluster Beowulf Figura 4.1 Operação simplificado do toolbox Figura 4.2 configuração do toobox parallel computing Figura 4.3 Números de iterações realizadas em série e em paralelo Figura 4.4 Processamento em série x paralelo e velocidade máxima atingida em paralelo.. 27 Figura Foto da planta didática a ser modelada Figura Representação esquemática da planta Figura blocos simplificados exemplificando o que ocorrerá na planta didática Figura 6.2 Representação esquemática do tanque Figura 6.3 Número de Reynolds x Velocidade do fluido Figura 6.4 Curva de nível pela vazão de entrada em regime turbulento Figura 6.5 Nível da água no tanque 1 pelo tempo Figura 6.6 Saída de água no tanque 1 e entrada no tanque Figura 6.7 Saída de água no tanque 2 e entrada no tanque Figura 6.8 Saída de água no tanque 3 e entrada no tanque Figura 6.9 Nível tanque 4 x nível tanque 5 pelo tempo Figura 6.10 Misturador e nível da água no tanque pelo tempo Figura 6.11 perca de calor no tanque 2 por convecção natural Figura 6.12 Representação esquemática do tanque Figura 6.13 Ebulidor mergulhão de alumínio no tanque Figura 6.14 Aquecimento da água no tanque 2 pelo tempo Figura 7.1 comparação de processamento em série e paralelo

11 SUMÁRIO 1 - INTRODUÇÃO Contexto teórico Objetivo Metodologia Estrutura do trabalho BREVE HISTÓRIA DO LINUX e CLUSTER BEOWULF Linux Computação em cluster Vantagens em utilizar o cluster de computadores Cluster Beowulf Cluster homogêneo ou heterogêneo Descrição dos principais componentes de um cluster de computadores MONTAGEM E CONFIGURAÇÃO DO CLUSTER BEOWULF Considerações do espaço físico e escolha dos hardwares Rede adotada para cluster Beowulf Configurando o cluster Configuração dos IPs (Internet Protocol) CONFIGURAÇÃO DO TOOLBOX DO MATLAB Configurar o toolbox para operar junto ao cluster Beowulf Testando o cluster Beowulf Testando a velocidade da computação em série e em paralelo 26 5 CONSIDERAÇÕES SOBRE A PLANTA DIDÁTICA Material utilizado na composição da planta didática Descrição detalhada dos tanques MODELAGEM MATEMÁTICA DO SISTEMA Modelagem matemática da vazão de água nos tanques Processo de linearização do sistema não linear 39

12 6.1.3 Simulação por meio do software Matlab Fundamentos do controle de temperatura Determinação do coeficiente convectivo de transferência de calor no tanque Determinação do coeficiente convectivo Determinação do coeficiente convectivo Determinação do coeficiente convectivo Modelagem matemática do sistema térmico do tanque Simulação do sistema térmico no tanque 2 no Matlab SIMULAÇÃO COM MATLAB EM COMPUTAÇÃO PARALELA 54 8 CONSIDERAÇÕES FINAIS 55 9 CONCLUSÃO 56 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 58 ANEXO 1 60 ANEXO 2 68 ANEXO 3 69 ANEXO 4 71

13 1 - INTRODUÇÃO Contexto teórico Nos últimos anos pode-se ver uma constante evolução no poder de processamento dos computadores e até dos tradicionais supercomputadores a uma taxa de crescimento em torno de 40% ao ano. Esta evolução se deve a exigência de diminuir o tempo de ciclo da máquina para processar uma instrução. No meio da década de 70, os supercomputadores eram a grande maioria das inovações, até que foram aparecendo os microcomputadores ao longo do tempo com uma capacidade de processamento melhor (PITANGA, 2008). Com a crescente demanda por maior poder computacional, vem a necessidade de computadores com baixo tempo de resposta e com processamento de alto desempenho para fins de programação científica, multimídia ou gerenciamento de grande volumes de dados. A solução para estes problemas pode vir de máquinas com múltiplos processadores ou ainda de clusters de computadores, onde apresentam elevado custo atualmente. O método de agrupar computadores ou formar um cluster computadores apresenta vantagens em relações às máquinas com superprocessamento em termos de custo e facilidade de manutenção. Um cluster pode ser formado a partir de qualquer tipo de computador. Via de regra, objetiva-se alcançar alto desempenho das máquinas com custo mínimo. A utilização do cluster de computadores é uma realidade em várias instituições de ensino hoje que necessitam de uma ferramenta de apoio nas pesquisas seja na área da física, da química ou da matemática. Dentre as tecnologias empregadas de cluster de PCs (Personal Computer), o mais conhecido é o Beowulf criado na NASA (National Aeronautics and Space Administration), que será o foco deste trabalho (PITANGA, 2008). Outro avanço importante ao longo dos anos foi as redes locais (LAN Local Area Network). Como um exemplo pode-se citar a Ethernet que não foi projetada para trabalhar na automação industrial, mas foi modificada com êxito para atender aos requisitos básicos da comunicação de dados entre os processos industriais. Atualmente a Ethernet é a tecnologia de LAN mais utilizada. Ela foi desenvolvida pela Xerox na década de 70, em cooperação com o DEC

14 13 (Digital Equipment Corporation) e a Intel, que desenvolveram o padrão na década de 80. Em 1985 a Ethernet foi aceita oficialmente como padrão do IEEE (Institute of Electrical and Electronic Engineers) (BOLZANI, 2004). Seguindo está linha de aperfeiçoamento, observa-se o melhoramento, cada vez mais, na maioria dos problemas científicos formulados matemática quanto as variáveis das equações que descrevem um determinado fenômeno físico. Equações estas que são diferenciais e proporcionam formulações matemáticas precisas para as leis e princípios físicos, representando as variações na forma de derivadas. A modelagem matemática de um processo acaba sendo importante para prever o comportamento de um evento antes que ele aconteça de fato através de simulação, ou estudar os vários aspectos matematicamente sem recorrer experimentos caros. Com isso, resultados de problemas práticos e significativos podem ser alcançados com pouco esforço utilizando um modelo matemático adequado e realista. Para isto, é necessário um conhecimento teórico adequado sobre os fenómenos físicos correlacionados ao problema a ser modelado, pois um modelo mal formulado dará resultados intangíveis e inaceitáveis (ÇENCEL, 2009). Atualmente, realizar a simulação computacional de processos de controle de nível e temperatura por meio de modelo matemático acabar sendo vantajoso por evitar experimentos de alto valor agregado e por consumir pouco tempo para serem concluídas. Sendo que no mínimo, a simulação deve refletir as características principais do problema físico que ele representa Objetivo O objetivo deste trabalho é tratar a montagem e configuração de um cluster de computadores com Linux Ubuntu do tipo Beowulf conectados por meio de cabos de rede Ethernet através de um equipamento denominado switch. Logo após, realiza-se a modelagem matemática da planta didática para controle de nível e temperatura. As equações obtidas na modelagem matemática servirão para realizar a simulação no Matlab onde será gerado gráficos a fim de análise e comparação com o processo real e análise de desempenho do cluster.

15 Metodologia Para o desenvolvimento teórico deste trabalho foi realizada revisão bibliográfica abrangendo diversos artigos, monografias, tutoriais e literaturas sobre o assunto que possibilitaram a montagem e configuração do sistema de processamento paralelo, e também a modelagem matemática da planta para controle de nível e temperatura. Os temas como: cluster Beowulf, Linux Ubuntu 12.04, rede Ethernet, Matlab, modelagem de sistema de dinâmico de controle de nível e temperatura, entre outros, foram exaustivamente pesquisados e estudados para que tal trabalho final de curso fosse concluído cumprindo com cada etapa, em principal destaque a montagem do cluster Beowulf e modelagem e simulação da planta didática para controle de nível e temperatura Estrutura do trabalho No capítulo 1 apresenta-se o contexto introdutório sobre o trabalho; no capítulo 2 é explicado uma breve história do Linux e cluster Beowulf; e no capítulo 3 explicar-se a montagem e configuração do cluster Beowulf. No capítulo 4 faz-se a configuração do Matlab no Linux Ubuntu. No capítulo 5 é detalhado a planta didática com seus tanques a ser modelado matematicamente. No capítulo 6 realiza-se a modelagem matemática da planta para controle de nível e temperatura em conjunto com a simulação. No capítulo 7, faz-se a simulação de todo o processo para comparar a computação comum com computação em paralelo. O capítulo 8 apresenta considerações finais relativo ao trabalho. E por fim, o capítulo 9 apresenta as conclusões e sugestões de trabalhos futuros.

16 2 - BREVE HISTÓRIA DO LINUX e CLUSTER BEOWULF Linux O Linux é um sistema operacional criado a partir da iniciativa de Linus Torvalds (um estudante de Ciência da Computação) da Universidade de Helsinque na Finlândia. Ele protendia criar um sistema de código aberto e que pudesse ser distribuído gratuitamente a qualquer usuário de computador. O sistema partiu de um núcleo chamado Kernel, um pequeno sistema UNIX desenvolvido por Andrew Tannenbaum com o propósito de utilizá-lo no meio acadêmico. Hoje, é permitido que qualquer um utilize o sistema desenvolvido por Linus, porém ele não pode ser utilizado para fins comerciais. Lembrando que o Linux, criado por Linus em 1991, adota a GPL, uma licença que diz que todos os usuários podem redistribuir o sistema operacional e até modificá-lo, porém não comercializá-lo. Com esta licença qualquer usuário pode fazer cópias para instalar em outros computadores e não é crime (PITANGA, 2008). Observar-se na figura 2.1 a área de trabalho do Linux cuja plataforma é a recente Ubuntu LTS que será usada na montagem do cluster do tipo Beowulf. Figura 2.1 Sistema operacional Ubuntu LTS.

17 Computação em cluster Quando são utilizados dois ou mais computadores trabalhando em conjunto a fim de executar tarefas com distribuição de carga onde o tempo de resposta seja relevante, pode-se encontrar aí um cluster de computadores. A computação baseada em cluster ganhou espaço a partir dos anos 80 quando se houve a necessidade de melhores processamentos, redes de comunicação em baixa latência e uma computação paralela e distribuída. Com isso o cluster de computadores não é um assunto a ser explorado neste trabalho, pois deste sua criação pela NASA ele vem se difundido nos meios acadêmicos e em laboratórios que necessitam de computadores que realizem grandes cálculos. Com o passar dos anos a tecnologia cluster Beowulf que vem se aperfeiçoando, com o tempo, em diversos ramos de pesquisas (PITANGA, 2008) Vantagens em utilizar o cluster de computadores Grandes empresas ou indústrias precisam de um sistema confiável e de baixo custo que possam executar tarefas complexas o mais rápido possível e com alto desempenho. Em indústrias siderúrgicas, por exemplo, onde as atividades funcionam ininterruptamente necessita de um sistema que esteja sempre acessível e funcionando. Com isso, manter todas as operações confiáveis a apenas um computador seria muito arriscado, pois a qualquer momento poderá ocorrer um problema de hardware ou software causando a paralisação das atividades. O cluster de computadores pode ter seu desempenho aumentado com acréscimo fácil de um ou mais computadores ao agrupamento. O sistema contém uma maior tolerância a falhas internas e oferece maior disponibilidade, onde se um nó vier a falhar os demais continuam realizando as tarefas e o computador mestre se encarrega de redistribuir a carga do nó defeituoso para os demais mantendo assim a integridade do sistema. Em meio a varias vantagens em utilizar um cluster, destaca-se (PITANGA, 2008): Baixo custo só é necessária a utilização de computadores simples e comuns pode se obter um alto processamento;

18 17 Escalabilidade pode ser acrescido mais outros computadores ao sistema à medida que a carga de processamento cresce; Independência de fornecedores a utilização de software livre, como o Linux Ubuntu não gera nenhum custo de uso ou de compra, além de ser permitido efetuar copias do sistema operacional nas demais máquinas sem qualquer restrição; Alto desempenho possui a capacidade de processamento maior onde pode gerar uma resposta em menor espaço de tempo que os computadores convencionais; Tolerância a falhas caso um computador do cluster pare de funcionar, o sistema continuará funcionando e realizando cálculos entres os computadores que compõem o cluster com exceção do computador defeituoso. Assim, o sistema é mais confiável que um único supercomputador Cluster Beowulf Em 1992, surgiu o programa NASA HPCC (High Performance Computing and Communications) com o objetivo de alcançar a maior performance em processamento paralelo de computadores e aplicá-lo ao maior número de problemas computacionais possíveis existentes na NASA. Como exemplo, pode ser citado as simulações de fenômenos físicos que eram executados para analise e manipulação dos dados complexos, onde era obtido um grande volume de dados com as atividades intensivas. A partir daí veio a necessidade da criação do Projeto Beowulf Parallel Workstation que atendia tais exigências (PITANGA, 2008). Em 1994 houve a necessidade de um computador que fizesse cálculos na ordem de um gigaflop, ou seja, em torno de um bilhão de operações em ponto flutuante por segundo. Como na época não existia um equipamento com este desempenho a baixo custo, um grupo de pesquisadores da NASA interligaram 16 PCs, com Linux instalado e ligados por meio da rede Ethernet. Com isto obtiveram um desempenho de 70 megaflops, o que não era tão alto, mas

19 18 nem tão baixo para a época onde os processadores eram 486 da Intel. O valor total gasto para a construção do cluster Beowulf atingiu dez pontos percentuais do preço de uma única máquina que operasse com processamento semelhante na época. Assim, pode-se dizer que a principal característica da montagem de um cluster é ser coordenado por um sistema operacional livre que possui bibliotecas que permitam trocas de mensagens como o PVM (Parallel Virtual Machine) que permite a execução de programas paralelos em um ambiente heterogêneo e o MPI (Message Passing Interface) que permite a programação paralela através da troca de mensagens. Sendo necessário algumas pequenas modificações para facilitar as atividades paralelas e distribuídas (PITANGA, 2008). Esta facilidade de permitir a modificação dos códigos internos do Linux é fundamental para a montagem de um cluster do tipo Beowulf (independentemente da distribuição adotada). No caso desde trabalho será adotado a distribuição Ubuntu, um sistema operacional para computadores de mesa, notebooks, netbooks e servidores, sendo livre, rápido e fácil de usar (CANONICAL, 2010) Cluster homogêneo ou heterogêneo Num cluster se todos os computadores possuem uma mesma configuração de hardware podese dizer que é um cluster homogêneo, assim não há necessidade de balanceamento de carga sendo que todos possuem um mesmo tipo de processador e o mesmo tamanho de memória RAM. Caso venha ocorrer o adicionamento de mais um PC ao cluster que possua algum hardware diferente dos demais, o sistema torna-se heterogêneo. Para um sistema ser heterogêneo basta que apenas um escravo seja diferente do conjunto de computadores. Com isso é necessário uma analise mais profunda dos equipamentos para conseguir balancear a carga submetida a cada computador, pois em um cluster heterogêneo o modo de processamento de cada um pode ser diferente, assim como a velocidade de entrada e saída de mensagens em cada equipamento (PITANGA, 2008).

20 Descrição dos principais componentes de um cluster de computadores Rede local cada computador controla seu hardware de rede local auxiliando a estrutura com os fluxos de dados, tanto de transmissão como recebimento de mensagens no nó. Ferramentas de comunicação o cluster permite o desenvolvimento de ferramentas de programação que permite a comunicação entre os nós e a fácil visualização como se fosse um único computador virtual, mesmo em um ambiente heterogêneo. Nó ou node um nó pode ser formado por um simples computador, onde seus componentes podem ser basicamente uma placa-mãe, um processador, memória RAM, um Hard Disk e uma fonte de alimentação. Protocolos são meios de comunicação rápida e confiável entre os nós dos cluster, sendo o protocolo TCP/IP o mais usado. Sistema operacional o Linux tem sido o sistema operacional mais adequado por ser seguro, rápido e possuir código aberto permitindo alterações necessárias para a montagem do cluster Beowulf. Cluster middleware o agrupamento de computadores permite que cada nó trabalhe independentemente, mas apresenta conexões entre as máquinas criando uma alusão de uma única máquina trabalhando no cluster. Sistema de arquivo paralelo há várias bibliotecas que o Beowulf pode usufruir para obter uma melhor troca de mensagens e arquivos no agrupamento. Dentre as biblioteca se destaca a PVM e MPI.

21 3 - MONTAGEM E CONFIGURAÇÃO DO CLUSTER BEOWULF Para montagem do cluster com sistema operacional Ubuntu foi necessário que todas as máquinas estejam com o sistema já instalado. Neste trabalho foi usado o Ubuntu LTS para desktop. É recomendado que o leitor fique atento a versão do Ubuntu, pois a programação utilizada para montar o cluster Beowulf deste trabalho seja diferente de outras versões ou outras plataformas do Linux. A seguir alguns conceitos básicos de acordo com a arquitetura e desempenho de cada equipamento. A partir deste ponto inicia-se a construção simples de um cluster Beowulf como visto na figura 3.1, e que venha a atender a necessidade do experimento que seria a simulação da planta didática para controle de nível e temperatura existente no laboratório de tecnologias industriais da UFOP. Figura 3.1 Diagrama esquemática do cluster Beowulf Fonte: PITANGA, 2008.

22 Considerações do espaço físico e escolha dos hardwares A construção do cluster foi realizada no laboratório de Sistema Térmicos da UFOP. O ambiente é espaçoso e arejado, elevando a temperatura durante o dia, mas mantendo uma temperatura confortável à noite. O espaço fornece um ambiente de segurança e a temperatura não atrapalha o rendimento do processo. Na figura 3.2, pode-se ver os equipamentos que foram utilizados na montagem do Cluster Beowulf no laboratório de Sistemas Térmicos da UFOP. Figura 3.2 Cluster Beowulf montando no laboratório. O Cluster Beowulf é composto por 4 gabinetes, sendo : Gabinete labsister01 mestre: Processor Intel Core 2 Duo de 64 bits 2,66 GHz e 4MB de Memória Cache L2; Memória RAM de 2,0 GiB; HD de 80 GiB. Gabinete labsister02 e labsister03 escravos: Processador AMD Athlon 64 bits Dual Core e 4MB de Memória Cache L2; Memória RAM de 1010,8 MiB; HD de 220 GiB. Gabinete labsister04 escravo:

23 22 Processador Intel Core 2 Quad 2.40GHz e com 8MB de Memória Cache L2; Memória RAM de 2,0 GiB; HD de 500 GiB. 1 Monitor, 1 teclado e 1 mouse; 4 cabos de rede ethernet 1000Base-T; 3 estabilizadores; 1 switch D-Link com 16 portas. Com isso, o cluster montado se constitui de 10 núcleos para realizar processamentos em paralelo Rede adotada para cluster Beowulf O modo como deve ocorrer a comunicação entre os nós é de vital importância. É necessário levar em conta a disposição dos equipamentos na bancada e a topologia adotada. As máquinas foram colocas uma do lado da outra e nomeadas de acordo com seu nome visto na rede pelas outras máquinas. O equipamento que permite a comunicação será o switch como o visto na figura 3.2 e o mesmo ficará localizado próximo as máquinas. O computador mestre da rede ficará ao lado dos computadores escravos e conterá um monitor para visualização dos processos. Figura 3.2 Equipamento switch usado no cluster Beowulf.

24 23 A rede adotada para este experimento será a rede Ethernet e a topologia empregada será a estrela por ser a mais empregada no meio acadêmico e em residências. A escolha da rede Ethernet se deve a velocidade de comunicação que ela permite entre os equipamentos, a estabilidade de comunicação e o baixo custo para aquisição. A Ethernet é uma das tecnologias mais utilizada para LANs e vem evoluindo com o tempo apresentando maior velocidade de transmissão de dados. A tecnologia fast-ethernet comum nos dias de hoje apresenta uma alta velocidade na escola de 100Mbp/s sobre cabos de par trançado ou fibra óptica (BOLZANI, 2004). A velocidade de uma rede é medida pelos cálculos de latência e largura de banda. Onde largura de banda é o total de número de bits que pode fluir por segundo pelos hardwares de comunicação entre os computadores, já latência é o tempo que um PC produz uma mensagem e a envia para outro. Com isto pode-se perceber que quanto menos dados fluírem pela rede mais rápida será a resposta a um processo. O desempenho ideal em um cluster é uma rede com baixa latência e uma grande largura de banda. Para que isso ocorra é necessário uma analise do agrupamento para que se possa configurar uma rede adequada com protocolos de comunicação eficientes e que evitem a sobrecarga nos equipamentos (PITANGA, 2008) Configurando o cluster A configuração do cluster exige conhecimento técnico sobre Linux, pois em diversas partes será necessária a manipulação de arquivos como programação via terminal. A partir deste ponto será traçada a configuração passo a passo que foram executados em laboratório revelando um sistema específico para trabalhar em conjunto com o software Matlab Configuração dos IPs (Internet Protocol) As máquinas foram denominadas de acordo com os nomes que receberiam na rede como: labsister01 (mestre), labsister02 (escravo) e labsister03 (escravo) e labsister04 (escravo). Com isto, foi realizado a montagem e configuração do cluster Beowulf (ver anexo 1). Após o termino desta etapa, partiu-se para instalação do software Matlab no Ubuntu e configuração do toolbox parallel computing na máquina labsister01 conhecida como mestre.

25 4 - CONFIGURAÇÃO DO TOOLBOX DO MATLAB Considerando-se que o Matlab esteja instalado no ambiente Linux Ubuntu, parte-se para a configuração do toolbox Parallel Computing. Esse toolbox tem a função de fazer o programa Matlab executar cálculos juntamente com os computadores que compõem o cluster. Com isso é possível resolver problemas complexos utilizando o software Matlab que realizará processamento em paralelo aos demais computadores que compõem o cluster como visto na figura 4.1. Figura 4.1 Operação simplificado do toolbox. Fonte: MATHWORKS, Configurar o toolbox para operar junto ao cluster Beowulf Como o cluster Beowulf montado no laboratório é composto por três escravos e um mestre, a configuração do toolbox não necessitou de um job scheduler ou Matlab Distributed Computing Server sugerido pela Mathworks para cluster separado ligados remotamente ou por internet ou para cluster que contenham acima de 12 escravos. Configurando o toolbox Parallel Computing do Matlab: 1. Na lista de menu do software clique na aba chamada Parallel e depois Manage Cluster Profiles.

26 25 2. Na janela que surgir, clique em new e em local. 3. Do lado direito inferior da janela clique em Edit. 4. Em Description acrescente uma descrição do cluster. 5. Em Number of workers to start on your local machine acrescente 10 relativo ao total de processadores que o cluster possui. 6. Em works acrescente [3 3], pois tem-se no cluster 3 escravos. 7. Por último em Return command window output escolha true. A configuração do cluster deve ficar semelhante ao ver-se na figura 4.2 logo a seguir: Figura 4.2 configuração do toobox parallel computing. Depois clique em validar, para o Matlab confirmar a configuração do processamento paralelo e verificar se há conversação com os escravos.

27 Testando o cluster Beowulf Para testar a se a configuração está funcionando adequadamente, será executado um código simples onde será realizado cálculos de iterações. Este processamento mandará mensagens para as máquinas escravas a fim de verificar se ferramentas da computação paralelas estão funcionando e conectando ao mestre adequadamente. Ou seja, o Matlab realizará suas operações em paralelo caso a função matlabpool esteja presente, caso contrário uma mensagem de erro Função matlabpool indefinida deverá aparecer (ver anexo 2). 4.6 Testando a velocidade da computação em série e em paralelo Após testar as ferramentas da computação paralela estão funcionando, testou-se a velocidade da computação do cluster, onde foi feito uma comparação com processamento em série (Matlab operando em modo normal) e o processamento em paralelo. A comparação realiza-se por meio de um código simples onde serão executadas várias iterações de cálculos pelo tempo, onde o número de iterações ficou abaixo de dez mil. Tal código se encontra no anexo 3 no final deste trabalho. Logo a seguir na figura 4.3, pode-se observar a máquina mestre labsister01 computando com as 3 máquinas escravas, e também os números de iterações obtidos no cálculos realizados em paralelo pelo tempo. Observar-se que foi realizado um total de 8432 iterações, a velocidade máxima atingida foi de 1,23 processadores e o tempo para a computação realizada em série foi de 1,065 segundos, sendo que o processamento em paralelo levou 0,867 segundos.. Figura 4.3 Números de iterações realizadas em série e em paralelo.

28 27 Como resultado destas iterações, foi gerado um gráfico indicando o tempo de processamento no Matlab comum e Matlab com computação em paralelo, e juntamente também foi gerado o gráfico do número de processadores atingido na computação em paralelo visto na figura 4.4. Figura 4.4 Processamento em série x paralelo e velocidade máxima atingida em paralelo. Pelo gráfico, pode-se observar que apesar do número de iterações realizadas serem muitos não exigiram tanto do cluster Beowulf. Para ser mais específico, as iterações não atingiram nem 2 processadores ficando abaixo de 1.4 processadores atingidos, mesmo os números de iterações sendo um pouco menor que 10000, como visto no gráfico a direita. Já na figura a esquerda pode ver que a computação em paralelo é vantajosa para muitas iterações, com um número pequeno de iterações o tempo gasto acaba sendo maior que se fossem realizados em um computador normal.

29 5 CONSIDERAÇÕES SOBRE A PLANTA DIDÁTICA Na figura 5.1, pode-se ver a foto da planta didática no laboratório de Tecnologias Industriais (TECIND) de Engenharia de Controle e Automação da UFOP. Também denominada de planta didática para controle de nível e temperatura, ela é utilizada para estudos na área de controle de processos, programação de CLP (Computador Lógico Programável) e montagem de sistemas supervisórios. A planta didática funciona do seguinte modo: A água entra no tanque 1 até atingir a altura de 37 cm. Chegando a altura desejada a válvula 1 é acionada despejando a água para o tanque 2 onde ela é aquecida até a temperatura de 25ºC. Quando a temperatura desejada é atingida, todo o volume de água é transferido para o tanque 3 pela bomba 1 até a altura de 32,7 cm. Quando esta altura é atingida, a válvula 2 é acionada transferindo todo o volume de água para o tanque 5. Juntamente com a válvula 2, a válvula 3 é aberta despejando o corante no tanque 5. No tanque 5, a água e o corante são misturados por 30 segundos e após isto, o processo termina acionando a bomba 2 que transferirá a mistura para o tanque 1, reiniciando o processo. Como pode ser observado, as variáveis a serem controladas nos tanques são o nível e a temperatura em função do tempo. Tal planta didática para controle de nível e temperatura servirá como base para modelagem matemática e simulação no software Matlab.

30 29 Figura Foto da planta didática a ser modelada Material utilizado na composição da planta didática 5 tanques de vidro; 2 válvulas solenoides; 1 sensores de temperatura; 2 bombas hidráulicas DC; 1 misturador; 1 aquecedor tipo ebulidor mergulhão; 3 sensores de nível; 1 computador; 1 CLP GE FanucVersamax; 1 supervisório licenciado Elipse E3. Na figura 5.2, pode-se ver uma representação esquemática da planta didática para controle de nível e temperatura que modelado matematicamente mais a diante.

31 30 Figura Representação esquemática da planta Descrição detalhada dos tanques Considerando que não exista perda de carga pelas tubulações ou bombas durante todo o processo, o volume de água fixo que passará por todos os tanques será V=21659,43 cm 3. Tanque 1: Altura = 59,5 cm Largura = 24,7 cm Comprimento = 29,7 cm Altura do sensor 1 = 48 cm Altura do sensor 2 = 11 cm Tempo de vazão de saída pela válvula 1 = 5 minutos e 18 segundos

32 31 Tempo de vazão de entrada pela bomba 2 = 2 minutos Tanque 2: Altura = 59,5 cm Largura = 24,7 cm Comprimento = 29,7 cm Tempo de vazão de entrada pela válvula 1 = 5 minutos e 18 segundos Tempo de vazão de saída pela bomba 1 = 1 minuto e 56 segundos Tanque 3: Comprimento = 38,2 cm Largura = 19,7 cm Altura = 39,5 cm Altura do sensor 4 = 32,7 cm Tempo de vazão saída pela válvula 2 = 5 minutos e 20 segundos Tanque 4: Comprimento = 38,2 cm Largura = 19,7 cm Altura = 39,5 cm Tempo de vazão pela válvula 3 = 15 segundos Tanque 5: Comprimento = 40 cm Largura = 40 cm Altura = 20 cm Tempo de vazão de saída pela bomba 2 = 2 minutos Tempo de vazão de entrada pela válvula 2 e válvula 3 = 5 minutos e 20 segundos, e 2 minutos, respectivamente.

33 6 - MODELAGEM MATEMÁTICA DO SISTEMA Considerando o processo como multivariável não linear, será realizado a modelagem matemática da planta didática já descrita. A multivariabilidade do sistema é devido ao controle ser executado em todos os tanques, que estão interligados, de acordo com o fluxo da água e a não linearidade deve-se ao fato da raiz quadrada do nível ser proporcional à vazão instantânea (GOSMANN, 2002). O modelo matemático é definido por diversas variáveis conhecidas que formam equações que representam a dinâmica do processo. Normalmente, o menor incremento de variáveis leva a descrições mais gerais e precisas (OGATA, 2010). Um sistema pode ser interpretado de acordo com suas leis e princípios físicos, assim, cada processo apresenta, além de sua particularidade, equações diferenciais que definem formulações matemáticas de acordo com o problema. Em uma modelagem nem sempre é possível chegar à perfeição quanto as equações, porém é necessário obter uma modelagem matemática que seja a mais precisa possível representando a realidade do processo. Em um processo pode acontecer eventos externos, distúrbios, que alteram os valores e os afastam dos resultados desejados. Por este motivo, é necessário encontrar uma variável que possa ser manipulada trazendo este valor para o esperado ou que fique dentro de uma faixa considerável. A criação de um modelo pode partir de dois meios: métodos experimentais (partindo de dados obtidos pelo sistema) ou por métodos teóricos (conceitos estudados e provados, e também leis físicas que regem o sistema). Um sistema de controle apresenta certo número de componentes e estes são representados por diagrama de blocos com fluxo de sinais que produzem sinal de saída baseado no sinal de entrada (OGATA, 2010). A figura 6.1, logo a seguir, mostra os blocos simplificados exemplificando o que ocorrerá na planta didática.

34 33 Figura blocos simplificados exemplificando o que ocorrerá na planta didática. Fonte: IESPES, Modelagem matemática da vazão de água nos tanques Considerando o sistema dos tanques como isolados e simples, pode-se determinar a modelagem matemática adequada onde a variável a ser controlada é a altura do nível da água H pelo tempo t. Primeiramente, para a modelagem algumas convenções serão adotadas de forma a simplificar as equações pertinentes que serão elaboradas. Admite-se que o líquido, no caso a água é: Fluido incompreensível (isto é, ); Não há perda de carga nos dutos e nem troca de calor entre eles; Fluxo será turbulento; A relação entre a taxa de fluxo dependente da gravidade e o nível do líquido é não linear. Observando a planta, pode-se dizer que as vazões de entrada e a vazão de saída do tanque 5 são constantes por serem executadas por uma bomba hidráulica. A vazão é capaz encher o tanque 1 com 21659,43 cm 3 de água até o sensor 1, como visto na figura 6.2. A bomba 2, que é responsável por encher o tanque 3, trabalha em seu modo padrão de funcionamento assim como a bomba 1. As demais válvulas dos processos trabalham totalmente abertas a um valor de 100% permitindo que haja vazão de entrada e saída máxima nos tanques, porém estas ficam vazões estão sujeitas a ação da gravidade. O volume de água

35 34 V é igual no tanque 1, 2 e 3. O volume mudará apenas no tanque 5 quando ocorre a adição de corante que está no tanque 4. Figura 6.2 Representação esquemática do tanque 1. A variação do volume V de água armazenada em cada tanque pelo tempo é igual à variação do nível pela área da seção transversal do tanque pelo tempo: (6.1) Ou, o sistema pode ser definido também como a diferença entre a somatória da vazão de entrada e a somatória da vazão de saída visto a seguir (GOSMANN, 2002): (6.2) é a somatória de vazão de entrada e a somatória da vazão de saída de cada tanque, respectivamente. Outra relação importante é a equação de Bernoulli (MUNSON, 2004) que representa a vazão instantânea de saída dos tanques 1, 3 e 4: (6.3)

36 35 Onde Q s é a vazão de saída em regime permanente, g é a aceleração da gravidade, Av é a área do orifício de saída da válvula e H a altura do nível. A equação (6.3) é aplicada para escoamento de fluidos em regime turbulento. O escoamento foi determinado turbulento devido seu número de Reynolds ser maior que 4000, algo normal para a maioria dos escoamentos dos fluidos ao longo de tubo. Logo a seguir na figura 6.3, pode-se ver um gráfico mostrando o número de Reynolds pela velocidade (MUNSON, 2004). Figura 6.3 Número de Reynolds x Velocidade do fluido. Fonte: FOX; MCDONALD, A relação entre a taxa de fluxo de saída de água Q s e o seu nível é da forma quadrática, como visto na figura 6.4. Figura 6.4 Curva de nível pela vazão de entrada em regime turbulento. Fonte: KAMEI, 2008.

37 36 Onde e considerando que a resistência R é a inclinação da reta tangente á curva do gráfico observado na figura 6.4, e que o valor do fluxo turbulento não é constante devido à inclinação do gráfico. Assim sendo, o ponto escolhido para passar a reta tangente exibirá um valor diferente para a resistência. É importante destacar que quanto maior a vazão de saída no tanque, maior será a inclinação da reta e consequentemente maior o valor da resistência. R = ou, para a situação atual, R(h) = = (6.4) Usando como analogia a um sistema elétrico pode-se dizer que existe os parâmetros da resistência R e da capacitância C. De certo modo, pode definir C como a variação na quantidade de líquido armazenado necessário para causar uma mudança no potencial por unidade de medida, ou, C = Portanto, (6.5) Assim, substituindo a equação (6.3) na equação (6.2), obtêm-se: (6.6) Ou, usando a igualdade (6.5), (6.7)

38 37 onde, x(t) = h(t), u(t) = Q e (t), e C = A Aplicando a análise para todos os tanques de vazão de entrada e saída, obtém-se: (6.8) (6.9) (6.10) (6.11) (6.12) Os parâmetros foram determinados pela vazão das bombas 2 e 1, respectivamente. Já as demais vazões são determinadas pela vazão das válvulas 1, 2 e 3, respectivamente. O corante no tanque 4 foi adicionado manualmente afim de ser misturado a água no tanque 5. O volume de corante é igual ao está no tanque 4, como visto na figura 5.4, o que ajuda na formulação dos cálculos. As equações que determinam as vazões que atuam em regime permanente são as seguintes: (6.13) (6.14) (6.15) As demais vazões são constantes por serem provocadas pelas bombas 1 e 2, respectivamente: (6.16) s (6.17)

39 38 Substituindo as equações (6.13) a (6.17) as respectivas vazões das expressões (6.8) a (6.12), obtêm-se as seguintes equações: (6.18) (6.19) (6.20) (6.21) (6.22) Observe que na expressão (6.34) a vazão é igual à expressão (6.33), ou seja, as vazões de saída dos tanques 3 e 4 são responsável por encher o tanque 5. Assim as expressões que representas cada tanque são: Tanque 1: (6.23) Tanque 2: (6.24) Tanque 3: (6.25) Tanque 4: (6.26) Tanque 5: (6.27)

40 39 As equações (6.18) a (6.22) representam o sistema de entrada e saída de água nos tanques da planta didática, além disso, são equações diferenciais ordinárias não lineares e de primeira ordem. A não linearidade se deve ao termo H 1/2 (BISHOP, 2007). Para proceder com a perfeita modelagem e simulação do sistema, será realizada na seção seguinte a linearização das equações Processo de linearização do sistema não linear Quando o sistema está em equilíbrio, pode definir. Com isso, define-se e como o equilíbrio de nível da água e a taxa de vazão de entrada, respectivamente. A relação entre e é dada por: (6.28) A equação (6.7) pode ser representada como a forma funcional: (6.29) Onde, (6.30) Para linearizar os modelos descritos na seção anterior e por em forma de estado padrão, considera-se ponto de operação para o nível e a vazão, observados logo a seguir. (6.31) (6.32) Onde (nível) e (vazão) são pequenas variações em torno das referências e. Fazendo a expansão por sério de Taylor sobre as condições de equilíbrio, tem-se:

41 40 h* Q * (6.33) Onde, h* h* (6.34) Q * Q * (6.35) Onde o termo e na equação (6.33) avaliados como referência foram cancelados e o termo identificado como zero por definição da condição de equilíbrio. Então descartando o termo de ordem superior na expansão da série de Taylor, tem-se: (6.36) Considerando que existe uma resistência R na vazão de saída da água no tanque como turbulenta, a equação (6.36) pode ficar assim: (6.37) onde, x(t) = δh(t), u(t) = δq e, e Esta última equação do sistema é uma representação linear do sistema original não linear baseado na pequena variação do nível da água δh em estado estacionário (BISHOP, 1997) pela variação da vazão de entrada no tanque. Essas expressões traz um modelo de linearização do sistema permitindo a modelagem apropriada para simulação do processo, confirmando que a linearização é um passo importante no processo de modelagem (BERNARDES, 2006).

42 Simulação por meio do software Matlab Nesta seção, serão considerados ambos os resultados analíticos e numéricos da equação de movimento que descreve os fluxos de vazões nos tanques. Para a analise analítica será considerado somente o modelo linearizado e para a analise das equações não lineares usar-seá método de integração numérica. Para visualizar os efeitos da linearização e também ver como o sistema de vazão de entrada e saída se comporta, será realizada a comparação dos sistemas não lineares e linearizado através do software Matlab. Primeiramente, considera-se os dados físicos retirados da planta didática, observado na tabela 6.1 logo a seguir: Tabela 6.1 Constantes físicas relacionadas às vazões nos tanques. Vazão de Vazão de Tempo Área do entrada saída Níveis Áreas de vazão orifício da (cm 3 /s) (cm 3 /s) (cm) (cm 2 ) de saída valvula (s) (cm 2 ) Tanque 1 180,495 68, , ,7854 Tanque 2 68, , , Tanque 3 186,72 67,685 32,1 752, ,7854 Tanque 4-67,685 4,7 752,2 30 0,7854 Tanque 5 Q 35 + Q , Considerando h(0) = 1 cm, a aceleração da gravidade da cidade de Ouro Preto como g = 980 cm/s 2 e utilizando os dados da tabela acima, elaboram-se as equações não lineares (6.38) a (6.42) dos tanques: Tanque 1: (6.38) Tanque 2: (6.39)

43 42 Tanque 3: (6.40) Tanque 4: (6.41) Tanque 5: (6.42) Para executar a simulação do sistema de medição de nível pelo tempo, foi elaborado um código no Matlab com base na equação linear (6.36) e nas equações não lineares (6.38) a (6.42), onde será mostrado os gráficos representando a entrada e a saída de água nos tanque pelo tempo, tal código se encontra no anexo 4. Com isto, executa-se a simulação de nível pelo tempo como pode ser visto logo a seguir: Figura 6.5 Nível da água no tanque 1 pelo tempo. Na figura 6.5, pode-se observar um crescimento constante partindo de zero até o sensor 1, pois a vazão Q 1 é provocada pela bomba 2 no sistema.

44 43 Figura 6.6 Saída de água no tanque 1 e entrada no tanque 2. A figura 6.6, mostra o nível pelo tempo onde a água sai do tanque 1 e entra no tanque 2. A linha vermelha representa as equações não lineares e as linhas azuis representam as equações linearizadas. Figura 6.7 Saída de água no tanque 2 e entrada no tanque 3. A figura 6.7 representa o nível pelo tempo no tanque 2 e tanque 3, onde a água sai (linha vermelha) e entra no tanque 3 (linha azul) de forma constante devido a ação da bomba 1 do sistema.

45 44 Figura 6.8 Saída de água no tanque 3 e entrada no tanque 5. A figura 6.8 a saída de água do tanque 3 e a entrada de água no tanque 5 pelo tempo. Da mesma forma que a figura 6.6, as linhas vermelhas representam as equações não lineares e as linhas azuis as equações linearizadas. Figura 6.9 Nível tanque 4 x nível tanque 5 pelo tempo.

46 45 A figura 6.9 representa a saída de água do tanque 4 para o tanque 5 pelo tempo, onde a linhas vermelhas representam as equações não lineares e as linhas azuis as equações linearizadas. Figura 6.10 Misturador e nível da água no tanque pelo tempo. A figura 6.10 representa a ação do misturador durante os 30 segundos (linha vermelha), onde ocorre a mistura do corante com a água no tanque 5, após isto, o misturador é desligado e a bomba 2 é acionada esvaziando o tanque (linha azul). 6.2 Fundamentos do controle de temperatura A temperatura é uma das principais variáveis a ser medida e controlada, pois seu monitoramento garante a segurança dos seres humanos que estão a sua volta e a integridade dos equipamentos (FINKEL, 2006). Para essa modelagem será considerado que a água contido nos tanques apresentam o mínimo de impurezas possíveis, com isso, convenciona-se que um litro de água será aproximadamente 1 quilograma da mesma substância.

47 Determinação do coeficiente convectivo de transferência de calor no tanque 2 Na determinação dos coeficientes de transferência de calor por convecção natural será considerado as propriedades dinâmicas dos fluidos, no caso deste trabalho, o ar que circula na lateral do tanque, no fundo e na superfície como visto na figura Figura 6.11 perca de calor no tanque 2 por convecção natural. Onde L 1 representa a área frontal do tanque, L 2 representa a área lateral do tanque e F é o resultado da divisão da área A 2 pelo perímetro do fundo do tanque. Assim tem-se: L 1 = 913,90 cm 2 (6.43) L 2 = 876,90 cm 2 (6.44) F= 6,0474 cm (6.45) Para caracterizar as propriedades térmicas do ar e discriminar o escoamento usam-se os números adimensionais de Prandtl (Pr) e Grashof para terminar em que faixa de operação pode ser calculado o número de Nusselt médio para convecção natural, pois com o resultado da multiplicação do número adimensional de Prandtl pelo Grashof é estabelecida uma fórmula que ajudará a encontrar o número de Nusselt. O número de Grashof Gr L pode ser determinado pelo formula:

48 47 (6.46) Onde g é a aceleração da gravidade, β é o coeficiente de expansão volumétrica (1/Tar), T é a temperatura final, Tar é a temperatura ambiente, L C é o comprimento característico da geometria e v é a viscosidade cinemática do ar. É importante destacar que para a utilização nas fórmulas de algumas constantes tabeladas de acordo com a temperatura, utiliza-se o temperatura média obtida por: (6.47) O número Prandtl é mais fácil de ser determinado por ser tabelado de acordo com os fluidos, para o ar adota-se Pr = 0,707. De acordo com as correlações, a fórmula para encontra o número adimensional de Nusself médio Nu é: (6.48) Onde kar é a condutividade térmica do ar que por tabela de acordo com a temperatura média é 2,5325 x 10-4 w/cm. C. Assim, para determinar os coeficientes de transferência de calor de forma separada, as constantes serão tratadas como que aparece na lateral, que aparece no fundo e que aparece na superfície da água Determinação do coeficiente convectivo Para o cálculo do coeficiente de transferência de calor que surge nos 4 lados verticais do tanque 2 será utilizado com fórmula complexa, porém precisa.

49 48 { } (6.49) Onde é o número de Rayleigh que é o produto dos números de Grashof e de Prandtl: (6.50) Resolvendo a formula de Nusselt, encontra-se Nu = 34,822. Com este valor e considerando, encontra-se o valor de através da equação (6.48). (6.51) Determinação do coeficiente convectivo Para o cálculo do coeficiente de transferência de calor que aparece no fundo horizontal do tanque, será utilizada a fórmula de Nusselt: (6.52) Resolvendo a equação (6.49), encontra-se Nu = 18,206. Este valor é utilizado para resolver a equação (6.48) e encontrar. (6.53) Onde deve ser levado em consideração que definido na igualdade (6.45) logo acima Determinação do coeficiente convectivo Para encontrar o o procedimento é parecido com o anterior, levando em conta que a fórmula para encontrar o Nusselt médio mudará, pois agora está sendo considerado a superfície da água. Com isso:

50 49 (6.54) Resolvendo a equação acima, encontra-se Nu = 36,412. Com este resultado e utilizando a equação (6.48), acha-se: (6.55) Modelagem matemática do sistema térmico do tanque 2 Na modelagem matemática do sistema térmico no tanque 2, visto na figura 6.12, será apresentada uma solução exata, mesmo considerado uma distinção entre o problema real do mundo real e sua representação idealizada. A solução se deve aos modelos matemáticos e o grau de aplicabilidade para solucionar o problema real dependendo da precisão do modelo (ÇENCEL, 2009). Figura 6.12 Representação esquemática do tanque 2. O instrumento do tipo ebulidor mergulhão de alumínio visto na figura 6.13, aquecerá a água até a temperatura de 25ºC em todo o líquido, isto é devido ao misturador agitar a água

51 50 provocando um aquecendo do fluido por igual. Quanto a temperatura desejada T for atingida a bomba 1 será acionada e removerá todo volume de água para o tanque 3. Figura 6.13 Ebulidor mergulhão de alumínio no tanque 2. Quanto às condições operacionais do aquecedor, trabalha-se com a voltagem de 127 volts e a corrente medida por alicate amperímetro de 3A. Com isto pode encontrar a potência fornecida pelo ebulidor para aquecer a água: (6.56) Onde representa a potência do ebulidor por unidade de tempo. Para uma simples modelagem considera-se: Desprezado a capacitância térmica dos instrumentos envolvidos; O fluxo de calor na água no tanque será uniforme; A capacitância térmica das partes de metal do ebulidor seja desprezível; A transferência de calor por radiação é desprezível.

52 51 A equação geral matemática de balanço de energia que define o sistema pode, neste caso, ser escrita como: (6.57) Onde representa o coeficiente de transferência de calor, A representa a área da região que haverá variação de calor líquido, representa a taxa de mudança de temperatura do sistema, representa a somatória de variação de calor líquido transferido e representa a somatória da taxa de variação de calor gerado no tanque. Rearranjando a equação (6.57): (6.58) Na seção anterior onde foram determinados os coeficientes convectivos, percebe-se que os valores encontrados são muito pequenos e o termo também, como posso ser visto a seguir: (6.59) Com isso a equação (6.59) será ser desprezada por possuir um valor muito pequeno perto do termo : (6.60) O que não causará uma alteração considerável e pode ser desprezado no momento que a simulação for executada, pois pouco interferirá no valor final e na geração do gráfico. Assim, para executar a simulação de aquecimento da água no tanque 2, tem-se uma nova equação: (6.61)

53 52 Substituindo por, tem-se: (6.62) Assim: (6.63) Onde t é o tempo final quando a temperatura da água atingir 25 C e zero. Assim, na equação (6.63) o termo representa: e o tempo inicial que é (6.62) Onde é a temperatura final da água e é a temperatura ambiente. Com estas considerações, chega-se a equação detalhada que descreve o sistema térmico do tanque 2: (6.63) Onde o termo representa as características do tanque de vidro como densidade, calor específico à pressão constante e volume do vidro ( ). Já o termo representa as características da água como densidade, calor específico à pressão constante e volume de água. Outra constante importante que aparece na equação (6.63) é a espessura do vidro do tanque e que possui o valor de 0,5 cm, esta constante ajudará a encontrar o volume total do vidro. Esta equação apresenta somente constantes já conhecidas e a solução que deseja-se obter é o resultado da integração da temperatura pelo tempo, onde o temperatura inicial é conhecida (Tar = 21ºC) e o final também (T = 25ºC).

54 Simulação do sistema térmico no tanque 2 no Matlab Tomando como base a equação (6.63), foi elaborado um código no software Matlab (ver anexo 4) a fim de executar a simulação do processo de aquecimento da água e como resposta obter o tempo necessário para elevar a temperatura da água no tanque 2 de 21 C à 25 C. O gráfico logo a seguir representa o resultado da simulação onde pode-se observar que o crescimento da temperatura pelo tempo é constante devido a equação (6.63) ser linear. Figura 6.14 Aquecimento da água no tanque 2 pelo tempo. A figura 6.14 mostra que para aquecer a água de 21 C até 25 C o tempo gasto seria menor que 17 minutos. Em experimento realizado em laboratório, o processo durou um pouco mais que 16 minutos. Com isto, pode se concluir que a diferença de tempo é pequena e que a modelagem do processo de aquecimento da água ficou bem próxima do esperado.

55 7 - SIMULAÇÃO COM MATLAB EM COMPUTAÇÃO PARALELA Aproveitando a montagem do cluster Beowulf realizada neste trabalho e que toolbox Parallel Computing está funcionando adequadamente, realiza-se todas as simulações de nível e temperatura novamente e faz-se a comparação entre as simulações com em Matlab normal e depois com o toolbox de computação paralela ativo. Na figura 7.1 logo a seguir, pode-se ver o tempo gasto na computação em série onde foi gasto 8,89 segundos aproximadamente e o tempo gasto com computação em paralelo 5,11 segundos aproximadamente. Assim, com o cluster o processo de simulação chegou a gastar apenas 57,5% do tempo total de processamento da computação em série. Figura 7.1 comparação de processamento em série e paralelo. Com isto, segundo a figura 4.4, a computação paralela realizada pela simulação do sistema se torna vantajosa em relação a computação em série, pois leva menos tempo para concluir o processo.