Representação da Propagação de Erros de. Medidas através de Proposições Condicionais. Difusas

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1 Unversdade Federal de Itajubá Representação da Propagação de Erros de Meddas através de Proposções Condconas Dfusas Álvaro Nunes de Magalhães Orentador: Prof. Dr. Germano Lambert Torres Co-orentador: Prof. Dr. Luz Eduardo Borges da Slva Itajubá-MG Outubro de 9

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE ENERGIA Álvaro Nunes de Magalhães Representação da Propagação de Erros de Meddas através de Proposções Condconas Dfusas Dssertação submetda ao Programa de Pós- Graduação em Engenhara da Energa como parte dos requstos obtenção do Título de Mestre em Cêncas em Engenhara de Energa. Área de Concentração: Planejamento e Gestão de Sstemas Energétcos Orentador: Germano Lambert-Torres Co-orentador: Luz Eduardo Borges da Slva Outubro de 9 Itajubá - MG

3 Ação de Graças Bendto seja Deus, que me faz compreender que não há estênca, a não ser em seu seo. Bendto seja o meu Crador, que com amor sem medda, me revestu da sua Graça, me deu mutos dons e me envou à sua obra nova. Dou graças, por nada ter faltado em mnha vda, seja o almento, o trabalho, a saúde... Peço perdão pelas vezes em que eu, mesmo sendo assstdo em tudo, falhe ao realzar a mssão, duvde do teu poder, e até mesmo me desmotve em cumprr com mnhas obrgações contgo. Contudo, me permtste realzar este curso de Mestrado. Agora, ao realzar a colheta dos frutos de um deste trabalho, que eu saba partlhar com quem se dvdu de coração comgo, todos esses meses de trabalho, me apoando, ncentvando a contnuar. A Jesus, meu Mestre, entrego os prmeros frutos deste trabalho. Para sempre louvare ao Senhor pelo meu maor tesouro: mnha famíla. O quarto mandamento me orenta a honrar, com palavras e ações de respeto, meus pas. A eles devo o mlagre da mnha vda, o amor e o cudado que me dedcaram. Aos meus pas Bernabel e Solange, sou grato pela educação que receb ao longo da vda e por estarem comgo em todos os momentos, prestando apoo moral e materal que eu me mantvesse focado nos estudos. Aos meus rmãos Juleta e Bruno Vnícus, obrgado por toda ajuda que deram. Aos meus avós todo o meu amor pela mportante attude que tveram com a mnha famíla, nos trazendo sua casa. Que sejam todos guardados pelo poderoso Pa, no coração do Nosso Senhor Jesus Crsto. Seja louvado também o Senhor, pelas pessoas que acompanharam meus trabalhos, e em mnha vda a realzaram boas obras: Tenham abundânca em suas vdas os senhores professores da Unversdade Federal de Itajubá, Germano Lambet-Torres e Lus Eduardo Borges, meus orentadores, cujas obras nspraram este trabalho, que possam cada vez mas proporconar a tantos outros nteressados em ngressar na carrera acadêmca suas ecelentes orentações. Sejam abençoados os Senhores Professores da Unversdade Federal de Rondôna Júlo Mltão, pelo seu apoo e ncentvo a ngressar neste curso, e Marnaldo Felpe pelas valorosas opnões. Grato sou, pelo carnho e amzade que as Professoras Mara das Graças e Dlcéla Heckmann têm por mm e por mnha famíla, e pela generosdade com que compartlham seus conhecmentos e eperêncas. Com elas, aprend que o Lmte é o Céu. Retrbu, Senhor Deus, segundo a 3

4 tua justça e tua generosdade, em bênçãos coposas, toda a dsponbldade e gratudade em servr que a Professora Sílva Rssno teve comgo e com os colegas de curso. A ela sou grato por todas as vezes que agu como mnha procuradora, realzando mnhas matrculas na UNIFEI, pelo empenho em aglzar a vagem de defesa e, prncpalmente, pela amzade demonstrada ao eprmr palavras de ncentvo e motvação todos os das desse período de estudo. À Elane, e ao Kko, obrgado por todas as conversas, os trabalhos e os rsos. Sua casa seja repleta de harmona. Parabéns pela vtóra, mnha amga! Derrama o teu poder, Senhor, sobre as casas dos meus amgos Vanderle, Elzângela, Cíntha Lews, Joce Gonzaga, Joce Carvalho, Rodrgo Lews, Marclede Cruz, Daanne Severo, Rale Garca, Asss, Slas Paão, Alessandra Mourão, Irs Borges, George Márco, Mchele Ola, Rcardo e Reth, e sobre todos os membros de suas famílas. Faça felzes todos os meus amgos de trabalho do CREA-RO. Abençoe os pastores Roberto e Elane Paul, pos me ensnaram a voar alto. Inspra, cada da mas, os padres Ivo, Paulo Tadeu e Roque: a Palavra do Senhor, anuncada por esses homens especas, me troue de volta e me mantém frme nos trabalhos na Igreja. Ealtar-te-e, meu Deus, meu Re, por todas as gerações, pelo mlagroso amor, que eu vvo carnhosamente com a mnha nova: Mchele Melo. Teu amor, que se manfesta em nós, me sustenta, me anma e que me dá segurança. Mchele é sem dúvda a mnha jóa, a mas delcada, a mas precosa. Com ela compartlho todas as eperêncas que tenho em mnha vda, todas as lutas e todas as vtóras. A ela entrego a mnha juventude, meu olhar, meu carnho e mnha lealdade. Parabéns, meu amor! Que seja farta a colheta do Sr. Marcos Melo e sua esposa Helence, do Sr. Cláudo e Dona Helena, e toda essa famíla, pos por tua vontade, oh Pa, através das mãos generosas dessas pessoas admráves, as mnhas fronteras se epandram. Que haja paz em suas casas e que tenham sucesso em todos os seus empreendmentos. Abençoe, oh Pa, todos estes, e me ensna a retrbur conforme a tua le e o teu agrado, todas as bênçãos que receb pelas mãos desses meus rmãos. Glóra a t Jesus, pelas graças que receb, pelas pessoas que me nspras a amar e pelo trabalho que me lumnas realzar. Que seja feta sempre a Tua vontade. Amém. 4

5 RESUMO Um tratamento de ncerteza deve ser dado a um sstema quando um conjunto de dados de entrada pode levar a soluções dferencadas ou apromadas. Não é uma tarefa trval resolver computaconalmente problemas de propagação de erros ou estmação da ncerteza de medção. Dante dsso, buscou-se, no decorrer deste teto, dscutr a aplcação de proposções condconas dfusas como uma alternatva computaconal rápda e fácl, a modelagem desse tpo de nformação. A partr dos conhecmentos sobre o comportamento de uma medda, dependente de outra grandeza, adaptou-se o Sstema Dfuso de Takag-Sugeno e o Método de Representação de Dados por Proposções Condconas Dfusas Parábola-Parábola o cálculo e prevsão dos erros e seus efetos quanto à propagação. São abordados uma ntrodução aos concetos de fontes de erros em meddas, aos fundamentos da Lógca Fuzz a modelagem de dados epermentas, tendo por fm a descrção do algortmo adotadas e a sua aplcação à dentfcação e representação do acúmulo de erros. PALAVRAS-CHAVE Sstemas de Meddas, Propagação de Erros. Lógca Fuzz. Proposções Condconas Dfusas. 5

6 ABSTRACT An uncertant treatment needs to be done to a sstem when a data set can take to dfferent or approached solutons. It s not a trval task to solve computatonall the problems of error propagaton of measurement or the uncertant estmaton. In the course of ths tet, t was dscussed the mplementaton of Fuzz condtonal propostons as an alternatve to quckl and easl computatonal modellng of such nformaton. From understandng the behavor of a varable dependent on another, t has adapted the Takag-Sugeno Fuzz Sstem and the condtonal Fuzz propostons ble-ble for Data Representaton Method for calculatng and forecastng errors and ther effects on the spread. Are covered an ntroducton to the concepts of sources of errors n measures to Fuzz logc foundatons for epermental data modelng, havng fnall embraced algorthm descrpton and ts applcaton to the dentfcaton and representaton of the accumulaton of errors. KEYWORDS Measure Sstems, Errors Propagaton. Fuzz logc. Fuzz Condtonal Propostons. 6

7 SUMÁRIO I. Lsta de Fguras 8 Capítulo Introdução 9. Descrção do Trabalho Capítulo Meddas, Erros e Incertezas. Meddas e Suas Característcas. Concetos 3.3 Incertezas e Erros 6.4 Propagação de Erros Capítulo 3 Lógca Dfusa 3. Breve Hstórco 3. Conjuntos Dfusos Operações com Conjuntos Dfusos Fundamentos da Modelagem Dfusa Inferênca Dfusa 35 Capítulo 4 Propagação de Erros por Proposções Condconas Dfusas Adaptação do Sstema TS o Cômputo do Erro 4 Propagado 4. Método Alternatvo de Representação de Dados por 47 Proposções Condconas Dfusas 4.. Adaptação do Método a Modelagem do 5 comportamento da propagação de Erros Capítulo 5 Consderações Fnas 6 5. Contrbuções 6 5. Sugestões Trabalhos Futuros 63 Referêncas 66 7

8 I. LISTA DE FIGURAS Fgura : Eemplos de Funções de Pertnênca Trangular e Trapezodal. 6 Fgura : Eemplos de Funções de Pertnênca da forma Gaussana. 7 Fgura 3: de Funções de Pertnênca da forma Sgmodal. 7 Fgura 4: Eemplos de Funções de Pertnênca na formas de Z, P e S. 8 Fgura 5: Operação de Unão. 9 Fgura 6: Operação de Intersecção. 9 Fgura 7: Operação de Negação. 3 Fgura 8: Interpretação geométrca do Produto Cartesano entre conjuntos dfusos. 3 Fgura 9: Dagrama demonstratvo de Inferênca Dfusa. 37 Fgura : Números Fuzz. 44 Fgura : Superfíce gerada a partr de pontos escolhdos aleatoramente no 45 ntervalo modelado. Fgura : Funções regreddas as Conseqüêncas. 5 Fgura 3: Conjuntos dfusos as Premssas. 5 Fgura 4: Comportamento das meddas de em um nstrumento. 53 Fgura 5: Regressões as conseqüêncas. 54 Fgura 6: Prmeros Conjuntos dfusos a representação da varável erro. 55 Fgura 7: Prmeros Conjuntos dfusos a representação da varável erro. 55 Fgura 8: Superfíce gerada a partr de pontos escolhdos aleatoramente. 58 Fgura 9: Representação do comportamento do nstrumento em relação ao valor 59 da medda. Fgura : Representação do erro de medda em relação ao valor da medda e ao 59 comportamento do sstema 8

9 Capítulo INTRODUÇÃO Todos os sstemas se afastam em maor ou em menor grau do comportamento deal prevsto pelos modelos matemátcos com os quas os procuramos descrever. Os sstemas que defnem os padrões de confguração dos nstrumentos medção não se dstancam dessa realdade. Inúmeras são as referêncas à estênca de ncertezas e mperfeções nas medções. As mperfeções própras dos equpamentos e as perturbações no processo de aqusção de dados são as varáves de maor nfluênca na orgem dos erros no resultado da medção. Sendo assm, é recomendado reportar um ndcatvo de qualdade dos resultados meddos que se possa ter certeza das respostas oferecdas pelo sstema de medção. [] [74] O nteresse de se ndcar a possbldade de mperfeção da medda surge na constatação de que um modelo pode oferecer respostas que possam estar afetadas ou até mesmo erradas por conta dos pequenos e mperceptíves possíves erros nos valores atrbuídos às varáves de entrada. Sem a nformação sobre as mperfeções das meddas representadas, as decsões tomadas a partr dos resultados obtdos podem estar ncorretas. Assocar ao resultado da medção um parâmetro que caracterze a dspersão dos valores que podem ser atrbuídos à medda permte a avalar a dmensão da consequênca desses erros, melhorando sua eatdão. [] Buscando a máma eatdão possível nos processos de medda e modelagem de dados, tornou-se etremamente necessára, no âmbto epermental, a aqusção de conhecmento, a dentfcação de fontes de erros que podem afetar o processo e a quantfcação da nfluênca destes sobre o resultado fnal. Nesse dgma, os concetos de erro e tolerânca, alcerçados em rgorosos modelos matemátcos e métodos estatístcos objetvos, domnaram a metrologa no Século XX. [] [74] 9

10 Por outro lado, no mesmo século, com o desenvolvmento eponencal do setor tecnológco, surgu a necessdade de obter soluções de controle que possam ser mplementadas de forma mas rápda e com menor custo computaconal e fnancero. Entre as soluções mas empregadas está a Lógca Dfusa por que tem a capacdade de ldar e com mprecsão e ncertezas. Como dsse John Manard Kenes, é melhor estar apromadamente correto do que precsamente errado. [] A Lógca Dfusa troue um novo jeto de representar sstemas e dados matematcamente. A representação é por meo de concetos, e não em valores precsos, das varáves envolvdas, apromando sstemas de forma parecda com a subjetvdade do racocíno humano. Um tratamento de ncerteza deve ser dado a um sstema quando um conjunto de dados de entrada pode levar a soluções dferencadas ou apromadas, como nos métodos de representação de dados dfusos. Apesar do sucesso e de toda a robustez apresentada nas aplcações e nas representações de sstemas, do ponto de vsta da tolerânca a mprecsão nas descrções e nos métodos, a Lógca Dfusa não ofereca um parâmetro de avalação do quanto o valor das respostas, ou das meddas, podem estar desvadas da representação dos seus valores verdaderos. [74] Isto motvou o desenvolvmento de meos de calcular ou representar a propagação de erros e mperfeções sobre meddas, decorrentes da mprecsão e da ncerteza mplícta na representação por conjuntos dfusos. Nesse sentdo, os graus de pertnênca dos conjuntos dfusos são entenddos como graus de atvação de uma representação afetada pela ncerteza. A avalação da máma dspersão dos dados representados por proposções condconas dfusos meddas não é um trabalho trval nem puramente matemátco: dependem do conhecmento empírco do mensurando e do processo de obtenção das meddas. Nesse processo é fundamental o bom senso, o pensamento crítco e a habldade e a eperênca em seu tratamento. A aplcação da Lógca Dfusa a modelagem da propagação de erros sobre meddas se dará através dos métodos de Representação por Proposções Condconas Dfusas com a ntenção de possbltar o desenvolvmento de uma ferramenta computaconal prátca.

11 . DESCRIÇÃO DO TRABALHO O prmero capítulo destna-se a consderações geras sobre a motvação deste trabalho, oferecendo ao fnal uma breve descrção dos temas abordados nos capítulos que seguem. Assm sendo, são abordados no Capítulo os prncpas concetos tangentes à realzação de Meddas, algumas característcas estátcas e dnâmcas do processo. Com sso, ntroduzmos às defnções de Incertezas e Erros, suas prncpas causas e a busca pela medda mas próma possível do valor verdadero. Ao fnal do capítulo, apresentamos de forma smplfcada e quase ntutva a Le Geral de Propagação de Erros. No Capítulo 3, é apresentada a Lógca Dfusa, a partr de um breve hstórco de evolução do racocíno computaconal. Após a defnção de Conjuntos Dfusos, são apresentadas as prncpas operações Lógcas com esses conjuntos, que haja uma melhor compreensão dos fundamentos da Modelagem Dfusa e do sstema de nferênca de respostas. Adaptações das técncas de modelagem de um Sstema Fuzz de Takag- Sugeno, e de Representação de Dados através de Proposções Condconas Dfusas, em sua forma alternatva Parábola-Parábola, são demonstradas no Capítulo 4, e aplcadas à nferênca do mámo desvo da medda de uma varável sensível à varação de outra grandeza. Ao fnal, são tecdas consderações a respeto da pesqusa realzada, bem como as sugestões trabalhos futuros.

12 Capítulo Meddas, Erros e Incertezas. MEDIDAS E SUAS CARACTERÍSTICAS Observações e comções de desempenhos evolutvos, juntamente com a coleta de dados, permtem que se conheça de forma qualtatva e quanttatva, fenômenos físcos, através das meddas dos estados durante sua evolução. Por meo de uma abordagem empírca combnada com o raconalsmo, podemos resumr os prncípos observáves, em resultados quantfcáves, e da mesma forma, deduzr estes prncípos a partr dos dados aferdos, relaconando as respostas aos possíves estímulos. [9] [] [47] De posse do conhecmento de um evento é possível o desenvolvmento de estratégas montorar e ntervr nos fenômenos através do controle de suas varáves, de forma a aprovetar a dnâmca do evento um fm útl, nduzndo o sstema a responder com varações proporconas às entradas. [7] [43] A fnaldade de uma medda é defnr o valor de uma grandeza específca. A quantfcação de uma grandeza, submetda à medção, de um modo geral, é obtda por meo de uma metodologa que envolve o uso de nstrumentos de medção. Em geral, o resultado de uma medção é uma apromação ou estmatva do valor real, composta por fatores que dependem bascamente da própra grandeza, do nstrumento e do método utlzado. Em mutos casos, o resultado de uma medção é determnado com base em séres de observações obtdas sob condções de repettvdade. Tratamos, portanto, de um modelo matemátco que transforma o conjunto de observações repetdas em um resultado numérco. Esse modelo é nfluencado pelas característcas estátcas e dnâmcas dos meddores e dos procedmentos adotados. [9] [6]

13 Para sso, a seleção do conjunto de equpamentos de medda o acompanhamento de uma seqüênca de operações deve se ater às prncpas característcas estátcas e dnâmcas do sstema, de forma que sejam atenddas as demandas de medção, em sua aplcação correta. Essas característcas se apresentam nas especfcações de qualdade apresentadas pelo fabrcante. [9] [] []. CONCEITOS Mensurando é uma grandeza submetda à medção. O valor de uma grandeza é a epressão quanttatva sob a forma de uma undade multplcada por um escalar. O processo de medção se basea em uma seqüênca lógca de operações descrtas genercamente. [] [7] A epressão da grandeza deve ter assocado ao valor do mensurando um parâmetro que assnala a dspersão dos valores que podem ser mputados ao mensurando, avalando a melhor estmatva do seu verdadero valor e todos os componentes de ncerteza, abrangendo efetos sstêmcos que contrbuem a dspersão. [] [6] É comum a utlzação dos concetos de Eatdão e Precsão assnalar o nível de rgor com que uma medda é efetuada. A Eatdão é uma especfcação de qualdade, determnada através do processo de calbração estátca, que faz referênca à habldade que um nstrumento tem em mostrar ntensdades guas ao valor legítmo da grandeza medda. Em outras palavras, entende-se que seja a maor ou menor apromação entre o resultado obtdo e o valor verdadero. A calbração trata-se de uma operação que tem por objetvo levar o nstrumento de medção a uma condção de desempenho e ausênca de erros sstemátcos, adequados ao seu uso. [] [] 3

14 Conforme eposto, a eatdão epressa o desvo mámo que pode um nstrumento pode apresentar ao aferr uma medda, quando empregado corretamente. A medda de eatdão pode ser epressa como um ntervalo que compreende uma fração sgnfcatva dos valores que podem ser atrbuídos ao mensurando, que determna sua classe. Precsão é a capacdade do nstrumento de fornecer o mesmo resultado, um dado valor meddo, ndependentemente da contgüdade do valor real da grandeza medda. Isto denota a capacdade de repetbldade do nstrumento, onde esta é uma avalação da competênca de um nstrumento em repetr a mesma saída (medda) um dado valor, quando a mesma entrada precsa é aplcada váras vezes. É consderado o Grau de concordânca entre os resultados de medções sucessvas de um mesmo mensurando efetuadas sob as mesmas condções de medção, e está assocada à dspersão dos valores resultantes da repetção das medções. [9] [] [6] Acudade é o grau de certeza com que avalamos a precsão das meddas e o ajuste do protótpo. E dessa forma, a estmação e avalação de ncertezas requerem esforços de modelagem, matemátca e computaconal, cada vez mas sofstcados em comção à utlzação de técncas convenconas de medção. [] [] A Lneardade de um equpamento é uma característca que ndca o estado de medação de sua curva de aferção com uma reta. Pode ser eplctada a partr da estmação da melhor reta, pelo método dos mínmos quadrados, procedente dos dados de entrada e saída do tal sensor todo o ntervalo de teste. [9] [] [6] O ntervalo de teste é o espaço entre os lmtes mínmos e mámos onde o valor da medda pode se alterar, e deve ser dsposto de forma que se evtem leturas no níco e no fnal da escala, onde geralmente a confabldade fca comprometda. Deve-se evtar que o nstrumento produza leturas com a faa onde o sensor não consegue responder e com o tempo necessáro a prmera resposta, denomnados, respectvamente Zona Morta e Tempo Morto. [9] [] 4

15 A sensbldade estátca, conhecda também como fator de escala, é dada pela relação entre a varação da saída dsponblzada pelo nstrumento e a varação da entrada que a provocou. Isto pode ser epresso pela equação: [9] [] S( a ) d d a (..) Assocada à sensbldade de um aparelho, e tão mportante quanto esta, é a resolução, que é defnda como a menor varação de entrada do sensor necessára causar uma alteração comensurável na saída, o que ndca quão pequena uma varação na entrada de energa pode ser percebda por um sensor. A dferença de resposta do nstrumento duas entradas dêntcas, mas com sentdo nverso de varação é denomnada Hsterese, e sua conseqüênca é notada em sstemas que possuem condutas dferentes entrada crescente em relação à entrada decrescente. [] [6] A Velocdade de Resposta é uma característca dnâmca de grande mportânca, pos ndca quão rápdo o sstema de medda reage às varações na grandeza de entrada. Especfcada como uma grandeza tempo, ela demonstra o tempo de atraso do sstema. A resposta de um meddor a um snal de entrada varável no tempo é dferente da resposta a uma grandeza constante devdo à presença de elementos armazenadores de energa. [] [9] A energa armazenada pelo sstema em uma dada stuação é devolvda em outras afetando a medda. As característcas dnâmcas dos sstemas varam conforme a quantdade de elementos de armazenagem contdos no sstema e como eles nteragem. [43] 5

16 .3 INCERTEZAS E ERROS A construção de um modelo um evento dnâmco físco e de sua planta de ntervenção de controle em geral partem de uma observação das varáves envolvdas no processo, a fm de que elas possam ser dentfcadas, relaconadas, aferdas e controladas. Essa é uma fase de crítca do fenômeno, pos geralmente as observações ncluem váras grandezas de nfluênca que não são eatamente conhecdas. Assm, o controle do processo depende de quão precso e eato é o modelo de prevsão e quão efcente é o método de ntervenção adotado, bem como a acudade do modelo mplementado. [9] [4] [43] Por maor cudado que se tenha ao efetuar uma medção, mesmo que se utlzem nstrumentos de últma geração e se mantenham as condções do ambente bem controladas, devdo às característcas dnâmcas de um objeto de estudo e do método a coleta de dados, as meddas realzadas não refletem completamente a verdade absoluta dos fatos vsualzados. Surgem, em dversos casos, varações e dferenças entre as váras meddas de um mesmo estado de uma varável. [46] [47] Admtmos que estas dferenças constatadas em medções repetdas aparecem porque as grandezas de nfluênca do evento e do processo de obtenção do resultado da medda não se conservam completamente estáves, o que se mostra evdente na deteroração dos componentes do sstema. Isto se dá pela estênca de város fatores que afetam os resultados e ncorrem em erros. [] [4] [6] As dferenças dervam das condções ambentas (e dos mpactos e modfcações de ambente que ocorrem), do relaconamento com o sstema a ser controlado e da forma de ntervenção de controle adotada. Alado a sso, na observação epermental e no acompanhamento do fenômeno em sua evolução, o relaconamento entre as varáves envolvdas nem sempre é aparente, prncpalmente quando há dfculdades em mensurálas. Assm, mas um fator gerador da varação é a mperfeção dos métodos adotados a coleta de nformações e medções. [4] [47] 6

17 Por muto tempo, a palavra erro fo utlzada desgnar a falta de perfeção, que é atualmente denomnada ncerteza. Os erros são descrtos, hoje em da, como as meddas de afastamento entre o valor obtdo no desempenho em alguma atvdade e o correspondente valor verdadero, o qual em geral é desconhecdo. Esses desvos ocorrem em desacordo com a ntenção, ou quando a ntenção não é adequada, sendo, portanto, de orgem nformaconal. Em mutos casos, são capazes de gerar dano ao produto, aos fatores de produção ou ao planejamento do andamento das demas atvdades. [] [] [4] [6] Nesse conteto, constatamos uma afndade entre erros e defetos, pos, normalmente, as dstorções acontecem em decorrênca do emprego nadequado de um, ou mas, dos fatores de controle da produção. Isto se dá, mutas vezes, pelo entendmento ncompleto do fenômeno que ocorre, prncpalmente, na compreensão da forma com que as varáves se relaconam (modelos muto compleos e com grande número de varáves tendem a se dstancar da realdade). [3] [] Os Erros acontecem, também, por conta da nabldade em perceber e dscrmnar dferentes varações de estado, da precsão mperfeta dos nstrumentos usados; das transformações de undades e/ou crtéros de arredondamento; e outros fatores, que fogem à prevsão. Estas nfluêncas, no processo de aqusção de conhecmento, a formulação de um modelo, promovem ambgüdade e nduzem à ndecsão, ocasonando uma mprecsão ntrínseca, dada à descrção das propredades do fenômeno. [3] [] Porém, em uma rotna de operações, a qualdade do modelo resde na avalação da confabldade dos resultados que este apresenta. É mportante consderar a confabldade de uma medção, prncpalmente quando abrangem a egênca de tolerâncas estretas em condções rsco à saúde e segurança. Para tanto, há de se adotar uma medda de confabldade que epresse o mámo da ncerteza de medção, atendendo à Acudade egda por algumas aplcações. 7

18 Assm, também, a maora dos nstrumentos não-convenconas requer a utlzação ntegrada de métodos a seção e avalação de ncertezas, de forma que a medção atenda à precsão e à eatdão, de forma que não afetem sgnfcatvamente o processo. As formas de erros estátcos são classfcadas de forma mas genérca em três categoras: de Escala, Sstemátcos e Aleatóros. [] [46] [47] Os Erros de Escala são devdos à mperfeção resdente em qualquer aparelho, mesmo o mas precso deles. São erros nos valores dos dados. Podem ser causados, por eemplo, por ncerteza na medda, por enganos não detectados, ou pela representação dos números com um número fnto de dígtos, que ocorre no arredondamento de valores. Há de se consderar que podem ocorrer, também, pela truncatura de um processo matemátco.[46][47] Erros Sstemátcos apresentam pouca varação na ntensdade e o mesmo snal da varável aferda ao longo das medções; têm efeto latente, podendo levar algum tempo se manfestar, dependendo das defesas do sstema, e nduzdos por uma causa que, quando descoberta, é possível elmná-la ou compensá-la por meo da aplcação de um fator de correção, com efeto oposto ao do erro, sobre o resultado da medda. Orgnam-se, em geral, de nstrumentos mal calbrados, erros na metodologa ou na operação da medção, por falta de prátca do operador ou por fatores ambentas, entre outros. Assm, sua dentfcação demanda uma análse crítca do procedmento de medda. [] [] [] Os Erros Aleatóros são mprevsíves na determnação, varam ao acaso e tem orgens múltplas e/ou ncertas, sendo, mutos autores, consderados acdentas. As característcas de não-repetbldade podem ndcar uma possível mprecsão dos aparelhos e/ou métodos, o que pode gerar efeto medato. Sua elmnação é mpossível, pos dervam de perturbações nesperadas, porém podem ser amortecdos à custa de maores cudados na realzação dos ensaos. O somatóro da polarzação dos desvos e da mprecsão denota a ncerteza total de uma medda. [] [] [] 8

19 Podemos prever Erros de escala, decorrentes das característcas de eatdão do nstrumento, segundo dos crtéros, que são peculares a cada tpo aparelho de medção. Como já fo dto, esse erro é nevtável, vsto que, por mas precso que este nstrumento seja, há sempre que consderar alguma mperfeção. [] [47] Em nstrumentos analógcos, podemos avalar o erro que ncde sobre algarsmo duvdoso como sendo a metade da menor dvsão de escala [47]. E esc MDE (.3.) Em nstrumentos não-analógcos, o Erro de Escala é avalado como a menor dvsão de escala [47]. E esc MDE (.3.) Quando realzamos operações com os valores obtdos em medções, os Erros ndvduas presentes em cada medda eercem nfluênca sobre a certeza do valor da grandeza resultante. Os resultados dos cálculos ncorporam e acumulam, necessaramente, os Erros decorrentes da medção de cada varável envolvda na operação. [] [4] [47] A Incerteza é uma avalação que procura assnalar o ntervalo de valores dentro do qual está o valor correto da grandeza medda. Essa avalação deve ser realzada após a elmnação de todas as componentes sstemátcas de erro conhecdas. [] [6] Em problemas de Incertezas, têm-se, em geral, adotado soluções probablístcas modelar o comportamento de um evento dnâmco cuja ncerteza das varáves é de natureza aleatóra. O procedmento mas comum esses casos é a avalação da confabldade de um conjunto de n meddas e nformações de um Estado, ntundo uma margem de Incerteza provável por meo do tratamento estatístco da nformação. 9

20 .4 PROPAGAÇÃO DE ERROS Freqüentemente, é necessáro eecutar cálculos em que os erros mámos admssíves de dversos nstrumentos sejam combnados. [] [47] Chamaremos de Erro absoluto ao módulo da dferença entre o valor eato X e o valor apromado meddo. Isso se traduz na epressão: X (.4.) Denomnamos Erro relatvo de um número apromado à razão entre o erro absoluto desse número e o módulo do número eato X correspondente: X (.4.) Podemos deduzr a propagação de erros de uma medda por meo da segunte analoga com as Dervadas Parcas: [6] [47] [6] Seja uma grandeza a medr. Podemos epressar a dependênca dessa grandeza em relação a outras, de forma que sua medda seja ndreta, por: f ( n,,..., ) (.4.3)

21 Onde todas as grandezas são descrtas pela sua dstrbução de probabldade. Desenvolvendo f conforme uma Sére de Talor de prmera ordem pequenas varações de em torno de sua méda, em função das pequenas varações dos em torno de suas respectvas médas, temos: [6] [N. Sousa] n f (.4.4) Consderamos a méda das meddas como sendo o valor mas apromado do verdadero valor da grandeza, e os Erros como varações nfntesmas das undades de medda. Com sso, é cabível que se afrme que eles sejam a Dervada da medda. [4] [47] [6] Desgnamos, então, Erros da forma: [6] [47] e, e epressamos a acumulação de f f... f n n (.4.5) Noções de Incertezas e Erros são déas presentes em todos os campos do Cálculo e da Modelagem de Sstemas. Consderando que os dados de um procedmento epermental já não são eatos, e sm apromados e, compreendendo que operações realzadas com base em valores neatos acumulam e propagam, por menores que sejam, esses erros a seus resultados, atualmente, é comum a recorrênca a métodos de modelagem que prezem pela mnmzação dos mpactos causados pelos erros cometdos. [9] []

22 Capítulo 3 Lógca Dfusa 3. BREVE HISTÓRICO Arstóteles, flósofo grego (384-3 a.c.), fo o prmero estudoso a pratcar uma representação do método de pensamento humano, através da sstematzação de regras de racocíno lógco, estabelecendo um conjunto de normas rígdas que conclusões fossem acetas como logcamente corretas. A teora dz que todo racocíno lógco é baseado em premssas e conclusões, às quas é atrbuído o valor de "verdade" às afrmações, classfcando-as como verdaderas ou falsas. Dessa forma, Arstóteles funda a Lógca Clássca, denomnada atualmente, também, Lógca Bvalente que é caracterzada por dos prncípos que são a le da Lógca da não contradção e a le do tercero ecluído. Estes prncípos dzem que nenhuma afrmação pode ser consderada verdadera e falsa ao mesmo tempo e que a declaração tem que ser necessaramente verdadera ou falsa. [44] [7] [73] Wllan de Ockham, século XIV, procurava modos de smplfcar um modelo crado a partr da natureza. Sua déa era cortar partes do modelo, de forma a smplfcálo. Para sso, fez uma analoga a uma navalha, dando orgem à epressão "Navalha de Ockham". Na sua obra, utlzou uma Lógca baseada em nformações que não eram "totalmente verdaderas, nem totalmente falsas". Porém, a formulação do método de racocíno lógco permaneceu como Arstóteles estruturou durante város séculos até o surgmento das Lógcas não clásscas, no século XIX. [44] [7] [73] George Boole reestruturou a lógca clássca, publcando suas déas, em 847, no lvro "The Mathematcal Analss of Logc". Esta obra evdenca que a Lógca pode ser manpulada algebrcamente e que os resultados das operações lógcas podem ser obtdos através da utlzação de técncas matemátcas, atrbundo valores numércos as

23 afrmações: (um) premssas verdaderas, (zero) premssas falsas. Além dsso, nsttuu uma forma de álgebra que estabelece operações baseadas nesses valores. Pratcamente, toda a lógca tradconal de controle e/ou computação é baseada nas operações da álgebra booleana, sendo uma grande contrbução na área da computação. [44] [7] [73] Bertrand Russell, autor de mportantes trabalhos sobre lógca matemátca e flosofa analítca, na obra "Prncples of Mathematcs", em 93, mostrou que nem todos os problemas poderam ser resolvdos pela lógca bvalente, publcando um problema que fcou famoso como o "doo de Russell". O problema não pode ser resolvdo pela Lógca arstotélca. [44] [7] [73] Jan Lukasewcz ( ), em 9, ntroduzu as prmeras noções da lógca dos concetos confltantes (como por eemplo: um copo meo cheo é um copo não vazo, e não cheo). O lógco polonês consderava sua formulação contrára à natureza pscológca do homem, porém perfetamente plausível em termos matemátcos, desde que os graus de verdade não fossem bvalentes. Apresentou a déa de conjuntos com graus de pertnênca sendo, ½ e com respectvos sgnfcados: não é, é possível que seja, é. Em torno de 93, desenvolveu uma estrutura de Lógca multnível, em contrapartda à lógca arstotélca. Em sua obra, Lukasewcz apresenta e dscute a le da contradção casos onde uma determnada afrmação pode ser verdadera ou falsa, ao mesmo tempo. [44] [7] [73] Em meo aos estudos de lógcas não-arstotélcas em mult-níves, surge a prmera publcação sobre Lógca Dfusa: The Fuzz Sets Theor, datada do ano de 965, publcado por Lotf Asker Zadeh, professor em Berkele, Unversdade da Calfórna. Zadeh pesqusava sobre formas de modelar alguns sstemas de natureza ndustral, bológca ou químca, que compreendessem stuações ambíguas, não passíves de processamento através da Lógca computaconal fundamentada na Lógca booleana. [44] [7] [73] Ao combnar os concetos da lógca clássca e os conjuntos de Lukasewcz, defnndo graus de pertnênca, Zadeh desenvolveu uma lógca que vola o conceto de que uma premssa é totalmente verdadera ou totalmente falsa, ntroduzndo uma teora 3

24 de lógca, capaz de tratar nformações consderadas vagas ou mprecsas. A palavra Fuzz tem orgem nglesa e sgnfca ncerto, vago, mprecso entre outros. Epressa eatamente os valores com que lda. [44] [7] [73] Entre 97 e 98, as aplcações ndustras da Lógca Fuzz aconteceram com maor mportânca na Europa e, após 98, o Japão ncou seu uso com aplcações na ndústra. A prmera aplcação públca fo em 974 quando o professor Mandan, do Queen Mar College, da Unversdade de Londres, mplementou um controle de uma máquna a vapor, baseado em Lógca Fuzz. Contemporaneamente, aplcações foram desenvolvdas em um tratamento de água feto pela Fuj Electrc em 983, e pela Htach em um sstema de metrô naugurado em 987. Por volta de 99 é que a Lógca Dfusa despertou um maor nteresse em empresas dos Estados Undos. [7] [73] Devdo ao desenvolvmento e as númeras possbldades prátcas dos Sstemas Fuzz e o grande sucesso comercal de suas aplcações, a Lógca Fuzz é consderada hoje uma técnca "standard" e tem uma ampla acetação na área de controle de processos ndustras. Apesar de os estudos teórcos terem se desenvolvdo na Europa e nos Estados Undos, as aplcações nunca tveram lá a mesma ênfase que tveram no orente, prncpalmente no Japão, que nvestu muto no desenvolvmento de tecnologas baseadas na Teora Fuzz. Hoje, dversas empresas de desenvolvmento ndustral têm procurado soluções dversas nessa teora. O controle de refrgeradores de baa potênca, transmssão automotva, e motores elétrcos de alta efcáca fazem parte de suas lnhas de pesqusa. [44] [7] [73] O cômputo com déas vagas e mprecsas representa um grande passo na cênca da computação, no sentdo de aular na smulação e mplementação do processo do racocíno na máquna. Segundo Boole, o que nós temos que eamnar são as les de uma das mas mportantes faculdades mentas. A matemátca que temos que construr é a matemátca do ntelecto humano. O objetvo é apromar a decsão computaconal da decsão humana, ou seja, que a decsão da máquna não fque restrta apenas a um sm ou não, mas também tenha decsões abstratas, como: um pouco mas, talvez sm. [44] [7] [73] 4

25 3. CONJUNTOS DIFUSOS A teora clássca dos conjuntos, juntamente com a lógca clássca, admte apenas duas classfcações a pertnênca de um elemento a um conjunto restrto por uma le de formação: o elemento a somente pertence, ou não. Do mesmo modo, a veracdade de uma afrmação ou de um conceto percebdo é classfcada somente por dos valores lógcos: verdadero ou falso. [48] Porém, a percepção de que o mundo não é consttuído de fatos puramente verdaderos ou falsos, e de que estem concetos vagos quanto à sua própra defnção, conduz à déa de que dos fatos opostos podem estr smultaneamente. Assm, a veracdade de uma proposção lógca, ou a pertnênca de um elemento a um conjunto passou a ser ncerta. Dessa forma, a déa de Conjunto Dfuso propõe que um elemento pode ser admtdo parcalmente em um conjunto, e sua pertnênca a ele, bem como a verdade contda em uma afrmação, é graduada. [36] [58] Conjuntos Dfusos procuram descrever concetos do racocíno humano, ncorporando matematcamente noções ntutvas; conhecmentos subjetvos ou dúbos; varáves lngüístcas; entendmentos ncompletos, fragmentados ou apromados, sendo dessa forma, a representação matemátca dos vocábulos utlzados cotdanamente na comuncação humana e no modo de eplcar um acontecmento. Por eemplo: o motor está quente/morno/fro, o nível é bao/médo/alto, grandes/médas/pequenas quantdades, entre outros. [9] [7] Um Conjunto Dfuso T é epresso matematcamente por uma função que relacona os elementos de um domíno qualquer do Unverso de Dscurso U a uma magem no ntervalo Real [, ]. Esta função, denomnada Função de Pertnênca do elemento, ndca o grau (u) com que o elemento u pertence ao conjunto dfuso T. T Essa epressão é dada pelos pares ordenados ( u, ( u)). [7] [44] [58] T A função (u) defne quas dos elementos do Unverso de Dscurso U fazem T parte do conceto que se pretende representar, atrbundo-lhes um valor que nforma o 5

26 grau de verdade desta pertnênca ao conjunto. Esta Função de Pertnênca ndca, também, que alguns elementos pertencem mas, ou menos, que outros. [3] [69] Quando afrmamos que (u) =, corresponde à não-pertnênca do elemento T ao conjunto T; a afrmação (u) = ndca que o elemento pertence plenamente ao T conjunto, generalzando assm a teora clássca dos conjuntos. O Grau de Pertnênca T (u) =,5 demonstra um doo, ndcando um elemento pode pertencer parcalmente ao conjunto e que sua pertnênca é gualmente verdadera e falsa. Desse modo, podemos entender os conjuntos clásscos, denomnados a partr de agora abruptos, apenas como casos especas dos Conjuntos Dfusos. [7] [36] [58] De acordo com esse novo dgma, podemos necessaramente representar as quantdades de nformação que uma grandeza oferece ao ser representada por um vocábulo, ndcando o grau de apromação de um tem em relação ao conceto descrto. As funções de pertnênca podem ser conjuntos dscretos de pontos ou funções contínuas dentro do Unverso de Dscurso U, defnndo vsualmente curvas que representam a forma como cada elemento do domíno é graduado. [36] [5] As curvas das funções de pertnênca podem assumr dversas formas. As mas smples como as Trangulares e Trapezodas são descrtas apenas por lnhas retas. Em geral, são de fácl construção, operação e nferênca. No entanto, deam a desejar no questo dferencabldade em todos os seus pontos. [9] [59] Fgura : Eemplos de Funções de Pertnênca Trangular e Trapezodal. Fonte: Prmára 6

27 Curvas em forma de Dstrbução de Gauss, ou smplesmente gaussanas, são tão smples quanto as trangulares e trapezodas. Tem como vantagem sobre as anterores a condção de dferencabldade em todos os pontos, porém, não são recomendadas mapear concetos assmétrcos. [9] [59] Fgura : Eemplos de Funções de Pertnênca da forma Gaussana. Fonte: Prmára As de formato Sgmodal são recomendadas a descrção de assmetras entre os elementos do conjunto. [9] [59] Fgura 3: Eemplos de Funções de Pertnênca da forma Sgmodal Fonte: Prmára 7

28 Funções de pertnênca nos formatos Z, P e S também são recomendadas o mapeamento de assmetras. Apesar de semelhantes às sgmodas, têm obrgatoramente elementos cuja pertnênca (u) =, e outros de pertnênca (u) =. [9] [59] T T Fgura 4: Eemplos de Funções de Pertnênca na formas de Z, P e S. Fonte: Prmára Para a construção de um conjunto dfuso, não há regras e nem formatos específcos que devam ser rgorosamente segudos. A únca condção que deve ser satsfeta é que a Função de Pertnênca vare somente entre o ntervalo real [,]. Sendo assm, podemos construr funções de pertnênca segundo funções matemátcas conhecdas, e com sso abstrar mas completamente outras não-lneardades de um sstema. [9] [3] [3] 3.3 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS DIFUSOS Algumas das operações báscas entre conjuntos dfusos são etensões da teora clássca dos conjuntos. Estas operações devem oferecer, portanto, resultados corretos quando apostas a conjuntos abruptos, já que estes são casos especas dentro da Teora dos Conjuntos Dfusos. Apresentamos, então, as defnções das operações e uma demonstração gráfca delas: [44] [48] [5] [58] 8

29 Sejam A e B subconjuntos de um mesmo Unverso de Dscurso: de Unão. Defnção 3.3.: A B má{ ( u), ( u)}, u U é denomnada operação A B A unão é mplementada pelo conectvo lógco OU (OR), e pode ser lustrada conforme a fgura 5. Fgura 5: Operação de unão Fonte: Prmára Defnção 3.3.: de Intersecção. A B mín{ ( u), ( u)}, u U é denomnada operação A B Esta operação é mplementada pelo conectvo lógco E (AND), lustrada conforme a fgura 6. Fgura 6: Operação de ntersecção Fonte: Prmára 9

30 Defnção 3.3.3: B { ( u)} é chamado Complemento de B. B Esta operação é entendda como a negação do conjunto dfuso, mplementada pelo conectvo NÃO (NOT), e é lustrada na fgura 7. Fgura 7: Operação de negação. Fonte: Prmára Se consderarmos, agora, dos Conjuntos Dfusos defndos em Unversos de Dscurso dferentes: A em X e B em Y, temos então a noção de Produto Cartesano entre Conjuntos Dfusos. Defnção 3.3.4: O Produto Cartesano entre os Conjuntos Dfusos A e B é o Conjunto Dfuso A B {(, ), (, )} X, Y. A B cartesano Entendendo que produto cartesano X Y, podemos epressa-lo como: [6]. A B é uma Relação R contda no produto A B R X Y (3.3.) 3

31 Fgura 8: Interpretação geométrca do Produto cartesano entre conjuntos dfusos Fonte: Prmára Enfm, as relações de causa e conseqüênca, fundamental na técnca de modelagem de sstemas com base em Lógca Fuzz, é defnda a operação de Implcação Dfusa e smbolzada por ( ). Consderando cada Relação R como uma Regra, que consste em uma Premssa (conjunto A) e uma Conseqüênca (conjunto B) da aplcação da operação de Implcação Dfusa, a mplcação é defnda como: Defnção 3.3.5: A B ( A B) ( AY) Sejam os valores A e B, A e B conjuntos dfusos defndos respectvamente nos Unversos de Dscurso X e Y. Sem dscordar da Defnção 3.3.5, a Relação Dfusa R A B, são apresentadas as seguntes formas prátcas de Implcação Dfusa: [4] [67] Mamdan: (, ) (, ) mn ( ) ( ) R A B A B (3.3.) Lukasewcz: (, ) (, ) mn,( ( ) ( )) R A B A B (3.3.3) Soma Lmtada: (, ) (, ) mn,( ( ) ( )) R A B A B (3.3.4) 3

32 Goguen: (, ) (, ) mn, ( )/ ( ) R A B B A (3.3.5) 3.4 FUNDAMENTOS DA MODELAGEM DIFUSA Um sstema caracterzado por n varáves pode ser modelado por um Método Dfuso de acordo com o entendmento e com as eperêncas prátcas de uma pessoa especalzada em determnado assunto a respeto de como este sstema se desenvolve no decorrer de sua observação e operação. Os sstemas modelados segundo a Lógca Dfusa são usualmente chamados de Sstemas Fuzz. Os Modelos Dfusos têm como prncpas característcas a facldade de compreensão, por sua smplcdade estrutural. Em geral, são de grande destreza a solução de problemas não-lneares e apromação de comportamentos compleos, cujas varáves são pouco compreensíves. [9] [36] A construção de um Sstema Fuzz se nca pela dentfcação de Varáves Lngüístcas que representam as varáves de entrada e saída do sstema. A déa central é desobrgar-se de boa parte dos padrões matemátcos rgorosos mensurar os estados das varáves de um sstema dnâmco. Estas varáves, quando analsadas durante a observação do comportamento, deam de ser consderadas e aferdas somente de forma numérca eata, e passam a admtr que os seus estados sejam descrtos segundo palavras, usuas na forma subjetva de pensar e de se comuncar do ser humano. [59] [6] [6] Os vocábulos, que transmtem um conhecmento ncerto a respeto do estado de uma varável, são abstraídos e concebdos matematcamente por meo da construção de alguns Conjuntos Dfusos, os quas recebem, em geral, o nome do termo de valor 3

33 lngüístco que representam. Um conjunto dfuso denotado por Termo Lngüístco (Lngustc Term) da varável. [9] [8] [59] T é denomnado n Defnção 3.4.: T( ) { T, T, T,..., T } é o conjunto dos Termos Lngüístcos que qualfcam a varável. Os Termos Lngüístcos, em geral, são adjetvos, empregados caracterzar de forma subjetva o estado de uma varável. Um eemplo ddátco comum é o termo T = Ambente qualfcar uma varável =Temperatura na frase: À temperatura ambente ocorrem reações que demandam 36 kcal. [9] [4] Defnção 3.4.: Uma Varável Lngüístca X é uma Varável de Estado assocada um conjunto T(). [44] [59] Novamente, tomando a varável como sendo TEMPERATURA, esta pode ser 3 assocada ao conjunto T( ) { T, T, T }, sendo T = alta; T = baa; 3 T = ambente, defndos estatstcamente ou ntutvamente, de acordo com os crtéros de aprecação da varável adotados (a partr de quantos graus Celsus a temperatura é consderada alta? Ou baa? Ou ambente?). [9] [4] Partmos, assm, a cração de um Sstema Especalsta baseado em Regras Lngüístcas que proponham as Relações Fuzz entre as déas e os fatos do evento observado com o enuncando de todas as proposções possíves entre os vocábulos, que resultará na representação do processo ao qual é proposta a modelagem. São usados Termos Lngüístcos propor uma caracterzação apromada fenômenos cujos estados das varáves são mal defndos quanttatvamente, transmtmos a epressão da semântca utlzada por pessoas. Essa transmssão se dá por meo de afrmações verbas nas quas é declarada a assocação da varável com cada termo lngüístco que conota um estado seu: [9] [9] [4] 33

34 é T (3.4.) A descrção de um sstema por meo da Lógca Dfusa se dá por meo de conjecturas lógcas que descrevem a relação entre suas varáves. Estas conjecturas mapeam os elementos de um Unverso de Dscurso X, de entradas, em outro, Y, de saídas. Nelas, as les do sstema são mplementadas sob a forma de Proposções Condconas, onde as varáves de entrada () estão dspostas nas premssas das proposções e as de saída () estão nas conseqüêncas. [9] [59] Com o uso de Termos Lngüístcos qualfcar as varáves de um evento, são conferdas, às proposções, característcas Dfusas. Devdo a estas característcas, tas conjecturas são denomnadas Proposções Condconas Dfusas, as quas são a chave do mecansmo de funconamento do Modelo Dfuso. [36] [4][44] As Proposções Condconas Dfusas descrevem Regras de Controle Lngüístcas (Lngustc Control Rules) ou smplesmente Regras Lngüístcas, que mplementam computaconalmente a Base de Conhecmento (Knowledge Base) do Sstema Especalsta: [5] [6] [8] Se é T então é T (3.4.) Para um sstema de múltplas entradas e saídas, temos por etensão: Se é T,..., e n é T n então é T,..., e n é T n. (3.4.3) Proposções Lógco-matemátcas na forma Se então (IF-THEN) 34

35 A base de conhecmento é organzada conforme o modelo geral: R) Se é R) Se é... Rk) Se é T,..., e (ou) n é T,..., e (ou) n é T,..., e (ou) n é T n, então é T n, então é T n, então é T,..., e (ou) n é T,..., e (ou) n é T,..., e (ou) n é T n. T n. T n. (3.4.4) 3.5 INFERÊNCIA DIFUSA Tomando a Base de Regras enuncada segundo a forma geral descrta, programamos um mecansmo de Inferênca Dfusa que avale as regras e possblte o uso do modelo a obtenção de respostas em smulações e snas de controle decsão e automação. A Inferênca é o método de racocíno lógco pelo qual obtemos conclusões a partr dos fatos e proposções que a Base de Conhecmento de um Sstema Especalsta oferece. Efetvamente, a Inferênca é o uso do modelo mapear o espaço de entradas num espaço de saídas. Dspondo as entradas e as saídas em uma lnha lógca de causaefeto, obtemos conclusões a respeto da nformação contda na Conseqüênca por meo de analogas, nduções ou deduções, a partr da Premssa. [3] [5] [59] Há város métodos Inferênca Dfusa em um Sstema Fuzz, porém, o mas comum entre eles, a alocação do vetor de saídas, é o algortmo desenvolvdo e mplementado por Mandan (Mandan-tpe). O dagrama apresentado a segur oferece uma noção do funconamento desta técnca, demonstrando-a um sstema de múltplas entradas e únca saída (etensível a múltplas saídas), que é subdvdda em 35

36 cnco etapas crítcas: a Fuzzfcação das entradas, eecução das Operações Lógcas entre os Conjuntos Dfusos, aplcação da Implcação, Agregação e Defuzzfcação, conforme segue. [5] [59] [67] A partr da base de Regras Lngüístcas que descreve o processo, toma-se um vetor de entradas, que podem ser abruptas ou dfusas; as entradas devem ser dspostas ordenadamente como a premssa de uma nova proposção condconal. [59] Efetua-se a Fuzzfcação da nformação contda no vetor de entrada, conforme demonstrado (Fgura 9), pelas lnhas vertcas, avalando-se a compatbldade entradas com as funções de pertnênca dos Termos Lngüístcos das varáves de entrada, ponderando o grau de pertnênca de cada estado meddo das varáves de entrada. [59] Eecutam-se as Operações Lógcas E (AND) e OU (OR) entre os Conjuntos Dfusos nas premssas, conforme defndo suas defnções. Então, deduz-se, através da aplcação da Implcação, qual o grau de pertnênca que a nformação de entrada fuzzfcada nflu sobre os Termos Lngüístcos que descrevem cada uma das varáves de saída, como ndcam as lnhas horzontas (Fgura 9). Assm, em cada regra, temos como conseqüênca conjuntos dfusos, decorrentes dos Termos Lngüístcos que epressam as saídas, com ntensdades proporconas à Fuzzfcação da entrada. [59] Para cada varável de saída é realzada a Agregação dos Conjuntos Dfusos, como ndcado pelas setas vertcas bao (Fgura 9). A composção é um cálculo gráfco da operação de Unão entre todos os conjuntos truncados no passo anteror a qual resulta em um únco. [44] [67] A partr do Conjunto Dfuso resultante da Agregação, procede-se a Defuzzfcação, onde este é convertdo em um valor numérco as varáves de saída do sstema. Assm como em outras técncas de racocíno ncerto empregadas em projetos de sstemas especalstas, a Inferênca Dfusa tenta estabelecer uma convcção na conclusão de uma regra, dada a evdênca avalada na premssa da mesma. Essa convcção se concretza no resultado da defuzzfcação, a qual equpa as efetvas respostas do 36

37 sstema. Deste modo, a escolha do crtéro defuzzfcador é de fundamental mportânca a produção de respostas com a precsão necessára ao projeto [6] [7] [5] Fgura 9: Dagrama demonstratvo de Inferênca dfusa. Fonte: Prmára Para a Defuzzfcação, estem város métodos, tas como: Prmero dos Mámos (prmero valor do Unverso de Dscurso da saída a atngr o maor grau de pertnênca), Médo entre os Mámos (méda dos pontos que atngram o maor grau de pertnênca), porém o mas utlzado é o Centro de Gravdade. [44] [67] 37

38 O método do Centro de Gravdade é método mas comum entre os sstemas Fuzz. Nele, a resposta é dada pela abscssa do centro da área da fgura embao da curva resultante da Agregação dada por: ( ) d ( ) d (3.5.) 38

39 Capítulo 4 Propagação de Erros por Proposções Condconas Dfusas Erros muto pequenos geralmente não comprometem a modelagem do comportamento global de um Sstema Dnâmco. Em contrapartda, a acumulação deles durante um processo de controle, parece evolur com dnâmca própra, o que pode comprometer a efcênca do projeto proposto, ocasonando falhas mas graves em sua capacdade de prevsão do que a smples mprecsão. [] [43] [66] Observa-se que o comportamento dos erros nduz a uma rápda propagação, crando stuações em que estes erros propagados e acumulados abrem lacunas em determnadas faas de operação, o que pode acarretar em perdas o sstema. [] [4] Quando se pode dentfcar que a propagação dos erros apresenta comportamento lnear, recaímos em um erro sstemátco, faclmente dentfcável e compensável. Em todo caso, a propagação pode assumr uma conduta altamente nãolnear, o que nos leva, mutas vezes, crer que esta seja aleatóra. [] [6] [4] Podemos descrever e analsar essas característcas do comportamento evolutvo dos erros com o uso de ferramentas e técncas Fuzz, as quas são capazes de sugerr algumas observações nteressantes que tangem à otmzação do modelo proposto, com sua capacdade de abstração de padrões de dfícl compreensão, como não-lneardades. Devdo à carênca de nformações específcas que descrevam precsamente os estados com que um sstema devera responder às entradas, com suas varações e perturbações, se faz necessáro o desenvolvmento de uma ferramenta capaz de manpular e operar matematcamente os concetos subjetvos e ncertos do que se entende por erro, que não precsam ser rgorosamente verdaderos ou falsos. Esses concetos, que geralmente são fruto de eperêncas cotdanas, são bem compreenddos 39

40 pelo ser humano, quando transmtdos, sem que sejam necessaramente eatos. [6] [7] [36] A Teora dos Conjuntos Dfusos, e as técncas nela fundamentada, têm demonstrado ser poderosas ferramentas capazes de computar com concetos e noções vagas a respeto de um determnado estado, de acordo com a elaboração de um perfl matemátco estes. A representação matemátca de uma nformação dfusa é feta, qualtatvamente, segundo graus de pertnênca com os quas epressam a verdade. Com sso, ao desvendar o relaconamento entre as varáves de um sstema cujas nformações são vagamente quantfcáves, programamos modelos dfusos descrevê-lo por meo de uma base de regras que ncorporem matematcamente o conhecmento qualtatvo do evento. [8] [7] O uso de métodos de modelagem dfusa tem comprovado bons efetos e robustez na representação de sstemas fortemente não-lneares, prncpalmente quando não se tem conhecmento, ou quando o conhecmento do comportamento de um sstema é parcalmente conhecdo, ou anda quando o conhecmento é apenas sobre os aspectos qualtatvos. Isso se deve à facldade de entendmento dos concetos, que são baseados na comuncação humana, o que torna mas fácl a modelagem. O tratamento dfuso atrbu ao modelo uma smplfcação na eposção do processo e maor tolerânca a nformações mal aferdas, satsfazendo múltplos objetvos de controle. [8] [9] [3] Sendo assm, objetva-se, neste capítulo, esboçar a forma com que a Lógca Fuzz pode ser empregada na modelagem do sstema de Propagação de Erros utlzando Conjuntos Dfusos abstraí-los durante o uso de um modelo. Com sso, um sstema de controle dfuso pode ser aplcado na detecção e correção de erros antes que se tornem efetvamente defetos, buscando corrgr e elmnar prejuízos assocados à ocorrênca de anormaldade. 4

41 4. ADAPTAÇÃO DO SISTEMA FUZZY DE TAKAGI-SUGENO PARA O CÔMPUTO DO ERRO PROPAGADO Para o esboço da mplementação de um Sstema Especalsta Dfuso que possblte a abstração da propagação de erros de medda durante a operação de um sstema, fo utlzado prmeramente o método desenvolvdo por Takag-Sugeno. [3] [34] O sstema dfuso Takag-Sugeno possu a característca de apromação de funções reas contínuas mult-varáves uma modelagem fortemente não-lnear, possbltando a ncorporação de nformações qualtatvas junto às quanttatvas em um mesmo modelo, a partr de dados de entrada e saídas do processo que necessta ser modelado. Sua pratcdade se deve à sua flebldade em descrever uma base de regras ndependentes entre s, as quas têm a segunte forma geral: [4] [48] Regra : Se é T, então f f... f n. n (4..) [8] [34] A apromação do sstema é dada por um método de nferênca partcular: [6] n n (4..) Como não há procedmentos sstemátcos rgorosos a construção das Regras Lngüístcas, o método Takag-Sugeno sugere a representação de um Sstema Dnâmco por Proposções Condconas Dfusas onde os Termos Lngüístcos Dfusos das premssas são conjuntos dfusos de funções de pertnênca de qualquer formato, 4

42 desde que contínuas, e as conseqüêncas das proposções são funções das varáves de entrada. [55] No processo proposto, a modelagem se basea em dados coletados epermentalmente, observando o relaconamento entre as varáves sob o ponto de vsta de uma únca entrada e uma únca saída. Sendo uma varável a ser medda dependente apenas de uma grandeza de entrada, temos: f () (4..3) A metodologa fo testada com os seguntes dados obtdos analtcamente, a partr de uma função lnear de calbração: X Y,,,,4,3,6,4,8,5,6,,7,4,8,6,9,8 3 Tabela : Dados teste, obtdos analtcamente. Fonte: Prmára Avalou-se o maor desvo de em função da menor varação possível de em relação à, em torno do desvo de. Com base nos concetos matemátcos de erros descrtos no Capítulo, compomos a base de regras da segunte manera: [34] 4

43 43,, = (,,,..., n) são os valores das varações das meddas das varáves. T denota os conjuntos dfusos trangulares que representam a varável medda epressando o grau de pertnênca do valor meddo. As regras do sstema terão a segunte forma geral: REGRA : Se é T, então a ; Onde T = ))} (, ( ], [ { T ; ) ( T outros ], [ (4..4) REGRA : Se é T, então a ; Onde T = ))} (, ( ], [ { T ; ) ( T outros ], [ ], [ (4..5)

44 REGRA n: Se é Onde n n T, então T = { [, ] (, ( ))} ; n n n T n n n an ; n n ) n n ( T n [, n n ] outros (4..6) Fgura : Números Fuzz. As funções de pertnênca foram ajustadas segundo o modelo de regra geral, com base nos dados da Tabela. Fonte: Prmára Implementando computaconalmente o método de nferênca, como defndo em 4.., temos: [34] 44

45 a a... nan... n (4..7) Que epressa o erro propagado uma varável dependente de uma únca grandeza ponderando os coefcentes de sensbldade apresentados em cada regra conforme o grau de pertnênca da medda ao ntervalo. Encontraremos, cada ntervalo [ -, ], após a manpulação algébrca a apromação do sstema como [34]: d d a a a ( )( ) (4..8) Fgura : Superfíce gerada a partr de pontos escolhdos aleatoramente no ntervalo modelado. Fonte: Prmára. 45

46 Dessa forma, são evtados eaustvos cálculos de ncerteza combnada, vsto que esta ecede nas margens. Ao utlzar um Sstema Takag-Sugeno aular no processo de análse de propagação de erro, o processo de verfcação pode ser realzado em tempo real, levando em consderação que as regras tem ótma adaptabldade adconar novos fatos nstantaneamente. A ncerteza na varação da margem de erro fca então mplícta à dfusdade do número que representa a quantdade medda, e não somente na margem de erro das varáves de nfluênca. É mportante notar que o erro mámo propagado dmnu conforme o grau de pertnênca ao conjunto que representa o valor da medda aumenta, conforme a fgura, representando assm a possbldade de certeza da menor propagação possível. Para verfcação da valdade da metodologa, foram escolhdos pontos aleatoramente no ntervalo mapeado pelos conjuntos dfusos. Calculamos o erro de em função de sua varação em relação a, em torno da menor varação de, por meo da metodologa estatístca já consagrada e por meo da mplementação computaconal da representação dos dados por proposções condconas dfusas, conforme o método proposto. * **.3,,64,6,4,,8,8,5,43,,,37,6,39,4,44,83,86,8,5,,36,,6,,4,4,74,43,86,8,83,6,68,6,9,8, ,4.99,98,473684,4737 Tabela : Verfcação da efcênca da metodologa.* Erro propagado sobre obtdo pelo processo de nferênca. ** Erro calculado manualmente, conforme o Teorema da Le de Propagação dos Erros. Fonte: Prmára Percebe-se que, ao combnar a técnca clássca de propagação de erros com o racocíno da modelagem dfusa, não há perda de efcênca no cálculo. Dessa forma, o sstema dfuso de Takag-Sugeno, conforme a metodologa desenvolvda, tem condções 46

47 de aular no desenvolvmento de um processo de automatzação da calbração de nstrumentos, garantndo maor eatdão das meddas. 4. MÉTODO ALTERNATIVO PARA A REPRESENTAÇÃO DE DADOS POR MEIO DE PROPOSIÇÕES CONDICIONAIS DIFUSAS Outra técnca estudada, que segue a mesma lnha de trabalhos de Takag- Sugeno, é a Representação de Dados Através de Proposções Condconas Dfusas proposta por Lambert-Torres [7], a qual também permte que sejam ponderadas nformações dfusas e não-dfusas numa mesma base de regras. Esta técnca consste em enuncar uma proposção condconal dfusa, ponderar as devdas avalações, e recar em uma equação do prmero ou do segundo grau, a qual mapea os lmtes de erro uma determnada seqüênca de estados. [6] [8] Cada varável de entrada (,,..., p ) está assocada aos conjuntos dfusos: reta ou parábola. Para cada varável de entrada e saída, serão propostos 4 modelos: reta-reta, reta-parábola, parábola-reta, parábola-parábola. Conhecendo cada componente de ncerteza do nstrumento/sstema de medda, é possível ntur a ncerteza total da medda. Com sso, as regras dfusas presentes na máquna de nferênca, levam em consderação cada fator que dretamente nflu na calbração do sstema de medção. Nesse sentdo, é proposto que as varáves de entrada sejam as característcas estátcas e dnâmcas do sstema de medção, como por eemplo, a obedênca à lneardade, sensbldade estátca, a eatdão e repettvdade, das meddas, entre outras. A varável de saída é uma função do prmero ou segundo grau, que modela o comportamento da ncerteza de medção com relação às meddas. A forma de Representação de Dados eposta tem a segunte forma geral: [7] 47

48 Se é T, então = a a a. T = m m m (4..) Onde T é um conjunto dfuso que relacona um domíno do Unverso de Dscurso, aqu admtdo como o conjunto de números Reas, a uma magem no ntervalo real de a pela função de pertnênca = T m m m [8]. Para um sstema de múltplas entradas e uma únca saída (por eemplo, de duas varáves), temos [8]: R) Se é T e é T, então = a a a a3 a3. T = m m m (4..) O modelo é assm mplementado devdo à smplcdade com que uma equação lnear ou quadrátca representa um sstema, o que o confere uma flebldade utlzando o menor número de regras representá-lo. Dessa forma, é possível a abstração computaconal, das relações aparentemente lógcas entre os valores das varáves de entrada e saída de um sstema, vsualmente clara. Segundo os passos do método apresentado, deve-se construr uma lsta ordenada com os dados de entrada e saída. Em seguda, estabelecer uma tabela aular que acrescente pouco a pouco os pontos da lsta anteror fazendo regressões quadrátcas até que o erro de regressão sempre menor do que o estabelecdo no nco, e quando esse 48

49 for maor que o erro pré-estabelecdo pára, pos temos então a prmera equação a conseqüênca. [5] [7] [8] De forma semelhante ao descrto no parágrafo acma, ncamos uma nova tabela aular ncorporando pontos, pouco a pouco, a partr do fnal da lsta ordenada. Adconamos pontos à regressão de forma que o erro seja sempre menor que o escolhdo, e quando o erro for maor, temos então a segunda equação a conseqüênca. [6] [8] Ao verfcar se há superposções dos ntervalos regreddos, podemos nos der com a uma transção, entre as funções, sempre contínua e suave. Sendo assm, não são necessáras proposções dfusas ao modelamento. Porém, é bem mas comum que sso não ocorra, havendo sempre um ntervalo que não fo modelado por nenhuma as regressões, o que nos ndca a necessdade do uso das proposções condconas dfusas. [5][8] Essas proposções são construídas escolhendo pontos aleatoramente entre os lstados. Os valores dos graus de pertnênca desses pontos são calculados segundo as técncas de nferênca reversa Fuzz, que, na realdade, consste em um sstema de dagnóstco, ou seja, um mecansmo de ntelgênca artfcal capaz de dentfcar possíves causas a partr da análse de seus efetos. [37] Um algortmo de nferênca que pode ser utlzado é o Má. Mn., procedendo à avalação do modelo a partr da conclusão até obter a premssa. Em outras palavras, partndo da conclusão, que é o valor defuzfcado da resposta, aplcamos a operação reversível do método do centro de gravdade à equação e chegamos ao conjunto dfuso C=Ma {GR(): [... r]}, cuja função de pertnênca é o mámo dos valores ndvduas em cada ponto. GR() é o resultado do truncamento da função genérca da conseqüênca G no nível do conjunto dfuso genérco GT() na premssa cada regra, de onde obtemos os conjuntos dfusos cada premssa da base de regras [3] [44]. Assm, por meo da Representação de dados por proposções condconas dfusas, com regras nas formas Parábola-parábola, é possível modelar o comportamento sstemátco de erros que prejudcam a mensuração de uma grandeza a partr da 49

50 observação de séres bdmensonas que moldem o comportamento do sstema que essa grandeza nfluenca, respetando a adaptação da varação temporal. Isto permte a arqutetura de uma rotna computaconal que smule stuações que ncorram em erros sstemátcos, prevsão e planejamento quanttatvo, representando-os de forma mas smplfcada, e próma da compreensão humana. 4.. ADAPTAÇÃO DO MÉTODO PARA A MODELAGEM DO COMPORTAMENTO DA PROPAGAÇÃO DE ERROS Com base nos crtéros do método descrto, um sstema fo apromado pela segunte representação, lustração, consderamos a representação das meddas da varável genérca a partr do comportamento do snal. O comportamento deal do snal no decorrer do tempo é representado pela fgura.,5 = -,45t +,36t -,43,,5,,,, 3, 4, 5, 6, 7, -,5 -, -,5 =,4t - 3,8644t + 8,7 Fgura : Funções regreddas as Conseqüêncas. Fonte: Prmára 5

51 Após a regressão das parábolas que representam os dados do snal em relação ao tempo, que são as conclusões das regras, por meo de uma Inferênca Reversa, calculamos os conjuntos dfusos que mapeam as premssas. A base de regras começa a ser formada pelas seguntes proposções dfusas, e os conjuntos dfusos que representam a medda de são representados grafcamente conforme a fgura 4: Fgura 3: Conjuntos dfusos as Premssas. No eo horzontal estão dspostos os valores das meddas, e no eo vertcal os valores dos graus de pertnênca dos conjuntos dfusos T (em vermelho). Fonte: Prmára T (em azul) e R) Se é T, então,43,36t,45t. T =,485,3399,958 (4...) 5

52 R) Se é T, então 8,7 3,8644t,4t. T =,473,3953,379 (4...) Ao estender essa forma de representação de dados um sstema de múltplas entradas e uma únca saída, representamos cada varável segundo a forma geral, segundo os passos descrtos. Fnalmente, aplcando as técncas de nferênca dfusa de Takag-Sugeno, podemos avalar e ponderar qual é a conseqüênca f, ) ( O eemplo mostra um comportamento deal os estados meddos, porém ocorrem em sstemas reas alterações devdo às perturbações, e outros fatores, que ncorrem em erros na medção, conforme mostra a fgura 4. Entendemos a medda é uma mera avalação do verdadero valor do mensurando. Ao mostrar seu resultado faz-se necessára a ndcação quanttatva da qualdade dessa avalação, de forma tal que aqueles que os utlzam possam avalar sua confabldade. Essa avalação fundamenta-se na possbldade da medda apresentar um desvo maor ou menor em relação ao valor eato. A ncerteza no resultado de uma medção reflete a falta de conhecmento eato ou dúvda quanto ao valor verdadero do mensurando. Compreende, em geral, mutos componentes. Alguns desses podem ser estmados com base na dstrbução estatístca dos resultados das séres de medções e podem ser caracterzados pelo desvo padrão. No entanto, métodos não convenconas tas como a Lógca Dfusa, têm oferecdo resultados nteressantes no campo da avalação da ncerteza. 5

53 Fgura 4: Comportamento das meddas de em um nstrumento Fonte: Prmára Conforme o número de meddas tende ao nfnto, uma dstrbução de freqüêncas (hstograma) tende a uma curva lmte. É essa curva lmte é que queremos representar por uma proposção dfusa, sem se ater aos componentes que provocam o erro. A maor dfculdade encontrada ao modelar ncertezas e erros, é a adoção de um padrão que reflta uma classfcação do erro mas próma da realdade possível. Para tanto, se busca smular o comportamento da ncerteza global ao ncorporar dversas fontes de ncerteza, que surgem de efetos sstemátcos e aleatóros, propcando, assm, a combldade dos resultados de medções. Assume-se a mesma varação de entrada e o mesmo sstema representado analtcamente, nota-se que as meddas estão acometdas de erros. Aplca-se o algortmo descrto em 4., nferr um comportamento de erro que acomete a medda e se propaga durante a evolução do processo, que ncalmente é ajustado conforme mostra a fgura 5. 53

54 4, 3, comportamento do nstrumento = -,745t +,79t +,7474,,, -,,,, 3, 4, 5, 6, 7, -, -3, -4, =,547t - 5,5t +,55 Fgura 5: Regressões as conseqüêncas. Fonte: Prmára Assm, se estende a um sstema de múltplas entradas e uma únca saída, onde se tem em cada regra a prmera varável, ( ), mapeada pela Lógca dfusa conforme atva um comportamento deal (pode-se assumr um comportamento normal, segundo as eperêncas de especalstas), a segunda varável, ( ) é o comportamento do desvo, ou a perturbação sstemátca ou aleatóra que ncorre em erro, e o conseqüente, as funções do segundo grau que apromam o comportamento do sstema com erro. Por meo do processo de Inferênca Reversa, se detecta o comportamento do erro, com relação ao comportamento esperado, e o representa por meo de conjuntos dfusos cuja função de pertnênca tem o modelo de uma equação do segundo grau. 54

55 ,8,7,6 µ() = -,476 +,5 +,4689,5,4,3,, µ() =,5455 -,5 +,4 -,,,, 3, 3,5 3, = -,745t +,79t +,7474,5,,5,,5, -,5,,, 3, 4, -, -,5 Fgura 6: Prmeros conjuntos dfusos a representação da varável erro nas premssas (à esquerda) e comportamento do nstrumento regreddo relaconado aos conjuntos menconados. Fonte: Prmára, µ()=,65 +,9756 +,674,8,6,4 3,,,,, -,, 4, 6, 8,, µ() = -,476 +,5 +,4689 -, -,,,, -, -3, -4, =,547t - 5,5t +,55 Fgura 7: Prmeros conjuntos dfusos a representação da varável erro nas premssas (à esquerda) e comportamento do nstrumento regreddo relaconado aos conjuntos menconados. Fonte: Prmára Sendo assm, a base de regras começa a ser escrta da segunte forma: R) Se é T, então,43,36t,45t. T =,485,3399,958 (4...) 55

56 R) Se é T, então 8,7 3,8644t,4t. T =,473,3953,379 (4...) R3) Se é T e é T e então =,7474,79t,45t. T =,485,3399,958 T =,674,9756,65,6,6 (4...3) R4) Se é T e é T e então =,7474,79t,45t. T =,485,3399,958 T =,4689,5,476.6,6 (4...4) 56

57 3 R5) Se é T e é T e então =,7474,79t,45t. T =,485,3399,958 3 T =,4689,5,476,5,5 (4...5) R6) Se é T e é T e então,55 5,5t,547t. T =,473,3953,379 T =,674,9756,65,6,6 (4...6) R7) Se é T e é T e então,55 5,5t,547t T =,473,3953,379 T =,4689,5,476.6,6 (4...7) 57

58 3 R8) Se é T e é T e então,55 5,5t,547t T =,473,3953,379 3 T =,4689,5,476,5,5 (4...8) O mesmo procedeu as demas regras da base, combnando as funções do conseqüente com o mapeamento das premssas. Ao passo que as regressões das conseqüêncas forem se ajustando conforme a eatdão mposta, o sstema de nferênca reversa com o comportamento real com o deal modela os conjuntos dfusos que mapeam o erro das meddas, nas premssas de cada regra. Fgura 8: Superfíce gerada a partr de pontos escolhdos aleatoramente. Eo = valor da medda, eo = erro de medda e eo z= comportamento do nstrumento. Fonte: Prmára 58

59 Fgura 9: Representação do comportamento do nstrumento em relação ao valor da medda. Fonte: Prmára Fgura - Representação do erro de medda em relação ao valor da medda e ao comportamento do sstema. Fonte: Prmára Ao mplementar a base de regras apresentada, percebe-se que, conforme a regressão da conseqüênca de cada regra se aproma da precsão desejada, a cada vez que são ncorporados novos pontos dentro do ntervalo representado, comndo o 59