Um pioneiro da física moderna e um dos criadores da mecânica estatística

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1 LUDWIG EDWARD BOLZMANN ( ) 1 Um pioneiro da física moderna e um dos criadores da mecânica esaísica Anonio ANORO Universidade Presbieriana Mackenzie. Resumo: Alguns dealhes da infância e adolescência de Bolzmann, sua formação em Física pela Universidade de Viena, sua carreira acadêmica, polêmicas criadas com Erns Mach e Wilhelm Oswald, seus rabalhos marcanes como: eorema H, Disribuição Esaísica de Bolzmann que relaciona Enropia ermodinâmica e Probabilidade e Equação eórica conhecida como Lei de efan-bolzmann. Convie feio pelo Imperador Francisco José para proferir palesras no Palácio Imperial. Físicos noáveis como, Planck, Einsein chrodinger reconheceram seus rabalhos, sendo que ese úlimo deu um esemunho emocionado sobre a linha de pensameno de Bolzmann. Em 1906, um ao insano irou a vida desse grande Físico eórico.

2 ABRAC: ome deails of he childhood and adolescence of Bolzmann, your formaion in Physics for he Universiy of Vienna, your academic career, conroversies maids wih Erns Mach and Wilhelm Oswald, your ousanding works as: heorem H, aisical Disribuion of Bolzmann ha relaes hermodynamic Enropy and Probabiliy and heoreical Equaion known as Law of efan-bolzmann. Inviaion done by Emperor Francisco José o uer lecures in he Imperial Palace. Physiciss noables as, Planck, Einsein chrodinger recognized your works, and his las one gave an excied esimony on he line of hough of Bolzmann. In 1906, an insane ac removed ha grea heoreical Physicis's life. Carreira acadêmica Em 20 de Fevereiro de 18, nascia em Viena, Áusria Ludwig Edward Bolzmann, filho de Ludwig Georg Bolzmann e de Kaharina Pauernfeind. eu pai era cobrador de imposos e lhe proporcionou uma infância ranqüila. ua educação primária ficou a cargo de um uor paricular em sua própria casa. ua educação secundária foi feia em Linz, Áusria. Aos 15 anos perdeu seu pai, porém, não enfrenou dificuldades porque seu avô maerno lhe deixou como herança um fábrica de relógios em Berlim. Com 19 anos, em 1863, enrou para a Universidade de Viena para fazer o curso de Física e eve como professores Josef Loschmid, Joseph efan, Andréas Von Eingshausen e Jozef Pezval. Aos 22 anos, em 1866, Bolzmann defendeu o douorado com uma ese sobre a eoria Cinéica dos Gases orienado pelo professor efan. Em 1867 se ornou conferencisa e permaneceu por dois anos como assisene de efan. Em 1869, com 25 anos, foi nomeado professor de Física eórica na Universidade de Graz, na província de Esíria, na Áusria eenrional, depois de quaro anos nesse cargo, em 1873, aceiou a iularidade de uma das disciplinas de Maemáica na Universidade de Viena onde permaneceu rês anos. Em 1876, vola a Universidade de Graz, nesse mesmo ano casa com Henriee Von Aigenler com quem eve cinco filhos (rês meninas e dois meninos), e permanece quaorze anos nessa Universidade, desa vez para desempenhar a cáedra de Física Experimenal. Nessa época Bolzmann já era muio conhecido no mundo cienífico, em 1885 se ornou membro da Academia de Ciências do Império Ausríaco e em 1887 se ornou Presidene da Universidade de Graz. Em 1890, aceiou o convie para a cáedra de Física eórica na Universidade de Munique, na Baviera, Alemanha. Em 189 vola a Universidade de Viena, desa vez na cáedra de Física eórica que esava vaga devido a more de Joseph efan. No ano seguine, Erns Mach foi nomeado iular da cáedra de Hisória e Filosofia das Ciências. Bolzmann e Mach eram oposiores na ciência, e al era a anipaia enre eles que, em 1900, Bolzmann aceiou o convie para lecionar na Universidade de Leipzig, convie ese feio por Wilhelm Oswald que embora não concordando com o pono de visa cienífico de Bolzmann, maninha com ele um bom relacionameno social. Em 1901, Erns Mach é afasado da Universidade de Viena por moivo de saúde. Em 1902, Bolzmann vola à Universidade de Viena para ocupar as cáedras de Física eórica e de Hisória e Filosofia das Ciências. uas conferencias sobre Filosofia ficaram ão famosas que ocasionaram um convie especial do imperador Francisco José para proferir na core uma série de palesras com emas cieníficos. Bolzmann permaneceu na Universidade de Viena aé 1906 por ocasião de sua more. 2 Polêmicas e esemunhos

3 No final do século 19, muios Físicos e Químicos de renome não aceiavam a idéia de que a maéria é desconínua e Bolzmann elaborou oda sua eoria com base no conceio de a maéria ser consiuída por áomos e moléculas, ambém comungavam com essa idéia vários sábios da época como o escocês Maxwel e o americano Gibbs. Para se er idéia das dificuldades imposa a Bolzmann, o edior de um proeminene jornal alemão de Física recusou um de seus rabalhos sobre áomos e moléculas por considerá-lo uma conveniene consrução eórica. Enre os que criicaram os rabalhos de Bolzmann esão Mach, Oswald, Loschmid, Zermelo, Planck. Na Conferência de Halle em 1891, Oswald e Planck enaram convencer Bolzmann da superioridade do méodo puramene ermodinâmico sobre o aomísico, Bolzmann repeninamene disse: "Eu não vejo razão para não considerar a energia dividida aomicamene". Em 1897, Bolzmann sugeriu a Planck o uso de seu méodo esaísico para o raameno da radiação do corpo negro. Em 1900 Planck, oalmene converido em adepo do méodo aomísico, uilizou o méodo esaísico de Bolzmann para explicar sua lei da radiação e ornou-se um de seus maiores fãs, sendo que 190 escreveu: " Clausius e Maxwell nunca enaram dar uma definição direa da enropia em ermos mecânicos. Esse passo foi dado por Bolzmann, a parir da eoria cinéica dos gases, definindo a enropia de forma geral e inequívoca, como o logarimo da probabilidade de um esado mecânico " Em 1906, no livro eoria da Radiação do Calor de Max Planck aparece pela primeira vez a famosa equação: = k log W onde é a enropia, W probabilidade de um esado mecânico e k uma consane, hoje chamada de consane de Bolzmann. Essa equação esá gravada na pedra acima do buso de Bolzmann em seu úmulo no Cemiério Geral de Viena. Nesse mesmo ano, em 5 de eembro de 1906, quando passava férias na Baía de Duino, pero de riese, Bolzmann, com saúde física e menal abalada comee um ao insano, enquano sua esposa e filha esavam na praia, ele em casa se enforcou. Depois de sua more, rabalhos independenes de Alber Einsein e Marian moluchowski sobre o movimeno brawnniano e a verificação experimenal feia por Jean Bapise Perrin demonsraram que a maéria era consiuída por moléculas. Denre os Físicos noáveis que reconheceram os rabalhos de Bolzmann enconra-se Erwin chrödinger, fundador da Mecânica Ondulaória, que após er esudado as aplicações dos méodos esaísicos de Bolzmann em profundidade emiiu uma enusiásica ciação sobre a linha de pensameno de Bolzmann: "ua linha de pensameno pode ser chamada meu primeiro amor em ciência. Nenhuma oura jamais me encanou ou jamais o fará novamene." Junamene com o físico americano Josiah Willard Gibbs ( ) que rabalhou na mesma linha que ele, de forma independene, Bolzmann é considerado um dos criadores da Mecânica Esaísica. Fãs e críicos do rabalho de Bolzmann concordam que ele abriu caminho para muias aproximações usadas aualmene em Mecânica Esaísica, porém, não deixou uma eoria unificada coerene. Denre os papers colecionados em Wissenschafliche Abhandlung podemos ver mais de 100 papers só em Mecânica Esaísica. 3 Um dos rabalhos imporanes de Bolzmann feio em 1871 é conhecido como disribuição de Maxwell-Bolzmann, na qual se verifica que a energia média de

4 movimeno de uma molécula é igual para cada direção. Nese rabalho vemos o reconhecimeno da imporância da eoria Eleromagnéica de Maxwell. CONRIBUIÇÕE IGNIFICAIVA Lei de Bolzmann e Lei de efan - Bolzmann Em 1879, com base em fundamenos experimenais, Josef efan ( ) fez a conjecura de que a energia oal irradiada por um corpo aquecido varia com a quara poência da emperaura absolua. A formulação mais precisa foi dada em 188 por Bolzmann. Devido à imporância do rabalho desenvolvido por Bolzmann nessa época faremos um breve resumo hisórico. No período de 1868 a 1871, Bolzmann generalizou a lei da disribuição de Maxwell para gases poliaômicos, ambém levando em cona a presença de forças exernas; com iso produziu o famoso faor de Bolzmann exp(- oal da molécula. Esas invesigações ambém levaram ao eorema da equiparição. Para obermos a lei que inroduziu o famoso faor de Bolzmann, suponhamos que exisa algum ipo de força disina da gravidade, que aue sobre as moléculas de um gás. Por exemplo, as moléculas podem esar carregadas elericamene e podem sofrer a auação de um campo elérico ou de oura carga que as araia. Ou, devido às arações múuas dos áomos enre si, ou pela parede ou por um sólido ou alguma oura razão, exise uma força de aração que varia com a posição e que aua sobre odas as moléculas. uponhamos agora, para simplificar, que odas as moléculas são iguais e que a força aue sobre cada uma individualmene, de modo que a força oal sobre uma porção de gás seja simplesmene o número de moléculas muliplicado pela força sobre cada uma. Para eviar complicações desnecessárias, vamos escolher um sisema de coordenadas com o eixo-x na direção da força F. e omarmos planos paralelos no gás, separados por uma disância dx, a força sobre cada áomo, muliplicada por n áomos por cm 3, muliplicada por dx, deve ser equilibrada pela variação da pressão: Fndx = dp = kdn (P = nk). e observarmos, veremos que - Fdx é o rabalho que realizamos para levar a molécula de x a x + dx, e se F provém de um poencial, podemos dizer que o rabalho realizado pode represenar uma variação de energia poencial (EP). A diferencial negaiva da variação da energia poencial é igual ao rabalho realizado Fdx, porano: Fdx k dn n d EP, porano: dn n d EP k n = (consane)e -EP/k Inegrando em: (Lei de Bolzmann) Como o equilíbrio érmico não pode exisir se as forças exernas não forem conservaivas, podemos generalizar o caso paricular usado para a dedução da Lei de Bolzmann. Bolzmann mosrou além disso que a lei de disribuição proposa é exaamene a disribuição original de Maxwell, por isso é conhecida hoje como disribuição de Maxwell-Bolzmann. Em 1872 chegou ao

5 famoso eorema-h que proporcionou uma base molecular para a endência naural de abordar sisemas físicos, e permanecer neles um esado de equilíbrio. Dese modo esabeleceu uma ligação enre o caminho microscópico (o que caraceriza a mecânica esaísica) e o caminho fenomenológico (o que caraceriza a ermodinâmica) com uma ransparência como nunca anes foi enconrada; ambém proporcionou um méodo direo para calcular a enropia de um dado sisema físico do pono de visa microscópico. Como um corolário do eorema-h, Bolzmann mosrou que a disribuição de Maxwell-Bolzmann é a única disribuição que permanece invariável, sob a influência de colisões moleculares. Em 1876 Bolzmann deduziu sua famosa equação de ranspore que, em 1916 Chapman e Enskog, provaram ser uma ferramena exremamene poderosa para invesigar propriedades macroscópicas de sisemas em esado de não-equilíbrio. Iso porém veio razer conseqüências desagradáveis para Bolzmann. eu eorema-h e o conseqüene caráer irreversível de seu sisema físico foram os responsáveis por severas críicas, principalmene de Loschmi (1876) e Zermelo (1896). Enquano Loschmi esava preocupado com as conseqüências dese eorema poder ser ajusado com o caráer reversível das equações básicas do movimeno das moléculas, Zermelo esava preocupado em como suas conseqüências poderiam ser ajusadas com o comporameno de sisemas quase periódicos que aparecem devido aos chamados ciclos de Poincaré. Bolzmann se defendeu conra esses aaques com odas as forças, mas não pode convencer seus oponenes da precisão de seu rabalho. Ao mesmo empo, energesisas conduzidos por Mach e Oswald, criicaram muio a base (molecular) da eoria cinéica. O esudo da densidade de energia oal em um campo de radiação é conhecido como Lei de efan-bolzmann e pode ser enunciada como uma relação enre a densidade de energia oal em um campo de radiação e a emperaura do corpo emissor ( suposa igual para odos os ponos do corpo emissor). Quando Maxwell esudou a eoria do campo eleromagnéico, concluiu que as ondas eleromagnéicas inham, enre suas propriedades, a de possuírem quanidade de movimeno. Como na roca de energia enre o campo de radiação e os corpos, essa quanidade de movimeno varia, essa variação corresponde a uma força aplicada pelo corpo ao campo de radiação, de modo oalmene análogo ao que aconece com as moléculas de um gás conidas em um recipiene. Enão, a reação da radiação corresponde a uma força que aua sobre as paredes do corpo. A pressão exercida sobre os corpos desse modo já foi medida 5 experimenalmene e seu valor é 1 3. Aplicando o primeiro e segundo Princípios da ermodinâmica: dq = du + PdV e d = dq/ ubsiuindo emos: 1 3 d V = d. + 3 dv dv ; porano, 1 3

6 Muliplicando e dividindo o primeiro ermo do segundo membro por d, emos: d V d d d 3 dv (1) A diferencial oal da função é dada por: d V d V dv (2) Quando comparamos as equações (1) e (2) emos: V V d d e V 3 Derivando essas equações, a primeira em relação a V e a segunda em relação a, emos: 2 V 1 d d e 2 V 3 d d endo: 1 d d V d d 3 2 V, emos: eparando as variáveis e inegrando, emos: d d C n n na na C Porano, a (3) Lei de efan-bolzmann /c emos: R c a Donde R ac ac (consane de efan) 5, 67x10 8 W. m 2 K

7 Porano: R. ou R e.. onde R é o poder de emissão oal emiida por segundo em odas as freqüências, aravés de 1 m 2 de uma superfície à emperaura absolua ; e é uma consane com valores de 0 a 1, e recebe o nome de poder de emissão oal e depende da superfície emissora. É de ineresse da Física o esudo da radiação absorvida por uma superfície. Essa propriedade é medida por uma consane que recebe o nome de poder de absorção, e é definida como o quociene da energia da radiação érmica oal absorvida pela superfície, pela energia érmica oal que incide sobre ela. Foi verificado experimenalmene que corpos em equilíbrio érmico apresenam e (idenidade de Kirchhoff). () Hisórico sobre o eorema de Bolzmann No fim do século passado, depois da unificação da Alemanha (1871) e em plena revolução indusrial na Europa ( ), a Alemanha liderou o desenvolvimeno de novas aividades econômicas, como a indúsria química e a produção de energia elérica, além das já exisenes, como a carbonífera, siderúrgica e êxil. Durane séculos os produos químicos foram exraídos de subsâncias naurais, como os fosfaos e os niraos. Os fosfaos, niraos e nirogênio sinéico ransformaram-se em maéria prima para produção de explosivos e ferilizanes. Houve uma corrida para as fones de niraos e fosfaos. Na África, mais precisamene no Congo havia fone de nirao, mais os ingleses eram os colonizadores, enão os alemães se volaram para o Chile onde a fone de fosfao era o deposio de excremeno de aves (o guano) e para maner uma roa em caso de guerra planaram colônias alemãs no sul do Brasil, na Argenina e no Chile. Os ingleses para se precaverem reomaram as Ilhas Malvinas que esava esquecida no sul da América do ul e colonizada por argeninos. A única saída dos alemães foi inroduzir nas Universidades a disciplina de Química eórica com o fim de esudar a sínese de maeriais. 7 de Bolzmann. Nesse conexo nasce o eorema H e a famosa equação de ranspore Vamos assumir um gás suficienemene rarefeio al que somene colisões binárias devem ser levadas em cona. Os efeios de forças exernas nas colisões são ignorados, assumindo que esas forças, se exisirem, eriam pequena ação sobre o poencial inermolecular.. f. col. Nós definimos a função disribuição de equilíbrio como a solução da equação de ranspore de Bolzmann, a qual é independene do empo. Poderemos ver que, além disso, o limie da função disribuição com o empo ende a infinio. É assumido que não exisem forças exernas. Iso consise em assumir que a função

8 disribuição é independene da posição de f( p, ). r, porano podemos descrevê-la por equação A função disribuição no equilíbrio é descria por f o (p) é a solução da. f p,. 0. A função H de Bolzmann é dada por: H d 3 v. f p, log f p, (6) Derivando a úlima equação em relação ao empo, emos: dh( ) d Porano, 3 d v.. f p,. f implica log f p, dh d (7) 0 (condição necessária) eorema H de Bolzmann e f saisfaz a equação de ranspore de Bolzmann. enão: dh 0 (8) d Para uma dada função disribuição f p, H d 3 p. f p, log f p,, H é definida como (9) 8 A evolução no empo da função H é deerminada pela evolução no empo da função f p,, o que de um modo geral não saisfaz a equação de ranspore de Bolzmann. aisfaz a equação de ranspore de Bolzmann somene no insane quando assumimos que aconece o caos molecular. (Conceio moderno de caos é: forma de esudar sisemas aparenemene desordenados, ou seja, sisemas com muios graus de liberdade) Bolzmann. O eorema H afirma que se a um dado insane o esado do gás 0): a) dh/d 0 b) dh/d = 0 se e somene se f v, é a disribuição de Maxwell - A hipóese do esado de caos molecular passa por: e f(p,) é a probabilidade de enconrar uma molécula com velocidade p no empo, a probabilidade de enconrar simulaneamene uma molécula com velocidade p no

9 empo é f(p,).f(p,). Esa suposição diz respeio a correlação enre duas moléculas e não diz nada acerca da forma da função disribuição. Enão o esado que o gás possui em uma dada função disribuição pode ou não pode saisfazer a hipóese do caos molecular. Quando um gás esá em um esado de caos molecular, H é indicado por um pico (Máximo). Enropia e probabilidade No livro "he heory of Hea Radiaion" de Max Planck aparece pela primeira vez a relação enre Enropia e Probabilidade. endo a enropia, W a probabilidade de um sisema físico em um esado definido; enão para esse esado proposo emos: = f(w) (1) Onde f(w) represena um função universal de argumeno W. O conceio maemáico de probabilidade pode ser aplicado a um sisema físico que consise em dois sisemas compleamene independenes.a probabilidade W será dada pelo produo da probabilidade dos dois sisemas. e considerarmos, por exemplo, o primeiro sisema como um corpo qualquer na erra e o segundo sisema como uma cavidade conendo radiação em irius, enão a probabilidade de que o corpo erresre enha um cero esado 1 e simulaneamene a radiação na cavidade e um esado 2 é: W = W 1.W 2 (2) Onde W 1 e W 2 são as probabilidades dos sisemas envolvidos nos esados em quesão. e agora 1, e 2 são as enropias dos sisemas separados em dois esados, enão, de acordo com a equação (1), nós emos: 1 = f(w 1 ) e 2 = f(w 2 ) Mas de acordo com o segundo princípio da ermodinâmica, a enropia oal dos dois sisemas, os quais são independenes uns dos ouros, é: = enão, uilizando as equações (1) e (2) emos: f(w 1. W 2 ) = f(w 1 ) + f(w 2 ). (3) A parir dessa equação podemos deerminar a função f. Diferenciando ambos os membros da equação (3) com respeio a W 1 e considerando W 2 consane, nós obemos:.. W 2 f(w 1 W 2 ) = f(w 1 ) () 9 Em seguida, diferenciando a equação () com relação a W 2, e agora W 1 permanecendo consane, emos:... f(w 1 W 2 ) + W 1 W 2 f(w 1 W 2 ) = 0... f(w) + Wf(W) = 0 A inegral desa equação diferencial de segunda ordem é : ou

10 f(w) = k log W + consane Porano, uilizando a equação (1), emos: = k log W + consane (5) A equação (5) mosra como de forma geral a enropia depende da probabilidade. A consane universal de inegração k é a mesma para quaisquer sisemas erresres ou cósmicos, e seu valor em sido deerminado aneriormene e permanece válido aé hoje. A segunda consane adiiva de inegração pode, sem a menor resrição, ser incluída como uma consane de muliplicação na quanidade W, a qual não esá compleamene definida aqui, porano a equação (5) se reduz a: = k log W Bibliografia ANORO, A. Evolução do Conceio de Energia, da Lei da Eqüiparição à Quanização. Disseração de Mesrado apresenada à Universidade Presbieriana Mackenzie, ANORO, A. Física Moderna, Universidade Prebieriana Mackenzie, CAHL,ão Paulo, PLANCK, Max. he heory of Hea Radiaion, 3.ed. New York, Dover,1959. CARRINGON, Gerald. Basic hermodynamics. New York, Oxford Universiy Press, 199. FLAMM, Dieer. Insiu für heoriiche Physik der Universiä Wien,Vienna, Ausria, Ludwig Bolzmann A Pioneer of Modern Physics, paper presened a he XXh Inernaional Congress of Hisory of cience, on July 25, 1997, in Liège, Belgium. LUDWIG BOLZMANN. Disponível em: hp://en.wikipedia.org/wiki/ Ludwig Bolzmann. Acesso em 26 jun LUDWIG BOLZMANN. Disponível em: hp:// Biografi/b-l_bolzmann.hm. Acesso em 29 abr LUDWIG BOLZMANN. Disponível em: hp://fisica.ufpr.br/hermo/ Bolz.hml. Acesso em 29 abr BOLZMANN' WORK IN AIICAL PHYIC. Disponível em: hp://plao.sanford.edu/enries/saphys-bolzmann/. Acesso em 29 abr BOLZMANN, LUDWIG. Disponível em: hp://scienceworld.wolfram.com/biography/bolzmann.hhl. Acesso em 29 abr H HEOREM. Disponível em: hp://scienceworld.wolfram.com/physics/h-heorem.hml. Acesso em 19 mai BOLZMANN, LUDWIG. Disponível em: hp:// 10

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