CPV O cursinho que mais aprova na GV

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Yago Barros Aquino
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1 O cursinho que mis prov n GV FGV ADM Discursiv 06/junho/00 mtemátic 0. São curiosos os números. Às vezes é mis útil rredondá-los do que trblhr com seu vlor exto. Se, por exemplo, 366 pessos ssistirm um show musicl, podemos proximr o número à centen mis próxim e dizer que cerc de 400 pessos presencirm o show. Observe com tenção est pesquis feit pel ANCINE, Agênci Ncionl do Cinem, sobre evolução d quntidde de sls de cinem no Brsil, devido à concorrênci, entre outros, de filmes n televisão e filmes em DVD. 0. Um pesquis publicd pel Orgnizção ds Nções Unids pr Agricultur e Alimentção mostr como crise globl provoc o umento do número de pessos que pssm fome no mundo. A prtir ds informções dos gráficos cim, clcule: ) Aproxime os ddos do gráfico à centen mis próxim e respond: Em 008, qunts sls de cinem estvm loclizds em municípios com ou menos hbitntes? b) Usndo os ddos rredonddos do item A, expresse, em porcentgem, redução do número de sls de cinem brsileirs de 008, em relção o número de sls de 975. ) Aproximndo 78 pr 300, temos: n = 4% x 300 = 9 sls de cinem b) De 975 pr 008, houve redução de 000 sls 000 Em 30,3% de redução 3300 fgv0jundm_mtemátic ) O número de pessos subnutrids n zon de Ási e Pcífico em 009. b) O número de pessos subnutrids n zon de Ási e Pcífico em 008. ) Somndo o número de subnutridos em 009 ns demis regiões, temos: = 375 milhões No gráfico à esquerd é ddo que quntidde totl de subnutridos em 009 foi de.07 milhões. Assim, o número de subnutridos em 009 n zon de Ási e Pcífico foi de: = 64 milhões. b) Do gráfico à direit, temos que o umento de 008 pr 009 foi de 0%. Logo: \ x( + 0,) = 64 Û 583,64 milhões

2 FGV 06/06/00 o cursinho que mis prov n GV 03. Um crpinteiro deve construir um cix com form de um cubo, porém bert, sem um tmp. Vi usr 3,5 m de mdeir, que ele compr em um loj de mteriis de construção por R$,00 o metro qudrdo. Além disso, hverá um reforço especil de mdeir compensd em tods s rests, que lhe custrá R$ 3,00 por metro. A que preço o crpinteiro deve vender cix pr obter um lucro de 0% sobre qunti gst n compr dos mteriis que usou pr construir cix? Cálculo d rest: Áre mdeir = 3,5 m 5l = 3,5 l = 6,5 l =,50 m Cálculo do custo totl: C T = 3,5.,00 +.,50. 3,00 C T = C T = 465,00 Incorporndo mrgem de lucro vem: preço = 465,00., = R$ 558,00 l l l l 04. No seu livro Introdução à Álgebr, Leonhrd Euler propõe um curioso e interessnte problem os leitores: Dus cmponess junts crregm 00 ovos pr vender em um feir e cd um vi cobrr seu preço por ovo. Embor um tivesse levdo mis ovos que outr, s dus receberm mesm qunti em dinheiro. Um dels disse, então: Se eu tivesse trzido o mesmo número de ovos que você trouxe, teri recebido 5 kreuzers (ntig moed ustríc). Ao que segund respondeu: Se eu tivesse trzido quntidde de ovos que você trouxe, teri recebido 0 3 kreuzers. Relei o texto com tenção e respond: Quntos ovos crregv cd um? Sejm A e B s quntiddes de ovos trzids pels cmponess e x e y os seus respectivos preços unitários. Temos: A + B = 00 ( I) xa= yb ( II) xb = 5 ( III) 0 ya = IV ( ) 3 Fzendo (III) x (IV) e unindo com II, temos: xb. ya = 00 xa = yb = 0 xa= yb xb = 5 xa = 0 ( A + B) x = 5 x = 4 A + B = 00 xa = 0 xb = 5 x = 4 A = 40 e B = 60 fgv0jundm_mtemátic

3 o cursinho que mis prov n GV FGV 06/06/ ) Os irmãos Pblo, An e Mrt tirrm um foto juntos, um o ldo do outro. Com um régu, obtiverm s lturs n foto: Pblo: 8, centímetros; An: 6, centímetros; Mrt: 5,7 centímetros. A ltur rel de An é,4 metro. Qul é ltur rel de Pblo e de Mrt? b) Provvelmente, você não sbe que os crtões de crédito ou de débito que tnto usmos são retângulos áureos, ou sej, rzão entre seus ldos é igul o número de ouro: + 5 Observe figur e demonstre que b = ) Determine todos os números nturis que stisfzem simultnemente s inequções: 0 x ³ 0,06 e 0 x 0,45 b) Os sistems de inequções são úteis pr resolver ntigos problems como este, proximdmente, do no 50: Três estudntes receberm cd um um mesm list de plvrs sinônims que deverim ser escolhids em pres. Cd plvr tinh um únic plvr sinônim correspondente. Dentro do tempo permitido, o primeiro colocdo conseguiu pres corretos; o segundo colocdo tinh dois terços dos pres corretos e o terceiro, qutro mis do que metde do número de pres corretos. Qul er o totl de pres corretos de plvrs sinônims? ) 0. x 0, x 0, 45 (. 0) x 0, 6 0 0, 6 x 4, 5 (. ) x 4, 5 ) Sendo P: ltur de Pblo e M: ltur de Mrt, temos s proporções: 6, 8, 5, 7 = =, 4 P M P =,6 m e M =,4 m b) Temos, por semelhnç de triângulos: b b = Þ b b = 0 b Dividindo os dois membros por b, temos: b b = 0 Þ b b b b b = 0 Donde vem D = ( ) 4 () ( ) = 5 b = ± 5 Como b > 0, temos: b = 5 + b ( b) b Logo, solução nturl é S = {,, 3, 4} b) Sej x o totl de pres corretos: o colocdo: certos o colocdo: 3. x certos 3 o x colocdo: + 4 certos Como o totl de certos de cd um tem que ser número inteiro, x deve ser múltiplo de e de 3, ou sej, múltiplo de 6. Ds posições dos prticipntes, elbormos seguinte inequção: x + 4 < x x > 4 x < x < 3 x < x < 3 5, 3 Þ 4 < x < 3,5 como x é múltiplo de 6, temos solução únic x = 30. fgv0jundm_mtemátic

4 4 FGV 06/06/00 o cursinho que mis prov n GV 07. Extrímos um bol d urn representd bixo, notmos o seu número e devolvemos à urn. Retirmos um segund bol, notmos o seu número e o dicionmos o nterior. Qul é probbilidde de que som sej 4? 09. A figur ilustr s medids que um topógrfo tomou pr clculr distânci do ponto A um brco ncordo no mr. sen6º = 0,88; cos6º = 0,47 sen70º = 0,94; cos70º = 0,34 B B \ P = 3 9 = 3 A probbilidde de que som sej 4 é Ao copir d lous um equção polinomil de 3 o gru e de coeficientes inteiros, Crlos escreveu errdo o termo em x e o termo que não tem ftor x. Resolvendo-, dus ds rízes que encontrou form i e. A professor já hvi dintdo que um ds rízes d equção originl er i. ) Qul é equção originl? b) Quis são s outrs dus rízes d equção originl? ) D equção originl x 3 + bx + cx + d = 0 podemos confir somente nos coeficientes e b de Crlos, de modo que som de rízes é relmente obtid por ele: -b = + ( i) + i Û -b = (Observe que, cim, terceir riz foi obtid pelo Teorem ds Rízes complexs). N equção corret, temos que s rízes originlmente erm: x = i; x = i e x 3 =. Como som er dd por x + x + x 3 = -b Û = Reescrevendo equção originl, n form ftord: (x i) (x + i) (x ) = 0 Û (x 3 x + 4x 8) = 0, com Î *. ) Use os ddos obtidos pelo topógrfo e clcule distânci do ponto A o brco. É conveniente trçr ltur AH do triângulo ABC. b) Use esses mesmos ddos pr clculr o vlor de cos48º. Se quiser, utilize os produtos: 88 x 94 = 87 e 47 x 34 = 598. ) Pelo Teorem dos senos, temos: x 50 x 50 sen6 = sen = Þ x = 46,8 m º, 0, 94 b) cos 48º = cos(6º + 70º) = = [cos 6º. cos 70º sen 6º. sen 70º] = = [0,47. 0,34 0,88. 0,94] = = [0,598 0,87] cos48º = 0,6674 b) As rízes d equção originl erm i, i,. fgv0jundm_mtemátic

5 o cursinho que mis prov n GV FGV 06/06/ Os diretores de um empres de consultori estimm que, com x funcionários, o lucro mensl que pode ser obtido é ddo pel função: P(x) = 0 + n x 5 0,x mil reis. Atulmente empres trblh com 0 funcionários. Use s proximções: ln = 0,7; ln 3 =, pr responder às questões seguintes: ) Qul é o vlor do lucro mensl d empres? b) Se empres tiver necessidde de contrtr mis 0 funcionários, o lucro mensl vi umentr ou diminuir? Qunto? ) N situção inicil, x = 0: P (0) = 0 + n 400 0,. 0 5 P (0) = 8 + n 4 = n = 0,8 mil reis Comentário do A prov objetiv de Mtemátic do vestibulr FGV junho de 00 presentou um mplitude considerável de dificulddes, com questões de resolução imedit e outrs mis exigentes. A prov disserttiv mostrou-se bstnte dequd, com tems vridos e dificuldde em sintoni com o nível de discriminção desejdo. Em relção o vestibulr nterior, houve um notável gnho de qulidde d prov, em termos de clrez dos enuncidos e em rigor conceitul, despeito d questão 8 d prov disserttiv, que dmiti mis de um solução, enqunto o enuncido sugeri que solução er únic. Acreditmos que Bnc Exmindor lcnçou o objetivo de selecionr os cndidtos mis bem preprdos. b) Pr x = 30: P (30) = 0 + n P (30) = 7 + n 36 = 7 + n + n 3 = = 7 +. n +. n 3 P (30) = 0,6 mil reis \ o lucro vi diminuir R$ 00,00. fgv0jundm_mtemátic

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