UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS

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1 1 NOTA DE AULA 1 UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA Disciplin: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I (MAF 1) Coordendor: PROF. EDSON VAZ CAPÍTULOS: 1,, 3 e 4 OBS: Est not de ul foi elbord com intuito de uxilir os lunos com o conteúdo d disciplin. Entretnto, su utilizção não substitui o livro 1 texto dotdo. CAPÍTULO I MEDIDAS INTRODUÇÃO Por que estudr Físic? Est é um pergunt que o luno deve tentr responder ntes de inicir o estudo dos conceitos d Físic. Um ds rzões de estudr Físic pode ser de que cientists de vris áres diferentes usm idéis d Físic, outro motivo é que Físic é um ds bses de tod Engenhri e tecnologi, pois, ntes de projetr um dispositivo prático o engenheiro deve primeiro entender os princípios básicos nele envolvidos. Sej qul for su motivção, o luno deve ter sempre em mente que Físic deve ser usd pr resolver problems práticos e compreender fenômenos que ocorrem no di--di. Durnte o estudo o luno deverá questionr, investigr, prender fzer pergunts, nlisr e tirr conclusões proprids dos resultdos. NOTAÇÃO CIENTÍFICA Pr expressr s grndezs muito grndes e s muito pequens, gerlmente usmos notção científic, que empreg potêncis de 1. Um número qulquer pode ser expresso como o produto de um número compreendido entre 1 1, por um potênci de 1 dequd. Exemplos: 53 = 5,3. 1 4,3 = HALLYDAY, D; RESNICK, R; e WALKER, J. Fundmentos de Físic. Rio de Jneiro: LTC. V.1.

2 ORDEM DE GRANDEZA A ordem de grndez mis próxim de um número é potênci de 1 mis próxim deste número. Números com diferençs grndes podem ter mesm ordem de grndezs, portnto, ordem de grndez gerlmente é utilizd em cálculos ou comprções grosseirs. Exemplos: A ordem de grndez mis próxim de, é 1 4 A ordem de grndez mis próxim de 7, é 1 5 MEDINDO GRANDEZAS As grndezs físics devem ser medids trvés de comprção com um pdrão por exemplo, metro pr o comprimento e segundo pr o tempo. Os pdrões fundmentis devem ser cessíveis e invriáveis. Se definirmos o pdrão de comprimento como distânci entre o nriz d pesso e o seu dedo indicdor mntendo um brço estendido, temos certmente um pdrão cessível que irá, obvimente vrir de pesso pr pesso. Então, este não é um bom pdrão de referênci. Antigmente, s uniddes de comprimento erm quse sempre derivds ds prtes do corpo do rei de cd pís: jrd, o pé, polegd. O SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (Sistem Métrico) Em 1971, 14ª conferênci gerl sobre pesos e medids escolheu sete grndezs como fundmentis formndo dest mneir bse do Sistem Interncionl de Uniddes (S.I). GRANDEZA Comprimento Mss Tempo Corrente Elétric Tempertur Quntidde de Mtéri Intensidde Luminos UNIDADE NO SI metro (m) quilogrm (kg) segundo (s) mpére (A) kelvin (K) mol (mol) cndel (cd) As outrs grndezs físics são definids em termos ds grndezs fundmentis. A seguir vmos citr o pdrão ds três grndezs fundmentis (comprimento, mss e tempo) que usremos neste curso.

3 3 COMPRIMENTO: A unidde de comprimento o metro é definid com distânci percorrid pel luz durnte um intervlo de tempo precismente especificdo. TEMPO: A unidde de tempo o segundo é definid tem termos ds oscilções de luz emitid por um fonte tômic (Césio 133). MASSA: A unidde de mss o quilogrm é definid em termos de um protótipo prticulr de pltin iridid mntid próxim Pris n Frnç. CAPÍTULO II MOVIMENTO RETILÍNIO EM UMA DIMENSÃO CINEMÁTICA: No estudo d cinemátic, procurmos descrever os movimentos sem nos preocuprmos com sus cuss. PARTÍCULA: Dizemos que um corpo se comport como um prtícul qundo sus dimensões podem ser desprezds em relção o fenômeno estuddo. Observção: Pode-se considerr que um objeto se move como um prtícul, qundo tods s prtes deste objeto se movem n mesm direção e com mesm rpidez. O MOVIMENTO É RELATIVO: O movimento de um corpo visto por um observdor, depende do referencil no qul o observdor está situdo, então, pr determinr posição, trjetóri ou velocidde de um corpo devemos definir o sistem de referênci. POSIÇÃO: Loclizr um objeto signific determinr su posição em relção lgum ponto de referênci, freqüentemente origem (ou ponto zero) de um eixo. A posição é positiv ou negtiv, de cordo com o ldo d origem em que prtícul está, ou zero se prtícul está n origem. sentido negtivo sentido positivo DESLOCAMENTO O deslocmento é um grndez vetoril (possui módulo, direção e sentido) que represent mudnç de posição. No eixo x, temos que x x x1

4 4 onde: x 1 é posição 1 e x é posição O luno não deve confundir o deslocmento (grndez vetoril) com distânci percorrid (grndez esclr). dd por: VELOCIDADE MÉDIA (Vm): A velocidde médi é um grndez vetoril. N direção x, é v m x t x x t 1 onde: x é o deslocmento ocorrido no intervlo de tempo t VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA (rpidez): v distnci ˆ percorrid m tempo O luno não deve confundir velocidde médi (grndez vetoril) com rpidez (grndez esclr). VELOCIDADE INSTANTÂNEA: A velocidde é um grndez vetoril. A velocidde em qulquer instnte é obtid prtir d velocidde médi, encolhendo o intervlo de tempo t, fzendo-o tender zero. Devemos observr que velocidde médi dá um idéi muito vg d velocidde rel do corpo, pois, consider pens o tempo totl do percurso sem levr em cont tempo de prd ou se o corpo está mis rápido ou mis lento em cd prte d trjetóri. v x dx lim t t dt A velocidde é tx com que posição d prtícul x está vrindo com o tempo em um ddo instnte; ou sej, velocidde é derivd de x em relção t.

5 5 UNIDADE DE VELOCIDADE: A unidde de velocidde no SI é o metro/segundo (m/s) Cálculo d velocidde, usndo o gráfico x x t (posição contr o tempo). Em um gráfico x x t, velocidde médi pr um intervlo de tempo t é o coeficiente ngulr d ret que lig os pontos sobre curv que representm os extremos do intervlo. No mesmo gráfico, velocidde em qulquer instnte é declividde d curv (ou coeficiente ngulr d ret tngente curv) no ponto que represent quele insntnte. ACELERAÇÃO MÉDIA ( m ): A celerção é um grnde vetoril. Qundo velocidde de um prtícul vri, diz-se que prtícul sofre um celerção. Pr um movimento o longo de um eixo, celerção médi em um intervlo de tempo t é m v v v t t t 1 1 ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA: A celerção é tx de vrição d velocidde com o tempo (derivd d velocidde com o tempo) e derivd segund d posição em relção o tempo. dv dt dt d x Em um gráfico v x t, celerção em qulquer tempo t é declividde d curv no ponto que represent t. UNIDADE DE ACELERAÇÃO: A unidde de celerção no SI e m/s. Observe que o seu corpo rege celerções (ele é um celerômetro), ms não velociddes (ele não é um velocímetro). Qundo você está em um crro vijndo 9 km/h ou em um vião vijndo 9 km/h, você não tem consciênci corporl do movimento. Entretnto, se o crro ou o vião vrir rpidmente su velocidde, você pode perceber bem está vrição, tlvez fique té pvordo por el. MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE: movimento uniformemente vrindo.

6 6 Pr um movimento com celerção constnte temos que: v t t ' ' ' v dv dv dt v v dt v v t dt v v t Equção d velocidde no MUV Onde: v é velocidde no instnte t v é velocidde inicil é celerção (constnte) Podemos determinr equção de posição pr este cso: x t t ' ' ' ' ( ) x dx v dx v dt x x v t dt dt Equção de posição do MUV t x x vt t x x vt isolndo o tempo t, n equção d velocidde e substituindo n equção de posição podemos obter equção v v x Equção de Torricelli Pr o cso prticulr de movimento sem celerção ( = ), velocidde permnece constnte e o movimento será uniforme. A equção de posição, pr este cso é x x v. t Equção de Posição no MU. ACELERAÇÃO DE QUEDA LIVRE Se você rremesssse um objeto pr cim ou pr bixo e pudesse de lgum mneir eliminr os efeitos do r no seu vôo, você chri que o objeto está celerdo pr bixo um cert tx constnte. Ess tx é chmd de celerção de qued livre, e seu módulo é representdo por g. Neste cso celerção independe ds crcterístics do objeto, el é mesm pr todos os objetos. O movimento em qued livre é um movimento retilíneo uniformemente vrido n direção verticl. Pr obter s equções pr este movimento bst substituirmos celerção ( = -g) ns equções do MUV. Após substituição, s equções se tornm

7 7 1 vt gt v v gt v v g O módulo d celerção de qued livre ns proximiddes d superfície d terr é g =9,8 m/s. Qundo substituímos celerção ( = -g), estmos considerndo o sentido positivo de pr cim e o sentido negtivo pr bixo. CAPÍTULO III VETORES GRANDEZAS VETORIAIS E ESCALARES unidde. As grndezs esclres ficm totlmente determinds por um vlor numérico e su Exemplos de grndezs esclres: tempertur, mss, comprimento, crg elétric, trblho, energi e potencil elétrico. As grndezs vetoriis só ficm completmente determinds qundo são conhecidos o seu módulo, su direção, o seu sentido e su unidde. Exemplos de grndezs vetoriis: deslocmento, velocidde, celerção, forç, cmpo elétrico e cmpo mgnético. Cálculos com grndezs esclres envolvem operções d ritmétic comum, ms os cálculos com grndezs vetoriis são diferentes. Como utilizremos lgums grndezs vetoriis em nosso curso, presentremos, gor, um nálise sobre som vetoril. SOMA DE VETORES Pr encontrr, grficmente, resultnte, s, d som de dois vetores e b trçmos o vetor b de modo que su origem coincid com extremidde do vetor. Unindo origem do vetor com extremidde do vetor b, obtemos resultnte s. Pr encontrr resultnte d som de vários vetores, trçmos os vetores de modo que extremidde de um coincid com origem do seguinte, e o vetor resultnte é o vetor que une origem do primeiro vetor com

8 8 extremidde do último. A ordem em que os vetores são desenhdos não fz diferenç, tente verificr est propriedde. Como exemplo representmos o vetor som, s, dos vetores, b e c. b c b c S = + b + c Pr o cso prticulr de dois vetores, e b, de mesm direção e mesmo sentido, som, s, é um vetor n mesm direção e sentido dos vetores ddos e o seu modulo é igul à som dos módulos de e b. Se, e b têm mesm direção e sentidos contrários, o módulo do vetor som é ddo pel diferenç dos módulos de e b sendo su direção e sentido, s mesms do vetor de mior módulo. Estes csos estão representdos ns figurs bixo. b s = + b b s = + b Se dois vetores não possuírem mesm direção, som dos vetores pode ser dd pel regr do prlelogrmo, que consiste em juntr s origens dos vetores e fechr um prlelogrmo, o vetor resultnte será ddo pel digonl deste prlelogrmo, como está representdo n figur bixo. b b s O módulo do vetor resultnte d som entre os dois vetores e b, pode ser clculdo pel seguinte formul: s = + b + b cos s = + b + b cos onde: b s,, b são os módulos dos vetores s, e b. é o ngulo entre os vetores e b. Qundo = 9 o, temos que: s = + b

9 9 COMPONENTES DE UM VETOR A componente de um vetor, segundo um direção, é projeção (ortogonl) do vetor nquel direção. Por exemplo, V x é componente do vetor V sobre o eixo x e V é componente o longo do eixo. DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR Ao determinrmos s componentes retngulres de um vetor V, encontrmos dois vetores V x e V que, em conjunto, podem substituir o vetor V, pois, V = V x + V. V Y V x V X Temos que: sen = V / V V = V sen cos = V x / V V x = V cos tg = V / V x Ests relções nos permitem clculr os vlores ds componentes V x e V qundo conhecemos o módulo do vetor V e o ângulo que ele form com o eixo OX. Qundo conhecermos os vlores ds componentes V x e V, o módulo do vetor V poderá ser obtido por. V = V + V x VETORES UNITÁRIOS: Um vetor unitário é um vetor que possui um módulo extmente igul um e que pont um direção prticulr. O vetor unitário não possui unidde, e seu único propósito é especificr um direção e sentido. Os vetores unitários nos sentidos positivos dos eixos x, e z são chmdos de i, j e k. A disposição dos eixos d figur bixo é chmd de sistem de coordends dextrogiro. O sistem permnece dextrogiro se ele for girdo rigidmente té um nov orientção. Usremos exclusivmente tl sistem de coordends nest disciplin.

10 1 j x k i z Os vetores podem ser escritos em função dos vetores unitários, por exemplo, um vetor V pode ser escrito como: V = V x i + V j + V z k A som de dois vetores A e B, cd um representdo por seus componentes, pode ser escrit em termos dos vetores unitários d seguinte form: S = ( A x + B x ) i + (A + B ) j + ( A z + B z ) k Observção: As componentes de um vetor podem ser positivs ou negtivs. EXERCÍCIO PROPOSTO 1. N figur bixo estão representds os vetores A, B e C. Determine, em termos de vetores unitários, e como um módulo, direção e sentido os vetores resultntes: Ddos: A = 9 cm; B = 8 cm; C = 6 cm ) A + B b) A + C c) B + C d) A + B + C B A x C RESPOSTA: ). R = (,7i ˆ + 7,5j)cm; ˆ 1 7,5cm R 1 87,87º x b). R = (4,79i ˆ-,7j)cm; ˆ 4,84cm x 8,3º R

11 11 c). R = (-1,5i ˆ-, 46j)cm; ˆ 3 1,8cm 13,16º R 3 x d). R = (-,73i ˆ +,4j)cm; ˆ 4 3, 41cm R 4 36,77º x OBS: ESTAMOS USANDO LETRAS EM NEGRITO PARA REPRESENTAR VETORES NO CAPÍTULO 3 CAPÍTULO IV Movimento em dus e três dimensões VETOR POSIÇÃO r A loclizção de um prtícul em relção à origem de um sistem de coordends é dd por um vetor posição r, que n notção de vetor unitário é r xiˆ j ˆ zkˆ VETOR DESLOCAMENTO r Qundo um prtícul se move de tl form que o seu vetor posição mud de r 1 pr r, então o deslocmento d prtícul é r r r xiˆ j ˆ zkˆ 1 VELOCIDADE MÉDIA v m Se um prtícul sofre um deslocmento r no tempo t, su velocidde médi v m pr este intervlo de tempo é v m r t

12 1 VELOCIDADE INSTANTÂNEA v r dr dx lim ˆ d ˆ dz v i j kˆ t t dt dt dt dt dx dt d v dt dz e v, z dt sendo vx, Temos que: v v iˆ v ˆj v kˆ x z A velocidde instntâne de um prtícul em cd ponto está sempre n direção tngente à trjetóri d prtícul nquele ponto. ACELERAÇÃO MÉDIA ( m) Qundo velocidde de um prtícul vri de v 1 pr v em um intervlo de tempo t, su celerção médi m durnte este intervlo de tempo t é m v t ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA v dv dv dv x lim ˆ ˆ dvz i j kˆ ˆ ˆ ˆ xi j zk t t dt dt dt dt Se velocidde vrir em módulo, direção ou sentido (ou em mis de um), prtícul terá um celerção. MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL Movimento de um projétil, é o movimento de um prtícul que é lnçd com um velocidde v. Durnte o seu vôo, celerção horizontl d prtícul é nul e su celerção verticl é celerção de qued livre g (o sentido positivo é escolhido pr cim). No movimento de um projétil, o movimento horizontl e o movimento verticl são independentes um do outro; ou sej, nenhum dos dois movimentos fet o outro.

13 13 Est crcterístic nos permite decompor um problem envolvendo movimento bidimensionl em dois problems unidimensionis seprdos e mis fáceis de serem resolvidos, um pr o movimento horizontl (com celerção nul) e um pr o movimento verticl (com celerção constnte pr bixo). N figur bixo está representd trjetóri de um prtícul com velocidde inicil v, num ângulo com horizontl, considerndo x e. A velocidde inicil v, pode ser escrit como v v iˆ v ˆj x onde s componentes v x e v são v x v cos e v vsen Agor vmos nlisr o movimento de um projétil, n horizontl e n verticl. O MOVIMENTO HORIZONTAL N direção horizontl celerção é nul ( x ), portnto, componente d velocidde nest direção permnece constnte durndo todo o movimento ( vx v x). O movimento horizontl é um movimento uniforme, e equção de posição pr este cso é x x v t x x v cos t. x

14 14 O MOVIMENTO VERTICAL N direção verticl celerção é constnte ( g), portnto, o movimento verticl é o mesmo de um prtícul em qued livre (já estuddo no cpítulo ), e s equções do movimento o longo do eixo verticl são 1 1 v t gt v sen t gt v v gt v v sen gt v v g v ( v sen ) g A EQUAÇÃO DA TRAJETÓRIA Isolndo o tempo t, n equção de posição horizontl e substituindo n equção d posição verticl, podemos obter equção d trjetóri pr x e prbólic. ( tg ) x gx ( vcos ) Está é um equção do º gru ( v, e g so constntes), indicndo que trjetóri é O ALCANCE HORIZONTAL O lcnce horizontl R do projétil é distânci horizontl que o projétil percorreu o retornr à su ltur inicil. Usndo s equções de posição nos eixos x e, podemos mostrr que o lcnce é ddo por v R g sen Observe que lcnce R possui seu vlor máximo pr um ângulo de lnçmento de 45º. MOVIMENTO RELATIVO EM DUAS DIMENSÕES A velocidde de um prtícul depende do sistem de referênci de quem quer que estej observndo ou medindo est velocidde.

15 15 N figur bixo, estão representds dois sistems de referênci A e B, sendo que o sistem de referênci B se move com velocidde constnte em relção o sistem de referênci A. Os vetores posições podem ser relciondos por rpa rpb rba onde: r PA é o vetor posição d prtícul P em relção A. rpb é o vetor posição d prtícul P em relção B. rba é o vetor posição de B em relção A. Derivndo equção cim em relção o tempo, teremos relção entre s velociddes vpa vpb vba Onde: vpa é velocidde d prtícul em relção A. vpb é velocidde d prtícul em relção B. vba e velocidde de B em relção A. Observe que Derivndo s velociddes em relção o tempo, teremos relção entre s celerções. v AB é constnte e su derivd em relção o tempo é nul, portnto, observdores que se movem com velociddes constntes entre si medirão mesm celerção pr um prtícul em movimento. onde: PA PB PA e são s celerções d prtícul P em relção A e B respectivmente. PB