2.1 Comunicação de informação a curtas distâncias

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1 2.1 Comunicação de informação a curtas distâncias 110

2 Conceitos-chave nesta secção: 111

3 Sinais e transmissão de sinais A 13 de Setembro do ano 490 a.c. um estafeta correu 42 km desde a planície de Maratona (onde tinha decorrido uma batalha dos atenienses contra os persas, na Grécia antiga), até à cidade de Atenas, para comunicar a vitória grega. Este episódio está na origem da actual modalidade de corrida pedestre designada por maratona. Mesmo um corredor bem treinado demora mais de duas horas a percorrer esta distância de 42 km para comunicar a mensagem. Correr para contar uma novidade é uma forma pouco prática de comunicar a grandes distâncias O uso de sinais de fumo e de luz de fogueiras para comunicar é também muito antigo. Mas estes sinais, apesar de se propagarem à máxima velocidade que é possível, km/s, não podem ser enviados a grandes distâncias, particularmente em dias de má visibilidade. Hoje, as tecnologias da comunicação (telefone, TV, Internet, etc.) através de cabos ou através da radiação, permitem enviar mensagens quase instantaneamente para qualquer lugar da Terra e até para outros planetas no sistema solar, se bem que neste caso já possa demorar alguns segundos ou até minutos. Através de sinais é possível transmitir informação a distância. Nas Ciências Físicas e na Engenharia, um sinal é a variação de qualquer grandeza no tempo e, ou, no espaço. Por exemplo, quando se emite um som, isto é, um sinal ou onda sonora, faz-se variar a pressão do ar, em cada ponto do espaço e ao longo do tempo. Esta variação da pressão do ar pode ser detectada num certo ponto, pelo ouvido humano, ou por microfones. E quando se emite luz faz-se variar uma propriedade do espaço, em cada ponto do espaço e ao longo do tempo. Essa propriedade pode ser detectada, em certas circunstâncias, pelo olho humano ou por um telemóvel, por exemplo. As radiações ou ondas electromagnéticas (visíveis ou não visíveis) e as correntes eléctricas podem transmitir informação, desde que haja variações no tempo e no espaço de propriedades físicas (campo electromagnético). Por exemplo, um telefone móvel recebe radiação electromagnética das antenas telefónicas. As propriedades físicas das ondas recebidas pelo telemóvel variam no tempo e no espaço: essas variações, uma vez transformadas em sinais sonoros, podem conter informação que é compreendida pelo utilizador. Estátua de Pheidippides, o mítico soldado grego que correu 42 km para comunicar uma mensagem, desde o campo da batalha da Maratona até à cidade de Atenas. O ouvido e o microfone são detectores de sinais sonoros (ondas sonoras). O olho e o receptor de GPS (ou um telemóvel) são detectores de sinais electromagnéticos (ondas electromagnéticas). 1 O que é um sinal, em linguagem científica? 2 Qual é a velocidade máxima a que se pode comunicar um sinal? 3 As ondas sonoras exigem que haja algo material que possa vibrar. As ondas electromagnéticas provocam oscilações nas propriedades físicas do próprio espaço. Qual destes tipos de ondas se propaga, então, no vácuo? 4 Em certas circunstâncias, a pele de uma pessoa pode detectar sons. Porquê? 112

4 O que é uma oscilação harmónica? Dois exemplos... Muitas ondas têm como origem oscilações, nomeadamente oscilações harmónicas, isto é, oscilações que se repetem com uma certa frequência (e em que o modelo matemático da oscilação pode ser descrito por funções sinusoidais). Por exemplo, uma onda sonora pode ser originada pelas oscilações (ou vibrações) das cordas vocais e uma onda electromagnética é originada pelas oscilações de cargas eléctricas. Em certas oscilações, é fácil medir a grandeza ou propriedade física que está a oscilar. É o caso da posição de um corpo suspenso numa mola a oscilar. Mas também podem ser medidas outras propriedades físicas nessa oscilação, como a velocidade do corpo oscilante ou a força elástica que actua no corpo. Na figura ao lado, mostra-se um sensor de força a medir a força no corpo suspenso, a oscilar. Como se pode observar no gráfico, a força varia ao longo do tempo, com um período de oscilação de 4,2 s. E as restantes grandezas, como a posição e velocidade do oscilador, também variam com este período. Isto é, os seus valores repetem se de 4,2 s em 4,2 s, nas mesmas condições. No caso de uma onda sonora, há oscilações da pressão de ar em cada ponto do espaço. O gráfico abaixo foi obtido com um microfone e um computador, colocado a cerca de um metro de uma pessoa a assobiar (um assobio é um som praticamente puro... como veremos adiante). O microfone regista a pressão do ar, no ponto do espaço em que se encontra. O gráfico representa essa pressão do ar (em unidades arbitrárias), nesse ponto, em função do tempo. Como se pode ver, a pressão aumenta e diminui periodicamente, com um período de aproximadamente 6 décimas milésimas de segundo. período de oscilação = 4,2 s As grandezas que oscilam, em cada ponto, podem ser representadas em gráficos em função do tempo, como os desta página. Estes gráficos são muitas vezes confundidos com a representação da onda no espaço, como as das figuras das páginas seguintes. Evite fazer essa confusão... 76, s 82, s período de oscilação = = 82, s 76, s = s 1 Observe o gráfico acima que representa a força no objecto suspenso em função do tempo. Qual é a intensidade máxima da força? 2 Que tipo de trajectória tem o objecto que oscila na mola? 3 Quanto tempo demora o objecto a voltar a passar na posição em que a mola está com o máximo de alongamento? 4 O que significa dizer que o período de oscilação da pressão de ar num ponto, devido a um assobio, é 0,6 milisegundos? 113

5 Velocidade do som A velocidade de propagação do som depende do meio onde se propaga: por exemplo, o som propaga-se melhor na tábua de uma mesa do que no ar. No ar, a velocidade do som é cerca de 340 metros por segundo. Sem atenuação, demora cerca de 3 s a percorrer 1 km. A velocidade do som no ar depende da temperatura do ar. À medida que a temperatura do ar aumenta, aumenta também a velocidade do som. Noutros materiais, o som propaga-se a diferentes velocidades, que podem atingir milhares de metros por segundo. ligação a bomba para extracção de ar Se colocarmos uma campainha eléctrica dentro de uma campânula da qual se vai extraindo o ar por meio de uma bomba pneumática, deixamos de ouvir a campainha a partir do momento em que o ar foi quase totalmente extraído. Quanto mais afastado se está de uma fonte sonora, em geral mais difícil é ouvir o som que ela produz. Diz-se que o som se atenua, isto é o som fica mais fraco ou menos intenso quanto maior for a distância do receptor à fonte sonora. O som necessita de um suporte material (sólido, líquido ou gás) para se propagar. No vazio, o som não se propaga porque não há nada no vazio que possa vibrar para permitir a propagação do som. Velocidade do som em diversos meios ar a 0 C 331 m/s ar a 20 C 343 m/s ar a 30 C 3 m/s Um avião supersónico no momento em que ultrapassa a barreira do som, isto é, ultrapassa a velocidade do som. A nuvem atrás do avião resultou da condensação do vapor de água do ar. água água do mar m/s m/s borracha m/s madeira (carvalho) betão ferro vidro pyrex m/s 00 m/s m/s m/s diamante m/s m/s 1 Só distinguimos um som reflectido (eco) se este chegar ao ouvido pelo menos 0,1 s depois do som emitido. Verifique que só se ouve um eco no ar se o obstáculo que reflecte o som estiver a uma distância mínima de 17 m. 2 Qual é a velocidade mínima (em m/s e em km/h) a que deve andar um avião para poder ser considerado supersónico, isto é, ser capaz de voar mais depressa do que o som a propagar-se? 3 Qual é a velocidade do som no vácuo interestelar? Porquê? 4 Na maioria dos filmes de ficção científica ouvem-se os disparos das naves no espaço. Este efeito especial corresponderá à realidade? Porquê? 114

6 Velocidade da luz Quando acendemos uma lâmpada, temos a sensação de que a luz se propaga instantaneamente. Mas não é assim: a luz pode até levar muitos anos a ir de um local a outro. Por exemplo, a luz do Sol demora quase 9 minutos a chegar à Terra! E a luz da estrela mais próxima, além do Sol, a Proxima Centauri, demora 4,3 anos a chegar à Terra... Em distâncias pequenas, o tempo de viagem da luz é pequeníssimo: à nossa escala, a propagação é quase instantânea. A velocidade da luz no vácuo é aproximadamente trezentos mil quilómetros por segundo ( km/s). É uma velocidade cerca de vezes maior do que a do som. Num segundo, o som percorre cerca de 340 metros. Num segundo, a luz percorre metros (trezentos milhões de metros), quase a distância da Terra à Lua. A velocidade da luz no vácuo pouco difere do valor da velocidade da luz no ar. A velocidade da luz no vácuo é um valor com um significado muito especial. De facto, os físicos têm muito boas razões para acreditar que nada pode viajar mais depressa do que a luz no vácuo! A estrela Proxima Centauri é a estrela mais perto do Sistema Solar. Está à distância de 4,3 anos-luz, isto é, a luz desta estrela demora 4,3 anos a chegar à Terra. Nos outros meios transparentes (vidro, água, plástico, etc.), a velocidade da luz é menor do que no vácuo. Velocidade da luz (km/s) diamante vidro de cristal vidro vulgar água vácuo ar Qual é a velocidade da luz no vácuo interestelar, em km/h? 2 Qual é a distância da Terra à estrela Proxima Centauri, em km? 3 Os astronautas deixaram uma câmara de televisão na Lua. Quanto tempo demoram as ondas emitidas por essa câmara de TV a chegar à Terra, que está a km da Lua? 4 Verifique que a luz atravessa uma sala de aula de 6 m de largura em 0, s = s. 5 Analise a figura ao lado que representa um célebre personagem da banda desenhada que afirma que dispara mais rápido que a sua própria sombra... Faça uma estimativa da distância da sombra e calcule o tempo que o Lucky Luke demora a disparar

7 Todos já vimos que no mar a água forma ondas, umas vezes mais altas e outras vezes mais baixas. A sensação que temos ao observar as ondas numa praia é que a água se move do mar alto para a praia. Mas tal não é verdade! O que viaja à distância são as ondas, não a água. A água limita-se praticamente a oscilar para cima e para baixo. Isso pode ser facilmente verificado: basta colocar uma rolha de cortiça numa tina com água e provocar uma onda num extremo com a mão (agitando a mão de um lado para o outro). A rolha praticamente não sai do mesmo sítio, oscilando para cima e para baixo. As ondas na água, como as ondas sonoras e as ondas de luz, são vibrações que se propagam. Uma onda pode propagar-se num certo meio (a água, no caso das ondas no mar), mas não é o meio que se propaga E, no caso da ondas de luz, nem sequer é necessário um meio para as ondas se propagarem, pois elas até se propagam no vácuo ou vazio! 1 Uma onda provocada por um terramoto no mar pode deslocar-se milhares de quilómetros, atravessando oceanos a uma velocidade de centenas de quilómetros por hora. Será que a água do local onde ocorre o terramoto é transportada até milhares de quilómetros de distância? Fundamente a resposta. 2 A velocidade de uma onda numa praia é aproximadamente 5 m/s. Será que um pedaço de água se move 5 m em cada segundo? Fundamente a resposta. 3 Um surfista é transportado pela onda de água ou pelo movimento da água? Fundamente a resposta. Gotas de água a pingar numa superfície de água geram ondas na superfície (foto abaixo)... 4 Que sucede no ponto em que a gota cai? 5 Se se diminuir o intervalo de tempo entre duas gotas sucessivas, que sucede ao número de ondas que se formam num certo intervalo de tempo? 6 Será que a altura de onde cai a gota é relevante para a velocidade de propagação das ondas? Planifique uma experiência que lhe permita investigar esta questão (e faça-a..., de modo a obter uma resposta satisfatória...). 116

8 As fotos ao lado mostram uma tina de ondas, um dispositivo utilizado nos laboratórios escolares e nos centros de divulgação da ciência para estudar as propriedades das ondas numa superfície de água. As ondas são geradas por sistemas de vibração, que podem ser pontuais. A partir do ponto em que este toca a água (centro de abalo), vemos uma sucessão de bandas circulares, como mostra a fotografia ao lado. As bandas circulares brilhantes correspondem a cristas ou picos de onda e as bandas circulares escuras correspondem a vales de onda. Podemos descrever a onda no plano por linhas circulares linhas de onda. A forma circular deve-se ao facto de a velocidade da onda ter o mesmo valor em qualquer direcção da superfície da água. Admita que cada vibração demora 0,2 s. 1 Quantas vibrações ocorrem por segundo? 2 Quanto tempo decorre entre a passagem de um pico de uma onda e o pico da onda seguinte, num ponto a uma certa distância do centro de abalo? 3 E num segundo, em cada ponto, quantos picos de onda passam? A As imagens ao lado e em baixo mostram diversos instantâneos de ondas num plano simuladas num computador. As imagens A e B referem-se à mesma onda, em instantes diferentes. 4 Que diferença há entre a imagem A e a imagem B? 5 Se a vibração completa no centro de abalo demorar 0,2 s, qual é o intervalo de tempo mínimo entre a imagem A e a imagem B? 6 Quantas vibrações ocorrem por segundo? 7 Quanto tempo decorre entre a passagem de um pico de uma onda e o pico da onda seguinte, num ponto a uma certa distância do centro de abalo? B 8 E num segundo, em cada ponto, quantos picos de onda passam? As imagens C e D referem-se a ondas diferentes, no mesmo instante. 9 Que diferença há entre a imagem C e a imagem D? 10 Em qual dos casos é que o centro de abalo tem maior amplitude de oscilação? C D 117

9 Onda harmónica periódica: periodicidade no tempo... Vejamos em pormenor o que é uma onda harmónica periódica... As figuras foram obtidas num computador com um modelo matemático que colocou 24 partículas a oscilar... As partículas podem oscilar em torno de uma posição intermédia, num meio elástico. No instante inicial, t = 0 s, a primeira partícula começa a oscilar e 1 s depois já está ligeiramente afastada da posição intermédia... Ao fim de 1 s, a segunda partícula sente o puxão da primeira partícula (o meio é elástico!) e começa também a oscilar... Ao fim de 2 s, a terceira partícula sente o puxão da segunda partícula e começa também a oscilar... Ao fim de 5 s, a primeira partícula atinge o afastamento máximo, e começa a aproximar-se novamente da posição intermédia... O afastamento máximo do ponto intermédio é a amplitude da oscilação. A amplitude da oscilação das partículas é, também, a amplitude da onda. amplitude t = 0 s t = 1 s t = 2 s t = 3 s t = 4 s t = 5 s t = 6 s t = 7 s t = 8 s A primeira partícula volta a passar na posição intermédia ao fim de 10 s... Portanto, em 2 10 s = 20 segundos, a primeira partícula faz uma oscilação completa. E todas as restantes partículas também fazem uma oscilação completa em 20 s! Este período de oscilação das partículas é também o período da onda. t = 9 s t = 10 s t = 11 s ponto da corda 1 Oscilando uma extremidade a oscilar de uma corda pode criar-se uma onda na corda. A que distância corresponde a amplitude da oscilação? E a amplitude da onda? Corda fixa nesta extremidade 2 Se se demorar 0,5 s a fazer uma oscilação completa na extremidade, qual é o período da oscilação? E o período da onda na corda? 118

10 Onda harmónica periódica: periodicidade no espaço... Cada partícula que começa a oscilar continua a puxar a partícula vizinha... A velocidade da onda tem a ver com o tempo que demoram os puxões a propagaram-se. Essa velocidade depende de diversos factores como, por exemplo, a elasticidade do meio. t = 12 s t = 13 s t = 14 s t = 15 s t = 16 s A primeira partícula está quase a fazer uma oscilação completa... t = 17 s t = 18 s t = 19 s A primeira partícula acaba de fazer uma oscilação completa (t = 20 s)... No mesmo instante em que a primeira partícula faz uma oscilação completa, há outra partícula lá para a frente que vai começar a oscilar exactamente como a primeira partícula... A distância da primeira partícula a essa outra partícula que oscila exactamente do mesmo modo chama-se comprimento de onda. À medida que a onda se propaga, mais partículas começam a oscilar... e dois comprimentos de onda depois há novamente uma partícula a oscilar exactamente como a primeira! t = 20 s t = 21 s t = 22 s t = 23 s comprimento de onda 1 Admita que cada oscilação das partículas acima representadas demorava apenas 5 s. Que sucederia ao comprimento de onda? Fundamente a resposta. 2 Admita que cada oscilação das partículas acima representadas demorava s. Que sucederia ao comprimento de onda? Fundamente a resposta. 3 Que propriedades físicas de um meio podem fazer com que uma onda se propagues mais lentamente? 119

11 Velocidade da onda, comprimento de onda, período e frequência. Equação fundamental das ondas A velocidade v da onda (em rigor, velocidade de fase da onda) pode ser calculada conhecendo o comprimento de onda l e o período T da onda. De facto, a onda propagase numa distância igual ao comprimento de onda num período. Assim, tem-se: v = l T t = 0 s t = 5 s No SI, o comprimento de onda l t = 10 s mede se em metros, o período T em segundos e a velocidade v da onda em metros por segundo. t = 15 s Tal como o período de cada oscilação é o período da onda, também a frequência de cada oscilação é a frequência da onda. A frequência indica, num certo ponto, o número t = 20 s de oscilações de cada partícula por segundo. Mede-se em hertz (1 Hz = 1 oscilação por segundo). A frequência da onda indica também o número de picos de onda (isto é, de valor máximo) que passa por segundo em cada ponto. Por exemplo, para uma onda com um período de 10 s, a frequência é 1/10 s = 0,1 Hz. Numa onda com este período, demora 10 s a aparecer o próximo pico e passam 0,1 picos por segundo. comprimento de onda, l demora um período T... à velocidade v = l/t O período T da onda é, pois, o inverso da frequência f: T = 1 f Substituindo na equação v = l/t, vem: l v = 1 f v = l f Esta última equação, que indica que a velocidade da onda é igual ao produto do comprimento de onda pela frequência, é vulgarmente designada por equação fundamental das ondas. Frequência da onda: número de picos de onda que passam por segundo num ponto: se passarem 10 picos num segundo, a frequência é de 10 Hz. Se passar 0,1 picos num segundo, a frequência é 0,1 Hz. 1 O período da oscilação que provoca a onda é uma característica do oscilador. Um oscilador pode ter um período muito pequeno ou muito grande, consoante esteja a oscilar muito devagar ou muito depressa... Já a velocidade da onda, isto é a velocidade da propagação da oscilação às partículas vizinhas, é uma característica do meio onde ocorre a onda. Tendo em conta estes factos, analise se o comprimento de onda é uma grandeza física que depende apenas do oscilador ou se também depende do meio de propagação da onda. Fundamente a resposta. 120

12 1 Como é que uma série de peças de dominó permite ilustrar a ideia de onda como propagação de um sinal sem propagação de objectos? y, em pixéis y, em pixéis A B A figura abaixo mostra um instantâneo de um modelo computacional de uma onda transversal em que 24 partículas oscilam com um período de 20 segundos. O reticulado tem 10 pixéis de lado e a onda propaga-se da esquerda para a direita. A velocidade da onda é de 10 pixéis por segundo. À esquerda estão os gráficos das coordenadas verticais de apenas 5 dessas partículas, em função do tempo. O tempo começou a ser medido no instante em que a primeira partícula começou a oscilar. y O x y, em pixéis y, em pixéis y, em pixéis C D E 2 Qual dos gráficos diz respeito à coordenada vertical da primeira partícula? Fundamente a resposta. 3 Qual dos gráficos diz respeito à coordenada vertical da segunda partícula? Fundamente a resposta. 4 Qual dos gráficos diz respeito à coordenada vertical da partícula que começa a oscilar 1/2 período depois? Fundamente a resposta. 5 Qual dos gráficos diz respeito à coordenada vertical da partícula que começa a oscilar um período depois? Fundamente a resposta. 6 Esboce o gráfico da coordenada vertical da partícula que começa a oscilar 2 períodos depois. 7 Qual é a amplitude de oscilação de cada partícula? E qual é a amplitude da onda? 8 Que há de comum entre todas as partículas? 9 Mostre como se pode calcular o comprimento de onda desta onda transversal. 10 Se o período de oscilação diminuir, que sucede ao período da onda? 11 Se a amplitude de oscilação diminuir, que sucede à amplitude da onda? 12 Aumentando o período de oscilação, que sucede à velocidade da onda? 13 Se a velocidade da onda aumentar (por exemplo, porque se propaga noutro meio elástico), mantendo constante o período da onda, que sucede ao comprimento de onda? Fundamente a resposta

13 Ondas transversais e ondas longitudinais As ondas transversais são ondas em que as vibrações ocorrem perpendicularmente à direcção do movimento da onda (a chamada direcção de propagação). É fácil obter ondas transversais em cordas e molas esticadas. Basta oscilar uma extremidade na vertical, com a mão: as oscilações são verticais e a progressão da onda é horizontal. ponto da corda a oscilar Corda fixa nesta extremidade As ondas longitudinais são ondas em que as vibrações ocorrem na mesma linha em que a onda progride. Pode obter-se uma onda longitudinal com uma mola esticada, apertando fortemente com os dedos algumas espiras e largando-as. As espiras oscilam horizontalmente e a progressão das ondas é também horizontal. A Este ponto começa a vibrar com um certo atraso... B Este ponto B começa a vibrar com um atraso igual a um período Como obter uma onda transversal numa corda. mais ar Um sistema que gera ondas longitudinais, empurrando e puxando a extremidade de uma mola. A outra extremidade da mola é mantida fixa a uma certa distância. As oscilações propagam-se na mola, com uma certa velocidade e um certo comprimento de onda. comprimento de onda As ondas sonoras que se propagam a partir de um diapasão (ou de outra fonte sonora qualquer) são ondas longitudinais. A vibração ou oscilação do diapasão provoca pequenas compressões e dilatações alternadamente das camadas de ar em volta. Ou seja, provoca variações periódicas de pressão de ar, que podem ser detectadas pelo ouvido ou por um sensor de pressão. As ondas sonoras também são chamadas, por isso, ondas de pressão. menos ar mais ar menos ar mais ar menos ar O esquema ao lado mostra uma onda numa mola. 1 Que tipo de onda se está a propagar na mola? Porquê? 2 Que tipo de movimento tem o pequeno fixo que se colocou numa das espiras da mola? 3 Este é o único tipo de onda que se pode provocar nesta mola? Porquê? 122

14 Um modelo de uma onda longitudinal Vejamos agora em pormenor o que é uma onda longitudinal. As figuras foram obtidas com um modelo matemático que colocou 24 segmentos a oscilar horizontalmente. Todas as oscilações têm igual amplitude e período. Cada segmento oscila elasticamente em torno de uma posição intermédia. No instante inicial, t = 0 s, o primeiro segmento começa a oscilar e 1 s depois já está ligeiramente afastado da posição intermédia... Ao fim de 1 s, o segundo segmento sente o empurrão do primeiro e começa também a oscilar... Ao fim de 2 s, o terceiro sente o empurrão do segundo e começa também a oscilar... Ao fim de 5 s, o primeiro segmento atinge o afastamento máximo, e começa a aproximar-se novamente da posição intermédia... O primeiro segmento volta a passar na posição intermédia ao fim de 10 s... Portanto, em 2 10 s = 20 segundos, o primeiro segmento faz uma oscilação completa. E todos as restantes também fazem uma oscilação completa em 20 s! O período de oscilação dos segmentos é também o período da onda. No mesmo instante em que o primeiro segmento faz uma oscilação completa, há outro lá para a frente que vai começar a oscilar exactamente como o primeiro... A distância do primeiro a esse outro segmento que oscila exactamente do mesmo modo é o comprimento de onda. À medida que a onda se propaga, mais segmentos começam a oscilar... e dois comprimentos de onda depois há novamente outro segmento a oscilar exactamente como o primeiro! t = 0 s t = 1 s t = 2 s t = 3 s t = 4 s t = 5 s t = 6 s t = 7 s t = 8 s t = 9 s t = 10 s t = 11 s t = 12 s t = 13 s t = 14 s t = 15 s t = 16 s t = 17 s t = 18 s t = 19 s t = 20 s t = 21 s t = 22 s t = 23 s comprimento de onda, l 123

15 Sinal harmónico e onda harmónica Os exemplos das páginas anteriores são exemplos de ondas harmónicas. Uma onda harmónica é produzida por um sinal harmónico, isto é, um sinal que tem um único período constante e que pode ser descrito por uma função sinusoidal. Um exemplo comum de um sinal harmónico é o emitido por um diapasão bem afinado. Um diapasão nessas condições vibra com um só período e, portanto, com uma só frequência. A onda sonora resultante é, pois, uma onda com um só período e, consequentemente, com um só comprimento de onda. Uma outra forma de obter um sinal harmónico é com um assobio bem treinado. Um assobio tem uma frequência da ordem dos milhares de hertz. Por exemplo, a onda sonora provocada pela vibração do ar nos lábios num assobio de 2000 Hz é uma onda harmónica com uma frequência de 2000 Hz. A B compressão pressão alta rarefacção pressão baixa progagação da onda... Num certo instante P Um diapasão com a indicação da respectiva frequência de vibração: 512 Hz. compressão máxima no ponto P meio período depois P rarefacção máxima no ponto P um período depois P compressão máxima seguinte no ponto P Representação da propagação de uma onda sonora no espaço: em cada instante, ao longo do espaço, a pressão de ar aumenta e diminui em cada ponto. O comprimento de onda é a distância entre dois pontos onde a pressão de ar é mínima (ou entre dois pontos onde a pressão é máxima). Para um assobio de 2000 Hz, que tem um período de 1/2000 do segundo = 0,0005 s, o comprimento de onda é 0,17 m = 17 cm, se a velocidade do som for 340 m/s: l v = T l = vt = 340 m/s 0, 0005 s = 017, m pressão mínima neste ponto pressão mínima neste ponto comprimento da onda sonora 124

16 1 O gráfico da figura abaixo mostra a pressão de ar (em unidades arbitrárias) num ponto onde é detectado um som com uma certa frequência e um certo período, por um computador com microfone. Quantos períodos estão representados no rectângulo a tracejado? 2 Quanto vale a menor divisão do eixo do tempo no gráfico, em milésimos de segundo? 3 Verifique que o período vale (4,5 ms 0,75 ms) / 4 = 3,75 ms / 4 ou seja, aproximadamente 1 ms = 0,001 s. 4 Calcule a frequência do som. 5 Observe agora o gráfico da figura abaixo, obtido nas mesmas condições mas com um som diferente do anterior. Por que razão é mais correcto determinar o período da onda sonora medindo o intervalo de tempo correspondente a vários períodos no gráfico em vez de apenas um? (Sugestão: se o período for muito pequeno, que sucede à incerteza na leitura do intervalo de tempo correspondente a um único período?) 6 Determine o período da onda sonora. 7 Calcule a frequência do som. 8 Que outra grandeza necessita conhecer para calcular o comprimento de onda da onda sonora correspondente ao som detectado pelo computador? Utilize um valor adequado para essa grandeza e calcule o comprimento de onda. 9 O comprimento de onda da onda sonora depende apenas da frequência do som? Fundamente a resposta. 10 Observe o diapasão da foto. Determine o período de vibração se a frequência do som obtido com o diapasão for 256 Hz. 125

17 Funções sinusoidais como modelos matemáticos de sinais harmónicos y Um dos tipos de funções mais importantes são as chamadas funções sinusoidais, o seno e o co-seno. O Estas funções permitem descrever o movimento circular e as oscilações harmónicas, porque cada uma t = 1,5 s das coordenadas de uma partícula em movimento circular oscila em torno do ponto correspondente ao centro da trajectória circular. As imagens ao lado mostram uma sequência de instantâneos do movimento de um raio em rotação e duas partículas a oscilar, com período de 12 s, obtida a partir de um modelo computacional. Uma partícula oscila no eixo Ox e outra oscila no eixo Oy. As coordenadas de ambas são iguais às coordenadas x e y do extremo do t = 3,0 s raio em rotação, respectivamente. y/m 100 x seno do ângulo 1,0 0, ,5-1,0 ângulo/º y/m seno do ângulo x/m co-seno do ângulo 1,0 0, ,5-1,0 ângulo/º x/m co-seno do ângulo O raio tem 100 pixéis. E cada partícula oscila entre pixéis e 100 pixéis, no respectivo eixo. A coordenada da partícula que oscila horizontalmente pode ser descrita pela função co-seno, porque se tem 1,0 0,5-0,5-1, ângulo/º 1,0 0,5-0,5-1, ângulo/º x cos a = r x = r cos a y/m 100 x/m 100 sendo r o raio da circunferência e a o ângulo em qualquer instante. t = 6,0 s Como o período é 12 s, a volta dáse com a rapidez de 360º/12 s = 30º/s. Assim, o ângulo a pode ser descrito pela função 360º a = 12 s t = 30 t seno do ângulo 1,0 0, ,5-1,0 ângulo/º co-seno do ângulo 1,0 0, ,5-1,0 ângulo/º 126

18 Portanto, o modelo mate- y/m x/m mático da oscilação da coor denada x é: æ360º ö x = r cos t èç 12 s ø = 100 cos( 30 t) t = 10,5 s Procedendo de modo semelhante, pode concluir-se que o modelo matemático da coordenada y é: y sina = r y = r sina æ360º ö = r sin t èç 12 s ø = 100 sin( 30 t) seno do ângulo 1,0 0, ,5-1,0 ângulo/º co-seno do ângulo 1,0 0, ,5-1,0 ângulo/º Ou seja, quer a função seno quer a função co seno podem ser utilizadas para descrever oscilações: neste exemplo, trata-se de oscilações de coordenadas de posição mas as t = 12,0 s funções sinusoidais podem ser utilizadas para oscilações harmónicas de qualquer grandeza física. Alguns livros preferem usar o co seno, principalmente quando a oscilação se inicia no valor máximo positivo (como é o caso da coordenada y neste exemplo). Já se a oscilação se iniciar no valor intermédio, como é o caso da coordenada x neste exemplo, pode ser mais prático utilizar o seno. Mas ambas as funções podem ser utilizadas para descrever qualquer oscilação harmónica. y/m seno do ângulo 1,0 0, ,5-1,0 ângulo/º x/m co-seno do ângulo 1,0 0, ,5-1,0 ângulo/º Uma chumbada suspensa numa mola oscila em torno de um ponto intermédio com um período de 2 s e com uma amplitude de 0,10 m (ver foto). Escolheu-se um referencial Oy vertical, com origem O no ponto intermédio da oscilação. 1 Se se começar a medir o tempo no ponto em que a chumbada passa na amplitude máxima, para o lado positivo do eixo Oy, a função y = 0,10 cos(180 t) pode ser utilizada como modelo matemático desta oscilação. Faça o esboço do gráfico da função, ao lado de um esquema da chumbada e da mola, e fundamente os valores utilizados na expressão da função. 2 Se se começar a medir o tempo no instante em que a chumbada passa no ponto intermédio, para o lado positivo, que modelo matemático, utilizando a função seno, descreve a coordenada y da chumbada? Faça o esboço do gráfico da função e confirme-o com a máquina de calcular. 127

19 Radianos e graus como argumentos das funções sinusoidais Na secção anterior vimos como se pode descrever uma oscilação utilizando funções sinusoidais. O argumento do seno e do coseno foi expresso em graus, uma vez que a rapidez de rotação do raio estava expressa em graus por segundo. Vimos na Unidade 1 que os ângulos se medem em radianos no SI. Um radiano (1 rad) é o ângulo que corresponde a um arco em que o comprimento do arco é igual ao comprimento do respectivo raio. Vimos também que: uma volta completa corresponde a 6,28 radianos, porque o arco da volta completa é 6,28 vezes maior que o raio da circunferência (em rigor, 2 p vezes maior); ângulo de 1 radiano: o comprimento do arco é igual ao comprimento do raio um radiano vale 57,3º (= 360º/6,28). Portanto, um raio que rode à rapidez de 1 radiano por segundo, 1 rad/s (= 57,3º/s) dá uma volta completa em 6,28 s. E se demorar 10 s a dar a volta completa, roda com uma rapidez de y 628, 10 rad s = 0, 628 rad/s Mas se demorar 12 s, como no exemplo da secção anterior, a velocidade angular, que é 360º/12 s = 30º/s, vale, em rad/s: O x w = 2 p rad 628,... rad = = 0, 524 rad/s 12 s 12 s Portanto, usando radianos, se o período for 12 s, o ângulo varrido pelo raio pode ser descrito pela função a = 0,524 t sendo 0,524 expresso em rad/s e o tempo t em s. Uma volta completa corresponde a uma rotação de 6,28 radianos= 2 p radianos. Se demorar 12, a velocidade angular é 2 p/12 rad/s = 0,524 rad/s. Assim, para a rotação com um raio de 100 pixéis e um período de 12 s, a função sinusoidal que descreve a oscilação da coordenada horizontal é æ 2 p ö x = 100 cos t èç 12 s ø = 100 cos ( 0, 524 t) e a que descreve a oscilação da coordenada vertical é æ 2 p ö y = 100 sin t èç 12 s ø = 100 sin ( 0, 524 t) 128

20 De um modo geral, qualquer função do tipo y x A sin w t = ( ) = ( ) y A cos w t com w expresso em rad/s e t em segun- O x dos descreve uma oscilação harmónica. Como vimos, no movimento circular uniforme, a grandeza w designa-se por velocidade angular. No caso das oscilações, esta grandeza w designa-se preferencialmente por frequência angular, uma vez que não há ângulos a serem descritos, devido a uma rotação. y/m 100 æ 2 p ö y = 100 sin t èç 12 s ø = 100 sin ( 0, 524 t) x/m 100 æ 2 p ö x = 100 cos t èç 12 s ø = 100 cos ( 0, 524 t) Tal como para a velocidade angular, conhecendo o período T da oscilação, conhece-se a frequência angular: w = 2 p T seno do ângulo 1,0 co-seno do ângulo 1,0 A unidade SI de frequência angular w 0,5 0,5 é o rad/s. Se nada for dito em contrário, é nesta unidade que se deve exprimir w. -0,5-1,0 1,57 p/2 3,14 p 4,71 3 p/2 6,28 2 p -0,5-1,0 1,57 p/2 3,14 p 4,71 3 p/2 6,28 2 p ângulo/rad ângulo/rad 1 O gráfico mostra um modelo da oscilação harmónica de uma grandeza d, medida em unidades arbitrárias. 2 Qual é o período de oscilação de d? 3 Qual é a frequência de oscilação de d? 4 Qual é a amplitude de oscilação de d? 5 Quantos períodos estão representados no gráfico? d Verifique que o modelo matemático de d -30 pode ser expresso pela função d = 20 sin(45 t) se o argumento do seno for expresso em graus. 7 Verifique que o modelo matemático de d pode ser expresso pela função d = 20 sin(0,785 t) se o argumento do seno for expresso em radianos. 8 Qual é a frequência angular da oscilação em radianos por segundo? E em graus por segundo? 9 Se se começar a medir o tempo a partir de t = 2 s, que função, utilizando o co-seno, pode descrever a oscilação? 129

21 Frequência angular, período e frequência das oscilações e ondas harmónicas y Acabámos de ver que a grandeza w, a frequência angular, descreve se a oscilação se repete rapidamente ou lentamente. Por exemplo, se a frequência angular for 6,28 rad/s, ficamos a saber que uma oscilação completa demora 1 s (recorde que uma oscilação completa corresponde a uma volta completa no movimento circular e que uma volta completa são 6,28 radianos). Já se a frequência angular for 3,14 rad/s, a oscilação completa demora o dobro do tempo a ocorrer. De facto, 3,14 radianos corresponde a metade de uma volta completa no movimento circular. Já vimos também que o tempo que demora uma volta completa no movimento circular se designa por período e que se representa por T. Outra forma de conhecer o tempo que demora uma volta completa é conhecer quantas voltas dá num segundo, a chamada frequência f (não confundir com frequência angular...). Por exemplo, se der 5 voltas num segundo, diz-se que a frequência vale 5 hertz (5 Hz). Com uma frequência de 5 Hz, o período vale 0,2 s: 1 s = 02, s por volta completa 5 voltas x/m x/m O x Se a frequência ângular for 6,28 rad/s, o oscilador faz uma oscilação completa em 1 s. 0,25 0, 0,75 1,00 Portanto, como também já sabemos, o período e a frequência são grandezas inversas: 1 frequência = período 1 f = T Quanto maior o período menor a frequência, e viceversa ,25 0, 0,75 1,00 Esta oscilação tem uma frequência f = 5 Hz e um período T = 0,2 s. Verifique que a sua frequência angular vale w = 31,4 rad/s. As funções sinusoidais que descrevem as oscilações são frequentemente expressas utilizando a frequência das oscilações, Assim, estas funções podem ser escritas do seguinte modo, tendo em conta a relação entre o período T e a frequência f: æ2p x = A ( t)= A T t ö sin w sin èç ø A sin 2p f t = ( ) æ2p y = Acos( w t)= Acos T t ö A cos 2p èç ø f t = ( ) Portanto, a frequência angular w, em radianos por segundo, pode ser calculada por qualquer das seguintes equações: 2 p w = T = 2 p f 130

22 A função x = 2,2 cos( t), sendo o argumento do co-seno em radianos, descreve uma oscilação harmónica de amplitude A = 2,2 unidades e frequência angular w = rad/s. Portanto, podemos escrever a seguinte equação: w = 2 p f = 2 p f Resolvendo, obtém-se uma frequência f = 8,0 Hz: = 628, f f = 628, = 80, Hz Portanto, o período da oscilação vale T = 0,125 s: 1 T = f 1 = 80, = 0, 125 s Conhecendo o período T e a amplitude A pode facilmente esboçar-se o gráfico da função: x/m ,25 0, 0,75 1, Considere agora que uma oscilação é descrita pela função x = 12,0 cos(20 t) sendo o argumento do co-seno em radianos e x em milímetros. 1 Qual é a amplitude da oscilação? 2 Qual é a frequência angular w da oscilação, em rad/s? E em graus/s? 3 Calcule a frequência f da oscilação. 4 Calcule o período T da oscilação. 5 Faça um esboço do gráfico de x em função de t. Considere também uma oscilação que é descrita pela função x = 12,0 sin(20 t) sendo o argumento do co-seno em radianos e x em milímetros. 6 Repita todos os cálculos anteriores, utilizando esta função. 131

23 Admita que o gráfico da figura mostra a pressão de ar (em unidades arbitrárias) num ponto onde é detectado um som com uma certa frequência. pressão do ar, em unidades arbitrárias 0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 1 Qual é o período da onda sonora? E qual é a frequência? 2 Admita que cada divisão do eixo vertical vale 1 unidade e que no instante t = 0 s o valor é nulo. Qual é a amplitude da oscilação? 3 Que grandeza necessitaria conhecer para calcular o comprimento de onda da onda sonora? Atribua-lhe um valor plausível e calcule o comprimento de onda. 4 Um aluno distraído olha para este gráfico e diz que o gráfico representa quatro comprimentos de onda. Que tipo de confusão é que esse aluno está a fazer...? Fundamente a resposta. 5 Verifique que a oscilação pode ser descrita pelo modelo matemático p = 2 sin(3, t), sendo p a pressão do ar em unidades arbitrárias e considerando o valor inicial nulo (argumento do seno está expresso em graus). 6 Que função descreve p se o argumento do seno for expresso em radianos? 7 Quanto vale a frequência angular da oscilação de p, em unidades SI? O gráfico da figura mostra a tensão eléctrica gerada num sensor por um som de uma flauta electrónica num ponto a uma certa distância do instrumento. 8 Qual é o período da onda sonora? E qual é a frequência? 9 Por que razão é mais correcto medir o intervalo de tempo entre várias oscilações para determinar o período, em vez de medir o intervalo de tempo de uma única oscilação? 10 Qual é a frequência angular da função sinusoidal que descreve a oscilação? 11 Admita que a velocidade do som na altura em que o som foi detectado era 345 m/s. Qual era o comprimento de onda da sonda sonora? Que significado físico tem esse valor? 12 Qual é a amplitude da oscilação da tensão eléctrica? 132

24 Espectro sonoro O espectro sonoro é o conjunto de todos os sons, audíveis e não audíveis pelo ser humano. A zona dos sons audíveis, para os seres humanos, situa-se entre os 20 Hz e os Hz. Os sons de frequências de 0 Hz a 20 Hz (não audíveis) constituem a zona dos infra-sons. Sons de frequência inferior a 20 Hz (infra-sons) provocam náuseas e perturbações intestinais. Os sons com frequências muito elevadas, superiores a Hz, que o ouvido humano também não consegue ouvir, chamam-se ultra-sons. Os cães conseguem ouvir sons cujas frequências estão entre os 15 Hz e os 000 Hz. Podem, por isso, detectar ruídos que deixam indiferentes os seres humanos, como, por exemplo, os apitos especiais para cães. Os morcegos e os cágados conseguem emitir e ouvir sons de frequências superiores a Hz. Os morcegos emitem ultra-sons de Hz (ou mais) na escuridão de uma cave ou de uma caverna para voarem afastados da parede. Este seu sistema de sonar natural é extremamente eficaz. Será que podemos ouvir estes sons emitidos pelos morcegos? Uma ecografia é feita com ultra-sons, isto é, sons de frequência de Hz, que é superior às frequências que o ouvido humano consegue ouvir. Estes sons são emitidos por cristais vibrantes, colocados perto do corpo. O eco é recebido por sensores e analisado por computadores, de modo a se obter uma imagem. Gama de frequências dos sons que podem ser produzidos por alguns instrumentos musicais, pelo homem e por diversos animais. O esquema mostra também as frequências dos sons que podem ser ouvidos por diferentes animais. Aparelhagem de alta fidelidade Ser humano Piano Cão Frequências produzidas Frequências ouvidas Gato Morcego Sapo Cágado frequência (em hertz) 1 Qual é a gama de frequências sonoras audíveis pelo ser humano? 2 Todos os sons emitidos pelos cães podem ser ouvidos pelo ser humano? Fundamente a resposta. 3 Os morcegos ouvem a maior parte das frequências emitidas pelos seres humanos? Fundamente a resposta. 4 A partir de que frequência um som é considerado ultra-som? 133

25 Sons complexos A grande maioria dos sons não têm uma só frequência. São, na realidade, uma mistura mais ou menos complexa de muitas frequências. Se se registar o som correspondente a uma vogal ou a uma nota musical (num computador, com software adequado e um microfone) e o compararmos com o som de um diapasão, facilmente concluímos que o som de um diapasão é um som simples ou som harmónico, porque tem (praticamente!) uma única frequência, enquanto o som da vogal ou da nota musical não são sons simples, isto é, não têm uma única frequência. Diz-se que são sons complexos: resultam da mistura de ondas sonoras com várias frequências. Os gráficos ao lado mostram o que resulta quando se combinam som de três frequências diferentes, com diferentes amplitudes. O som complexo que resulta da mistura destes sons é representado no quarto gráfico. Existem técnicas matemáticas sofisticadas que permitem analisar sons complexos e determinar (com melhor ou pior aproximação) quais as frequências que podem ter originado esse som complexo. Uma dessas técnicas é designada pelas iniciais FFT e está implementada em diversos tipos de software para análise de som, como é o caso do Audacity, de que existe versão em português. O Audacity pode igualmente ser utilizado para gerar sons de vários tipos, incluindo sons puros. 0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 Uma mistura de três sons puros com amplitudes e frequências diferentes (1000 Hz, 0 Hz e 2 Hz) produz um som complexo. Há técnicas matemáticas sofisticadas que permitem identificar quais são as frequências que constituem um som complexo Espectro sonoro do som complexo da imagem de cima. Num espectro sonoro, representam-se as frequências cuja mistura constitui o som complexo e a intensidade relativa (determinada pela amplitude do som). Nota musical analisada com um software de análise e edição de som, disponível gratuitamente na Internet ( 1 Verifique, fazendo medidas nos gráficos, que a frequência de cada um dos sons representados na figura acima corresponde a cada uma das frequências indicadas no espectro sonoro. 2 Será possível escutar um som não complexo, originado pela sobreposição de sons de duas fontes? Fundamente a resposta. 3 O som de um diapasão bem afinado é um som puro ou simples. Que significado tem esta afirmação? 134

26 Os gráficos junto exemplificam dois sons puros e um som complexo obtidos num microfone, colocado a uma certa distância de uma fonte sonora (software de computador que pode gerar sons com qualquer frequência). A escala de intensidade é igual nos três gráficos. intensidade do som Qual é o som puro com maior frequência? Qual é o valor dessa frequência? 2 Qual é o som puro com maior período? Qual é o valor desse período? 3 Compare a intensidade do som puro com maior intensidade com a intensidade do som puro com menor intensidade. intensidade do som Faça um esboço do espectro sonoro do som complexo que resulta da sobreposição dos dois sons puros. intensidade do som As figuras mostram a análise de duas notas LÁ de uma guitarra Fender em computador. Os valores indicados referem-se ao tempo em segundos. 5 Qual representa o LÁ mais agudo? Fundamente a resposta. 6 Trata-se de sons puros ou sons com timbre? Fundamente a resposta. 7 Sobrepondo estas duas notas, obtémse um LÁ com o mesmo timbre? Fundamente a resposta. 8 Faça uma estimativa de quantas vezes é que a frequência do segundo LÁ é maior que a frequência do primeiro. 9 Verifique que a frequência do primeiro LÁ é 220 Hz e a do segundo é 440 Hz. 10 Os telefones de teclas produzem sons característicos, que resultam da sobreposição de dois sons quase puros. Por exemplo, a tecla 1 de um telefone produz um som composto de dois sons com frequências 697 Hz e 1209 Hz. Estes dois sons são sons harmónicos? Fundamente a resposta. 11 As mesas de mistura de som (foto ao lado) têm imensos botões para controlar a intensidade das diversas frequências do espectro sonoro. Como se deverá proceder para manipular esses botões de modo a ouvir um som puro a partir de um som de uma nota musical? 135

27 Altura, volume (ou intensidade) e timbre de um som Um som pode ser mais alto (também se diz mais agudo) ou mais baixo (também se diz mais grave). Não se deve confundir som alto com som mais forte ou mais intenso. A altura de um som está relacionada com a frequência das vibrações que provocam o som. Por exemplo, um assobio é, em geral, um som agudo ou alto (corresponde a muitas vibrações do ar por segundo). Já um som de uma pancada da mão numa mesa é um som baixo ou grave. Quanto mais alto (mais agudo) for um som, maior é a sua frequência. Um assobio muito agudo pode corresponder a 4000 vibrações do ar por segundo. Um som grave ou baixo, como um som das notas do lado esquerdo do teclado de um piano, corresponde essencialmente a sons provocados por menos de 100 vibrações por segundo. O som emitido pela explosão do vulcão Krakatoa em 1884 (na Indonésia) foi dos mais intensos ou fortes que alguma vez se produziram na Natureza. Foi tão forte que chegou a ser ouvido a mais de 4000 km de distância! O vulcão da ilha de Krakatoa, que explodiu em 1884, produziu o som mais intenso de sempre na Terra! Um som muito intenso não deve ser confundido com um som muito alto: a altura de um som tem a ver com a frequência da onda sonora e a intensidade do som depende da amplitude e energia das ondas sonoras. A intensidade de um som é a característica que permite classificá-lo em forte ou fraco. Quanto mais intenso ou forte for um som, mais longe ele poderá ser detectado, em iguais condições de propagação. A intensidade de um som depende da energia que lhe está associada. Esta designa-se muitas vezes por energia sonora, não porque se trata de uma forma especial de energia (é energia cinética, ou energia do movimento, como outras formas de energia). A intensidade de um som depende da amplitude das respectivas ondas. Dois instrumentos musicais ou dois cantores podem emitir sons correspondentes à mesma nota musical, da mesma frequência e com a mesma intensidade. Mas um ouvido bem treinado consegue distinguir essas notas. A propriedade que permite distinguir sons musicais com a mesma altura e com a mesma intensidade é o timbre do som. O timbre é uma característica muito importante dos instrumentos musicais e da voz humana. Os sons musicais são misturas de sons harmónicos (não confundir com ondas harmónicas!): flauta violino o som fundamental ou primeiro harmónico tem uma certa frequência; o segundo harmónico tem uma frequência que é dupla da do primeiro harmónico; o terceiro harmónico tem uma frequência que é tripla da do primeiro harmónico. E assim sucessivamente. O timbre de cada som musical depende da composição dessa mistura de harmónicos emitida pela voz ou pelo instrumento musical. clarinete Três sons musicais correspondentes à mesma nota musical, produzidas por três instrumentos. O timbre destes sons (resultante da mistura de harmónicos) é diferente de instrumento para instrumento. 136

28 Primeiro harmónico ou som fundamental, de frequência f Segundo harmónico, com frequência 2f Terceiro harmónico, com frequência 3f Quarto harmónico, com frequência 4f Som complexo 0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 A figura acima mostra os quatro harmónicos de um som de frequência f e o som complexo resultante da sobreposição dos harmónicos. 1 Qual é o valor da frequência f? 2 Determine a frequência dos diversos harmónicos. 3 Qual é o harmónico que tem maior intensidade? Fundamente a resposta. 4 Faça um esboço do espectro do som complexo. A figura abaixo foi obtida com uma nota musical. 5 Determine a frequência da nota musical. 6 Que relação há entre a frequência da nota musical e a frequência dos respectivos harmónicos? Fundamente a resposta. 7 Qual dos harmónicos, é mais intenso, sem ser o primeiro harmónico ou som fundamental? 8 Em que difere este espectro do espectro do som da mesma nota musical produzida por outro instrumento? O gráfico abaixo refere-se a um assobio analisado num computador. Os valores indicados referem-se ao tempo em segundos. 9 Verifique que a frequência do assobio se manteve aproximadamente constante ao longo de todo o assobio. 10 Que propriedade do som variou durante o assobio? Fundamente a resposta. 137