UTLIZAÇÃO DOS TESTES DE HIPÓTESES PARA A MÉDIA NA TOMADA DE DECISÃO RESUMO. Palavras-chave: Testes de Hipótese. Decisão. Estatística.
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1 UTLIZAÇÃO DOS TESTES DE HIPÓTESES PARA A MÉDIA NA TOMADA DE DECISÃO RESUMO Nil A de S. Sampai 1 Rbert Camps Leni 2 Este artig trata ds cnceits que envlvem s Testes de Hipótese e suas aplicações em na tmada de decisã. Baseia-se em pesquisas bibligráficas e estuds de cas que ajudam a entender cm essas ferramentas da estatística ajudam a cmpreender determinad estud e na psterir tmada de decisã. Palavras-chave Testes de Hipótese. Decisã. Estatística. 1 Intrduçã Em estatística, um Teste de Hipóteses é um métd para verificar se s dads sã cmpatíveis cm alguma hipótese, pdend muitas vezes sugerir a nã-validade de uma hipótese. O teste de hipóteses é um prcediment estatístic basead na análise de uma amstra, através da teria de prbabilidades, usad para avaliar determinads parâmetrs que sã descnhecids numa ppulaçã. A expressã teste de significância fi criada pr Rnald Fisher "Critical tests f this kind may be called tests f significance, and when such tests are available we may discver whether a secnd sample is r is nt significantly different frm the first."( R. A. Fisher,1925). Um Teste de Hipóteses pde ser paramétric u nã-paramétric. Testes paramétrics sã baseads em parâmetrs da amstra, pr exempl média e desvi padrã. O us tant ds testes paramétrics cm ds nã-paramétrics está cndicinad à dimensã da amstra e à respectiva distribuiçã da variável em estud. 1 Dutr em Engenharia Mecânica pela Unesp-SP. Prfessr da Assciaçã Educacinal Dm Bsc. Prfessr da UERJ-FAT. Prfessr de diverss curss de Pós graduaçã. nil.samp@terra.cm.br 2 Dutrand em Engenharia Mecânica pela Unesp-sp. Prfessr da Academia Militar das Agulhas Negras e da Assciaçã Educacinal Dm Bsc. rcleni@yah.cm.br
2 Os testes de hipóteses sã sempre cnstituíds pr duas hipóteses, a hipótese nula H0 e a hipótese alternativa H1. Hipótese nula (H) é a hipótese que traduz a ausência d efeit que se quer verificar. Hipótese alternativas (H1) é a hipótese que investigadr quer verificar. Nível de significância a prbabilidade de rejeitar a hipótese nula quand ela é efetivamente verdadeira (ERRO) Finalidade avaliar afirmações sbre s valres de parâmetrs. O valr-p é uma estatística muit utilizada para sintetizar resultad de um teste de hipóteses. Frmalmente, valr-p é definid cm a prbabilidade de se bter uma estatística de teste igual u mais extrema quant aquela bservada em uma amstra, assumind verdadeira a hipótese nula (BUSSAB,2006). Estatística de teste Muit frequentemente, a regiã de rejeiçã é definida em terms de uma estatística, denminada estatística d teste. Estatística d teste é uma estatística que pssibilita teste de uma hipótese estatística. Usualmente, estatísticas pssibilitam mesm prcess de decisã numa dimensã menr, devid à reduçã ds dads prvidenciada pela estatística. Desse md, a regiã de rejeiçã pde ser estabelecida de md equivalente em terms da estatística d teste. Assim cm ns cnjunts de cnfiança, as variáveis pivô têm grande imprtância ns testes de hipótese. Sb H0, essas variáveis se trnam estatísticas, cuj cmprtament prbabilístic pssibilita que uma cnclusã seja tmada. Errs de decisã A decisã sbre uma hipótese estatística é um prcess de inferência, de md que a pssibilidade de que errs sejam cmetids é inerente a prcess. Em terms da decisã sbre uma hipótese H0 existem dis tips de err 1. Err d tip I rejeitar a hipótese de nulidade quand ela nã deveria ser rejeitada. 2. Err d tip II falhar na rejeiçã da hipótese de nulidade quand ela deveria ser rejeitada.
3 Evidentemente, decisões crretas pdem ser tmadas nã rejeitar quand H0 é a hipótese adequada e rejeitar quand H1 é a hipótese adequada. A tabela que segue resume as situações. Tabela-1 Hipóteses x Decisões Decisã tmada Hipótese Nã rejeitar Rejeitar H0 verdadeira Crreta Err tip I H0 falsa Err tip II Crreta Essa situaçã é ttalmente análga à decisã de um juiz sbre um réu após um julgament, cm se pde ver na tabela abaix. A hipótese de nulidade é " réu é incente". Observe-se que err d tip I é mais imprtante. Tabela-2 Cndenaçã x Incência Hipótese Decisã tmada Nã cndenar Cndenar Réu incente Crreta Err tip I Réu culpad Err tip II Crreta É interessante ntar que muitas vezes nã há cndenaçã prque as evidências (prvas) nã sã suficientes para cndenaçã, u seja, H0 nã é rejeitada, mas nã quer dizer necessariamente que a incência está prvada. Refrçand a analgia nã rejeitar H0 nã quer dizer necessariamente que ela é verdadeira; apenas nã há evidências para a sua rejeiçã (DA SILVA, E.M et al,1997). Existem testes de hipótese paramétrics para a média, para a prprçã, para a diferença das médias, para a diferença das prprções, para a variância ppulacinal e para a diferença das variâncias, cm exempl demnstra-se abaix s testes de hipótese para a média ppulacinal Segund DA SILVA, E.M et al,1997 teste cnsiste em verificar, através de uma amstra, se a média da ppulaçã atende cas em teste (cnfrme desejems testar diferença, valr inferir u valr superir a uma referência para a média), para um cert nível de significância desejad. Inicialmente devems calcular
4 (1) média da amstra média esperada da ppulaçã desvi padrã da amstra tamanh da amstra Em seguida cnsultams na tabela da curva nrmal Z crrespndente a cada cas. Finalmente verificams se se encntra na área de rejeiçã cnfrme cas em teste. Cas 1 - Unilateral u unicaudal à esquerda Rejeitar se Cas 2 - Unilateral u unicaudal à direita Rejeitar se Cas 3 Bilateral Rejeitar se u se
5 2 Estuds de Cas 2.1 Cmparaçã de médias, variância cnhecida Supnha que X é uma variável aleatória cm média descnhecida e variância cnhecida. E querems testar a hipótese de que a média é igual a um cert valr especificad 0. O teste de hipótese pde ser frmulad cm segue H H Para testar a hipótese, tma-se uma amstra aleatória de n bservações e se calcula a estatística Z X / Nte que teste é feit usand-se / n n denminadr, uma vez que esse é desvi padrã da média. A hipótese H é rejeitada se Z0 Z / 2 nde Z / é um 2 valr limite da distribuiçã nrmal reduzida tal que a prbabilidade de se bter valres externs a é. Z / 2 A prbabilidade d valr Z acntecer segund a hipótese nula é menr d que rejeita-se a hipótese nula H., lg Se X resultar próxim de Z Z a / 2 a hipótese H é rejeitada. Estud de cas -1 A resistência à traçã d aç inxidável prduzid numa usina permanecia estável, cm uma resistência média de 72 kg/mm 2 e um desvi padrã de 2,0 kg/mm 2. Recentemente, a máquina fi ajustada. A fim de determinar efeit d ajuste, 10 amstras fram testadas. 76,2 78,3 76,4 74,7 72,6 78,4 75,7 70,2 73,3 74,2 Presuma que desvi padrã seja mesm que antes d ajuste. Pdems cncluir que ajuste mudu a resistência à traçã de aç? (Adte um nível de significância de 5%) Pass 1 Definiçã da Hipótese H = 72 kg/mm 2 H 1 72 kg/mm 2 s = 2 kg/mm 2 n
6 Pass 2 Calcular a estatística d Teste Send = 75,0 e s = 2 kg/mm 2, tems Z cal X 75 n ,6325 4,74 Iss significa que a média da amstra retirada aleatriamente da prduçã está a 4,74 devis-padrã da média alegada em H que é 72. Pass 3 Regiã Crítica Pass 4 Regra de Decisã Figura-1 Teste Bilateral de Hipótese para a Regiã Crítica Cm valr crític para 5% é 1,96 desvis (Z tabelad), estams na regiã de rejeiçã de H. Pass 5 Cnclusã H é rejeitada e cncluíms que a resistência à traçã d aç mudu. Estud de cas -2 Um prcess deveria prduzir bancadas cm 0,85 m de altura. O engenheir descnfia que as bancadas que estã send prduzidas sã diferentes que especificad. Uma amstra de 8 valres fi cletada e indicu X 0,87. Sabend que desvi padrã é 0,010, teste a hipótese d engenheir usand um nível de significância =0,05. Sluçã H 1 0,85 H 0,85 Z 5, 66 Z 1,96 0,025 0,87 0,85 Z 5,66 0,010 / 8
7 Rejeita-se H -1,96 +1, Cmparaçã de médias, variância descnhecida Supnha que X é uma variável aleatória Nrmal cm média e variância descnhecidas. Para testar a hipótese de que a média é igual a um valr especificad, frmulams H H 1 0 Esse prblema é idêntic àquele da seçã anterir, excet que agra a variância é descnhecida. Cm a variância é descnhecida, é necessári fazer a supsiçã adicinal de que a variável tenha distribuiçã Nrmal. Essa supsiçã é necessária para pder desenvlver a estatística d teste; cntud, s resultads ainda serã válids se afastament da nrmalidade nã fr frte. Cm 2 nã é cnhecid, usa-se a distribuiçã de Student para cnstruir a estatística d teste t X S / n E a hipótese nula H é rejeitada se t 0 0 t / 2,n1, nde t / 2 é um valr limite da distribuiçã de Student tal que a prbabilidade de se bter valres externs a t / 2 é. Estud de cas -3 Um trech de uma rdviária estadual, quand é utilizad radar, sã verificadas em média 7 infrações diárias pr excess de velcidade. O chefe de plícia acredita que este númer pde ter aumentad. Para verificar iss, radar fi mantid pr 10 dias cnsecutivs. Os resultads fram 8, 9, 5, 7, 8, 12, 6, 9, 6, 10 Os dads trazem evidência de aument nas infrações? Pass 1 Definiçã da Hipótese H m = 7 H 1 m > 7
8 Pass 2 Calcular a estatística d Teste 2,10. Tems X = 8. Nã cnhecend, estimams pr S (desvi-padrã da amstra), lg, S = Desvi-padrã fi estimad a partir de uma pequena amstra) deve-se usar a estatística t-student. 3. Cnclusões Ds resultads ds estuds de cas e da revisã de bibligrafia é pssível bservar que na teria de decisã estatística, s testes de hipóteses assumem uma imprtância fundamental, já que estes permitem ns dizer, pr exempl, se duas ppulações sã de fat iguais u diferentes, utilizand para iss amstras destas ppulações. Desta frma, a tmada de decisã de um gestr, deve estar baseada na análise de dads a partir de um teste de hipótese. REFERÊNCIAS ANDERSON, David R., SWEENEY, Dennis j., WILLIANS, Thmas A. Estatística Aplicada à Administraçã e Ecnmia.Sã Paul.Cengage Learning. 2ª.ediçã BUSSAB, Wiltn. Estatística Básica.Sã Paul. Saraiva. 5a ediçã. 540p CRESPO, Antôni Arnt. Estatística Fácil. Sã Paul. Saraiva. 17ed LARSON, R, FARBER, B. Estatística Aplicada. Sã Paul. Pearsn - Prentice Hall. 2ª ediçã DA SILVA, E.M et al, Estatística. Sã Paul. Atlas R. A. Fisher. Statistical Methds fr Research Wrkers. Edinburgh Oliver and Byd, 1925, p.43.
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