HISTÓRICO, SUA IRRACIONALIDADE E TRANSCENDÊNCIA

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1 NÚMERO π: HISTÓRICO, SUA IRRACIONALIDADE E TRANSCENDÊNCIA Gilvaneide Lucena dos Santos Licenciando em Matemática Universidade Católica de Brasília UCB Orientador: Dr. Jorge de Oliveira Brandão RESUMO O número π surgiu na Matemática como a razão entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro. A busca por uma regularidade na expansão decimal do π levou ao desenvolvimento de novos campos da Matemática, envolvendo áreas diversas dessa Ciência. O fascínio por esse número levou vários matemáticos a estudá-lo. Esses estudos levaram a demonstrações de que π é um número com características muito especiais, entre elas estão a irracionalidade e a transcendência. Demonstrada a transcendência de π, restou provada a impossibilidade da quadratura do círculo. Outro problema geométrico envolvendo o número π é a retificação da circunferência. O PCN s sugere para o ensino de π aos alunos do quarto círculo a propositura de situações-problemas que permitam obter aproximações sucessivas. Palavras-chave: Número π, histórico, irracionalidade, transcendência. 1. INTRODUÇÃO Desde que o homem conseguiu um grau razoável de civilidade, ele começou a interessar-se por problemas de medidas de comprimentos e áreas. Um problema particularmente importante, que gerou certa curiosidade, foi o cálculo do comprimento de uma circunferência cujo diâmetro era conhecido. O primeiro fato importante notado pelos geômetras da Antigüidade foi que quanto maior o diâmetro, maior o comprimento, mais ainda, que o comprimento da circunferência é proporcional ao seu diâmetro. Se indicarmos por C o comprimento e por D o diâmetro, isto significa que o quociente C D é constante, qualquer que seja a circunferência considerada. Medidas experimentais mostravam que esta constante era um pouco maior do que três. Os geômetras na Antigüidade usaram, com muito sucesso, valores aproximados para essa constante, como por exemplo, Assim, o número π surge na Matemática como a razão entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro. Esta é uma das várias definições possíveis e, tal como todas as outras, pode esconder a complexidade e a beleza deste número. A tentativa de descobrir algum tipo de regularidade na expansão decimal do π levou ao desenvolvimento de novos campos da Matemática e à expansão do estudo das diferentes classes de números. Este estudo está documentado há mais de 4000 anos e envolve áreas tão diversas como a Geometria, a Análise, a Álgebra, a Teoria das Probabilidades, a Teoria da Complexidade e os novos meios informáticos.

2 Hoje sabemos que esta constante é um número real bastante conhecido chamado π, aproximadamente igual a 3, Uma grande parte da beleza deste número reside nas diferentes tentativas realizadas para conhecê-lo melhor. Este trabalho tenta mostrar um pouco desta beleza, no que diz respeito à matemática, informática, histórica, entre outros. O presente trabalho será uma exposição sobre o número π, que há muito tem sido fonte de estudos por muitos matemáticos. Ao analisarmos esse número, trataremos da sua irracionalidade e da sua construção como número transcendente. 2. DIFERENTES DEFINIÇÕES DE π 2.1 A razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência No espaço euclidiano, a razão entre a medida de comprimento do perímetro de uma circunferência e a medida de comprimento do respectivo diâmetro é constante e esta constante é denominada π (Palis, 1989b). 2.2 A razão entre a área do círculo e o quadrado do seu raio No espaço euclidiano existe ainda outra definição muito simples de π: a razão entre a área de um determinado círculo e o quadrado do seu raio é constante e igual a π (Bastos e Silva, 1999). 3. HISTÓRICO Apesar de π ser a 16ª letra do alfabeto grego, os gregos antigos não utilizavam esta letra para designar a relação entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência. A história fascinante do π começou acerca de 4000 anos atrás, apesar de os matemáticos só começarem a utilizar símbolos para designar π cerca de 2000 anos depois dos trabalhos de Arquimedes (Boyer, 1996). O símbolo usado atualmente tem uma história com menos de 250 anos. É importante focar que na história do π, um dos passos fundamentais, consistiu em adquirir consciência da constância da razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer círculo, pois sem esta consciência nunca se teria calculado o π. Inúmeros povos andaram a sua procura mesmo antes que chegassem a ter consciência matemática. O valor 3 foi usado durante muito tempo por motivos religiosos e culturais em certas civilizações, como a dos Egípcios e a dos Babilônios, quando já se conheciam nessas mesmas civilizações determinações melhores.

3 Arquimedes de Siracusa ( a.c.), pôs mãos à obra com expedientes novos, muito profundos. Sabia que π não era racionalmente determinável, ou, ao menos, o suspeitava (Boyer, 1996). Assim sendo, propôs-se descobrir um processo para a determinação de π, o Método de Arquimedes, com a precisão que se desejasse. Este usou, processos geométricos, complicados mas gerais, que dão limites inferiores e superiores para π. Arquimedes utilizou alguns polígonos regulares, com um número crescente de lados, até chegar ao polígono de 96 lados, através do qual obteve uma aproximação de π, qual seja, 3,1410 < π < 3,1428. No entanto Hui (263 d.c.) descobriu, através de polígonos regulares inscritos e circunscritos que 3,1401 < π < 3,1427. Dois séculos mais tarde, no ano 480 da nossa era, um certo engenheiro hidráulico chinês de nome Tsu Chung-Chi ( d.c.), chegou a um valor de π extraordinariamente preciso, considerada a época em que foi calculado. O π de Tsu Chung-Chi, em nossa notação decimal, oscilaria entre 3, e 3, (Blatner, 2001). Na Itália (Séc. XIII), o Papa Inocêncio III, governava os estados pontifícios desde 1198 e, em 1212 conseguiu proclamar o seu pupilo Frederico II, rei da Germânia e, na corte deste monarca, em Itália, se notabilizou Leonardo Fibonnaci. Frederico II, de cognome "stupor mundi" (o espanto do mundo) nasceu em 1194 e, era neto de Frederico Barba Roxa. Conhecedor de todas as línguas que se falavam na capital do seu reino da Secília: francês, italiano, latim, grego e árabe, assimilou o essencial de três civilizações universais (a clássica, a cristã, e a oriental) e, fez da sua corte de Palermo, um centro de cultura numa espécie de Academia das Ciências. Em Nápoles fundou a primeira Universidade subsidiada pelo Estado (Silveira, 2001). Partiu do valor de Arquimedes 22/7, a que chamou inexato e, conhecendo o valor 377/120 calculado por Ptolomeu, calculou um valor a que chamou exato (π = 355/113 = 3, ). A época do Renascimento Europeu trouxe, na altura devida, um novo mundo matemático. Entre os primeiros efeitos deste renascer está a necessidade de encontrar uma fórmula para o π. Descobriu então a definição não geométrica de π e do papel não geométrico deste valor. Assim se chegou à descoberta das representações de π por séries infinitas. Um Inglês chamado Shanks, usou a fórmula de Machin para calcular π até as 707 casas decimais, das quais só 527 estavam corretas, publicando o resultado do seu trabalho em Em 1949 um computador foi usado para calcular π até as casas decimais. Em 1961 conseguiu-se através de computação a aproximação de π através de casas decimais, mais tarde em 1967 aproximou-se até às casas decimais (Andrade, 1999). Recentemente, David Bailey, Peter Borwein e Simon Plouffe contabilizaram 10 bilhões de casas decimais para π, usando uma fórmula que dá cada casa decimal do π individualmente, para cada n escolhido. O conhecimento de um número cada vez maior de dígitos de π, pode trazer grandes avanços na área tecnológica, principalmente na construção de novos computadores pois, o

4 cálculo de seu valor é usado para testes de software e hardware onde uma diferença em um de seus algarismos indica falha nas arquiteturas dos mesmos (Andrade, 1999). É importante salientar, ainda, que o símbolo π foi usado pela primeira vez no seu significado atual, por William Jones, em 1706, no seu livro Synopsis palmariorum matheseos. Contudo, neste mesmo livro o autor utiliza π em diferentes acepções. Alguns autores inferem que o fato de ter utilizado o símbolo π foi a maior contribuição de Jones para a Matemática (Lima, 1985). O primeiro grande matemático a utilizar π foi Euler. Não se sabe se Euler teve ou não contato com o trabalho de Jones. Em 1736, Euler começa a utilizar π. Lentamente outros matemáticos também começaram a utilizar este símbolo. No seu livro Introductio in analysin infinitorum de 1748 a utilização do símbolo torna-se sistemática (Lima, 1985). 4. A IRRACIONALIDADE DE π Número irracional é todo aquele que não pode ser representado na forma a b, sendo a e b números inteiros, com b 0, ou seja, quando não pode ser escrito na forma de fração entre números inteiros ou quando possui uma expansão decimal infinita não periódica (Palis, 1989a). Segundo Figueiredo (2002), durante centenas de anos muitos matemáticos supuseram que π era irracional. No entanto, só em 1761 Johann Lambert, no seu livro Mémoires sur quelques popriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques conseguiu provar que π era efetivamente irracional, usando frações contínuas. Apesar da prova apresentada, vários matemáticos continuaram a questionar o fato de π ser irracional. Legendre, em 1794, encontrou então outra prova que satisfez também estes cépticos (Marques, 2002). No livro Números Irracionais e Transcendentes, Djairo Guedes de Figueiredo, apresenta uma demonstração da irracionalidade de π realizada por I. Niven, em artigo publicada no Bulletin of the American Mathematical Society, 53 (1949), na qual usou um método desenvolvido por Hermite para provar a transcendência do número e. 5. A QUADRATURA DO CÍRCULO Muito antes de Jesus Cristo, os gregos interessaram-se por três problemas geométricos que se tornaram célebres. Tratava-se de realizar, com o auxílio da régua e do compasso, as seguintes operações: - A duplicação do cubo: construir um cubo de volume duplo ao de um cubo dado; - A trissecção de um ângulo: construir um ângulo igual ao terço de um ângulo dado; - A quadratura do círculo: construir um quadrado da mesma área que um círculo dado.

5 Durante séculos, matemáticos e apaixonados pela matemática propuseram diversificadas soluções para estes problemas. Todas elas estavam incorretas. Um dos problemas da matemática clássica consiste em tentar construir um quadrado com uma área igual a um círculo dado utilizando, unicamente, a régua não graduada e o compasso, em um número finito de passos. Existem várias soluções para o problema se retirarmos a necessidade de ser em um número finito de passos. Teve que se esperar pelo século XIX para se poder demonstrar a impossibilidade de realizar semelhantes construções unicamente com o auxilio de régua e compasso. Descartes, enunciou claramente as relações entre a resolução de equações do primeiro e segundo grau e as construções utilizando apenas a régua não graduada e o compasso. Em 1837, Pierre Laurent Wantzel, demonstrou que o problema da quadratura do círculo era equivalente a encontrar uma expressão algébrica que definisse π utilizando apenas as quatro operações usais e a raiz quadrada um número finito de vezes (Dalcin, 1990). Em particular, com origem nos trabalhos de F. von Lindemann em 1882, pôde estabelecer-se que a quadratura do círculo era impossível. Lindemann demonstrou que o número π é um número transcendente (quer dizer, não é solução de nenhuma equação algébrica cujos coeficientes sejam números racionais) e que π também o é. A descoberta de Lindemann resolveu o problema colocado pelos gregos. Eles perguntavam qual dos dois era possível para construir, pelo método de Euclides, um quadrado de área igual a um círculo dado. O problema tornou-se conhecido como a "quadratura do círculo". Se o raio do círculo é 1, a sua área é π então cada lado do quadrado proposto teria o comprimento de π. A demonstração de Lindemann em que π é transcendente prova que é impossível quadrar o círculo. Isto não significa que o quadrado proposto não exista (Nápoles e Amaral, 2002). Ele existe mas não pode ser construído pelo modo proposto pelos geômetras Gregos, usando só régua e compasso. 6. A TRANSCENDÊNCIA DE π Segundo Figueiredo (2002), um número x é algébrico quando é solução de uma equação da forma (1): n n an x + an x a x + a = em que n: natural positivo; (1) a n, a n-1,..., a 1 e a 0 : inteiros. Um número real é transcendente se não for algébrico.

6 Joseph Liouville, em 1844, foi o primeiro matemático a provar que existem números transcendentes (Costa, 1982). Aliás, Liouville provou que existem infinitos números transcendentes. Alguns destes números podem ser definidos de formas aparentemente simples. Georg Cantor, provou em 1873, que existem mais números transcendentes do que números não transcendentes. Para provar que π é transcendente foi necessário provar primeiro que e é transcendente. Esta prova foi concluída em primeiro lugar por Charles Hermite, em Após esta prova Hermite foi desafiado a provar que π também era transcendente, o que não ocorreu (Figueiredo, 2002). O método usado por Hermite para demonstrar a transcendência de e foi estendida por Lindemann, em 1882, para demonstrar a transcendência do número π. O matemático Djairo Guedes de Figueiredo, em seu livro Números Racionais e Transcendentes (2002), apresenta uma demonstração da transcendência de π baseada na realizada por R. Moritz, a qual, por sua vez, foi inspirada na prova de Hurwitz, para a transcendência de e. Assim, o π é um número com características muito especiais, sendo uma delas a transcendência, pois não é um número algébrico, uma vez que não é raiz de nenhum polinômio com coeficientes racionais. A possibilidade da quadratura do círculo pela construção euclidiana dependia inteiramente do π ser ou não algébrico. O teorema de Lindemann provou então a transcendência do π, e provou que o problema da quadratura do círculo é impossível pelas regras da geometria grega. Portanto a transcendência do π implica que não existe uma construção com régua e compasso, para construir um quadrado com igual área a um círculo dado. Isto é o fim da história do π e da quadratura do círculo. Provada a transcendência de π está igualmente provada a impossibilidade da quadratura do círculo. Contudo, ainda hoje em dia muitas pessoas continuam a defender que conseguiram quadrar o círculo. 7. RETIFICAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA Sabemos que há uma relação constante entre a circunferência e o seu diâmetro. Essa relação constante é representada, universalmente, pela letra π, cujo valor aproximado é 3,1416. Conhecendo-se o diâmetro, pode-se, portanto, determinar facilmente o comprimento da circunferência. Assim, podemos dizer que o comprimento da circunferência é, aproximadamente, o triplo e mais um sétimo do diâmetro, o que vai nos permitir obter um segmento de reta cujo comprimento seja igual ao comprimento de uma circunferência dada (Kumayama, 1992). Este problema gráfico, a retificação da circunferência, tem solução aproximada.

7 Problema Retificação da circunferência. Este processo baseia-se na relação estabelecida por Arquimedes, que morreu no ano 212 a.c., e demonstrou que o valor de π está compreendido entre 3 e Solução: Seja a circunferência de diâmetro AB (figura 1) a que se quer retificar. Em seguida, divide-se o diâmetro AB em sete partes iguais. Sobre o diâmetro prolongado, situa-se desde A até D, um comprimento igual a três vezes o diâmetro, e do ponto D até E, a sétima parte de AB. O desenvolvimento aproximado da circunferência O, é o segmento AE (Penteado, 1967). Os três primeiros comprimentos AB, BC e CD iguais ao diâmetro, correspondem à parte inteira do número π e, o quarto segmento, DE, sétima parte do diâmetro, corresponderá à parte decimal do referido número. Figura 1 Retificação da circunferência 8. DIFICULDADES NA APRENDIZAGEM DOS IRRACIONAIS SOB A ÓTICA DOS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS - PCN s De modo geral, as formas utilizadas no estudo dos números irracionais têm se limitado quase que exclusivamente ao ensino do cálculo com radicais. Conforme se infere das Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (MEC, 2005), apesar de tradicionalmente ocupar um razoável espaço no currículo do quarto ciclo, o trabalho com os irracionais pouco tem contribuído para que os alunos desenvolvam seu conceito. Do ponto de vista de sua evolução histórica, a existência e a caracterização dos números irracionais foram questões bastante complicadas. Apesar de ser antiga a convivência do homem com os números irracionais, somente há pouco mais de cem anos é que esses números foram sistematizados. Conforme constatação apresentada no PCN s, a inexistência de modelos materiais que exemplifiquem os irracionais, possivelmente, contribui para as dificuldades na aprendizagem dos irracionais. Além disso, quando se estuda a reta numérica racional e se constrói o conhecimento da densidade dos números racionais entre dois racionais há uma infinidade de racionais parece não haver mais lugar na reta numérica para nenhum tipo de número além dos racionais. Assim, a idéia de número irracional, nessa fase do aprendizado, não é seguramente intuitiva. Por outro lado, ancorar o estudo do conjunto dos racionais e irracionais no âmbito do formalismo matemático não é certamente indicado nessa etapa. Por esses motivos, julga-se inadequado um tratamento formal do conceito de número irracional no quarto ciclo.

8 O estudo desses números pode ser introduzido por meio de situaçöes-problema que evidenciem a necessidade de outros números além dos racionais. Uma situação é a de encontrar números que tenham representação decimal infinita, e não periódica. Outra é o problema clássico de encontrar o comprimento da diagonal de um quadrado, tomando o lado como unidade, que conduz ao número 2. Nesse caso, pode-se informar (ou indicar a prova) da irracionalidade de 2 por não ser uma razão de inteiros. O problema das raízes quadradas de inteiros positivos que não são quadrados perfeitos, 3, 5 etc., poderia seguir-se ao caso particular de 2. Outro irracional que pode ser explorado no quarto ciclo é o número π. De longa história e de ocorrência muito freqüente na Matemática, o número π nessa fase do aprendizado aparece como a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro. Essa razão, sabe-se, não depende do tamanho da circunferência em virtude do fato de que duas circunferências quaisquer são figuras semelhantes. A verificação da irracionalidade de um dado número só é possível, naturalmente, no âmbito da própria Matemática. Nenhuma verificação empírica, nenhuma medição de grandezas, por mais precisa que seja, provará que uma medida tem valor irracional. No caso do número π a prova matemática de sua irracionalidade, ou seja, a impossibilidade de escrevê-lo como quocientes de inteiros (ou equivalentemente como quocientes de racionais) é seguramente inadequada para o ensino fundamental. Por outro lado deve-se estar atento para o fato de que o trabalho com as medições pode se tomar um obstáculo para o aluno aceitar a irracionalidade do quociente entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro, uma vez que ele já sabe que as medições envolvem apenas números racionais. É possível, no entanto, propor situações que permitam aos alunos várias aproximações sucessivas de π. Ao trabalhar com essas aproximações, é interessante usar diferentes calculadoras e informar os alunos a respeito dos cálculos que são feitos em computadores de grande porte, que produzem o valor de π com milhes de dígitos sem que haja o aparecimento de um período na expansão decimal. Com relação aos cálculos aritmético e algébrico com números irracionais, configuramse duas possibilidades. Numa delas o aluno deve ser orientado a efetuar os cálculos seguindo regras operatórias análogas as que são válidas para os racionais. Esse fato pode conduzir, inclusive, à obtenção de infinitos irracionais por meio das operações fundamentais. Por exemplo, explorar números na forma a + b 2 com a e b racionais, pode contribuir para a superação da idéia equivocada de que há poucos irracionais. Uma segunda possibilidade é a de efetuar cálculos com os irracionais por meio de aproximações racionais. Nesses casos apresenta-se uma situação apropriada para tratar o conceito de arredondamento e utilizar as calculadoras.

9 9. CONCLUSÃO Neste trabalho tivemos a oportunidade de nos integrar com alguns aspectos da História da Matemática, desde longa data até aos tempos atuais, além de servir como fonte de aperfeiçoamento dos conhecimentos sobre o número π. Um dos desafios com que o homem se deparou foi, sem dúvida, o cálculo do π, que estava longe de ser um número normal. Este é um número de tal forma único que se viria a transformar no número mais famoso da história universal. Nenhum número ou símbolo matemático evocou tanto mistério, romantismo, falsas concepções e curiosidade humana como o π. A sua história fascinante teve início há cerca de anos atrás e prolongou-se até a atualidade, em que ainda são efetuados cálculos, usando computadores, ansiando bater o recorde de casas decimais determinadas, além de significar avanços na área tecnológica, uma vez que o seu valor é usado para testes de software e hardware. Desvendar os mistérios e características do número π não é estudar apenas conceitos matemáticos, mas, também, viajar pela história da civilização humana, a fim de conhecer suas curiosidades e limitações. Em diversos momentos o homem deparou-se com problemas que envolviam em sua resolução o número π, fatos que levaram estudiosos a desvendar as características desse número. Vários anos, e por que não dizer décadas ou séculos, foram dedicados com a finalidade de demonstrar a irracionalidade e a transcendência desse número. Em estudos posteriores almejaremos um maior aprofundamento na análise dos diferentes métodos utilizados por diversos matemáticos para demonstrar características do número π, como a irracionalidade e a transcendência. O presente trabalho busca, ainda, servir de fonte de pesquisa para professores e interessados que, de alguma forma, forem valer-se dos irracionais, e, de modo especial, o número π. Afinal, aquele número que conhecemos e que tão útil tem sido para a história da Matemática, e da própria civilização, escondia aspectos nunca por nós imagináveis.

10 BIBLIOGRAFIA Andrade, L. N. (1999) Novas fórmulas utilizadas no cálculo do valor de pi. Revista do Professor de Matemática. v. 41, n. 41, p Bastos, W. D. e A. F. Silva (1999) A área do círculo. Revista do Professor de Matemática. v. 40, n. 40, p Blatner, D. O encanto do pi, Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm34/> Boyer, C. B. (1996) História da Matemática. 2ª edição. Ed. Edgard Blucher Ltda., São Paulo. Costa, R. C. F. (1982) O que é um número transcendente. Revista do Professor de Matemática. v. 1, n. 1, p Dalcin, M. (1990) A quadratura do círculo. Revista do Professor de Matemática. v. 16. n. 16, p Figueiredo, D. G. (2002) Números Irracionais e Transcendentes. 3ª edição. INEP, Rio de Janeiro. Kumayama, H. (1992) Retificação de uma circunferência e a determinação geométrica de pi. Revista do Professor de Matemática. v. 20, n. 20, p Lima, E. L. (1985) O que é o número pi?. Revista do Professor de Matemática. v. 6, n. 6, p Marques, Paulo. Os Números Irracionais: O conjunto I, Disponível em: <http://www.terra.com.br/matematica.htm> MEC (2005) PCN Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Ministério da Educação e Cultura, Brasília, DF. Nápoles, Suzana; Amaral, Virginia. Números Algébricos, Números Transcendentes e a Quadratura do Círculo, Disponível em: <http://nonio.fc.ul.pt/analise1/cap1/numalg.htm> Palis, G. de La Rocque (1989a) A irracionalidade de pi. Revista do Professor de Matemática. v. 14, n. 14, p Palis, G. de La Rocque (1989b) Comprimento da circunferência no ensino fundamental. Revista do Professor de Matemática. v. 14, n. 14, p Penteado, J. A. (1967) Curso de desenho. 4ª edição. Ed. Nacional, São Paulo. Silveira, J.F. Porta da. Cálculo das constantes elementares clássicas: O caso do pi, Disponível em: <http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/ap/com1a.htm/>

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