Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP) Microeconomía II CSA-140 Prof. Martin H. Vargas Barrenechea Lista

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1 Questão 1 (Preferências Altruísticas) A persona 1 se importa con sua renda e com a renda da persona 2. Precisamente, o valor que ela coloca sobre sua renda é o mesmo que dá para duas unidades de renda de la persona 2. Qual é o ordem que esta persona da para os seguintes resultados (1, 4), (2, 1), and(3, 0), onde o primeiro componente e a renda da persona 1 e o segundo a renda da persona 2? Dar uma função de utilidade (payoff) consistente con essas preferências. Questão 2 (Representação alternativa de preferências) As preferências de um agente sobre un conjunto A = {a, b, c} estão representados pela função de utilidade u para a qual u(a) = 0, u(b) = 1, e u(c) = 4. São essas preferências representadas pela função v pela função v(a) = 1, v(b) = 0, e v(c) = 2? Que sobre a função w para a qual w(a) = w(b) = 0 e w(c) = 8? Questão 3 (Trabalhando num projeto conjunto) Formular um jogo estratégico que modela a situação na qual duas pessoas trabalham num projeto conjunto no caso onde as preferências sao as mesmas que na tabela embaixo exceto que cada persona prefere trabalhar duro (D) a não trabalhar duro (N) quando a outra pessoa trabalha duro. Presente seu jogo numa tabela similar. P2 D N P1 D 2,2 0,3 N 3,0 1,1 Tabela 1: Projeto Conjunto Questão 4 (Peixe Hermafrodita) Membros de algumas especies de peixes hermafrodita escolhem en cada acasalamento, escolhem se vão a jogar o rol de macho o fêmea. Cada peixe tem um rol preferido, no qual consome menos recursos e, consequentemente, permite mais acasalamento futuro. Um peixe obtém uma utilidade de H se acasala no seu rol preferido e L se acasala no outro rol, onde H > L. (as utilidades são medidas em termos do número de descendência, el qual cada peixe procura maximizar.) Considere um encontro entre dois peixes os quais tem roles preferidos iguais. Cada um tem duas possíveis acoes: Acasalamento noutro rol ou insistir no acasalamento no seu rol preferido. Se ambos peixes acasalam noutro rol, os roles são nomeados aleatoriamente, eo payoff de cada peixe é (H + L)/2. Se cada peixe insiste no seu rol preferido os peixes não acasalam e procuram por outro parceiro, e obtém o payoff de S, quanto maior a chance de encontrar outro parceiro, maior é S. Formular esta situação como um jogo estratégico e determinar o rango dos valores de S, para qualquer valor dado de H, L, para os quais o jogo é diferente do Dilema do prisioneiro so no nome das ações. Questão 5 (Jogos sem Conflito) Dar alguns exemplos de jogos estratégicos con 2 jogadores nos quais cada jogador tem 2 ações e os jogadores tem as mesmas preferências, assim não existem conflitos nos seus interesses. 1

2 Questão 6 (25.1 Jogadores Altruístas no Dilema do Prisioneiro) Num jogos com 2 jogadores cada um têm 2 possíveis ações Cooperar (C), ou não cooperar (D);cada par de ações faz com que os jogadores recebam quantidades de dinheiro iguais aos números correspondentes a cada ação na figura 24.1, os jogadores não são egoístas; ao contrario as preferências de cada jogador i são representadas pela seguente função de utilidade m i (a) + αm j (a) onde m i (a) é a quantidade de dinheiro recebido pelo jogador i quando o perfil de acoes é a. j é o outro jogador, e α é um numero dado não negativo. A utilidade para o jogador i do perfil de ações (C, C) é 2 + 2α, por exemplo. a. Formular um jogo estratégico que modela esta situação no caso α = 1. È este o jogo do Dilema do Prisioneiro? b. Encontrar uma gama de valores para α que resulta no Dilema do Prisioneiro. Para que valores de α, este jogo não é o Dilema do Prisioneiro?. Questão 7 (Conduta Social Egoísta e Altruística) 2 pessoas entram no omnibus, e 2 assentos adjuntos estão livres. Cada pessoa deve decidir se sentar ou ficar de pé, sentar-se sozinho é mais confortável que sentar-se do lado de uma pessoa, o qual é mais comportável que ficar de pé. a. Suponha que cada pessoa só se interessa pelo seu própio bem-estar, modelar esta situação como um jogo estratégico. Este é o jogo do Dilema do Prisioneiro? Encontrar o Equilíbrio de Nash. b. Suponha que cada pessoa é altruísta, ranqueando os resultados de acordo ao conforto da outra pessoa, assim prefere ficar de pé se a outra pessoa fica de pé. Modelar esta situação como um jogo estratégico. Este jogo é o Dilema do Prisioneiro? Encontrar seu Equilíbrio de Nash. c. Comparar o conforto destas pessoas no Equilíbrio nos 2 jogos anteriores. Questão 8 (Variantes da caça ao servo) Considerar 2 variantes da situação da caça ao servo com n caçadores na qual só m caçadores, com 2 m < n, precisam ficar tras o servo para atrapar-o (continuasse assumindo só um servo). Assuma que o servo capturado é dividido pelos caçadores que o pegam. a. Assumir como antes, que cada caçador prefere uma fração 1/n do servo á lebre. Encontrar o EN. b. Assumir que cada caçador prefere 1/k do servo que a lebre, mais prefere a lebre a qualquer fração menor do servo onde m k n. Encontrar o EN. Questão 9 (O jogo Pombo-Falcão) 2 animais estão brigando por uma presa, cada um pode ser passivo (Pombo) ou agressivo (Falcão), cada um prefere ser agressivo se seu oponente é passivo, e passivo se seu oponente é agressivo, dada sua propiá posição prefere o resultado onde seu oponente é passivo em comparação com o resultado onde seu oponente é agressivo. Formular esta situação como um jogo estratégico e encontrar o EN. 2

3 Questão 10 (Contribuir a um bem publico) Cada uma de n pessoas escolhem contribuir o não uma quantidade fixa para a provisão dum bem publico. o bem é fornecido se k pessoas contribuírem, onde 2 k n, se não fornecido, as contribuições não são devolvidas. Cada pessoa ordena os resultados desde o melhor ao pior como segue: i) qualquer resultado onde o bem é fornecido e a pessoa não contribui; ii) qualquer resultado onde o bem e fornecido e ela contribui; iii) qualquer resultado onde o bem não é fornecido e ela não contribui iv) qualquer resultado onde o bem não é fornecido e ela contribui. Formular esta situação como um jogo estratégico é encontrar o EN (Existe um jogo onde mais de k pessoas contribuem? Algum onde k pessoas contribuem? Algum onde menos de k pessoas contribuem? ). Questão 11 (35.1 Encontrando o EN usando as funções de melhor resposta) a. Encontrar as funções de melhor resposta nos seguintes jogos: C D C 2,2 0,3 D 3,0 1,1 Tabela 2: Dilema do Prisioneiro Bach Stravinsky Bach 2,1 0,0 Stravinsky 0,0 1,2 Tabela 3: BoS Cara Coroa Cara 1,-1-1,1 Coroa -1,1 1,-1 Tabela 4: Jogo das Moedas (E verificar os equilíbrios de Nash destes jogos) Questão 12 (Dividendo Dinheiro) 2 pessoas tem 10$R para dividir entre elas. O seguinte processo é usado para dividir o dinheiro: Cada pessoa nomeá um numero de reais (um inteiro não negativo) no máximo igual a 10. Se a soma das quantidades nomeadas é no máximo 10, então cada pessoa recebe a quantidade que tinha nomeado (e o restante é destruído). Se 3

4 S L S 2,2 0,1 L 1,0 1,1 Tabela 5: Caça ao Servo L C R T 2,2 1,3 0,1 M 3,1 0,0 0,0 B 1,0 0,0 0,0 Tabela 6: Jogo com 3 ações a suma das quantidades é maior a 10$R e as quantidades são diferentes então a pessoa que nômeo a quantidade mais pequena recebe essa quantidade e a outra o restante do dinheiro. Se a suma das quantidades excede 10 e as quantidades nomeadas são as mesmas então cada pessoa recebe 5. Determine a melhor resposta para cada jogador de cada uma das ações do outro jogador desenhar-as mum diagrama no plano xy, e assim encontrar o EN do jogo. Questão 13 (Encontrando o Equilíbrio de Nash usando as melhores respostas) Encontrar o equilíbrio de Nash dum jogo estratégico de 2 jogadores no qual cada conjunto de ações é o conjunto de números não negativos e as funções de utilidade são: u 1 (a 1, a 2 ) = a 1 (a 2 a 1 ) e u 2 (a 1, a 2 ) = a 2 (1 a 1 a 2 ) Questão 14 (Um projeto conjunto) 2 pessoas estão comprometidas num projeto conjunto, se cada pessoa i coloca um esforço x i [0, 1], cujo custo é c(x i ), o resultado do projeto é o valor f (x 1, x 2 ). O valor do projeto e dividido igualmente entre as duas pessoas, sem importar os seus níveis de esforço. Formular a situação como um jogo estratégico. Encontrar o equilíbrio do jogo quando: a) f (x 1, x 2 ) = 3x 1 x 2 e c(x i ) = x 2 i, para i = 1, 2; b) f (x 1, x 2 ) = 4x 1 x 2 e c(x i ) = x i, para i = 1, 2. En cada caso, Existe um par de esforços que produz um maior nível de utilidade para ambos jogadores maior do que os produzidos pelo EN? Questão 15 (Contribuindo a um bem publico) Considere o modelo da seção quando u i (c 1, c 2 ) é a suma de 3 partes: a quantidade c 1 + c 2 do bem publico fornecido; o monto w i c i qua a pessoa i gasta em bens privados e o termo (w i c i )(c 1 + c 2 ) que reflexa a interação entre o monto do bem publico e seu consumo privado, a maior quantidade do bem publico, mais a pessoa aprecia seu própio consumo. En resumo suponha que a utilidade da pessoa i é c 1 + c 2 + w i c i + (w i c i )(c 1 + c 2 ) ou w i + c j + (w i c i )(c 1 + c 2 ), onde j é a outra pessoa. supondo que w 1 = w 2 = w, e que cada contribuição c i pode ser qualquer numero (positivo ou negativo possivelmente maior do que w). Encontrar o EN do jogo que modela esta situação. (Você pode calcular as melhores respostas explicitamente, Impor a restrição c i [0, w] complica o analise mais não muda a 4

5 resposta). Demostrar que no EN ambos jogadores ficam pior do que eles ficariam se contribuíram a metade de sua riqueza ao bem publico. Se voce pode estenda este analise ao caso de n pessoas. Como o numero de pessoas se incrementa como muda o monto total no EN? Comparar os payoffs na situação onde cada um aporta a metade da sua riqueza para o bem publico, quando n vai se incrementando sem limites. 5