Unidade 9 Geometria Espacial. Poliedros Volume de sólidos geométricos Princípio de Cavalieri

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1 Unidade 9 Geometria Espacial Poliedros Volume de sólidos geométricos Princípio de Cavalieri

2 Poliedros palavra poliedro tem sua origem no idioma grego (poly significa, muitos, e hedra, faces). Poliedro é a reunião de certa quantidade de polígonos, satisfazendo a seguinte condição:

3 Poliedros Cada lado desses polígonos é também lado de apenas um outro polígono.

4 Poliedros Cada um dos polígonos que compõem um poliedro é chamado de face. Cada lado comum a duas faces é chamado de aresta do poliedro. Cada vértice da face, vértice do poliedro. denominação dos poliedros se faz por meio do seu número de faces. ssim, um poliedro com quatro faces é chamado tetraedro; com cinco, pentaedro; com seis, hexaedro; e assim sucessivamente.

5 Poliedros Os exemplos a seguir não são considerados um único poliedro:

6 Poliedros para você fazer p. 3 Escreva o número de faces, arestas e vértices de cada um dos poliedros: F 9 16 V 9 F 8 12 V 6

7 Classificação dos poliedros Observe estes dois poliedro: Todo segmento que liga dois pontos internos está sempre contido no sólido é denominado convexo. Quando os segmentos que ligam dois pontos internos não estão inteiramente contidos no interior do poliedro, é denominado côncavo.

8 Relação de Euler ( ) Nascido em Basel, na Suiça; Introduziu, por exemplo, os símbolos: e (base do sistema de logaritmos naturais); i (unidade imaginária que corresponde à raiz quadrada de -1); f(x) para uma função; Em geometria, seu trabalho mais conhecido é a relação entre o número de vértices, faces e arestas de um poliedro.

9 Relação de Euler ( )

10 Relação de Euler ( ) Observe que o número de vértice adicionado ao número de faces é igual ao número de arestas acrescido de duas unidades. Essa relação se mantém constante em todos os poliedros convexos e é conhecida como relação de Euler. V F 2

11 Para você fazer p Qual é o número de arestas de um octadecaedro (poliedro com 18 faces) convexo que tem 8 vértices? V F

12 Para você fazer p Em poliedro convexo, o número de faces é igual a três quartos do número de vértices, e o número de vértices é dois terços do número de arestas. Calcule o número de faces desse poliedro ;. 3 2 e V. 4 3 Sabemos que F F V F ssim V F ) 6( F V : tan F F F to Por

13 Outra relação Se considerarmos cada um dos polígonos separadamente, temos um total de quatro triângulos e cinco quadrados. Logo, o total de lados desses polígonos é igual a Como cada aresta do poliedro é, simultaneamente, lado dois polígonos, o número de arestas do poliedro é a metade do número de lados, ou seja, 32/2 16

14 Conceito Em um poliedro convexo, se N é o número de lados dos polígonos que compõem as faces, considerados separadamente, e é o número de arestas do poliedro, então: N 2

15 Para você fazer p. 4 Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares e cinco quadrangulares. Calcule o número de arestas e vértices desse poliedro. Sendo F3 e F4 temos que : os números de faces triangulares e quandrangulares, N 3F F V V V V F ( ) 16 2

16 Soma das medidas dos ângulos internos das faces de um poliedro Se S if é a soma das medidas dos ângulos internos das faces de um poliedro convexo, então: S n 360º. (V 2) Em que V é o número de vértices.

17 Soma das medidas dos ângulos internos das faces de um poliedro figura é formada por oito faces triangulares. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, então a soma das medidas de todos os ângulos da face é igual a º 1440º S n 360º. (V 2) S n 360º. (6 2) S n 360º. 4 S n 1440º

18 Resolução de tividades Página 5 e 6

19 Poliedro regular Um polígono regular é aquele que apresenta todos os lados e ângulos internos congruentes (mesma medida).

20 Poliedro regular Para que um poliedro seja regular, é necessário que todas as faces sejam polígonos regulares e que, em cada vértice, concorra o mesmo número de arestas. Foi por volta de 300 a.c. que um dos mais intrigantes segredos do mundo das formas foi desvendado. O mundo físico admite cinco e apenas cinco poliedros convexos regulares. São eles:

21 Poliedro regular

22 Poliedro regular

23 Poliedro regular

24 Poliedro regular penas para ilustrar, existem, ainda, outros quatro poliedros regulares, mas não convexos. São chamados de Kepler -Poinsot

25 Poliedro regular: Kepler -Poinsot

26 História

27 Resolução de tividades Página 9

28 Volume de sólidos geométricos Um poliedro formado por seis faces retangulares é chamado paralelepípedo retângulo. Para calcular um paralelepípedo retangular, basta multiplicar suas arestas principais. Comprimento x largura x altura

29 Princípio de Cavalieri Dois sólidos S 1 e S 2 com mesma altura h, apoiados num mesmo plano α, terão o mesmo volume quando todo plano β, paralelo ao plano a, determinar em S 1 e S 2 figuras com áreas iguais.

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