Tópico 6. Distribuição Normal

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Cecília Bergmann Henriques
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1 Tópico 6 Distribuição Normal

2 Distribuição Normal Existe uma importante diferença entre dados que são normalmente distribuídos e a curva normal em si

3 Distribuição Normal Muitas variáveis apresentam distribuição onde os valores centrais são mais frequentes e os valores extremos são mais raros Exemplo: Tempo de 600 corredores brasileiros nos 400 m livre do atletismo WR = 43.18s

4 Distribuição Normal Frequência relativa Tempo (s) fr ,99 0, ,99 0, ,99 0, ,99 0, ,99 0, ,99 0, ,99 0,01

5 Distribuição Normal Frequência relativa

6 Distribuição Normal Distribuições nem sempre tão certinhas

7 Distribuição Normal Distribuições nem sempre tão certinhas

8 Curva Normal Curva normal é uma abstração matemática com uma equação específica que a define fr

9 Curva Normal Características da curva normal S U M A A proporção da área abaixo da curva relativa a uma particular amplitude de valores sobre o eixo horizontal é sempre a mesma**

10 Curva Normal ** Considere uma curva normal caracterizada por: μ = 100 σ = 20 O que se pode afirmar?

11 Curva Normal Mesma média, desvio padrão diferente

12 Curva Normal Mesmo desvio padrão, médias diferentes

13 Curva Normal Curva normal é, de fato, uma família de curvas As médias podem variar Os desvios padrão podem variar A forma da curva depende do seu desvio padrão Mais achatada Mais esticada MAS, a área abaixo de todas as curvas normais é sempre distribuída da mesma maneira

14 Curva Normal O que significa a área abaixo de todas as curvas normais é sempre distribuída da mesma maneira?

15 Curva Normal O que significa a área abaixo de todas as curvas normais é sempre distribuída da mesma maneira?

16 Curva Normal O que significa a área abaixo de todas as curvas normais é sempre distribuída da mesma maneira?

17 Curva Normal O que significa a área abaixo de todas as curvas normais é sempre distribuída da mesma maneira?

18 Curva Normal Qual a vantagem de conhecer a área abaixo da curva normal? Conhecer chances, probabilidade de um evento ocorrer Você pode responder perguntas do tipo: Qual a probabilidade de encontrar sujeitos que estão acima ou abaixo determinado escore? Para tanto, você precisa converter seus dados brutos em dados padronizados

19 Curva Normal O que significa converter seus dados brutos em dados padronizados?

20 Curva Normal Padronizada A curva normal padronizada tem: Média = 0 Desvio padrão =1 As áreas situadas abaixo desta curva são padronizadas e tabeladas Entre a média (zero) e um valor qualquer de z (positivo ou negativo)

21 Usando a Curva Normal Exemplo 1 (adaptado de Callegari-Jacques, 2003) Um treinador deseja selecionar dentre os 240 jovens que estão prestando o serviço militar em um quartel, aqueles mais altos para montar um time de basquete. Sabe-se que a estatura dos recrutas tem uma distribuição normal, com média de 175 cm e desvio padrão de 6cm. Assim, o treinador decide selecionar apenas aqueles que tenham uma estatura mínima de 180 cm. Quantos jovens este treinador vai encontrar no quartel com este perfil?

22 Usando a Curva Normal Exemplo 1 Encontrando a área abaixo da curva normal que está acima de um valor conhecido Passo 1 Desenhe a curva normal fr ? Est (cm) z

23 Usando a Curva Normal Exemplo 1 Encontrando a área abaixo da curva normal que estão acima de um valor conhecido Passo 2 Calcule o valor padronizado (z) para o valor de interesse da sua variável (x)

24 Usando a Curva Normal Exemplo 1 Encontrando a área abaixo da curva normal que estão acima de um valor conhecido fr O que significa este 0,83? ,83 Est (cm) z

25 Usando a Curva Normal Exemplo 1 Encontrando a área abaixo da curva normal que está acima de um valor conhecido Passo 3 Consulte a tabela de Distribuição Normal (z) para saber a área entre μ e z fr 0 0,83 Est (cm) z

26 Usando a Curva Normal Exemplo 1 Encontrando a área abaixo da curva normal que está acima de um valor conhecido Passo 3 Consulte a tabela de Distribuição Normal (z) para saber a área entre μ e z Área entre 0 e 0,83 = 0,2967

27 Usando a Curva Normal Exemplo 1 Encontrando a área abaixo da curva normal que está acima de um valor conhecido Passo 4 Calcule a área que está além de z fr Est z (cm) Área além de z (0,83) = 0,5-0,2967 = 0, ,33% dos recrutas tem

28 Usando a Curva Normal Exemplo 1 Encontrando a área abaixo da curva normal que está acima de um valor conhecido Passo 5 Responda à pergunta inicial Quantos recrutas têm estatura igual ou superior a 180 cm? 20,33% de 240 0, = 48,79 Entre

29 Usando a Curva Normal E se o treinador resolvesse aumentar a estatura mínima para 190cm. Quantos recrutas ele conseguiria? fr z = 2,5 0,62% da área 1, ? Est (cm) z

30 Usando a Curva Normal Exemplo 2 Encontrando a área abaixo da curva normal que está abaixo de um valor conhecido Você é um técnico de atletismo de uma pequena cidade do interior, que está procurando por velocistas. Você fez um teste com 1500 estudantes do ensino fundamental. Pediu para que eles corressem 40m e marcou seus tempos. A distribuição dos tempos obtidos se aproxima de uma distribuição normal. Agora você quer selecionar para sua equipe apenas aqueles que estão 2 desvios padrão abaixo da média. Quantas vagas precisa ter?

31 Usando a Curva Normal Exemplo 2 Encontrando a área abaixo da curva normal que está abaixo de um valor conhecido fr t (s) z

32 Usando a Curva Normal Exemplo 2 Encontrando a área abaixo da curva normal que está abaixo de um valor conhecido Como a curva normal é simétrica, o procedimento é o mesmo do exemplo 1. Basta repetir os passos! Algumas tabelas de distribuição normal já trazem o valor de z além de determinado desvio padrão No caso de z = 2, esta área é de 0,0228 Resposta ao nosso técnico:

33 Estratégia Z O milagre de descobrir campeões Celafiscs São Caetano, décadas de 80/90 Testes motores para predizer talentos para determinados esportes (maioria, coletivos) Trunfo: tinham dados populacionais (apesar de ser de uma única cidade)

34 Referências ANDERSON, D.; SWEENEY, D.; WILLIAMS, T. (2003). Estatística Aplicada à Administração e Economia. 2 nd ed. São Paiulo: Pioneira Thomson Learning. KING, B. M.; MINIUM, E. M. (2003). Statistical Reasoning in Psychology and Education. 4 th ed. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. CALLEGARI-JACQUES, S. M. (2003). Bioestatística: princípios e aplicações. Porto Alegre: Artmed. KAZMIER, L. J. (2004). Estatística aplicada à economia e administração. São Paulo: Pearson Makron.

35 Sugestão de Leitura Capítulos 4 de: CALLEGARI-JACQUES, S. M. (2003). Bioestatística: princípios e aplicações. Porto Alegre: Artmed.

36 Distribuição Normal Tabela z

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