(19) MATEMATICA 2011 TRIANGULOS QUAISQUER. bh a)

Transcrição

1 PROFDRY Nível Emsmento 0 (FGV-00) Ddos = 8cm, E = 6cm e DF = 8cm, e sendo o qudrilátero D um prlelogrmo, o comprimento de, em cm, é igul : ) 0 ) c) (FUVEST-98) No triângulo cutângulo se mede cm e ltur reltiv ess se tmém mede cm MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem o ldo, P pertence o ldo e Q o ldo O perímetro desse retângulo, em cm, é: ) ) 8 c) 6 0 (IME-00) é um triângulo isósceles, em que Sendo que D, que D = cm e que D = cm, então, se desse triângulo vle: ) cm ), cm c),0 cm cm 6,0 cm 0 (MKENZIE-00) No triângulo d figur, o ldo mede, e o ldo do qudrdo DEFG mede ltur do triângulo, em relção o ldo, mede: ) 7, ) 8,0 c) 8, 9,0 9, 0 (UFMG-00) Em determind hor do di, o sol projet somr de um poste de iluminção sore o piso plno de um qudr de vôlei Neste instnte, somr mede 6m Simultnemente, um poste de,7m, que sustent rede, tem su somr projetd sore mesm qudr Neste momento, ess somr mede,8m ltur do poste de iluminção é de: ) 8,0 m ) 8, m c) 9,0 m 7, m 06 (MKENZIE-00) N figur temos r // r e s // s Então, pr todo >, o vlor d sciss x é: ) ) c) ( + ) + 07 (MKENZIE-00) N figur, se D F, rão FG DE vle: ) ) c) 7 08 (UNESP-JULHO-00) onsidere rets coplnres prlels, r, s e t, cortds por outrs rets, conforme figur (9) -0 wwwelitecmpinscomr MTEMTI 0 TRINGULOS QUISQUER 09 (FUVEST-00) O triângulo tem ltur h e se (ver figur) Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuj se é o doro d ltur Nesss condições, ltur do retângulo, em função de h e, é dd pel fórmul: h ) h h ) h h c) h h h h h 0 (UEL-00) O Prtenon, construído em tens, n Gréci ntig, exemplific o estilo e s proporções que se encontrm em quse todos os templos gregos Do ponto de vist d geometri, su fchd é retngulr (ver figur) e possui medids especiis, otids d seguinte mneir: tom-se um segmento de comprimento D e dividese em dus prtes, de tl form que rão entre o segmento todo (D) e prte mior (x) sej igul à rão entre prte mior e prte menor prte mior seri se do retângulo, e menor, ltur ssinle lterntiv que indic ess rão ) ) c) (UEL-00) pós um tremor de terr, dois muros prlelos em um ru de um cidde ficrm ligeirmente ldos Os mordores se reunirm e decidirm escorr os muros utilindo dus rrs metálics, como mostr figur ixo Sendo que os muros têm lturs de 9 m e m, respectivmente, que ltur do nível do chão s dus rrs se interceptm? Despree espessur ds rrs ),0 m ),7 m c),00 m, m,0 m Nest figur, os ângulos ˆ, Dˆ E e EÂ são retos e os segmentos D, D e medem, respectivmente, x, e : Ness situção, ltur do triângulo DE em relção o ldo E é dd por: x x ) ) c) (IT-9) O comprimento d digonl de um pentágono regulr de ldo medindo unidde é igul à ri positiv de: ) x + x = 0 ) x - x = 0 c) x - x + = 0 x + x = 0 x - x = 0 (IME-RJ-00) N figur o ldo, D é um trpéio de ses iguis cm e cm Se ltur desse trpéio é igul cm, então, distânci (em cm) entre o ponto E e se é igul : ), ), c),,, Os vlores dos segmentos identificdos por x e são, respectivmente: ) 0 e 0 ) 6 e c) 9 e e 6 0 e 0 7 (MKENZIE-006) No triângulo ixo, temos = e D = Se x e são s medids em grus dos ângulos e, respectivmente, então x + é igul : ) 0 ) 0 c) 9 0

2 (9) -0 wwwelitecmpinscomr PROFDRY MTEMTI 0 TRINGULOS QUISQUER 6 (FUVEST-00) Um nco de ltur regulável, cujo ssento tem form retngulr, de comprimento 0 cm, pói-se sore dus rrs iguis, de comprimento 60 cm (ver figur ) d rr tem três furos, e o juste d ltur do nco é feito colocndo-se o prfuso nos primeiros, ou nos segundos, ou nos terceiros furos ds rrs (ver visão lterl do nco, n figur ) menor ltur que pode ser otid é: ) 6 cm ) 8 cm c) 0 c cm cm 7 N figur, é um triângulo com 0 cm, cm e cm Sendo Q e P issetries interiores do QR triângulo, o quociente é igul : R ) 0, ) 0, c) 0, 0, 0, 8 N figur, e DE são triângulos retângulos,, e E DE Logo, medid de E é: ) ) c) 7 9 (FUVEST) Um lterl L f um lnçmento pr um tcnte, situdo m à su frente em um linh prlel à lterl do cmpo de futeol ol, entretnto, segue um trjetóri retilíne, ms não prlel à lterl e qundo pss pel linh de meio de cmpo está um distânci de m d linh que une o lterl o tcnte Sendo-se que linh de meio do cmpo está à mesm distânci dos dois jogdores, distânci mínim que o tcnte terá que percorrer pr encontrr trjetóri d ol será de: ) 8,8m ) 9,m c) 9,6m 0m 0,m 0 No triângulo temos, 9 e 0 Se P é o ponto médio de e Q é o ponto médio de, então o comprimento de PQ é: ) ) c) 8 9 (FUVEST-99) N figur o ldo, s distâncis dos pontos e à ret r vlem e s projeções ortogonis de e sore ess ret são os pontos e D Se medid de D é 9, que distânci de deverá estr o ponto E, do segmento D, pr que Ê DÊ? (UNIMP-9) figur mostr um segmento D dividido em três prtes: = cm, = cm e D = cm O segmento D mede cm e s rets e são prlels DD Determine os comprimentos dos segmentos, e D (UFMG-00) No prlelogrmo D, d figur ixo, o ponto P, contido no ldo D, é tl que o segmento P mede cm, os segmentos P e P medem cm cd um e os ângulos DÂP e PÂ têm mesm medid DETERMINE medid do ldo D 8 (UNIMP-88) Sejm L e D o comprimento e lrgur, respectivmente, de um retângulo que possui seguinte propriedde: eliminndo-se desse retângulo um qudrdo de ldo igul à lrgur D, result um novo retângulo semelhnte o primeiro Demonstre que rão D/L é o número hmdo rão áure (FUVEST-97) é um triângulo retângulo em e X é issetri do ângulo, onde X é ponto do ldo medid de X é cm e de, cm lcule 6 Num, pontos E e D são tomdos sore os ldos e, respectivmente, de modo que D E e Sendo P o ponto D E de interseção de D e E, determine o vlor d rão r = P PE 7 (IT) D é um trpéio de ses e D E e F são tomdos sore D e, respectivmente, de form que E F Sendo = 7 e D = 0, ch ED F e o comprimento de EF 8 No triângulo d figur, que não está desenhd em escl, temos: ) Mostre que os triângulos e E são semelhntes e, em seguid, clcule e E ) lcule D e FD 9 (VUNESP) No triângulo retângulo, o ponto médio d hipotenus é P e o pé d perpendiculr ixd de sore é Q Mostre que: QP Q ) ) P P 0 (FUVEST-77) é eqüilátero de ldo ; M M, P e P O perímetro do triângulo PM é : ) 7 ) 0 c) (FESP-9) N figur ixo, e DE são triângulos equiláteros de ldos ª e, respectivmente Podemos firmr, então que o segmento D mede: ) ) 6 c) (PU-SP-8) Qul é medid do ldo de um polígono regulr de ldos, inscrito num círculo de rio unitário? ) ) c) (FME) Os ldos de um triângulo medem m, 0m, e m Determine ltur reltiv o mior ldo P M D E

3 PROFDRY (FME) Os ldos de um triângulo medem m, 0m e 8m Determine projeção do menor sore ret do ldo de 0m (FME) Determine o ldo de um triângulo cutângulo, em que 7 cm, cm e projeção de sore mede cm 6 (FME) Determine o vlor de x, sendo que x, x e x 7 são s medids dos ldos, e de um triângulo cujo ângulo vle 0 7 (LENR FILHO) Os ldos de um triângulo são: 7 m, m, m Os pontos M e N dividem o ldo em três prtes igu is lculr M e N 8 (LENR FILHO) issetri do ângulo  de um triângulo mede 6m e determin no ldo segmentos de m e m lculr os ldos e do triângulo 9 (LENR FILHO) lculr s dus menores medins do triângulo cujos ldos medem 8m, 9m e m 0 (LENR FILHO) Os ldos de um triângulo são: m, m, 8 m lculr issetri intern reltiv o ângulo  (LENR FILHO) chr os ldos de um triângulo, com 8cm de perímetro, sendo que s sus lturs são proporcionis os números, e 6 (LENR FILHO) Os ldos de um triângulo são: 6 m, 8 m, 0 m Sore o ldo tom-se um ponto D, tl que cevin D m lculr D (LENR FILHO) Os ldos de um triângulo são: 6 cm, 7 cm, cm lculr distânci do ponto de concurso ds medin s (ricentro) o ldo (LENR FILHO) é um triângulo no qul s medins reltivs os ldos e são perpendiculres Demonstrr que vle relção: c Nível profundmento (IT-8) Os ldos de um triângulo medem, e c centímetros Qul o vlor do ângulo interno deste triângulo, oposto o ldo que mede centímetros, se forem stisfeits s relções 7c e 8c ) 0 ) 60 c) 0 6 (IT-8) Num triângulo is ósceles, r ão entre ltur referente e se e est é Sore o ângulo, oposto à se, podemos firmr que: ) = ) = c) = = 6 Não te mos ddos suficientes pr determi ná-lo 7 (IT-88) Num triângulo, cm, o ângulo mede 0º e projeção do ldo sore mede, cm O comprimento d medin que si do vértice mede: ) cm ) cm c) 0,9 cm cm cm 8 (IT-9) O comprimento d digonl de um pentágono regulr de ldo medindo unidde é igul à ri positiv de: ) x c) x x x 0 ) x x 0 x x 0 x 0 x 0 E D (9) -0 wwwelitecmpinscomr MTEMTI 0 TRINGULOS QUISQUER 9 (IT-98) Sej um triângulo isósceles de se Sore o ldo deste triângulo considere um ponto D tl que os segmentos D, D e são todos congruentes entre si medid do ângulo é igul : ) ) c) 6 0 0(IT-9) Um triângulo está inscrito num círculo de rio Sejm, e c os ldos opostos os ângulos, e respectivmente Sendo que e,, é um progressão ritmétic, podemos firmr que: ) e = 0º ) e = 0º c) = 6 e = 8º = e = 90º n d (IT-9) onsidere o triângulo PQR o ldo, circunscrito um circunferênci de centro O, cujos R pontos de tngênci são, e Se-se que os ângulos P Q ˆ ˆ, erˆ estão, nest ordem, em progressão ritmétic de rão 0 o 0 Os ângulos,,, conforme mostrdo n figur ixo medem, P Q nest ordem: ) 0 o, 0 o, 60 o e 0 o ) 0 o, 00 o, 0 o e 0 o c) 60 o, 0 o, 60 o e 0 o o o d ) 60 o, 0 o, 0 e 0 nd (IT-00) onsidere circunferênci in scrit num triângulo isósceles com se de 6 cm e ltur de cm Sej t ret tngente est circunferênci e prlel à se do triângulo O segmento de t compreendido entre os ldos do triângulo mede : ) cm ),cm c) cm,cm cm (IT-8) onsidere um triângulo isósceles inscri to em um circunferênci Se se e ltur deste triângulo medem 8cm, então o rio dest circunferênci mede: ) cm ) cm c) cm 6 cm cm (IME-86-dptdo) Demonstre que diferenç entre os qudrdos de dois ldos de um triângulo é igul o doro do produto do terceiro ldo pel projeção, sore ele, d medin correspondente (IME-88) Sore os ctetos e de um triângulo, constróem-se dois qudrdos DE e FG Mostre que os segmentos D, F e ltur H são concorrentes 6 (IME-96) Sej um triângulo q ulquer Por e pontos médios dos ldos e, respectivmente, trçm-se dus rets que se cortm em um ponto M, situdo sore o ldo, e que fem com esse ldo ângulos iguis conforme figur ixo Demonstre que cot g cot g( ) cot g( ) P 7 (IME-00) s medins E e F de um triângulo se cortm S em G Demonstre que tgĝ, ; c e c 8 (IME-8) Ddo o triângulo escleno, sejm respectivmente D, E, F os pontos de contto do círculo inscrito o triângulo, com os ldos,, e Mostre que os triângulos e DEF não são semelhntes, e esteleç relção EF em função de sen e sen c M 9

4 PROFDRY 9 (IME-80) Sejm, 6 e 0 os ldos do qudrdo, do hexágono e do decágono regulres, inscritos todos no mesmo círculo om esses três ldo s, constrói-se um triângulo, não inscrito em, tl que, 6 e 0 Pede-se clculr o ângulo do triângulo 60 (IME-8) Determine os ângulos de um triângulo, ddos o perímetro p, o ldo e ltur correspondente o ldo, h 6 (SHRIGUIN) Demonstre que o diâmetro d circunferênci que circunscreve um triângulo é igul rão entre seu ldo e o seno do ângulo oposto 6 (SHRIGUIN) Demonstre que se e são dois ldos de um triângulo, é o ângulo entre eles e L issetri deste ângulo, então: cos L 6 (SHRIGUIN) Sej M issetri do triângulo Demonstrr que M : M : O mesmo é certo pr issetri do ângulo exterior do triângulo (neste cso ldo ) M está n prolongção do 6 (SHRIGUIN) Os ldos de um triângulo sã o, e c Demonstre que medin m trçd pr o ldo se clcul pel fórmul m c 6 (SHRIGUIN) Demonstrr que s distâncis desde o vértice do triângulo pr os pontos de tngenci dos ldos e com circun ferênci inscrit são iguis p, onde p é o semiperímetro do triângulo, 66 (SHRIGUIN) Demonstrr que som ds distâncis de qulquer ponto d se do triângulo isósceles té os seus ldos é ig ul l tur deste triângulo trçd té o ldo deste 67 (SHRIGUIN) Demonstrr que som ds distâncis de qulquer ponto interior de um triângulo regulr té seus ldos é igul à ltur deste triângulo 68 (SHRIGUIN) Sore se do triângulo isósceles se tom um ponto M de mneir que M, M Nos triângulos M e M há circunferêncis inscrits lculr distânci entre os pontos de tngenci do ldo M com ests circunferêncis 69 (SHRIGUIN) Do vértice do triângulo si um ret que divide pel metde Medin D (o ponto D se encontr sore o ldo ) Em que rão est ret divide o ldo? 70 (SHRIGUIN) Sej H o ponto de interseção ds lturs do lculr os ângulos do, se ÂH e H 7 ( SHRIGUIN) No triângulo isósceles  90 e lcule distânci entre o ponto de interseção ds lturs e o centro d circunferênci circunscrit 7 (SHRIGUIN) É ddo o triângulo eqüilátero O ponto K divide seu ldo n rão de : e o ponto M divide o ldo n rão : (contndo em mos os csos desde o vértice ) lcule KM (9) -0 wwwelitecmpinscomr MTEMTI 0 TRINGULOS QUISQUER 7 (SHRIGUIN) O ldo do triângulo é igul e ltur D que pss sore o ldo é igul se D d l tur D se encontr sore o ldo, o segmento D é igul o ldo l cule 7 (SHRIGUIN) Sore o triângulo é trçd medin K, issetri E e ltur D lcule o compr imento do ldo, sendo-se que s rets K e E dividem o segmento D em três prt es iguis e 7 (SHRIGUIN) relção entre o rio d circunferênci inscrit em um triângulo isósceles e o rio d circunferênci circunscrit sore este mesmo triângulo é igul k lcule o ângulo d se do triângulo 76 (SHRIGUIN) No triângulo c,, Sore o ldo se tom o ponto M de mneir que M M lcule distânci desde M té o ponto médio do ldo 77 (SHRIGUIN) No ldo do triângulo se tom o ponto M de mneir que distânci do vértice té o centro de mss do triâng ulo M é igul distânci do vértice té o centro de mss do triângulo M D emonstre que M D, onde D é se d ltur que pss sore desde o vértice 78 (SHRIGUIN) Sej ddo um triângulo Se-se que,, issetri do ângulo cort o ldo no ponto K re t que pss pelo ponto prlelmente cort prolongção d issetri K no ponto M lcule KM 79 (SHRIGUIN) Pelo ponto M no interior do triângulo pssm três rets prlels os ldos do triângulo Os segmentos de rets compreendidos no interior do triângulo são igu is entre si lcule os comprimentos destes segmentos se os ldos do triângulo são, e c 80 (SHRIGUIN) medin do triângulo é D, D 90 lcule Â, sendo-se que 8 (SHRIGUIN) O ldo do triângulo eqüilátero é igul Sore o ld o está o ponto D e sore o se encontr o ponto E de mneir que D, E DE lcule E 8 (SHRIGUIN) Um circ unferênci de rio está inscrit no triângulo, no qul cos 0,8 Est circunferênci entr em contto com se médi do triângulo, prlel o ldo lcule o comp rimento do ldo 8 (SHRIGUIN) s lturs h e h do triângulo estão trçds desde o vértice e ; L é medid d issetri do ângulo lcule 8 (SHRIGUIN) Sej ddo o triângulo s perpendiculres levntds sore e em seus pontos médios, cortm ret nos pontos M e N de mn eir que MN s perpendiculres trçds e em seus pontos médios cortm nos pontos K e L de mneir que KL lcule o ângulo mínimo do triân gulo 8 (SHRIGUIN) No ldo do triângulo se tom um ponto M de tl mneir que ret que une o centro d circunferênci circunscrit o redor de com o ponto de interseção ds med ins do triângulo M, é perpendic ulr M lcule relção M :, se : k 0

5 PROFDRY 86 (SHRIGUIN) No triângulo,, Sore o ldo se tom o ponto M de mneir que os rios ds circunferêncis inscrits nos triângulos M e M são iguis lcule relção M : M 87 (FME) Um ponto interno de um triângulo eqüilátero dist cm, 7cm e 8cm dos vértices do triângulo Determine o ldo desse triângulo Sugestão: Desloque o tringulo P de modo que coincid com O que contece com o tringulo PP ' n esse cso? Onde P ' é nov loclição de P pós o deslocmento x 7 P 8 x 88 (LENR FILHO) M é um ponto qulquer d se de um triângulo isósceles Demonstrr que é: M M M 89 (LENR F ILHO) Os pontos M e N dividem em três prtes iguis o ldo de um triângulo Demonstrr relção: M N MN 90 (LENR FILHO) lculr o ldo de um triângulo eqüilátero cujos vértices estão situdos respectivmente sore três rets prlels, sendo que são e s distâncis d prlel intermediári às outrs dus 9 (LENR FILHO) onhecendo s medids, e cdos ldos de um triângulo, clculr os ldos do triângulo cujos vértices são os pés ds lturs desse triângulo 9 (LENR FILHO) s medin s de um triângulo são m, m 9 e m Demonstrr relção m m mc c 6 9 (LENR FILHO) Em um triângulo trç-se ltur H, medin M e issetri intern D Demonstrr relção: MD MH 9 (LENR FILHO) Sore os ctetos e de um triângulo retângulo constroem-se externmente triângulo eqüiláteros, cujos centros são X e Y Demonstrr XY c 9 (LENR FILHO) M é um ponto qulquer do plno de um triângulo e G é o ponto de concurso ds medins desse triângulo (ricentro) Demonstrr relção: M M M MG G G G 96 (LENR FILHO) O rio do círculo circunscrito um triângulo é R, o circuncentro é O e o ricentro é G Demonstrr que distânci do circuncentro o ricentro é dd pel fórmul: OG R c 9 97 (LENR FILHO) Num triângulo, um dos ângulos que medin M m form com o ldo é igul o ângulo que est mesm medin form com issetri do ângulo  Demonstrr: (i) c ; (ii) m c 98 (LENR FILHO) D h e E k são s issetries intern e extern reltivs o ângulo de vértice de um triângulo h c k c c Demonstrr relção x (9) -0 wwwelitecmpinscomr MTEMTI 0 TRINGULOS QUISQUER Nível Trnscendênci 99 (LITVINENKO) Demonstre que se em um triângulo se verificm s relções, este é isósceles cos cos 00 (LITVINENKO) se de um triângulo isósceles é igul cm, medin trçd em relção o ldo lterl é igul cm lcule medid do outro ldo 0 (LITVINENKO) Um dos ldos iguis de um triângulo isósceles é igul cm, medin trçd em relção à um ldo igul mede cm lcule se do triângulo 0 (LITVINENKO) som de dus lturs diferentes de um triângulo isósceles é igul, o ângulo no vértice, lcule medid dsos ldos iguis 0 (LITVINENKO) O ângulo junto à se de um triângulo isósceles é igul lcule rão entre se e medin trçd em relção um ldo igul 0 (LITVINENKO) lcule os ângulos de um triângulo isósceles sendo que o ortocentro divide pel metde ltur trçd em relção à se d figur 0 (LITVINENKO) Em um triângulo isósceles o ângulo em um dos vértices é igul 6 e se lcule os ldos iguis do triângulo 06 (LITVINENKO) Em um triângulo isósceles, no ldo é tomdo um ponto D de form que D : D : lcule M : ME, donde E é ltur do triângulo e M, o ponto de interseção de E e D 07 (LITVINENKO) se de um triângulo isósceles é igul, o ângulo em relção o vértice, lcule lrgur d issetri trçd em relção um dos ldos iguis 08 (LITVINENKO) O ângulo d se de um triâng ulo isósceles é igul rctg lcule o ângulo entre medin e issetri trçds em relção o ldo lterl 09 (LITVINENKO) lcule o ângulo do vértice de um triângulo isósceles se medin, trçd no ldo lterl, form com se um ângulo rcsen 0 (LITVINENKO) Em um triângulo isósceles o ângulo é igul 0 No interior do triângulo é tomdo um ponto M de modo que M 0, M lcule o ângulo M (LITVINENKO) issetri do ângulo de um triângulo divide o ldo oposto em segmentos de lrgur cm e cm e ltur, trçd esse mesmo ldo, é igul cm lcu le os ldos do triângulo e determine o seu tipo (LITVINENKO) lcule rão entre som dos qudrdos ds medins de um triângulo e som dos qudrdos de seus ldos (LITVINENKO) Dois ldos de um triângulo são iguis e e s medins, trçds estes ldos, são perpendiculres entre si lcule o terceiro ldo do triângulo (LITVINENKO) Em um triângulo é conhecido que cm, 8 cm e o ângulo é dus vees mior que o ângulo lcule

6 PROFDRY (LITVINENKO) Em um triângulo cutângulo o ângulo gudo entre s lturs D e E é igul lcule se D e E 6 (LITVINENKO) se de um triângulo é igul medin, trçd em relção se, é igul 6 e um dos ângulos d se, lcule o ângulo gudo entre medin e se 7 (LITVINENKO) fendo uso do teorem de ev demonstre que: ) s medins de um triângulo se cortm em um mesmo ponto; ) s issetries de um triângulo se interceptm em um mesmo ponto; c) s lturs de um triângulo se cortm em um mesmo ponto; 8 (LITVINENKO) D é ltur do triângulo, o ponto H é o ortocentro Demonstre que D D D DH 9 (LITVINENKO) Em um triângulo o ângulo é igul 0 e o, 0 Demonstre que os ldos do triângulo estão ligdos com relção c 0 (LITVINENKO) Nos triângulos e ' ' ' os ângulos e ' são iguis, tnto que som dos ângulos e ' constit uem 80 Demonstre que os ldos destes dois triângulos estão ligdos com relção ' ' c c' (LITVI NENKO) Em um triângulo os ângulos, e estão relciondos como :: Demonstre que os ldos do triângulo estão ligdos com iguldde c (LITVINENKO) D é ltur do triângulo lcule dependênci entre os ângulos e se semos que D D D (LITVINENKO) Em um triângulo o ângulo é igul e,, medin D cru issetri E no ponto K lcule K : KE (LITVINENKO) Em um triângulo regulr, nos ldos e, serão tomdos os pontos M e K de mneir que M : M e K : K Demonstre q ue os segmentos KM é igul o rio d circunferênci circunscrit o triângulo (LITVINENKO) se de um triângulo isósceles é e ltur, h N circunferênci inscrit no triângulo será trçd um tngente prlel à se lcule medid do segmento dest tngente que pss entre os ldos iguis do triângulo 6 (LITVINENKO) lcule o rio de um circunferênci circunscrit o triângulo com ldos e e o ângulo entre eles 7 (LITVINENKO) Em um triângulo cutângulo com ldos, e c, desde o centro d circunferênci circunscrit, se ixm perpendiculres os ldos Os comprimentos ds perpendiculres são iguis m, n e p, respectivmente Demonstre que m n p mnp c c 8 (LITVINENKO) Demonstre que se e são ldos de um triângulo, L, issetri do ângulo entre eles, ' e ', segmentos em que issetri divide o terceiro ldo, L ' ' (9) -0 wwwelitecmpinscomr MTEMTI 0 TRINGULOS QUISQUER 9 (LITVINENK O) Encontre o ângulo d se de um triângulo isósceles se semos que seu ortocentro está n circunferênci inscrit 0 (PRSOLOV) De um ponto M dentro de um triângulo eqüilátero rets perpendiculres MP, MQ e MR são trcejds pr os ldos, e, respectivmente Prove que: P Q R i P Q R ii P Q R P Q R (PRSOLOV) Os pontos D e E de um triângulo equilátero n rão D : D E : E : Rets D e E se reúnem no ponto O Prove que O 90 (PRSOLO V) Prove que se o ponto interseção ds lturs de um triângulo cutângulo divide s lturs n mesm rão, este triângulo é equilátero (PRSOLOV) No triângulo com ângulo igul 0 issetries, Prove q gulo e são trçds ue o triân é retângul o (PRSOLOV) Em um triângulo o ângulo  mede 0 Prove que dos segmentos de comprimentos, e c um triângulo pode ser formdo (PRSOLOV) Em um triângul o, issetries e são trçds Prove que se 0, então ou  60 ou 0 6 (PRSOLOV) Os comprimentos dos ldos de um triângulo são inteiros consecutivos Encontre esses intei ros sendo que um ds medins é perpendiculr um ds issetries 7 (PRSOLOV) Em um triângulo, no qul os comprimentos dos ldos são números rcionis, ltur é trç d Pr ove que os comprimentos dos segmentos e são números rcion is 8 (PRSOLOV) Dentro do triângulo um ponto ritrário O é tomdo Os pontos, e são simétricos O trvés dos pontos médios dos ldos, e, respectivmente Prove que o ~ e, lém disso, os segmentos, e se crum em um ponto 9 (PRSOLOV) Prove que s lturs de u m triângulo se reúnem no mesmo ponto 0 (PRSOLOV) Se sen8 x Prove que x x (PRSOLOV) Prove que s projeções do vértice do triângulo sore s issetries dos ângulos externos e internos nos vértices e estão n mesm ret (PRSOLOV) Nos ldos e de um triângulo cutângulo, qudrdos D e D são construídos exteriormente Prove que os pontos de interseção ds rets D e D estão sore ltur H (PRSOLOV) Um triângulo e sus trissetries (rets que dividem os ângulos em três prtes iguis) são desenhdos s trissetries dos ângulos e mis próxims do ldo se interceptm no ponto ; ponto s e são definidos similrmente, (figur ixo) Prove que o triângulo é eqüilátero

7 PROFDRY (9) -0 wwwelitecmpinscomr MTEMTI 0 TRINGULOS QUISQUER 87 x 9cm 88 Demonstrç ão 89 Demon strção 90 c c c c 9,, c c (SHRIGUIN) Interpretr geometricmente equção e os sistems, e Solucionr equção e os sistems e No sistem clcule x : x x ) x x 0, 0 x, ) x, c x c ) x x x x, ), x x Grito Emsmento E 0 D E 09 D 0 D E E E cm ',6 cm; ' ',9cm e D ' ' 6,cm )0,m cm cm 6 r 7 9cm 8 ) e E ) D = e FD = 9 9 Demonstrção 0 E m 6m 8cm 6 ero 79m;m8 6m;8m 96, m;8, m 00m cm;6cm;8cm D,m ou m,cm Demonstrção Grito profundmento E 9 0 Demon strção Demonstrção 6Demonstrção 7Demonstrção EF 8 sen sen sen, p h h p p h ; sen h p p p p 6Demonstrção 6Demonstrção 6Demonstrção 6Demonstrção 6Demonstrção 66Demonstrção 67Demonstrção Demonstrção 7 tg ctg k 7 Demonstrção rccos 9 Demonstrção 9 Demonstrção 9 Demonstrção 9 Demonstrção 96 Demonstrção 97 Demonstrção 98 Demonstrção Grito Trnscendênci 99 Demonstrção 00 6cm 0 0cm 0 8cos sen cos 0 cos 0 rccos,rccos e rccos cos sen 0 rctg : 7 rcsen ,6 e 8cm ou 6, 6 e 6cm; otusângulo 0,7 cos 0cm 6 sen 7 Demonstrção 8 Demonstrção 9 Demonstrção 0 Demonstrção Demonstrção sen cos 90 ou 90 sen Demonstrçã h o h 6 7 Demonstrção 8 Demons trção 9 cos sen rccos 0 Demonstrção Demonstrção Demonstrção Demonstrção Demonstrçã o Demonstrção 6, e 7 Demonstrção 8 Demonstrção 9 Demonstrção 0 Demonstrção Demonstrção Demonstrção Demonstrção ) ) x, x ) ) x,,, onde s s cs s pp p p c e p c 76 c 0ccos 0 c 79 c c h 8 rcsen 8 L h h 77 Demonstrção  k 86 k