PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática CADERNO DE ATIVIDADES

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática CADERNO DE ATIVIDADES EXPLORANDO ELEMENTOS DOS TRIÂNGULOS EM UM AMBIENTE INFORMÁTICO DE ENSINO Aguinaldo Borba Pereira Dimas Felipe de Miranda Belo Horizonte 2014

2 Aguinaldo Borba Pereira CADERNO DE ATIVIDADES EXPLORANDO ELEMENTOS DOS TRIÂNGULOS EM UM AMBIENTE INFORMÁTICO DE ENSINO Produto construído após aplicação e análise das atividades da pesquisa apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática. Orientador: Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda Belo Horizonte 2014

3 PREFÁCIO Este caderno de atividades é produto da dissertação de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da PUC Minas, intitulada Triângulos: explorando e investigando seus elementos e propriedades, auxiliado pela visualização, em um ambiente informático de ensino e tem como objetivo geral propor atividades que possibilitem aos estudantes e professores obterem através de atividades investigativas generalizações de propriedades do triângulo e que podem ser estendidos para o estudo da geometria e da matemática em geral, bem como relembrar alguns conceitos matemáticos básicos, que visam desenvolver habilidades algébricas e aritméticas fundamentais para o bom andamento do processo de ensino-aprendizagem. A elaboração da sequência didática das atividades foi baseada em Dante (2012), numa abordagem intuitiva e investigativa, desenvolvidas em um ambiente informático de acordo com o conteúdo abordado. As atividades fazem uso do software gratuito GeoGebra, voltado para o desenvolvimento da matemática dinâmica, que aborda a aritmética, a geometria e a álgebra, possibilitando a realização de cálculos matemáticos, numéricos ou simbólicos, possibilita ainda manipular diferentes representações de expressões algébricas, derivar e integrar funções, visualizar diversos tipos de gráficos, além de outras funcionalidades, sendo um software de fácil utilização e interface amigável. Foram seis atividades em sequência didática, especialmente preparadas e aplicadas a estudantes do 3º ano do ensino médio de uma instituição da rede particular de ensino de Três Corações, Minas Gerais, durante a pesquisa de mestrado. Estas atividades contemplam os seguintes assuntos: Conservação da área do triângulo, retas paralelas, retas perpendiculares, soma dos ângulos internos do triângulo, feixe de paralelas cortadas por transversais e outros conceitos de geometria. Estes tópicos geralmente encontram-se intercalados com capítulos de aritmética e álgebra nos livros. Após a aplicação, análise, discussão das atividades com os alunos participantes, algumas revisões e adaptações; estas atividades foram organizadas para compor este caderno de atividades. Os autores.

4 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO APRESENTAÇÃO INTERESSE PELO TEMA O GEOGEBRA ATIVIDADES CONSERVAÇÃO DA ÁREA DO TRIÂNGULO SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO COMPRIMENTO DA BASE MÉDIA O BARICENTRO E SUAS PROPRIEDADES O CIRCUNCENTRO E SUAS PROPRIEDADES CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO REFERÊNCIAS... 28

5 5 INTRODUÇÃO 1.1. APRESENTAÇÃO O tema deste projeto de pesquisa é o ensino e aprendizagem de triângulos, com ênfase na exploração e investigação de seus elementos e propriedades, com auxílio da visualização, em um ambiente informatizado de ensino. As ideias iniciais do tema deste projeto de pesquisa ocorreram em 2010, no momento em que o professor/pesquisador ministrava o conteúdo referente a triângulos nas turmas do ensino fundamental e médio, em uma instituição particular em Três Corações, Sul de Minas Gerais. As dificuldades encontradas pelos alunos em assimilar os conceitos e os cálculos envolvendo Geometria, em geral, foram percebidas desde o primeiro momento e isto impulsionou o desejo de saber quais eram as causas e tentar uma nova estratégia de ensino. Estas dificuldades para um matemático, ou melhor, para um educador matemático era objeto de angústia e preocupações. Há uma grande diferença em ser matemático e educador matemático, assinalam Fiorentini e Lorenzato (2009): O matemático, por exemplo, tende a conceber a matemática como um fim em si mesma, e, quando requerido a atuar na formação de professores de matemática, tende a promover uma educação para a matemática, priorizando os conteúdos formais e uma prática voltada à formação de novos pesquisadores em matemática. O educador matemático, em contrapartida, tende a conceber a matemática como um meio ou instrumento importante à formação intelectual e social de crianças, jovens e adultos e também do professor de matemática do ensino fundamental e médio e, por isso, tenta promover uma educação pela matemática. Lorenzato (1995) verificou que o ensino de Geometria, em comparação a outros conteúdos da Matemática, estava praticamente extinto na maioria das escolas. Em 2002, quando o professor/pesquisador começou a lecionar, observou também que a disciplina Desenho Geométrico já não existia mais nas escolas públicas e, entre as escolas particulares, eram poucas que ainda adotavam a disciplina. O pesquisador acredita que isso possa ter alavancado ainda mais a

6 6 defasagem do pensamento geométrico, consequentemente afetando o estudo dos triângulos INTERESSE PELO TEMA A escolha de enfatizar a exploração e investigação dos elementos e propriedades dos triângulos, em um ambiente informatizado de ensino, ocorreu em virtude de estar em meio a um crescimento absurdo da tecnologia informática e a mesma ser reconhecida como útil ao meio acadêmico. A expectativa inicial é que a tecnologia informática seja uma aliada no processo de ensino-aprendizagem dos alunos tornando-o mais dinâmico e atrativo. O professor/pesquisador sempre foi adepto dos computadores e atento às possibilidades criadas por eles. O primeiro computador adquirido pelo pesquisador foi em 2002 e, com ele, o mesmo visualizava enormes oportunidades para implementar recursos didáticos em sala de aula, mas a realidade profissional e a estrutura escolar não favoreciam muito. Hoje, a inclusão digital atingiu todas as classes e explorar esta ferramenta torna-se quase que obrigatória. Existem vários softwares facilitadores da aprendizagem, o professor e toda organização escolar devem acompanhar este processo de evolução do ensino, e ir além. O triângulo é uma figura geométrica muito difundida e utilizada em diversas áreas do conhecimento, mesmo em áreas em que a matemática é uma referência distante. Em todas essas áreas, a visualização, as propriedades e pontos notáveis do triângulo podem ser exibidos e explorados em modernos softwares disponíveis e sem custo.

7 7 2. O GEOGEBRA O que é o GeoGebra? Para responder a essa pergunta o professor/pesquisador buscou o site dos seus desenvolvedores: O GeoGebra é um software de matemática dinâmica gratuito e multiplataforma para todos os níveis de ensino, que combina geometria, álgebra, tabelas, gráficos, estatística e cálculo em um único sistema. Dizemos que é um software de matemática dinâmica, pois ele transcende a geometria sendo útil em diversas áreas da matemática. É um software bastante premiado e sua versão em 3D está em desenvolvimento e possui apenas a versão Beta. Hoje o software se encontra na versão 4.4 e em constante desenvolvimento através de grupos on-line de discussão e aprimoramento. Nestes grupos há também demonstrações que podem ser baixadas para serem trabalhadas em sala de aula. O software é constituído basicamente por três áreas: campo de entrada, janela de álgebra e janela de visualização. Estas áreas possibilitam a construção de aulas, resolução de problemas, testes de hipóteses e principalmente para um trabalho investigativo de verificação de propriedades e teoremas da geometria, da álgebra e até mesmo da estatística. Para ter acesso ao manual completo do software GeoGebra visite o link: Para a presente atividade, utilizou-se itens das telas do GeoGebra pertinentes ao trabalho proposto, conforme a seguir. A janela de visualização é onde fica registrado geometricamente todo comando inserido no campo de entrada e/ou inserido diretamente através da seleção de um ícone na barra de ferramentas acima da janela.

8 8 Figura 1 Janela de Visualização do software GeoGebra O campo de entrada é o local onde o comando é descrito, e este comando é representado simultaneamente na janela de álgebra e na janela de visualização. Por exemplo, para se representar um ponto A localizado na coordenada A=(2,3), inserimos no campo de entrada A=(2,3) ou A:ponto(2,3). Figura 2 - Campo de entrada do software GeoGebra

9 9 Este ponto pode ainda ser inserido diretamente na janela de visualização. Para isso, é necessário acionar o ícone referente à Novo Ponto, porém, este ponto pode ficar impreciso por estar sendo marcado a mão livre. Figura 3 Barra de Ícones do software GeoGebra A janela de álgebra indica tudo que é feito na janela de visualização, portanto, caso queira editar alguma informação basta acionar o item diretamente na caixa de álgebra e alterá-lo com a precisão desejada. Figura 4 - Janela de álgebra do software GeoGebra

10 10 É com o auxílio desta ferramenta que se pretende melhorar o processo de ensino-aprendizagem dos alunos em geometria. Para isso, primeiramente o aluno deverá passar por uma ambientação do software a fim de dominar os comandos básicos para que possam desenvolver a atividade de forma satisfatória e a ferramenta do software seja um facilitador e não um problema a mais neste processo. A ferramenta é bastante simples e intuitiva, mas com um número de comandos bastante extenso. Claro que há áreas mais complexas no software, mas não é objetivo desta pesquisa abordar esta complexidade e sim verificar se o GeoGebra pode auxiliar no ensino de apenas um tópico da geometria, triângulos.

11 11 3. ATIVIDADES As atividades que compõe este caderno foram propostas com caráter investigativo em trabalho de mestrado desenvolvido na PUC-Minas, campus Coração Eucarístico. Neste capítulo são apresentadas as atividades aplicadas com a proposta de colaborar com professores e alunos para a inserção do software GeoGebra no cotidiano escolar e assim propiciar uma generalização dos conceitos através do dinamismo que o mesmo pode proporcionar. As atividades foram escolhidas utilizando conceitos básicos da geometria aplicados a triângulos. A ideia é que o ambiente informático possa ser um aliado no processo de ensino-aprendizado preenchendo lacunas que possam ocorrer no ensino convencional, através de uma proposta planejada que possibilitaria aos alunos transcenderem seus conhecimentos. Num primeiro momento, é necessário que os alunos conheçam o software de geometria dinâmica, GeoGebra, que é utilizado na aplicação das atividades. Assim torna-se necessário a orientação para baixar e instalar corretamente o software seja em um laboratório de informática, em computadores de casa, tablets e/ou notebooks. É de extrema importância que se faça a ambientação dos alunos com o software para o desenvolvimento de qualquer atividade utilizando o mesmo. Isso fará com que ele seja um facilitador da aprendizagem e não um problema.

12 CONSERVAÇÃO DA ÁREA DO TRIÂNGULO A área de um triângulo qualquer é calculada pela metade do produto da medida segmento da base pela medida do segmento da altura. O objetivo específico desta atividade é fazer com que os alunos observem que em um triângulo qualquer definindo um dos lados como base ao deslocar o vértice oposto à base por uma reta paralela à base a área do triângulo permanece o mesmo valor, não importando a sua forma. Atividade 01 Objetivo Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista geométrico. Conteúdo explorado Conservação da área, reta paralela. Ambiente virtual Geogebra Software de geometria dinâmica a) Marque no plano dois pontos, A e B, com coordenadas inteiras, em um mesmo alinhamento horizontal. b) Marque um ponto C, com coordenadas inteiras, não colinear aos pontos A e B. c) Construa um triângulo ABC, utilizando o recurso polígono do software GeoGebra.

13 13 Figura 51 Exemplo da definição de três pontos d) Utilizando os recursos do Geogebra determine a área do triângulo. Dica: Explore aqui as diferentes representações semióticas, faça com que o aluno utilize a fórmula do cálculo da área do triângulo para verificação do resultado. Figura 62 Determinação da área do triângulo

14 14 e) Utilizando os recursos do Geogebra determine a reta paralela ao segmento AB passando por C. f) Selecione o ponto C e desloque para direita e para esquerda. O que pode ser dito em relação à área do triângulo? Explique porque isso ocorre? Figura 73 Deslocamento horizontal do ponto C mantendo a base AB 3.2. SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO Uma das propriedades mais conhecidas envolvendo triângulos é que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 360º. Há muitas formas de mostrar e demonstrar esta propriedade, dobraduras, recortes e desenvolvimento algébrico são

15 15 alguns exemplos. A ideia aqui é obter a propriedade através da generalização fazendo o uso do recurso computacional. Na atividade são abordadas ainda as propriedades das retas paralelas cortadas por transversais. Ângulos correspondentes, alternos internos, opostos pelo vértice podem ser observados. Atividade 02 Objetivo Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista geométrico. Conteúdo explorado: Soma dos ângulos internos, retas paralelas, retas transversais, ângulos correspondentes e opostos pelo vértice. Ambiente virtual Geogebra Software de geometria dinâmica a) Marque no plano, três pontos quaisquer, A, B e C, e em seguida construa um triângulo ABC utilizando o recurso polígono do software GeoGebra. b) Utilizando o recurso reta paralela do software GeoGebra, determine a reta paralela ao segmento AB passando por C. c) Construa a com o recurso semirreta do software GeoGebra, a semirreta com origem em A, passando por C. d) Utilizando o recurso ângulo do software GeoGebra, meça o ângulo interno A do triângulo ABC e o ângulo formado pela reta paralela e a semirreta, nessa ordem. O que pode ser dito em relação à medida desses ângulos? Que é dado a esses ângulos?

16 16 Figura 84 Exemplo do item d, atividade 2 e) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que podemos observar em relação aos ângulos? Registre todas as suas observações. f) Construa a semirreta com origem em B, passando por C. g) Utilizando os recursos do GeoGebra meça o ângulo interno C do triângulo ABC e o ângulo formado pelas duas semirretas. O que pode ser dito em relação à medida desses ângulos? Que nome é dado a esses ângulos?

17 17 Figura 95 Exemplo dos itens f e g, atividade 2 h) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que se pode dizer em relação aos ângulos? Registre todas as suas observações. Figura 60 - Soma dos ângulos internos do triângulo

18 18 i) O que pode ser concluído em relação à soma dos ângulos internos de um triângulo, com base nas conclusões anteriores? j) O que se pode dizer em relação ao ângulo externo do vértice B? 3.3. COMPRIMENTO DA BASE MÉDIA Esta atividade tem como objetivo explorar conceitos como ponto médio, ângulos, segmentos paralelos e proporção. Nela, há pretensão ainda explorar a semelhança de triângulos além do teorema de Tales. O GeoGebra possibilita a inserção de imagens em sua janela de visualização, este é um recurso que pode ajudar alunos e professores na resolução de diversas situações problema. Atividade 03 Objetivo Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista geométrico. Conteúdo explorado Base média, segmentos paralelos, módulo do segmento, ponto médio, proporção. Ambiente virtual Geogebra Software de geometria dinâmica

19 19 a) Marque no plano três pontos quaisquer, com coordenadas inteiras: A, B e C; b) Construa o triângulo ABC utilizando o recurso polígono do software GeoGebra; c) Determine utilizando o recurso ponto médio ou centro do software GeoGebra, os pontos médios dos lados AC e BC, nomeie esses como D e E, respectivamente, e construa o segmento DE; d) O que pode observado em relação ao segmento obtido, comparando-o com os segmentos inicialmente construídos? Use os recursos do Geogebra para medir, por exemplo, ângulos e comprimentos, para auxiliar nas conclusões; Observação: Esta conclusão pode ser prejudicada pelo número de casas decimais com o qual o software está configurado. Pode-se aumentar o número de casas decimais em: opções arredondamento ou elaborar uma atividade mais dirigida de modo a tornar mais evidente as conclusões desejadas. Figura 11 Exemplo do item d, atividade 3

20 20 e) O que acontece se modificarmos o triângulo construído inicialmente? Mova um dos vértices e registre suas observações; 3.4. O BARICENTRO E SUAS PROPRIEDADES A atividade aborda conceitos como ponto médio, mediana e permite demonstrar através do conceito de área porque o ponto G (baricentro) é o centro de gravidade de qualquer triângulo. Utilizando o software é possível modificar a forma do triângulo e assim observar que há uma equivalência na área dos triângulos menores formados pelas medianas do triângulo maior. Atividade 04 Objetivo Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista geométrico. Conteúdo explorado Medianas, módulo de segmentos, ponto médio, proporção, lugar geométrico, baricentro. Ambiente virtual Geogebra Software de geometria dinâmica a) Marque no plano três pontos quaisquer, com coordenadas inteiras: A, B e C; em seguida construa o triângulo ABC com recursos do GeoGebra; b) Determine os pontos D, E e F, que são os pontos médios dos lados AB, AC e BC, respectivamente, do triângulo ABC;

21 21 c) Determine os segmentos que representam as medianas do triângulo ABC. O que se pode dizer em relação às medianas do triângulo ABC? Registre todas as suas observações. d) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que é possível observar em relação ao item anterior? Registre. e) Meça os segmentos formados sobre as medianas. O que se pode dizer sobre as medidas encontradas? Registre todas as suas observações. f) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que se pode dizer em relação a essas medidas? Registre todas as suas observações.

22 22 g) As medianas dividem o triângulo ABC em 6 triângulos menores. Determine a área de cada um desses triângulos. O que se pode dizer em relação à medida dessas áreas? Explique porque isto ocorre. Figura 12 Baricentro e suas propriedades h) Selecione o ponto de encontro das medianas, habilite o recurso do Geogebra chamado rastro, em seguida mova um dos vértices do triângulo na horizontal ou na vertical. Qual a trajetória do ponto selecionado?

23 23 Figura 13 Ilustração do item h, atividade 4, rastro 3.5. O CIRCUNCENTRO E SUAS PROPRIEDADES A atividade visa permitir a verificação de que um ponto qualquer da mediatriz é o lugar geométrico equidistante de dois pontos fixos. Ela visa também observar que, a partir do momento que são traçadas as mediatrizes referentes aos lados de um triângulo qualquer, existe um único ponto comum (circuncentro) entre essas retas e que por ele é possível traçar uma circunferência circunscrita ao triângulo. Atividade 05 Objetivo Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista geométrico. Conteúdo explorado Reta perpendicular, mediatriz do lado do triângulo, circunferência circunscrita.

24 24 Ambiente virtual Geogebra Software de geometria dinâmica a) Marque no plano três pontos quaisquer: A, B e C; b) Construa o triângulo ABC; c) Determine o ponto médio de cada um dos lados do triângulo ABC. d) Construa utilizando o recurso reta perpendicular do software GeoGebra, uma reta perpendicular a cada um dos lados passando pelo seu ponto médio. O que se pode dizer em relação às retas perpendiculares traçadas? Registre todas as suas observações. Como podemos chamar as retas perpendiculares? e) Marque o ponto de encontro entre as retas perpendiculares. f) Meça utilizando os recursos do GeoGebra, a distância deste ponto a cada vértice do triângulo ABC. O que se pode dizer em relação às medidas determinadas? Registre suas observações. g) Mova um dos vértices do triângulo, o que se pode observar em relação ao item anterior? Registre suas observações. h) Construa uma circunferência com centro no ponto de intersecção das retas perpendiculares e extremidade em um dos vértices do triângulo ABC. O que se

25 25 pode observar em relação a essa circunferência? Como se chama este ponto de intersecção? Registre suas observações. i) Mova um dos vértices do triângulo. O que se pode observar em relação ao item anterior? Registre suas observações. Figura 14 Exemplo da atividade 5

26 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO Esta atividade consiste em verificar a desigualdade triangular. Ela busca fazer com que os alunos consigam observar que a existência de um triângulo está condicionada a soma da medida dos seus dois menores lados ser maior que a medida do seu maior lado. A atividade é bastante complexa, pode haver dificuldade em observar que ao ocorrer o cruzamento das circunferências ocorre ali a determinação de um ponto que possibilita a formação de um triângulo. Atividade 06 Objetivo Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista geométrico. Conteúdo explorado Condição de existência de um triângulo. Ambiente virtual Geogebra Software de geometria dinâmica a) Construa um segmento de reta com 15 cm de comprimento. b) Com centro em uma das extremidades construa uma circunferência com raio igual a 7 cm. c) Com centro na outra extremidade construa circunferências com raios: 5 cm, 6 cm, 7 cm, 8 cm, 9 cm, 10 cm, 11 cm. d) Marque os pontos de intersecção entre as circunferências registrando as suas observações.

27 27 e) Estabeleça uma condição necessária para que exista ponto de intersecção entre as circunferências. f) Que figura é formada ligando as extremidades do segmento com o ponto de intersecção? Dica: Deixar claro que existe um limitante inferior e um limitante superior para que tenha a formação de triângulos dados duas medidas. Figura 157 Exemplo da atividade 6

28 28 REFERÊNCIAS BITTAR, M. (2003). O ensino de vetores e os registros de representação semiótica. Campinas: Papirus. BORBA, Marcelo de Carvalho, PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, BOYER, Carl B., História da Matemática, Edgard Blücher, São Paulo, BRASIL, Ministério da Educação, Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília: Ministério da Educação, DANTE, Luiz Roberto. Projeto VOAZ Matemática. 1.ed. São Paulo: Ática, Coleção Projeto VOAZ. Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural. História da Geometria. Disponível em: < Acesso em: 10 jan DUVAL, R. (2003). Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em Matemática. In: MACHADO, S. D. A. (Org.). Aprendizagem em Matemática: Registros de representação semiótica. Campinas: Papirus, DUVAL, R. (2009). Semiósis e pensamento humano: registros semióticos e aprendizagens intelectuais. São Paulo: Livraria da Física. EVES, Howard, Introdução à História da Matemática, Unicamp, Campinas, FIORENTINI, Dario. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e metodológicos / Dario Fiorentini, Sergio Lorenzato. 3ª ed. rev. Campinas, SP: Autores Associados, 2009.

29 29 História da Matemática. Disponível em: < Acesso em: 11 jan KILPATRICK, J.; RICO, L.; GÓMEZ, P. (Eds.). Educación Matemática. México: Grupo Editorial Iberoamérica & una empresa docente, p LORENZATO, Sérgio. Por que não ensinar Geometria? A Educação Matemática em Revista, SBEM, n.4., p set./1995. NÉRI, Izaias Cordeiro. O que é Geometria Dinâmica. Disponível em: < Acesso em: 25 jun POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, FERREIRA, Márcia Santos. Os Centros de Pesquisas Educacionais do INEP e os estudos em ciências sociais sobre a educação no Brasil. Revista Brasileira de Educação, v. 13, n. 38, maio/ago Disponível em: < Acesso em: 25 jun