PGEEL CÁLCULO DE CAMPOS 3D 3/2011

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA PGEEL CÁLCULO DE CAMPOS 3D 3/11 de Rodrigo Hbkost Mchdo Luks Drude Orientdor: João Pedro Assumpção Bstos Dt d entreg: Dezembro 11

2 Conteúdo 1 Introdução Descrição do problem 3 3 Cálculo nlítico 4 4 Simulções: Verificção do cálculo nlítico Simulção liner Simulção não-liner Simulções: Ajustes ds dimensões ds peçs 8 6 Simulções: Corrente induzid 1 7 Conclusão Cix de r e mlh Sugestões pr o FEECAD Introdução Este reltório tem como objetivo desenvolver um solução de construção de um peç mgnétic, onde são especificdos níveis mínimos de forç e sturção serem tingidos e máximos de limentção do sistem. O resultdo é presentdo conforme o desenvolvimento d solução elbord pel equipe.

3 Descrição do problem Este reltório consiste no dimensionmento de peçs mgnétics que stisfçm s condições de projeto especificds. Como prâmetros de projetos temos um sistem conforme figur 1 bixo. A fonte de limentção do sistem será dd trvés de um densidde de corrente J = A mm n direção ĵ, que deverá sturr prte móvel em um nível de indução mgnétic B = 1,8T. Com isso forç F exercid no entreferro, de lrgur e = 1mm, deverá ser igul à N. De posse dests informções, foi estipuldo proporções que definissem s dimensões ds peçs mgnétics. Ests proporções form dotds visndo simplificr os cálculos teóricos e pr que indução mgnétic, dentro do mteril ferro-mgnético, permneç com vlores próximos independente d região nlizd. Como resultdo obtemos s seguintes dimensões pr o sistem: c e d b b () Plno xz (b) Plno yz Figur 1: Vist dos plnos com definições ds vriáveis 3

4 3 Cálculo nlítico Pr podermos clculr os vlores de, b, c e d, conforme exibido n figur 1, prtir dos prâmetros especificdos de forç F = N, densidde d corrente J = A mm, indução mgnétic B = 1,8T e o entreferro de espessur e = 1mm. A resistênci mgnétic ds prtes de ferro e do entreferro são ddos pels equções seguintes onde µ é permebilidde mgnétic, l Fe e l Ar representm os cminhos médios mgnéticos do ferro e entreferro respectivmente: R Fe = l Fe µ Fe d, R Ar = l Ar µ d. Supondo que µ Fe µ, podemos desprezr que R Fe pernte R Ar e que energi é quse que completmente rmzend no entreferro. Por cus disso, resistênci totl pode ser descrit como pens resistênci do entreferro: R Ar = 4e µ d. O blnço de potênci sem perds é ddo n equção 1 onde i represent corrente, ψ represent forç eletromgnétic (FEM), F represent forç e x represent o percurso n direção î. Com o blnço de potênci sem perds podemos descrever energi mgnétic como dw Mg = idψ F dx. (1) Com energi mgnétic e propriedde d derivd de multiplicção chegmos n expressão d co-energi de d(ψi) = ψdi+idψ () d(ψi W Mg ) = ψdi+f dx. Com hipótese que corrente se mntém constnte, podemos clculr forç pel derivd d co-energi pr o percurso x, ssim: F = d(ψi W Mg) dx. (3) i=const. Por cus que o entreferro é preenchido com r, um mteril liner, co-energi W Mg pode ser descrit d seguinte mneir: W Mg = ψi W Mg = ψi 1 ψi = 1 ψi = 1 φθ = 1 θ R Ar. 4

5 Onde θ represent tensão mgnétic e φ o fluxo mgnético. Com est formulção e derivção 3 cim podemos clculr forç F conforme: F = dw Mg dx = N I µ d 8e. (4) Atrvés do fluxo φ é possivel relcionr indução mgnétic e s dimensões d peç: φ = B d, φ = θ = NIµ d. (5) R Ar 4e Sendo que densidde de corrente J o longo d áre d bobin bc, fornece um corrente NI, portnto: NI = J bc. (6) Com s equções 4, 5 e 6 podemos isolr s superfícies d e bc ssim: d = µ F B bc = 4Be µ J Agor temos dus equções pr qutro vriáveis. Pr chegr em um estrutur mis compct, s superfícies cim deverão ser qudrds. Com isso, s dimensões podem ser clculds d seguinte mneir: = d = µ F B b = c = 4Be µ J = 6,mm, = 53,5mm. 5

6 4 Simulções: Verificção do cálculo nlítico Com os resultdos obtidos n secção nterior, form rlizds simulções com o módulo FEECS do progrm FEECAD. Primeirmente são efetuds simulções pr o cso liner, e posteriormente pr o cso não-liner. A mlh utilizd em bos os csos é presentd n figur. 4.1 Simulção liner N simulção liner, form usds s crcterístics dos mteriis d tbel 1. Como o interesse do trblho reside n vlição do comportmento mgnético ds peçs que conduzem o fluxo mgnético, condutividde do mteril d bobin foi definid como zero pr que não interfirisse nos resultdos ds simulções. Tbel 1: Crcterístics dos mteriis Mteril Permebilidde µ Condutividde σ Form em C 1µ S m 1 Form em I 1µ S m 1 Bobin µ Como resultdo d simulção indução B Peç dentro d peç tingiu níveis muito elevdos, comprdos com o que foi clculdo nliticmente. O vlor médio d indução dentro d peç em form de I cheg à B Peç = 5,56T. Este resultdo foi obtido pelo () Plno xz (b) Plno yz Figur : Vist dos plnos com s mlhs (verde: r, brnco: ferro, vermelho: cobre) 6

7 fto de o cálculo nlítico considerr pens áre do entreferro 1 d no cálculo d forç. Este fto desprez o cmpo disperso o redor do entreferro, consequentemente resistênci mgnétic torn-se muito menor. Portnto forç obtid F = 64N é mior que clculd tmbém. Os fluxos trvés d peç e do entreferro simuldos form deφ Entreferro = 5, Wb e Φ Peç =, Wb. Isto implic que pens 5% do fluxo mgnético é relmente conctendo pel áre 1 d. 4. Simulção não-liner A curv d permebilidde ds prtes de ferro corresponde curv d mgnetisção n figur 3. Poderá ser visto d figur 3 que inclinção lém de 1,5T d indução é muito bix. Por cus disso, o regime de sturção pode ser determindo cim de 1,5T de indução. Assim um indução igul à 1,8T como desejd não poderá ser obtid. Como resultdo indução simuld é de pens 1,43T. Por cus destes resultdos simulção liner não se plic. Principlmente porque forç de 17,N é muito inferior à clculd nliticmente. Outr consequênci é que prtir deste momento, o prâmetro especificdo de 1,8 T pr tingir plen sturção n peç foi lterdo pr 1,4T (pós-justes). 1,5 B/T 1,5,,4,6,8 1 H/A m Figur 3: Curv de sturção do ferro 7

8 5 Simulções: Ajustes ds dimensões ds peçs De posse dos novos prâmetros do problem e com o intúito de melhorr proporção entre s dimensões e fcilitr os cálculos nlíticos, form clculdos novos vlores pr, b, c e d. Definindo = d e b = c form relizds lgums lterções pr tingir o vlor d forç desejd. Notmos que o vrir áre formd pord, o vlor d forç resultnte no entreferro é influencido diretmente e o lterrmos cb, indução mgnétic do sistem é modificd similrmente. Com isso nlizmos indução mgnétic num superfície específic dentro d peç em form de I (extmente no meio d ltur) em relção à vrição d áre d bobin bc de form tingir sturção. Após isso vrimos áre d secção trnsversl d d peç em form de C té que fosse lcnçd um forç mis próxim de N do que o que foi tingido nteriormente, pens chegndo um ordem de grndez comptível. Como resultdo obtivemos s novs dimensões do sistem: = d = 15mm, b = c = 5mm. O que implic num nov mlh de cálculo, conforme exibido n figur 4. () Plno xz (b) Plno yz Figur 4: Vist dos plnos com s mlhs (verde: r, brnco: ferro, vermelho: cobre) 8

9 5 F/N J/A mm Figur 5: Forç F em relção à densidde de corrente J Com ests novs dimensões simulmos o sistem novmente vrindo dest vez pens densidde de corrente J n bobin pr que lcnçsse o vlor d forç esperdo. A figur 5 exibe respost do sistem pr diferentes níveis de densidde J. Podemos notr n prte inicil, entre vlores de densidde J proximdmente entre e, que existe um tendênci qudrátic d forç F, conforme à equção 4. No entnto, cim dea mm 1 tendênci mud e um comportmento crcterístico de sturção surge. Apens pr evidencir este fto, o sistem foi simuldo com um densidde J = 1A mm 1. 9

10 6 Simulções: Corrente induzid Dndo continuidde os testes requisitdos pel especificção, é necessário nlizr o comportmento do sistem pernte um cso mis próximo d relidde. Nest secção serão presentdos os resultdos d simulção utilizndo o módulo FE- ECJ. Com este módulo podemos simulr situções onde envolvem iterções temporis, permitindo o cálculo ds correntes induzids oriunds d vrição d indução mgnétic. Pr relizr simulção form utilizdos os mesmos prâmetros ds secções nteriores, porém, introduzimos um densidde de corrente J que vri dentro durnte o tempo nlizdo, com psso de integrção t =,5s. A form de ond d densidde J é presentd n figur 6 (). O psso de rmzenmento foi de,5s. O gráfico resultnte d simulção, onde são exibidos vetores representndo s correntes induzids n peç, é presentdo n figur 6 (b). Nele podemos perceber circulção ds correntes que se crim em oposição à vrição d indução mgnétic, conforme lei de Frdy: rot E = d B dt J = σ E J rot σ = d B dt 4 3 J/A mm t/s z y x () Densidde de corrente J plicd cd psso de tempo. (b) Vetores ds correntes induzids em 3D Figur 6: Densidde de corrente J e s correntes induzids no sistem em 3D 1

11 1,5 1 F/N 1 B/T, t/s () F-eixo liner-escldo t/s (b) B-eixo liner-escldo Figur 7: Forç e indução o longo do tempo 1,5 15 Jind/A mm 1, x/mm Figur 8: Vrir x, y = 17,5 mm, z = 5 mm Not-se ind que peç em form de C tmbém possui correntes induzids. Isto se deve o fto de equipe decidir relizr simulção com mbs s peçs feits de mteriis condutores, ssemelhndo-se mis com relidde. Ao nlizrmos forç F no entreferro o longo do tempo percebemos que interferênci gerd pels correntes induzids é quse que imperceptível, conforme visto ns figurs 7 (). De form similr forc F, indução mgnétic B o longo do tempo present um inérci o vrir o seu vlor, o que pode ser verificdo ns figurs 7 (b). Como é requisitdo nálise do ponto de mior indução n peç em form de I o longo do tempo, é preciso primeiro definir onde ele se encontr. A prtir do ponto centrl dest peç, é verificdo o nível d densidde de corrente induzid J Induzido o longo de um eixo em x, mntendo-se y e z constntes, mostrdo n figur 8. 11

12 1,4 1 5 Jind/A mm 1, 1,8, y/mm Figur 9: x = 76,1 mm, vrir y, z = 5 mm 1,5 15 Jind/A mm 1, z/mm Figur 1: x = 76,1 mm, y = 19 mm, vrir z Not-se que o vlor máximo lcnçdo de J Induzido é encontrdo em x = 76,1mm. A seguir, fixmos x = 76,1mm, e mntendo z, verificmos J Induzido vrindo y, figur 9. Mis um vez é verificdo em qul o ponto J Induzido é máximo, y = 19mm. Repetindo o processo pr o eixo em z, mntemos x e y fixdos nos pontos encontrdos e vrimos z, o que result n figur 1. Sendo que J Induzido é mximo pr z = 5mm. Fic ssim definido o ponto de J Induzido máximo e este ponto é que foi verificdo em todos os instntes de tempo pr nlizr o comportmento de J Induzido (t), exibido n figur 11. Finlmente comprmos densidde de corrente induzid com forç no entreferro o longo do tempo, ns figurs 1 () e (b). Fic notável que o comportmento ds dus 1

13 J/A mm ejinduzido/a mm J J Induzido t/s Figur 11: Densidde d corrente e corrente induzido Jind/A mm F/N t/s t/s () J Induzido -eixo logritmo-escldo (b) F-eixo logritmo-escldo Figur 1: Comprção d densidde de corrente induzid com forç no entreferro curvs é similr. A corrente induzid ger um forç residul ssim que limentção do sistem é interrompid. 13

14 7 Conclusão Agor podemos ordernr todos os resultdos obtidos e exibi-los n tbel, conforme form dquiridos. Primeirmente são presentdos os vlores propostos iniciis, seguidos dos cálculos nlíticos. Em seguid temos os resultdos ds simulções do módulo FEECS pr os csos liner e não-liner. Ao notr utilizção de um mteril prticulrmente incpz de fornecer níveis de indução mgnétic suficentes, os vlores propostos iniciis são justdos. Assim o objetivo principl do reltório, de nlizr um peç que forneç um forç específic no entreferro e que estej plenmente sturd, é mntido. Então, por último, os novos vlores pós-justes e os vlores finis, referentes à simulção não-liner finl no FEECS, são diciondos tbel. Tbel : Conclusão ds vlores Forç Indução Densidde Dimensões Dimensões F/N B/T J/A mm, d/mm b, c/mm Propost 1,8 - - Anlítico 1,8 6, 53,5 Liner 64 5,56 6, 53,5 Não-liner 17, 1,43 6, 53,5 Pós-justes 1, Finl 3,4 1,433 3, Comprndo-se os vlores propostos em relção os vlores finis obtidos chegmos muito próximo à forç F requerid, com,4% de diferenç. A indução mgnétic B n peç em form de I teve um diferenç ind menor, de pens 1,7%. No entnto, o preço se pgr por tl desempenho é cobrdo n densidde de corrente, que tingiu um diferenç de 75%. Vle pen slientr que este vlor é densidde que se precis n áre d bobin inteir. Aind existe um ftor de preenchimento k que deve ser levdo em cont qundo for definir qul fio utilizr. Como exemplo podemos supor que pr k =,7, em J Cobre = 1 J implic que o novo vlor ser utilzdo n escolh k do fio ser utilizdo é J Cobre = 5A mm. 7.1 Cix de r e mlh Durnte o desenvolvimento ds simulções, começmos relizndo simulções com espço de r pens próximo o entreferro no eixo z. Dest mneir obtivemos resultdos 14

15 inconsistentes com relidde físic do problem proposto. Ao nlizr os gráficos resultntes, onde s direções ds correntes são representds por vetores, consttmos que em vez de turbilhonrem dentro d peç, os vetores estvm prlelos uns os outros n direção ĵ. Conclúisse que s correntes não se limitvm o domínio de cálculo, por cus ds condições de contorno. Um novo desenho foi modeldo pr que incluísse cixs de r o redor d peç em tods s direções, limitndo ssim região por onde s correntes podem circulr. Contudo, região d bobin deve ser extendid pr que su corrente poss se mnter pens em um direção. Em seguid foi crid mlh de cálculo, onde existe preocupção qunto o comprometimento do tempo computcionl em fvorecimento d precisão dos resultdos, ou vice-vers. Sendo que neste cso, por cus d dição ds cixs de r, o domínio de cálculo é umentdo considervelmente. Isto ocsion um demnd computcionl mior. Portnto, pr mntermos o tempo necessário pr efetur um simulção no módulo FEECJ n ordem de dezens de minutos, foi estipuldo um mlh não muito dens, mntendo ind um número mior de divisões no entreferro (por ser zon de mior interesse). 7. Sugestões pr o FEECAD Dus sugestões são presentds pr um perfeiçomento do progrm FEECAD. A primeir seri existênci de um síd de ddos mis migável com outros progrms trtdores de ddo. Por exemplo, poderi ser um síd no formto CSV, permitindo ssim ser importdo pelo MATLAB. E em segundo, mis como dúvid pessol d equipe, um explicção mis elbord de como s forms de ond inserids ponto--ponto são interpretds pelo módulo FEECJ. Por exemplo, poderi ser escrito no mnul que os vlores são interpoldos linermente e qul unidde de tempo é utilizd qundo deve-se introduzir os vlores dos instntes de tempo incil, finl e psso de integrção. Referêncis [Bs] João Pedro Assumpção Bstos. Cálculo tridimensionl de cmpos eletromgnéticos. Universidde Federl de Snt Ctrin, Florinópolis. [Bsb] João Pedro Assumpção Bstos. Eletromgnétismo e cálculo de cmpos. Universidde Federl de Snt Ctrin, Florinópolis. [Bs8] João Pedro Assumpção Bstos. Eletromgnétismo pr engenhri: Estátic e quse-estátic. Universidde Federl de Snt Ctrin, Florinópolis, 8. 15