Curso Intensivo de Matemática para Concursos

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1 1 Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Naturais N Conjunto dos Números Inteiros Z Conjunto dos Números Racionais Q Dízimas periódicas simples Dízimas periódicas compostas : Geratriz de uma dízima periódica Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima: Dízima simples Dízima Composta: Conjunto dos Números Irracionais I Conjuntos dos Números Reais... 6 Potenciação Propriedades Exercícios Potências de ``Base 10''... 9 Radiciação Propriedades RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES caso: caso: caso: EXERCÍCIOS Produtos notáveis Quadrado da Soma de dois números Quadrado da diferença de dois números Diferença de Quadrados O cubo da soma de dois números O cubo da diferença de dois números Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Máximo Divisor Comum (MDC) Razão Exercícios Proporção Propriedade Fundamental Exercícios Sistemas lineares com incógnitas Resolução de sistemas de equações do 1 grau ( x )

2 9.1.1 Método da substituição Exercícios de Aprendizagem Método da comparação Exercícios de Aprendizagem Método da Adição Equação do 1º Grau Equações de º grau fórmula de Bhaskara Discriminante RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES Soma das raízes (S) Produto das raízes (P) COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES FORMA FATORADA EQUAÇÕES BIQUADRADAS EQUAÇÕES IRRACIONAIS RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO º GRAU PROBLEMAS DO º GRAU Divisão em partes diretamente proporcionais Divisão em partes inversamente proporcionais REGRA DE TRÊS REGRA DE TRÊS SIMPLES REGRA DE TRÊS COMPOSTA Porcentagem EXERCÍCIOS AUMENTOS E DIMINUIÇÕES PERCENTUAIS Aumento percentual Diminuição percentual Aplicação prática EXERCÍCIOS LUCRO / PREJUÍZO SOBRE CUSTO E SOBRE VENDA EXERCÍCIOS JUROS Medidas De Comprimento UNIDADES DE ÁREA UNIDADES DE VOLUME UNIDADES DE LITRO Exercícios... 56

3 ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS TEOREMA DE THALES SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Teorema da bissetriz interna Teorema da bissetriz externa Triângulo retângulo Teorema de Pitágoras Aplicações ) Diagonal do quadrado ) Altura do triângulo equilátero Exercícios de fixação... 65

4 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS 1.1 Conjunto dos Números Naturais N N = {0, 1,,, 4, 5,...} 1. Conjunto dos Números Inteiros Z Z = {..., -, -, -1, 0, 1,,, 4,...} 1. Conjunto dos Números Racionais Q Q = {x / x = b a, com a Z, b Z e b 0} Observações a Z Q, pois se a Z, a Q. 1 1) A representação decimal é finita: 7 1,75 ; 0,6 4 5 ) A representação decimal é infinita periódica: ,... 0, Há frações que não possuem representações decimais exata. Por exemplo: 5 0, Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima. As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. 4

5 1..1 Dízimas periódicas simples são aquelas que o período se apresenta logo após a vírgula. Exemplos: a) 0, período = 8 b) 1,... período = c) -4, período = Dízimas periódicas compostas : são aquelas que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica. Exemplos: a) 0, Não período = período = 4 b) 1, Não período = 78 período = 9 c) 45,09... Não período = 09 período = Observações: 1). Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos, portanto da parte não periódica o inteiro. ). Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras: * 0, ou 0, 5 * 0,1... ou 0,1 1.. Geratriz de uma dízima periódica É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima: Dízima simples A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem: * numerador = o período; * denominador = tantos noves quantos forem os algarismos do período. Exemplos: a) 4 0, b) 54 0, c) 1,

6 1..4. Dízima Composta: A geratriz de uma dízima composta é uma fração com as seguintes características: a) numerador = parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica; b) denominador = tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quanto forem os algarismos da parte não periódica. Exemplos: , , Conjunto dos Números Irracionais I Considera os números, e, suas representações decimais são: = 1, = 1, =, e =, (n.º de Euler) 1.5 Conjuntos dos Números Reais R = Q U I = { x / x é racional ou x é irracional} Portanto, são números reais: os números naturais; os números inteiros; os números racionais; os números irracionais. 6

7 a) Definições Se n e a R,define-se : a n a. a. a..... a (n>1) n fatores - a é a base; - n é o expoente; - o resultado é a potência. Exemplos: a) 7 b) 4 c) 8 d) Cuidado com os sinais POTENCIAÇÃO Número negativo elevado a expoente par fica positivo. Exemplos: Número negativo elevado a expoente ímpar permanece negativo. Exemplo: Ex. 1: 4 8 Se x, qual será o valor de x? Observe: 4, pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado. 4 x os parênteses devem ser usados, porque o sinal negativo - não deve ser elevado ao quadrado, somente o número que é o valor de x. 7

8 .1 Propriedades m n mn a. a a a a m a a a b m n n n m a m m n n n a. b a a mn a 1 n a a b mn n m ( a. b) m n.1.1 Exercícios 1) Calcule as potências: a) 6 b) (-6) c) -6 d) (-) e) - f) (-8) 0 4 g) h) i) 4 j) (-1) 17 ) O valor de [ ] : (4 5 ) 7 é: a) 16 b)8 c)6 d)4 e) 1. ) Simplificando a expressão 1. a) 6 7 b) 7 c) 6 7 d) 7 6 e) , obtemos o número: 8

9 . Potências de ``Base 10'' RADICIAÇÃO n a x x n a.1 Propriedades Exemplos: n n n a. b a. n n a b n b a, b 0 b n m n. m a a m n n m a a n m np a m n a n a a mp m 9, pois 9 0 0, pois pois pois RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES São três casos:..1 1 caso: O RADICAL DO DENOMINADOR POSSUI ÍNDICE. O numerador e o denominador da fração devem ser multiplicados pelo radical que se encontra no denominador. Exemplos: a) b). 6 6 c)

10 .. caso: O RADICAL DO DENOMINADOR POSSUI ÍNDICE DIFERENTE DE. O numerador e o denominador da fração devem ser multiplicados pelo radical de mesmo índice e de mesmo radicando, mas com expoente que complementa para se igualar ao índice. Exemplos: a) b) caso: O DENOMINADOR É UM BINÔMIO EM QUE PELO MENOS UM DOS TERMOS É UM NÚMERO IRRACIONAL SOB A FORMA DE RADICAL. O numerador e o denominador da fração devem ser multiplicados pelo binômio conjugado. BINÔMIO CONJUGADO = Produto notável (a + b).(a b) = a b Exemplos: a).... ou b) c)

11 ..4 EXERCÍCIOS 1) Calcule: a) 1 00 b) 4 c) 4 ( ) d) 4 e) ( 4 ) f) 4 g) 0 h) 1 00 ) Calcule: a) 7 1 b) 4 0 c) 6 d) 6 e) 5 f) 16 g) 7 h) )Calcule o valor de: a) d) 4. 8 b) e) 5 / 4 c) 5 5 f) 5. 4) Simplifique a expressão ) Fuvest - 10 é igual a? 6) Se 5 a =64, o valor de 5 -a. 7) Qual o valor de (0,) +(0,16)? 8) Unicamp a) Calcule as seguintes potências: a=, b=(-), c= - e d=(-) -. b) Escreva os números a, b, c e d em ordem crescente ). Sendo a, b e c números reais positivos, mostrar que a b c a b c ) Calcule o valor de. 4 11

12 11) Escrever a expressão na forma de um único radical. 1) Simplificando a expressão x y 1 y - - y x 1 x, obtém-se: a) x - xy y b) x - y c) xy x+ y d) x + y e) x - y a 1)Lavras - O resultado da divisão : 6 b a 5 b é: a) 6 a 5 b 7 5 a b) 7 a c) ab d) a b e) b a ) Escrever na forma de um único radical a expressão. 4 15) Escrever o radical na forma de expoente racional: a) b) 16) Fuvest Qual é o valor da expressão ? a) b) 4 c) d) e) 17) Racionalize 5. 8 a) E= b) E= c) E= d) E=9 e) E= 18.) Sendo E= 0,666...,..., então : Respostas 1 1)a) 1 b) 16 c) 16 d) - 16 e) 1) D 1) C 14) ) a) b) 16) B 17) 5 4 1

13 4 PRODUTOS NOTÁVEIS 4.1 Quadrado da Soma de dois números ( a b) a. a. b b veja que ( a b) ( a b).( a b) a a. b b. a b a. a. b b 4. Quadrado da diferença de dois números ( a b) a. a. b b veja que ( a b) ( a b).( a b) a a. b b. a b a. a. b b 4. Diferença de Quadrados. ( a b).( a b) a b 4.4 O cubo da soma de dois números ( a b) a. a. b. a. b b 4.5 O cubo da diferença de dois números ( a b) a. a. b. a. b b ; verifique, fazendo a multiplicação ; verifique, fazendo a multiplicação ( a b).( a b) ( a b).( a b) 1

14 5 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) O mínimo múltiplo comum entre dois números é representado pelo menor valor comum pertencente aos múltiplos dos números. Observe o MMC entre os números 0 e 0: M(0) = 0, 0, 40, 60, 80, 100, 10,... M(0) = 0, 0, 60, 90, 10, 150, 180,... O MMC entre 0 e 0 é equivalente a 60. Outra forma de determinar o MMC entre 0 e 0 é através da fatoração, em que devemos escolher os fatores comuns de maior expoente e os termos não comuns. Observe: 0 = 5 = ² 5 0 = 5 = 5 MMC (0; 0) = ².. 5 = 60 A terceira opção consiste em realizar a decomposição simultânea dos números, multiplicando os fatores obtidos. Observe: 6 MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) O máximo divisor comum entre dois números é representado pelo maior valor comum pertencente aos divisores dos números. Observe o MDC entre os números 0 e 0: D(0) = 1,, 4, 5, 10, 0. D(0) = 1,,, 5, 6, 10, 15, 0. O maior divisor comum dos números 0 e 0 é 10. Podemos também determinar o MDC entre dois números através da fatoração, em que escolheremos os fatores comuns de menor expoente. Observe o MDC de 0 e 0 utilizando esse método. 0 = 5 = ² 5 0 = 5 = 5 MDC (0; 0) = 5 = 10 14

15 7 RAZÃO A razão entre a e b é o quociente entre esses dois números. A razão a ou a : b onde a b representa o primeiro termo ou antecedente e b representa o segundo termo ou o consequente. Exemplos: 1) Thiago tem 10 anos de idade e Rodrigo tem 14 anos de idade. A razão entre as idades 10 5 de Thiago e Rodrigo são: 14 7 ) A razão entre 5 e 10 é Exercícios 1) Numa razão igual a /5 o antecedente é 8. Determine o seu consequente? ) Num jogo de basquete, André fez 60 arremessos obtendo 50 pontos e Paulo, em 0 arremessos obteve 0 pontos. Quem tem a maior razão de acertos? ) Beatriz foi de São Paulo a Campinas (9Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O que significa essa razão? 4) Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O que significa essa razão? 15

16 8 PROPORÇÃO É a igualdade entre duas razões. a b c d ou ( a : b = c : d ) lê-se : a está para b, assim como c está para d. a e d são os extremos e b e c são os meios a : b = c : d Meios Extremos 8.1 Propriedade Fundamental O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Exemplo: A razão entre dois números é / e a sua soma é 5. Calcule esses números: x (1) y x y 5 () Isolando-se x temos: x = 5 y (), substituindo x na equação (1) temos 5 y y multiplicando em cruz temos : 105 y = y,então isolando y temos : =. 105 = y + y 105 = 5y y = 105/5, portanto y = 1, substitui o valor de y na equação () e teremos x = 5-1 x =14 16

17 8. Exercícios 1) A idade de um filho está para dois assim como a idade de seu pai está para 10. Determine essas idades, sabendo-se que a soma das idades é 54? ) Calcular o valor de x na proporção: 5 =x+1 0. ) O produto de dois números (positivos) é 4800 e a razão entre eles é /4. Calcule os números. 4) Uma vara de 1 cm fixada verticalmente no solo produz uma sombra de 15 cm. Que comprimento deveria ter a vara para projetar uma sombra de 45 cm.? 5) A idade de um pai e a de seu filho estão na razão de /1. Qual a idade de cada um, sabendo que a diferença entre elas é de 4 anos? 6) Um pai tem 6 anos e a sua idade é 4/5 da soma das idades de seus dois filhos. Quais as idades dos filhos, sabendo-se que elas estão entre si como 4 está para 5? 7) Calcule a) x y 4 8 5x y b) a b c a b c 1 8) Calcular o valor de x nas seguintes proporções: a) b) x 4 x x ) Calcular o valor de x e y na proporção x y = 5 10) Calcular o valor de x e y na proporção x y =11 sabendo que x+y = 4. sabendo que x-y =

18 9 SISTEMAS LINEARES COM INCÓGNITAS Alguns problemas de matemática são resolvidos a partir de soluções comuns a duas equações do 1º a duas variáveis. Nesse caso, diz-se que as equações formam um sistema de equações do 1º grau a duas variáveis, que indicamos escrevendo as equações abrigadas por uma chave. Veja os exemplos: a) x y 5 x y 9 b) x y 10 x y 18 O par ordenado que verifica ao mesmo tempo as duas equações é chamado solução do sistema. Indicamos pela letra S, de solução. Por exemplo, o par (7,) é solução do sistema x y 10 x y Pois verifica as duas equações. Ou melhor: () 9.1 Resolução de sistemas de equações do 1 grau ( x ) Os processos ou métodos mais comuns são: o método da substituição, método da adição, método da comparação, além do método gráfico Método da substituição Para aprender a trabalhar com esse método, você deve acompanhar os passos indicados nos exemplos a seguir: 1º exemplo: Resolver o sistema x y 7 x y 1 1º passo: Isola-se uma das variáveis em uma das equações. Vamos isolar x na 1ª equação: x y 7 x 7 y º passo: Substitui-se a expressão encontrada no passo 1 na outra equação. Obtemos então uma equação do 1º com apenas uma incógnita 18

19 x y 1 (7 y) y 1 7 y y 1 7 y 1 º passo: Resolvemos a equação obtida no º passo: 7 y 1 y 1 7 y 6 6 y y obtendo, assim, o valor de y. 4º passo: (Para encontrarmos o valor de x) Substitui-se o valor encontrado no º passo em qualquer uma das equação iniciais. x y 7 x () 7 x 7 x 4 5º passo: Por último, escrevemos a solução do sistema: S = {(4,)} Exercícios de Aprendizagem Aplicando o método da substituição, resolva os seguintes sistemas x: x y 5 x y 6 x y 4 a) b) c) x y 9 x y x y 7 19

20 9.1. Método da comparação Este método consiste, basicamente, em isolar a mesma variável nas duas equações. 1º exemplo: Resolver o sistema x y 1 a) x y 1 passo) Isolando x na 1ª equação: x y 1 x 1 y 1 º passo: Isolando x na ª equação: x y x y º passo) Comparando 1 e, vem: x x 1 y y y y 1 y 4 4 y y 4º passo) Como x = 1+y, temos: x = 1+() x = Conjunto-Solução: S = {(,4)} º exemplo: Resolver o sistema x 5y x y 16 0

21 1º passo: x = 5y 1 º passo: Isola-se x na ª equação xy 16 x16 y º passo: Comparando 1 e, vem 5y = 16 y 5y + y =16 8y = 16 y = 4º passo: Como x = 5y, temos: x = 5.() x = 10 A solução é S = {(10,)} Exercícios de Aprendizagem ) Aplicando o método da comparação, resolva os seguintes sistemas: x y 1 x y x y a) b) c) x y x y x y 1 ). Aplicando o método mais conveniente para o caso, resolva os seguintes sistemas: x y x y x y 10 x y a) b) c) d) x y 9 x y 10 x y 8 x 5y 55 1

22 4x y 7 x y 8 x y 9 x y 0 e) f ) g) h) x 5y 9 4x 6y 1 x y 6 x 5y 5x 4y 1 x y 1 i) j) x y 5 x y Método da Adição Adicionando ou subtraindo membro a membro duas igualdades, obtemos uma nova igualdade. O método consiste em somar as duas equações, mas isso deve ser feito sempre de modo a eliminar uma das variáveis na nova equação obtida. Ou seja, é preciso chegar a uma só equação, com uma só incógnita. Para que isso ocorra, é necessário existam termos opostos nas duas equações (em relação a uma mesma letra...). Exemplo 1: Considere o sistema 5xy15 xy6 Observe que a equação 1 tem o termo -y, e a equação tem o termo +y (oposto de -y). Esse fato nos permite obter uma só equação sem a incógnita y, somando as duas equações membro a membro. 5x y 15 Como y y 0, o y desaparece. x y 6 Aí, fica tudo mais fácil! 7x 0 1 7x 1 x Agora, é só substituir o valor de x em uma das equações do sistema:

23 5xy 15 5.() y y 15 y y 0 y 0 A única solução do sistema é o par (,0) Exemplo : Vamos resolver o sistema x5y 16 xy Aqui, seria inútil somar imediatamente as equações. Como não observamos termos opostos (que somados resulta 0), nenhuma letra desaparece. Mas, podemos obter termos opostos. Veja que o MMC entre 5 e (coeficientes de x nas duas equações) é 10. Daí, multiplicamos a 1ª equação por e a ª equação por -5: x 5y 16 () x y ( 5) 4x10y 15x 10y 10 Você viu bem?!!! Com isso, conseguimos termos opostos neste último sistema. E como +10y 10y = 0, vem: 4x10y 15x 10y 10 11x 0 11x x 11 x

24 Agora, levamos x = - na ª equação para encontrar o valor de y: xy ( ) y 6 y y 6 y 8 y 4 A solução é o par (-,4). Exemplo : Resolva pelo método da adição o sistema x y x4y 0 Vamos tornar opostos (ou simétricos) os coeficientes em x. Para isso, basta multiplicar a primeira equação por -1 (não mexer na ª): x y.( 1) x y x 4y 0.(1) x 4y 0 y 7 De y = 7, tiramos y = 9. Calculando x: Substituímos y = 9 na 1ª equação: x y x (9) x 9 x 6 x 6 x Nota importante: Podemos aplicar o método da adição de outra forma, neste caso procurando zerar a incógnita y. Veja: 4

25 Multiplicamos a 1ª equação por 4 e a ª por 1... e então x y.( 4) 1x 4y 1 x 4y 0.(1) x 4y 0 9x De 9x 18, encontramos x (Viu?!! Dá o mesmo resultado!). Portanto, podese usar o processo da adição duas vezes 9 seguidas Exemplo 4: Resolver o sistema pelo processo da adição 6a5b15 7a 16b 1 Temos que o MMC(6,7) = 4. Então, multiplicamos a 1ª equação por 7 e a ª por 6, temos: 6a 5b 15.(7) 4a 5b 105 7a 16b 1.(6) 4a 96b 78 4a5b105 4a 96b 78 61b b 61 Substituindo b = na ª equação, vem: 7a16b 1 7a 16.() 1 7a a a 5 5 a 7 a 5 5

26 10 EQUAÇÃO DO 1º GRAU A equação do primeiro grau é do tipo ax +b = 0, onde a é um número diferente de zero e x possui expoente 1, por isso também é chamada de equação polinomial do primeiro grau. Para resolver esse tipo de equação temos que isolar a variável x. Exemplo: x + 8 = 10 x = 10 8 x = X = X=1 S = {1} Definições: 11 EQUAÇÕES DE º GRAU Denomina-se equação do º grau na incógnita x, toda equação da forma: ax + bx + c = 0; a, b, c IR e Exemplos: x - 5x + 6 = 0 é um equação do º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. 6x - x - 1 = 0 é um equação do º grau com a = 6, b = -1 e c = -1. 7x - x = 0 é um equação do º grau com a = 7, b = -1 e c = 0. x - 6 = 0 é um equação do º grau com a = 1, b = 0 e c = -6. 6

27 Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes. a é sempre o coeficiente de x²; b é sempre o coeficiente de x, c é o coeficiente ou termo independente fórmula de Bhaskara. Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim: Exemplos: Temos resolução da equação: 7

28 11. Discriminante Denominamos discriminante o radical b - 4ac que é representado pela letra grega (delta). Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara: De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar: 1º Caso: O discriminante é positivo. O valor de representadas: é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim º Caso: O discriminante é nulo O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas: º Caso: O discriminante é negativo. O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são número complexos. 8

29 Resumindo Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos: Para diferentes. Para Para, a equação tem duas raízes reais, a equação tem duas raízes reais iguais., a equação não tem raízes reais. 11. RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES Considere a equação ax + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação. Logo: Observe as seguintes relações: Soma das raízes (S) 11.. Produto das raízes (P) Como,temos: 9

30 11.4 COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES Considere a equação do º grau ax + bx + c = 0. Dividindo todos os termos por a, obtemos: Como, podemos escrever a equação desta maneira. x - Sx + P= FORMA FATORADA Considere a equação ax + bx + c = 0. A forma fatorada da equação ax + bx + c = 0 é: a.(x - x'). (x - x'') = 0 Exemplos: Escreva na forma fatorada a equação x - 5x + 6 = 0. Solução Calculando as raízes da equação x - 5x + 6 = 0, obtemos x 1= e x =. Sendo a= 1, x 1= e x =, a forma fatorada de x - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita: (x-).(x-) = 0 Escreva na forma fatorada a equação x - 0x + 50 = 0. Solução Calculando as raízes da equação x - 0x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5. Sendo a=, x 1=x = 5, a forma fatorada de x - 0x + 50 = 0 pode ser assim escrita:.(x - 5) (x - 5) = 0 ou. (x - 5) =0 Escreva na forma fatorada a equação x + x + = 0. Solução Como o, a equação não possui raízes reais. Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR. 0

31 Observe as equações: x 4-1x + 6 = 0 9x 4-1x + 4 = 0 x 4-5x + 6 = 0 1 EQUAÇÕES BIQUADRADAS Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x 4, um termo em x e um termo constante. Os segundos membros são nulos. Denominamos essas equações de equações biquadradas. Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma: ax 4 + bx + c = 0 Exemplos: x 4-5x + 4 = 0 x 4-8x = 0 x 4-7 = 0 Cuidado! x 4 - x + x + 1 = 0 6x 4 + x - x = 0 x 4 - x = 0 As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do º grau. Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação biquadrada. 1

32 Sequência prática Substitua x 4 por y ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x por y. Resolva a equação ay + by + c = 0 Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay + by + c = 0. Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma. Exemplos: Determine as raízes da equação biquadrada x 4-1 x + 6 = 0. Solução Substituindo x 4 por y e x por y, temos: y - 1y + 6 = 0 Resolvendo essa equação, obtemos: Como x = y, temos: y'=4 e y''=9 Logo, temos para conjunto verdade: V={ -, -,, }. Determine as raízes da equação biquadrada x 4 + 4x - 60 = 0. Solução Substituindo x 4 por y e x por y, temos: y + 4y - 60 = 0 Resolvendo essa equação, obtemos: y'=6 e y''= -10 Como x = y, temos: Logo, temos para o conjunto verdade:.

33 Considere as seguintes equações: 1 EQUAÇÕES IRRACIONAIS Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações são irracionais. Ou seja: Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando. 1.1 RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente. Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada ( verificar a igualdade). É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada. Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais. Solução Logo, V= {58}.

34 Solução Logo, V= { -}; note que é uma raiz estranha a essa equação irracional. Solução Logo, V= { 7 }; note que é uma raiz estranha a essa equação irracional. 4

35 14 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO º GRAU Observe o seguinte problema: Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 19 m. Determine as medidas x e y indicadas na figura. De acordo com os dados, podemos escrever: 8x + 4y = 64 x. ( x + y) = 19 4x + 4xy = 19 Simplificando, obtemos: x + y = 16 1 x +xy = 48 Temos aí um sistema de equações do º grau, pois uma das equações é do º grau. Podemos resolvê-lo pelo método a substituição: Assim: x + y = 16 1 y = 16 - x Substituindo y em, temos: x + x ( 16 - x) = 48 x + 16x - x = 48 - x + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1. x - 16x + 48 = 0 x'=4 e x''=1 Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos: y'= = 8 y''= = - 8 5

36 As soluções do sistema são os pares ordenados (4,8) e (1, -8). Desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra: Comprimento Largura =x + y = = 4m =x =. 4 = 8m Verifique agora a solução deste outro sistema: Isolando y em 1 y - x = -1 y = x - 1 Substituindo em x - x(x - 1) = - x - 6x + x = - -5x + x + = 0 Multiplicando ambos os membros por -1. 5x - x - = 0 x'=1 e x''=- Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos: As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, ) e. Logo, temos para conjunto verdade: 6

37 15 PROBLEMAS DO º GRAU Para resolução de problemas do º grau, devemos seguir etapas: Sequência prática Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática. Resolva a equação ou o sistema de equações. Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema. Observe agora, a resolução de alguns problemas do º grau: Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja. Solução Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão representados por. Temos estão a equação:. Resolvendo-a: Observe que a raiz não é utilizada, pois não se trata de número inteiro. Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7. 7

38 Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 7 unidades. Determine esse número, sabendose que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18. Solução Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x. Observe: Número: 10x + y Número com a ordem dos algarismos trocada: 10y + x. Temos, então, o sistema de equações: Resolvendo o sistema, temos: Isolando y em 1 : Substituindo y em : xy = 18 x ( x + ) = 18 x + x = 18 x + x - 18 = 0 x'= e x''= -6 -x + y = y= x + Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos: y'= + = 6 y''= -6 + = - Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (,6), ( -6, -)}. Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número 6 ( x= e y=6). Resposta: O número procurado é 6 8

39 Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente. Solução Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a ª torneira encher o tanque. Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque: Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão correspondente: do tanque; observe a equação Resolvendo-a, temos: 6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 ) 6x x = x + 5x x - 7x - 0 = 0 x'= - e x''=10 Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10. Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a ª torneira, em 15 horas. Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 4.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo der$ 400,00 no seu prêmio. Quantos foram presentes nesse jantar? Solução Podemos representar por: 9

40 Resolvendo-a: Resposta: Nesse jantar estavam presentes 0 pessoas. 16 DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Se quisermos dividir o número 180 em três partes diretamente proporcionais a, 5 e 11. Isso significa dividir o número em três parcelas, tais que a razão da primeira parcela para o número seja igual à razão da segunda para o número 5 e igual a da terceira para o número 11. Assim chamamos de x, y e z, respectivamente, cada uma das parcelas, Ou Seja; x y z 5 11 Além disso, como x, y e z são as parcelas em que dividimos o número 180, devemos ter: x + y + z = 180 Utilizando a propriedade da proporção que diz : em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo consequente, então : x y z 5 11 x y z 5 11 ou, 180 x y z , como , então 18 40

41 x 10 x.10 0 y 10 y z 10 z Sendo = 180, concluímos que as partes procuradas são : 0, 50 e 110. Exercício Resolvido: 1 Divida o número 184 em partes diretamente proporcionais a, e. De acordo com 4 outra propriedade dos números proporcionais, se multiplicarmos todos os números da 1 sequência, e pelo m.m.c dos consequentes (1), obtemos uma sequência de 4 números inteiros que mantém a proporcionalidade e facilita os cálculos: Assim: x+ y + z = 184, =, logo: x y z 184 x y z Como : 184 k 8 então: x y z Logo, podemos afirmar que as partes são 48, 64 e 7. 41

42 17 DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Se quisermos dividir o número 10 em partes inversamente proporcionais a, 5 e 6, isso implica em dividirmos o número proporcionalmente aos inversos de, 5 e 6, ou seja, x 1 y 1 5 z 1 6, como o m.m.c (,5,6) = 0, temos: x y z Desse modo: x y z 10 10, como = 1 e 10, então : 1 x = = 100 y = = 60 z= 5.10 = 50, logo as partes são 100, 60 e 50. 4

43 18 REGRA DE TRÊS Chamamos de regra de três uma regra prática que permite, através da comparação de grandezas proporcionais, a resolução de diferentes situações-problema do dia-a-dia. Essas grandezas formam uma proporção em que, conforme o nome já diz, três termos são conhecidos e busca-se encontrar o quarto termo. Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e a composta, que envolve mais de duas grandezas REGRA DE TRÊS SIMPLES A regra de três simples, como vimos anteriormente, envolve apenas duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. O processo consiste em montarmos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente, os valores da mesma grandeza e, daí, obtermos uma equação através da aplicação da propriedade fundamental das proporções. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais, essa equação terá a mesma forma da tabela. No caso de grandezas inversamente proporcionais, a montagem da equação será feita invertendo-se a razão de uma das grandezas. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais dizemos que a regra de três é direta. Quando forem inversamente proporcionais, dizemos que a regra de três é inversa. Procedimentos para resolver problemas por regra de três simples 1º). Montar a tabela: As quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser expressas sempre na mesma unidade de medida Comprimento(m) Preço(R$) 5 80,00 9 x º) Verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais Se as grandezas forem diretamente proporcionais, coloca-se uma seta vertical na coluna onde se encontra o x, na direção dele, e uma seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. Se as grandezas forem inversamente proporcionais, procede-se da mesma forma na coluna do x, invertendo o sentido da seta na outra coluna. 4

44 º) Determinar o valor de x, que é o termo procurado, através da propriedade fundamental das proporções. Exemplo: Cinco metros de um tecido custam R$ 80,00. Quanto pagarei por 9 metros do mesmo tecido? Nesse exemplo temos uma regra de três simples e direta. Observe os procedimentos acima: Comprimento(m) Preço(R$) 5 80,00 9 x 5 80 = 9 x x = x = 144,00 Exercícios: 1.Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 0 operários fariam a mesma obra?.uma viagem foi feita em 1 dias, percorrendo-se 150 Km por dia. Quantos dias seriam necessários para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 00 Km por dia?.três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 1h0min. Quantas torneiras de mesma vazão seriam necessárias para encher o mesmo tanque em 54min? 4.Um corte de tecido de m x,5m custa R$ 100,00. Quanto deverá ser pago por um corte do mesmo tecido de m x 5 m? 5.Se 4/9 de uma obra foram feitos em 8 dias, em quantos dias a obra será concluída? 44

45 18. REGRA DE TRÊS COMPOSTA A regra de três composta envolve três ou mais grandezas relacionadas entre si. Os procedimentos de resolução serão os mesmos da regra de três simples. Quando há dependência inversa entre a grandeza que contém a variável com as demais grandezas, invertemos os elementos da respectiva coluna. A equação será montada, relacionando a grandeza que contém a variável com as demais grandezas. Exemplo: Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo produzirão sete operários, trabalhando 9 dias? Nº de operários Nº de dias Nº de peças x Comparando a grandeza que contém o x com as outras duas grandezas, verificamos que são diretamente proporcionais. Então: 400 =.6 x = x = x 7 x = 800 x = peças Exercícios: 1.Um ciclista percorre 10 Km em dias, dirigindo horas por dia. Em quantos dias percorrerá 500 Km, viajando 5 horas por dia?.numa fazenda, cavalos consomem 10 Kg de alfafa durante 7 diais. Para alimentar 8 cavalos, durante 10 diais, quantos quilos de alfafa serão necessários?.seis digitadores preparam 70 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 digitadores, de mesma capacidade, prepararão 800 páginas? 4.Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 horas por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a velocidade fosse 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso? 5.Uma torneira enche um tanque em 0 horas, com uma vazão de 1 litro por minuto. Quanto tempo será necessário para que duas torneiras, com vazão de litros por minuto, encham o mesmo tanque? 6.Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam projetos de 5 pontes. Quantos engenheiros seriam necessários para projetar 8 pontes, trabalhando 8 horas por dia, durante 15 dias? 7.Um livro de 10 páginas, com 5 linhas, é impresso em 4 horas. Quantas horas seriam necessárias para imprimir um livro de 100 páginas com 0 linhas por página? 45

46 19 PORCENTAGEM Motivadas pelo sistema de numeração decimal, as pessoas têm o costume de expressar a relação entre certa quantidade e o todo quando este é geralmente 100. Daí o uso do termo porcentagem (relativo a frações de denominador 100). Quando dizemos que, se em 400 alunos de uma escola, 40 são meninas, é o mesmo que dizer que encontramos 10 meninas em cada 00 alunos, ou ainda, 60 são meninas em cada 100 alunos. Representamos esta situação assim: (observe que os denominadores referem-se ao todo) Temos boa noção da proporção de meninas na escola principalmente através da última fração. Por tratar-se de frações especiais (frações com denominador 100), receberam uma notação especial: %. Assim, por exemplo: a) 60% = = 0,6 b) 4% = = 0,04 c) 1% = = 1, Obs.: Uma vez que uma porcentagem representa uma fração, pode ser escrita na forma decimal. O contrário é possível: escrever um número decimal ou uma fração (mesmo sem denominador 100) na forma de porcentagem: a) = 0,14 = = 14% b) = 0,08 = = 8% , 5 c) = 0,75 = ,8 = 7,5% d) = 1, = % Obs.: Note que, se uma fração possui como denominador um divisor de 100 (1,, 4, 5, 10, 0, 5, 50 ou 100), não é difícil escrever a fração de denominador 100 a ela equivalente. No item e) isto não acontece. Neste caso trabalha-se com aproximação. a) 75 1, 6 0, 0,8 = 75% b) = 6% c) = 0,8% d) 4 = = 400% e) = 0, ,4 = = 4%

47 19.1 EXERCÍCIOS 1 Escrever sob a forma de números decimais as porcentagens: a) % b) % c) 50% d) 1,85% e) 0,18% Escrever sob a forma de fração irredutível as porcentagens: a) 0% b) 8% c) 14% d) 0,4% e) 5.000% Escrever sob a forma de porcentagem as frações e os números decimais: a) 1 9 b) 0 c) d) 11 e) f) 0,1 g) 0,1 h) 0,04 i) 0,4 j) 4 4 Escrever sob a forma de porcentagem: a) (10%)² b) 49 % c) (1%).(5%) d) 40% 160% 5 Você sabia que: 5 = 1000 = 0,05? APLICAÇÃO DA DEFINIÇÃO DE PORCENTAGEM Exemplo: Qual é a quantidade que representa 4% de 50 unidades? 4 Resposta: 0,4. 50 = 84 ou. 50 = Calcule então: a) 5% de 10 b) 5% de 800 c) % de 400 d) 1% de 1 e) 0,% de 5 f) 4% de,5 47

48 19. AUMENTOS E DIMINUIÇÕES PERCENTUAIS Aumento percentual O valor V que um número N = 0 terá após sofrer um aumento percentual de P = 4% é assim calculado: V = 0 + 0,4. 0 = (1 + 0,4).0 = 1,4. 0 = 7, Note a colocação intencional do fator comum 0 em evidência. Este procedimento auxilia na busca de uma regra que ofereça diretamente o valor V após um aumento percentual. Descubra-a através de outros exemplos e aplique-a nas situações a seguir: a) N = 50 e P = 8% b) N = 5 e P = 80% c) N =.000 e P =,4% d) N = e P = 10% e) N = 4 e P = 40% f) N = 87 e P = 900% 19.. Diminuição percentual O valor V que um número N = 0 terá após sofrer uma diminuição percentual de D = 4% é: V = 0 0,4. 0 = (1 0,4).0 = 0,76. 0 =,8 Note novamente a colocação intencional do fator comum 0 em evidência. Do mesmo modo, busque uma regra que ofereça diretamente o valor V após uma diminuição percentual. Observando que não ocorre diminuição de mais de 100%, descubra-a através de outros exemplos e aplique-a nas situações a seguir: a) N = 5 e D = 6% b) N = 9 e D = 60% c) N = 00 e D = 7,% 19.. Aplicação prática Um produto custa 40 reais e sofre sucessivamente aumento de 6% e desconto de 5%. Qual seu preço final? Qual é o percentual equivalente a estas duas variações percentuais? 0,75) 40,0 0 54,4 0 40,8 0 aum. de 6% ( 1,6) desc. de 5% ( Verifica-se que o preço inicial ficou multiplicado por 1,0 (1,6 0,75). Isto significa que ocorreu um aumento, e que equivale a %. 48

49 19..4 EXERCÍCIOS 1 Uma geladeira, cujo preço à vista é de 680 reais, tem um acréscimo de 5% neste preço se for paga em prestações mensais iguais. Qual é o valor de cada uma destas parcelas? O salário de um trabalhador era de 840 reais e passou a ser de 966 reais. Qual foi a porcentagem de aumento em seu salário? Paulo gastou 40% do que tinha e ainda ficou com 87 reais. Quanto ele tinha e quanto ele gastou? 4 Laura gastou 900 reais na compra de uma bicicleta, de um aparelho de som e de uma estante. A bicicleta custou 60 reais a menos que a estante, e o preço do aparelho de som corresponde a 80% do preço da bicicleta. Quanto custa cada um destes produtos? 5 Um televisor de 685 reais está sendo vendido em uma promoção com desconto de 1%. Por quanto está sendo vendido? 6 Um fogão está sendo vendido assim: 0% de entrada e o restante em 5 prestações iguais de 6 reais cada uma. Qual é o preço deste fogão? 7 Um objeto que custava R$ 70,00 reais teve seu preço aumentado em R$ 10,50. Qual foi o percentual deste aumento? 19. LUCRO / PREJUÍZO SOBRE CUSTO E SOBRE VENDA Com o objetivo de dimensionar lucros e prejuízos (auxiliar na contabilização de ganhos e perdas), o comerciante utiliza-se de medidas percentuais, temas deste item. O preço de um produto que o comerciante adquire é denominado preço de custo (C). O valor a este preço acrescentado para posterior venda é chamado lucro (L). O preço resultante da soma de C com L é chamado preço de venda (V). Se o valor da venda é menor que o valor do custo, então o lucro é negativo e será chamado de prejuízo (P). Assim sendo: e L lucro sobre custo C V = C + L L lucro sobre venda V V = C P P prejuízo sobre custo C P prejuízo sobre venda V Exemplos: 1 Um objeto que custa 60 reais é vendido por 75 reais. Qual é a porcentagem do lucro em relação ao preço de: a) custo? ; b) venda? L 15 L + C = V a) 0,5 5% C 60 L + 60 = 75 L = 15 L 15 b) 0, 0% V 75 Um automóvel de preço 56 mil reais é vendido com um prejuízo de 0% sobre este preço. Qual foi o preço de venda? P C 0, P = 0, = reais 49

50 V = C P V = = reais Um vendedor ambulante vende seus produtos com lucro de 0% sobre o preço de venda. Qual é seu lucro sobre o preço de custo? L V L 1 V LC 0, V 5L L C 5L C 4L V 5 L L 1 Daí: 0,5 5% C 4 L 4 Obs.: O lucro sobre o custo é sempre maior que o lucro sobre a venda. O prejuízo sobre o custo é sempre menor que o prejuízo sobre a venda EXERCÍCIOS 1 Uma joia foi comprada por R$ 7.00,00 e vendida por R$ 8.640,00. Qual foi o percentual de lucro sobre o preço de custo desta joia? Um vendedor teve prejuízo de 50 reais equivalente a 16% sobre a venda de uma mercadoria. Por qual preço ela foi comprada? Determinar o preço de custo de um automóvel que foi vendido por R$ 7.500,00, sabendo que o lucro sobre a venda foi de 0%. 4 Um livro foi vendido por 16 reais com lucro de 40% sobre o preço de custo. Determine este preço de custo. 5 Uma máquina fotográfica que custou 450 reais foi vendida com um lucro de 40% sobre o preço de custo. Por quanto foi vendida? 6 Uma mercadoria que custa 840 reais é vendida com um prejuízo de 0% sobre o preço de venda. Qual é o preço de venda? 7 Um vendedor negocia seus produtos com lucro de 50% sobre o preço de venda. Qual é seu lucro sobre o preço de custo? 8 O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais e passou a revendê-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoções, ele deu a seus clientes um desconto de 0% sobre o preço de venda deste produto. Teve então um lucro ou um prejuízo sobre o preço de custo? 9 Determinar de quanto por cento sobre o custo é o prejuízo de 100% sobre a venda? 50

51 0 JUROS Ao aplicar (investir) certa quantia (capital C) em uma instituição financeira (por exemplo, um banco) por um determinado período de tempo (t), recebe-se, ao final deste, aquela quantia acrescida de um valor denominado juro (J). O valor do juro depende de certa porcentagem (taxa de juros i) sobre a quantia aplicada. O montante (M) é o resultado da soma daquela quantia com o juro. M = C + J Juros simples são juros constantes incorporados a um capital, periodicamente, como, por exemplo, acontece na correção de certas dívidas por certo período de tempo. Juros compostos são juros crescentes (ou decrescentes) incorporados a um capital, periodicamente, como acontece, por exemplo, na correção de aplicações financeiras. Exemplo de situação envolvendo juros simples: Uma dívida de 50 reais venceu há 5 dias. É cobrada uma multa de 0,% por dia de atraso no sistema de juros simples. Qual é o valor do montante desta dívida? 0,%. 50 = 0, = 1,06 (juro de um dia) 5. 1,06 = 5,0 (correção da dívida em juros simples por 5 dias) montante: M = C + J = ,0 = 55,0 reais. Generalizando: J = C. i. t daí: M = C. (1 + i. t) Exemplo de situações envolvendo juros compostos: 1 Um capital de 40 mil reais foi aplicado à taxa de % ao mês durante meses. Qual foi o montante ao final deste período? 1 mês: M = 1, mês: M = 1,0. (1, ) = 1, mês: M = 1,0. (1, ) = = 4.448, reais. Generalizando: M = C. (1 + i) t Obs.: Analogamente conclui-se que um capital, após descontos sucessivos e iguais, transforma-se no montante: M = C. (1 i) t 51

52 Quanto receberá de juros, ao final de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de reais à taxa de 1% ao mês? M = C. (1 + i) t = , ,1 reais (com auxílio de calculadora) Assim, J = 6.69, = 69,1 reais. Obs.: Por tratar-se de uma equação exponencial em t, calculá-lo requer conhecimentos básicos da teoria de logaritmos. 5

53 1 MEDIDAS DE COMPRIMENTO A unidade principal de comprimento é o metro, entretanto para medir grandes extensões, o metro é muito pequeno, e para medir pequenas extensões ele é muito grande. Para isso, existem os múltiplos e submúltiplos do metro. Observe a tabela abaixo: Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro km Hm dam m dm cm mm 1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m Regras Práticas : : 10 x10 Para converter a unidade da esquerda para a direita, deve se multiplicar o valor por 10 a cada casa andada, até chega à casa da unidade que se quer a conversão. Ex : 1 m = 100 cm km = 000 m Para converter a unidade da direita para esquerda, deve se dividir o valor por 10 a cada casa andada, até chegar à casa da unidade que se quer a conversão. Ex: 1 cm = 0,001 dam m = 0,00 Km 5

54 1.1 UNIDADES DE ÁREA Quilômetro quadrado Hectômetro quadrado Decâmetro quadrado Metro Quadrado Decímetro quadrado Centímetro quadrado Milímetro quadrado km hm dam m dm cm mm 1x10 6 m 1x10 4 m 1x10 m 1 m 1x10 - m 1x10-4 m 1x10-6 m Regras Práticas : Para converter a unidade da esquerda para a direita, deve se multiplicar o valor por 100 (pois 10² =100) a cada casa andada, até chega à casa da unidade que se quer a conversão. Ex : 1 m = 100 dm km = m ou x 10 6 m Para converter a unidade da direita para esquerda, deve se dividir o valor por 100 (pois 10² =100) a cada casa andada, até chegar à casa da unidade que se quer a conversão. Ex: 1 dam² = 0,001 km² 1 m² = 0,01 dam² 54

55 1. UNIDADES DE VOLUME Quilômetro cúbico Hectômetro cúbico Decâmetro cúbico Metro cúbico Decímetro cúbico Centímetro cúbico Milímetro cúbico km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ 1x10 9 m 1x10 6 m 1x10³ m 1 m³ 1x10 - m 1x10-6 m 1x10-9 m Regras Práticas : Para converter a unidade da esquerda para a direita, deve se multiplicar o valor por 1000 (pois 10³ =1000) a cada casa andada, até chega à casa da unidade que se quer a conversão. Ex : 1 m = 1000 dm hm = m ou x 10 6 Para converter a unidade da direita para esquerda, deve se dividir o valor por 1000 ( pois 10³ =1000) a cada casa andada, até chegar à casa da unidade que se quer a conversão. Ex : 1 m = 0,001 dam 1 mm = 0,001 cm 1. UNIDADES DE LITRO Quilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro kl hl dal l dl cl ml 1000 l 100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l As regras práticas para conversão de unidades de litro são as mesmas das unidades de comprimento. OBSERVAÇÃO Só não podemos esquecer de que: 1dm³ = 1 l ATENÇÃO: Lembre-se que ao multiplicar/dividir por 10, 100, 1000,... basta deslocar a vírgula 1,,,... casas decimais para direita/esquerda. 55

56 1..1 Exercícios 1) Transforme: a) km em m b) 1,5 m em mm c) 5,8 km em cm d) 0,4 m em mm e) 7 mm em cm f) 16 mm em m g) 1 m em km ) Agora converta as unidades de área: a) 8,7 dm em mm b),1416 m em cm c),14 m em mm d) Calcule 40m x 5m e, depois transforme em km² e) 15,8 m² em km² f) 1,9 km² em m² g) 15, m² em mm² ) Depois converta as de volume: a) 8,1 km em hm d) 5 cm³ em m³ b) 180 hm em km³ e) 78,5 m³ em km³ c) 1 m em mm f) 1 m³ em cm³ g) 19 mm³ em m³ 4) Converta em litros: a),5 dm³= b) 5 m³= c),6 dm³= d),4 m³= e) 8 cm³= f) 4, m³= g) 1 dm³= 56

57 ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS 1) Retângulo ) Quadrado ) Paralelogramo 4) Trapézio 5) Losango 57

58 6) Triângulos a) Triângulo qualquer b) Triângulo retângulo c) Fórmula trigonométrica da área d) Fórmula de Heron onde p é o semiperímetro e a, b e c são os lados. e) Triângulo equilátero 58

59 f) Em função dos lados e do raio da circunferência circunscrita 7) Hexágono regular 8) Polígono regular Onde p é o semiperímetro e a é o apótema do polígono. 9) Círculo Comprimento C =..r Área A =.r 59

60 10) Coroa circular A =.(R r ) 11) Setor circular A = π.r.α 60 TEOREMA DE THALES Feixes de retas paralelas cortadas por retas transversais formam segmentos proporcionais. 60

61 4 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são semelhantes quando é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que os ângulos correspondentes sejam dois a dois congruentes e os lados homólogos proporcionais. Essa é a definição de triângulos semelhantes. Ela impõe duas condições para existir a semelhança: ângulos correspondentes dois a dois congruentes; lados homólogos proporcionais. Entretanto, se uma dessas condições ocorre, então a outra automaticamente também se verifica. Exemplo 1: O triângulo escaleno de lados medindo 7 cm, 8 cm e 9 cm é semelhante ao triângulo, também escaleno, de lados com medidas 14 cm, 16 cm e 18cm. Basta verificar a proporcionalidade entre os lados: 7 14 = 8 16 = 9 18 = K Onde K é a razão de semelhança entre os dois triângulos. Implícita está a congruência entre os ângulos correspondentes, embora nem conheçamos os seus valores. Porém, se um triângulo apresenta como medidas de seus ângulos 50, 60 e 70, ele é semelhante a todos os triângulos de ângulos congruentes a esses, independentemente de conhecermos as medidas de seus lados. Podemos garantir que os lados homólogos desses triângulos são proporcionais. Exemplo : Os triângulos GHI e JKL apresentados são semelhantes. L 6 K 1 8 G 6 H 4 I J De fato, os lados dos triângulos são proporcionais: k 1 (razões de semelhança) Além disso, Ĝ Lˆ Ĥ Kˆ e Î Ĵ, embora não conheçamos as medidas desses ângulos. 61

62 5 TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA A bissetriz interna de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em dois segmentos respectivamente proporcionais aos outros dois lados desse triângulo. 6 TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA A bissetriz externa de um ângulo de um triângulo secciona o prolongamento do lado oposto e o divide em dois segmentos respectivamente proporcionais aos outros dois lados desse triângulo. 6

63 7 TRIÂNGULO RETÂNGULO 6

64 8 TEOREMA DE PITÁGORAS 8.1 Aplicações ) Diagonal do quadrado 64

65 8.1. ) Altura do triângulo equilátero 8.1. Exercícios de fixação ) Pedro está construindo uma fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe que a soma de x com y é 4 e que as retas r, s e t são paralelas. A diferença x - y é: a). b) 4. c) 6. d) 10. e) 1. 65