TEORIA MATEMÁTICA BÁSICA

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1 TEORIA MATEMÁTICA BÁSICA CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade. DIVISIBILIDADE POR 2 Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par. Exemplos: 1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par. DIVISIBILIDADE POR 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplo: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3. DIVISIBILIDADE POR 4 Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Exemplo: 1800 é divisível por 4, pois termina em é divisível por 4, pois 16 é divisível por é divisível por 4, pois 24 é divisível por não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4. DIVISIBILIDADE POR 5 Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. Exemplos: 1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5. 1

2 DIVISIBILIDADE POR 6 Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. Exemplos: 1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6). 2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12). 3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3). 4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2). DIVISIBILIDADE POR 8 Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Exemplos: 1) 7000 é divisível por 8, pois termina em ) é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8. 3) é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 4) não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8. DIVISIBILIDADE POR 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9. Exemplo: 2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a =18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9. DIVISIBILIDADE POR 10 Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0. Exemplos: 1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0. 2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0. DIVISIBILIDADE POR 11 Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11. O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente. 2

3 Exemplos: 1) Si (soma das ordens ímpares) = = 22 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 Si-Sp = = 11 Como 11 é divisível por 11, então o número é divisível por 11. 2) Si (soma das ordens ímpares) = = 10 Sp (soma das ordens pares) = = 21 Si-Sp = Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: = 21. Então temos a subtração = 0. Como zero é divisível por 11, o número é divisível por 11. DIVISIBILIDADE POR 12 Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4. Exemplos: 1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20). 2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4). 3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3). DIVISIBILIDADE POR 15 Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5. Exemplos: 1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5). 2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5). 3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3). DIVISIBILIDADE POR 25 Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75. Exemplos: 200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25. 3

4 NÚMEROS PRIMOS Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo. Exemplos: 1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo. Observações: => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. => 2 é o único número primo que é par. Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto. Reconhecimento de um número primo Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos: => ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo, => ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo. Exemplos: 1) O número 161: não é par, portanto não é divisível por 2; = 8, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo. 2) O número 113: não é par, portanto não é divisível por 2; = 5, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7). por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo. 4

5 DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. Decomposição do número 24 num produto: 24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2 3 x 3 No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos. Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 2 3 x 3. De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos. Regra prática para a fatoração Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo: 1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo; 2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1. A figura ao lado mostra a fatoração do número 630. Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x = 2 x 3 2 x 5 x 7. DETERMINAÇÃO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90: 5

6 1º) decompomos o número em fatores primos; 2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número; 3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo; 4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos. Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. MÁXIMO DIVISOR COMUM Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6. O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c. Alguns exemplos: mdc (6,12) = 6 mdc (12,20) = 4 mdc (20,24) = 4 mdc (12,20,24) = 4 mdc (6,12,15) = 3 6

7 CÁLCULO DO M.D.C. Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos. 1) decompomos os números em fatores primos; 2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns. Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 36 = 2 x 2 x 3 x 3 90 = 2 x 3 x 3 x 5 O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 Portanto m.d.c.(36,90) = 18. Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 36 = 2 2 x = 2 x 3 2 x5 Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 3 2 = 18. O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente. CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30). Regra prática: 1º) dividimos o número maior pelo número menor; 48 / 30 = 1 (com resto 18) 2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente; 30 / 18 = 1 (com resto 12) 18 / 12 = 1 (com resto 6) 12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata) 3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6. 7

8 NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1. Exemplos: Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1. Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7. PROPRIEDADE DO M.D.C. Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe: 6 = 2 x 3 18 = 2 x = 2 x 3 x 5 Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6 Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro. Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais. Exemplo: os múltiplos de 7 são: 7x0, 7x1, 7x2, 7x3, 7x4,... = 0, 7, 14, 21, 28,... Observações importantes: 1) Um número tem infinitos múltiplos 2) Zero é múltiplo de qualquer número natural 8

9 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.) Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6. O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c. CÁLCULO DO M.M.C. Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30: 1º) decompomos os números em fatores primos 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns: 12 = 2 x 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5 Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 12 = 2 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 2 2 x 3 x 5 O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente. 9

10 PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60) Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 PROPRIEDADE DO M.M.C. Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe: m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30 Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números dados. Considerando os números 4 e 15, que são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe: m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números. 10

11 TEORIA DOS CONJUNTOS Símbolos : pertence : existe : não pertence : não existe : está contido : para todo (ou qualquer que seja) : não está contido : conjunto vazio : contém N: conjunto dos números naturais : não contém Z : conjunto dos números inteiros / : tal que Q: conjunto dos números racionais : implica que Q'= I: conjunto dos números irracionais : se, e somente se R: conjunto dos números reais Símbolos das operações : A intersecção B : A união B a - b: diferença de A com B a < b: a menor que b : a menor ou igual a b a > b: a maior que b : a maior ou igual a b : a e b : a ou b 11

12 CONCEITOS DE CONJUNTOS Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou. Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja A B. Observações: Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ; O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por, formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja: Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por, formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja: Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja 12

13 Produto Cartesiano: dados os conjuntos A e B, chama-se peoduto cartesiano A com B, ao conjunto AxB, formado por todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B, ou seja Número de subconjuntos de um conjunto: se um conjunto A possuir n elementos, então existirão 2 n subconjuntos de A. PORCENTAGEM É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. RAZÃO CENTESIMAL Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos: Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. 13

14 Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Exemplos: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Calcular 10% de 300. Calcular 25% de 200kg. Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. 14

15 Retângulo ÁREA DAS FIGURAS PLANAS Quadrado Triângulo Paralelogramo Trapézio Losango Triângulo equilátero Leitura das Medidas de Comprimento MEDIDAS DE COMPRIMENTO A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m. 15

16 Seqüência prática 1º) Escrever o quadro de unidades: km hm dam m dm cm mm 2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva. km hm dam m dm cm mm 1 5, º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma. Outros exemplos: 15 metros e 48 milímetros 6,07 km lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros" 82,107 dam lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros". 0,003 m lê-se "três milímetros". TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES Observe as seguintes transformações: Transforme 16,584hm em m. km hm dam m dm cm mm Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10). 16,584 x 100 = 1.658,4 Ou seja: 16,584hm = 1.658,4m 16

17 MEDIDAS DE SUPERFÍCIE O metro quadrado (m 2 ) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado. Unidade Múltiplos Submúltiplos Fundamental quilômetros hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm m m 2 100m 2 1m 2 0,01m 2 0,0001m 2 0,000001m 2 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior: Observe as seguintes transformações: transformar 2,36 m 2 em mm 2. km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 Para transformar m 2 em mm 2 (três posições à direita) devemos multiplicar por (100x100x100). 2,36 x = mm 2 transformar 580,2 dam 2 em km 2. km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 17

18 Para transformar dam 2 em km 2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por (100x100). 580,2 : = 0,05802 km 2 Medidas Agrárias As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca). Unidade agrária Equivalência de valor hectare (ha) are (a) centiare (ca) 100a 1a 0,01a Lembre-se:1 ha = 1hm 2 1a = 1 dam 2 1ca = 1m 2 MEDIDAS DE VOLUME Introdução Freqüentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume. Metro cúbico A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m 3 ) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta. Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico Múltiplos Unidade Fundament al Submúltiplos quilômetro cúbico hectômetro cúbico decâmetr o cúbico metro cúbico decímetr o cúbico centímetro cúbico milímetro cúbico km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 18

19 TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Observe a seguinte transformação: transformar 2,45 m 3 para dm 3. km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 Para transformar m 3 em dm 3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por ,45 x = dm 3 MEDIDAS DE CAPACIDADE A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente. A unidade fundamental de capacidade chama-se litro. Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta. 1l = 1dm 3 Múltiplos MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO LITRO Unidade Fundament al Submúltiplos quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro kl hl dal l dl cl ml 1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Relações 1l = 1dm 3 1ml = 1cm 3 19

20 1kl = 1m 3 TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Observe a seguinte transformação: transformar 3,19 l para ml. kl hl dal l dl cl ml Para transformar l para ml (três posições à direita) devemos multiplicar por (10x10x10). 3,19 x = ml MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES A média aritmética simples também é conhecida apenas por média. É a medida de posição mais utilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está tão presente em nosso dia-adia que qualquer pessoa entende seu significado e a utiliza com frequência. A média de um conjunto de valores numéricos é calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultado pelo número de elementos somados, que é igual ao número de elementos do conjunto, ou seja, a média de n números é sua soma dividida por n. MÉDIA PONDERADA Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a mesma importância ou o mesmo peso. Dizemos então que elas têm o mesmo peso relativo. No entanto, existem casos onde as ocorrências têm importância relativa diferente. Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de média chama-se média aritmética ponderada. Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor do conjunto por seu "peso", isto é, sua importância relativa. 20

21 DEFINIÇÃO DE MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA: A média aritmética ponderada p de um conjunto de números x 1, x 2, x 3,..., x n cuja importância relativa ("peso") é respectivamente p 1, p 2, p 3,..., p n é calculada da seguinte maneira: p = EXEMPLO: Alcebíades participou de um concurso, onde foram realizadas provas de Português, Matemática, Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2, respectivamente. Sabendo que Alcebíades tirou 8,0 em Português, 7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em História, qual foi a média que ele obteve? p = Portanto a média de Alcebíades foi de 6,45. Catetos e Hipotenusa Razões trigonométricas Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos. Observe a figura: Hipotenusa: Catetos: e 21

22 Seno, Cosseno e Tangente Considere um triângulo retângulo BAC: Hipotenusa:, m( ) = a. Catetos:, m( ) = b. Ângulos:, e., m( ) = c. Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas: Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. Assim: Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa. Assim: 22

23 Tangente RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo. Assim: 23

24 Exemplo: Observações: 1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno deste ângulo e o seu cosseno. Assim: 2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo. 3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos menores que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa. 24

25 As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º Resumindo x sen x cos x tg x 30º 45º 60º Equações de 2º grau Definições Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: ax 2 + bx + c = 0; a, b, c IR e Exemplo: x 2-5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. 6x 2 - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1. 7x 2 - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0. x 2-36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36. Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes. a é sempre o coeficiente de x²; b é sempre o coeficiente de x, c é o coeficiente ou termo independente. 25

26 Equação completas e Incompletas Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos: x² - 9x + 20 = 0 e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas. Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos: x² - 36 = 0 (b = 0) x² - 10x = 0 (c = 0) 4x² = 0 (b = c = 0) Raízes de uma equação do 2º grau Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes. Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira. O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução. Exemplos: Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação x² - x - 2 = 0? Solução Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras. Para x = -1 Para x = 0 Para x = 1 Para x = 2 Logo, -1 e 2 são raízes da equação. (-1)² - (-1) - 2 = = 0 0 = 0 0² = = 0-2 = 0 1² = = 0-2 = 0 2² = = 0 0 = 0 (V) (F) (F) (V) 26

27 Resolução de equações incompletas Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade. Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais: 1ª Propriedade: 2ª Propriedade: 1º Caso: Equação do tipo. Exemplo: Determine as raízes da equação, sendo. Solução Inicialmente, colocamos x em evidência: Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim: Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade: De modo geral, a equação do tipo tem para soluções e. 2º Caso: Equação do tipo Exemplos: Determine as raízes da equação, sendo U = IR. Solução 27

28 De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um número positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo. Resolução de equações completas Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara. A partir da equação, em que a, b, c IR e, desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva). 1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a. 2º passo: passar 4ac par o 2º membro. 3º passo: adicionar aos dois membros. 4º passo: fatorar o 1º elemento. 5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros. 6º passo: passar b para o 2º membro. 7º passo: dividir os dois membros por. 28

29 Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau: Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim: Exemplos: resolução a equação: Temos 29

30 Resumindo Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos: Para Para Para, a equação tem duas raízes reais diferentes., a equação tem duas raízes reais iguais., a equação não tem raízes reais. 30

31 NOÇÕES DE LÓGICA SENTENÇA OU PROPOSIÇÃO Sentença ou proposição é um conjunto de palavras ou símbolos que exprimem uma idéia. Exemplos: a) O elefante é um mamífero b) As árvores falam. c) Há infinitos números primos. Nosso interesse irá se concentrar nas proposições que podem assumir apenas dois valores lógicos: verdadeiro ou falso. MODIFICADOR Uma proposição pode ser formada a partir de outra, pelo uso do modificador não. Ao acrescentar o modificador não a uma proposição obtemos a sua negação. Indicando uma proposição por p, sua negação será representada por ~ p, que se lê: não p. Exemplos: a) p: Isabel tem olhos azuis. ~ p: Isabel NÃO tem olhos azuis. b) q: dois é um número par ~ q: dois NÃO é um número par. Se uma proposição é verdadeira, sua negação será falsa. DA mesma forma, se uma proposição é falsa, sua negação será verdadeira. Temos, então, a seguinte tabela verdade: p V F ~ p F V 31

32 Exemplo: a) p: o gato é um animal (V) ~ p : o gato não é um animal (F) b) q: três não é um número ímpar (F) ~ q: três é um número ímpar (V) É fácil observar que, em qualquer caso: ~ (~ p) = p CONECTIVOS Conectivos são palavras usadas para formar uma proposição a partir de outra. Os principais conectivos são: e, ou, se... então, se e somente se. Exemplos de proposições formadas a partir de conectivos: a) dez é um número par e futebol é um esporte. b) Se hoje é Domingo então amanhã é quarta-feira. Denomina-se proposição simples ou atômica a toda proposição que não contenha nenhuma outra proposição, isto é, que não tenha nenhum conectivo. Ex.: hoje é feriado. Denomina-se proposição composta ou molecular à proposição formada pela combinação de duas ou mais proposições, isto é, que contenha ao menos um conectivo. Ex.: a laranja é uma fruta ou os leões são mansos. Sejam: P: a água do mar é salgada. Q: todo pássaro tem quatro pernas O CONECTIVO E ( /\ ) A proposição p /\ q será: a água do mar é salgada e todo pássaro tem quatro pernas. À proposição p /\ q dá-se o nome de conjunção. A conjunção p /\ q somente será verdadeira quando p e q forem verdadeiras. 32

33 Tem-se, então, a seguinte tabela - verdade: p q p /\ q V V V V F F F V F F V F Sejam: p: Raquel gosta de praia. q: José é pintor. O CONECTIVO OU ( \/ ) A proposição p \/ q será: Raquel gosta de praia ou José é pintor. À proposição p \/ q dá-se o nome de disjunção. A disjunção p \/ q somente será falsa quando ambas as proposições forem falsas. A tabela-verdade de uma disjunção é: p q p \/ q V V V V F V F V V F F F Sejam: p: hoje é Sábado. q: amanhã irei à praia. O CONECTIVO SE... ENTÃO ( ) A proposição p A proposição p q será: se hoje é Sábado então amanhã irei à praia. q é denominada condicional ou subcondicional. Vejamos o seguinte exemplo: José diz: se Sábado chover então ficarei estudando. 33

34 Considere, agora as seguintes situações e vejamos se José cumpriu sua palavra: a) Sábado choveu e José ficou estudando. José cumpriu sua palavra. b) Sábado choveu e José não ficou estudando. José não cumpriu sua palavra. c) Sábado não choveu e José ficou estudando. José cumpriu sua palavra, pois não disse o que faria caso não chovesse, o que significa que poderia ou não ficar estudando. d) Sábado não choveu e José não ficou estudando. José também cumpriu sua palavra, pelos mesmos motivos explicados na letra c. É fácil observar que a proposição p falsa. q somente será falsa quando apenas q for Sua tabela-verdade é: p q p q V V V V F F F V V F F V O CONECTIVO SE E SOMENTE SE ( ) Sejam: P: a lua é um satélite. Q: a Terra é um planeta. A proposição p q será: a lua é um satélite se e somente se a Terra é um planeta. A proposição p q recebe o nome de bicondicional ou bijunção. Tomemos o exemplo: Paulo diz: sairei de casa se e somente se o Palmeiras ganhar. Considere agora as situações seguintes: a) O Palmeiras ganhou e Paulo saiu de casa. Paulo cumpriu sua palavra. 34

35 b) O Palmeiras ganhou e Paulo não saiu de casa. Paulo não cumpriu sua palavra. c) O Palmeiras não ganhou e Paulo saiu de casa. Paulo não cumpriu sua palavra. d) O Palmeiras não ganhou e Paulo não saiu de casa. Paulo cumpriu sua palavra. A tabela-verdade de p q é: p q p q V V V V F F F V F F F V TAUTOLOGIA Denomina-se tautologia à proposição que é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a integram. Exemplo: José diz: hoje é Domingo ou hoje não é Domingo Observe que José está sempre dizendo a verdade, não importa que dia seja hoje. Em nosso exemplo, temos a seguinte tautologia: p \/ ( ~ p), cuja tabela-verdade é: p ~ p p \/ ( ~ p ) V F V F V V CONTRADIÇÃO Denomina-se contradição à proposição que é sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a integram. Exemplo: hoje é Domingo e hoje não é Domingo. 35

36 Em nosso exemplo, temos a seguinte contradição: p /\ ( ~ p ), cuja tabela-verdade é: p ~ p p /\ ( ~ p ) V F F F V F EXERCÍCIOS 1) Três irmãos João, Eduardo e Ricardo jogavam futebol quando, em dado momento quebraram a vidraça da sala de sua mãe. Furiosa a mãe perguntou quem foi o responsável. Somente um dos três garotos dizia a verdade, e a mãe sabia que Eduardo estava mentindo. Então: a) Ricardo, além de mentir, quebrou a vidraça. b) João mentiu, mas não quebrou a vidraça. c) Ricardo disse a verdade. d) Não foi Ricardo que quebrou a vidraça. e) Quem quebrou a vidraça foi Eduardo ou João. 2) Existem três bolas: A, B e C. Pintei uma de vermelho, uma de branco e outra de azul, não necessariamente nesta ordem. Somente uma das seguintes afirmações é verdadeira: A é vermelha B não é vermelha C não é azul Então: a) A é azul, B é branca, C é vermelha. b) A é azul, B é vermelha, C é branca. c) A é branca, B é azul, C é vermelha. d) A é branca, B é vermelha, C é azul. e) A é vermelha, B é azul, C é branca. 36

37 3) Recebi um cartão onde estavam impressas 4 informações: Neste cartão exatamente uma sentença é falsa. Neste cartão exatamente duas sentenças são falsas. Neste cartão exatamente três sentenças são falsas. Neste cartão exatamente quatro sentenças são falsas. Quantas dessas afirmações são falsas? 4) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora. Raul não briga com Carla. Logo: a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória. e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória. 5) Três irmãs Ana, Maria e Cláudia foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestia azul, a outra branco, e a terceira preto. Chegando à festa, o anfitrião pergunto quem era cada uma delas. A de azul respondeu: Ana é a que está de branco. A de branco falou: Eu sou Maria. E a de preto disse: Claudia é quem está de branco. Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade, que Maria às vezes diz verdade, e que Cláudia nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cláudia eram, respectivamente: a) preto, branco, azul b) preto, azul, branco c) azul, preto, branco d) azul, branco, preto e) branco, azul, preto 6) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então: c) é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade. d) Carlos e João são mais moços do que Pedro. 37

38 e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não têm a mesma idade. 7) Toda criança é feliz. Algumas pessoas que usam óculos são infelizes. Logo: a) as pessoas que não usam óculos são felizes. b) Algumas crianças que usam óculos são infelizes. c) Todas as crianças que usam óculos são felizes. d) Nenhuma criança usa óculos. e) Todas as alternativas anteriores estão corretas. ATENÇÃO: nas questões abaixo envolvem seqüências de letras, utilize o alfabeto oficial que NÃO inclui as letras K, W e Y. 1) Complete a série: B D G L Q... (A) R (B) T (C) V (D) X (E) Z 2) A D F I : C F H... (A) I (B) J (C) L (D) N (E) P 3) Relacione as séries que possuem a mesma seqüência lógica e assinale a opção que contém a numeração correta> (1) A F B E ( ) H N L J (2) B G E D ( ) L P N L (3) L H E B ( ) H N I M (4) G L I G ( ) U R O L (A) (B) (C) (D) (E) ) A G E C = G N L I D J H F... (A) M S O Q (B) J M O Q (C) J Q P L (D) J Q O M (E) G O M J 38

39 5) (A) 9 (B) 36 (C) 42 (D) 48 (E) 64 6) B C F H M O O F C A C D F O R A D G I Q V I D D F H I N O C E H L R T... B D E L S T (A) T E C (B) E L T (C) T L (D) L E (E) T L E 7) 1 ; 16 ; 25 ; 64 ; (A) 82 (B) 81 (C) (D) 99 (E) ) Considerando as afirmativas abaixo, marque a única opção logicamente possível: I. Assinale A, e E estiver certa. II. Assinale a letra C, se B for incorreta. III. A letra E será o gabarito, se D for verdadeira. IV. Se D estiver correta, B também estará. 39

40 (A) (B) (C) (D) (E) 9) (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9 10) Assinale a opção que contém a sequência correta das quatro bolas, de acordo com as afirmativas abaixo: I- A bola amarela está depois da branca. II- A bola azul está antes da verde. III- A bola que está imediatamente após a azul é maior do que a que está antes dela. IV- A bola verde é a menor de todas. (A) Branca, amarela, azul e verde. (B) Branca, azul, amarela e verde. (C) Branca, azul, verde e amarela. (D) Azul, branca, amarela e verde. (E) Azul, branca, verde e amarela. 11) + + = = = 1 x x =... (A) 160 (B) 135 (C) 120 (D) 108 (E)

41 12) Se considerarmos que cada valor expresso nos círculo representa a soma dos números que estão nos 2 vértices que delimitam o respectivo lado do triângulo, a soma dos valores correspondentes aos vértices deste triângulo será igual a: (A) 21 (B) 25 (C) 30 (D) 35 (E) 40 y 14 x z 13) Os carros de Artur, Bernardo e Cesar são, não necessariamente nesta ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde, e o outro é azul. O carro de Artur é cinza; o carro de Cesar é o Santana; e o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília. As cores da Brasília, da Parati e do Santana são, respectivamente; a) cinza, verde e azul b) azul, cinza e verde c) azul, cinza e verde d) verde, azul e cinza 14) Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações: A loura: "Não vou à França nem à Espanha". A morena: "Meu nome não é Elza nem Sara". A ruiva: "Nem eu nem Elza vamos à França". O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que: a) A loura é Sara e vai à Espanha. b) A ruiva é Sara e vai à França. c) A ruiva é Bete e vai à Espanha. d) A morena é Bete e vai à Espanha. e) A loura é Elza e vai à Alemanha. 41