FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS6

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1 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS6 Gil d Cost Mrques Fundmentos de Mtemátic I 6. Potênci de epoente rel 6.2 Funções inverss 6.3 Função eponencil 6.4 Função logrítmic 6.5 Função logrítmic como função invers 6.6 O Número de Npier (o número e) 6.7 Curt Históri do número e e dos Logritmos Neperinos Licencitur em Ciêncis USP/ Univesp

2 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo Potênci de epoente rel Os rqueólogos logrrm êito em encontrr cerc de meio milhão de tábuls de rgil n região d Mesopotâmi. Por meio dels os pesquisdores descobrirm que civilizção, que li hbitou em tempos tão remotos qunto 2000 nos ntes de Cristo, já tinh conhecimento d operção de potencição. De fto, lgums tábuls contêm tbels que eibem vlores de n pr n de té 0 e pr vlores de reltivmente grndes (té = 225). Podemos generlizr operção definid em Funções Polinomiis, pr o cso d potênci n do número rel, com n, representd por n, considerndo gor epoente um número rel qulquer. Em primeiro lugr, sendo um número rel não nulo e z um número inteiro qulquer, se z 0, z é potênci definid em Funções Polinomiis se z < 0, então z > 0 e definimos z = /( z ) Convém notr que, pr z =, estmos definindo, em 6., o número inverso de. Sendo gor um número rel não nulo e p/q um número rcionl, com p e q inteiros não nulos, definimos 6. p q q = = p q p 6.2 A eistênci de p/q e vlidde de 6.2 irão depender do sinl de em combinção com o fto de p e q serem pres ou ímpres. Assim, pr z = ½, 2 = 6.3 só eiste se 0. Estmos, portnto, mplindo o conceito de potencição de um número, fim de incluir potêncis de números reis. Até o presente momento definimos potêncis com epoente rcionl. Adinte, definiremos potêncis de epoente rel, como por eemplo 2 2 ou 3 π. Fundmentos de Mtemátic I

3 26 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo A etensão d operção de potencição té qui estbelecid permite-nos introduzir, como já fizemos pr os números inteiros e positivos, funções de epoente rcionl, como por eemplo função f = cujo domínio é o conjunto dos números reis não negtivos. Podemos construir um tbel, tribuindo vlores pr vriável independente e determinndo os correspondentes vlores d vriável dependente: Tbel 6.: Vlores d função riz qudrd. = 0 f (0) = 0 = f () = = 4 f (4) = 2 = 9 f (9) = 3 = 6 f (6) = 4 A Figur 6. present os gráficos ds funções f() = e g() =. b Figur 6.: () gráfico d função f() = e (b) gráfico d função g() =. 6 Funções Eponenciis e Logrítmics

4 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo A Figur 6.2 present os gráficos ds funções f() = / e g() = /. 27 b Figur 6.2: () Gráfico d função f() = / e (b) gráfico d função g() = /. 6.2 Funções inverss Funções de epoente rel podem ser utilizds pr ilustrr o conceito de função invers de um form reltivmente simples. Pr ilustrr isso, consideremos função f () = z. De modo gerl, respeitds s condições de domínio, el tem como função invers função cujo epoente n vriável independente é o inverso do epoente d função dd, isto é: f z z =, De fto, pode-se fcilmente verificr que Assim, por eemplo, s funções f () = 2 e g() = /2 são funções inverss um d outr, respeitds s condições de domínio. A função f () = tem invers, que coincide com el mesm, isto é f () =. De fto, f f ( ) = f( f ( )) = f( ) =. z z z z z f f f = = = = 6.6 Fundmentos de Mtemátic I

5 28 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo Anlogmente, função f() = / tem invers que coincide com el mesm, isto é f () = /. De fto, f f ( ) = f( f ( )) = f = =. É importnte observr que funções inverss um d outr possuem gráficos que são simétricos em relção à ret y =. Isso se deve o fto de compost de dus funções inverss um d outr ser função identidde. Como eemplo, Figur 6.3 present os gráficos ds funções f() = 3 e g() = 3 no mesmo sistem de coordends, bem como ret y =. Figur 6.3: Gráficos ds funções f() = 3 e g() = Função eponencil Num ds tábuls do Louvre, encontr-se um problem de juros compostos. Nesse problem, formuldo em cerc de 700.C., procur-se determinr por qunto tempo se deve plicr um qunti, dmitindo-se um rentbilidde de 20% o no, pr que el dobre de vlor. Vem, portnto, tlvez d Bbilôni, o primeiro eemplo de uso d função eponencil. A função eponencil de bse, onde > 0 e, é função f () definid por: f ( ) = com > 0 e 6.7 Pr vlores de >, ess função é sempre crescente. Pr vlores de 0 < <, no entnto, el é um função decrescente. Consideremos o cso d função eponencil de bse 2. Nesse cso, escrevemos f ( ) = Funções Eponenciis e Logrítmics

6 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo 29 Pr ilustrr o conceito de função eponencil, recorremos o eemplo, nrrdo no livro de Mlb Thn, do Mrjá, que fim de sldr um dívid concordou em fzer o pgmento Sess (um dos seus súditos) d seguinte mneir: no primeiro no, o súdito receberi pens um grão de trigo. No segundo no, ele receberi míseros dois grãos de trigo, duplicndo dí em dinte, cd no, o número de grãos té últim cs do tbuleiro de drez. Assim, o número de grãos N seri ddo em função do número de nos n e epresso pel fórmul Figur 6.4: Ilustrção d Recompens de Sess, um conto de Mlb Thn, do livro Lends do oásis. N = n O súdito elborou Tbel 6.2, bsed em uns poucos nos: Tbel 6.2: Número de grãos cd no, té o sétimo no. Número de nos Número de grãos de trigo Pr Pensr! Quntos grãos serim depois de 20 nos? E depois de 40? Depois de 8 nos, deveri depositr n últim cs d primeir fileir do tbuleiro pens 256 grãos. Um bgtel, portnto. Não entendendo de funções eponenciis, o soberno ceitou, pr su desgrç, ess form de pgmento. Figur 6.5: Gráficos ds funções eponenciis f() = 2 e g() = (/2) = 2. Fundmentos de Mtemátic I

7 30 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo A função eponencil mis importnte entre tods, do ponto de vist científico, é função eponencil que tem como bse o número e. Esse número, ssim como o número π, é um dos números mis importntes ds ciêncis. Ele será discutido no finl deste teto. Definimos função eponencil de bse e como função =. f e 6.0 Mis usul n ciênci é função eponencil dependente de dois prâmetros e b, definid por f e e b b = = 6. que tmbém pode precer escrit d seguinte mneir: f Ae b 2 =. 6.2 Alguns gráficos ds funções eponenciis envolvendo o número e são presentdos n Figur 6.6. Figur 6.6: Gráficos de funções eponenciis envolvendo o número e. 6 Funções Eponenciis e Logrítmics

8 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo 3 Um bom eemplo d relevânci d função eponencil de bse e diz respeito o decimento de substâncis rdiotivs. Nesse cso, o número de átomos N que compõem um determind substânci vri com o tempo (t ) de cordo com epressão N= Ne λt 0, 6.3 onde N 0 é o número de átomos presentes no instnte de tempo t = 0 e λ é um constnte crcterístic do mteril, que recebe o nome de constnte rdiotiv. Definimos ind funções eponenciis especiis considerndo combinções de funções eponenciis. Por eemplo, definimos s funções: seno hiperbólico e cosseno hiperbólico como quels dds pels combinções: e e e + e senh = e cosh = Função logrítmic A descobert dos logritmos foi motivd pel busc de simplificções em epressões lgébrics ou ritmétics comples. Com os logritmos podemos reduzir multiplicções, divisões, potêncis e rízes epressões muito mis simples, contendo pens soms (ou diferençs) de números ou multiplicções (ou divisões) mis simples. É o cso, por eemplo, d determinção do número c, que result d seguinte epressão: c = 5 7,2 4 ( 4) que, sem logritmos, é complicd... Antes d invenção do logritmo de um número, tis operções erm muito trblhoss. Er époc ds grndes nvegções e hvi, então, necessidde de se trblhr com números muito grndes sem, evidentemente, o uílio de qulquer instrumento de cálculo. Fundmentos de Mtemátic I

9 32 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo Ao crir os logritmos, Npier encontrou um form de simplificr os cálculos. O logritmo, gor designdo por, de um número positivo, n bse b, b > 0 e b, é o epoente, d bse b, necessário pr que se obtenh o número. Ou sej, b =. 6.6 Figur 6.7: John Npier (550-67), escocês, foi teólogo e mtemático. Assim, levndo-se em cont definição, representmos esse número d seguinte mneir: = log b =, onde b > 0 e b, e > 0. b 6.7 Vle observr que bse b do logritmo é mesm bse d eponencil ssocid e que = log = log b b b 6.8 O rciocínio de John Npier pr inventr o logritmo de um número bsev-se n procur de um form de ssocir os números de um progressão geométric bb b b b 2 3 m n,,,...,,...,, os números d progressão ritmétic,2,3,..., m,..., n, Ess ssocição é tl que o produto b m.b n de dois termos d progressão geométric está ssocido à som de dois termos m + n d progressão ritmétic. Ess é simplificção introduzid por Npier qundo do cálculo envolvendo produtos de dois números. Assim, ddos dois números quisquer e 2, tis que 2 = b = b Funções Eponenciis e Logrítmics

10 lembrndo que Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo 33 = b b = b então, fim de encontrr o produto 2, sommos os epoentes do produto ds potêncis de mesm bse b, pr em seguid encontrr o número inicilmente procurdo. Levndo-se em cont, então, propriedde ds potêncis de mesm bse cim, concluímos que o logritmo do produto de dois números é igul à som dos logritmos desses números, isto é, log = log + log = + b 2 b b É usul doção de um convenção medinte qul escrevemos os logritmos n bse 0 suprimindo referênci ess bse. Assim, escrevemos: ( ) log = log Assim, podemos escrever, por eemplo, log( 0.000) = log( 0) + log( 000) = + 3 = A epressão cim constitui um eemplo pr propriedde gerl, que pode ser demonstrd por indução finit sobre o número p: p log b = plog b E portnto, por eemplo, no cso do logritmo de bse 0, podemos escrever: 0 p log 0 = plog0 = p, 6.27 um vez que log0 =. Fundmentos de Mtemátic I

11 34 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo Assim, pr quisquer dois elementos d progressão geométric menciond nteriormente, Npier encontrou o resultdo: n m n+ m log = log = m+ n Observe que, d definição de logritmo, temos logb = qulquer que sej bse b, b > 0 e b. E que: log = log b b 6.30 sempre que > 0. Briggs, contemporâneo de Npier, elborou s tbels de logritmos que mis form difundids. As tbels de logritmos hoje em di mis utilizds são quels n bse 0, lém dquels n bse e, mis úteis ns Ciêncis. A título de eemplo, consideremos epressão 6.5: c = 5 7,2 4 ( 4) Pr clculr o número c, tommos o logritmo, por eemplo, n bse 0, nos dois membros d iguldde. Encontrmos então: log0 c = log 3 0 7,2 + log0 4 log A solução gor envolve o recurso tbels de logritmos. Npier pssou cerc de 20 nos desenvolvendo os logritmos, bem como escrevendo tbels pr os seus logritmos, tendo percebido que, finl, muits vezes, os problems envolvem o processo inverso, isto é, descobrir um número ddo o seu logritmo. 6 Funções Eponenciis e Logrítmics

12 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo Função logrítmic como função invers Definimos função logritmo de bse b como função: f ( ) = log b onde b > 0 e b 6.32 qul ssoci, um número rel positivo, o seu logritmo n bse b. O domínio d função logrítmic é o conjunto dos números reis estritmente positivos, isto é, +*. Muits vezes, ess função é definid como função invers d função eponencil. De fto, pode-se verificr que, se escrevermos função logrítmic como função invers d função g(), g = log b 6.33 onde então, = b g ( ) logb logb g g = g = b = N Figur 6.8 presentmos os gráficos ds funções g() = 2 e g () = log 2, que são inverss um d outr e, portnto, têm seus gráficos simétricos em relção à ret y =. Figur 6.8: Os gráficos d função eponencil e logrítmic de mesm bse 2. Fundmentos de Mtemátic I

13 36 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo Outros gráficos de funções logrítmics em diferentes bses, tods miores do que, são presentdos n Figur 6.9. É importnte ressltr que função logritmo ssume vlores negtivos qundo vriável independente ssume vlores pertencentes o intervlo ]0,[. Outros gráficos de funções logrítmics em diferentes bses, tods miores do que 0 e menores do que, são presentdos n Figur 6.0. É importnte ressltr que gor função logritmo ssume vlores positivos qundo vriável independente ssume vlores pertencentes o intervlo ]0,[. Figur 6.9: Gráficos típicos de funções logrítmics, de bses miores do que. Figur 6.0: Gráficos típicos de funções logrítmics, de bses miores do que 0 e menores do que. 6.6 O Número de Npier (o número e) Consideremos um número muito próimo de, que designremos por n. Consideremos o cso em que ele é um função de um número inteiro e positivo n, d seguinte mneir: n ( n) = + n 6.36 Vmos fzer um tbel (Tbel 6.3) tribuindo vlores pr n, e pr cd um deles determinmos o correspondente vlor de n. 6 Funções Eponenciis e Logrítmics

14 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo 37 Tbel 6.3: Vlores d função n n 0, 0 2,0 0 3,00 0 4, , Consideremos gor números definidos pel potencição, de epoente n, do número n, definido por: ( n ( n) ) n = + n n 6.37 Podemos gor crescentr um nov colun à tbel nterior, com resultdos evidentemente proimdos: Tbel 6.4: Vlores d função 6.37 pr diferentes vlores de n. n n (n (n)) n 0, 2, ,0 2, ,00 2, ,000 2, , O número e é definido por meio de um limite qundo o número n cresce indefinidmente, o que é epresso dizendo que n tende o infinito. Formlmente, escrevemos: e = lim + n n n 6.38 Fundmentos de Mtemátic I

15 38 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo 6.7 Curt Históri do número e e dos Logritmos Neperinos Com o intuito de resolver o problem presentdo no início d seção sobre logritmos ( seção 6.4), Npier fez um rciocínio interessnte. Considerou um solução em que o vlor de d progressão geométric diferisse pouco do cso trivil, no qul =. Pensou num progressão geométric de tl form que o número se diferencisse pouco do número. Escolheu = 0, , que pode ser escrito, num bo proimção, como: 0 7 = Em seguid, procurou escrever um número N, começndo pelos inteiros, de tl form que esse número pudesse ser escrito como o produto de um número grnde (0 7 ) vezes o número = 0, elevdo um epoente L resultndo um número qulquer, inclusive um número pequeno. Escreveu ssim: L N = 0 0 0, L 6.40 Percebeu ssim, grosso modo, que qulquer número poderi ser escrito em termos de um potênci de. Lembrmos que su primeir escolh foi tl que o vlor desse número é muito próimo de. Assim, números próimos de requerem um vlor de L pequeno. No entnto, à medid que nos fstmos do vlor, ess escolh nos lev vlores de L etremmente grndes em módulo. Considere, por eemplo, o vlor de L = 0 7. O número ele ssocido é o número e de Npier: e = + 0 2, Npier definiu L como o logritmo do número N. A escolh feit por Npier, do ftor 0 7, se deve à necessidde de evitr decimis. Observe que, dividindo-se tnto N qunto L pelo ftor já menciondo, obtemos, de 6.40, Funções Eponenciis e Logrítmics

16 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo L N = Donde obtemos um sistem de logritmos n bse /e, onde e é um número - o número de Npier, o qul pode ser identificdo como o ddo, proimdmente, por: 7 0 = 7 = + e ( 0 ) Npier descobriu, ssim, um número que, dentro de bo proimção, é ddo por 6.4. Su definição mis et envolve grndes números, como previsto por Npier. A melhor definição desse número, tmbém conhecido como número de Euler (que, posteriormente, o populrizou), é quel vist em e = lim + n n n 6.38 de onde decorre que = lim. e n + / n n 6.44 Definimos função logritmo nturl (ln) como função logritmo de bse e. Ou sej, = ln = log. f e 6.45 Su invers é função eponencil de bse e f ( ) = e 6.46 Figur 6.: Gráfico d função eponencil de bse e: f() = e e d função logrítmic de bse e: f () = ln no mesmo sistem de coordends. Os logritmos neperinos, queles inventdos por Npier, muits vezes são confundidos com os logritmos nturis, que estão definidos cim. A rigor, isso não é verdde, um vez que os Fundmentos de Mtemátic I

17 40 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Módulo logritmos originis de Npier têm mis ver com logritmos definidos n bse /e. Os logritmos neperinos são definidos por: Np (log ) log = 7 / e O nome logritmo foi cunhdo por Npier o procurr dr ele conotção de número d rzão, um vez que Logos em grego signific rzão. 6 Funções Eponenciis e Logrítmics