EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE TEORIA DOS GRAFOS - LISTA II. a) SOLUÇÃO

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE TEORIA DOS GRAFOS - LISTA II. a) SOLUÇÃO"

Ester Rodrigues Viveiros
7 Há anos
Visualizações:

1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE TEORIA DOS GRAFOS - LISTA II.) Escreva a matriz de adjacências dos grafos abaixo: a) b) c)

2 .) Desenhe os grafos correspondentes as matrizes de adjacência abaixo: a) Como a matriz é simétrica, o grafo correspon dente não é necessariamente direcionado. Apre- sentamos abaixo uma das soluções possíveis b) Como a matriz não é simétrica, o grafo cor respondente é necessariamente direcionado. Apresentamos abaixo uma das soluções pos- síveis..) Desenhe o grafo não-direcionado cuja matriz de adjacência na sua forma triangular infe- rior é dada por: A matriz na sua forma completa é dada por: Assim, uma das soluções possíveis é:

3 .) Descreva o grafo cuja matriz de adjacência é uma matriz identidade de ordem n? se i j Lembrando que: I n (a i j) n x n tal que : a i j o grafo em questão é forma- se i j do por n nós desconexos, com um laço em cada nó..) Descreva a matriz de adjacência de K n (grafo simples completo com n nós). Tomemos por exemplo K. Generalizando, podemos dizer que, a matriz de K n, é uma matriz quadrada de ordem n tal que: se i j (a i j) n x n tal que : a i j se i j.) Dada uma matriz de adjacência A de um grafo direcionado G, descreva o grafo representa do pela matriz A t (matriz transposta de A) Para ilustrar a resolução, vamos utilizar o seguinte grafo: cuja matriz de adjacência é: Observando agora que: corresponde ao grafo: t podemos concluir que o grafo correspondente a matriz de adjacência t ( matriz de adjacência transposta de um grafo G) pode ser obtido, invertendo as direções dos arcos de G.

4 .) Construa a lista de adjacências dos grafos abaixo: a) b) Observe que foram necessários, apenas, locais de armazenagem para a lista de adjacências. Já a matriz de adjacência iria exigir locais de armazenagem.

5 c).) Utilize o algorítmo de Welch-Powell para colorir os grafos abaixo e determine o seu número cromático. a) Algoritmo de Welch-Powell º PASSO (ordenar os vértices em ordem decrescente de grau): º PASSO (atribuir a cor C, no caso preta): nó º PASSO (atribuir a cor C, no caso vermelha): nó º PASSO (atribuir a cor C, no caso branca): nó º PASSO (atribuir a cor C, no caso amarela): nó º PASSO (atribuir a cor C, no caso azul): nó OBSERVAÇÕES IPORTANTES O teorema de Appel-Haken garante que todo grafo planar simples e conexo é -colorizável. Já o grafo em questão (K ) que como sabemos não é planar é -colorizável, e χ (K ) De forma geral: χ (K n ) n

6 b) ALGORÍTO: º PASSO: º PASSO (cor C, azul): nó º PASSO (cor C, amarela): nós e º PASSO (cor C, vermelha): nós e Assim o grafo é -colorizável e χ (G) c) ALGORÍTO: º PASSO: 8 9 º PASSO (cor vermelha): nós,, 8,, e 9 º PASSO (cor azul): nós,,,, e Assim o grafo é -colorizável e χ (G)

7 d) C B D A E F H G C A B D E ALGORÍTO: º PASSO: A B E F H D G C º PASSO (cor vermelha): nós A, D, C º PASSO (cor azul): nós B, E, G º PASSO (cor azul): nós F, H Assim o grafo é -colorizável e χ (G) F H G e) D C E B F A G H SOLUÇ ÃO D B C A E G F ALGORÍTO: º PASSO: B F A C E G D H º PASSO (cor vermelha): nós B, G º PASSO (cor amarela): nós F, C º PASSO (cor azul): nós A, D, H º PASSO (cor branca): nó E Assim o grafo é -colorizável e χ (G) H

8 Para os exercícios a seguir considere as seguintes definições: Um grafo G se diz atravessável (tem um caminho de Euler) quando apenas dois de seus nós tem grau ímpar. Os caminhos atravessáveis precisam começar em um nó ímpar e terminar no outro. Um grafo G se diz euleriano (tem um circuito de Euler) se todos os seus nós tem grau par. O circuito de Euler pode começar (e terminar) em qualquer nó..) Verifique se os grafos abaixo são atravessavéis ou eulerianos. No caso do grafo ser atravéssável identifique um caminho de Euler; No caso do grafo ser euleriano identifique um circuito de Euler. a) 8 O grafo em questão é atravessável, pois possui apenas dois nós ímpares: e. Assim ele pos sui um caminho de Euler, que pode ser: º caminho: 8 8 º caminho: Caminho de Euler: 8 8 b) 9 8 O grafo em questão é euleriano, pois não existem nós ímpares. Assim ele possui um circuito de Euler, que pode ser: º circuito: 9 8 º circuito: 9 9 Circuito de Euler:

9 c) A E B D C O grafo em questão é euleriano, pois não existem nós ímpares. Assim ele possui um circuito de Euler, que pode ser: º circuito: A B C D E A º circuito: C A D B E C Circuito de Euler: A B C A D B E C D E A d) A B F C E D Como existem mais do que dois nós ímpares (no caso seis, e lembre-se que o número de nós ímpares em um grafo é sempre par) o grafo em questão não é atravessável ( não existe um caminho de Euler ) nem euleriano ( não existe um circuito de Euler )..) Nos grafos a seguir aplique o algoritmo de Dijkstra. Forneça a cada passagem pelos laços WHILE e FOR os valores do conjunto IN bem como d(z) e s(z). Ao final da execução do algoritmo, escreva os nós do caminho mínimo bem como a distância total percorrida. a) Construa o caminho mínimo do nó para o nó, no seguinte grafo: 8 8 9

10 FASE DE INICIALIZAÇÃO IN { } 8 d(z) s(z) ª PASSAGE PELOS LAÇOS WHILE E FOR p ( menor d(z) ) IN {, } d () min (, + d(,) ) min (, + ) d () min (, + d(,) ) min (, + ) d () min (, + d(,) ) min (, + ) d () min (, + d(,) ) min (, + ) d () min (, + d(,) ) min (, + ) ( ) d (8) min (, + d(,8) ) min (, + ) ( ) 8 d(z) s(z) ª PASSAGE PELOS LAÇOS WHILE E FOR p (escolha arbitrária entre os nós e 8 com menor d(z) ) IN {,, } d () min (, + d(,) ) min (, + ) d () min (, + d(,) ) min (, + ) ( ) d () min (, + d(,) ) min (, + ) d () min (, + d(,) ) min (, + ) d (8) min (, + d(,8) ) min (, + ) 8 d s ª PASSAGE PELOS LAÇOS WHILE E FOR p 8 ( menor d(z) ) IN {,,, 8 } d () min (, + d(8,) ) min (, + ) d () min (, + d(8,) ) min (, + ) d () min (, + d(8,) ) min (, + ) ( ) d () min (, + d(8,) ) min (, + ) 8 d s 8

11 ª PASSAGE PELOS LAÇOS WHILE E FOR p ( escolha arbitrária entre os nós, e com menor d(z); entretanto, como a entrada do nó em IN encerra a execução do algoritmo, ele deve ser o escolhido). IN {,,, 8, } d () min (, + d(,) ) min (, + ) d () min (, + d(,) ) min (, + ) d () min (, + d(,) ) min (, + ) 8 d s 8 CAINHO ÍNIO Assim o caminho mínimo é: e a distância correspondente é:, s() 8, s(8), s() 8 d + + b) Construa o caminho mínimo do nó A para o nó E no seguinte grafo: E A B F C D FASE DE INICIALIZAÇÃO IN { A } A B C D E F d(z) s(z) A A A A A ª PASSAGE PELOS LAÇOS WH ILE E FOR p B ( menor d(z) ) IN { A, B } d (C) min (, + d(b,c) ) min (, +) ( ) d (D) min (, + d(b,d) ) min (, + ) d (E) min (, + d(b,e) ) min (, + ) d (F) min (, + d(b,f) ) m in (, + ) ( )

12 A B C D E F d(z) s(z) A B A A B ª PASSAGE PELOS LAÇOS WHILE E FOR p C ( escolha arbitrária entre os nós C e F com menor d(z) ) IN { A, B, C } d (D) min (, + d(c,d) ) min (, + ) ( ) d (E) min (, + d(c,e) ) min (, + ) ( ) d (F) min (, + d(c,f) ) min (, + ) A B C D E F d(z) s(z) A B C C B ª PASSAGE PELOS LAÇOS WHILE E FOR p F (menor d(z) ) IN { A, B, C, F } d (D) min (, + d(f,d) ) min (, + ) d (E) min (, + d(f,e) ) min (, + ) ( ) A B C D E F d(z) s(z) A B C F B ª PASSAGE PELOS LAÇOS WHILE E FOR p E (menor d(z) ) IN { A, B, C, F, E } d (D) min (, + d(e,d) ) min (, + ) A B C D E F d(z) s(z) A B C F B CAINHO ÍNIO Assim o caminho mínimo é: e a distância correspondente é: E, s(e) F, s(f) B, s(b) A A B F E d + +

13 c) Construa o caminho mínimo do nó para o n ó no segui nte grafo: FASE DE INICIALIZAÇÃO IN {} d(z) s(z) ª PASSAGE PELOS LAÇOS WHILE E FOR p ( escolha arbritária entre os nós e com menor d(z) ) IN {, } d () min (, + d(,) ) min (, +) ( ) d () min (, + d(,) ) min (, + ) d () min (, + d(,) ) min (, + ) d () min (, + d(,) ) min (, + ) d () min (, + d(,) ) min (, + ) d(z) s(z) ª PASSAGE PELOS LAÇOS WHILE E FOR p (menor d(z) ) IN {,, } d () min (, + d(,) ) min (, + ) d () min (, + d(,) ) min (, + ) d () min (, + d(,) ) min (, + ) (CUIDADO! : observe que há conexão do nó para o nó, mas não há conexão do nó para o nó ) d () min (, + d(,) ) min (, + ) ( ) d(z) s(z)

14 ª PASSAGE PELOS LAÇOS WHILE E FOR p (escolha arbitrária entre os nós e com o me nor d(z) ) IN {,,, } d () min (, + d(,) ) min (, + ) ( ) d () min (, + d(,) ) min (, + ) d () min (, + d(,) ) min (, + ) d(z) s(z) ª PASSAGE PELOS LAÇOS WHILE E FOR p (menor d(z) ) IN {,,,, } d () min (, + d(,) ) min (, + ) d () min (, + d(,) ) min (, + ) d(z) s(z) ª PASSAGE PELOS LAÇOS WHILE E FOR p (m enor d(z) ) IN {,,,,, } d () min (, + d(,) ) min (, + ) d(z) s( z ) ª PASSAGE PELOS LAÇOS WHILE E FOR p (menor d(z) ) IN {,,,,,, } d(z) s(z) CAINHO ÍNIO Assim o caminho mínimo é:, s(), s() e a distância correspondente é: d +

Documentos relacionados

Teoria dos grafos. Caminho euleriano e Hamiltoniano. Prof. Jesuliana N. Ulysses

Teoria dos grafos. Caminho euleriano e Hamiltoniano. Prof. Jesuliana N. Ulysses 1 7 Teoria dos grafos Caminho euleriano e Hamiltoniano Grafo Euleriano Grafo onde é possível achar um caminho fechado (ciclo), passando em cada aresta uma única vez Quais são os grafos de Euler? Teorema: