1 Funções do 2o grau. Uso exclusivo de Nome do Cliente - CPF: f (x) = ax2 + bx + c

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1 Definição Gráfico Forma canônica Máimo e mínimo Sinal da função quadrática Inequações do o grau Eercícios de fiação Eercícios de vestibular 1 Funções do o grau 1.1 Definição Definição Função do o grau. Se f : R R for dada por: com a, b, c R, a 6= 0, então diremos que f é uma função do o grau (ou quadrática). Eemplo 1.1 São eemplos de funções do segundo grau: (a) f () = a =, b = 4, c = 3 (b) f () = + 7 a = 1, b = 7, c = 0 1 (c) f () = + 1 a = 1, b = 0, c = (d) f () = a = 1, b = 0, c = 0 1. Gráfico Propriedade 1..1 Gráfico da função quadrática. O gráfico de uma função do o grau é uma curva denominada parábola.! Em Geometria Analítica, é possível provar o motivo pelo qual a curva de uma parábola ter o formato que será eposto nos eemplos a seguir. Eemplo 1. Construa o gráfico de f () = 3 + e g() = + 1. Usando-se a tabela de valores abaio, determinaremos pontos do gráfico de f e g. Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF: f () = a + b + c

2 Funções do o grau 6 = = ( 1) 3 ( 1) + = 6 0 = = 1 = = 0 = 3 + = 0 3 = = f = + 1 = ( ) + 1 = 3 1 = ( 1) + 1 = 0 0 = = 1 1 = = 0 = + 1 = g 1..1 Forma canônica A fim de demonstrar certas propriedades da função do o grau, tomamos uma outra epressão da sua forma geral conhecida como forma canônica: ( f () = a + b + c = a + b a + c ) a Sendo = b 4ac, temos: = a + b a + b }{{ 4a } quadrado perfeito 4a + c a b [ ( = a + b ) ] b a 4a + c a [ ( = a + b ) ( b ) ] 4ac a 4a Definição 1..1 Forma canônica da função do o grau. [ ( f () = a + b ) ] a 4a Para determinar as raízes da função quadrática, devemos resolver a equação do o grau: a + b + c = 0 cujo método mais prático de solução é dado pela Fórmula de Bhaskara. Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF:

3 1. Gráfico 3 Propriedade 1.. Fórmula de Bhaskara. As raízes da equação do o grau a + b + c = 0 são dadas por: = b ± a onde = b 4ac é dito ser o discriminante da equação, isto é, se > 0: há duas raízes reais distintas; se = 0: há duas raízes reais iguais; se < 0: não há raízes reais. Demonstração. Igualando a forma canônica a zero, temos: [ ( a + b ) ] ( a 4a + b ) a 4a = 0 ( + b ) = a 4a + b a = ± a = b a ± a = b ± a! O termo independente da função quadrática f () = a + b + c vale c. Eemplo 1.3 Determine as raízes de f () = 5 +. Basta resolvermos a equação 5 + = 0. Temos que a =,b = 5 e c =, logo = 9. E, através da Fórmula de Bhaskara, obtemos: = ( 5) ± 9 Assim, suas raízes são: = 5 ± 3 4 = 1 e = = = Eemplo 1.4 Determine os zeros reais da função f () = Para determinar os zeros de f, devemos resolver a equação: = 0 = 8 4 = = 4 = 1 Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF:

4 4 Funções do o grau! A equação acima é do tipo biquadrada, ou seja, a n + b n + c = 0, n Z A sua resolução consiste em uma mudança de variável a fim de que tenhamos uma equação do o grau, equação esta que já sabemos resolver pela Fórmula de Bhaskara. Chamando = = 4, logo: = = 0 cuja solução é dada por = 4 ou = 1. Mas, uma vez que =, segue que: = 4 = ± e: = 1 R Portanto, os zeros reais de f () = são = ou =. Propriedade 1..3 Orientação da concavidade. A parábola de uma função do o grau f () = a + b + c pode ter duas orientações: se a > 0 : concavidade voltada para cima: a > 0 se a < 0 : concavidade voltada para baio: a < 0 Pela Fórmula de Bhaskara, temos que as duas raízes de uma função do o grau, caso eistam, são dadas por: Ao somarmos, obtemos: 1 = b a ( b ) ( b + ) 1 + = + a a = b b + a = b a = b a e = b + a Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF:

5 1. Gráfico 5 e, fazendo o produto entre si, de modo análogo, iremos obter: 1 = c a Propriedade 1..4 Soma e produto. A soma S e o produto P das raízes de uma função do o grau f () = a + b + c são dados por: S = b a e P = c a! Para se determinar quais números satisfazem à soma e ao produto, torna-se mais fácil buscar os valores usando o produto primeiro. Eemplo 1.5 Determine as raízes de f () = usando soma e produto. Temos que a = 1, b = 7 e c = 1. Assim devemos encontrar dois valores que quando somados nos dão S = 7 e multiplicados, P = 1. { S = 7 P = 1 { 1 + = 7 1 = 1 { 1 = 3 = 4 Eemplo 1.6 Esboce o gráfico de f () = 5 +. Como a = > 0, então a parábola terá concavidade voltada para cima. Além disso, vimos no Eemplo 1.3 que suas raízes são = 1/ e =. E, uma vez que seu termo independente (isto é, o ponto pelo qual o gráfico corta o eio ) vale c =, concluímos que: 1 Observe que, sendo > 0, então há, de fato, duas raízes reais distintas, de tal modo que o gráfico de f corta o eio em dois pontos. Eemplo 1.7 Construa o gráfico da função f () = 3 1. Sendo a = 3, b = 0 e c = 1, temos que: = b 4ac = 0 4 ( 3) ( 1) = 0 1 = 1 Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF:

6 6 Funções do o grau Uma vez que < 0, segue que não eistem raízes reais, ou seja, o gráfico de f não corta o eio das abscissas; e do fato que a = 3 < 0, o esboço do gráfico da função é dado por: Eercício resolvido 1.1 UNIFOR. O gráfico da função f, de R em R, definida por f () = , intercepta o eio das abscissas nos pontos A e B. A distância AB é igual a: (a) 3 (b) 5 (c) 7 (d) 8 (e) 9 Resolução: Basta calcular as raízes de f - que interceptam o eio nos pontos A e B - e determinar o que se pede. Como a = 1, b = 3 e c = 10, segue que: Assim, = 3 ± 49 1 = 3 ± 7 = b 4ac = 49 A B 5 = = 3 7 = 4 = = 10 = 5 Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF: Portanto, AB = 7. Alternativa C.

7 1. Gráfico 7 Abaio, segue um quadro resumo relacionando a orientação da concavidade de uma função do segundo grau e o valor do discriminante junto com a eistência (ou não) das raízes 1 e da função. a > 0 a < 0 > = 0 1 = 1 = < 0 Eemplo 1.8 Determine os valores de m para que a função do o grau: f () = m + (m 1) + (m ) tenha dois zeros reais e distintos. Para que f satisfaça as condições do eercício devemos ter a 0, pois f deve ser do o grau e > 0 que, devido a Fórmula de Bhaskara, tal função terá duas raízes reais e distintas, ou seja, m 0 e = (m 1) 4(m)(m ) > 0 Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF:

8 8 Funções do o grau assim, = 4m 4m + 1 4m + 8m > 0 4m + 1 > 0 m > 1 4 Portanto, temos que, para f ter duas raízes reais e distintas, deve se ocorrer: m > 1/4 e m 0! (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b a b = (a + b)(a b) 1.3 Máimo e mínimo Definição Valor máimo. Um número M Im f é dito valor máimo de = f () se, M, Im f O valor M D f tal que M = f ( M ) é chamado de ponto de máimo da função. Analogamente, temos a seguinte definição: Definição 1.3. Valor mínimo. Um número m Im f é dito valor mínimo de = f () se, m, Im f O valor m D f tal que m = f ( m ) é chamado de ponto de mínimo da função. Definição Vértice da parábola. O ponto: ( V = ( V, V ) = V = b a, ) 4a é definido como vértice da parábola. V Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF: ! No caso da função quadrática f () = a +b+c temos que ela admitirá um valor máimo

9 1.3 Máimo e mínimo 9 (mínimo) em seu vértice, isto é, em = 4a e = b se a < 0 (a > 0). a Eemplo 1.9 Determine o vértice da função f () = 5 +. Temos: V = b a = 5 4 e V = 4a = 9 8 Portanto, ( ) 5 V = ( V, V ) = V = 4, 9 8 Eemplo 1.10 Um sitiante dispõe de 400m de cerca de arame e gostaria de montar o maior galinheiro possível de forma retangular. Como ele deve proceder? Sendo o perímetro do galinheiro retangular de 400m, chamemos de sua largura e, assim, seu comprimento será de A área S de um retângulo é dada por S = base altura e, portanto, S = (00 ) S = + 00 A maior área possível está diretamente ligada ao lado que implica nisto. Como a maior área possível é a ordenada do vértice da função, isto é, v, então o ponto de máimo ( v ) da função que é dado por: = b a = 00 = 100m nos dá o lado que gerará a maior área possível. Logo, a maior área possível será a de um retângulo de lado = 100m e 00 = 100m, ou seja, um quadrado de lado 100m cuja área é dada por m. Eercício resolvido 1. PUC. A temperatura, em graus centígrados, no interior de uma câmara, é dada por f (t) = t 7t + A, em que t é medido em minutos e A é constante. Se no instante t = 0 a temperatura é de 10 o C, o tempo gasto para que a temperatura seja mínima, em minutos, é: (a) 3,5 (b) 4,0 (c) 4,5 (d) 6,5 (e) 7,5 Resolução: Inicialmente, calculemos o valor da constante A. Como em t = 0, f (t) = 10, Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF:

10 10 Funções do o grau segue que: f (0) = A = 10 A = 10 Ou seja, f (t) = t 7t + 10 A temperatura mínima f (t min ) coincide com a ordenada do vértice da parábola, isto é, f (t min ) = 4a f (t min ) t min (t min, f (t min ) onde o tempo correspondente t min é a abscissa do vértice da parábola de f, ou seja, Alternativa A. t min = b a t min = 7 t min = 3,5 Suponha que f seja uma função do o grau cujo gráfico é dado abaio: V Observe que a projeção do gráfico no eio, isto é, seu conjunto-imagem, está diretamente relacionada com o ponto V do vértice da parábola. Propriedade Conjunto-imagem da função do o grau. O conjunto-imagem da função do o grau é dado { por: Se a > 0 Im f = R } { 4a Se a < 0 Im f = R } 4a Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF:

11 1.4 Sinal da função quadrática 11 Eemplo 1.11 O conjunto-imagem da função f () = 5 + é igual a: { } Im f = R Sinal da função quadrática O sinal de uma função do o grau depende da orientação da concavidade da parábola e do valor do seu discriminante ( ). Eemplo 1.1 Estude o sinal da função f () = 6. Como a = 1 > 0, temos que sua parábola tem concavidade orientada para cima. Além disso, = 5 > 0, ou seja, f possui duas raízes reais distintas, a saber = e = 3, o que nos dá: ou seja, f () > 0 se < ou > 3 f () = 0 se = ou = 3 f () < 0 se < < 3 Eemplo 1.13 Faça o estudo do sinal da função f () = + 1. As raízes de f são idênticas e valem = 1. Além disso, sendo a < 0, então sua concavidade está voltada para baio: Assim, 1.5 Inequações do o grau 1 f () > 0 f () = 0 se = 1 f () < 0 R \ {1} Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF: A resolução de inequações do segundo grau são feitas através da análise do sinal da função que se relaciona com a epressão da inequação.

12 1 Funções do o grau Eemplo 1.14 Resolva, em R, + > 0. Temos que a = 1 > 0 o que implica na orientação para cima da concavidade e = 7 < 0, ou seja, não há raízes reais: + + Como, R, f () = + > 0, então S = R. Observe que se tivéssemos de resolver a inequação: + < 0 obteríamos S = Eercício resolvido 1.3 UFRS. A equação m + m + 1 distintas. Então: = 0 possui raízes reais (a) m = 0 (b) m > 0 (c) m < 4 (d) m < 0 ou m > 4 (e) 0 < m < 4 Resolução: Do enunciado, conclui-se que: { possui raízes equação do o grau a 0 Sendo a = m, segue que: Além disso, raízes reais distintas > 0 m 0 m 0 = m 4 m 1 > 0 m 4m > 0 Devemos, portanto, resolver a inequação do segundo grau m 4m > 0. Aqui, a = 1, b = 4 e c = 0. Através de soma e produto, segue que: { { S = 4 m = 0 ou P = 0 m = 4 E uma vez que a = 1 > 0, então a parábola da função f (m) = m 4m tem concavidade para cima e corta o eio horizontal nos pontos 0 e 4: Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF:

13 1.5 Inequações do o grau 13 Como buscamos os valores de m tais que m 4m > 0, segue que a solução desta inequação é dada por: S = {m R m < 0 ou m > 4} E, fazendo a intersecção com a condição de que m 0, então, para que a equação m + m + 1 = 0 tenha duas raízes reais distintas, devemos ter: Alternativa D. m < 0 ou m > 4 As inequações produto/quociente que envolvem funções do segundo grau são resolvidas usando o quadro de sinais, de maneira análoga ao que fora feito no capítulo anterior. Eemplo 1.15 Resolva, em R, a inequação ( )( + 4 3) > 0. Calculando as raízes de f () = e g() = e analisando seus sinais, temos: f g f g Portanto S = { R 1 < < 1 ou < < 3} =] 1,1[ ],3[. Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF:

14 14 Funções do o grau 1.6 Eercícios de fiação Definição e gráfico 1. Construir os gráficos das funções definidas em R: (a) = (b) = (c) = (d) = (e) = (f) = 4 (g) = 3 3 (h) = + 4. Determinar uma função quadrática f tal que f ( 1) = 4, f (1) = e f () = Determinar os zeros reais das funções: (a) f () = 3 + (b) f () = (c) f () = (d) f () = + (e) f () = (f) f () = (g) f () = Resolver o sistema: + 1 = 7 1 = 1. (h) f () = (i) f () = + 1 (j) f () = + (1 3) 3 (k) f () = 4 (l) f () = (m) f () = 5 5. Determinar os zeros reais das funções: (a) f () = (b) f () = (c) f () = 4 6 (d) f () = (e) f () = (f) f () = (g) f () = (h) f () = Determinar os valores de m para que a função quadrática f () = (m 1) +(m+3)+m tenha dois zeros reais e distintos. 7. Determinar os valores de m para que a equação do o grau (m + ) + (3 m) + (m 1) = 0 tenha raízes reais. 8. Determinar os valores de m para que a função f () = m + (m + 1) + (m + 1) tenha um zero real duplo. 9. Determinar os valores de m para que a equação + (3m + ) + (m + m + ) = 0 tenha duas raízes reais iguais. 10. Determinar os valores de m para que a função f () = (m + 1) + (m + 3) + (m 1) não tenha zeros reais. 11. Determinar os valores de m para que a equação m + (m 1) + (m ) = 0 não tenha raízes reais. Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF:

15 1.6 Eercícios de fiação Construir o gráfico cartesiano das funções definidas em R: (a) = 3 (b) = (c) = (d) = (e) = (f) = (g) = + 1 (h) = Na equação do o grau 5 1 = 0 de raízes 1 e, calcular: (a) 1 + (b) 1 (c) (d) ( 1 ) + ( ) (e) (f) ( 1 ) 3 + ( ) Obter uma equação do segundo grau de raízes: (a) e 3 (b) 1 e 3 (c) 0,4 e 5 (d) 1 e (e) e Se a equação a + b + c = 0, a 0, admite as raízes reais não nulas 1 e, obter a equação de raízes: (a) ( 1 ) + ( ) 1 (b) (c) (d) ( 1 ) 3 + ( ) Determinar m na equação m (m 1) + m = 0 para que se tenha 1 + = 4, onde 1 1 e são as raízes da equação. Máimo e mínimo, vértice da parábola 17. Determinar o valor máimo ou valor mínimo, e o ponto de máimo ou o ponto de mínimo das funções abaio, definidas em R. (a) = + 5 (b) = (c) = (d) = (e) = (f) = Determinar o valor de m na função real f () = 3 + m para que o valor mínimo seja 5 3. Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF:

16 16 Funções do o grau 19. Determinar o valor de m na função real f () = 3 + (m 1) + (m + 1) para que o valor máimo seja. 0. Determinar o valor de m na função real f () = m + (m 1) + (m + ) para que o valor máimo seja. 1. Determine o valor de m na função real f () = (m 1) + (m + 1) m para que o valor mínimo seja 1.. Dentre todos os números reais de soma 8, determine aqueles cujo produto é máimo. 3. Dentre todos os números reais e z tais que + z = 8 determine aqueles cujo produto é máimo. 4. Dentre todos os retângulos de perímetro 0cm, determine o de área máima. 5. Dentre todos os números de soma 6, determine aquele cuja soma dos quadrados é mínima. 6. Determine o retângulo área máima localizado no primeiro quadrante, com dois lados nos eios cartesianos e um vértice na reta = É dado uma folha de cartolina como na figura abaio. Cortando a folha na linha pontilhada resultará um retângulo. Determinar esse retângulo sabendo que a área é máima Determine o retângulo de maior área contido num triângulo equilátero de lado 4cm, estando a base do retângulo num lado do triângulo. 9. Num triângulo isóscels de base 6cm e altura 4cm está inscrito um retângulo. Determine o retângulo de área máima sabendo que a base do retângulo está sobre a base do triângulo. 30. Determinar os vértices das parábolas: (a) = 4 (b) = + 3 (c) = (e) = + 9 (f) = 7 3 Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF: (d) = Determinar a imagem das funções definidas em R:

17 1.6 Eercícios de fiação 17 (a) = 3 (b) = + 4 (c) = (d) = (e) = (f) = Determinar m na função f () = m definida em R para que a imagem seja Im f = { R 4}. 33. Determinar m na função f () = 3 + m 1 Im f = { R 7}. definda em R para que a imagem seja Inequações do o grau 34. Resolver as inequações em R: (a) 3 + > 0 (b) > 0 (c) (d) (e) (f) > 0 (g) (h) (i) > 0 (j) < 0 (k) < 0 (l) > Resolver em R as inequações: (a) (1 4 )( + 3) > 0 (b) ( 7 + 6)( 7 + 5) 0 (c) ( 6)( + 1) > 0 (d) ( + = 6)( + 3) 0 (e) 3 + > 0 (f) É dada a função = ( 9 5)( + ). Determinar: (a) os pontos de intersecção do gráfico da função com o eio das abscissas; (b) o conjunto dos valores de para os quais Resolver em R as inequações: (a) > 0 (b) (c) Resolver as inequações: (a) 4 < 1 4 (b) + 1 < 3 5 (c) (d) < (e) 0 < < 1 (f) < < (d) (e) < (f) Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF:

18 18 Funções do o grau 39. Resolver os sistemas de inequações: (a) (b) { + > 0 3 < 0 { > 0 (c) (d) { < 0 { Resolver em R as inequações: (a) (b) > 0 (c) < 0 (d) < 0 (e) (f) > Determinar m para que se tenha R, (a) + (m 1) + (m ) > 0 (b) + (m + 3) + (m + 3) 0 (c) m + m > 0 (d) + (m + 1) + m > 0 (e) + (m + ) (m + 3) 0 (f) (m 1) + 4(m 1) + m > 0 (g) m + (m ) + m 0 (h) m + (m + 3) + m 0 (i) (m + 1) (m 1) + 3(m 1) < 0 (j) (m 1) + (m 1) + 1 > 0 Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF:

19 1.7 Eercícios de vestibular Eercícios de vestibular 1. (FUVEST) Para a fabricação de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produto A, pagando R$96,00, e unidades do produto B, pagando R$84,00. Sabendo-se que o total de unidades compradas foi a de 6 e que o preço unitário do produto A ecede em R$,00 o preço unitário do produto B, determine o número de unidades de A que foi comprado.. (UNIP) Uma das raízes da equação + k + 3 = 0 é 1 e a outra raíz é a. O valor de a + k é: (a) 1 (b) 1 (c) 4 (d) 4 (e) 3 3. (UNICID) O valor de m, para que uma das raízes da equação + m + 7 = 0 seja o quadrado da outra, é: (a) -3 (b) -9 (c) -1 (d) 3 (e) 6 4. (FAAP) Numa região, foram colhidas 8400 toneladas de trigo. A mesma colheita poderia ter sido obtida numa área com 0 hectares a menos, se mais uma tonelada tivesse sido colhida por hectare. Quantas toneladas foram colhidas por hectare? (a) 14 (b) 34 (c) 16 (d) 8 (e) 0 5. (PUCCAMP) Considere as seguintes equações: I. + 4 = 0 II. = 0 III. 0,3 = 0,1 Sobre as soluções dessas equações é verdade dizer que em: (a) II são números irracionais (b) III é um número irracional (c) I e II são número reais (d) I e III são números não reais (e) II e III são números racionais 6. (UFG) Para que a soma das raízes da equação (k ) 3k + 1 = 0 seja igual ao seu produto, devemos ter: (a) k = ± 1 3 (c) k = 1 3 (d) k = 3 (b) k = 1 3 ( m 1 7. (UNICAMP) Determine o valor de m na equação 8 + o produto de suas raízes seja igual a (e) k = 3 3 ) = 0, de modo que Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF: (CEFET-BA) O gráfico da função = a + b + c tem uma só intersecção com o eio O e corta o eio O em (0,1). Então, os valores de a e b obedecem à relação:

20 0 Funções do o grau (a) b = 4a (b) b = 4a (c) b = a (d) a = 4a (e) a = 4b 9. (PUCCAMP) Se v e w são as raízes da equação +a+b = 0, onde a e b são coeficientes reais, então v + w é igual a: (a) a b (b) a + b (c) a b (d) a + b (e) a b 10. (ESPM) O conjunto solução da equação = 0, é: (a) S = { 1,10} (b) S = { 1,1,10} (c) S = { 10,1,10} (d) S = { 10, 1,10} (e) S = { 1,100} 11. (PUC) O número de intersecção das duas parábolas = e = 1 é: (a) 0 (b) 1 (c) (d) 3 (e) 4 1. (FUVEST) O gráfico de( f () = +b+c, em que b e c são constantes, passa pelos pontos (0,0) e (1,). Então, f ) vale: 3 (a) 9 (b) 9 (c) 1 4 (d) 1 4 (e) (MACKENZIE) A equação (3k 1) (k + 3) + (k 4) = 0, em, com k 1 3, admite duas raízes reais a e b tais que a < 1 < b. O número de valores inteiros que k pode assumir é: (a) (b) 3 (c) 4 (d) 5 (e) (UFV) As medidas da hipotenusa e de um dos catetos de um triângulo retângulo são dadas pelas raízes da equação = 0. A área desse triângulo é: (a) 10 (b) 6 (c) 1 (d) 15 (e) (UFMG) A função f () = +b+c, com b e c reais, tem duas raízes distintas pertencentes ao intervalo [,3]. Então, sobre os valores de b e c, a única afirmativa correta é: (a) c < 6 (b) c > 9 (c) 6 < b < 4 (d) b < 6 (e) 4 < b < 6 Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF: (UFMG) Seja P() = 3 + (k 3) + ( k) (6 + 6k), em que k é um número real.

21 1.7 Eercícios de vestibular 1 (a) Mostre que o número 3 é raíz de P() para todo número real k; (b) Determine todos os valores de k para os quais as raízes de P() sejam todas reais. 17. (UNICAMP) Determine o número m de modo que o gráfico da função = + m + 8 seja tangente ao eio do. Faça o gráfico da solução (ou das soluções) que você encontrar para o problema. 18. (FAAP) Analistas de produção verificaram que numa determinada montadora o número de peças produzidas { nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por: 50(t f (t) = +t), para 0 t 4 00(t + 1), para 4 t 8 O número de peças produzidas na quarta hora de trabalho é: (a) 1000 (b) 800 (c) 00 (d) 400 (e) (MACKENZIE) Na função real definida por f () = + m (m ), sabe-se que: f (a) = f (b) = 0, em que a < 1 < b. Então, em U = { 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4}, o número de valores que m pode assumir é: (a) 1 (b) (c) 3 (d) 4 (e) 9 0. (UNICAMP) (a) Encontre as constantes a, b e c de modo que o gráfico da função = a + b + c passe pelos pontos (1,10), (,8) e (3,1); (b) Faça um gráfico da função obtida no item a, destacando seus pontos principais. 1. (CESGRANRIO) Determine o parâmetro m na equação + m + m m 1 = 0, de modo que ela tenha uma raíz nula e outra positiva.. (VUNESP) Considere a função: ( ) 1 f () = + + a, 4a em que a é um número real não nulo. Assinale a alternativa cuja parábola poderia ser o gráfico dessa função. (a) (c) (b) (d) Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF:

22 Funções do o grau (e) 3. (FUVEST) A função f (), definida para 3 3, tem o seguinte gráfico: em que as linhas ligando ( 1,0) a (0,) e (0,) a (1,0) são segmentos de reta. Supondo a 0, para que valores de a o gráfico do polinômio p() = a( 4) intercepta o gráfico de f () em eatamente 4 pontos distintos? (a) 1 < a < 0 (c) 3 < a < 1 (b) 1 < a < 1 (d) < a < 3 (e) a < 4. (UEMA) O gráfico da função f () = m (m 3) + m 3 intercepta o eio em apenas um ponto e tem concavidade voltada para baio. O valor de m é: (a) -3 (b) -4 (c) - (d) (e) (UNESP) Um ônibus de 40 lugares transporta diariamente turistas de um determinado hotel para um passeio ecológico pela cidade. Se todos os lugares estão ocupados, o preço de cada passagem é de R$0,00. Caso contrário, para cada lugar vago será acrescida a importância de R$1,00 ao preço de cada passagem. Assim, o faturamento da empresa de ônibus, em cada viagem, é dado pela função f () = (40 )(0 + ), em que indica o número de lugares vagos (0 40). Determine: (a) quantos devem ser os lugares vagos no ônibus, em cada viagem, para que a empresa obtenha faturamento máimo; (b) qual é o faturamento máimo em cada viagem. 6. (UFMS) Os fisiologistas afirmam que, para um indivíduo sadio em repouso, o número N de batimentos cardíacos por minuto varia em função da temperatura ambiente t, em graus celsius, segundo a função N = 0,1t 4t Com base nessas informações, calcule: (a) a temperatura em que o número de batimentos cardíacos por minuto é mínimo; (b) o número mínimo de batimentos cardíacos por minuto; (c) o número de batimentos cardíacos por minuto de uma pessoa sadia que está dormindo, quando a temperatura ambiente for de 30 o C. Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF:

23 1.7 Eercícios de vestibular 3 7. (UFOP) Em relação ao gráfico da função f () = + 4 3, pode-se afirmar: (a) é uma parábola de concavidade voltada para cima. (b) seu vértice é o ponto V (,1). (c) intercepta o eio das abscissas em P( 3,0) e Q(3,0). (d) o seu eio de simetria é o eio das ordenadas. (e) intercepta o eio das ordendas em R(0,3). 8. (ACAFE) Seja uma função f () = + 3 de domínio [,]. O conjunto-imagem é: (a) [0,3] (b) [ 5,4] (c) ],4] (d) [ 3,1] (e) [ 5,3] 9. (UFSM) A figura mostra um retângulo com dois lados nos eios cartesianos e um vértice na reta que passa pelos pontos A(0,1) e B(8,0). A(0, 1) P(, ) 0 B(8, 0) As dimensões e do retângulo para que sua área seja máima devem ser, respectivamente, iguais a: (a) 4 e 6 (b) 5 e (UFMG) Observe a figura: 0-5 (c) 5 e 7 (d) 4 e 7 5 V (e) 6 e 3 Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico de função do segundo grau cuja epressão é: ( ) (a) = 5 (b) = 10 (c) = + 10 ( ) (d) = 10 ( 5 ) (e) = Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF:

24 4 Funções do o grau 31. (FGV) A área do quadrado ABCD é 4cm. Sobre os lados AB e AD do quadrado são tomados dois pontos M e N, tais que AM + AN = AB. Desse modo, o maior valor que pode assumir a área do triângulo AMN é: B C M A N D (a) 1 4 cm (b) cm (c) 1 (d) 4cm cm (e) 1 8 cm 3. (ENEM) A empresa WQTU Cosmético vende uma quantidade de determinado produto, cujo custo de fabricação é dado por 3 + 3, e o seu valor de venda é epresso pela função A empresa vendeu 10 unidades do produto, contudo a mesma deseja saber quantas unidades precisa vender para obter um lucro máimo. Considerando que o lucro obtido é dado pela diferença entre os valores de venda e custo, a quantidade de unidades a serem vendidas para se obter lucro máimo é: (a) 10 (b) 30 (c) 58 (d) 116 (e) (UNIRIO) Um engenheiro vai projetar uma piscina, em forma de paralelepípedo retoretângulo, cujas medidas internas são, em metros, epressas por, 0 e. O maior volume que esta piscina poderá ter, em m 3, é igual a: (a) 40 (b) 0 (c) 00 (d) 150 (e) (UDESC) Seja ABCD um quadrado de área unitária, são tomados dois pontos P AB e Q AD, tais que AP + AQ = AD. Calcule o maior valor para a área do triângulo APQ. Como seria tratado esse problema, se fosse pedido para calcular a menor área? A D Q P 35. (UFMG) O ponto de coordenadas (3,4) pertence à parábola de equação = a + b + 4. A abscissa do vértice dessa parábola é: B C Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF: (a) 1

25 1.7 Eercícios de vestibular 5 (b) 1 (c) 3 (d) 36. (FUVEST) Considere a função f () = (1 ) (a) Determine constantes reais a,b e g de modo que ( f ()) = a[( + b) + g] (b) Determine os comprimentos dos lados do retângulo de área máima, com lados paralelos aos eios coordenados, inscrito na elipse de equação + = (CESGRANRIO) O ponto de maior ordenada, pertence ao gráfico da função real definida por f () = ( 1)(3 ), é o par ordenado (a,b). Então, a b é igual a: (a) 39 8 (b) 11 8 (c) 3 8 (d) 11 8 (e) (UFPE) O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado produto é dado por: C = n + n. Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo? 39. (FUVEST) No triângulo ABC, AC = 5cm, BC = 0cm e cosα = 3 5. B M A Q α N P C O maior valor possível, em cm, para a área do retângulo MNPQ, construído conforme mostra a figura acima, é: (a) 16 (b) 18 (c) 0 (d) (e) (FGV-adaptado) Quando uma pizzaria cobra R$14,00 por pizza, 80 unidades são vendidas por dia. Quando o preço é R$1,00 por pizza, 90 unidades são vendidas. Admitindo que a quantidade vendida () seja função do 1 o grau do preço (), dada pela epressão = , qual o preço que deve ser cobrado para maimizar a receita diária? 41. (VUNESP) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela epressão h(t) = 3t 3t, em que h é a altura atingida em metros. (a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? (b) Qual a altura máima em metros atingida pelo grilo? Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF: (FGV) O preço de ingresso numa peça de teatro (p) relaciona-se com a quantidade de frequentadores () por sessão atráves da relação: p = 0,

26 6 Funções do o grau (a) Qual a receita arrecadada por sessão caso o preço do ingresso seja de R$60,00? (b) Qual o preço que deve ser cobrado para dar a máima receita por sessão? Observação: receita=(preço) (quantidade) 43. (FGV) O lucro mensal de uma empresa é dado por L = , em que é a quantidade mensal vendida. (a) Qual o lucro mensal máimo possível? (b) Entre que valores deve variar para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195? 44. (UFPE) Qual o maior valor assumido pela função f : [ 7,10] R definida por f () = 5 + 9? 45. (FAAP) Com relação ao gráfico da função f () = ( 1) 4 são feitas as seguintes afirmações. I. É uma parábola com concavidade para cima. II. É uma parábola cujo vértice é o ponto (,4). III. O ponto de intersecção com o eio é (0, ). Nessas condições: (a) Somente a afirmação I é verdadeira. (b) Somente a afirmação III é verdadeira. (c) As afirmações I, II e III são verdadeiras. (d) As afirmações I e III são verdadeiras. (e) As afirmações II e III são verdadeiras. 46. (PUC) Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de uma unidade de certo produto é 10, sendo o preço de venda e 10 o preço de custo. A quantidade vendida, a cada mês, depende do preço de venda e é, aproimadamente, igual a 70. Nas condições dadas, o lucro mensal obtido com a venda do produto é, aproimadamente, uma função quadrática de, cujo valor máimo, na unidade monetária usada, é: (a) 100 (b) 1000 (c) 900 (d) (UEL) Seja a função f, de R em R, dada pelo gráfico seguinte, O conjunto-imagem de f é: (a) R (b) { R 0 1,5} 1, (e) 600 Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF:

27 1.7 Eercícios de vestibular 7 (c) { R 0 1,8} (d) { R } (e) { R 1,8} 48. (UFRJ) Um avião tem combustível para voar durante 4 horas. Na presença de um vento com velocidade v [km/h] na direção e sentido do movimento, a velocidade do avião é de (300 + v) [km/h]. Se o avião se desloca em sentido contrário ao do vento, sua velocidade é de (300 v) [km/h]. Suponha que o avião se afaste a uma distância d do aeroporto e retorne ao ponto de partida, consumindo todo o combustível, e que durante todo o trajeto a velocidade do vento seja constante e tenha a mesma direção que a do movimento do avião. Determine: (a) d como função de v. (b) para que valor de v a distância d é máima. 49. (UNESP) Seja a função = 3. O vértice V e o conjunto-imagem da função são dados, respectivamente, por: (a) V (1,4), Im = { R 4} (b) V (1, 4), Im = { R 4} (c) V (1,4), Im = { R 4} (d) V (1, 4), Im = { R 4} (e) V (1,1), Im = { R 1} 50. (UFLA-MG) O conjunto de todos os valores reais de X, para os quais o gráfico de P(X) = 8 X está acima do gráfico de Q(X) = 3X (isto é, P(X) > Q(X)) é: (a) < X < (b) X > (c) 0 X (d) < X < (e) X 51. (PUC) Considere a função do 1 o grau f, de R em R, definida por: ( m ) 3m f () = + 1, 1 m onde m R. Para que valores de m essa função é decrescente? 5. (UNIRIO) A diferença entre o comprimento e a largura de um retângulo é de cm. Se a sua área é menor ou igual a 4cm, então o valor de, em cm, será: (a) 0 < < 6 (b) 0 < 4 (c) < 6 (d) < < 6 (e) < (UNICAMP) O índice I de massa corporal de uma pessoa adulta é dado pela fórmula, I = M/h em que M é a massa do corpo, dada em quilogramas, e h é a altura da pessoa, em metros. O índice I permite classificar uma pessoa adulta, de acordo com a seguinte tabela: (a) Calcule o índice I para uma mulher cuja massa é de 64,0kg e cuja altura 1,60m. Classifique-a segundo a tabela anterior. (b) Qual é a altura mínima para que um homem cuja massa é de 97,kg não seja considerado obeso? Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF:

28 8 Funções do o grau Homens Mulheres Classificação 0 I 5 19 I 4 Normal 5 I 30 4 < I 9 Levemente obeso I > 30 I > 9 Obeso 54. (MACKENZIE) O domínio da função real definida por: é: f () = 3 [( + 6)/( 5 + 6)] (a) R \ {,3} (b) R (c) R (d) R \ {,3} (e) R \ {, 3} 55. (VUNESP) Resolva o sistema: { 3 < (UFMG) Seja M o conjunto dos números naturais n tais que n 75n Assim sendo, é correto afirmar que: (a) apenas um dos elementos de M é múltiplo de 4. (b) apenas dois dos elementos de M são primos. (c) a soma de todos os elementos de M é igual a 79. (d) M possui eatamente seis elementos. 57. (UNIFENAS) Para que valores de m, a equação 4 4m + (4m 3) = 0 não admite raízes reais? (a) m R 1 < m < 3 (b) m, m R (c) m R m < 1 ou m > 3 (d) m > 0 (e) nenhum valor real de m 58. (MACKENZIE) Se a + a > 0, qualquer que seja R, o maior valor inteiro que a pode assumir é: (a) 15 (b) 16 (c) 18 (d) (CESGRANRIO) A solução da inequação > (a) 1 < < 0 ou > 1 (b) < 1 ou > 1 (c) > 1 ( ) 1 é: (d) > 0 (e) > 1 (e) 60. (FUVEST) [ ] O conjunto de soluções, no conjunto R, dos números reais, da inequação > é: ( + 1) Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF:

29 1.7 Eercícios de vestibular 9 (a) vazio (b) R (c) { R < 0} (d) { R > 1} (e) { R < 1} 61. (CESGRANRIO) A menor solução inteira de 35 < 0 é: (a) 5 (b) 4 (c) 3 (d) (e) 1 6. (CESGRANRIO) As soluções de ( ) ( + 1) (a) < 0 ou > (b) < (c) < (PUC) No universo R, o conjunto-solução da inequação (a) { R > 0} (b) { R > 3} (c) { R < 0 ou > 3} > 0 são os valores de que satisfazem: (d) 0 < < (e) > ( 3) (3 ) < 0 é: (d) { R 0 < < 3} (e) { R > 0 e 3} 64. (FAAP) A variação de temperatura = f () num intervalo de tempo é dado pela função f () = (m 9) + (m + 3) + m 3; calcule m de modo que o gráfico da função seja uma parábola com a concavidade voltada para baio. (a) 3 m 3 (b) m > 3 e m < 3 (c) 3 m < 3 (d) 3 < m 3 (e) 3 < m < (FGV) Uma função quadrática f tem um gráfico cujo vértice é o ponto (3, 4). Sabe-se que é uma raíz da função. (a) Obtenha a epressão da função f. (b) Para que valores de tem-se f () > 0? Uso eclusivo de Nome do Cliente - CPF: