ESTUDO NUMÉRICO SOBRE A INFLUÊNCIA DA VELOCIDADE NO CAMPO DE TEMPERATURA EM UM PROCESSO DE LAMINAÇÃO

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1 ESTUDO NUMÉRICO SOBRE A INFLUÊNCIA DA VELOCIDADE NO CAMPO DE TEMPERATURA EM UM PROCESSO DE LAMINAÇÃO Marcelo M. Galarça Pós Graduação em Engenharia Mecânica Universidade Federal do Rio Grande do Sul Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional I Resumo: O presente trabalho analisa um processo de laminação sendo o problema difusivo-convectivo bidimensional com campo de velocidade conhecido. Obtém o campo de temperatura para o regime transiente bem como para o regime permanente com diversos valores da velocidade. É empregado como função de interpolação o esquema Power-Law. A solução numérica foi feita com base no método de volumes finitos, com uma malha bidimensional, utilizando o método iterativo de Gauss-Seidel. Foram feitas hipóteses simplificativas para as condições de contorno e apresentados balanços globais de energia, bem como diagrama de cores para a representação visual do campo de temperaturas. Palavras-chave. Método de Volumes Finitos, método Gauss-Seidel,Função Power-Law. 1. Introdução A maioria dos processos de produção industrial estão ligados direta ou indiretamente a escoamento de fluidos, transferência de calor e/ou massa, tais como produção e manipulação de produtos químicos, fabricação de produtos fundidos, combustão, engenharia de meio-ambiente, trocadores de calor, etc.. Os fenômenos de transferência de calor e/ou massa estão entre os mais importantes fenômenos físicos ocorridos durante um processo produtivo. Como conseqüência desses, muitas variáveis, tais como temperatura, pressão, velocidade, concentração de umidade, posição no espaço, etc.. dependem uma das outras ou ainda, em caso de regime transiente, do tempo. Dentre os processos de fabricação siderúrgica ou mesmo de indústrias de 3ª geração petroquímica está a laminação. Este, conforme figura 1, consiste basicamente em forçar a passagem de uma quantidade de material (ferroso ou plástico) através de dois rolos cilíndricos reduzindo assim a sua seção transversal. Esta redução na seção transversal da peça, resultado da pressão exercida pelos rolos cilíndricos, provoca o aquecimento da mesma[4]. Em diversas situações de engenharia é necessário que se tenha assegurado com precisão as propriedades físicas e mecânicas, de uma determinada peça, no caso de uma laminada é importante saber se o aquecimento provocado pelo processo de deformação não irá provocar alterações nas propriedades físicas e mecânicas finais desta peça. Portanto, torna-se importante o conhecimento de mecanismos os quais possibilitem a operação destes processos industriais dentro de níveis ótimos de eficiência. Entretanto, as equações matemáticas governantes de tais processos nem sempre são de fácil manipulação algébrica, e requerem métodos de solução computacional. Assim, métodos de solução numérica, como Diferenças Finitas, Elementos Finitos e Volumes Finitos representam ferramentas fundamentais para projeto, análise de funcionamento e otimização de processos industriais [1]. A solução de problemas físicos exige a utilização de um modelo matemático correspondente. Essa solução pode ser efetuada de forma analítica ou numérica. O caminho analítico fornece resultados exatos. Para a equação diferencial governante do fenômeno observado não é comum a opção da forma analítica, principalmente pelo grande trabalho e quantidade de tempo que esta despende. Já a solução numérica cresce cada vez mais, em função da disponibilidade computacional. O contraponto da utilização da solução numérica está relacionado com os erros que podem estar presentes numéricos, e o uso da equação diferencial que não represente adequadamente o fenômeno físico [2][3]. O presente trabalho faz uso do método numérico para a solução de um problema de transferência de calor por advecção difusão (bidimensional) em um laminador, utilizando o método de volumes finitos. 2. Caracterização do Problema A figura 1 representa de forma esquemática um laminador. O problema a ser resolvido é representado pela figura 2, considerando uma placa bidimensional de largura L = 0,5 m e altura H = 1m, com propriedades físicas constantes: coeficiente de difusividade térmica α igual a 10-5 m 2 /s, massa específica ρ = 1kg/m 3, submetida à laminação. Dois cilindros produzem uma deformação na placa em movimento nas direções x e y = 0. No instante inicial a temperatura da placa nas faces norte, leste e oeste é igual a zero e ao sul é dada por T = T o sen[(x/a)]π, onde T o = 100 C (373 k). As condições de contorno do problema são de primeira espécie (temperatura prescrita) em todas as faces da placa. São estas as seguintes:

2 T = 0 em x = 0 T = 0 em x = a T = 0 em y = b T = T o sen[(x/a)π], onde T o = 100 C A condição inicial do problema é dada: T(x, y) = 0 para t = 0. A partir destas foram observadas as variações no campo de temperatures devido às diferentes velocidades de laminação impostas. Figura 1 Esquema de Laminação Figura 2 Placa bidimensional em movimento 3. Análise do Problema e Metodologia de Solução A equação geral para 2D, transiente da conservação da variável genérica escalar φ ( ρ φ) φ φ φ + ( ρ uφ) + ( ρ vφ) = ( Γ ) + ( Γ ) + S (01) t x y x x y y φ = T Γ ϕ = k ρ c p e S φ = S, obtemos a equação da energia : ( ρ T) ( ρ ut) ( ρ vt) k T k T + + = ( ) + ( + S (02) t x y x c x y c y p p

3 k como α =, e não há fonte de calor, a equação governante do problema é: p ρ c T tt 2 2 T T T T + u + v = α + α (03) 2 2 x y x y A figura 3 exemplifica a tarefa do método numérico, que é transformar uma equação diferencial, definida em um domínio, em um sistema de equações algébricas. Para isso, as derivadas da função existentes na equação diferencial devem ser substituídas pelos valores discretos da função. Transformar as derivadas em termos que contêm a função significa integrar a equação diferencial, e as diversas maneiras de fazê-lo são o que caracteriza o tipo do método numérico [2][3]. Figura 3 Tarefa do método numérico para situação 2D do problema Para a solução do problema utilizou-se o Método dos Volumes Finitos (ou Volumes de Controle). Este método consiste na integração das equações diferenciais - neste caso, a equação da difusão sobre um certo número de volumes de controle originários da discretização do domínio. Uma vez que as equações diferenciais são obtidas originalmente através de balanços sobre volumes de controle, tem-se a garantia de que a massa, energia e quantidade de movimento são conservadas. Neste sentido as soluções são exatas, e mesmo em uma malha grosseira haverá a conservação. Deste modo, podemos dizer que todo método que, para obter as equações aproximadas, satisfaz a conservação da propriedade em nível de volumes elementares é um método de volumes finitos [1]. Assim, a equação (01) é discretizada no volume de controle X x Y x Z (onde Z = 1) mostrado na figura 3 e num intervalo de tempo t a t, de uma forma generalizada que permite a adoção de qualquer função de interpolação para o valor de φ nas faces do volume de controle. Temo como resultantes da discretização as seguintes equações: Na forma usual a PφP = a nbφnb + b (04) sendo: a P = a nb + a o P Sp x y (05) onde: o x y a P = ρ t (06) b = S x y + a φ (07) P o c P o P o

4 Os coeficientes são dados por Γe y Γw y Γn x Γs x De = ; Dw = ; Dn = ; Ds = (08) δx δx δy δy onde Γ=ρα F e w n i P i = em que i = e, w, n, s (Peclet) (09) D i O método para a solução das equações algébricas foi do de Gauss-Seidel. O esquema de interpolação entre os pontos nodais utilizado é o Power-Law [3], para uma malha igualmente espaçada de 50x50 volumes. A função se apresenta, então, da seguinte forma: A( P ) 5 = 0, (1 0.1P ) (10) s 4. Ferramentas A solução do problema foi auxiliada pela utilização do software Compaq Visual Fortran Professional Edition 6.0.1, no qual um algoritmo foi elaborado com a linguagem de programação compatível, o mesmo encontra-se em anexo. O software Tecplot Version 8.0, foi utilizado para graficar os resultados. 5. Resultados e Discussão 5.1. Velocidade V igual a zero Fez-se uma análise do campo de temperaturas com velocidade de laminação igual a zero e obtiveram-se os resultados para regime permanente e transiente. A figura 4 apresenta o campo de temperaturas para o regime permanente obtido conforme critério de convergência adotado no algoritmo. Y T( C) Figura 4 Campo de temperatures, Regime permanente

5 Figura 5 Campo de temperaturas, regime transiente, v=0m/s. (a) 100 iterações; (b) 1000 iterações; (c) 2000 iterações; (d) 3000 iterações. Os resultados para o campo de temperaturas com valores acima de 3000 iterações não apresentam mudanças significativas, logo gráficos iguais ao apresentado na figura 4 são encontrados, ou seja, o regime permanente foi alcançado. Em um laminador o processo de conformação somente ocorre se existir um valor de velocidade, assim, os resultados obtidos não são situações encontradas na prática, a menos que o processo de laminação seja interrompido e a chapa (ou tarugo) fique estacionado entre os rolos recebendo calor somente destes (se os mesmos forem aquecidos). Numericamente, ter a velocidade avaliada em zero significa o desaparecimento dos termos advectivos da equação governante, assim a transferência de calor se dá apenas pela difusão Caso particular para α = 0 (nulo) no 3 quadrante Resultados analisando uma situação particular e não real foram plotados considerando que o 3 quadrante da placa laminada fosse composto de material não condutivo, desta forma, não difusivo (conforme definição de difusividade térmica). Observa-se claramente que a propagação da energia (para v = 0m/s) se dá praticamente no 4 quadrante, fazendo com que as regiões do 1 e 2 não percebessem a variação da temperatura. (figura 6). Figura 6 Campo de temperature: alfa = 0 (3 quadrante); v = 0m/s

6 A fim de ressaltar a diferença para essa simulação, fez-se uma série para valor de v = 0,001m/s, mostrada na figura Velocidade de Laminação variada Figura 7 Campo de temperatura: alfa = 0 (3 quadrandte); v = 0,001m/s Para esta série de resultados numéricos são analisadas as variações ocorridas no campo de temperaturas influenciadas pelas variações de velocidades impostas. Sete valores de velocidade são admitidos: V=0,0001m/s; V=0,0005m/s; V=0,001m/s; V=0,005m/s; V=0,01m/s; V= -0,0001m/s; e V= -0,0005m/s. A figura 6 apresenta os resultados obtidos para o campo de temperatura com os diferentes valores de velocidade aplicados. Figura 8 Campo de temperaturas, regime permanente. (a) V=0,0001m/s; (b) V=0,0005m/s; (c) V=0,001m/s; (d)v=0,005m/s; (e) V=0,01m/s; (f) V= -0,0001m/s; (g) V= -0,0005m/s.

7 A partir dos resultados apresentados nas figuras 6 (a, b, c, d, e) pode-se notar que o problema agora é advectivodifusivo, pois a chapa se desloca com velocidade conhecida entre os rolos de laminação. Fica bastante evidente que com o aumento gradativo da velocidade mais dominada pela advecção se torna transferência de calor. Em se tratando de um processo de laminação, quanto maior for a velocidade, maior será a produção. Porém deve-se ter em mente que o material sofre um resfriamento brusco (sendo com ar forçado ou spray de água), assim, quanto maior for a temperatura ao longo da placa mais o material sofrerá com a mudança desta, podendo inutilizar a placa provocando uma fragilidade excessiva do material, ou mesmo deformando este devido aos fenômenos de contração. Desta forma, a velocidade mais apropriada irá depender da aplicação final do material laminado. As situações mostradas nas figuras 6 (f) e (g), são de validade para uma melhor compreensão física de como a velocidade interfere nos cálculos, pois uma velocidade negativa não é possível em processos de laminação. Pode ser observado que quanto maior for essa velocidade oposta, mais difícil é a propagação do calor, pois enquanto este tenta avançar por difusão, a advecção impede o avanço. Temo ainda um problema advectivo-difusivo. Foi realizado o balanço de energia a fim de se analisar a existência de resíduos ocasionados por má convergênica. Este é apresentado na tabela Conclusões Tabela 1 Balanço de Energia CALOR (Watts/m²) QW QE QN QS Resíduo , , , , , Obteve-se a distribuição do campo de temperaturas para regime permanente e transiente, utilizando-se de sete valores diferentes de velocidade. A influência da velocidade afeta claramente os valores do campo de temperaturas, e certamente na qualidade final do produto laminado. Valores negativos de velocidade foram aplicados a fim de se obter um maior esclarecimento do significado físico da contribuição da velocidade no transporte de energia. Séries com velocidades nulas foram efetuadas para a placa laminada com o terceiro quadrante avaliado como não condutivo e para o caso normal (placa condutiva por completa). Foram observadas as diferenças nos campos de temperatura. Uma série de cálculos foi feita para o caso do terceiro quadrante não condutivo com determinado valor de velocidade apenas para demonstrar o comportamento do campo de temperatura para o caso. Obteve-se resíduo nulo quando efetuado o balanço de energia. O esquema de interpolação, juntamente com o método iterativo aplicados mostraram-se bons para a solução do problema. 7. Referências [1] Notas de aula da disciplina de Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional I, trimestre 2004/2. Promec, UFRGS, Porto Alegre, RS. [2] MALISKA, Clóvis R.. Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Comutacional. Editora LTC. 2ª Ed [3] PATANKAR, Suhas V.. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. Hemisphere Publishing Company [4] ELSEVIER, 1998 Modern Physical Metallurgy and Materials Engineering - Science, Process, Applications (6th Edition) [5] CHAVES, E.V.. Apostila do FORTRAN Power Station 4.0. Universidade de São Paulo, Escola de Engenharia de São Carlos, São Carlos, SP

8 8. Anexo1: Algoritmo do Programa PROGRAM LAMINADOR USE PORTLIB IMPLICIT NONE INTEGER :: L1,L2,L3,M1,M2,M3,I,J,ITER!,R DOUBLE PRECISION :: TEMPO_S DOUBLE PRECISION :: L,H,DY,DX,QW,QE,QS,QN,COND DOUBLE PRECISION :: CRITCON,E1,E2,TC1,TC2 DOUBLE PRECISION :: RO,alfa1,GAMA1 DOUBLE PRECISION :: U,V,T0,TI,TN,TE,TW DOUBLE PRECISION,DIMENSION (102,102) ::AE,AW,AN,AS,AP,TP,ap0 DOUBLE PRECISION,DIMENSION (102,102) ::APeE,APeW,APeN,APeS DOUBLE PRECISION,DIMENSION (102,102) :: PeE,PeW,PeN,PeS DOUBLE PRECISION,DIMENSION (102,102):: De,Dw,Dn,Ds DOUBLE PRECISION,DIMENSION (102,102):: Fe,Fw,Fn,Fs DOUBLE PRECISION,DIMENSION (102) :: X,Y LOGICAL FLAG!OBS.1: Quando executar o programa para regime transiente o valore "ITER" deve ser "ligado", bem como a!variável "R" na subrotina "GAUSS".!OBS.2: Quando executar o programa para alfa = zero no 3 quadrante, o campo "ALFA ZERO" deve ser "ligado".! dados DE ENTRADA TEMPO_S=TIMEF() OPEN(10,FILE='Fluxos_PermanenteALFA.txt') OPEN(30,FILE='Temperatura_PermanenteALFA.dat') OPEN(40,FILE='Tempo_PermanenteALFA.txt')!ITER=3000 L=0.50D0 H=1.0D0 RO=1.0D0 alfa1=1.0d-5 U=0.0D0 V=0.0D0 COND=62.0D0 TE=0.0D0!Condicao de contorno 1 TN=0.0D0!Condicao de contorno 2!Comprimento [m]!largura [m]!massa específica[kg/m3]!difusividade termica [m2/s]!velocidade do escoamento em x [m/s]!velocidade do escoamento em y [m/s]!condutividade termica [w/mk] TW=0.0D0!Condicao de contorno 3 TI=0.0D0!Condição inicial CRITCON= 1.0D-8! Critério de covergência L1=50 ; M1=50!Numero de volumes da malha (L=LONGITUDINAL, M=TRANSVERSAL) L2=L1+1; L3=L1+2; M2=M1+1; M3=M1+2 CALL MALHA(L,H,DY,DX,L1,L2,L3,M1,M2,M3,X,Y) CALL COEF(AE,AW,AN,AS,AP,APeE,APeW,APeN,APeS,GAMA1,DY,DX,U,V,I,J,L2,M2,PeE,PeW,PeN,PeS, & & De,Dw,Dn,Ds,Fe,Fw,Fn,Fs,RO,alfa1,X,Y,L3,M3,ap0) CALL CCCI(TP,T0,TI,TN,TE,TW,L,I,J,L2,M2,L3,M3,X) CALL GAUSS(AE,AW,AN,AS,AP,TP,TC1,TC2,I,J,L2,M2,ITER,CRITCON,E1,E2,FLAG,ap0)!CALL GAUSS(AE,AW,AN,AS,AP,TP,TC1,TC2,I,J,L2,M2,ITER,CRITCON,E1,E2,FLAG,ap0,R)! Transiente CALL FLUXOS(COND,TP,DX,DY,QW,QE,QS,QN,I,J,L2,L3,M2,M3,V,RO)

9 CALL IMPRESSAO(TP,I,J,L3,M3,QW,QE,QS,QN,X,Y,TEMPO_S) TEMPO_S=TIMEF()!TEMPO_M=TIMEF()/60.0d0 WRITE(*,*)'TEMPO' PRINT *,TEMPO_S PAUSE CLOSE(10) CLOSE(30) CLOSE(40) END PROGRAM Laminador! SUBROUTINE MALHA(L,H,DY,DX,L1,L2,L3,M1,M2,M3,X,Y) DOUBLE PRECISION :: L,H,DY,DX DOUBLE PRECISION, DIMENSION (102) :: X,Y INTEGER :: L1,L2,L3,M1,M2,M3 DX=(L/L1) DY=(H/M1) X(1)=0.0D0 X(2)=DX/2.0D0 X(L3)=L X(L2)=L-DX/2.D0 Y(1)=0.0D0 Y(2)=(DY/2.0D0) Y(M3)=H Y(M2)=H-(DY/2.0D0) DO K=3,L1 X(K)=X(K-1)+DX DO K=3,M1 Y(K)=Y(K-1)+DY END SUBROUTINE MALHA! SUBROUTINE COEF(AE,AW,AN,AS,AP,APeE,APeW,APeN,APeS,GAMA1,DY,DX,U,V,I,J, & & L2,M2,PeE,PeW,PeN,PeS, De,Dw,Dn,Ds,Fe,Fw,Fn,Fs,RO,alfa1,X,Y,L3,M3,ap0) DOUBLE PRECISION, DIMENSION(102,102):: AE,AW,AN,AS,AP,ap0 DOUBLE PRECISION, DIMENSION(102,102):: PeE,PeW,PeN,PeS DOUBLE PRECISION, DIMENSION(102,102):: De,Dw,Dn,Ds DOUBLE PRECISION, DIMENSION(102,102):: Fe,Fw,Fn,Fs DOUBLE PRECISION, DIMENSION(102,102):: APeE,APeW,APeN,APeS DOUBLE PRECISION :: dt DOUBLE PRECISION,DIMENSION (102) :: X,Y DOUBLE PRECISION:: DY,DX,U,V,GAMA1,RO,alfa1 INTEGER :: I,J,L2,M2,L3,M3 Dt=100.0d0 GAMA1=RO*alfa1 DO I=2,L2

10 DO J=2,M2 DE(I,J)=(GAMA1*DY)/(X(I+1)-X(I)) DW(I,J)=(GAMA1*DY)/(X(I)-X(I-1)) DN(I,J)=(GAMA1*DX)/(Y(J+1)-Y(J)) DS(I,J)=(GAMA1*DX)/(Y(J)-Y(J-1))!%%%%%% Fluxo de massa %%%%%%% DO i=2,l2 DO j=2,m2 Fe(i,j)=RO*U*DY Fw(i,j)=RO*U*DY Fn(i,j)=RO*V*DX Fs(i,j)=RO*V*DX DO i=2,l2 DO j=2,m2 PeE(i,j)=Fe(i,j)/De(i,j) PeW(i,j)=Fw(i,j)/Dw(i,j) PeN(i,j)=Fn(i,j)/Dn(i,j) PeS(i,j)=Fs(i,j)/Ds(i,j)!%%%%%%%% POWER-LAW %%%%%%%%%% DO I=2,L2 DO J=2,M2 APeE(i,j)=DMAX1(0.D0,(1-1.0D-1*(DABS(PeE(i,j)))**5)) APeW(i,j)=DMAX1(0.D0,(1-1.0D-1*(DABS(PeW(i,j)))**5)) APeN(i,j)=DMAX1(0.D0,(1-1.0D-1*(DABS(PeN(i,j)))**5)) APeS(i,j)=DMAX1(0.D0,(1-1.0D-1*(DABS(PeS(i,j)))**5)) DO I=2,L2 DO J=2,M2 AE(i,j)=De(i,j)*APeE(i,j)+DMAX1(-Fe(i,j),0.0D0) AW(i,j)=Dw(i,j)*APeW(i,j)+DMAX1( Fw(i,j),0.0D0) AN(i,j)=Dn(i,j)*APeN(i,j)+DMAX1(-Fn(i,j),0.0D0) AS(i,j)=Ds(i,j)*APeS(i,j)+DMAX1( Fs(i,j),0.0D0) ap0(i,j) = RO* DX * DY / dt DO i=2,l2 DO j=2,m2 AP(i,j)=AW(i,j)+AE(i,j)+AN(i,j)+AS(i,j)!#######################################################################!ALFA=ZERO NO 3º QUADRANTE!#######################################################################!DO I = 2, ((L3 / 2) + 1)

11 !DO J = 2, ((M3 / 2) + 1)!DXE = ABS(X(I + 1) - X(I))!DXW = ABS(X(I) - X(I - 1))!DYN = ABS(Y(J + 1) - Y(J))!DYS = ABS(Y(J) - Y(J - 1))!DE(I,J) = RO * 1.0D-40 * DY / DXE!DW(I,J) = RO * 1.0D-40 * DY / DXW!DN(I,J) = RO * 1.0D-40 * DX / DYN!DS(I,J) = RO * 1.0D-40 * DX / DYS!AE(I,J)=DE(I,J)*APeE(i,j)+DMAX1(-FE(I,J),0.0d0)!AW(I,J)=DW(I,J)*APeW(i,j)+DMAX1(FW(I,J), 0.0d0)!AN(I,J)=DN(I,J)*APeN(i,j)+DMAX1(-FN(I,J),0.0d0)!AS(I,J)=DS(I,J)*APeS(i,j)+DMAX1(FS(I,J), 0.0d0)!AP(I,J)=AE(I,J) + AW(I,J) + AN(I,J) + AS(I,J)!ap0(i, j) = ro * dx * dy / dt!!!####################################################################### END SUBROUTINE COEF! SUBROUTINE CCCI(TP,T0,TI,TN,TE,TW,L,I,J,L2,M2,L3,M3,X) DOUBLE PRECISION :: T0,TI,TN,TE,TW,L DOUBLE PRECISION, DIMENSION (102) :: X INTEGER :: I,J,L2,M2,L3,M3 DOUBLE PRECISION, DIMENSION (102,102) :: TP T0=100.0D0! Campo inicial de temperatura DO i=2,l2 DO j=2,m2 TP(i,j)=TI DO i=1,l3 TP(i,1)=T0*DSIN(( *X(I)/L)) DO i=1,l3 TP(i,M3)=TN DO j=1,m3 TP(L3,j)=TE DO j=1,m3 TP(1,j)=TW!DO I = 2, ((L3 / 2) + 1)!SOMENTE PARA ALFA=0 (LIGA/DESLIGA)!TP(I,J)=0.0d0! ENDSUBROUTINE CCCI

12 ! !Quando transiente ligar subrotina com R SUBROUTINE GAUSS (AE,AW,AN,AS,AP,TP,TC1,TC2,I,J,L2,M2,ITER,CRITCON,E1,E2,FLAG,ap0)!SUBROUTINE GAUSS (AE,AW,AN,AS,AP,TP,TC1,TC2,I,J,L2,M2,ITER,CRITCON,E1,E2,FLAG,ap0,R) LOGICAL FLAG DOUBLEPRECISION, DIMENSION (102,102):: AE,AW,AN,AS,AP,TP,TP0,ap0 INTEGER :: I,J,L2,M2,ITER,R DOUBLE PRECISION :: CRITCON,E1,E2,TC1,TC2 FLAG=.TRUE.!<><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><>< DO WHILE(FLAG) TP0=TP TC1=TP(L2,2)!LIGAR QUANDO REG. PERMANENTE TC2=TP(6,11) ITER=ITER+1!<><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><!DO R=1,ITER!ITER=ITER+1 DO I=2,L2 DO J=2,M2 TP(I,J)=(AE(I,J)*TP(I+1,J)+AW(I,J)*TP(I-1,J)+AN(I,J)*TP(I,J+1)+AS(I,J)*TP(I,J-1)+ ap0(i,j)*tp0(i,j))/ap(i,j)! E1=DABS(TC1-TP(L2,2))/TP(L2,2) E2=DABS(TC2-TP(6,11))/TP(6,11) IF (E1<CRITCON.AND.E2<CRITCON.AND.ITER>10000) FLAG=.FALSE. write(*,*)iter END SUBROUTINE GAUSS! SUBROUTINE FLUXOS(COND,TP,DX,DY,QW,QE,QS,QN,I,J,L2,L3,M2,M3,V,RO) DOUBLE PRECISION :: COND,V,RO DOUBLE PRECISION, DIMENSION (102,102) :: TP DOUBLE PRECISION :: DY,DX,QW,QE,QS,QN INTEGER :: I,J,L2,L3,M2,M3!Onde:!Cp = 432J/Kg.K DO J=2,M2 QE=QE+COND*DY*(TP(1,J)-TP(2,J))/(DX/2.0D0) DO J=2,M2 QW=QW+COND*DY*(TP(L3,J)-TP(L2,J))/(DX/2.0D0) DO I=2,L2 QS=QS+COND*DX*(TP(I,1)-TP(I,2))/(DY/2.0D0) + DX*(V*RO*(432.0D0)*((TP(I,1) d0)))

13 DO I=2,L2 QN=QN+COND*DX*(TP(I,M3)-TP(I,M2))/(DY/2.0D0) + DX*(V*RO*(432.0D0)*((TP(I,1) d0))) END SUBROUTINE FLUXOS! SUBROUTINE IMPRESSAO (TP,I,J,L3,M3,QW,QE,QS,QN,X,Y,TEMPO_S) DOUBLE PRECISION, DIMENSION (102,102) :: TP INTEGER :: I,J,L3,M3 DOUBLE PRECISION :: QW,QE,QS,QN,TEMPO_S DOUBLE PRECISION, DIMENSION (102) :: X,Y WRITE(10,10)QW,QE,QS,QN 10 FORMAT('QW=',F15.6,'W', 'QE=',F15.6,'W', 'QS=',F15.6,'W','QN=',F15.6,'W') WRITE(30,15) 15 FORMAT(1X,'Variables = X, Y, T( C)') WRITE(30,*)' Zone T = "Zone-One", I=52 J=52 F=Point' DO I=1,L3 DO J=1,M3 WRITE(30,25)X(I),Y(J),TP(I,J) 25 FORMAT(2F12.6,F10.3) WRITE(40,35)TEMPO_S 35 FORMAT('TEMPO=',F10.6) ENDSUBROUTINE IMPRESSAO

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