Desenho I. Carlos Antonio Vieira

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1 Desenho I Carlos Antonio Vieira 2007

2 2 Sumário Introdução 4 Capítulo 01 Construções geométricas fundamentais De um ponto A traçar a perpendicular a uma reta r Traçar a perpendicular à semi-reta AO, no ponto O, sem prolongá-la De um ponto dado A traçar a reta s, paralela à uma reta dada r Traçar paralelas através de perpendiculares Traçar a mediatriz de um segmento AB Construir um ângulo igual a um ângulo dado Traçar a bissetriz de um ângulo Dividir um segmento AB em n partes iguais Traçar a bissetriz do ângulo formado pelas retas r e s, sem usar o vértice Construir ângulos de 15 o, 30 o, 45 o, 60 o, 75 o e ângulos quaisquer Traçar o círculo inscrito a um triângulo dado Traçar o círculo circunscrito à um triângulo dado Dados três pontos não colineares traçar uma circunferência a - De um ponto dado na circunferência, traçar a tangente a ela b - De um ponto dado fora da circunferência, traçar as tangentes a ela Dadas duas circunferências de raios R1 e R2 e centros O1 e O2 traçar suas tangentes externas comuns Dadas duas circunferências de raios R1 e R2 e centros O1 e O2 traçar suas tangentes internas comuns Concordar uma reta dada num ponto A com um arco que deve passar por um ponto B dado Concordar duas retas r e s com um arco de raio dado R Concordar um arco de circunferência de raio R dado, com um seguimento de reta AB e uma circunferência dada de raio r Concordar duas semi-retas paralelas, em A e B, através de dois arcos Concordar duas semi retas com o mesmo sentido, com distância entre extremidades superior a distância entre ambas Concordar duas circunferências de raios R1 e R2 externas uma à outra, por meio de um arco de circunferência de raio R Concordar duas circunferências de raios R1 e R2 internas uma à outra, por meio de um arco de circunferência de raio R Divisão de circunferência em 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 10 partes iguais Regra de Bion para divisão de circunferência Dadas as retas paralelas r, s e o vértice A, traçar uma hexágono regular Processo de Delaistre para construção de polígonos de 5 a 12 lados Exercícios. 19 Capítulo 02 - Ovais, evolvente, cíclicas, cônicas e hélice Traçado de ovais Traçado de arcos Traçado de evolvente Curvas cíclicas Cônicas Hélice 30

3 3 Capítulo 03 - Projeções Projeções axonométricas ortogonais Projeções axonométricas oblíquas ou cavaleiras Perspectivas cônicas Perspectivas isométricas de círculos Exercícios Perspectivas Projeções ortogonais Exemplos das projeções ortogonais Exercícios Desenhe as vistas em 1º diedro Exercícios 3.3 Completar as vistas, identificar o diedro e esboçar as perspectivas Vistas auxiliares Projeções de sólidos geométricos elementares inclinados Seções, casos fundamentais Rebatimento e projeções em V.G Exercícios 3.4 Completar vistas Exercícios 3.5 Rebatimento em V.G. 57 Capítulo 04 - Planificações 4.1 Desenvolvimento da superfície de uma pirâmide reta de base quadrada Desenvolvimento da superfície de um prisma reto de base hexagonal Desenvolvimento da superfície de um tronco pirâmide reta de base hexagonal Desenvolvimento da superfície de um oblíquo de cilindro reto Desenvolvimento das superfícies de uma junção de cilindros Exercícios Planificação Bibliografia 60

4 4 Introdução Caros alunos, muitos de vocês podem até não ter a nítida e definitiva noção do que é ser um profissional em engenharia, por esse motivo tento descrever o perfil desse profissional exigido pelo competitivo mercado de trabalho. O engenheiro deve estar preparado para viver em um ambiente de mudanças sociais, tecnológicas e econômicas cada vez mais rápidas e para atender todas as exigências do futuro, os profissionais das engenharias devem ser: exatos, trabalham com margem de erros tendendo a zero; lógicos, analisar cada parcela individual dos problemas antes de uma conclusão final sobre o problema; analítico, possuir a capacidade do pensamento estruturado, dominar a abstração e a criação para solução de problemas tecnológicos mesmo quando não dispor informações completas; autodidata, buscar o conhecimento e as informações necessárias por si só, aprender a aprender; excelentes calculistas, dominar a matemática, a estatística e possuir uma ampla base científica; empreendedor, construir seu próprio futuro, descobrir suas potencialidades na busca das oportunidades, conviver com o risco e enfrentar desafios; humanista, conviver harmoniosamente em grupo, ser comunicativo, ético e apresentar uma ampla visão do impacto social e ambiental de suas atitudes. Uma das disciplinas que lhes introduzirá nesse perfil desejado é o Desenho I, cujos objetivos são: desenvolver habilidades para o pensamento e abstração espacial; conhecer as técnicas do Desenho Geométrico e Descritivo necessárias para a futura leitura e interpretação do Desenho II, Desenho Técnico; utilizar-se dos conhecimentos adquiridos para solução de problemas com um grau de complexidade cada vez maior; desenvolver uma postura de eficiência, precisão, qualidade e senso de normalização; relacionar a representação espacial do Desenho com as demais disciplinas do curso. Na segunda série do curso será visto o Desenho II, desenho técnico, objetivando o conhecimento do sistema de normalização necessário: na apresentação técnica do desenho como linguagem universal das engenharias; nos processos de fabricação e de controle da qualidade de produtos e serviços; nos procedimento de utilização e manutenção de máquinas e de equipamentos. Nos últimos anos, o ensino de Desenho tornou-se um grande desafio, pois foi vendida a idéia de que se aprendesse uma linguagem de desenho assistida por computador, já seria suficiente para o desenvolvimento das funções de um engenheiro. Esqueceu-se nesse episódio que o computador só executa uma atividade mediante o comando do seu operador, o engenheiro, sem a visão espacial, e se as competências acima citadas não forem bem desenvolvidas, não será um bom computador que nos fará um bom profissional em engenharia.

5 5 O contato com o desenho assistido por computador é indispensável e necessário no contexto atual, logo na segunda série do curso será visto em Técnicas Computacionais o Desenho assistido por computador. A carência do conhecimento em leitura e interpretação do Desenho Técnico gera dependências no profissional em engenharia muito perigosas, inviabilizando inclusive a potencialidade de criação. O desafio é enorme, no entanto, o professor propiciará um ambiente que permita a você, aluno, a atingir todos os objetivos de maneira efetiva e eficiente. Deve-se lembrar que somos todos responsáveis pelo nosso sucesso, todo processo resume-se a um conjunto de vontades e necessidades de todos nós, alunos, professores e Universidade. O Material necessário para o desenvolvimento do curso será: um compasso; uma régua; uma lapiseira para desenho. Apenas para ilustrar os componentes de um compasso é mostrado na Figura I, Compasso de precisão com parafuso de regulagem. Parafuso de regulagem. Ponta seca Grafite Figura I Compasso de Precisão com parafuso de regulagem.

6 6 Capítulo 01 - Construções geométricas fundamentais Traçar uma perpendicular a uma reta r que passe pelo ponto dado A. a) O ponto pertence à reta, Figura 1.1.a. ponta seca do compasso em A e um raio qualquer marca-se os pontos B e C; ponta seca em B e um raio qualquer traçar os arcos acima e abaixo da reta r; ponta seca em C e com o mesmo raio anterior, obtém-se os pontos D, E e a perpendicular. Figura 1.1.a - Perpendicular b) O ponto é exterior à reta r, a construção é análoga a anterior, Figura 1.1.b. Figura 1.1.b Perpendicular Traçar a perpendicular à semi-reta OA, no ponto O sem prolongá-la para a esquerda. ponta seca em O traça-se um raio qualquer OB; marcam-se BC = CD = OB; com ponta seca em D e um raio qualquer, traçar um arco e com ponta seca em C e o mesmo raio determina-se o ponto E, Figura 1.2. Figura 1.2 Perpendicular à semi-reta

7 Traçar uma reta paralela à reta dada r passando pelo ponto A. ponta seca em A e um raio qualquer AB traçar um arco; ponta seca em B e mesmo raio anterior traçar o arco AC; toma-se a medida CA, com ponta seca em B obtém-se o ponto D e a paralela. Figura 1.3. Figura 1.3 Paralela Traçar paralelas através de perpendiculares. traçar em A uma reta perpendicular a r e marca-se sobre essa a medida d obtendo-se B; com a ponta seca em A e uma medida qualquer determina-se o ponto C; com a mesma abertura do compasso e ponta seca em B traçar um arco; toma-se a medida AB e transferindo a ponta seca para C encontra-se D e a paralela. Figura 1.4. Figura 1.4 Paralela Traçar a mediatriz de um segmento AB. É o equivalente a dividir o segmento AB em duas partes iguais, Figura1 5. ponta seca em A e um raio qualquer, traçar um arco de um lado e outro de AB: ponta seca em B e mesmo raio anterior obtém C e D; CD é mediatriz de AB, pois C e D distam-se igualmente de A e B. Figura Mediatriz

8 Construir um ângulo congruente a um outro ângulo dado α, Figura 1.6. com a ponta seca em O e um raio qualquer OA traçar o arco AB no ângulo dado α; trace um lado do ângulo β e sobre ele CD com raio igual a OA; tome a abertura AB e transfira para o novo ângulo β com a ponta seca em D encontre E; unindo-se C a E tem-se ângulo DCE congruente AOB, ou seja, com a mesma abertura. α β Figura 1.6 Ângulos congruentes Traçar a bissetriz de um ângulo, Figura 1.7. É o quivalente a dividir o ângulo em duas partes iguais. com a ponta seca em O e raio qualquer OA traçar um arco AB. com a ponta seca em A e depois em B com mesmo raio, trace os arco e encontre o ponto C, OC é a bissetriz do ângulo. Figura Bissetriz Dividir um segmento AB em n partes iguais, por exemplo, n = 6, Figura 1.8. traçar por A e B retas paralelas, AC paralela a BD, através do procedimento visto em 1.6 marca-se o número n desejado de partes iguais e quaisquer sobre o segmento AC a partir de A e em BD a partir de B; unindo-se os pontos A-6, 1-5, 2-4, 3-3, 4-2, 5-1, e 6-B obtêm-se a divisão do segmento AB nas respectivas interseções das paralelas com o mesmo. Figura Divisão de seguimento de reta.

9 Traçar a bissetriz do ângulo formado pelas retas r e s, sem usar o vértice desse ângulo. traçar uma reta qualquer MN, Figura 1.9; trace as bissetrizes dos ângulos formados por MN com r e s ; essas bissetrizes cruzam-se em A e B, que pertencem à bissetriz pedida do ângulo formado por r e s. Figura 1.9 Bissetriz sem o vértice Construir ângulos de 15º, 30º, 60º, 75º e ângulos quaisquer. Dividir um ângulo em três partes iguais, Figura Construir um ângulo reto, ou seja, traçar a perpendicular conforme o procedimento 1.2. com raio qualquer OA, traçar um arco AB; ponta seca em A e raio OA, obtém-se o ponto D; ponta seca em B e mesmo raio AO, determina-se o ponto C, arco AD = 60, logo arco BD = 30 ; traçando a bissetriz de BD, conforme procedimento 1.7, tem-se o ângulo de 15 o, o qual somado-se com 60 o, encontra-se o ângulo de 75 o. Figura 1.10 Ângulos de 30º Utilizando-se da trigonometria e da construção de triângulos semelhantes, pode-se desenhar um ângulo qualquer. A Equação 1 mostra a relação trigonométrica da tangente. tang.α = cateto oposto / cateto adjacente. (1)

10 Traçar o círculo inscrito a um triângulo dado, círculo que tangencie a todos os lados, Figura traçam-se as bissetrizes dos ângulos A, B e C do triângulo, pois a interseção destas bissetrizes é o centro do círculo procurado, ou seja o incentro o triângulo; ponta seca no ponto O, determinado pela interseção das bissetrizes, traçar uma perpendicular a um dos lados, procedimento 1.1 b, para se obter um ponto T de tangência do círculo com um dos lados. T Figura Círculo inscrito Traçar o círculo circunscrito a um triângulo dado, Figura traçam-se as mediatrizes dos lados do triângulo, procedimento 1.5, pois a interseção destas determina o ponto O, centro do círculo procurado, ou seja o circuncentro do triângulo. Figura 1.12 Círculo circunscrito Nota: No ponto de interseção das medianas (segmento de um vértice ao ponto médio do lado oposto) do triângulo tem-se o baricentro Dados três pontos não colineares traçar uma circunferência, Figura Sejam A, B e C os pontos dados. traçar a mediatriz do segmento AB e do segmento BC; no ponto de interseção das duas mediatrizes tem-se o centro da circunferência pedida. Figura 1.13 Circunferência

11 a. - De um ponto dado na circunferência, traçar a tangente à ela. traçar a perpendicular ao raio no ponto dado A, procedimento 1.1a. Essa perpendicular será a tangente t pedida, Figura 1.14.a. Figura 1.14.a Tangente 1.14b. - De um ponto dado A, que não pertence a circunferência traçar as tangentes. une-se o ponto dado A ao centro O da circunferência dada, Figura 1.14.b; traçar a mediatriz de AO encontrando-se o ponto médio M; ponta seca no ponto médio M e com raio MO obtém-se os pontos B e C na circunferência; AB e AC serão tangentes por serem perpendiculares aos raios OB e OC. Figura 1.14.b Tangentes Dadas duas circunferências de raios R 1, R 2 e distância entre centros O 1 O 2, traçar suas tangentes exteriores comuns, Figura ponta seca no centro O 1 e raio r = R 1 R 2 traça-se uma circunferência auxiliar; utilizando-se da circunferência auxiliar e do ponto O 2 traça-se as tangentes, conforme o procedimento 1.14b, obtendo-se os pontos A e B; une-se O 1 a A encontrando-se C e O 1 a B para encontrar D; com a ponta seca em O 2 e abertura até A, transfere-se esta medida com a ponta seca em D encontrando-se o ponto F, com a mesma abertura, ponta seca em C encontra-se E. Figura 1.15 Tangentes

12 Dadas duas circunferências de raios R 1, R 2 e distância entre centros O 1 e O 2 traçar suas tangentes interiores comuns, Figura a construção é análoga ao item anterior 1.15, lembrando apenas que a circunferência auxiliar tem o valor de r = R 1 + R 2. Figura 1.16 Tangentes Concordar uma reta r num ponto dado A com um arco que passe por um ponto B dado. traçar por A a perpendicular a reta r; trace a mediatriz de AB, a interseção dessa com a perpendicular determina o centro O do arco de concordância, Figura 1.17 Figura 1.17 Concordância de uma reta e um arco Nota: Regras de concordância: Diz-se que um arco e uma reta estão em concordância num ponto, quando a reta é tangente ao arco nesse ponto. Nesse caso, o centro do arco está na perpendicular à reta tirada desse ponto. O conjunto reta-arco deve formar uma só linha, Figura 1.17.

13 Concordar duas retas s e r com um arco de raio dado R, Figura traçar AA perpendicular à reta s e BB perpendicular à reta r sendo AA = BB = R; por A traça-se uma paralela a s e por B a paralela a r e obtém-se o centro O do arco de concordância. no ponto O traçar as perpendiculares em relação às retas s e r onde se têm os pontos de concordâncias do arco com as duas retas. Figura 1.18 Concordância de duas retas e um arco Concordar um arco de circunferência de raio R dado, com uma reta r e uma circunferência dada de raio R 1, Figura traçar uma reta s paralela à reta r; ponta seca em O e raio (R 1 + R) cruze a reta s encontrando-se o ponto C; em C traçar uma perpendicular a reta r encontrando-se o ponto D; une-se C a O para encontrar o ponto de tangência E; ponta seca em C raio R traçar o arco de concordância do ponto D até E. Figura 1.19 Concordância circunferência-arco-reta

14 Concordar duas semi-retas paralelas, nas suas origens A e B, com sentido contrário através de dois arcos, Figura traçar por A e B as perpendiculares às semi-retas; toma-se um ponto qualquer C em AB, quando não forem necessários raios de mesmos valores; traçar as mediatrizes de AC e CB até encontrar as perpendiculares em O e O' que são os centros dos arcos pedidos. Figura Concordância entre retas e arcos Concordar duas semi-retas paralelas, nas suas origens A e B sendo que as duas semi-retas têm o mesmo sentido e b deve ser maior que d, Figura traçar AM perpendicular a r, marcando a medida MA = d; por M traçar a reta s paralela a reta r e marcar MB = b; traçar em B uma perpendicular a reta s; sobre as perpendiculares a r e s marque o valor do raio de concordância R 1 encontrando-se os pontos O e O ; traçar a mediatriz de OO até encontrar o prolongamento de AM em O ; com centro em O' e raio R 1 traçar o arco BC e com centro em O e raio O A o arcoac. M Figura 1.21 Concordâncias de retas e arcos

15 Concordar duas circunferências de raios dados R 1 e R 2 externas uma a outra, por meio de um arco de circunferência de raio dado R, Figura com centro em O 1 e raio (R 1 + R) descreve-se um arco acima e outro abaixo dos centros; com centro em O 2 e raio (R 2 + R) traçar dois outros arcos que interceptam os arcos anteriormente traçados determinando-se os centros O 3 e O 4 ; une-se O 1 a O 3, O 2 a O 3, O 1 O 4 e O 2 a O 4 determinando-se os pontos de concordâncias entre as circunferências e os arcos dados pelos pontos 1-2 e 3-4; ponta seca em O 3, abertura R traça-se o arco de 1 a 2 e ponta seca em O 4 com o mesmo raio R o arco de 3 a 4. Figura 1.22 Concordância externa de circunferências e arcos Concordar duas circunferências de raios dados R 1 e R 2 internas a um arco de circunferência de raio dado R, Figura com centro em O 1 e raio (R -R 1 ) descreve-se um arco acima e outro abaixo dos centros; com centro em O 2 e raio (R R 2 ) traçar outros dois arcos de circunferência que interceptam os arcos anteriores em O 3 e O 4 respectivamente; une-se O 1 a O 4, O 2 a O 4, O 1 a O 3 e O 2 a O 3 encontrando-se os pontos de tangências ; ponta seca em O 3 e abertura R traça-se o arco 1 a 2, análogo para o O 4 o arco 3 a 4. Figura Concordância interna de circunferências e arcos

16 Divisão de circunferência em partes iguais. Definições: chama-se polígono a parte do plano compreendida entre segmentos consecutivos, cuja extremidade do último coincida com a origem do primeiro. Um polígono diz-se convexo quando não é cortado pelo prolongamento de qualquer de seus lados, côncavo no caso contrário; regular quando todos os lados e todos os ângulos são iguais, irregular no caso contrário Dividir uma circunferência em três partes iguais e construir o triângulo eqüilátero. com a ponta seca em A e com raio R da circunferência traça-se o arco D-O-B; unindo-se os pontos D, B e C obtém-se o triângulo eqüilátero. Repedindo-se o procedimento no ponto C obtêm-se seis divisões da circunferência. Figura Triângulo eqüilátero Dividir uma circunferência em quatro partes iguais e construir o quadrado. trace o eixo vertical AB; traçar a perpendicular CD; determina-se as bissetrizes dos quadrantes AD e AC encontrando-se os pontos Nota: o quadrado em uma outra posição pode ser obtido unindo os pontos A-C-B-D-A e unindo-se A-1-D-2-B-3-C-4-A obtém-se o octógono. Figura Quadrado

17 Dividir uma circunferência em cinco partes iguais e construir o pentágono. centro em D e raio R, igual ao da circunferência dada, descreve-se o arco F-O-E; ligar E a F para encontrar o ponto M; centro em M e raio M-A, traça-se o arco A-N; centro em A e raio A-N, traça-se o arco cujo valor é o lado do pentágono. Nota: a) o comprimento ON é o valor do lado do decágono. b) o comprimento ME é o valor do lado do heptágono. Figura Pentágono Regra de Bion para divisão de circunferência, Figura divide-se o diâmetro AB em n partes iguais que se deseja dividir a circunferência, por exemplo n=11; ponta seca em A e raio AB, depois com a ponta seca B e o mesmo raio, obtêm-se os pontos C e D; unindo-se o ponto C as divisões pares 2, 4, 6, 8 e 10 até cortar a circunferência, onde se têm as divisões desejadas; unindo o ponto D aos mesmos pontos pares até cortar a circunferência, completa-se as divisões. Figura 1.25 Regra de Bion

18 Dadas as retas paralelas r, s e o vértice A, traçar uma hexágono regular. do vértice A traça-se uma perpendicular a reta r encontrando-se na reta s vértice B; do vértice A traça-se uma reta a 30º em relação a perpendicular AB até s determinando-se C; o seguimento BC é o lado do hexágono procurado; com abertura do compasso BC, encontra-se o vértice D, posteriormente E e F. Figura 1.26 Hexágono Processo aproximado de Delaistre para construção de polígonos de 5 a 12 lados. tomando-se o seguimento AB como o lado da cada polígono a ser desenhado; ponta seca em A e abertura até B traça-se os arcos para encontrar C, D; por CD trace a perpendicular ao lado AB; com ponta seca em C e abertura até A, traça-se a circunferência do hexágono e determina-se o ponto E, centro da circunferência do decágono, 12 lados; divide-se CE em seis (6) partes iguais e faz-se CF igual a uma destas partes; toma-se a partir de F até E os respectivos centros das circunferências a serem divididas em 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 parte iguais. Figura Processo aproximado de Delaistre

19 Exercícios - Desenhe usando todo o desenho geométrico fundamental as figuras dadas em escala 1:1. Figura Figura Figura Figura Figura Figura

20 20 Figura Figura Figura Figura Figura

21 21 Capítulo 02 - Ovais, arcos, espira evolvente, cíclicas, cônicas e hélice. 2.1-Traçado das ovais Oval é uma curva fechada, constituída pela concordância de arcos de circunferências. As ovais classificam-se, como: regular ou falsa elipse, apresenta dois eixos de simetria; irregular ou oval propriamente dita possui um só eixo; quanto à forma, pode ser oval regular arredondada ou alongada Traçar uma oval regular dados os dois eixos, Figura 2.1 traçar o eixo maior AB perpendicular ao eixo menor CD; une-se AD encontrando-se DE igual a AO menos OD; traçar a mediatriz de AE encontrando-se o centro 1 sobre o eixo maior e o centro 2 sobre o eixo menor, ou em seu prolongamento; ponta seca em O abertura até o centro 1, transfere-se a abertura encontrando o centro 3; ponta seca em O abertura até o centro 2, transfere-se a abertura encontrando o centro 4; ponta seca em 1 traçar o arco HAF, em 3 o IBG, em 2 o FDG e em 4 o HCI. Figura 2.1- Oval regular dado os dois eixos Traçar uma oval regular arredondada, dado o eixo menor AB, Figura 2.2 traçar a mediatriz de AB para determinar a posição do eixo maior; toma-se O1 = O2 = OA/2; une-se A1 encontrando C, A2 o D, B1 o F e B2 o E; ponta seca em A abertura até o B traça-se o arco CBD, ponta seca em B e mesma abertura o arco FAE, centro 1 o arco CF e em 2 o DE. Figura Oval regular arredondada dado o eixo menor.

22 Traçar uma oval regular arredondada, dado o eixo maior AB, Figura 2.3. divide-se o eixo maior dado em três partes iguais determinando O 1 e O 2 ; trace os triângulos eqüiláteros O 1 O 2 O 3 e O 1 O 2 O 4 ; ponta seca em O 1 traça-se o arco CAF, em O 2 o arco DBE, ponta seca em O 3 e abertura até F o arco FE e em O 4 o arco CD. Figura 2.3 Oval regular arredondada dado o eixo maior Traçar uma oval regular alongada, dado o eixo menor AB, Figura 2.4. traçar a mediatriz de AB; faz-se OO 1 = OB = AO = OO 2 ; com a ponta seca em A e raio AB trace o arco EBF e em B o arco GAH; ponta seca em O 1 trace arco GF e em O 2 arco EH. Figura 2.4 Oval regular alongada dado o eixo menor Traçar uma oval regular alongada, dado o eixo maior AB, Figura 2.5. traçar a mediatriz de AB; divide-se OA e OB ao meio; trace os triângulos eqüiláteros O 1 O 2 O 3 O 1 O 2 O 4 ; com ponta seca em O 1 trace o arco EAD e em O 2 o arco FBC; ponta seca em O 3, trace o arco DC e em O 4 arco EF. Figura 2.5 Oval regular alongada dado o eixo maior.

23 Traçar uma oval irregular de quatro centros, dado AB, Figura 2.6. traçar a mediatriz de AB; centro em O e raio OA, obtém-se o ponto C; une-se AC e BC; ponta seca em A e abertura AB trace o arco até encontrar o ponto D e com a ponta seca em B encontra-se E; com ponta seca em C e abertura CE trace o arco ED. Figura 2.6 Oval irregular de quatro centros Traçar uma oval irregular de seis centros, dado o diâmetro AB do semicírculo, Figura 2.7. traça-se a mediatriz de AB encontrando-se o ponto E no eixo maior; faz-se a mediatriz de OB obtendo-se o ponto M; ponta seca em A e abertura até M encontra-se C, AC = AM, com a mesma abertura e ponta seca em B determina-se D, BD = AM; une-se C a E e D a E encontrando-se respectivamente os pontos F e G; obtém-se J com EJ = OM; ponta seca em C abertura até B trace o arco para encontrar o ponto I, com mesma abertura e ponta seca em D determina-se H; com ponta seca em F e abertura até I trace o arco para encontrar L e com a mesma abertura e a ponta seca em G trace o arco para encontrar o ponto K; ponta seca em J e abertura até K trace o arco KL. Figura 2.7 Oval irregular de seis centros.

24 Traçado de arcos Construir o arco ogival sabendo-se o valor do vão AB, visto na Figura 2.8. traçar o seguimento AB do vão e as perpendiculares a esse em A e B; ponta seca em A e abertura até B trace um arco e com mesma abertura ponta seca em B encontrando-se o ponto C. Figura Arco ogival Construir um arco ogival sabendo-se os valores do vão AB e da flecha OC, visto na Figura traçar o seguimento AB do vão e as perpendiculares a esse em A e B; encontra-se a mediatriz de AB marcando-se a medida da flecha OC; faz-se as mediatrizes de AC e BC encontrando respectivamente os pontos E e D; ponta seca no ponto E abertura até A trace o arco AC e com mesmo raio, ponta seca em D o arco BC. Figura 2.9 Arco ogival dado a flecha.

25 Construir o arco ogival de ferradura sabendo-se o valor do vão AB, mostrada na Figura traçar o seguimento AB do vão e as perpendiculares a esse em A e B; trace a mediatriz do seguimento AB encontrando-se o ponto O; ponta seca em O e raio AO encontra-se o ponto C; prolonga-se AC e BC; ponta seca em C e raio CA trace os arcos a partir de A encontrando D e a partir de B encontrando o E; ponta seca em A abertura até E trace o arco encontrando F, com a mesma abertura, ponta seca em B, trace o arco DF. Figura 2.10 Arco ogival de ferradura Construir uma ogival gótica sabendo-se o valor do vão AB, mostrada na Figura traçar o seguimento AB do vão e as perpendiculares a esse em A e B; trace a mediatriz do seguimento AB encontrando-se o ponto O; ponta seca em O e raio AO encontra-se o ponto C; prolonga-se AC e BC; ponta seca em C e raio CA trace os arcos a partir de A encontrando D e a partir de B encontrando o E; encontram-se os pontos F e G, fazendo AE = EG = BD = DF; ponta seca em F e raio FD traçe um arco e com ponta seca em G e mesmo raio trace outro arco encontrando H. Figura Arco ogival gótico.

26 Espiral Evolvente do círculo. Evolvente do círculo é a curva descrita por um ponto A fixo numa reta que rola sem deslizar em torno de uma circunferência, mantendo-se sempre tangente a ela. Essa curva é importante no estudo das engrenagens com perfis de dentes evolventes Traçado da espiral evolvente de um círculo de raio dado R, Figura divide-se a circunferência em número n de partes iguais; traçam-se as tangentes nos pontos das divisões; com a ponta seca na posição 1 e abertura até o ponto P, marca-se P1 na tangente 1. na tangente 2 marcam-se duas divisões de raio P1 e assim sucessivamente. Figura 2.12 Evolvente Curvas cíclicas Ciclóide. É a curva descrita por um ponto de uma circunferência que rola sobre uma reta sem escorregamento, conhecendo-se o raio do círculo gerador pode-se traçar uma ciclóide, Figura Figura 2.13 Ciclóide.

27 Epiciclóide. É a curva descrita por um ponto de uma circunferência que rola sobre outra exteriormente, sem escorregamento, Figura Figura 2.14 Epiciclóide Hipociclóide É a curva descrita por um ponto de uma circunferência que rola sobre outra, interiormente, sem escorregamento, Figura Figura Hipociclóide

28 Cônicas As curvas cônicas têm suas origens nas seções feitas em um cone, mostradas na Figura 16. um plano qualquer da seção tem-se a elipse; um plano paralelo a uma geratriz tem-se a parábola; um plano paralelo ao eixo do cone tem-se a hipérbole. (a) (b) (c) Figura 16 Seções em um cone: (a) Elípse; (b) Parábola; (c) Hipérbole Elípse. É uma curva plana fechada cuja soma das distâncias de qualquer um de seus pontos aos focos F 1 e F 2 é constante e igual ao eixo maior AB, Figura 17. Figura 17 Elipse.

29 29 Pode-se traçar uma elipse usando a seqüência executada na Figura 2.18: traçar o eixo maior AB e encontre sua mediatriz determinando o ponto O; com centro no ponto O descrevem-se duas circunferências de diâmetro AB e CD; divide-se uma das circunferências em um número qualquer de partes iguais e transfira as divisões para a outra circunferência; nas divisões da circunferência AB trace perpendiculares em relação ao eixo maior e na circunferência de eixo CD trace as perpendiculares em relação ao eixo menor, na interseção dessas perpendiculares encontram-se os pontos da elipse. toma-se abertura do compasso igual a medida AO, com a ponta seca em C ou D encontra-se os focos F e F sobre o eixo maior Parábola. Figura 2.18 Elipse. É uma curva plana aberta, cujos ramos se prolongam ao infinito, também é o lugar geométrico dos pontos do plano que têm igual distância de um ponto fixo chamado foco, F, e de uma reta chamada diretriz, D, mostrada na Figura O ponto de interseção da parábola com o eixo X chama-se vértice, V. Figura Parábola.

30 Hipérbole É o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias de dois pontos fixos chamados focos têm uma diferença constante e igual a V o V 1, Figura É formada por dois ramos simétricos em relação a dois eixos perpendiculares entre si; destes eixos, o cortado pelos ramos da hipérbole chama-se eixo transversal e o outro, eixo não transversal. Os ramos da hipérbole são tangentes, no infinito, a duas retas chamadas assíntotas. Se as assíntotas são perpendiculares entre si, a hipérbole é eqüilátera. Figura 2.20 Hipérbole Hélice É a curva formada sobre a superfície cilíndrica por um lado de um ângulo que gira em torno do cilindro, enquanto o outro lado gira sobre o círculo da base, Figura 2.21 Traçado da hélice sobre um cilindro, conhecidos o passo e o diâmetro. Figura 2.21 Traçado de uma hélice.

31 31 Capítulo 03 Projeções. Introdução. O problema fundamental que se apresenta ao desenhista é o de representar um objeto tridimensional em um plano com somente duas dimensões e que normalmente é uma folha de papel ou a tela de um computador. Os métodos de representação de um objeto num plano são fundamentalmente três: a) projeção axonométrica, perspectivas: projeção axonométrica ortogonal (perspectiva isométrica, dimétrica e trimétrica); projeção axonométrica oblíqua ou cavaleira; b) perspectiva cônica (perspectivas exatas); c) projeções ortogonais (representadas pelas vistas no desenho técnico) Projeção axonométrica ortogonal. Supõe-se que uma superfície do objeto, seja colocada não ortogonalmente a um plano P posterior a ele. Imagine-se que o objeto seja iluminado por uma fonte luminosa colocada à distância infinita e perpendicular ao plano P e formando com o objeto um ângulo diferente de 90 o, obtém-se desta forma a projeção axonométrica ortogonal. As projeções axonométricas são representações de figuras espaciais, sólidos, num plano, nestas condições, a figura não se reproduz em verdadeira grandeza, Figura 3.1. Figura 3.1 Representação de uma projeção axonométrica ortogonal

32 Projeção axomométrica isométrica, perspectiva isométrica. Os três ângulos α, β e γ são iguais entre si e portanto de 120 cada um conforme mostra a Figura 3.2a Projeção Axonometria dimétrica, dois ângulos são iguais entre si e o terceiro é diferente; consequentemente, duas arestas não sofrem reduções, ao passo que a terceira sofre. Entre as várias combinações que se possam ter, as normas prevêem o uso dos seguintes ângulos:131,5 ; 131,5 e 97, com estes valores, a aresta segundo o eixo X sofre uma redução de 50 %, os ângulos são mostrados na Figura 3.2b. (a) (b) Figura 3.2 Os eixos de uma perspectiva: (a) Isométrica e (b) Dimétrica. A Figura 3.3 ilustra os três tipos de perspectivas axonométricas ortogonais, incluindo outra possibilidade de ângulos para as perspectivas dimétricas. (a) (b) (c) Figura 3.3 Projeções axonométricas ortogonais: (a) isométrica; (b) dimétrica e (c) trimétrica.

33 Projeção axonométrica oblíqua ou cavaleira. Se o objeto mantém-se paralelo ao plano P e se coloca a fonte luminosa de modo que os raios incidam na figura e portanto no plano P com um ângulo diferente de 90, tem-se projeção axonométrica oblíqua também chamada projeção axonométrica cavaleira. Neste caso a figura plana se reproduz também em verdadeira grandeza; todavia, considerando um sólido, a terceira dimensão deste (profundidade) aparece no plano com comprimento modificado e formando um certo ângulo com a horizontal, na Figura 3.4 tem-se uma representação dessa projeção. Figura 3.4 Representação de uma projeção axonométrica oblíqua Projeção axonométrica oblíqua ou cavaleira, ocorre quando o objeto tem a superfície que se observa paralela ao plano de projeção, como na projeção ortogonal, mas os raios incidentes são oblíquos em relação ao plano de projeção. (a) (b) (d) Figura 3.5 Perspectiva cavaleira; (a) 30º; (b) 45º e (c) 60º.

34 Perspectiva cônica. Se os raios luminosos provêm não do infinito, mas de uma fonte O a uma distância finita, centro óptico, o contorno do objeto F, que se obtém num plano P, muda de dimensões conforme a posição da fonte O. Este perfil toma o nome de perspectiva cônica ou central, Figura 3.6. Figura 3.6 Representação da projeção cônica As perspectivas cônicas podem ser representas conforme ilustra a Figura 3.7, com um ponto de fuga, dois e três. Figura 3.7 Representação das perspectivas cônicas com um, dois e três pontos de fuga vistas de cima.

35 35 A perspectiva exata pode ser desenhada usando o Processo Prático, ilustrado na Figura 3.8. Figura Ilustração do método prático O MÉTODO 1. Desenha-se a planta em uma escala conveniente e com uma aresta sobre a reta PQ, (Plano de Quadro) 2. Determina-se a distância d, localiza-se PV, tal que o ângulo A-PV-B seja menor que 60 o. 3. Traça-se PV- F 2 paralelo a O 2 -A e PV-F' 2 paralelo O 2 -B. 4. Traça-se a LH ( Linha do Horizonte) e a LT (Linha de Terra), a uma distância h ( altura do observador). 5. Projeta-se F 2 sobre a LH e encontra-se f 1, repete-se o processo para F' Determina-se a altura O 1 C 1 do objeto. 7. Traça-se f 1 O 1, f 1 C 1, f' 1 O 1 e f' 1 C Projeta-se A-PV e encontra-se a 1, análogo para b Projeta-se a 1 sobre f 1 C 1 e f 1 O 1, repete-se para b Determina-se desta forma a perspectiva exata do objeto, pelo processo prático.

36 A perspectiva isométrica de círculos. Método de construção da axonométrica isométrica de um círculo: traçam-se as diagonais maiores e menores de cada face. Elas se cruzam no centro da face, Figura 3.11.a; pelo centro das faces traçam-se paralelas aos eixos, as linhas médias; com centro do compasso na extremidade da diagonal menor de uma das faces, abre-se até a extremidade mais distante de uma linha média da mesma face, linhas traço-ponto mostram esses raios, Figura 3.9.b; traça-se um arco até a extremidade da outra linha média. Assim, são traçados todos os arcos maiores da figura ; obtêm-se os centros dos arcos menores pelas interseções das diagonais maiores com os raios traçados pelas extremidades dos arcos maiores, Figura 3.9.c; com centro do compasso nesses pontos e abertura até a extremidade mais próxima dos arcos maiores, traçam-se os arcos menores. Figura Representação da perspectiva isométrica de um círculo A Figura 3.10 mostra o método acima descrito de forma detalhada. Figura 3.10 Representação detalhada do desenho de círculos em perspectiva isométrica.

37 Exercícios 3.1 Desenhar as perspectivas isométricas dadas. (a) (b) (c) (d) (e) (f)

38 Projeção ortogonal. Supõe-se que o objeto, por exemplo a figura plana F, seja colocada paralelamente a um plano P posterior a ela. Imagine-se que a figura seja iluminada por uma fonte luminosa colocada a uma distância infinita e perpendicular ao plano de projeção, conseqüentemente, os raios que provêm da fonte são paralelos entre si e ao mesmo tempo perpendiculares à figura F e ao plano P, eles reproduzirão, no plano P, uma imagem com o mesmo contorno e a mesma grandeza de F, chamada projeção ortogonal da figura F no plano P; (ortogonal = perpendicular). Portanto, na projeção ortogonal a figura plana considerada se reproduz em verdadeira grandeza, a Figura 3.11 representa a projeção ortogonal. Figura 3.11 Representação da projeção ortogonal Método Mongeano de Projeções, o ponto. Para fixar a posição de um ponto no espaço, Gaspard Monge criou o Método da dupla projeção cílindrico-ortogonal ou Método Mongeano. Para passar da figura do espaço para o plano, efetua-se o rebatimento do P.H. sobre o P.V., até que ambos se coincidam, após uma rotação de 90 o, em torno da linha de terra, Figura 3.12.

39 39 Figura Representação do rebatimento de um ponto nos quatro diedros Método Mongeano de Projeções e rebatimento de um objeto nos 4 diedros, Figura Figura 13 As projeções e o rebatimento nos quatro diedros. Observando-se na Figura 3.14, o rebatimento das projeções no 2 o e 4 o diedros se sobrepõem, o que inviabiliza este tipo de rebatimento para o desenho técnico. Pode-se concluir que o desenho técnico terá seu rebatimento feito no 1 o e 3 o diedros. O método de projeções ortogonais na norma Americana é feito no 3 o diedro, enquanto que o sistema de projeções no Sistema Internacional e incluindo a ABNT, Associação Brasileira de Normas Técnicas adotam-se as projeções em 1 o diedro. As projeções no desenho técnico são muitas vezes chamadas de vistas e é de fundamental importância reconhecer em qual diedro foi feito o rebatimento Sistema de projeções em primeiro diedro. A Figura 3.14 mostra o sistema de projeções e rebatimento, em primeiro diedro. (a) (b) (c) Figura Representação de projeções e rebatimento em primeiro diedro: (a) projeção vertical, vista principal; (b) projeção horizontal, vista superior ou planta, (c) projeção no plano de perfil, vista lateral esquerda.

40 40 A Figura 3.15, mostra o objeto em primeiro diedro, a representação do rebatimento e as vistas. Figura 3.15 Rebatimento em primeiro diedro: (a) objeto no 1º diedro; (b) visualização do rebatimento; (c) as projeções ortogonais em 1º diedro.

41 Sistema de Projeções em terceiro diedro. A Figura 3.16, mostra o objeto em terceiro diedro, a representação do rebatimento e as vistas. Figura 3.16 Rebatimento em terceiro diedro: (a) objeto no 3º diedro; (b) visualização do rebatimento; (c) as projeções ortogonais em 3º diedro.

42 42 Escolhe-se a posição de observação que melhor caracterize o objeto com vista principal, a Figura 3.17 mostra alguns exemplos. Figura 3.17 Exemplos da escolha da vista principal.

43 A Figura 3.18 representa o rebatimento em 1 o e 3 o diedros das seis projeções ortogonais. (a) (b) Figura 3.18 Rebatimento(a) em primeiro; (b) terceiro diedros Exemplos das projeções ortogonais

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46 3.8 -Exercícios Dadas as perspectivas, faça em 1 o diedro as três vistas que representam cada peça. 46

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50 3.9 Exercícios Dada às vistas, complete-as, identifique os diedros e esboce as perspectivas. 50

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53 Vistas auxiliares São vistas obtidas sobre planos auxiliares de projeção, inclinados em relação aos planos principais de projeções. Empregam-se para representar, com exatidão, detalhes do objeto, inclinados em relação às faces principais. (a) (b) Figura 3.19 Projeções de vistas auxiliares: (a) em 1º diedro; (b) em 3º diedro Projeções dos sólidos geométricos elementares inclinados em relação aos planos de projeções. Nas Figuras 3.20, 3.21 e 3.22 são mostrados exemplos. Figura Projeção de um prisma de base octogonal. Figura 3.21 Projeção de um cilindro.

54 54 Figura 3.22 Projeção de uma pirâmide de base octogonal 3.12 Seções, casos fundamentais. A Figura 3.23 mostra uma seção elíptica, a Figura 3.24 uma seção parabólica e a Figura 3.25 uma seção hiperbólica. Figura 3.23 Seção elíptica.

55 55 Figura 3.24 Seção parabólica Figura 3.25 Seção hiperbólica. As seções quando não são rebatidas ortogonalmente em relação aos seus planos não se encontram em verdadeira grandeza, deve ser então feito o rebatimento ortogonalmente a seção para se ter a verdadeira grandeza Rebatimento de seção, representada na Figura Figura 3.26 Rebatimento das seções de um prisma de base hexagonal.

56 Exercícios 3.4 Dadas as vistas principais completas, determine as vistas superiores e as laterais.

57 Exercícios 3.5 Determine as verdadeiras grandezas das seções MN nas pirâmides dadas: (a) (b) Capítulo 04 - Planificação de sólidos geométricos. A planificação de um sólido significa cortar-lhe a superfície segundo uma ou mais linhas escolhidas oportunamente, imaginando-o como se fosse uma folha de espessura infinitesimal, e distendê-la sobre um plano. 4.1 Desenvolvimento da superfície de uma pirâmide reta de base quadrada. Figura 4.1. Pirâmide de base quadrada

58 Desenvolvimento da superfície de um prisma reto de base hexagonal. Figura 4.2 Prisma de base hexagonal Desenvolvimento da superfície de um tronco pirâmide reta de base hexagonal Figura Desenvolvimento da superfície de um tronco pirâmide reta de base hexagonal

59 Desenvolvimento da superfície de um oblíquo de cilindro reto Figura 4.5 Cilindro reto Desenvolvimento das superfícies de uma junção de cilindros Figura 4.6 Juntas cilíndricas

60 Exercícios Planifique os elementos dados: 5 - Bibligrafia: A.R. Giongo, Curso de Desenho Geométrico, Nobel, São Paulo, 1975 G. Manfé, Manual de Desenho Técnico Mecânico, Renovada Livros Culturais Ltda. S.F.Silva, A Linguagem do Desenho Técnico,Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro. F. Provenza, Desenhista de Máquinas, Pro-Tec, São Paulo, 1978 A.J. Rodrigues, Geometria Descritiva, vol.1, Agir, Rio de Janeiro, A. Machado, Geometria Descritiva, Atual Editora, São Paulo, 1986; Jr, A.R. Príncipe, Geometria Descritiva, Vol I e II, Livraria Nobel, São Paulo, 1983;