Redes complexas. Marcio Argollo de Menezes Universidade Federal Fluminense Niterói, Rio de Janeiro

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1 Redes complexas Marcio Argollo de Menezes Universidade Federal Fluminense Niterói, Rio de Janeiro

2 Redes: um paradigma de sistemas interagentes Redes Físicas: Estruturas estáticas/dinâmicas Relacionais: Sociais, econômicas Cristalografia, teoria de grupos, estrutura eletrônica Relevância da estrutura de uma rede em propriedades estruturais e de transporte

3 Redes: um paradigma de sistemas interagentes Redes Físicas: Estruturas estáticas/dinâmicas Relacionais: Sociais, econômicas

4 A experiência de Milgram Stanley Milgram "The Small World Problem, Psychology Today 2: (1967). Remetentes aleatoriamente escolhidos na costa leste dos EUA Destinatário na costa oeste Se remetente conhece o destinatário pessoalmente, entrega a carta Se não conhecer, entrega para amigo que possa conhecer o destinatário

5 A experiência de Milgram Stanley Milgram "The Small World Problem, Psychology Today 2: (1967). Remetentes aleatoriamente escolhidos na costa leste dos EUA Destinatário na costa oeste Se remetente conhece o destinatário pessoalmente, entrega a carta Se não conhecer, entrega para amigo que possa conhecer o destinatário 3 l15=2 [1 2 5] l17=4 [ ] < l > =??

6 A experiência de Milgram Stanley Milgram "The Small World Problem, Psychology Today 2: (1967). Remetentes aleatoriamente escolhidos na costa leste dos EUA Destinatário na costa oeste Se remetente conhece o destinatário pessoalmente, entrega a carta Se não conhecer, entrega para amigo que possa conhecer o destinatário Six degrees of freedom N ~ 106 <l> ~ 6

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8 Grafos Aleatórios de Erdös-Rényi P. Erdos and A. Renyi. On random graphs. Publ. Math. Debrecen, 6: , Pál Erdös ( )

9 Grafos Aleatórios de Erdös-Rényi P. Erdos and A. Renyi. On random graphs. Publ. Math. Debrecen, 6: , Pares de sítios conectados c/ prob. p Pál Erdös ( )

10 The Gn,p model n : the number of vertices 0 p 1 for each pair (i,j), generate the edge (i,j) independently with probability p Poisson distribution

11 E o amigo do amigo? Probability to be connected = C C= # of links between 1,2, n neighbors n(n-1)/2 Na rede aleatória C ~ p = <k>/n Loops são improváveis! Localmente temos árvores

12 The Gn,p model n : the number of vertices 0 p 1 for each pair (i,j), generate the edge (i,j) independently with probability p Poisson distribution

13 E o amigo do amigo? Probability to be connected C= Na rede aleatória C ~ p = <k>/n Em redes empíricas C >> 1/N # of links between 1,2, n neighbors n(n-1)/2

14 Redes Small World Duncan J. Watts & Steven H. Strogatz, "Collective dynamics of 'small-world' networks". Nature 393: (1998).

15 Redes Small World Duncan J. Watts & Steven H. Strogatz, "Collective dynamics of 'small-world' networks". Nature 393: (1998).

16 Redes Small World Duncan J. Watts & Steven H. Strogatz, "Collective dynamics of 'small-world' networks". Nature 393: (1998).

17 Grupo de renormalização e redes small-world: ``First-order phase transition on small-world networks'', M. Argollo de Menezes, C.F. Moukarzel and TJP Penna, Europhys. Lett. 50, 5 (2000 )

18 Grupo de renormalização e redes small-world: ``First-order phase transition on small-world networks'', M. Argollo de Menezes, C.F. Moukarzel and TJP Penna, Europhys. Lett. 50, 5 (2000 ) No limite termodinâmico (N ) redes SW têm mesma propriedades topológicas de redes aleatórias (Erdös-Rényi) p*=0 p*=1

19 O DNA: a memória da receita da vida

20 A complexidade deve estar na forma como os elementos se conectam!

21 A Internet União Soviética lança com sucesso o Sputnik DoD cria sistema de informação resistente a desastres (nucleares)

22 A Internet União Soviética lança com sucesso o Sputnik DoD cria sistema de informação resistente a desastres (nucleares) Militares transferem sistema para universidades (ARPANET)

23 A Internet União Soviética lança com sucesso o Sputnik DoD cria sistema de informação resistente a desastres (nucleares) Militares transferem sistemas para universidades (ARPANET) NSFNET - Backbone + sub-redes (MCI, Sprint)

24 A Internet União Soviética lança com sucesso o Sputnik DoD cria sistema de informação resistente a desastres (nucleares) Militares transferem sistemas para universidades (ARPANET) NSFNET - Backbone + sub-redes (MCI, Sprint) Aumento exponencial no número de sub-redes

25 World Wide Web Nodes: WWW documents Links: URL links 800 million documents (S. Lawrence, 1999) ROBOT: collects all URL s found in a document and follows them recursively R. Albert, H. Jeong, A-L Barabasi, Nature, (1999)

26 What did we expect? k ~ 6 P(k=500) ~ NWWW ~ 109 N(k=500)~10-90 We find: γout= 2.45 γ in = 2.1 P(k=500) ~ 10-6 NWWW ~ 109 N(k=500) ~ 103

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29 O que isso significa? Exponential Scale-free

30 # de vizinhos de um dos vizinhos de um sítio i=

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32 ACTOR CONNECTIVITIES Nodes: actors Links: cast jointly Days of Thunder (1990) Far and Away (1992) Eyes Wide Shut (1999) N = 212,250 actors k = P(k) ~k-γ γ=2.3

33 SCIENCE CITATION INDEX Nodes: papers Links: citations 25 Witten-Sander PRL PRL papers (1988) 2212 P(k) ~k-γ (γ = 3) (S. Redner, 1998)

34 Sex-web Nodes: people (Females; Males) Links: sexual relationships 4781 Swedes; 18-74; 59% response rate. Liljeros et al. Nature 2001

35 GENOMA Interação proteina gen PROTEOMA Interação proteina-proteina enzimas METABOLOMA Reações bioquímicas Citrate Cycle

36 Cadeias de reações metabólicas (em verdade, redes) # Reação Fórmula Enzima 1 2 ATP + Ac AcCoA acs 2 AcP ATP + Ac acka 3 AcP ATP + Ac acke 4 Hex ATP atp_e N ATP NAD G6P Biomassa

37 Cadeias de reações metabólicas (em verdade, redes) # Reação Fórmula Enzima 1 2 ATP + Ac AcCoA acs 2 AcP ATP + Ac acka 3 AcP ATP + Ac acke 4 Hex ATP atp_e N ATP NAD G6P Biomassa

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40 Vantagens e desvantagens da topologia scale-free Resistente ao malfuncionamento ocasional de seus elementos (sítios) Extremamente sensível a ataques intencionais dos Hubs.

41 Vantagens e desvantagens da topologia scale-free Resistente a uma falha ocasional de algum de seus elementos Extremamente sensível a ataques intencionais dos Hubs.

42 Nature (2000) One way to understand the p53 network is to compare it to the Internet. The cell, like the Internet, appears to be a scale-free network.

43 Perguntas (V ou F, justifique) ( ) Ao tratar sistemas com elementos interagentes como redes não perdemos informação ( ) Os sítios de redes aleatórias possuem conectividades bastante distintas ( ) Aeroportos são exemplos de topologias livre de escala ( ) A distância típica entre dois sítios em uma rede aleatória com N sítios é proporcional a N