A INFLUÊNCIA DA LIQUIDEZ NO VALOR EM RISCO 1. Fernando Hideki Kato 2

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1 IV SEMEAD A INFUÊNCIA DA IQUIDEZ NO VAOR EM RISCO Fernando Hideki Kato RESUMO Os modelos tradicionais de valor em risco (Value at Risk - VaR) não levam em conta o aspecto liquidez dos ativos. Intuitivamente, um ativo líquido está menos exposto ao risco do que um ilíquido. Este trabalho analisa a influência da liquidez e propõe uma fórmula que modifica os modelos tradicionais de valor em risco assumindo que o trader vai se desfazer de sua posição. O tempo que ele levará para se desfazer dependerá de vários fatores: o tamanho da posição, o volume médio negociado, e a urgência da venda, entre outros. Foram feitos back-tests (testes retroativos) do valor em risco usual e do valor em risco ajustado à liquidez usando-se três modelos de volatilidade: média móvel (Moving Average MA), média móvel ponderada exponencialmente (Exponentially Weighted Moving Average EWMA) e simulação histórica (Historical Simulation). O tema deste trabalho foi sugerido por Marcelo Quadros (Trading Risk Manager Ing-Barings São Paulo). Ele também providenciou os recursos do banco onde este trabalho foi feito. Créditos devem ser dados ao Professor Dr. Jorge Arnaldo Maluf Filho (Diretor Booz Allen & Hamilton São Paulo), que motivou e deu valiosas sugestões. Graduado em Engenharia de Computação pelo ITA e em Administração de Empresas pela FEA/USP. Atualmente presta consultoria em software financeiro para bancos em áreas como Risk Management, Brady Bonds e Notícias e Cotações em Tempo Real. Outubro de 999

2 INTRODUÇÃO O objetivo deste trabalho é analisar a influência do aspecto liquidez de um ativo (ação) no seu risco. Os modelos tradicionais de valor em risco não levam em conta o aspecto liquidez dos ativos. Eles assumem que a posição vai permanecer constante ao longo do dia e o risco diário é calculado usando-se a volatilidade dos retornos históricos de fechamento a fechamento. Intuitivamente, um ativo líquido é menos exposto ao risco do que um ilíquido porque se seu preço está caindo, um trader pode se desfazer rapidamente de sua posição. Em muitos casos, o tempo desta venda pode ser tão curto quanto uma hora, de modo que ele não estará exposto ao risco de um dia inteiro. Por outro lado, ativos ilíquidos podem levar dias ou meses para serem vendidos e o risco deste longo período pode ser significativo para a instituição. O valor em risco ajustado à liquidez geralmente será menor do que o valor em risco tradicional porque, geralmente, mais de 9% do portfolio de um banco consiste de ativos líquidos. Esta forma de cálculo permite que os traders tenham uma posição maior sem ultrapassar seus limites, e portanto podem potencialmente trazer mais lucro ao banco. Valor em Risco Valor em risco é uma estimativa da maior perda que um portfolio pode, potencialmente, sofrer em um certo período, com uma certa confiança, sob condições normais de mercado. Por exemplo, uma pessoa pode dizer: Sob condições normais de mercado, a perda máxima esperada do portfolio em um dia é milhão de dólares, com confiança unicaudal de 97.%. A confiança unicaudal de 97.% significa que o portfolio pode perder mais de milhão de dólares em. dias de cada dias. As condições normais de mercado devem ser ditas porque os modelos de valor em risco geralmente, são baseados em dados históricos recentes. iquidez Definição iquidez é um conceito que indica facilidade de negociação (trading). ippman e McCall (986) definiram liquidez em termos do tempo que o ativo leva para ser transacionado. Hasbrouck e Schwartz (988) caracterizam um mercado líquido pela sua profundidade, largura (breadth) e recuperação (resiliency). Profundidade refere-se à existência de ordens de compra e venda perto do preço de mercado corrente; largura é a existência de ordens em volume substancial e recuperação é a capacidade de novas ordens responderem a mudanças de preço causadas por desbalanceamentos no fluxo de ordens de curto prazo. Outros autores, como Amihud e Mendelson (986), definem liquidez como a diferença entre o preço de compra e de venda (bid-ask spread). Bernstein (987) revê as diversas medidas de liquidez e aponta os problemas de se usar apenas uma única medida.

3 Fatores que Afetam a iquidez iquidez envolve diversos fatores inter-relacionados: Traders motivados pela liquidez. São aqueles que demandam liquidez; se está querendo comprar, ele estará disposto a pagar um preço maior; e se está querendo vender, ele aceitará um preço menor. Ele tem urgência em comprar ou vender. Sistema de negociação. Um sistema de negociação automatizado (computadorizado) permite que mais pessoas recebam informação e que negociem mais freqüentemente. Em bolsas que não possuem um sistema computadorizado, as operações ocorrem no viva-voz. Ações mais líquidas serão negociadas por um grupo de operadores de pregão (floor traders) muito próximos fisicamente uns dos outros. Ações menos líquidas serão negociadas somente se um operador encontrar outro com intenção oposta naquele lugar e naquele momento. Número de acionistas. Se as ações estiverem concentradas nas mãos de poucos, haverá menos liquidez. Objetivo do acionista. Existem investidores com intenção de segurar a ação por um longo prazo (fundos de pensão) e outros por um curto prazo (trader fazendo day-trading). Bernstein e F. Black notaram um curioso paradoxo: Negociação ruidosa realmente coloca ruído nos preços. Os preços serão menos eficientes. O que é preciso para um mercado líquido torna os preços menos eficientes.. Diferença entre preço de compra e venda (bid-ask spread). Ações que não são negociadas freqüentemente são caracterizadas por uma grande diferença entre os preços de compra e de venda. Isto significa que o preço que os compradores estão desejando pagar está muito abaixo do que os vendedores querem receber. Preço de uma ação individual. Se o preço de uma ação (ou lote) for muito alto, vai dificultar pequenas negociações e se for muito baixo, um incremento de um centavo significará um incremento percentual muito grande. Para corrigir isto, é necessário fazer uma quebra (split) ou uma junção (join). Eventos tais como nova informação, distribuição de lucros, boatos, etc. Maturação de opções de compra com entrega. Isto causa picos de volume negociado. eilões e ofertas públicas. eilões feitos pelo BNDES causam picos de volume negociado. Ajustes de fim de ano. Para ajustarem seus portfolios, alguns investidores negociam mais. Eventos macroeconômicos. Se há uma expectativa generalizada de queda, muitos tentarão vender e poucos irão querer comprar, diminuindo o número de negociações. Foi o que aconteceu no México, em dezembro de 994. Indicadores estrangeiros. Se a taxa de juros dos Estados Unidos (US Treasury) cair, mais investidores estrangeiros virão para o Brasil e vice-versa. Se a bolsa americana estiver indo bem, menos investidores estrangeiros virão para o Brasil e vice-versa. Riscos percebidos por investidores estrangeiros no Brasil, tais como inflação e desvalorização da moeda. Riscos percebidos por investidores estrangeiros em outros mercados, tais como Ásia e outros países da América atina.

4 Índices de iquidez Diferença entre preço de compra e venda (bid-ask spread). Volume negociado. Número de operações. Índice de liquidez da Bovespa: = P GN Onde: P G N Índice de liquidez de uma ação. Presença relativa da ação no mercado, isto é, número de dias em que há pelo menos uma operação sobre o total de dias considerados. Presença relativa de operações, isto é, participação percentual da ação no mercado, em termos de número de operações realizadas, no período considerado. Participação percentual da ação no mercado, em termos de volume negociado ($), no período considerado. O índice de liquidez é uma média geométrica da participação percentual da ação no mercado em termos de volume monetário e número de operações, ponderado pela presença relativa. A média geométrica de N e G é, particularmente, apropriada para a medida de liquidez porque à medida em que elas se separam, o resultado decresce. Por exemplo, para os números 49 e, as médias aritméticas e geométricas são. e 49.99, mas para os números e 99 elas serão. e 9.9, isto é, a média geométrica é sensivelmente menor do que a média aritmética. Uma ação terá um alto índice se ela for efetivamente líquida: deve ser negociada (pelo menos uma vez) em todos os dias do período, com alto volume e alto número de negócios. Risco de iquidez Definição Risco de iquidez é o risco de ser incapaz de liquidar uma posição em um certo intervalo de tempo e a um preço razoável [Murunaga]. Fatores que Afetam o Risco de iquidez É importante conhecer os fatores qualitativos que afetam a liquidez porque nenhum modelo quantitativo pode contemplar todos os fatores qualitativos. Se uma mudança significativa ocorrer em um dos fatores não contemplados (que não estão na hipótese do modelo), o analista deve ser capaz de entender os efeitos no resultado do modelo. Necessidade de comprar ou vender rapidamente. Concentração (mais de % do volume médio negociado) em suas mãos. Possibilidade que outros traders percebam sua estratégia e aumentem ou diminuam o preço quando você quer comprar ou vender. 4

5 Efeito de negociação em bloco: Ocorre quando um grande volume é negociado e afeta a diferença entre o preço de compra e de venda: Bid-ask spread Venda Compra Três Modelos de Volatilidade Neste trabalho, serão usados três modelos de previsão de volatilidade: média móvel (Moving Average - MA), média móvel ponderada exponencialmente (Exponentially Weighted Moving Average - EWMA) e simulação histórica (Historical Simulation). Média Móvel (MA) O modelo MA calcula a volatilidade como sendo o desvio-padrão dos retornos (na realidade de ln(+retorno)) dos últimos N dias. É, usualmente, representada por MA(N), onde N é a janela de tempo. Os problemas são: Ele dá a mesma importância (peso) a todos os elementos da amostra. Fantasmas. N dias após um movimento acentuado de mercado haverá uma queda acentuada. O modelo ignora a informação inerente na ordem dinâmica dos retornos. Se os retornos forem embaralhados, a resposta será a mesma. É essencialmente um modelo estático que foi adaptado a uma janela de tempo. O método considera a distribuição normal. Média Móvel Ponderada Exponencialmente (EWMA) O modelo EWMA é usado pelo RiskMetrics do banco J.P.Morgan. Ele calcula a volatilidade como uma média ponderada dos retornos. O peso é um fator de decaimento denominado lambda (λ). Quanto menor o λ, maior a importância do último retorno. λ pode variar entre e. Para volatilidades diárias, J.P.Morgan usa em seu portfolio λ=.94. Para um período de N dias, a série r t é definida como: t r + λr + λ r λ + λ + λ λ n t t t t n = = λ + ( ) n t λ rt r

6 A volatilidade t é fácil de se calcular porque ela é recursiva: depende de seu último valor e do último retorno. O valor do primeiro elemento tem pouca influência porque sua importância cai exponencialmente no tempo (J.P.Morgan sugere tomar o retorno do portfolio 7 dias atrás). Neste trabalho o primeiro valor foi tomado como o MA() de uma data longe do período sendo considerado. Covariâncias são calculadas como:, t = λ, t + ( λ) r, t r, t Correlações são calculadas como: ρ =, t, t, t, t Problemas: λ deve ser o mesmo para todas as ações. Caso contrário, haverá problemas para se calcular as covariâncias e não haverá garantias de que as correlações estejam entre e. Simulação Histórica No método da simulação histórica, os preços históricos dos ativos (uma janela de N elementos) são aplicados à composição do portfolio corrente. Isto gera uma série de valores para o portfolio, cuja composição permanece constante naquela janela de tempo. Os retornos são calculados e colocados em um histograma. A volatilidade, com X% de confiança é o valor correspondente a (-X)% no histograma. Este método tem a vantagem de considerar automaticamente efeitos não normais como caudas longas. Back-Test dos Modelos Tradicionais Metodologia Back-tests são essenciais para a verificação da validade de um modelo de risco. A curva do VaR previsto é comparado com outra onde os retornos reais (conhecidos no final do dia) são aplicados à composição do portfolio (assumido constante durante o dia). A porcentagem do número de pontos que excedem a curva prevista (pontos onde a perda é maior do que a prevista) dá a sua confiança e pode ser comparada com a confiança alvo (desejada). Neste trabalho a curva superior também é considerada para efeitos de back-test. Kupiec diz que para se aceitar ou rejeitar acuradamente uma hipótese é importante ter um número mínimo de amostras no back-test. Este valor mínimo pode ser tão alto quanto pontos ( anos de dados diários) para 99% de confiança. Na prática, o número depende da homogeneidade da população. Neste trabalho, os dados disponíveis eram escassos, portanto é necessário cuidado (isto é, mais testes) ao analisar os resultados. A amostra consiste de 4 pontos (dias em que a posição no início do dia era diferente de zero) de Telebrás PN e Telebrás ADR. Eles foram escolhidos por causa de sua importância no portfolio do banco. Um 6

7 possível problema que surgiu é que os dados são de fechamento do dia, mas Telebrás PN é negociada em São Paulo e Telebrás ADR é negociada em Nova Iorque e o horário de fechamento da Bovespa e da Nyse são diferentes. Isto resulta em uma pequena diferença em seus preços (além da taxa de câmbio). A confiança alvo é 97.% unicaudal, então K=.96 e o número pontos excedentes (para cada curva) é 4*.%=. pontos. Isto significa que em toda a amostra, o número ideal de pontos excedentes (para cada curva) é. pontos. Para cada um do três modelos (MA, EWMA, Simulação Histórica) foram construídos dois gráficos: Curva de P/ (Profit and oss) real (a menos de um fator multiplicativo) e a prevista, para o parâmetro com melhor aderência. O parâmetro é o tamanho da janela para MA e Simulação Histórica e o λ para o EWMA. Curva de pontos excedentes em função do parâmetro. O ideal é. pontos em ambas as curvas. Para efeito de comparação, traçou-se também a volatilidade da Telebrás PN, usando-se os três métodos e os respectivos parâmetros de melhor aderência. Conclusão É possível identificar os efeitos da Crise da Ásia o efeito fantasma do MA. Os gráficos mostram que a janela de tempo (para o MA e Simulação Histórica) e o lambda (para o EWMA) têm uma influência significativa no número de pontos excedentes e, portanto, na confiança do modelo. Isto significa que após a escolha do modelo, seu parâmetro deve ser calibrado e alterado (de acordo com a experiência do Risk Manager) sempre que algum evento importante ocorrer. A janela de tempo ótima para o MA é ao redor de dias; para a Simulação Histórica é ao redor de 8 dias. O lambda ótimo para o EWMA é cerca de.8. Os modelos MA e EWMA mostram que os ativos em questão dependem mais de valores recentes. O melhor modelo dos três é o EWMA porque o número alvo de pontos excedentes (.) foi obtido para ambas as curvas com lambda=.8. 7

8 Gráficos para o Modelo MA,,,,, (,) (,,) (,,) Book VaR MA(Ndays=) P/ (USD) VaR (97.%,-tail; 9%,-tail;K=.96) Gráficos para o Modelo EWMA,,,,, (,) //97 //97 /9/97 //98 /6/98 Book VaR EWMA (ambda=.8) P/ (USD) VaR (97.%,-tail; 9%,-tail;K=.96) //98 //98 /7/98 //98 /7/98 4//98 4/4/98 /8/98 //98 6//98 6/9/98 7//98 7/7/98 7// Number of points that exceeded VaR EWMA using volatility calculated with ambda (target is. points) Ndays Under Estimated VaR Ndays Over Estimated VaR //97 //97 /9/97 //98 /6/98 //98 //98 /7/98 //98 /7/98 4//98 4/4/98 /8/98 //98 6//98.9 6/9/98 7// /7/98 7// Number of points that exceeded VaR MA using volatility calculated with NDays (target is. points) Ndays Under Estimated VaR Ndays Over Estimated VaR (,,) (,,) Gráficos para o Modelo de Simulação Histórica,,,,, (,) (,,) (,,) //97 //97 /9/97 //98 Book VaR Hist Simul (Ndays=8) P/ (USD) VaR (97.%,-tail; 9%,-tail;K=.96) /6/98 //98 //98 /7/98 //98 /7/98 4//98 4/4/98 /8/98 //98 6//98 6/9/98 7//98 7/7/98 7// Number of points that exceeded VaR Hist Simul using volatility calculated with NDays (target is. points) Ndays Under Estimated VaR Ndays Over Estimated VaR

9 Volatilidade Telebrás Volatility,8,6,4 MA Volatility(97.%ct) EW MA Volatility(97.%ct) Historical Simulation Volatility (97.%ct),,,8,6,4, -Jan-97 7-Jan-97 4-Fev-97 -Fev-97 -Mar-97 6-Mar-97 -Abr-97 9-Abr-97 -Mai-97 -Jun-97 8-Jun-97 4-Jul-97 -Jul-97 7-Ago-97 -Ago-97 -Set-97 6-Set-97 4-Out-97 -Out-97 7-Nov-97 -Dez-97 9-Dez-97 6-Jan-98 -Jan-98 9-Fev-98 -Fev-98 -Mar-98 -Mar-98 6-Abr-98 4-Mai-98 -Mai-98 -Jun-98 -Jun-98 9-Jul-98 7-Jul-98 Modelo Proposto de Valor em Risco Ajustado à iquidez VaR Diário para um Ativo O VaR diário usual para um ativo é calculado como: VaR = KPos t Where: K Multiplicador de confiança: neste trabalho igual a.96 para 9% confiança bicaudal ou 97.% confiança unicaudal. Pos Posição. Volatilidade (diária) de fechamento a fechamento. t Multiplicador de escala de tempo. Usado para calcular o VaR em uma janela de tempo diferente de um dia. Existem várias hipóteses neste modelo: Os retornos são lognormais. A volatilidade é então calculada com base em ln(+retorno). O modo exato depende do modelo de volatilidade. n(+retorno) é distribuída normalmente e homocedástica (é IID Independent and Identically Distributed). O multiplicador K pode então ser usado para aumentar a confiança. n(+retorno) são não correlacionados no tempo. Ele segue um Movimento Browniano. Esta é uma das hipóteses que permitem que o multiplicador t seja usado. 9

10 VaR ajustado à liquidez para um ativo Considerando VaR = K Pos t E assumindo as seguintes hipóteses: t T = t = dt t A posição decresce linearmente no tempo (na verdade ela decresce seguindo uma escada e tem uma distribuição de probabilidade). Pos Pos TT t T t Pos(t) Pos Pos T =, t T =,T t Onde: Pos(t) Posição em função do tempo. Pos Posição inicial. T Tempo de liquidação. Depende da posição inicial e da taxa de venda (que depende do volume médio negociado do ativo). Volatilidade em função da janela de tempo. Volatilidade para a janela de tempo -T. T Então:

11 VaRT = K Pos ( t) t = K Pos ( t) dt = K T t t t t Pos ( t T ) dt t t t t K Pos ( + ) dt = K Pos ( c + t + T t T T = t t t t = K Pos t + ) = K Post( + T T T T ( ) t T ) t t Então, o VaR ajustado à liquidez para a janela de tempo -t será: VaR T t t = KPos t +, t T T T T T = KPos VaR =,T t Isto é, o valor em risco ajustado à liquidez de um ativo que leva T dias para ser liquidado será o valor em risco usual (diário) vezes a raiz quadrada de T /: VaR = T VaR T VaR Diário para um Portfolio O VaR diário usual para um portfolio é calculado usando-se a matriz de correlações de Markowitz: p = w' Σw Então: VaR = K ( Pos )' R( Pos ) i i i i t Onde: Σ Matriz de variância-covariância (definida positivamente). w Vetor de pesos dos ativos. Volatilidade do portfolio. P R Matriz de correlações (definida positivamente). Pos Posição do ativo i. i Volatilidade do ativo i. i

12 VaR Ajustado à iquidez de um Portfolio Como diferentes ativos terão diferentes tempos de liquidação, a fórmula foi modificada para: VaRT = K ( Posi i T, i )' R( Posi i T, i ) E porque a multiplicação de ativos com janelas de tempo diferentes vai levar a uma fórmula de maior complexidade (mesmo o Risk Metrics evita maiores detalhes), outra hipótese deve ser feita: O tempo de liquidação de todos os ativos deve ser aproximadamente o mesmo. Então a fórmula abaixo pode ainda ser usada: VaR = VaR T T Back-Test do Modelo Proposto Metodologia Neste back-test, o valor previsto pelo VaR ajustado à liquidez é comparado com a posição no início do dia vezes o retorno no tempo de liquidação T ( R ). et T Pos Pos TT Ret Ret TT T t O retorno Ret T deve, idealmente, ser obtido por um dado intraday (no meio do dia). Mas como essa informação não estava disponível, Ret T foi aproximado por: Ret T = l T ( + Ret ) Onde Ret é o retorno usual de fechamento a fechamento. O tempo T foi calculado como:

13 Pos T =.MédiaMóvelDoVolumeNegociado(days) O fator. significa que a máxima concentração de um ativo é % do volume médio negociado. O histograma do volume negociado mostra uma distribuição muito próxima à normal. Foram feitos gráficos semelhantes aos anteriores. Gráficos para o Modelo MA,,,,, (,) (,,) //97 //97 /9/97 //98 Book VaR MA(Ndays=) P/ (USD) iqadjvar (97.%,-tail; 9%,-tail;K=.96) /6/98 //98 //98 /7/98 //98 /7/98 4//98 4/4/98 /8/98 //98 6//98 6/9/98 7//98 7/7/98 7// Number of points that exceeded VaR MA using volatility calculated with NDays (target is. points) Ndays Under Estimated iqadjvar Ndays Over Estimated iqadjvar (,,) Gráficos para o modelo EWMA Book VaR EWMA (ambda=.8),, P/ (USD) Number of points that exceeded VaR EWMA using volatility calculated with ambda (target is. points),,, (,) (,,) //97 //97 /9/97 //98 iqadjvar (97.%,-tail; 9%,-tail;K=.96) /6/98 //98 //98 /7/98 //98 /7/98 4//98 4/4/98 /8/98 //98 6//98 6/9/98 7//98 7/7/98 7// Ndays Under Estimated iqadjvar Ndays Over Estimated iqadjvar (,,) Gráficos para o modelo de Simulação Histórica,, Book VaR Hist Simul (Ndays=) P/ (USD) Number of points that exceeded VaR Hist Simul using volatility calculated with NDays (target is. points),,, (,) (,,) (,,) //97 //97 /9/97 //98 /6/98 iqadjvar (97.%,-tail; 9%,-tail;K=.96) //98 //98 /7/98 //98 /7/98 4//98 4/4/98 /8/98 //98 6//98 6/9/98 7//98 7/7/98 7// Ndays Under Estimated iqadjvar Ndays Over Estimated iqadjvar

14 Conclusão Os gráficos mostram que o melhor modelo dos três foi o da Simulação Histórica com uma janela de tempo de dias. Análise A seguinte tabela resume as diferenças entre o VaR tradicional e o ajustado à liquidez: VaR trad. VaR T aprox. VaR T real Multiplicador VaR VaR = KPos VaR T. VaR VaR VaR T T T Back-test Pos Ret Tl = Pos( t) RetT = Pos [( + Ret) ]. Pos RetT Pos( t) dtpos( t) dt = =.77VaR T T.77 T e Pos onde Ret C = ln( + Ret).T RetCT RetCt ( t) e dt = Pos TRetC Ret C.Pos RetT Pos O valor aproximado foi calculado notando-se que a posição média é. A principal diferença entre os resultados do par ( VaR T, Pos ( t) Ret T ) e do par tradicional é um multiplicador T que o back-test possui (relativo ao VaR T ). Note que se T então T T e os resultados (porcentagem de pontos excedentes) do par ( VaR, Pos ( t) Ret T ) serão bem próximos daqueles obtidos a partir do par (VaR, PosR et ). T CONCUSÃO T Este trabalho mostrou que a fórmula VaRT = VaR é uma alternativa promissora ao VaR e merece mais estudos e comparações com o Profit/oss real. Este trabalho também trouxe idéias valiosas sobre a importância da calibração dos modelos e para uma metodologia de cálculo de VaR intraday. BIBIOGRAFIA AEXANDER, Carol. The Handbook of Risk Management and Analysis John Wiley & Sons, 996. JORION, Philippe. Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk McGraw-Hill,

15 EITE, Helio de Paula & SANVICENTE, Antonio Zoratto. Índice Bovespa: Um Padrão para os Investimentos Brasileiros Atlas, 99. EESWARAPU, Venkat R. & KRISHNAMURTI, Chandrasekar. iquidity, Stock Returns and Ownership Structure: an Empirical Study of the Bombay Stock Exchange PRITSKER, Matthew. iquidity Risk and Positive Feedback Federal Reserve Board. April 997. MURANAGA, Jun & OHSAWA, Makoto. Measurement of iquidity risk in the Context of Market Risk Calculation Institute for Monetary and Economic Studies. Bank of Japan. AWRENCE, Colin & ROBINSON, Gary iquidity, Dynamic Hedging and Value-at-Risk Risk Management for Financial Institutions. Risk Publications. KUPIEC, Paul H. Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Measurement Models VAR Understanding and Applying Value-at-Risk. Risk Publications BERNSTEIN, Peter. iquidity, Stock Markets, and Market Makers Financial Management V4N4 Winter 98. J.P.MORGAN/Reuters RiskMetrics Technical Document 4 th ed., 996.

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