Transformações matriciais

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1 Transformações matriciais A transformação Linear ou Função Linear está relacionada a Matrizes. Esse tipo de transformação de bases vetoriais ocorre tanto em seu domínio quanto em sua imagem. A matriz de Transformação Linear oportuniza uma grande variedade de exemplos de Transformações Lineares bem como a calcular a imagem de um vetor por meio de uma transformação matricial. APLICAÇÃO A relação entre uma Transformação Linear e sua matriz, é uma aplicação particular do produto de transformações que conduzirá ao produto de matrizes e como se relacionam as matrizes da mesma transformação tomadas em bases diferentes trazendo vantagens ao aspecto computacional e como desvantagem a perda da intuição geométrica. TRANSFORMAÇÃO LINEAR Uma das finalidades da Transformação Linear é descrever a dependência entre variáveis por meio de funções. Exemplo 1: Suponha que uma pessoa deseja beber 1litro de iogurte, distribuído em quatro copos de: 150ml; 400ml; 200ml e 250ml com quatro sabores distintos cada, como: natural(n), morango(m), abacaxi(a) e pêssego(p), respectivamente. A quantidade de iogurte por sabor pode ser visualizada na seguinte tabela: A quantidade de iogurtes por ml e por sabor pode ser expressa da seguinte forma: Q = A matriz da quantidade de iogurtes por ml. S = A matriz dos sabores. P = Produto da matriz Q pela matriz S (quantidade de iogurtes por ml x sabores) Veja que a quantidade de ml de iogurte por sabor pode ser representada por uma multiplicação de matrizes. Por exemplo: P = Q * S

2 Sendo assim, podemos apontar algumas características: Para calcular o 1 litro de iogurte desejado, podemos somar a quantidade de ml de cada copo ou multiplicar a quantidade referente a cada sabor pela quantidade de copos e somá-las. Se multiplicarmos P por um escalar qualquer e multiplicarmos Q pelo mesmo escalar veremos que: Pk = Qk * S Estas duas propriedades: F(u + v) = F(u) + F(v) e F(kv) = kf(v) São fundamentais na estrutura de um espaço vetorial. ESPAÇO VETORIAL No espaço vetorial, denotado R mxn, a soma e a multiplicação tem o mesmo valor quando tratamos com matrizes. Sendo assim, o espaço R mxn,refere-se ao conjunto de todas as matrizes m x n que possuem as mesmas propriedades: A + B = C sendo A = (aij), B = (bij) Portanto C = (cij), onde cij =aij + bij Podemos definir como a matriz m x n cujos elementos são São as operações de soma e de produto de um escalar por uma matriz que formam o espaço vetorial, pois associam um elemento x + y de V, e a cada escalar associa um elemento em V. Para Leon (1999:87), constituem-se propriedades fundamentais e adicionais de um espaço vetorial as seguintes: (f + g) (x) = f(x) + g (x) (.f) (x) = f(x) 0.x = 0 x + y = 0 implica que y = -x e a inversa aditiva de x é única (-1) x = -x Exemplo 2: Considere os vetores e a) Encontre o comprimento de cada vetor.

3 b) Se x 3 = x1+ x2, determine o comprimento de x 3. (x 1 + x 2 ) = (12,3) c) Qual é a relação entre o módulo de x 3 e os módulos de x 1 e x 2? BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL Seja W um espaço vetorial com dimensão n>0. Para que dois ou mais vetores de um espaço vetorial, formem uma base deste espaço vetorial, é necessário que os vetores Linearmente Independentes (LI) e que esses vetores gerem W., sejam Dentro dos espaços vetoriais, as funções mais significativas são as transformações lineares ou operadores lineares. Para que F seja um operador linear deve satisfazer as seguintes condições: F ( v1+ v2) = F(v1) + F(v2) F ( v 1 + v 2 ) = F(v 1 ) + F(v 2 ) Logo, f é um operador linear. F: V W ( significa que F é uma função ou um operador, de um espaço vetorial V em W. Exemplo 3: Seja F um operador definido por F(x) = 5x para todo x pertencente a R 2, verifique se F é uma transformação linear ou não? Resolução: F (x + y) = 5(x +y) = 5x + 5y = F(x) + F(y) Então: F é uma transformação Linear. Exemplo 4: Mostre se, e formam uma transformação linear?

4 T(A) + T(B) = Det(A) + Det(B) T(A) + T(B) = = 0 Logo, T(A + B) T(A) + T(B), então: T Não é linear. Quiz 1 Seja F um operador definido por transformação linear para cada vetor do R 2., verifique se F é uma F NÃO é um operador linear ou uma transformação do R 2 F é um operador linear ou uma transformação do R 2 Nada podemos concluir Faltam elementos para concluir Referências Boldrini, José Luiz et al.álgebra Linear: 3 ed. São Paulo: Haper & Row do Brasil,1980. P.142 a 148. David, Poole. Álgebra Linear. Tradutoras técnicas:martha Salerno Monteiro et. al. São Paulo: Pioneira Thomson Learning,2004. P.426 Lima, Elon Lages. Álgebra Linear. 3.ed. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Aplicada, CNPq,1998.(Coleção Matemática Universitária).P. 86

5 Steven, Leon J. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações.Tradução: Valéria de Magalhães Iorio. Rio de Janeiro: LTC, P. 86 e 87