Introdução aos grupos de Lie SO(3) e SU(2) Esmerindo de Sousa Bernardes DFCM IFSC USP

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1 Introdução aos grupos de Lie SO(3) e SU(2) Esmerindo de Sousa Bernardes DFCM IFSC USP 24 de Janeiro de 2002

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3 Conteúdo A Transformações Lineares 5 A.1 Introdução A.2 Transformações lineares A.2.1 Grupos de Lie A.2.2 Tensores A.3 Transformações infinitesimais A.4 Transformações especiais A.4.1 Transformações ortogonais A.4.2 Transformações de Lorentz A.4.3 Transformações simplécticas B Rotações Espaciais 13 B.1 Corpo rígido B.2 O grupo das rotações espaciais B.3 A álgebra de Lie correspondente ao grupo das rotações B.4 Ângulos de Euler B.5 Relação entre SO(3) e SU(2) B.6 Polinômios de Jacobi

4 4 CONTEÚDO

5 Apêndice A Transformações Lineares A.1 Introdução Alguns tipos de transformações lineares são muito importantes para várias áreas da Física. Esta importância é devida ao fato de transformações lineares formarem um grupo o qual é a linguagem matemática para o conceito de simetria em Física. Estaremos interessados aqui em três tipos especiais de transformações lineares: I) transformações ortogonais em espaços euclideanos, as quais formam o grupo das rotações espaciais; II) transformações ortogonais no espaço de Minkowski, as quais formam o grupo de Lorentz da Relatividade Especial; e III) transformações simplécticas no espaço de fase, as quais formam o grupo simpléctico. A importância de cada um desses grupos de simetria reside nos fatos seguintes: o grupo das rotações espaciais é de extrema importância para a teoria do momentum angular; o grupo de Lorentz é a base da Relatividade Especial de Einstein por conter as contrações de FitzGerald-Lorentz; e o grupo simpléctico contém as transformações canônicas, as quais são fundamentais para a dinâmica clássica. Como transformações lineares atuam em algum espaço vetorial, precisaremos definir algumas quantidades básicas antes de definirmos transformações lineares. Inicialmente, faremos uso da noção abstrata de um espaço vetorial, sem nos preocupar com a realidade física desse espaço vetorial. Após a definição de uma transformação linear, daremos uma interpretação física ao espaço vetorial abstrato como sendo o espaço euclideano tridimensional, ou o espaço quadridimensional de Minkowski ou o espaço de fase do formalismo hamiltoniano. A.2 Transformações lineares Seja V n um espaço vetorial de dimensão n. Vamos denotar por x e y dois pontos (vetores) quaisquer de V n. Uma aplicação em V n é uma regra que associa pontos de uma dada região de V n a pontos de uma outra região do mesmo espaço V n ou de um outro espaço, como o conjunto dos números reais R, e vice-versa. Por exemplo, uma função F em V n é uma aplicação de V n no conjunto dos números reais: F : V n R, F (x) R, x V n. (A.1) Uma curva real (forma paramétrica) γ em V n é uma aplicação dos números reais R em V n : Uma transformação linear R em V n é uma aplicação de V n em V n, satisfazendo a seguinte regra (linearidade): γ : R V n, γ(t) V n, t R. (A.2) R : V n V n, Rx V n, x V n, (A.3) R(x + λy) = Rx + λry, x, y V n, λ R. (A.4) 5

6 6 A. Transformações Lineares Como qualquer vetor x em V n pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e i de uma determinada base, n x = (x 1,, x n ) = x i e i, x i R, (A.5) então podemos escrever a ação de uma transformação linear numa forma matricial. Para tal, precisamos conhecer a ação da transformação linear em cada vetor e i. A ação de uma transformação linear R em e i será um outro vetor e i = Re i em V n, 1 cujas componentes vamos denotar por R i j: i=1 n e i = Re i = R j ie j, R j i R. j=1 (A.6) Assim, podemos representar a ação de uma transformação linear R por uma matriz R cujos elementos de matriz são R i j, com i denotando as posições das linhas e j as posições das colunas. Em relação a algum sistema de coordenadas, a ação de uma transformação linear em um vetor arbitrário pode ser escrita da seguinte forma: y = Rx = n i=1 x i Re i = i,k n n x i R k ie k = y k e k y k = R k ix i. k=1 i=1 (A.7) Note que as componentes y k e os vetores de base e k transformam-se de formas distintas. Qualquer quantidade (vetor, tensor, etc.) cujas componentes transformam como os vetores de base, isto é, como em (A.6), elas são denominadas de covariantes. Quando tais componentes transformam como em (A.7), elas são denominadas de contravariantes. A.2.1 Grupos de Lie Dada uma transformação linear R, y = Rx, podemos definir uma outra transformação linear R 1 como sendo a transformação oposta a R: x = R 1 y. Esta transformação R 1 é denominada de inversa. Em termos matriciais, podemos ver de (A.7) que a condição det R 0 deve ser verificada para garantir a existência da transformação linear inversa. A sua matriz correspondente é a matriz inversa R 1. Ao contrário da inversa que depende de uma condição envolvendo o determinante da matriz correspondente, a transformação linear identidade I sempre existe. A identidade é a aplicação trivial: x = Ix, x V n. A sua matriz correspondente é a matriz identidade I. Seja G = {I, R, S, T,...} o conjunto das transformações lineares invertíveis contendo a identidade. Podemos usar a composição R S entre aplicações, ou o produto matricial usual RS, para definir um produto entre duas transformações. Então os elementos desse conjunto satisfazem as seguintes propriedades: Fechamento: RS G, R, S G; (A.8) Identidade: IR = RI = R, R G; (A.9) Inversibilidade: R 1 R = RR 1 = I, R G; (A.10) Associatividade: (RS)T = R(ST ), R, S, T G. (A.11) Qualquer conjunto satisfazendo estas quatro condições, em relação a algum produto previamente definido, é denominado de grupo. O produto entre os elementos de um grupo é uma operação envolvendo dois elementos do grupo. Como resultado desta operação binária, um outro elemento do grupo é criado. Em muitos exemplos de grupos, o produto não é simplesmente o produto usual. É importante frisar que um grupo está definido apenas quando esta operação binária entre seus elementos estiver definida. Por exemplo, o conjunto dos números inteiros (positivos e negativos, incluindo o zero) forma um grupo em relação à operação binária definida pela adição, porém este mesmo conjunto não forma um grupo em relação à multiplicação com a presença do zero. A teoria dos grupos é uma área da matemática muito bem desenvolvida. Isto significa que a teoria dos grupos estabelece muitas propriedades gerais e abstratas sobre os elementos de um grupo. Rotações espaciais 1 Estamos adotando o ponto de vista em que a base permanece inalterada e o os vetores são alterados.

7 A. Transformações lineares 7 e transformações de Lorentz são exemplos típicos de grupos como estruturas matemáticas de relevância para a Física. Em geral, transformações lineares de coordenadas tendem a modificar a forma de certas quantidades físicas. No entanto, algumas transformações particulares podem deixar certas operações ou quantidades inalteradas. Neste caso, dizemos que tais quantidades ou operações admitem um determinado grupo de simetria. Por exemplo, as transformações de Lorentz deixam a operação de contração (ou o módulo de um vetor) no espaço-tempo invariante. Um grupo pode conter uma quantidade finita ou infinita de elementos. Por exemplo, todas as operações de simetria de um triângulo eqüilátero formam um grupo finito (também denominado de grupo discreto), isto é, um grupo com uma quantidade finita de elementos: C 3v = {I, C 3, C 2 3, σ 1, σ 2, σ 3 }. (A.12) A transformação identidade está representada por I. Há duas rotações em torno do eixo perpendicular ao plano do triângulo que passa pelo baricentro, uma de 120 (C 3 ) e outra de 240 (C 2 3). As três transformações restantes σ i são reflexões por espelhos perpendiculares ao plano do triângulo e contendo o baricentro e um dos três vértices. Este grupo C 3v é o grupo de simetria de um triângulo eqüilátero. Grupos finitos são muito importantes em Física do Estado Sólido e Física Molecular. Em geral, os elementos de um grupo finito são transformações por quantidades finitas e discretas. No entanto, podemos ter também grupos formados por transformações contínuas, denominados de grupos contínuos. Qualquer grupo contínuo possui infinitos elementos. Por exemplo, o conjunto infinito das rotações, cos(α) sen (α) 0 R(α) = sen (α) cos(α) 0, det R(α) = 1. (A.13) por um ângulo 0 α < 2π em torno do eixo z, perpendicular ao plano x y, forma um grupo contínuo. Para cada valor do parâmetro 0 α < 2π, há uma única rotação R(α) e a sua inversa R 1 (α). A identidade é obtida quando α = 0 (ou em α = 2π). A rotação inversa de R(α) pode ser escrita concisamente como a rotação R( α), isto é, como uma rotação no sentido contrário da rotação R(α). Também pode ser verificado diretamente que o produto matricial entre duas rotaçoes R(α) e R(β) é outra rotação R(γ), com γ = α + β. Observe que o parâmetro novo γ é uma função analítica dos parâmetros antigos α e β. Vejamos a ação deste grupo nos vetores espaciais r = (x, y, z). Então, r = R(α) r x = x cos(α) ysen (α), y = xsen (α) + y cos(α), z = z. (A.14) Desta forma, podemos interpretar a ação da rotação R(α) no vetor r como o movimento do ponto (x, y, z) sobre uma curva C(α), que é uma circunferência de raio x 2 + y 2 centrada na origem a uma altura z do plano x y, descrita parametricamente pelas duas primeiras equações em (A.14). Portanto, a curva C(α) é o lugar geométrico da transformação R(α). Estaremos interessados aqui nos grupos contínuos de transformações lineares. Em geral, os elementos de um grupo contínuo G dependem de um certo número r de parâmetros reais {a 1,, a r }. Um grupo contínuo com uma dependência analítica em seus parâmetros é denominado de grupo de Lie. 2 Esta dependência analítica nos parâmetros a α, α = 1,..., r, deve ser entendida da seguinte forma. Dados dois elementos R(a) e R(b) de um grupo de Lie G, então o elemento R(c) = R(a)R(b) depende analiticamente dos parâmetros a e b, isto é, c = f(a, b) é uma função analítica. Iremos aqui distinguir os grupos de Lie, relacionados com rotações espaciais no espaço euclideano, rotações no espaço-tempo e o grupo das transformações simplécticas no espaço de fase, definindo um processo de medida invariante a estas transformações lineares. 2 Os grupos de Lie e suas álgebras associadas foram descobertos por Marius Sophus Lie ( ) e, independentemente, por Wilhelm Karl Joseph Killing ( ). Lie estava estudando técnicas para encontrar soluções de equações diferenciais por quadraturas via transformações lineares. Este trabalho foi inspirado nos trabalhos de Evariste Galois ( ) quem inventou (ou descobriu) a noção de grupo.

8 8 A. Transformações Lineares A.2.2 Tensores Podemos definir um processo de medida em um espaço vetorial V n como sendo uma função real bilinear Φ em V n V n (produto cartesiano), tal que Φ : V n V n R, Φ(x, y) R, x, y V n, (A.15) Φ(x + ay, z) = Φ(x, z) + aφ(y, z), Φ(z, x + ay) = Φ(z, x) + aφ(z, y), x, y, z V n, a R. (A.16) Esta função Φ é denominada também de forma bilinear em V n. Vale observar que uma forma quadrática bilinear qualquer sempre pode ser escrita como a soma de uma forma simétrica Φ +, e outra anti-simétrica Φ, De fato, das duas equações anteriores, temos Φ + (x, y) = 1 2( Φ(x, y) + Φ(x, y) ), Φ+ (y, x) = Φ + (x, y), (A.17) Φ (x, y) = 1 2( Φ(x, y) Φ(x, y) ), Φ (y, x) = Φ (x, y). (A.18) Φ(x, y) = Φ + (x, y) + Φ (x, y). (A.19) Veremos que a definição de uma forma bilinear coincide com a nossa noção intuitiva de produto escalar entre vetores no espaço euclideano tridimensional. Em termos de coordenadas, a definição (A.15) pode ser reescrita como: Φ(x, y) = x i y k Φ(e i, e k ) = g ik x i y k, g ik = Φ(e i, e k ). (A.20) i,k i,k Os números reais Φ(e i, e k ) podem ser agrupados em uma matriz (g ik ), a qual é denominada de métrica em V n. Quando a métrica (g ik ), associada com uma dada forma bilinear Φ, possuir uma inversa, a inversa será denotada por (g ik ), n n g jk g ki = g ik g kj = δj. i (A.21) k=1 k=1 A métrica contém informações sobre as orientações relativas entre os vetores de uma determinada base. Um espaço vetorial equipado com uma métrica é um espaço métrico. A métrica é a quantidade que caracteriza um espaço métrico de forma única. Quando falamos de um espaço euclideano, ou de um espaço de Minkowski, temos sempre em mente uma métrica específica para cada um desses espaços. Uma métrica nos permite reescrever as componentes de vetores em V n numa forma alternativa. As componentes x k são denominadas de contravariantes. A outra possibilidade é: x k = n g ki x i = g ki x i (soma implícita em i), x k = g ki x i (soma implícita em i). (A.22) i=1 As componentes x k são denominadas de covariantes. As componentes covariantes são de grande valia para o formalismo em si. Por exemplo, fazendo uso das componentes covariantes definidas em (A.22), podemos reescrever concisamente a forma bilinear em (A.20) como: Φ(x, y) = x k y k (soma implícita em k). (A.23) Estamos usando, desde (A.22), a convenção de soma impĺıcita. Nesta convenção, sempre omitiremos o símbolo de soma quando há uma soma envolvendo índices covariante e contravariante. Este tipo de soma envolvendo um índice contravariante e um índice covariante é também denominada de contração. Veremos que a contração (A.23) coincide com a nossa maneira usual de calcular o produto escalar entre os vetores x e y no espaço euclideano tridimensional.

9 A. Transformações lineares 9 Tendo definido em (A.20) um processo de medida pela métrica g ik, podemos especificar os diferentes grupos de simetria formados por transformações lineares que deixam a forma bilinear (A.23) invariante. Seja (R k i) a matriz de uma transformações linear R. Então, Usando (A.23), teremos: x k = R k iu i, y k = R k iv i. (A.24) Φ(x, y) = x k y k = g kl x k y l = g kl R k ir l ju i v j Φ(u, v) = u i v i = g ij u i v j. (A.25) Requerendo que Φ(x, y) = Φ(u, v), podemos concluir que os elementos de matriz da transformação linear R devem satisfazer as seguintes relações quadráticas: g kl R k ir l j = g ij. (A.26) Podemos ver que as componentes g kl da métrica transformam-se como os vetores de base em (A.6). Portanto, elas são componentes covariantes. A quantidade das relações (A.26) depende apenas das propriedades da métrica (simétrica, anti-simétrica, simpléctica, etc.). Calculando o determinante nos dois lados de (A.26), teremos: (det R) 2 = 1. (A.27) Vemos então que o determinante de qualquer transformação linear preservando a forma bilinear (A.23) tem de ter módulo unitário (±1). Em geral, temos de escolher as transformações com (det R) = 1, pois a identidade tem determinante igual a um e ela é necessária para a formação de um grupo. No entanto as demais transformações com determinante de módulo negativo também são importantes em Física por estarem associadas a inversões espaciais e temporais. As relações (A.26) podem também ser escritas em termos dos elementos de matriz (R 1 ) k i da transformação inversa: g kl = (R 1 ) i k (R 1 ) j l g ij. (A.28) De qualquer uma destas relações quadráticas, podemos calcular facilmente os elementos de matriz da transformação inversa: (R 1 ) i j = g jkr k lg li = R j i. (A.29) Portanto, qualquer transformação linear que deixa a forma bilinear (A.23) invariante deve satisfazer as relações quadráticas (A.26) ou, equivalentemente, (A.28). Neste caso, a matriz da transformação inversa é calculada facilmente por (A.29), uma vez tendo a forma explícita da métrica. Usando a definição (A.22), podemos ver de (A.7) que as componentes covariantes x k transformam-se com a matriz inversa: y k = (R 1 ) i k x i. (A.30) Há muitas quantidades matemáticas de interesse físico que precisam de mais de dois índices para serem especificadas completamente. Em geral, as componentes de tais quantidades são funções em V n. Neste caso, uma transformação linear pode alterar a forma destas quantidades de maneira imprevisível. No entanto, existe uma classe formada por quantidades cujas componentes mudam da mesma forma que as componentes (contravariantes, (A.7), e covariantes, (A.30)) dos vetores em V n. Estas quantidades especiais são denominadas de tensores. Note que a definição de tensores apresentada aqui depende da existência de um grupo de transformações lineares. Os tensores, por exibirem estas propriedades são candidatos naturais a serem utilizados em qualquer modelo físico. A quantidade de índices (ou entradas) disponíveis em um tensor é denominada de ordem do tensor. Assim, um escalar é um tensor de ordem zero, um vetor é um tensor de ordem um, uma matriz é um tensor de ordem dois, etc. Por exemplo, dado que a quantidade T i k é um tensor de ordem dois, então sabemos exatamente como suas componentes modificam-se mediante uma transformação linear R: T i k R i j(r 1 ) l k T j l. (A.31) Portanto, a Eq. (A.28) mostra que a métrica é um tensor covariante de ordem dois. A Eq. (A.28) também nos diz que a métrica é uma quantidade invariante, pois suas componentes são as mesmas, antes e depois da transformação. Naturalmente, isto é equivalente a dizer que a forma bilinear correspondente é invariante à transformação dada.

10 10 A. Transformações Lineares A.3 Transformações infinitesimais Sophus Lie mostrou que uma transformação finita (quando os parâmetros da transformação variam em um intervalo finito) pode ser gerada por sucessivas transformações infinitesimais (quando os parâmetros da transformação variam infinitesimalmente). Seja R(a) um elemento de um grupo de Lie G. Podemos redefinir os parâmetros a α, α = 1,..., r, de modo a obter o elemento identidade I quando todos os parâmetros forem nulos, I = R(a) a=0. (A.32) Vamos considerar aqui os elementos do grupo na vizinhança da identidade, a 0. Neste caso, podemos expandir o elemento R(a) em série de Taylor em torno da identidade, r R(a) = I + a α L α + O(a 2 ), L α = R a α. (A.33) a=0 α=1 Na maioria dos casos, o raio de convergência desta expansão é suficiente para estudarmos a maioria das propriedades globais (ito é, longe da identidade, em contraste com as propriedades infinitesimais definidas em torno da identidade) de um dado grupo de Lie através da relação exponencial R(a) = exp ( r a α ) L α, e L α = α=1 k=0 L k α k!. (A.34) Note que esta relação exponencial tem a mesma expansão (A.33) em torno da identidade. As r quantidades L α, linearmente independentes, são os geradores do grupo. Estes geradores formam uma base para uma álgebra 3 definida em relação ao produto de Lie: r [L α, L β ] = L α L β L β L α = C γ αβl γ, C γ αβ R. (A.35) Esta álgebra é denominada de álgebra de Lie associada ao grupo de Lie. Assim, conhecendo as propriedades de um conjunto finito de geradores, podemos conhecer quase todas as propriedades globais dos elementos do grupo associado (um grupo infinito). A dimensão da álgebra de Lie é igual ao número de parâmetros do grupo de Lie correspondente. As constantes C γ αβ em (A.35) são as constantes de estrutura da álgebra. A menos de uma transformação linear constante, as constantes de estrutura são as impressões digitais de uma álgebra de Lie. Duas álgebras serão isomórficas quando tiverem as mesmas constantes de estrutura (ou quando as constantes de estrutura de uma álgebra puderem ser transformadas nas constantes de estrutura da outra álgebra). O produto de Lie definido em (A.35) possui três propriedades fundamentais: I) o produto de Lie é anti-simétrico, [L α, L β ] = [L β, L α ]; (A.36) II) ele é bilinear, γ=1 [L α, L β + al γ ] = [L α, L β ] + a[l α, L γ ]; (A.37) III) ele satisfaz a identidade de Jacobi, [ Lα, [L β, L γ ] ] + [ L γ, [L α, L β ] ] + [ L β, [L γ, L α ] ] = 0. (A.38) Estas propriedades definem uma álgebra de Lie. Vimos que podemos representar transformações lineares por matrizes em um espaço de dimensão finita. Assim, da expansão de Taylor dos elementos de um grupo de Lie em torno da identidade, Eq. (A.33), e das relações quadráticas (A.26), podemos calcular as condições nos elementos de matriz dos geradores (L α ) i k, impostas pela condição da métrica ser invariante: [ r ][ r ] g ij = δi k + a α (L α ) k i δj l + a α (L α ) l j g kl (L α ) k l g ik + (L α ) k i g kl = 0. (A.39) α=1 α=1 3 Uma álgebra é um espaço vetorial dotado de um produto entre seus elementos cujo resultado é outro elemento deste mesmo espaço vetorial. Fazendo uso da linguagem de aplicações introduzida anteriormente, este produto é uma aplicação tal que : V V V. Quando o produto for bilinear, então a álgebra correspondente é denominada de álgebra linear.

11 A. Transformações especiais 11 Estas relações implicam que estas matrizes dos geradores possuem traço nulo: (L α ) k l g ik + (L α ) k i g kl = 0 (L α ) k k = 0. (A.40) Isto está condizente com a relação exponencial (A.34), pois det R(a) = exp ( r a α ) trl α = 1, trlα = (L α ) k k = 0. (A.41) α=1 A.4 Transformações especiais A.4.1 Transformações ortogonais As transformações ortogonais são transformações lineares reais no espaço euclideano V n = R n, de dimensão n, que preservam a métrica euclideana, cujos elementos de matriz são 4 g ik = δ ik. (A.42) Esta métrica é simétrica. Para n = 3, temos o espaço tridimensional usual. Sendo o tensor métrico igual à identidade, a definição (A.20) de uma forma bilinear coincide com a definição usual de produto escalar: n Φ(Rx, Rx) = Φ(x, x) = x 2 = x 2 k. k=1 (A.43) Em um espaço euclideano, as componentes covariantes identificam-se com as componentes contravariantes. Assim, não há necessidade de observarmos a posição de índices covariantes e contravariantes em qualquer quantidade tensorial. A condição de invariabilidade da métrica euclideana, expressa nas relações quadráticas (A.26), fornece n(n + 1)/2 relações de vínculos entre os elementos de matriz R ik de uma transformação ortogonal. Portanto, apenas n(n 1)/2 elementos de matriz R ki são independentes. Isto significa que o grupo ortogonal, formado pelas transformações ortogonais, possui n(n 1)/2 geradores L α, α = 1,..., n(n 1)/2. Os elementos de matriz destes geradores devem satisfazer a relação de anti-simetria, (L α ) ik = (L α ) ki, (A.44) proveniente de (A.39) e da simetria da métrica euclideana (A.42). Desta forma, a condição de ortogonalidade nos elementos do grupo corresponde à condição de anti-simetria nos elementos da álgebra correspondente. Os elementos de matriz da transformação ortogonal inversa podem ser calculados facilmente usando (A.29), (R 1 ) ik = R ki. (A.45) Isto significa que a matriz inversa de uma transformação ortogonal é calculada simplesmente realizando uma operação de transposição real. Na teoria dos grupos de Lie, o grupo ortogonal é denotado por SO(n) e a álgebra correspondente por so(n). A letra S significa que as matrizes que representam os elementos do grupo possuem determinante igual a um (traço nulo na álgebra). O grupo SO(3) é fundamental para a teoria do momentum angular em Física. Este grupo é o grupo formado pelas rotações espaciais, quando estas são vistas como transformações lineares no espaço tridimensional. Portanto, ele é também um subgrupo do grupo de Lorentz. A álgebra associada, so(3), é a álgebra formada pelas componentes do momentum angular. O grupo SO(3) também é muito importante em Métodos Matemáticos para a Física, pois os elementos de matriz são as funções especiais de Legendre e todas as propriedades destas funções podem ser vistas como conseqüência direta das propriedades dos grupos de Lie aplicadas ao grupo SO(3). 4 A métrica em um espaço euclideano pode sempre ser transformada numa métrica proporcional à identidade. Isto significa que qualquer base pode ser ortonormalizada.

12 12 A. Transformações Lineares A.4.2 Transformações de Lorentz As transformações de Lorentz são transformações lineares reais no espaço-tempo V n = M 4, de dimensão n = 4, que preservam a métrica (simétrica) de Minkowski, cujos elementos de matriz são (g µν ) = (g µν ) = , µ, ν = 0, 1, 2, 3. (A.46) A condição de invariabilidade da métrica de Minkowski, expressa nas relações quadráticas (A.26), fornece 4(4 + 1)/2 = 10 relações de vínculos entre os elementos de matriz Λ µ ν de uma transformação de Lorentz. Portanto, apenas seis elementos de matriz são independentes. Isto significa que o grupo de Lorentz, formado pelas transformações de Lorentz, possui seis geradores L k, k = 1,..., 6. Os elementos de matriz destes geradores devem satisfazer a relação de anti-simetria, (L k ) µν = (L k ) νµ, (A.47) proveniente de (A.39) e da simetria da métrica de Minkowski (A.46). Os elementos de matriz da transformação de Lorentz inversa podem ser calculados facilmente usando (A.29), (Λ 1 ) α β = gαµ g βν Λ ν µ = Λ β α. (A.48) Na teoria dos grupos de Lie, o grupo de Lorentz é denotado por SO(1,3) e a álgebra correspondente por so(1,3). A letra S significa que as matrizes que representam os elementos do grupo possuem determinante igual a um (traço nulo na álgebra). O grupo SO(1,3) é fundamental para a teoria da relatividade especial de Einstein. A.4.3 Transformações simplécticas As transformações simplécticas são transformações lineares reais no espaço de fase V 2n, de dimensão 2n, que preservam a métrica simpléctica, cujos elementos de matriz são 1 se µ n e ν = n + µ, 1 se µ n e ν = n + µ, ζ µν = ζ νµ = 1 se ν n e µ = n + ν, ζ µν = ζ νµ = 1 se ν n e µ = n + ν, (A.49) 0 todos os demais casos; 0 todos os demais casos. Esta métrica é anti-simétrica. Como conseqüência desta anti-simétria, a forma bilinear (A.20) é sempre nula quando x = y, Φ(x, x) = 0, x V 2n. (A.50) A condição de invariabilidade da métrica simpléctica, expressa nas relações quadráticas (A.26), fornece n(2n 1) relações de vínculos entre os elementos de matriz R µ ν de uma transformação simpléctica. Portanto, apenas n(2n + 1) elementos de matriz R µ ν são independentes. Isto significa que o grupo simpléctico possui n(2n + 1) geradores L k, k = 1,..., n(2n + 1). Os elementos de matriz destes geradores devem satisfazer a relação de simetria, (L k ) µν = (L k ) νµ, (A.51) proveniente de (A.39) e da anti-simetria da métrica simpléctica (A.49). Os elementos de matriz da transformação simpléctica inversa podem ser calculados facilmente usando (A.29), (R 1 ) µ ν = ζµβ ζ αν R α β = R ν µ. (A.52) Na teoria dos grupos de Lie, o grupo simpléctico é denotado por Sp(2n) e a álgebra correspondente por sp(2n). A letra S significa que as matrizes que representam os elementos do grupo possuem determinante igual a um (traço nulo na álgebra). O grupo Sp(2n) é fundamental para o formalismo hamiltoniano, pois as transformações canônicas no espaço de fase formam, naturalmente, um grupo.

13 Apêndice B Rotações Espaciais B.1 Corpo rígido Devido à importância das rotações espaciais em muitas áreas da Física, iremos discutir aqui suas principais propriedades, principalmente aquelas relacionadas com grupos contínuos. Vamos considerar inicialmente os possíveis movimentos de um corpo rígido. Um corpo rígido, também conhecido por sólido, é um sistema de massas pontuais sujeitas à forças de vínculos que mantêm as distâncias constantes entre pares de massas. O movimento mais geral de um sólido consiste em uma translação (deslocamentos espaciais numa dada direção) conjunta com uma rotação (movimento giratório em torno de um eixo fixo no sólido). Leonhard Euler ( ) provou que o movimento mais geral de um sólido em torno de um ponto fixo é uma rotação. Michel Chasles ( ) mostrou que é possível escolher um sistema de coordenadas no sólido de tal forma que a direção do eixo de rotação coincida com a direção da translação. Sendo necessário três graus de liberdade para especificar o movimento de translação e outros três para especificar a orientação de um sistema de coordenadas fixo no sólido em relação a um determinado sistema de coordenadas externo, então um corpo rígido é completamente especificado no espaço por apenas seis graus de liberdade. Este número independe da quantidade de massas pontuais internas ao sólido. Nas discussões seguintes, estaremos interessados apenas nas rotações. Por definição, a rotação de um vetor tridimensional faz com que ele gire em torno de uma determinada direção sem alterar seu comprimento. Como vetores e pontos materiais em um sólido podem ser especificados de forma única em um sistema de coordenadas no espaço, uma rotação pode ser vista como uma transformação linear de coordenadas ortogonal em um espaço euclideano tridimensional. Uma descrição matemática precisa de transformações lineares e suas propriedades, incluindo as rotações espaciais, está feita no Apêndice A. B.2 O grupo das rotações espaciais Vimos na Subseção A.4.1 que uma transformação ortogonal em um espaço euclideano tridimensional tem três geradores. Isto significa que uma transformação ortogonal tridimensional é caracterizada por três parâmetros reais, correspondendo aos três graus de liberdade de uma rotação espacial de um sólido. Devemos fazer uma escolha destes três parâmetros que irão representar uma determinada rotação. Usaremos aqui duas parametrizações entre várias possibilidades. Iniciaremos pela parametrização onde uma rotação arbitrária é especificada por uma rotação por um ângulo α, 0 α < 2π, em torno de um dado eixo α = (α 1, α 2, α 3 ), sendo que o módulo de α é numericamente igual ao ângulo de rotação α, α = α = α1 2 + α2 2 + α2 3. (B.1) As componentes (α 1, α 2, α 3 ) são os parâmetros da rotação. sentido do eixo de rotação, n = α α. Iremos denotar por n o versor na direção e (B.2) 13

14 14 B. Rotações Espaciais Assim, podemos também denotar uma determinada rotação por (n, α). Podemos verificar que as rotações (n, α) e ( n, 2π α) são equivalentes. Isto significa que a ponta do vetor α forma uma superfície esférica de raio α para cada valor de α, sendo que dois pontos diametralmente opostos nesta superfície são equivalentes (fornecem a mesma rotação para o sólido). Esta ambigüidade pode ser removida parcialmente limitando α ao intervalo 0 α < π. Agora, apenas quando α = π teremos pontos equivalentes numa superfície esférica de raio π. Esta é uma característica (global) das rotações espaciais e não pode ser eliminada. Passemos agora ao problema de determinar os elementos de matriz R ik para uma rotação arbitrária. Vamos supor que o vetor r, com a sua extremidade em P, seja rodado no sentido anti-horário de um ângulo α pela rotação (n, α). Então ele descreverá o arco P Q numa circunferência de raio n r (projeção do vetor r perpendicular ao eixo de rotação n). Vamos denotar por N o centro desta circunferência e por O a origem do sistema de coordenadas fixo no corpo rígido. O vetor rodado r com a extremidade em Q pode ser escrito como uma soma vetorial da forma r = ON + NM + MQ, (B.3) onde M é um ponto sobre a reta NP. Este ponto M é determinado pela projeção do vetor NQ sobre o vetor NP : onde NM = NP cos α = cos α [ r (r n) n ], NP = NQ = n r e NP = r (r n) n. O vetor MQ é a projeção do vetor NQ sobre o vetor n r, perpendicular a NP, MQ = sen α n r. Fazendo uso destas relações, o vetor r em (B.3) pode ser reescrito como (B.4) (B.5) (B.6) r = r cos α + (r n) n(1 cos α) + n r sen α. (B.7) Portanto, os elementos de matriz em coordenadas cartesianas são R ik = δ ik cos α + α i α k 1 cos α α 2 3 l=1 ε ikl α l sen α α, (B.8) onde ε ikl é o tensor de Levi-Civita(Tullio Levi-Civita, ). 1 Naturalmente, a identidade R = I corresponde à situação α = α k = 0, como pode ser facilmente verificada na expressão anterior. Usando um pouco de esforço algébrico, podemos checar diretamente da Eq. (B.8) que estas matrizes têm determinante igual a um, como esperado (ver Apêndice A): det R = 1 ε ijk ε rst R ir R js R kt = 1. 6 ijk rst Também pode ser verificado diretamente de (B.8) que a inversa é igual à transposta (matrizes ortogonais): (B.9) R 1 = R T. (B.10) Vimos no Apêndice A que as transformações ortogonais deixam a métrica euclideana invariante. Isto também pode ser verificado aqui usando a (B.10). De fato, sendo a métrica euclideana um tensor de ordem dois diagonal, g ij = δ ij, temos δ ij R ir R js = ij i R ir R is = i R T rir is = δ rs. (B.11) 1 Ele é completamente anti-simétrico em quaisquer dois índices (isto implica que para dois índices iguais este tensor é zero). Quando as três componentes de ε ikl são distintas o valor do tensor pode ser apenas ±1. Será +1 ( 1) quando a seqüência ikl formar uma permutação par (ímpar) de 123. Uma permutação ikl é par (ímpar) quando o número de transposições (troca de dois números) para reobter 123 for par (ímpar). Por exemplo, 132 é uma permutação ímpar e 231 é par.

15 B. O grupo das rotações espaciais 15 Neste espaço de dimensão três existe apenas um outro tensor invariante: o tensor de Levi-Civita. De fato, usando a (B.9) e ijk ε2 ijk = 6 temos ε ijk R ir R js R kt = ε rst. ijk (B.12) Usando este fato, podemos mostrar diretamente da (B.8) que o produto S = R(α)R(β) de duas rotações arbitrárias R(α) e R(β) é também uma rotação, isto é, uma matriz ortogonal, S T = ( R(α)R(β) ) T = R T (β)r T (α) SS T = I S 1 = S T, (B.13) com determinante +1, det S = 1 ε ijk ε rst S ir S js S kt 6 ijk rst = 1 ( ) ( α ) β ε ijk R il R jm R kn ε rst R lr R ms R nt 6 rst lmn ijk = 1 ε 2 lmn = 1. 6 lmn (B.14) Portanto, as rotações (B.8) formam um grupo de Lie de ordem três. Consideremos uma rotação em torno do eixo z: α = (0, 0, α). Neste caso, a matriz de rotação correspondente é cos(α) sen (α) 0 R(α) = sen (α) cos(α) 0. (B.15) Consideremos ainda neste exemplo particular a derivada desta matriz em relação ao ângulo de rotação α: Ṙ(α) = d sen (α) cos(α) 0 dα R(α) = cos(α) sen (α) (B.16) No limite α 0 (identidade) esta matriz torna-se em L z = Ṙ(0) = (B.17) Podemos ver que esta matriz é anti-simétrica e de traço nulo. Igualmente importante é a observação que esta matriz L z, quando exponenciada, gera a matriz de rotação R(α): R(α) = e αl z = (αl z ) k. (B.18) k! Portanto, uma rotação pode ser escrita como a exponencial de uma matriz constante multiplicada pelo parâmetro (ângulo) caracterizando a rotação. Dizemos que a matriz L z gera a rotação R(α). Exercício 1 Calcule explicitamente a matriz de rotação 3 3 cujos elementos de matriz estão dados em (B.8). Exercício 2 Verifique as Eqs. (B.9), (B.12) e (B.18). k=0

16 16 B. Rotações Espaciais B.3 A álgebra de Lie correspondente ao grupo das rotações Podemos generalizar o procedimento anterior e calcular os três geradores linearmente independentes L k, k = 1, 2, 3, para uma rotação arbitrária R(α 1, α 2, α 3 ). Inicialmente, temos de calcular a derivada dos elementos de matriz R ij : R ij α k ( )( ) α k = δ ij α sen α + α j δ ik α + δ α i jk α 2α iα j α k 1 cos α α 3 α ( ) αi α j α k sen α + α 2 ε ijk α ( 3 l=1 ε ijl α l α ) ( αk cos α sen α ). (B.19) α α Os geradores L k são calculados tomando o limite α k 0 na identidade (α = 0): R L 1 = lim α 1 0 α 1 = , α= R L 2 = lim α 2 0 α 2 = , α= R L 3 = lim α 3 0 α 3 = α= (B.20) Note que os elementos matriciais destas matrizes L i podem ser escritos numa forma compacta como (L i ) jk = ε ijk. (B.21) Estas matrizes anti-simétricas e de traço nulo geram a matriz de rotação R(α) cujos elementos de matriz são os mesmos em (B.8): R(α) = e α 1L 1 +α 2 L 2 +α 3 L 3. (B.22) É interessante escrever os elementos de matriz desta exponencial para rotações infinitesimais, α i 1, R ij δ ij + k α k (L k ) ij = δ ij k ε kij α k. (B.23) Assim, a ação de uma rotação infinitesimal é dada por x i = l R il x l = x i k,l ε kil α k x l = x i + k α k φ ik (x), φ ik (x) = l ε ikl x l. (B.24) As matrizes (B.20) possuem relações de comutação, [L i, L j ] L i L j L j L i = k ε ijk L k, (B.25) idênticas àquelas dos operadores de momentum angular na forma diferencial, L i = ( r p ) i = j,k ε ijk x j. x k (B.26) Portanto, podemos dizer que as componentes do momentum angular são os geradores das rotações espaciais. Podemos ver em (B.25) que o comutador [A, B] = AB BA, (B.27)

17 B. A álgebra de Lie correspondente ao grupo das rotações 17 define um produto no espaço das matrizes 3 3 anti-simétricas de traço nulo o qual é anti-simétrico, bilinear, [A, B] = [B, A], [A + λb, C] = [A, C] + λ[b, C], λ R, (B.28) e satisfaz a identidade de Jacobi (Carl Gustav Jacob Jacobi, ), [ A, [B, C] ] + [ C, [A, B] ] + [ B, [C, A] ] = 0. (B.29) Este produto é conhecido como produto de Lie. Qualquer espaço vetorial equipado com um produto entre seus elementos que produza um outro de seus elementos forma uma álgebra. Assim, o conjunto das matrizes L k forma uma álgebra de Lie denotada por so(3). A letra s significa que as matrizes representando esta álgebra possuem traço nulo, correspondendo a matrizes com determinante unitário no grupo. A letra o significa que as matrizes nesta álgebra são anti-simétricas as quais geram matrizes ortogonais no grupo. Em geral as álgebras de Lie são denotadas pelos mesmos símbolos denotando os grupos de Lie mas em letras minúsculas. Os números ε ijk em (B.25) são denominados de constantes de estrutura da álgebra e fazem o papel de uma carteira de identidade da álgebra. Duas álgebras com as mesmas constantes de estrutura são ditas serem isomórficas. O isomorfismo entre duas álgebras significa que tais álgebras podem ser consideradas as mesmas, que as constantes de estruturas de uma delas podem ser transformadas nas constantes de estrutura da outra. Naturalmente existe uma forma canônica para escrever as constantes de estrutura para todas as álgebras de Lie possíveis. Por exemplo, podemos reescrever os geradores L k na forma J k = il k, i 2 = 1. (B.30) Neste caso, as novas constantes de estrutura serão iɛ klm, 3 [J k, J l ] = i ɛ klm J m. m=1 (B.31) A forma canônica para as constantes de estrutura da álgebra so(3) é uma dada pelos geradores J 3 e J ±, J ± = J 1 ± ij 2 = il 1 L 2. (B.32) As novas relações de comutação são agora [J 3, J ± ] = ±J ±, [J +, J ] = 2J 3. (B.33) Os grupos de Lie correspondentes a álgebras isomórficas são ditos serem apenas localmente isomórficos, pois as álgebras são determinadas apenas em torno da identidade do grupo. Isto significa que as álgebras de Lie contêm todas as informações pertinentes aos seus grupos associados em torno da identidade (propriedades locais). No entanto, muitas das propriedades globais (longe da identidade) podem ser determinadas também por propriedades da álgebra. Vale notar que as matrizes L i por serem linearmente independentes, 3 c i L i = c i = 0, i=1 (B.34) onde é a matriz nula 3 3, formam uma base para o espaço vetorial complexo formado pelas matrizes anti-simétricas de traço nulo. Qualquer matriz anti-simétrica M de traço nulo pode ser escrita como uma combinação linear das três matrizes L i, 3 M = c i L i, c i C. i=1 (B.35)

18 18 B. Rotações Espaciais Estas matrizes formam, portanto, uma base para álgebra a so(3). Esta álgebra é complexa, pois as constantes c i utilizadas na combinação linear acima são complexas. É comum escrevermos o nome do conjunto numérico (real ou complexo) ao qual pertence as constantes c i junto com o nome da álgebra (ou do grupo). Neste caso teremos so(3,c). No entanto, continuaremos a escrever so(3) ao invés de so(3,c), por pura conveniência. Comparando (B.26) e (B.20) podemos ver que os elementos de uma álgebra podem ser escritos (realizados) em diferentes formas. Podemos assim, idealizar uma álgebra arbitrária de forma abstrata, isto é, sem dizer explicitamente que objetos matemáticos (matrizes, operadores lineares, transformações, etc.) são ou representam seus elementos (forma concreta). Neste caso, as constantes de estrutura que definem as relações de comutação da álgebra devem ser conhecidas a priori. Um resultado que torna as álgebras de Lie em instrumentos de importância em Física é que as regras para representar os elementos abstratos de uma determinada álgebra são todas conhecidas. Estas regras são conhecidas como teoria de representação para as álgebras de Lie. Uma álgebra de Lie não contém elementos que não sejam combinações lineares dos elementos de base. Polinômios, por exemplo, não fazem parte da álgebra. No entanto, alguns polinômios são de grande importância. Por exemplo, para a álgebra so(3) em questão, o polinômio comuta com todos os elementos L i, Analogamente, L 2 = (L L L 2 3) = 2I, (B.36) [L 2, L i ] = 0. (B.37) J 2 = J (J +J + J J + ) = J 3 (J 3 1) + J + J (B.38) comuta com J 3 e J ±. Este operador quadrático (L 2 ou J 2 ) nos elementos da álgebra é único e é conhecido como operador de Casimir (Hendrik Bugt Casimir, ). Também são conhecidas todas as regras para determinar quem são os polinômios mais gerais que comutam com todos os elementos de qualquer álgebra de Lie. Em geral, nas aplicações físicas os elementos das álgebras de Lie ou funções destes elementos desempenham o papel de observáveis, isto é, operadores associados a alguma realidade física mensurável. Os elementos do grupo, por serem obtidos por uma exponenciação dos elementos da álgebra, desempenham o papel dos operadores de evolução, os quais são exponenciais dos observáveis (hamiltonianas, etc.). Quais as matrizes, de dimensão finita, que satisfazem as relações de comutação (B.33) e (B.38)? Estas matrizes são os representantes dos elementos da álgebra de momentum angular. Vamos requerer também que tais matrizes satisfaçam J ± = J, J 3 = J 3. (B.39) Isto é suficiente para construirmos representações hermiteanas (unitárias no grupo, devido à exponenciação), J + + J e i(j + J ), por exemplo. Vamos escolher {J 3, J 2 } para serem diagonalizados simultaneamente: J 3 j, m = m j, m, J 2 j, m = j(j + 1) j, m, (B.40) (B.41) onde j e m, com m j, são inteiros ou semi-inteiros para garantir que as matrizes da representação sejam finitas (como veremos adiante). Vale observar aqui algumas propriedades importantes associados à notação em (B.40) e (B.41). Primeiro, alguma poucas palavras sobre a idéia básica da teoria de representações: em geral, os elementos de qualquer álgebra são completamente inertes, isto é, eles não atuam em espaço vetorial nenhum (a não ser o próprio espaço vetorial formado pela álgebra per si). Acontece que cada espaço vetorial carrega consigo um conjunto de operadores lineares. São estes operadores lineares que serão usados para representar os elementos de uma determinada álgebra, numa relação unívoca. Em um estágio posterior, cada operador agindo em um espaço vetorial previamente escolhido (ou construído) será representado por uma matriz pelo processo usual. Em geral, usamos o mesmo nome para identificar os elementos da álgebra e os seus operadores associados, bem como suas matrizes. No nosso caso, temos um espaço vetorial, denominado de espaço portador das representações, onde cada vetor de base (escolhida como ortonormal) é descrito por j, m ou, sucintamente, por m, uma vez que j fixa a dimensão (2j + 1) de cada representação. Segundo: a produto escalar é feito com a imagem especular j, m, denominado de bra, do vetor j, m, denominado de ket. Assim, por construção: j, m j, m = δ mm. (B.42)

19 B. A álgebra de Lie correspondente ao grupo das rotações 19 Terceiro: os elementos de matriz de qualquer operador A na base j, m são especificados por A mm = j, m A j, m = ( j, m A ) j, m, (B.43) onde a expressão central exemplifica a ação à direita para o operador A e o último termo exemplifica a ação à esquerda. Portanto, como quarta observação, qualquer operador agindo em um bra deve agir com o seu conjugado transposto. Todas estas regras práticas estão em conformidade com a maneira correta de definir produtos escalares em espaços vetoriais complexos. Usando as Eqs. (B.33) podemos ver que os novos vetores J ± m são autovetores de J 3 como autovalores m ± 1. De fato, abrindo o produto de Lie e re-agrupando os termos semelhantes, temos J 3 ( J+ j, m ) = (m + 1)J + j, m. (B.44) Portanto, o novo vetor J + j, m é autovetor de J 3 com autovalor m + 1, mas conforme (B.40), este vetor deve ser proporcional ao vetor j, m + 1. Assim, após uma normalização conveniente, podemos fazer J ± j, m = A ± (j, m) j, m ± 1. (B.45) Naturalmente, os valores de m devem ser inteiros ou semi-inteiros, pois em caso contrário teríamos uma quantidade infinita de novos vetores produzidos pela ação repetida de J ±. Portanto, m j e a dimensão das matrizes de cada representação fixada por j será 2j + 1. Isto significa que A + (j, j) = 0 A + (j, m) (j m) A (j, j) = 0 A (j, m) (j + m). (B.46) Os coeficientes A ± não são independentes. De (B.43), permitindo J + (ou J ) agir a direita e a esquerda, teremos j, m + 1 J + j, m = A + (j, m) j, m + 1 j, m + 1 = A + (j, m) de onde concluímos que = ( j, m + 1 J +) j, m = ( j, m + 1 J ) j, m = A (j, m + 1) j, m j, m = A (j, m + 1), A + (j, m) = A (j, m + 1). Usando as regras de seleção (B.46) e a relação (B.48), temos (B.47) (B.48) A + (j, m) = (j m)a +(j, m) = A (j, m + 1) = (j + m + 1)A (j, m + 1). (B.49) Uma solução para esta equação é A +(j, m) = (j + m + 1), A (j, m + 1) = (j m). (B.50) Reunindo todas as informações obtidas até aqui, teremos: A + (j, m) (j m)(j + m + 1) A (j, m) (j + m)(j m + 1). (B.51) Usando a segunda relação de comutação em (B.33), podemos fixar a forma destes elementos de matriz: j, m [J +, J ] j, m = 2m A 2 +(j, m 1) A 2 +(j, m) = 2m. (B.52) Portanto, A ± (j, m) = j(j + 1) m(m ± 1). (B.53) Vale notar que estas matrizes calculadas pelas equações (B.40) e (B.45) são irredutíveis, isto é, não admitem transformações de similaridade a fim de reduzi-las a uma forma diagonal, mesmo que seja por blocos menores que 2j + 1. Consideremos os casos particulares j = 1/2 e j = 1. Para j = 1/2, temos ( ) 1/2 0 J 3 =, J 0 1/2 + = ( ), J = ( ), (B.54)

20 20 B. Rotações Espaciais ou, usando as matrizes de Pauli, ( ) 0 1 2J 1 = σ 1 =, 2J = σ 2 = ( ) ( ) 0 i 1 0, 2J i 0 3 = σ 3 =. (B.55) 0 1 Para j = 1, temos J 3 = , J + = , J = (B.56) Exercício 3 Mostre que o operador de Casimir (B.36) comuta com todos as elementos da álgebra so(3). Exercício 4 Prove a Eq. (B.53) Exercício 5 Calcule as matrizes da representção j = 3/2 e j = 2. B.4 Ângulos de Euler Uma rotação também pode ser parametrizada pelos três ângulos que caracterizam a posição relativa entre dois sistemas de coordenadas (e i e e i ) fixos em um corpo rígido. Estes ângulos são conhecidos como ângulos de Euler e serão denotados por (θ, φ, ψ). Desta forma, esta parametrização é dependente de um sistema de coordenadas. Os ângulos de Euler podem ser definidos da seguinte forma: I) uma rotação R(e 3, φ) em torno do eixo e 3 por um ângulo φ, 0 φ < 2π. O sistema (e 1, e 2, e 3 ) é levado ao sistema intermediário (e 1, e 2, e 3 ); II) uma rotação R(e 2, θ) em torno do eixo intermediário e 2 por um ângulo θ, 0 θ < π. O sistema (e 1, e 2, e 3 ) é levado ao sistema intermediário (e 1, e 2, e 3); III) uma rotação R(e 3, ψ) em torno do eixo e 3 por um ângulo ψ, 0 ψ < 2π. Assim, uma rotação arbitrária R(θ, φ, ψ) pode ser escrita como o produto das rotações definindo os ângulos de Euler: R(θ, φ, ψ) = R(e 3, ψ)r(e 2, θ)r(e 3, φ). (B.57) Infelizmente, aparece uma dependência dos sistemas de coordenadas e i e e i na equação anterior. É conveniente, em geral, escrever uma rotação envolvendo apenas um sistema de coordenadas, por exemplo e i. Para tal, devemos observar que SR(n, α)s 1 = R(Sn, α), (B.58) onde S é uma rotação arbitrária. Uma maneira de verificarmos este resultado é verificando se o novo eixo de rotação Sn é invariante perante à rotação SR(n, α)s 1, pois qualquer rotação deixa apenas o seu eixo de rotação inalterado. De fato, o vetor Sn é invariante pela rotação SR(n, α)s 1 : SR(n, α)s 1 Sn = SR(n, α)n = Sn. (B.59) Além disto, Sn = n, pois uma rotação não modifica o módulo dos vetores. Como uma rotação em torno de algum eixo sempre o deixa invariante, então segue-se o lado direito da (B.58). Desta forma, o eixo intermediário e 2 pode ser obtido pela rotação R(e 3, φ): R(e 2, θ) = R(e 3, φ)r(e 2, θ)r 1 (e 3, φ), (B.60) e, analogamente, o eixo e 3 é obtido pela rotação R(e 2, θ), Substituindo estas duas expressões em (B.57), obteremos R(e 3, ψ) = R(e 2, θ)r(e 3, ψ)r 1 (e 2, θ). (B.61) R(θ, φ, ψ) = R(e 3, φ)r(e 2, θ)r(e 3, ψ) = e iφj3 e iθj2 e iψj3. (B.62) Note que utilizamos o fato de duas rotações em torno do mesmo eixo comutarem, R 1 (e 3, φ)r(e 3, ψ) = R(e 3, ψ)r 1 (e 3, φ). (B.63)

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