Conservação do momento linear

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1 Roteiro para prática experimental Curso de Física UCB Conservação do momento linear 1 Introdução teórica A motivação deste experimento consiste em estudar a dinâmica de interação dos objetos sem a presença de uma força externa sobre o conjunto dos objetos estudados. Antes de ir para o experimento propriamente dito, vamos desenvolver os conceitos para analizar este tipo de sistema. Imagine três objetos A, B, C, interagindo entre si. À interação entre estes objetos chamaremos de interação interna ao sistema. Da mesma forma, à interação de um outro corpo externo ao grupo A, B e C com um destes objetos ou o conjunto deles, denominaremos como interação externa sobre o sistema. Na Figura 1, representamos estes três objetos se repelindo, mas não é uma condição necessária. Figura 1: Os objetos A, B e C interagem entre si. No caso, esta interação está representada como uma força de repulsão resultante. A força F bc(a) consiste na resultante das forças de B e C sobre A. Observando a Na Figura 1 os objetos A, B e C interagem internamente resultando em forças de repulsão. Assim, a força F bc(a) é a resultante das forças de B e C sobre A. Consequentemente F ab(c) é a resultante das forças de A e B sobre C e, por fim, F ac(b) é a resultante das forças de A e C sobre B. Matemáticamente, poderiamos escrever: F bc(a) = F b(a) + F c(a), F ab(c) = F a(c) + F b(c), F ac(b) = F a(b) + F c(b). (1a) (1b) (1c) A força resultante sobre o sistema é a soma das tas três forças, ou seja, F bc(a) + F ab(c) + F ac(b). Usando as Equações (1) (a), (b) e (c), e rearranjando os temos, a força resultante fica: F bc(a) + F ab(c) + F ( ac(b) = Fb(a) + F ) ( a(b) + Fc(a) + F ) ( a(c) + Fb(c) + F ) c(b). (2) 1

2 Roteiro para prática experimental Curso de Física UCB Conservação do momento linear 2 Como foi afirmado, não houve interação externa, ou seja, o sistema está isolado. Mas, internamente, cada partícula exerce uma força sobre a parte restante do sistema e vice-versa, obedecendo a terceira lei de Newton: Assim a Equação (2) fica: e continuando, F bc(a) + F ab(c) + F ac(b) = F a(b) = F (b)a. (3) ( Fb(a) F ) ( b(a) + Fc(a) F ) ( c(a) + Fb(c) F ) b(c) F bc(a) + F ab(c) + F ac(b) = 0., (4a) A primeira consequência que se observa é que, em um sistema isolado que obedece a terceira lei de Newton, a força resultante sobre todo o sistema é igual a zero. Uma segunda consequência aparece, ao utilizarmos a segunda lei de Newton: 1 (4b) F(a) = m a a a. (5) Ou seja, o somatório das forças sobre o objeto A é igual ao produto massa de A e sua aceleração. Assim escrevemos: F bc(a) = m a a a, F ab(c) = m c a c, F ac(b) = m b a b. (6a) (6b) (6c) Temos que a = v/ t. Assim, a Equação (4b), fica: v a m a t + m v b b t + m v c a t = 0. (7) Como as interações aconteceram no mesmo intervalo de tempo, podemos cancelar o t, de maneira que a Equação (7) fica: m a v a + m b v b + m c v c = 0. (8) Continuando, se chamarmos a velocidade da partícula A antes da interação de v a e a volecidade depois da interação de v a temos que v a = v a v a. Temos que: portanto, m a ( v a v a ) + mb ( v b v b ) + mc ( v c v c ) = 0, m a v a + m b v b + m c v c = m a v a + m b v b + m c v c. Para analizar melhor este resultado vamos introduzir uma nova grandeza: O momento linear ( p). Esta grandeza vetorial é definida como o produto da velocidade pela massa, ou seja: d p dt. Substituindo a Equação (10) na Equação (9b). (9a) (9b) p a = m a v a. (10) 1 Estamos considerando que os objetos mantém sua massa constante, do contrário, teremos que escrever F =

3 Roteiro para prática experimental Curso de Física UCB Conservação do momento linear 3 p a + p b + p c = p a + p b + p c. (11) Ao chamar a soma dos momentos lineares de momento linear total, a equação acima fica: p T = p a + p b + p c p T = p T (12) Ou seja, em um sistema fechado, o momento total antes da interação é igual ao momento total depois da interação. A esta propriedade denominamos de : Conservação do momento linear Se a resultante das forças externas que atuam sobre um sistema for nula, o momento total p deste sistema se conserva. Esta propriedade pode ser generalizada para inúmeras partículas, desde que elas pertençam ao mesmo sistema interno. 2 O experimento A observação de uma situação na qual o momento linear se conserva nas três dimensões é difícil, pois deve-se anular a resultante das forças externas nas três direções. No entanto, como o momento linear é uma grandeza vetorial, a conservação se dá vetorialmente também. Ou seja, se existe força externa aplicada sobre um sistema na direção y mas não existe nas direções x e z, só não ocorrerá a conservação do momento ao longo do eixo y. Agora, imagine duas esferas em queda livre e colidindo. Sem dúvida se terá a força gravitacional agindo sobre o sistema. Mas, dependendo do formato e da densidade dos objetos interagentes, a resistência do ar pode ser desprezível. Assim se despreza a possível força externa na horizontal, reduzindo a análise para duas dimensões, ou seja, apenas no plano horizontal. No experimento que se segue, Figura 2, temos uma esfera A em movimento com relação ao laboratório e que colide com uma outra B em repouso. Após a colisão, ambas as esferas estão em movimento. Assim, na horizontal, desprezando as forças externas, o sistema se torna isolado e o momento linear total se conserva, isto é, o momento linear total antes da interação é igual ao momento linear total depois. p T = p T ou de outra maneira ( p a + p b ) = ( p a + p b )

4 Roteiro para prática experimental Curso de Física UCB Conservação do momento linear 4 Figura 2: Colisão entre duas esferas ( A e B ) vista de cima. (a) Antes da colisão. (b) Depois da colisão. 3 Materiais 01 canaleta. 01 placa de madeira ou similar. 02 pedaços de papel carbono. 01 compasso. 01 fita adesiva (durex ou similar). 02 esferas metalicas de massas iguais. 01 fio de prumo. 01 régua (± 0,05 cm). 01 transferidor (± 0,5 ou ± 0, rad). 01 nível de bolha. 01 cartolina. 01 papel milimetrado (opcional). 4 Montagem experimental. A idéia fundamental do experimento consiste em relacionar o deslocamento horizontal de duas esferas em queda oblíqua diretamente com o momento linear horizontal delas, antes e depois de se chocarem. Isso só é possível quando as esferas detêm a mesma massa. Sendo assim, o procedimento experimental é fazer uma esfera (A) rodar pela canaleta disposta encima de uma mesa, colidir com uma esfera (B) em repouso, e marcar os pontos de queda no chão, ver Figura 3. Figura 3: Montagem experimental.

5 Roteiro para prática experimental Curso de Física UCB Conservação do momento linear 5 Figura 4: Detalhes da montagem experimental. Para montar, adote os seguintes passos, veja a Figura 4: Fixe a canaleta sobre uma mesa e com o auxílio do nível coloque sua base na horizontal. Alinhe a base de apoio da esfera B de maneira que as duas esferas não permaneçam na mesma direção depois do choque. Deve-se apertar bem o parafuso embaixo da canaleta para que a base de apoio não se mova após o choque. Forre a região de queda das esferas no chão com o material EVA (para isolar acusticamente do andar abaixo). - Disponha sobre o EVA uma placa de madeira para que a cartolina não rasgue quando a esfera cair.(não aparece na foto) Forre a placa de madeira com uma cartolina e prenda com fita adesiva Roteiro Realizando o experimento (A) Disponha a esfera B em repouso no seu apoio. Verifique o ponto no qual a esfera A deverá coliidir com a esfera B e, com ajuda do prumo, marque a projeção desse ponto na cartolina. (B) Escolha uma posição fixa para abandonar a esfera A na canaleta marque e libere a esfera. Verifique se ambas as esferas caíram na região coberta pela cartolina. Em caso positivo coloque cada pedaço do papel carbono no local de queda. Caso negativo, procure uma nova posição para liberar a esfera A até conseguir o resultado positivo. (C) Da posição encontrada no item (B), repita o procedimento de choque 10 vezes. (D) Retire a esfera B e afaste a base de apoio para que a esfera A possa cair livremente. (E) Libere a esfera A da mesma altura que do item (C) mas agora sem choque, marcando o novo local de queda com papel carbono 10 vezes. 5.2 Recolhendo os dados Repare na Figura 5 (F) Retire a cartolina do chão e com ajuda de um compasso faça um círculo envolvendo a região de queda de cada esfera.

6 Roteiro para prática experimental Curso de Física UCB Conservação do momento linear 6 Figura 5: Cartolina com as marcas das quedas, os círculos desenhados e os vetores deslocamento. Anote o resultado para o raio de cada círculo: (raio do círculo para a esfera A sem choque) δs a = (raio do círculo para a esfera A com choque) δs a = (raio do círculo para a esfera B com choque) δs b = Estes números representam a flutuação (ou incerteza) do experimento. (F) Agora, meça o módulo do vetor deslocamento para esfera A sem choque. Meça tomando a distância do ponto do choque até o centro do círculo desenhado com o compasso. (F ) Agora, meça o módulo do vetor deslocamento para esfera A com choque, esfera B com choque. Meça tomando a distância do ponto de queda da esfera sem choque até a distância do centro do círculo desenhado com o compasso para as outras duas. (esfera A sem choque) S a = (esfera A com choque) S a = (esfera B sem choque) S b = (esfera B com choque) S b = 5.3 Tratamento de dados (G) Defina agora o vetor, S T = S a + S b, e o vetor, S T = S a + S b. Feito isso calcule os módulos de (lembre-se que é uma soma vetorial) (13a) (13b) S T = e S T =

7 Roteiro para prática experimental Curso de Física UCB Conservação do momento linear 7 (H) Da mesma maneira, calcule a incerteza (δs T ) da medida S T usando a equação seguinte: δs T = 2 [ S S a + S b cos(θ) δs a + S b + S a cos(θ) δs b + S a S b sen (θ) δθ]. T Perceba que δθ deve ser escrito em radianos, tal como expresso na Seção Materiais. (I) Agora tome um papel milimetrado ou um papel escalonado por você e desenhe dois segmentos de retas. Um deles representará o valor S T e ou outro segmento representará o valor S T. Também represente os intervalos das incertezas δs T e δs T, com pequenos segmentos de retas perpendiculares, veja a Figura 6. Figura 6: Representação dos segmentos de retas S T e S T e de suas respectivas incertezas. (J) Por fim, compare os valores das medidas S T e S T e suas incertezas e verifique se as duas medidas são diferentes ou iguais. Perceba que os valores de S T e S T não precisam ser idênticos. O que se necessita é que o intervalo das incertezas tenham uma interseção, veja a Figura 7. Figura 7: Comparação entre as medidas. Em (a), as medidas são iguais, em (b) as medidas não são iguais. (H) Para entender a precisão do experimento faça o seguinte cálculo: ( ST ) 2 ( S ) 2 + T 100%, δs T δs T

8 Roteiro para prática experimental Curso de Física UCB Conservação do momento linear 8 que dará a porcentagem de incerteza. Quanto menor, mais preciso foi o experimento. 5.4 Conclusão Faça um relatório deste experimento onde: O objetivo deve ser explicitado de forma clara e sucintas A introdução teórica deve conter a justificativa argumento e dedução do porquê se poder vincular o vetor deslocamento S com o vetor momento linear p. A lista dos materiais deve ser a mesma que a indicada aqui. O procedimento deve ter uma pequena redação dissertativa explicando os passos e cuidados tomados para a obtenção de dados. A análise dos dados deve contar a análise feita neste experimento, bem como as suas opiniões pessoais sob luz da teoria a respeito dos dados. A conclusão deve fazer uma síntese, explicando se o objetivo foi alcançado ou não, uma reafirmação da observação mais importante feita na análise de dados. Caso o objetivo não tenha sido atingido, quais as justificativas possíveis para este fato.