3º Ano do Ensino Médio. Aula nº4

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1 Nome: Ano: 3º Ano do E.M. Escola: Data: / / 3º Ano do Ensino Médio Aula nº4 Assunto: Sistemas Lineares 1. Introdução 1.1. Equação Linear: Equação linear é uma equação composta por diversas incógnitas todas com grau 1, ou seja: Em outras palavras: Exemplos de equações lineares: 1.2. Soluções de Equações Lineares Dizemos que a solução de uma equação linear é um conjunto de valores, cada um relativo a uma das variáveis, que satisfaz a igualdade proposta. Veja a equação linear abaixo: 2 0 Uma solução desta equação será representada da seguinte maneira: Repare que é importante essa representação, e por conveniência, colocamos na ordem alfabética os valores. Além disso, observe que se substituirmos os valores da solução em x, y e z a condição de igualdade estará satisfeita. Note que a solução nem sempre é única, pense em outro exemplo de solução. 1

2 2. Sistema Linear 2.1. Definição: Um sistema linear é um conjunto de equações lineares (2 ou mais) e com solução geral que resolve todas as equações simultaneamente. Para representá-lo utilizamos uma chave { em sua esquerda que abrange todas as equações. Veja: 4 6 Veja que 5,1 é solução deste sistema mas 3,1 é solução? Por quê? 2.2. Resolvendo um sistema linear: Para resolvermos um sistema linear vamos aprender um método extremamente útil, dito escalonamento Sistemas Equivalentes Quando multiplicamos uma das linhas de um sistema linear por um número não nulo (uma das equações) e somamos este resultado em outra linha (outra equação) a solução deste novo sistema permanece inalterado e obtemos um sistema equivalente. Veja: Exercícios em Sala (Sistemas Equivalentes) Obtenha sistemas equivalentes a partir dos sistemas abaixo que fiquem com apenas a primeira equação com a variável x = = = =15 2

3 O Escalonamento O escalonamento consiste em obter um sistema no formato de escadinha, veja: = = =8 ou E isto é útil porque desta forma: Obtemos o valor de z imediatamente através da resolução de uma equação do primeiro grau na última linha. Obtemos o valor de y substituindo o valor de z na segunda equação. Obtemos o valor de x, substituindo os valores de z e y na primeira equação. E como fazemos isso? 1) organizamos nosso sistema de modo que a primeira linha seja completa ou seja, com todas as incógnitas (ou a maior parte deles) pois ela servirá de molde para que anulemos as outras. 2) Efetuamos o que foi feito no exercício anterior, ou seja, usando a primeira linha anulamos um mesmo termo em todas as outras linhas. Exemplo =10 9x+8y+22z = 28 3x+4y+5z =7 3

4 Exercício Sala (Escalonamento) Escalone e resolva os seguintes sistemas: 3 + =2 2 = = = = 1 4

5 3. Tipos de Sistema Linear 3.1. Os tipos de sistema linear Os sistemas lineares podem ser: Possíveis e determinados: quando resolvemos este tipo de sistema, obtemos uma solução única Possíveis e indeterminados: quando resolvemos este tipo de sistema obtemos infinitas soluções, isto está associado a uma verdade absoluta no escalonamento, geralmente 0=0: Impossíveis: quando tentamos resolver este tipo de sistema, obtemos uma inverdade no escalonamento e este sistema não possui solução: 2 + = = = A forma matricial do sistema e seu determinante Quando temos um sistema, podemos representá-lo em matrizes (convenientes) e calcular seus determinantes: = = =28 5

6 Lembre-se que para escrevermos as matrizes corretamente devemos ter os termos organizados da mesma maneira em todas as linhas Classificando o sistema linear usando seu determinante % & =0 () +, ) % & 0 (% 3.4. Resolvendo o sistema com determinante não nulo Quando obtemos um sistema com determinante não nulo, podemos utilizar a regra de Cramer para resolvê-lo. y, z: A regra de Cramer diz que o valor de cada variável na solução deste sistema será, caso elas sejam x, =. /. 0 e = e = Observe sua validade no sistema a seguir: = 4 + = 6 4. Sistemas lineares em problemas interpretativos 4.1. Quais são as variáveis? Muitas vezes os exercícios não vem com um sistema pronto, esperando para ser resolvido. E sim, é apresentado um problema de modo que você deve escrever cada uma das equações. Variáveis nos problemas podem ser doces, tijolos, funcionários, valor de uma nota ou moeda. O importante é estruturar uma equação utilizando o que foi dito. Lembre-se, a variável (incógnita) é aquilo que você não sabe quanto vale e vai ser útil na resolução do problema. Vamos analisar os seguintes problemas agora: 6

7 1. (U.F. Viçosa MG, adaptado) Em determinado concurso, os candidatos fizeram uma prova contendo 25 questões. Pelas normas do concurso, os candidatos não poderiam deixar questões em branco e, na correção da prova, seriam atribuídos (+2) para cada questão correta e (-1) a cada resposta errada. A nota da prova seria a soma dos valores atribuídos às questões. Se um candidato obteve nota 17, qual o número de questões que ele acertou? 1. Quais são as variáveis deste problema? 2. Quais são as equações? 2. (ITA SP) Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches, 10 chícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 42,00. Então, o consumo de 1 sanduíche, 1 xícara de café e 1 pedaço de torta totaliza o valor de: 1. Quais são as variáveis deste problema? 2. Quais a) são R$ as 17,50 equações? 3. O que b) o R$ problema 16,50 está pedindo? É a solução do sistema? É possível encontrá-la? c) R$ 12,50 d) R$ 10,50 e) R$ 9,50 7

8 Exercícios de Casa 2+2 =5 1. (U.F. São Carlos SP, adaptado) O par ordenado (x,y), solução do sistema 2 2 =1 é: a) (5, 3 ) b) (5, 3 ) c) (3, 3 ) d) (1, 3 ) e) (1, ) 2. (PUC MG) O número de soluções do sistema abaixo é: =1 =2 =3 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 f) 4 3. (UNIFOR CE) Se a terna (a,b,c) é a solução do sistema Então: a) a+c=-1 b) a+b=1 c) b+c=2 d) 2a=2 e) 3b=3 2+ =4 =4 4+ =1 4. Um sistema linear possui a seguinte matriz: Para que este sistema tenha solução única é condição necessária e suficiente que: a) 6 4 b) 6 4 8

9 c) 6 = 4 d) 6 =4 e) (UNICAP-PE) Considere o sistema linear de equações: E julgue as afirmações a seguir: + =3 2+ = =6 a) O sistema é indeterminado b) =1; =0 9 =2 é uma solução do sistema c) O sistema possui uma e somente uma solução d) Se z = 1, então x = 1 e y = -1. e) O sistema é homogêneo 6. (Vunesp-SP) Maria tem em sua bolsa R$ 15,60 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos. Dado que o número de moedas de 25 centavos é o dobro do número de moedas de 10 centavos, o total de moedas na bolsa é: a) 68 b) 75 c) 78 d) 81 e) (CEFET MG) Uma pessoa vendeu três tipos de doces, num total de 80, e arrecadou r$ 115,00. Sabe-se que um brigadeiro custa R$ 1,00 e um bombom R$ 2,00, já um olho de sogra custa R$ 1,50. Sabe-se também que a quantidade de brigadeiros vendidos é igual a soma dos outros dois doces vendidos. O número de bombons que a pessoa vendeu é igual a: a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40 9

10 Raciocínio Lógico Matemático Assunto: Problemas envolvendo razões e proporções 1. Razão Razão é quando comparamos grandezas, por exemplo, a razão entre três barras de chocolate para cada 6 crianças é: razão = 3 barras 6 crianças = 1 DD 2 DEFç Um outro exemplo de razão é o número de pessoas por metro quadrado em um meio de transporte público: Dã+ = 3 G9+ 1 H 2. Proporção Dizemos que coisas são proporcionais quando uma razão em uma situação pode ser reaplicada em outra. Neste caso igualamos as razões de cada situação. Um exemplo disso, é que se numa escola há 12 meninos para cada 4 meninas e todas as salas são proporcionais. Então o número de meninos numa sala com 16 meninas será resultado da igualdade de razões: 12 (H9FEF+) 4 (H9FEF) = (H9FEF+) = 48 H9FEF+ F J 16 (H9FEF) Há casos de proporção inversa também, por exemplo, se uma tarefa é divididade igualmente pelo número de funcionários e com 4 funcionários ela demorava 8 horas, então com 8 funcionários esta mesma tarefa estará completa em menos tempo. Ou seja, o número de funcionários é inversamente propocional ao número de horas gastas. Para trabalhar nestes casos devemos igualar as razões com o cuidado de inverter uma das frações. Por exemplo, se queremos saber o número de horas com 8 funcionários fazemos a seguinte conta: K LMNOPáROPS T UPRVS =5 T LMNOPáROPS 7 X K LMNOPáROPS = W UPRVS T UPRVS Perceba que as razões tem valores invertidos, Dã+ (4 Z,FE+FáDE+) = K LMNOPáROPS T UPRVS = LMNOPáROPS UPRVS W UPRVS T LMNOPáROPS =4 h+d e Dã+ (8 Z,FE+FáDE+) = T LMNOPáROPS K UPRVS = LMNOPáROPS UPRV 10

11 Exercícios de Casa 1. (ENEM) O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão ainda sem resposta: Qual é o limite do corpo humano? O maratonista original, o grego da lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42 quilômetros. O americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planícies da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75 horas. Um professor de Educação Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do maratonista americano, desenhou na lousa uma pista reta de 60 centímetros, que representaria o percurso referido. Disponível em: Acesso em: 25 jun (adaptado). Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual seria a escala entre a pista feita pelo professor e percorrida pelo atleta? a) 1:700 b) 1:7.000 c) 1: d) 1: e) 1: (ENEM) Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo previsto? a) 7h42 b) 7h44 c) 7h 46 d) 7h48 e) 7h (ENEM) Um aluno precisa construir uma maquete da quadra de esportes da escola que tem 28 m de comprimento por 12 m de largura. A maquete deverá ser construída na escala de 1 : 250. Que medidas de comprimento e largura, em cm, o alunos utilizará na construção da maquete? a) 4,8 e 11,2 b) 7,0 e 3,0 c) 11,2 e 4,8 d) 28,0 e 12,0 e) 30,0 e 70,0 4. (ENEM) Nos últimos cinco anos, 32 mil mulheres de 20 a 24 anos foram internadas nos hospitais do SUS por causa de AVC. Entre os homens da mesma faixa etária, houve 28 mil internações pelo mesmo motivo. Época 26 abr 2010 (adaptado). Suponha que, nos próximos cinco anos, haja um acréscimo de 8 mil internações de mulheres e que o acréscimo de internações de homens por AVC ocorra na mesma proporção. De acordo com as informações dadas, o número de homens que seriam internados por AVC, nos próximos cinco anos, corresponderia a: a) 4 mil b) 9 mil c) 21 mil d) 35 mil e) 39 mil 11