Xadrez, Matemática e Computação

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1 Xadrez, Matemática e Computação Adalberto Ayjara Dornelles Filho aadornef@ucs.br 24 de dezembro de 2005 Resumo Este texto é uma coletânea de breves considerações matemáticas e computacionais sobre alguns aspectos do jogo de Xadrez. Os fragmentos aqui expostos não têm a pretensão de serem inéditos, absolutamente rigorosos ou enciclopedicamente abrangentes mas pretendem ser (na medida do possível) corretos, instrutivos e divertidos. Sugestões e comentários são bem-vindos. Sumário 1 Trigo 2 2 Primeiros lances 2 3 Dois reis 2 4 Caminhos para o rei 3 5 Mates elementares Rei e dama versus rei Rei e torre versus rei O passeio do cavalo 5 7 O problema das 8 Damas 6 8 Glossário 8 Lista de Algoritmos 1 OitoDamas

2 1 Trigo Uma das muitas lendas acerca das origens do xadrez diz que: Sissa, brâmane ou filósofo indiano teria inventado o jogo de xadrez para curar o tédio do enfastiado rei Kaíde. Como este lhe houvesse prometido a recompensa que desejasse, Sissa pediu 1 grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, 2 pela segunda, 4 pela terceira, 8 pela quarta e assim sucessivamente, até chegar a 64 a casa. O rei ficou espantado perante um pedido que lhe pareceu tão humilde e acedeu imediatamente à aparente insignificância da petição, mas... Feitos os cálculos, verificou-se que todos os tesouros da Índia não eram suficientes para pagar a recompensa pedida [1, p. 259]. Após os 20 primeiros lances (dez das brancas e dez das pretas), tem-se posições distintas [1, p. 264]. 3 Dois reis Quantas posições distintas podem ser formadas com dois reis sozinhos no tabuleiro? Se o rei branco for colocado em uma casa do canto do tabuleiro como mostrado na Figura 1, o rei preto pode ocupar outras 64 4 = 60 casas (as 4 casas em vermelho são proibidas). Como o rei branco pode ocupar 4 cantos, são possíveis 4 60 = 240 posições. Qual é a quantidade Q de grãos pedida? Q = = k=0 2 k = = Este é um número inacreditavelmente grande. Para se ter uma idéia de seu tamanho, verifique-se que a produção de trigo no Brasil em 2003 foi de toneladas de grãos [4]. Supondo que, em média, mil grãos de trigo pesem 35 g [6] então seria necessário juntar a produção brasileira de mais de 107 mil anos para pagar a recompensa! Figura 1: Rei branco em um canto: 240 posições. Se, no entanto, o rei branco for colocado em uma das 6 4 = 24 casas das bordas do tabuleiro como na Figura 2, o rei preto pode ocupar 64 6 = 58 casas, totalizando = 1392 posições. 2 Primeiros lances Na posição inicial, o primeiro lance (das brancas) pode ser efetuado de 20 modos distintos. Dois modos para cada um dos oito peões e dois modos para cada um dos dois cavalos ( = 20). Para o segundo lance (resposta das pretas) também se dispõe de 20 modos distintos, assim, após os dois primeiros lances, podem ser produzidas = 400 posições distintas no tabuleiro. Após os oito primeiros lances (quatro das brancas e quatro das pretas), a quantidade de posições distintas eleva-se para Figura 2: Rei branco em uma borda: 1392 posições. Finalmente, se o rei branco for colocado em uma das 6 6 = 36 casas não-periféricas do tabuleiro como na Figura 3, o rei preto pode ocupar 64 9 = 55 casas, totalizando = 1980 posições. No total tem-se = 3612 posições distintas [1, p. 264]

3 O primeiro conjunto possui apenas uma permutação possível, nos demais a quantidade de permutações é dada por (n D + n E + n C )!, n D!n E!n C! Figura 3: Rei branco em casa não-periférica: 1980 posições. 4 Caminhos para o rei Partindo de e1 (sua casa inicial) o rei pode atingir e8 (a casa inicial do rei adversário) em 7 lances. Quantos caminhos distintos existem? A cada lance, o rei deve avançar uma fileira mas pode mover uma coluna à esquerda, à direita ou manter a mesma coluna. Um caminho possível é, por exemplo, 1.Rd2 2.Rd3 3.Rc4 4.Rd5 5.Re6 6.Re7 7.Re8 como mostra a Figura 4. onde n D, n E e n C são, respectivamente, o número de movimentos do tipo D, E e C possíveis em cada conjunto. Deste modo, a quantidade n de possíveis caminhos é n = 1 + 7! 1!1!5! + 7! 2!2!3! + 7! 3!3!1! = = 393. (1) Existem, portanto, 393 caminhos distintos para o rei mover-se de e1 até e8 [1, p. 264]. Agora poderíamos perguntar: De quantos modos pode o rei atravessar o tabuleiro? Isto é, partindo de e1 quantos caminhos existem até a última fileira? É possível calcular isso de modo semelhante ao que foi feito acima. Também é possível calcular da maneira descrita a seguir. Na figura 5, a casa e1 foi marcada com o número 1 pois só existe uma maneira do rei estar em sua posição inicial. Figura 4: Um possível caminho para o rei, desde e1 até e8. Se representamos o movimento de avanço do rei movendo-se uma coluna à esquerda por E, à direita por D e mantendo a mesma coluna C então o caminho descrito acima pode ser representado pela seqüência (E, C, E, D, D, C, C). Como a casa de partida e a de chegada estão na mesma coluna, deve-se ter a mesma quantidade de movimentos do tipo D e E. Assim os possíveis caminhos são permutações dos conjuntos {C, C, C, C, C, C, C}, {D, D, E, E, C, C, C}, {D, E, C, C, C, C, C}, {D, D, D, E, E, E, C}. Figura 5: Caminhos para o rei, desde e1 até a última fileira. Em seguida, na segunda fileira, as casas d2, e2 e f2 foram marcadas com o número 1 pois somente existe uma maneira do rei chegar em cada uma dessas casas, vindo de e1. Na terceira fileira a casa c3 foi marcada com o valor 1 pois somente existe uma maneira do rei chegar nessa casa vindo de d2. A casa d3 foi marcada com o valor 2 pois existem duas maneiras 3

4 do rei chegar nessa casa vindo de d2 ou e2. A casa e3 foi marcada com o valor 3 pois existem três maneiras do rei chegar nessa casa vindo de d2, e2 ou f2. As demais casas da fileira foram marcadas seguindo o mesmo raciocínio. Note que o valor marcado em uma dada casa é obtido pela soma dos valores das três casas da fileira inferior das quais o rei pode vir. Por exemplo, o valor marcado na casa d4 é 6 pois é a soma dos valores marcados nas casas c3, d3 e e3. Existem 6 maneiras de o rei chegar a d4: um caminho passando por c3, dois caminhos passando por d3 e três caminhos passando por e3. Esse procedimento é efetuado fileira por fileira até chegar a última fileira. Os valores marcados em cada casa da última fileira corresponde ao número de caminhos possíveis desde e1 até aquela casa. Note que o valor marcado na casa e8 é 393, o mesmo resultado obtido em (1). A soma dos valores marcados na última fileira corresponde as possíveis modos do rei atravessar o tabuleiro: Mates elementares 2 casas (marcadas em azul) e a dama branca 8 casas (marcadas em verde). Estas posições podem ser refletidas 8 vezes, portanto podem ocorrer = 128 posições de mate. Figura 6: Rei e dama versus rei, situação 1. A Figura 7 mostra o rei negro em uma borda do tabuleiro e o rei branco em oposição (única posição possível). O par de reis pode estar em qualquer uma das 6 colunas de b a g. A dama branca pode ocupar uma das 5 casas (marcadas em verde) última da fileira. Essas posições podem ser rotacionadas nas 4 bordas do tabuleiro e assim = 120 posições de mate podem ocorrer. Denominam-se mates elementares às posições de mate em que o bando perdedor possui apenas o rei e o bando vencedor possui um conjunto mínimo de peças, sem peões. Existem quatro tipos de mates elementares: Rei e dama versus rei; Rei e torre versus rei; Rei e dois bispos (de cores diferentes) versus rei; Rei, bispo e cavalo versus rei. O mate somente pode ser dado quando o rei do bando perdedor está em um canto ou na borda do tabuleiro. Com exceção das posições em que ocorre empate por afogamento ou em que uma peça possa ser imediatamente capturada, o mate pode ser forçado em, no máximo, 10, 16, 19 e 33 lances, respectivamente [3]. Nas seções seguintes determina-se quantas posições distintas podem ser obtidas para cada tipo de mate elementar. Como de costume na literatura, as brancas são o bando vencedor. 5.1 Rei e dama versus rei A Figura 6 mostra o rei negro em um canto do tabuleiro. Nessa situação o rei branco pode ocupar Figura 7: Rei e dama versus rei, situação 2. As Figuras 8, 9 e 10 mostram as demais possíveis situações. Figura 8: Rei e dama versus rei, situação 3. Um resumo das contagens é mostrado na Tabela 1. No total, tem-se 364 posições de mate [1, p.264], [5]. 4

5 5.2 Rei e torre versus rei. Assim como no caso anterior, o mate somente pode ser dado quando o rei negro está em um canto ou na borda do tabuleiro. As Figuras 11 e 12 mostram as possíveis situações. Figura 9: Rei e dama versus rei, situação 4. Figura 11: Rei e torre versus rei, situação 1. Figura 12: Rei e torre versus rei, situação 2. Figura 10: Rei e dama versus rei, situação 5. Um resumo das contagens é mostrado na Tabela 2. No total, tem-se 216 posições de mate [1, p.264], [5]. Fig. R T desl. refl. total Total 364 Tabela 2: Resumo das 216 possíveis situações de mate para rei e torre versus rei. Fig. R D desl. refl. total Total 364 Tabela 1: Resumo das 364 possíveis situações de mate para rei e dama versus rei. 6 O passeio do cavalo O problema denominado Passeio do Cavalo ou Knight Tour consiste em fazer um cavalo percorrer todas as 64 casas do tabuleiro passando uma única vez em cada uma. O matemático Leonhard Euler ( ) dedicou-se a análise desse problema [1, p. 269]. As muitas soluções para o problema podem ser divididas em caminhos abertos ou fechados. A Figura 13 mostra um caminho aberto. O passeio inicia em a1 e segue com b3, e1,... observando a numeração 1, 2, 3,... O passeio termina em f1. 5

6 Figura 13: Passeio do cavalo em caminho aberto. A Figura 14 mostra um caminho fechado na qual o passeio inicia em a1 termina em b3 (podendo pular para a1 em seguida). Figura 15: Uma solução não-simétrica para o problema das 8 damas. Figura 14: Passeio do cavalo em caminho fechado. 7 O problema das 8 Damas É possível colocar 8 damas em um tabuleiro de modo que nenhuma fique em casa guardada por outra? Este problema foi proposto pela primeira vez na revista Schachzeitung em Por volta de 1850 o matemático Johann Karl Friedrich Gauss ( ) e o astrônomo Heinrich Schumacher ( ) descobriram 12 soluções fundamentais que por rotação e reflexão dão origem a um total de 92 soluções distintas, duas delas representadas nas Figuras 15 e 16. Note-se que, devido à simetria da solução re- Figura 16: Uma solução simétrica para o problema das 8 damas. 6

7 produzida na Figura 16, o total de soluções é inferior a 8 12 = 96. Encontrar soluções para esse problema não é tão fácil quanto parece à primeira vista pois existem C 64 8 = 64! = !(64 8)! maneiras distintas de dispor as 8 damas no tabuleiro. Se for utilizado o critério de que cada coluna deve conter uma, e apenas uma, dama então a quantidade de possibilidades diminui para 8 8 = Se for utilizado o critério de que cada coluna e cada fileira deve conter uma, e apenas uma, dama então a quantidade de possibilidades diminui para 8! = Com esse último critério, pode-se representar cada uma das disposições como uma permutação do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Usando essa notação, as soluções das Figuras 15 e 16 são representadas por (1, 5, 8, 6, 3, 7, 2, 4) e (3, 5, 2, 8, 1, 7, 4, 6), respectivamente. As outras 10 soluções fundamentais do problema são dadas por (1, 6, 8, 3, 7, 4, 2, 5), (2, 4, 6, 8, 3, 1, 7, 5), (2, 5, 7, 1, 3, 8, 6, 4), (2, 5, 7, 4, 1, 8, 6, 3), (2, 6, 1, 7, 4, 8, 3, 5), (2, 6, 8, 3, 1, 4, 7, 5), (2, 7, 3, 6, 8, 5, 1, 4), (2, 7, 5, 8, 1, 4, 6, 3), (3, 5, 8, 4, 1, 7, 2, 6), (3, 6, 2, 5, 8, 1, 7, 4). É possível estender esse problema para o posicionamento de n damas em um tabuleiro de n n casas. Do ponto de vista computacional, esse problema é de complexidade elevada pois, à princípio, a quantidade de disposições a ser verificada é n!. Apenas para valores relativamente pequenos de n é possível gerar e verificar todas as permutações do conjunto {1,..., n}. A Tabela 3 mostra, para alguns valores de n, a quantidade de permutações possíveis (n!), a quantidade total de soluções (n T ) e a quantidade de soluções fundamentais (n F ). Do ponto de vista computacional, existem diversas maneiras de resolver o problema. Um dos algoritmos mais simples utiliza a técnica de backtracking. O algoritmo OitoDamas determina as m soluções para o problema de n damas em um tabuleiro n n. O algoritmo armazena as possíveis Algoritmo 1: OitoDamas Entrada: n Saída: S, m { Inicialização } m 0 T zeros(n) T 1 1 v 1 i 1 { Laço principal } enquanto T i n faça { Avança ou grava solução } se v = 1 então se i < n então i i + 1 senão m m + 1 S m T { Calcula valor da coluna } enquanto T i = n e i > 1 faça T i 0 i i 1 T i T i + 1 { Teste da validade } v 1 j 1 enquanto j < i faça t T i T j se t = i j ou t = j i ou t = 0 então v 0 quebra de laço j j + 1 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14: 15: 16: 17: 18: 19: 20: 21: 22: 23: 24: 25: 26: 27: 28: 29: 30: 31: 32: 33: 34: 35: 7

8 n n! n T n F Tabela 3: Quantidade de soluções para o problema das 8 damas. soluções em um vetor T como na notação acima. Cada solução encontrada é armazenada na matriz S. Uma variação do problema das oito damas consiste em colocar oito damas em um tabuleiro de modo que o número de casas guardadas pelas damas seja mínimo. Até o momento conjectura-se que o número minimo de casas guardadas seja 53 e que pode ser obtido com 6 disposições distintas segundo [3, p.???]. A Figura 17 mostra uma dessas soluções. As 11 casas marcadas em verde não são guardadas por nenhuma dama. casa: cada uma das 64 divisões do tabuleiro. Existem 32 casas brancas e 32 casas pretas. Na notação padrão cada casa é identificada por uma letra (de a a h) seguido de um número (de 1 a 8). Por exemplo, a1, b3, h7. coluna: conjunto de 8 casas justapostas verticalmente. Nos diagramas as colunas são associadas as letras de a a h da esquerda para a direita. combinação: fileira: conjunto de 8 casas justapostas horizontalmente. Nos diagramas as fileiras são numeradas de 1 a 8 de baixo para cima. As peças brancas ocupam as fileiras 1 e 2 e as peças pretas as fileiras 7 e 8. lance: movimento realizado por um jogador ou bando. Pode ser o movimento de uma peça para uma casa vaga, ou captura de uma peça adversária, ou captura en passant de peão, ou roque ou promoção. Na notação padrão, a contagem dos lances é feita em conjunto para cada jogador, isto é, após o primeiro lance das brancas segue o primeiro lance das pretas, em seguida o segundo lance das brancas e o segundo lance das pretas e assim sucessivamente. Já no jargão dos programadores de computador, cada lance é contado individualmente e denominado ply. Por exemplo, se os primeiros lances de uma partida são 1.e4 e5 2.Nf3 Nc6 3.Bb5, tem-se 3 lances brancos e 2 lances pretos ou 5 plies. mate elementar: oposição: permutação: Cada uma das possíveis ordenações de objetos de um conjunto. Em um conjunto de n objetos distintos, o número de ordenações possíveis é n! = n (n 1) 2 1. Figura 17: Oito damas guardando um mínimo de casas. 8 Glossário Segue um vocabulário básico de termos de xadrez, matemática e computação usados. Por exemplo, é possível ordenar as letras da palavra xadrez em 6! = 720 modos distintos. Em um conjunto de objetos com n 1,..., n p repetições, o número de ordenações possíveis é (n n p )! n 1!... n p!. 8

9 Por exemplo, é possível ordenar as letras da palavra matemática de ( )! 3!2!2!1!1!1! = modos distintos. [2, p. 23, 40]. posição inicial: posição legal/ilegal: tabuleiro, ou tabuleiro de xadrez, um tabuleiro quadrado composto de 64 quadrados menores coloridos alternadamente de cores clara (brancas) e escuras (pretas) dispostos em 8 colunas e 8 fileiras. Nos diagramas a casa inferior direita (h1) deve ser clara. xeque: Diz-se que o rei está em xeque quando está sob ataque de alguma peça adversária. Neste caso, uma ação imediata é necessária. Ao bando sob ataque, existem três alternativas de defesa: (1) capturar a peça atacante, (2) interpor uma peça na linha de ação da peça atacante (se essa não for um cavalo), (3) Deslocar o rei para uma casa não guardada por nenhuma peça adversária. Se nenhuma dessas ações puder ser efetuada o rei está sob xeque-mate e a partida é encerrada. 9

10 Referências [1] Idel Becker, Manual de xadrez, 16 a ed., Ed. Nobel, São Paulo, [2] Augusto César de Oliveira Morgado Carvalho, João Bosco Pitombeira de Carvalho, Paulo Cezar Pinto Carvalho, and Pedro Fernandez, Análise combinatória e probabilidade, Coleção do professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática - SBM, Rio de Janeiro, [3] David Hooper and Kenneth Whyld, The oxford companion to chess, Oxford University Press, Oxford, [4] Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística IBGE, Levantamento sistemático da produção agrícola, junho [5] Ari Luiro and Aerre Tiilikainen, The number of simple endgame mates, com/timessquare/metro/9154/lopmates.htm, outubro [6] H. A. Stédile, Relatório Técnico, junho