UC: Análise Matemática II. Caderno 1 : Integrais Duplos e Integrais de Linha

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1 ET / E, o Ano U: Análise Matemática aderno : ntegrais uplos e ntegrais de Linha (uplos, Volumes, Mudança de oordenadas, ntegrais de Linha) Elaborado de: iana Aldea Mendes e Rosário Laureano epartamento de Métodos Quantitativos Fevereiro de

2 apítulo ntegrais uplos. ntegrais duplos - definição e interpretação A definição de integral duplo (multiplo) é uma generalização da de integral a uma só variável. Em particular, o Teorema de Fubini, permite relacionar um integral definido em R n (integral multiplo) com o integral em R. Nomeadamente, um integral multiplo pode ser calculado por integrações sucessivas numa variável considerando as restantes fias (constantes). O integral duplo (multiplo) quando eplicitado por intermédio de dois (vários) integrais simples designa-se por integral iterado. Seja f uma função de duas variáveis, z f(, ), que seja contínua numa certa região limitada e fechada do O-plano. Tem-se f R.Naprática,paracalcularum integral duplo RR f(, )dd, temos que seguir os seguintes passos:. Representar graficamente o domínio de integração. Estudar a regularidade do domínio de integração e determinar a ordem de integração (dd ou dd). Eplicitar os limites de integração e escrever o integral duplo na forma iterada 4. alcular o integral duplo respeitando a ordem de integração A principal dificuldade nos integrais duplos, consiste em, dado um domínio de integração, determinar os limites de integração em cada um dos integrais simples envolvidos.

3 ntegrais uplos efinição.. O domínio R diz-se regular segundo o eio dos (no sentido do eio dos ) se. Qualquer vertical que passe por um ponto interior de intersecta a sua fronteira em apenas dois pontos. é limitado pelas curvas g () e g () e pelas rectas a e b, sendo g () g () e a b. Se o domínio de integração éregularnosentidodoeiodos (ou segundo o eio dos ), então a ordem de integração é dd e o integral duplo eplicita-se (calcula-se) por f(, )dd Z b à Z! g () f(, )d d a g () Z b a d Z g () g () f (, ) d. Graficamente, temos um domínio de integração regular no sentido do eio dos, em cada uma das seguintes situações: g () g () g () g () a b a b g ()c g () g ()d g () a b a b eve ficar claro que o cálculo de um integral duplo requer o cálculo de integrais simples pela ordem indicada: primeiro o integral de f(, ) em relação à variável (con-

4 .. NTEGRAS UPLOS - EFNÇÃO E NTERPRETAÇÃO siderando como constante) desde g () (a fronteira inferior do domínio de integração ) até g () (a fronteira superior de ); depois o integral da epressão obtida em relação à variável no intervalo [a, b],isto é, do etremo esquerdo do domínio de integração até ao etremo direito de. efinição.. O domínio R diz-se regular segundo o eio dos (no sentido do eio dos ) se. Qualquer horizontal que passe por um ponto interior de intersecta a sua fronteira em apenas dois pontos. é limitado pelas curvas h () e h () epelasrectas c e d, sendo h () h () e c d. Se o domínio de integração é regular no sentido do eio dos (ou segundo o eio dos ), então a ordem de integração é dd e o integral duplo eplicita-se (calcula-se) por f(, )dd Z d à Z! h () f(, )d d c h () Z d c d Z h () h () f (, ) d. Graficamente, temos um domínio de integração regular no sentido do eio dos, em cada uma das seguintes situações: h () h () d d d d h () h () c c c c a b

5 4 ntegrais uplos h ()a h ()b d c d c d h () d h () c c a b Neste caso, calcula-se primeiro o integral de f(, ) em relação à variável (considerando como constante) desde h () (a fronteira esquerda do domínio de integração ) até h () (a fronteira direita de ); depois o integral da epressão obtida em relaçãoàvariável no intervalo [c, d],isto é, do etremo inferior do domínio de integração até ao etremo superior de. Tem-se sempre que Z à b Z g ()! f(, )d d a g () f(, )dd Z d c à Z! h () f(, )d d, ou seja, indiferente da ordem de integração utilizada, o valor do integral duplo é o mesmo. Propriedades aso eistam os integrais duplos são válidas as seguintes propriedades operacionais: [f(, ) ± g(, )] dd f(, )dd ± g(, )dd; h () cf(, )dd c f(, )dd, para c R; h()f(, )dd g()f(, )dd Z b a Z d c h() g() Z g () g () Z h () h () f(, )dd; f(, )dd. Uma outra propriedade de grande utilidade em domínios de integração não regulares é a seguinte: f(, )dd f(, )dd + f(, )dd,

6 .. EXEMPLOS 5 se, int( ) int( ), e e são regulares no mesmo sentido. O integral duplo sobre o domínio de integração da função constante f (, ) defineaáreade, istoé dd A (). A passagem duma ordem de integração para outra num integral duplo, caso é possível, designa-se por inversão da ordem de integração do integral duplo. Se o domínio for regular no sentido do eio dos ou seja. Eemplos Eemplo. alcule o valor dos seguintes integrais duplos a). R d R ( cos ) d R ( sin ) d R ³ ( sin ) d sin b). R 5 d R () d R 5 d R 5 d 4 4 Eemplo. etermine o valor do integral duplo ( +) dd sin onde o domínio de integração é limitado pelas parábolas de equação e

7 6 ntegrais uplos Os pontos de intersecção das duas parábolas obtem-se iqualando as equações corespondentes, isto é + ± sendo ± as equações das rectas verticais que limitam o domínio de integração. onclui-se que éregularnosentidodoeiodos, logo pode ser escrito como, + ª deduzindo (também do gráfico) que g () é a função inferior e g () + é a função superior que limitam o domínio de integração. a regularidade de segundo o eio dos obtem-se a ordem de integração dd, logo o integral duplo escreve-se como ( +) dd Z Z Z Z + Z d ( +) d + + d ³ d d µ Portanto o valor do integral duplo é /5. Eemplo. alcule do integral duplo da função f(, ) + no domínio de integração definido por,, ª. A representação gráfica do domínio de integração é ilustrada na Figura abaio.

8 .. EXEMPLOS / 4 / omínio de integração regular segundo regular segundo omo é regular no sentido do eio dos, ou seja pode ser limitado por: a, b, g () e g (), com e, o integral duplo escreve-se como ( + ) dd Z µz Z ( + )d d µ4 4 d µ + d µ Z 5 5 O mesmo integral duplo pode ser calculado pelo outro integral iterado (obtido invertendo a ordem de integração), ou seja por ( + ) dd Z 4 Ã Z! ( + )d d 5 5. Tem-se c,d 4, h () e h (), segundo a notação indicada no desenvolvimento. Eemplo 4. integração dado por / onsidere-se agora o mesmo integral duplo, mas com o domínio de,, ª. Então o domínio é regular no sentido do eio dos e portanto o integral duplo é: ( + ) dd Z µz Z ( + )d d µ4 4 d µ + d µ Z 8

9 8 ntegrais uplos Se optarmos pela outra ordem de integração o mesmo integral duplo terá de ser calculado como segue: / / Z Ã Z! Z Ã Z! ( + ) dd ( + )d d + ( + )d d / / dado que é necessário considerar sub-regiões e separadas pela recta tais que. e facto, atendendo a que a recta vertical intersecta a parábola quando tomaovalor e intersecta a recta quando toma o valor (atenda à figura anterior e complete-a) estas duas sub-regiões serão as seguintes,,, ª,,, ª. Por vezes é forçoso inverter a ordem de integração face à função f(, ) a primitivar. Eemplo 5. alcule o seguinte integral duplo Z d Z e d. Este integral duplo não pode ser calculado de forma fácil directamente pela ordem de integração estabelecida (dd),vistoqueaprimitiva R e d não é uma primitiva elementar. O domínio de integração deste integral duplo é limitado pelas rectas,, e. Para estabelecer o outra ordem de integração (dd) isto é, para efectuar inversão da ordem de integração do integral duplo é útil representar graficamente este domínio de integração

10 .. EXEMPLOS 9 ou / e, a partir dessa representação, escrever o novo integral iterado Z d Z e d Z Z Z d e d ³ e d 6 Z ³ e d e e 9. 6 Eemplo 6. Pretende-se calcular o integral duplo RR f(, )dd para f(, ) e definido por { 6,,,8}. Para tal represente-se graficamente este domínio e estabeleça-se as ordens de integração: Z Z 8 dd d d + Z 4 Z 6/ d d

11 ntegrais uplos dd Z 4 d Z d + Z 8 4 d Z 6/ d Verifica-se através da figura que, qualquer que seja a ordem de integração escolhida, é necessário separar o domínio de integração em sub-regiões, a saber: e separadas pela recta quandoaopçãoé R R f(, )d d, e separadas pela recta 4 quandoaopçãoé RR f(, )d d. O cálculo de qualquer um destes integrais iterados conduz ao valor 448 para o integral duplo. Eemplo 7. etermine o valor do integral duplo RR () dd onde o domínio de integração é limitado pelas curvas de equação e +6. A parábola de equação +6 tem a forma equivalente ± +6vista como função de variável e tem a forma vista como função de variável. Os pontos de intersecção entre a parábola e a recta calculam-se de +6( ), oque implica 4 5, de onde e 5. (5,4) 4 ( /) (-,-) onsideramos a regularidade segundo o eio dos (sendo mais fácil neste caso). Então o domínio de integração é limitado pelas rectas horizontais de equação e 4(calculados como as imagens dos pontos de intersecção e 5), epelas curvas: á esquerda h () eádireita h () +, logo, a ordem de

12 .. EXEMPLOS integração dd determina o seguinte integral iterado () dd Z 4 Z 4 Z 4 Z + d d à ( +) Z 4 µ µ µ µ ! d 4 d d 6. Estudando a regularidade de segundooeiodos, ou seja, fazendo uma inversão da ordem de integração de dd para dd, obtem-se uma divisão de em dois sub-domínios de integração separados pela recta vertical de equação. (5,4) (+6) / (+6) / (-,-) Tem-se então o sub-domínio de integração (regularnosentidodoeiodos) limitado pelas rectas verticais de equação e e pelas curvas horizontais g () +6 (curva inferior) e g () +6 (curva superior) e o subdomínio (regular o sentido do eio dos ) limitado pelas rectas verticais e 5e pelas curvas horizontais g () (curva inferior) e g 4 () +6 (curva superior).

13 ntegrais uplos Então a ordem de integração é dd e o integral iterado á calcular é dado por () dd () dd + () dd Z d Z d + Z 5 d Z +6 d 6. Eemplo 9. figura seguinte: Eplicita o integral duplo RR () dd, sendo definido como na Regularidade segundo o eio dos ordem de integração dd () dd () dd + () dd + () dd Z d Z + f (, ) d + Z d Z + f (, ) d + Regularidade segundo o eio dos ordem de integração dd () dd () dd + () dd + () dd Z d Z f (, ) d + Z d Z f (, ) d +. Mudança de variável: coordenadas polares Z Z d Z f (, ) d. Z d f (, ) d. Quando se utilizam coordenadas rectangulares (, ) o sistema de referência é dado por um par de rectas perpendiculares (os bem conhecidos eios dos e dos ). Para definir

14 .. MUANÇA E VARÁVEL: OORENAAS POLARES as coordenadas polares é utilizado um sistema de referência que consta de um ponto O chamado pólo e de um raio que se inicia no ponto O designado por eio polar. Raio θ θ +π θ O Eio polar Raio θ +π oncretamente, um ponto P é dado pelas coordenadas polares (r, θ) se está posicionado aumadistânciar do pólo O tal que semi-recta OP determina um ângulo de amplitude θ radianos (medido no sentido positivo) com o semi-eio positivo dos. ontrariamente ao que acontece com as coordenadas rectângulares, as coordenadas polares não estão univocamente determinadas. e facto, geometricamente não eiste distinção entre os pontos cujos ângulos diferam por um múltiplo de π, isto é(r, θ) (r, θ +nπ),n Z +. É, no entanto, usual considerar θ a amplitude do menor dos ângulos. Tem-se então r R + e θ [, π[. A relação entre as coordenadas polares (r, θ) e as coordenadas rectangulares (, ) é dada por ½ r cos θ r sin θ

15 4 ntegrais uplos visto que cos θ r e sin θ r (ver figura abaio), (,) h r θ O o que implica que tan θ, ou seja θ arctan. r +.. Eemplos. etermine as coordenadas rectangulares do ponto P dado pelas seguintes coordenadas polares (r, θ) (,π/). Atendendo as relações r cos θ e r sin θ obtem-se cos(π/) e sin(π/). Portanto o ponto P tem as coordenadas rectangulares,.. Encontre as coordenadas polares para o ponto P definido pelas seguintes coordenadas rectangulares (, ),. Trata-se de um ponto do segundo quadrante. Sabemos que r cos θ e r sin θ. Encontra-se o seginte valor para o raio r fazendo r + (r cos θ) +(r sin θ) ( ) + 6. Logo r 4. onsiderando r 4obtem-se r cos θ 4cosθ cos θ r sin θ 4sinθ sin θ. Tem-se então θ arcsin arccos π. Então as coordenadas polares de P são 4, π.

16 .. MUANÇA E VARÁVEL: OORENAAS POLARES 5. Em coordenadas rectangulares (, ) a circunferência de centro (, ) eraioa tem por equação + a. A mesma circunferência, em coordenadas polares (r, θ), tem por equação r a. O interior da circunferência é definido por <r<ae o eterior por r>a. 4. Em coordenadas rectangulares (, ) a recta que passa pela origem e faz um ângulo α com o eio dos tem por equação m onde m tanα. Em coordenadas polares (r, θ), a mesma recta, tem por equação θ α. A recta vertical a tem por equação polar r cos θ a e a recta horizontal b tem por equação polar r sin θ b. Mais geral, uma recta de equação cartesiana A+B+ pode ser escrita em coordenadas polares (atendendo as relações r cos θ e r sinθ) como Ar cos θ + B sin θ + r (A cos θ + B sin θ)+. 5. Encontre uma equação em coordenadas polares para a hipérbole de equação a. Substituindo r cos θ e r sinθ na equação da hipérbole obtem-se r cos θ r sin θ r cos θ sin θ r cos (θ) a Portanto a equação r cos (θ) a representa, em coordenadas polares, a hipérbole dada. ado o integral duplo f(, )dd, sempre que o domínio de integração é dado por uma região circular ou quando a função integranda f(, ) contém uma epressão de tipo +, pode ser útil o uso de coordenadas polares para calcular o valor do integral duplo. Relembramos que as coordenadas polares (r, θ) de um ponto P estão relacionadas com as coordenadas rectangulares (, ) por meio das seguintes equações ½ r cos θ r sin θ e ( r + ³ θ arctan

17 6 ntegrais uplos Apresenta-se em seguida a metodologia de cálculo dos integrais duplos f (, ) dd utilizando as coordenadas polares (r, θ). O primeiro passo consta em transformar o domínio de integração (dado em coordenadas cartesianas) no domínio equivalente, Ω, em coordenadas polares (r, θ). Admitindo que a função f (, ) écontínuaem, a função composta F (r, θ) f (r cos θ, r sin θ) também vai ser contínua em todos os pontos do seu domínio Ω. onsiderando a mudança de variáveis para coordenadas polares, tem-se então que f (, ) dd f (r cos θ, r sin θ) rdrdθ visto que r é o valor do determinante da matriz jacobiana Se o conjunto Ω édefinido por Ω Ω {(r, θ) α θ β, g (θ) r g (θ)} Ω F (r, θ) rdrdθ (, ) (r, θ) e r. para β α π, então a ordem de integração em coordenadas polares será drdθ (o domínio Ω sendo regular segundo r) e então o integral duplo escreve-se como Z β Z g (θ) f (, ) dd F (r, θ) rdrdθ dθ F (r, θ) rdr Ω α g (θ) θ β r g (θ) θ α r g (θ) O Eio polar

18 .. MUANÇA E VARÁVEL: OORENAAS POLARES 7 Este caso obtem-se quando o domínio provém da intersecção de duas rectas que passam pela origem e de declive α e β e mais outras duas curvas quisquer (veja figura acima). Se o conjunto Ω tem a forma Ω {(r, θ) a r b, h (r) θ h (r)}, então a ordem de integração em coordenadas polares será dθdr (o domínio Ω sendo regular segundo θ) e então o integral duplo escreve-se como f (, ) dd F (r, θ) rdrdθ Ω Z b a dr Z h (r) h (r) F (r, θ) rdθ. Este caso resulte quando o domínio provém da intersecção de duas circunferências com centro na origem e de raio a e b e mais outras duas curvas. aso em qual o domínio é o resultado da intersecção de duas circunferências com centro na origem e duas rectas que passam pela origem, então o domínio em coordenadas polares, Ω, sera regular nos dois sentidos permitidos e a ordem de integração é aleatória. omo caso particular pode afirmar-sequeaáreadodomíniodeintegração pode ser calculada em termos de coordenadas polares utilizando a seguinte fórmula Área de considerando f(, ). Z β α dθ Z g (θ) g (θ) rdr Z β α g (θ) g (θ) dθ Eemplo. Utilize coordenadas polares para calcular o valor do integral duplo dd onde édefinido por +,, ª. Representação gráfica do domínio de integração em coordenadas rectangulares: álculo do novo domínio de integração Ω e sua representação gráfica: + r cos θ + r sin θ r cos θ +sin θ r de onde <r implica <r ou seja g (θ) e g (θ). (Ou ainda, atendendo um dos eemplos da secção anterior, sabe-se que + tem por equação polar r e o seu interior é dado por <r<).

19 8 ntegrais uplos θ θ π/ Ω r r Figura.: A equação tem a forma polar r cos θ cos θ. A equação tem a forma polar r sin θ sin θ. Aequaçãosin θ θ representa o limite inferior de θ eolimtesuperiordeθ é dado pelo valor π/ visto que cos θ. Tem-se então Ω n(r, θ) :<θ< π e <r< o. O domínio Ω é regular nos dois sentidos (o seu gráfico é um rectângulo), logo são permitidas as duas ordens de integração. A função f (, ) em coordenadas polares vem f (r cos θ, r sin θ) F (r, θ) (r cos θ)(r sin θ) r sin θ cos θ. Então, escolhendo a ordem de integração drdθ, tem-seque Z π/ Z dd r sin θ cos θ r drdθ dθ r sin θ cos θdr Ω Z π/ µ r 4 Z π/ µ sin θ cos 4 θ dθ sin θ cos θ dθ 4 Z π/ µ (sin θ) dθ π/ cos 8 6 θ 8. Eemplo. alcule + p + dd, sendo limitado pelas rectas ± e pelas circunfêrencias ( ) + e ( ) + 4.

20 .. MUANÇA E VARÁVEL: OORENAAS POLARES 9 r Ω 4 r 4 cos θ r cos θ 4 θ - Figura.: O transformado de (veja a sua representação gráfica) em coordenadas polares, o conjunto Ω, é dado pelas relações ( ) + r cosθ e ( ) + 4 r 4cosθ r cos θ r sin θ r cos θ tan θ π 4 θ π 4 ou seja Ω n(r, θ) : π 4 θ π 4, cosθ r 4cosθ o. Nota-se que a ordem de integração permitida é drdθ (o domínio Ω é regular no sentido do eio dos rr) e o integral duplo escreve-se em coordenadas polares como sendo Z + p + dd sin θ π/4 Z 4cosθ cos θ + rdrdθ sin θ dθ π/4 cosθ cos θ + rdr Ω Z π/4 π/4 µ sin θ r cos θ + 4cosθ cosθ Z π/4 dθ 6 π/4 sin θ cos θ + cos θdθ (o valor do itegral é nulo porque a função integranda é impar e os limites de integração simétricos, logo A A A ).

21 ntegrais uplos.4 ntegrais duplos - Eercícios propostos. etermine as epressões gerais das primitivas para as funções: (a) f(, ) +6 5 (b) f(, ) + 4 (c) f(, ) + (d) f(, ) 9 (e) f(, ) + + (f) f(, ) q 4 ( + ) (g) f(, ) + (h) f(, ) (i) f(, ) ln + ³ (j) f(, ) ln + (k) f(, ) (l) f(, ) (m) f(, ) ( + ) 4 6 (n) f(, ) p 4 (o) f(, ) arctan ( + ) (p) f(, ) sin ( + ). Mostre que Z Ã Z! ( +)d d

22 .4. NTEGRAS UPLOS - EXERÍOS PROPOSTOS. alcule o valor do integral duplo ( +)dd sendo a região do plano limitada pelas curvas,, e e para cada uma das possíveis ordens de integração, R R f(, )d d e RR f(, )d d. 4. etermine RR f(, )dd considerando f(, ) e (, ) R : 6, >, + 6 ª Averígue se pode retirar algumas conclusões acerca do valor e sinal do mesmo integral para outros domínios de integração como sejam (, ) R :, >, + 6 ª (, ) R :, + 6 ª (, ) R :,, + 6 ª 5. Mostre que dd sendo o paralelogramo limitado pelas rectas,5, + 4e etermine o valor do integral duplo sendo e dd n(, ) R : o. 7. alcule e nos casos possíveis inverte a ordem de integração para os seguintes integrais duplos (a) Z Z µ + sin dd

23 ntegrais uplos (b) (c) (d) (e) (f) Z + Z + Z Z Ã Z log Z Z Z Z Z dd p 4 +! dd e dd e / dd e 4 dd 8. onsidere o integral duplo Z Z d f(, ) d. Estabeleça a outra ordem de integração e calcule o valor do integral para f(, ). 9. nverta a ordem de integração no seguinte integral duplo Z d. onsidere o integral duplo Z f(, )d + Z Z d Z Z ln d + f(, )d. f(, )d. nverta a ordem de integração e mostre que tem o valor 6 paraocasodef(, ).. etermine o valor do integral duplo Z 4 Z d 4 4 f(, ) d para f(, ) e +.

24 .4. NTEGRAS UPLOS - EXERÍOS PROPOSTOS. Verifique que o valor do integral duplo Z Z d 4 e d.. Mostre, usando cada uma das possíveis ordens de integração, que /5 éovalordo integral duplo dd para (, ) R : ª. 4. onsidere o integral duplo Z Z d + f(, ) d + Z Z d f(, ) d. (a) nverta a ordem de integração. (b) alcule o valor do integral para f(, ). 5. Verifique que + dd 4 para definido pelas condições +,, e. 6. Passar às coordenadas polares (r, θ), no integral duplo RR f (, ) dd e encontrar os limites de integração onde (a) + 4 ª (b) + 9 ª (c) + 4, + 8,, ª (d) + 9 ª 7. Utilizando dois metodos diferentes calcule as áreas dos domínios de integração que se indicam (a) {,,+ }

25 4 ntegrais uplos (b) {, 5, } (c) {,, 4} 8. Passando aos coordenadas polares calcule os seguintes integrais duplos (a) (b) (c) (d) Z Z Z 4 Z Z Z Z Z / p + dd p + dd e + dd + / dd (e) / Z Z p + dd (f) Z Z ( e + ) dd (g) Z 4 Z 4 dd 9. Utilizando as coordenadas polares, calcule os seguintes integrais duplos: (a) RR +4 dd, onde +, + 4, ª (b) RR dd, onde + 5 ª (c) RR dd, onde é a região do plano real limitada por + 9, e.

26 .5. ÁLULO E VOLUMES 5 (d) RR dd, onde éaregiãodoo quadrante do plano real limitada por + 4. e + 5. (e) RR e dd, onde é a região do plano real limitada por p 4 e.. alcule o integral duplo dd ( + + / ) onde é o triangulo de vertices (, ), (, ) e (, ).. alcule o integral duplo p + dd onde é o triangulo de vertices (, ), (, ) e,.. alcule sabendo que o domínio de integração é ln + + p dd + + 4, ª.. alcule RR e. + dd sendo limitado pelas curvas de equação,.5 álculo de Volumes Os integrais duplos podem ser utilizados no cálculo: de áreas, sendo A () dd

27 6 ntegrais uplos de volumes, sendo V (S) (q (, ) p (, )) dd ovolumedosólidos compreendido entre os gráficos das funções q (, ) (limita o sólido superiormente) e p (, ) (limita o sólido inferiormente), no domínio R. z R z q (, ) z p (, ) a b g () h () Eemplo. alcule o volume da região do espaço limitada pelas superfícies z + + b, z, a e a ( <a<b). A superfície z + + b corresponde a um parabolóide que se desenvolve ao longo do z-eio com vértice (,,b ). A condição a caracteriza os planos paralelos ao z-plano de equações a e a. A condição a caracteriza os planos paralelos ao z-plano de equações a e a. A condição z define o -plano. Uma maior secção plana destaregiãodoespaçor é o quadrado no -plano de vértices (a, a), ( a, a), (a, a) e ( a, a), istoé, (, ) R : a a a a ª

28 .5. ÁLULO E VOLUMES 7 R (,, z) R :(, ) z b ª. O volume pedido pode ser calculado por: V b dd Z a µz a a Z a a a b Z a d d b a b a a a d b a a a a a 4b a 8 a4. Eemplo. alcule o volume da região do espaço situada no o pelas superfícies, z + e 4. As superfícies e z + são planos. a a d octante limitado A superfície 4 é um cilindro parabólico que se desenvolve ao longo do z-eio dado que temos a equivalência p 4 4. Uma maior secção plana destaregiãodoespaçor é, no -plano,isto é, temos (, ) R 4 ª R (,, z) R (, ) z + ª. O volume pedido pode ser calculado por: V ( + )dd Z Z Z + 4 d d Z d à Z! 4 ( + ) d d Z d d

29 8 ntegrais uplos Eemplo. alcule o volume da região do espaço limitada pelas superfícies a + b, z + a e z ( <b<a). A superfície a + corresponde a um cilindro elíptico que se desenvolve ao longo b do z-eio. A superfície z + a é um plano paralelo ao -eio. A superfície z é o -plano. Uma maior secção plana destaregiãodoespaçor éaelipseno-plano de equação a + b. Temos ½ ¾ (, ) R a + b R (,, z) R (, ) z a ª. O volume pedido pode ser calculado por: V (a )dd e, aplicando a mudança de variáveis a X b Y a que corresponde o jacobiano (, ) (X, Y ) ab, temos V (a by )ab dxdy. Aplicando coordenadas polares, temos V Z π ab ab µz Z π Z π (a br sin θ) abr dr dθ ab µa b sin θ µ aπ + b b dθ ab aθ + b cos θ θπ θ πa b. a r r br sin θ dθ r Eemplo 4. alcule o volume da região do espaço limitada pelas superfícies z +,,,, e z. A superfície z + corresponde a um parabolóide que se desenvolve ao longo do z-eio de vértice (,, ) com todos os pontos de cota positiva.

30 .5. ÁLULO E VOLUMES 9 A superfície é um cilindro parabólico que se desenvolve ao longo do z-eio. A superfície corresponde a um cilindro hiperbólico que se desenvolve ao longo do z-eio. A superfície é um plano paralelo ao z-plano. As superfícies e z são, respectivamente, o z-plano e o -plano. Uma maior secção plana destaregiãodoespaçor é, no -plano, isto é, temos (, ) R ª ½ (, ) R ¾ R (,, z) R (, ) z + ª. O volume pedido pode ser calculado por: V ( + )dd Z Ã Z! ( + )d d + z. Z Z 5 + µ d + d + Z Z + 6 Z Ã Z! ( + )d d + µ + d Eemplo 5. alcule o volume limitado pelas superfícies + 4, + + z e A superfície + 4corresponde a um cilindro circular que se desenvolve ao longo do z-eio. A superfície + + z é um plano que intersecta os eios coordenados em, e z. A superfície z é o -plano. O volume pedido pode ser calculado por V ( )dd. d

31 ntegrais uplos Pode aplicar-se coordenadas polares a uma parte do domínio : Z π µz Z V ( r cos θ r sin θ)r dr dθ + π Z π π Z π π Z π π r r r r cos θ sin θ dθ + r Z µz (4 8 cos θ 8 Z sin θ)dθ + (4 + (4 8 cos θ 8 Z sin θ)dθ + (4 6 + )d 8 8 4θ sin θ + cos θ θπ π + 8 π + 8 θ π π + 6. ( )d d d )d.6 álculo de volumes - Eercícios Propostos. alcule o volume limitado pelas superfícies + + z 8e + z.. alcule o volume limitado pelas superfícies + 4, +, z e z.. alcule o volume limitado pelas superfícies +, e +z. 4. alcule o volume da região do espaço definida pelas condições + + z 4 e z p Utilizando os integrais duplos calcule os volumes dos sólidos limitados pelas seguintes superfícies (a) (b) ½ z + z

32 .6. ÁLULO E VOLUMES - EXERÍOS PROPOSTOS (c) (f) z + + z + + z ½ z 4 (d) z + ½ z (e) z + (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) 4 4 z + + ½ + z + 4 z + z 6 z z 4 z z z z z z + z z z 4 z + 6. Encontra o volume do sólido limitado superiormente pela superfície de equação z + e limitado inferiormente do triângulo de vertices (,, ), (,, ), (,, ).

33 ntegrais uplos 7. alcule o volume do sólido limitado superiormente pelo plano z +b, inferiormente pelo plano e lateral pelo cilindro circular + b, sendo b um número real. 8. Encontra o volume do elipsóido de equação z. 9. Encontra o volume do sólido limitado superiormente pelo plano z e limitado inferiormente pelo círculo ( ) +.. Encontra o volume do sólido limitado superiormente pelo parabolóide z + e limitado inferiormente pela região queestádentrodacurva + a.. Encontra o volume do sólido situado dentro da esfera + + z 6eforado cilindro alcule o volume do sólido limitado pelo parabolóido z epeloplano z 4.. alcule o volume do sólido limitado pelos parabolóidos z + e z alcule o volume do sólido situado no interior do cilindro + 4e do elipsóido z 64.

34 apítulo ntegrais de Linha. Eercícios propostos. alcule o valor do integral de linha Z + d + + d ao longo da curva plana definida pela equação + a e percorrida no sentido positivo.. Verifique que é igual a zero o valor do integral curvilíneo do campo de vectores F (, ) e + e ao longo de qualquer circunferência de centro (, ), masque F não é um campo gradiente ou conservativo (ou com potencial).. alcule o valor do integral de linha Z zd + d zdz sendo a curva no espaço constituída pela porção de circunferência de centro O (,, ) que une o ponto A (,, ) ao ponto B (,, ) seguidodeumsegmentode recta que une B (,, ) ao ponto (,, ) e de outro segmento de recta que une (,, ) ao ponto E (,, ).

35 4 APÍTULO. NTEGRAS E LNHA 4. ada a curva no espaço definida parametricamente por r z compreendida entre os pontos A (,, ) e B (, 4, ), e sendo f(,, z) z +, mostre que Z f(,, z)d Sendo o arco de circunferência + compreendido entre A (,, ) e B(,, ), verifique a igualdade Z d Mostre que 4ab / éovalordointegraldelinha Z d + d sendo aporçãodaelipseentreosvértices(a, ) e ( a, ) passando pelo vértice (,b), com orientação positiva (a, b > ). 7. Mostre que πa 4 / é o valor do trabalho do campo de vectores F (, ), ao longo da circunferência + a, percorrida no sentido positivo. 8. Utilize os processos indicados em cada uma das alíneas para calcular o trabalho de campo de vectores F (, ) ³ +, ( + ) ao longo da curva plana sendoestaocontornodotriângulodevérticesa(, ), B(, ) e (, ) percorrido no sentido positivo. (a) directamente pelas parametrizações; (b) usando o teorema de Green.

36 .. EXERÍOS PROPOSTOS 5 9. etermine, usando integrais de linha, a área do círculo.. Prove, utilizando integrais de linha, que πab é a área delimitada pela elipse de equação a + b.. Utilize o teorema de Green para mostrar que o trabalho realizado pelo campo de vectores F (, ) ( +) e +( ) e, quando o ponto de aplicação da força dá uma volta no sentido positivo em torno da elipse de equação 4 + 4,éde 4π.. alcule o valor do integral de linha ( +4)d +(5 + 6) d sendo cada uma das seguintes curvas planas: (a) o contorno do triângulo de vértices O(, ), A(, ) e B(, ); (b) a circunferência de centro (, ) eraio4.. Mostre que é πa /8 o valor da área da hipocicloide de equação + a cuja parametrização é r a cos θ a sin θ, para θ<π. 4. Verifique que o campo de vectores F (, ) ( + ep ) e + + ep e é conservativo ou gradiente (ou com potencial) e determine a respectiva função potencial associada. alcule ainda o valor do trabalho do campo de vectores F no deslocamento de uma partícula entre os pontos (, ) e (, 4) da parábola de equação.

37 6 APÍTULO. NTEGRAS E LNHA 5. onsidere o integral de linha Z d + d. (a) alcule o valor do integral de linha sendo a curva plana definida por com ; (b) Provequeeisteumafunçãof(, ) tal que (c) etermine a função f tal que df d + d; gradf µ, ; (d) alcule o valor do integral de linha anterior usando a alínea b. 6. alcule o valor do integral de linha Z 4 + d + 4 d ao longo da curva plana definida parametricamente por r (θ) (sinθ, arcsin θ) entre A(, ) e B(, ). 7. alcule o comprimento da curva plana definida por + a. 8. Mostre que πa (b + a) éovalordointegraldelinha Z zd + d + dz ao longo da espira de hélice de equações paramétricas (t) a cos t, (t) a sin t, z(t) bt, parat [, π]. 9. Mostre que Z (P ) (P ) (z + ) d +( + z) d +( + ) dz 8 aolongodacurva no espaço parametrizada por r (t) t,t,t sabendo que P (,, ) e P (9, 7, ).

38 .. NTEGRAS E LNHA - PROPOSTAS E RESOLUÇÃO 7. Mostre a igualdade ABA sendo A (,, ),B(,, ) e (,, ).. Use a fórmula para provar que d + zd + dz R (P ) (P ) f(,, z)d r R t t f ((t),(t),z(t)) k( (t), (t),z (t))k dt (a) com r (t) t, t,t,p (,, ), P (, 4, 8), ef(,, z) z se tem Z (P ) (P ) f(,, z)d r Z t 9p +4t +9t 4 dt; (b) com r (θ) (4 cos θ, 4sinθ, θ),p (4,, ), P (4,, 4π), ef(,, z) z se tem Z (P ) (P ). alcule o trabalho do campo de vectores f(,, z)d r 64 5 π. F (,, z) (,,z) ao longo da curva no espaço definida por (a) z t +5entre os pontos (,, ) e (,, ); (b) 6 + z. 9. ntegrais de linha - Propostas de resolução Eercise Mostre que πa 4 / éovalordotrabalhodocampodevectores F (, ), ao longo da circunferência + a, percorrida no sentido positivo.