AJUSTE DE FUNÇÕES NÃO LINEARES DE CRESCIMENTO 1

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1 9 Rev. Bras. Fisiol. Vegetal, 1(1):9-18, 1989 AJUSTE DE FUNÇÕES NÃO LINEARES DE CRESCIMENTO 1 ADONAI G. CALBO 2, WASHINGTON L.C. SILVA 2 e ANTONIO C. TORRES 2 RESUMO - Atualmente existem diversas equações que são utilizadas no ajuste de curvas de crescimento. Estas equações podem ser, basicamente, agrupadas em três categorias: lineares, intrinsecamente lineares e in trinsecamente não lineares. As equações lineares são normalmente ajustadas por regressão linear simples ou múltipla. Equações intrinsecamente lineares podem ser linearizadas com o uso de transformações a- propriadas. As equações intrinsecamente não lineares são aquelas que normalmente não podem ou não de vem ser linearizadas para ajuste. No estudo quantitativo do crescimento é comum a aplicação de funções como: complementar, Gompertz, logística, Richards a outras funções intrinsecamente não lineares. Para es tas funções as formas de linearização logarítmicas causam, eventualmente, estimativas absurdas dos parâmetros. Nas funções mencionadas, as formas linearizadas geram obrigatoriamente uma estimativa de as sintota superior à de qualquer um dos dados coletados, mesmo que hajam erros de amostragem. Discutese, neste trabalho, a aplicação de métodos numéricos para a solução de diversas equações não lineares. Um método simplex é descrito para o ajuste das equações com até quatro parâmetros. O algoritmo implementado na linguagem BASIC pode ser modificado para casos que envolvem maior número de parâmetros, permite mudanças no critério de ajustes, adição de con dições no ajuste, ou mesmo o ajuste de parâmetros desconhecidos em equações diferenciais. Termos para Indexação: análise de crescimento. FITTING NON-LINEAR GROWTH FUNCTIONS ABSTRACT - Several equations can be used for quantitative study of plant or animal growth. These functions can be classified into three categories: linear, in trinsically linear and intrinsically non-linear. The linear equations are usually adjusted through simple or multiple linear regression techniques. The intrinsically linear ones can be linearized by using appropriated transformations. Intrinsically nonlinear equations, on the other hand, cannot be linear ized by any transformation. For plant growth analysis the use of non-linear functions such as complementar, Gompertz, logistic, Richards is common. For these functions there are no logarithmic forms for linear ization. However, they are not meant to stabilize variance. In addition, those linearization techniques usually yiels poor estimates of the parameters, and always force the asymptotic maximum to be larger than any of the collected data. The use of numerical methods for adjusting non-linear equations is discussed. A simplex method for adjusting non-linear equations with up four parameters is also presented. The algorithm, implemented in BASIC, can be extended to more than four parameters, allows changes in the adjustment criteria, addition of conditions and can be used to adjust unknown parameters of differential equations. Index Terms: growth analysis. 1 Aceito para publicação em 04/05/88. 2 Eng. Agr., Ph.D., EMBRAPA/Centro Nacional de Pesquisa de Hortaliças. C. P , CEP , Brasília, Df. INTRODUÇÃO Usualmente, dados experimentais são obtidos de forma descontínua e apresentam er ros. Assim, o ajuste de funções contínuas no domínio real, muitas vezes, tem interesse no estudo da dinâmica do crescimento de plantas e animais. Um série de modelos matemáticos apresentados na literatura (Tabela 1) têm sido de grande utilidade na interpretação de dados de crescimento. O critério mais popular de ajuste das funções matemáticas é a estimativa dos parâmetros através da técnica de minimiza ção da soma dos quadrados dos desvio. Con tudo, pode-se mencionar outros critérios, como a minimização da soma dos módulos dos desvios (Draper & Smith, 1981) e a maximização da probabilidade dos parâmetros (Draper & Smith 1981; Causton & Venus 1984); Hoffmann & Vieira 1983). Funções lineares simples, múltiplas e po linomiais, são as mais conhecidas. Entretando, a maioria dos fenômenos reais, sejam eles físicos, químicos ou biológicos, é melhor representada por outras expressões. Estas, por sua vez, podem ser separadas em dois grupos: funções intrinsecamente lineares (Eq. 1), que podem ser linearizadas por transformação, e intrinsecamente não lineares (Eq. 2), as quais não são linearizávies por transformação (Draper & Smith 1981; Hoffmann & Vieira 1983). w = bexp (kt+e) (Eq. 1) w = bexp (kt) + E (Eq. 2) Observa-se que as Eqs. 1 e 2 são dois tratamentos estatísticos distintos para u ma função exponencial. Na Eq. 1 assume-se que o erro experimental ou desvio (E), é multiplicativo. Assim, a linearização po de ser feita pela aplicação de logarítmo, reduzindo o problema a um simples caso de

2 Rev. Bras. Fisiol. Vegetal, Vol. 1, CALBO et al. regressão linear (Ln w =Ln b + kt + E). Na Eq. 2, entretanto, o erro é aditivo e, consequentemente, logarítmo ou qualquer outra transformação não podem ser aplicados para linearizar a função. Na prática, a escolha de um desses tratamentos requer experiência preliminar ou um estudo da distribuição dos desvios. O melhor tratamento estatístico será aquele que produzir desvios de w distribuídos normalmente em função de t (Draper & Smith 1981). O objetivo principal deste trabalho é a aplicação de métodos numéricos para o ajus te de algumas funções não lineares de cres cimento. As limitações de algumas formas tradicionais de linearização e de ajustes por critérios arbitrários são discutidas. TEORIA 1. Desenvolvimento matemático Assumindo-se que o ajuste não linear da Eq. 2 seja o mais apropriado, o critério TABELA 1. Algumas funções para ajuste de curvas de crescimento (w) no tempo (t). Nome Equação Linearização Referências Exponencial w=be kt Ln w =Ln b +kt 3,6,18 Gompertz w=aexp(-bexp-kt) LnLn(a/w)=Ln b -kt 2,6,12 Complementar LnLn(1/(1-w/A))=Ln b -kt a Gompertz w=a(1-exp(-bexp-kt)) 12 Logística w=a/(1+bexp-kt) Ln((a-w)/w)-Ln b -kt 2,6,12 Hipérbole retangular w=at/(k+t) l/w=k/at+1/a 11 Hoerl w=at b e kt Ln w =Ln a +blnt+kt 10 Hoerl modificada * w=a(t+c) b e kt Ln w =Ln a +bln(t+c)+kt - Jens w=a+bt+exp(k+k 1 t) 4 Monomolecular w=a(1-bexp-kt) Ln((a-w)-Ln b -kt 6,17,27 Parábola modificada w=a 0 +a 1 t n +a 2 t 2n m 1 Polinômio w=at+bt 2 +ct 3...+k w=at 1 +bt 2 +ct c...+ k - Polinômio exponencial w=e(at+bt 2 +ct 3...+k) Ln w =at 1 +bt 2 +ct 3...+k 6 Potência de tempo w=bt k Ln w =Ln b +kln t 17 Potência de tempo modificada w=b(t+c) k Ln w =Ln b +kln(t+c) - Richards w=a 1-m -Be -kt 1/(1-m) Ln 1-(w/a) 1-m =Ln(aB)-kt 5,17 * A introdução do parâmetro c na Eq. de Hoerl modificada, aqui sugerida com base em Richards (169), visa não somente a obtenção de melhor ajuste mas, principalmente me lhorar a forma de sua derivada em relação ao tempo para uso nas estimativas de taxa de crescimento relativo e taxa assimilatória líquida. ** Referências: 1. Adams & Hill (1983); 2. Berger (1981); 3. Blackman (1919); 4. Catherine (1982); 5. Causton (1969); 6. Causton & Venus (1981); 10. Draper & Smith (1981); 11. Fisher (1921); 12. Freitas et al. (1984); 17. Richerds (1959); 18. Richards (1979).

3 Rev. Bras. Fisiol. Vegetal, Vol. 1, AJUSTE DE FUNÇÕES NÃO LINEARES 11 (1969) O ajuste não linear de funções submetidas a transformações para estabilizar a va riância segue procedimento semelhante ao ajuste não linear com erro aditivo. Entre tanto, um incoveniente do uso de transformações é que as estatísticas obtidas (por exemplo: intervalos de confiança da função ou dos parâmetros), só se aplicam às funções transformadas. Uma outra forma de tratar dados com variância instável (he terocedastícia) envolve uso de quadrados mínimos com ponderação (Causton & Venus 1983; Draper & Smith 1981; Hoffmann & Viei ra 1983). Neste caso, o inverso da variân cia dos dados individuais ou de grupos de dados é utilizado como fator de ponderação (Pi). Q = n Pi (w i - f(t i )) 2 (Eq. 7) 1=1 O critério dos quadrados mínimos com pon deração é útil quando os pontos têm repetição ou permitem agrupamentos para estimativa da variância. Outra aplicação de im portância biológica deste critério ocorre nos casos em que a variância é proporcional ao tempo ou ao quadrado do tempo, pois neste casos o inverso do tempo ou do tem po ao quadrado é utilizado como fator de ponderação (Hoffmann & Vieira 1983). A es timativa dos parâmetros é feita de maneira similar à aplicação de quadrados mínimos sem ponderação. te é particularmente interessante, pois é um desenvolvimento do método de Newton, com a vantagem de não exigir derivações das funções (Hornbeck 1975; Stark 1979). Isto permite também o desenvolvimento de um algorítmo, em que uma mesma sub-rotina pode ser utilizada para ajustar parâmetros de diferentes equações. Para funções cujos sistema de equações normais não permitem a substituição em um único parâmetro, pode-se utilizar a técni ca dos reticulados decrescentes, que é uma modificação do método simplex mencionado por Chambers (1973). A Fig. 1 mostra u ma busca típica de parâmetros, ajustados a partir de estimativas preliminares, com o uso da técnica dos reticulados decrescentes. Os valores das estimativas preliminares dos parâmetros estão anotados nos respectivos eixos coordenados. As formas de linearização apresentadas na Tabela 1. podem ser utilizadas para a obtenção destas estimativas preliminares. APLICAÇÕES No sentido de colocar em prática as considerações teóricas expostas, discute-se. nesta seção, aplicações de métodos numéricos para ajustes de algumas funções conti das na Tabela 1. O uso do critério dos quadrados mínimos para as funções exponencial, Jens, Michaelis-Menten, monomolecular e potência do tempo com erro aditivo, gera funções complicadas de um só parâmetro. Para a solução de tais problemas, Chambers (1973) su gere a utilização de métodos quasi-newtonianos. Neste sentido, a técnica da semen FIG. 1. Gráficos típicos obtidos com a técnica dos reticulados decrescentes. Os va lores nos eixos coordenados correspondem a estimativas preliminares dos parâmetros. Na linha inferior estão as derivadas parciais do critério de convergência Q em re lação aos parâmetros A,B,C. Quando todas as derivadas são menores que 0,005, o grá fico desaparece e surgem os valores dos pa râmetros ajustados.

4 12 CALBO et al. dos quadrados mínimos (Q) pode ser aplica do, fazendo-se: Q = E 2 = n [w i - bexp(kt i )] 2 (Eq. 3) i=1 Na Eq. 3, w i e t i são dados experimentais, enquanto que b e k são os parâmetros que se deseja estimar. O índice i in dica o modo discreto em que os dados expe rimentais são normalmente obtidos. Aplicando-se a teoria dos máximos e mínimos, deriva-se a Eq. 3 em relação a b(eq. 4) e em relação a k (Eq. 5). As derivadas parciais da soma dos quadrados dos desvios, igualadas a zero, são denominadas equações normais. 0 = n exp(kt i )(w i - bexp(kt i )) (Eq. 4) i=1 0 = n t i exp(kt i )(w i - bexp(kt i )) (Eq. 5) i-1 Substituindo b de Eq. 4 em Eq. 5 0 = n t i w i exp(kt i ) - [> n (w i exp(kt i )/ i=1 i=1 > n exp(kt i )]> n t i exp(2kt i ) (Eq. 6) i=1 i=1 A Eq. 6 pode ser resolvida utilizandose métodos numéricos tais como método de Newton, bissecção, secante, etc. (Causton & Venus 1984; Hornbeck 1975; Stark 1978). O valor obtido para k é então substituído na Eq. 4 ou na Eq. 5, para a obtenção de b. Similarmente, as funções dos tipos: po tência do tempo, Michaelis-Menten, Jens e monomolecular (Mitcherlitch), da Tabela 1, com termo de erro aditivo, podem ser ajus tadas usando também a técnica de substitu ição de variáveis no sistema de equações normais. As funções logística, Gompertz, complementar, potência do tempo modificada, Hoerl e Richards (Tabela 1) também tratadas com erro aditivo, são mais complexas, visto que não permitem facilmente a utilização da técnica de substituição dos parâmetros. Para estas ou outras funções não lineares o Apêndice A apresenta um programa de com putador escrito na linguagem BASIC que per mite o ajuste de qualquer função não linear com até quatro parâmetros, bastando para isto definir no início do programa a função que se deseja ajustar. O algorítmo pode ser generalizado para um número maior de parâmetros, caso seja necessário; por isso não são aqui discutidas funções não lineares com mais de quatro parâmetros. 2. Considerações estatísticas Fisher (1921) utilizou-se da linearização do logarítmo para ajustar a curva exponencial a dados de crescimento, assumin do erro do tipo multiplicativo (Eq. 1). Es ta transformação é conveniente para a estabilização da variância de distribuições nas quais o erro é proporcional à média (Draper & Smith 1981). Estes mesmos autores apresentam ainda uma fórmula geral pa ra definir o tipo de transformação quando se conhece, ou quando se achou, empiricamente, que a função representativa da dis tribuição dos erros segue qualquer função particular. Contudo, indicam que este pro cedimento, usualmente, não é necessário e nem sempre possível. Em plantas e órgãos em crescimento, a va riância comumente é proporcional à média (Causton & Venus 1981), fazendo com que, nesses casos, o uso de logarítmo seja uma transformação eficiente. Causton & Venus (1981), inclusive, sugerem que dados de análise de crescimento devam ser sempre transformados por aplicação de logarítmo, antes de serem analisados. Convém também salientar que as formas de linearização pa ra as funções de Gompertz, complementar, logística e Richards, apresentadas na Tabela 1, envolvem algumas operações algé bricas antes da aplicação de logarítmo. Es tas formas de linearização comumente cita das (Causton & Venus 1981; Curi et al. 1985; Richards 1969) têm limitações. Primeiro, estas equações linearizadas não são definidas quando qualquer dado experimental possui valor superior à assintota a. Segundo, aquelas linearizações não são trans formações que objetivam estabilizar a variância. No Apêndice B são apresentadas conformações gráficas típicas de algumas funções de crescimento. Aspectos relativos às propriedades matemáticas destas di ferentes funções podem ser obtidos nos tra balhos de Causton & Venus (1981) e Richards Rev. Bras. Fisiol. Vegetal, Vol. 1, 1989.

5 AJUSTE DE FUNÇÕES NÃO LINEARES 13 Os reticulados (Fig. 1) são construídos adicionando-se os incrementos ADA(L), ADB (J), ADC(M) e ADD(S) às estimativas atuais dos parâmetros AOT, BOT, COT, DOT, li nhas 980 a Numa interação após avaliação de Q em todas as nove intercepções do reticulado de 3 x 3, o ponto de menor Q é selecionado (linhas 1110 a 1250), bem co mo os incrementos dos parâmetros que gera ram esta estimativa melhorada. Antes da construção de um novo reticulado, de posse da direção ótima na última interação, testa-se primeiro se a adição dos últimos incrementos escolhidos às estimativas atu alizadas dos parâmetros reduz Q. Em caso positivo, os parâmetros são novamente atu alizados (linhas 1270 e 1300). Caso a adi ção dos acréscimos da interação anterior não reduza Q, a segunda opção é adicionar apenas os incrementos relativos em duas di reções particulares de cada vez (linhas 1310 a 1360). Obtendo-se sucesso, os parâ metros são novamente atualizados. Se a ten tativa anterior não foi bem sucedida, adi cionam-se os incrementos escolhidos de ca da parâmetro particular (linhas ) à sua última estimativa; se assim a adição gerar um menor valor numérico de Q, os parâmetros são novamente atualizados. No caso oposto contrói-se um novo reticulado um pouco menor (FA=0,92) ao redor da última estimativa dos parâmetros. Esse processo é repetido até que as derivadas parciais em relação a cada um dos parâmetros sejam numericamente desprezíveis. Utilizou-se das derivadas parciais numéricas de Q como critério de convergên cia. Esta escolha garante a generalidade do algorítmo para uso com diferentes funções. Assumiu-se convergência quando a de rivada parcial em relação a cada parâmetro foi menor que 0,005 (DE1, DE2, DE3 e DE4, nas linhas 1390, 1410, 1430 e 1450). O usuário pode mudar este limite de convergência caso considere necessário. Para aumentar a probabilidade de conver gência, as estimativas iniciais dos parâmetros A2, B2, C2, D2, utilizadas para de terminar a magnitude dos incrementos, são atualizadas três vezes por uma média ponderada entre o módulo da estimativa inici al e o módulo do parâmetro atualizado (li nhas 1810 e 1830). Além disso, toda vez que a adição de in crementos a direções particulares reduz Q, a atenuação deste parâmetro (IA, IB, IC e ID) é multiplicada por 1,075 (linhas 1370 a 1470), o que aumenta o comprimento do re ticulado nesta direção. Outro artifício u tilizado para melhorar a convergência é a mudança cíclica no formato dos reticulados, induzida pela rotação dos valores nu méricos contidos em U, U1, U2 e U3 (linhas ). A técnica dos reticulados decrescentes, apesar de convergir lentamente, é simples, pode ser generalizada para um número maior de dimensões e convergiu em todas as funções testadas. O ajuste de qualquer função não linear, com até quatro parâmetros, pode ser feito definindo-se a função desejada na linha 40 utilizando-se a notação X para a variável dependente e A, B, C e D como denominações válidas dos parâmetros. A formulação apresentada é geral e aplica-se em diferentes áreas de estudo. Durante o uso des ta técnica pode-se imaginar que a cada in teração constrói-se, ao redor da última es timativa melhorada dos parâmetros, um poliedro, num hiperespaço de quatro dimensões, contendo um ponto próximo ao centro. O fator de atenuação ou relaxamento ( Patankar 1981) dos incrementos dados aos pa râmetros que têm grande influência na soma dos quadrados dos desvios, pode ser al terado, variando-se os valores de IA, IB, IC e ID de 1 para outro valor desejado, na linha 900. Para algumas funções poder-seia usar atenuações diferentes para cada um dos parâmetros. Note-se que mesmo sem uti lizar atenuações diferenciadas, conseguiu se convergência em todas as funções testa das até o momento. O critério da soma dos quadrados mínimos para o ajuste, está definido na linha Pode-se, também, utilizar outros cri térios de ajuste, como aqueles previamen- Rev. Bras. Fisiol. Vegetal, Vol. 1, 1989.

6 Rev. Bras. Fisiol. Vegetal, Vol. 1, CALBO et al. te discutidos, introduzindo-se as modificações necessárias naquela linha. Adicionalmente pode-se fazer ajustes especiais, adicionando-se condições específicas na sub-rotina que aplica o critério de ajuste. Como exemplo, considere o ajuste da fun ção. FNL(X) = A/(X - B) + C*(X-D) Esta função possui quatro parâmetros, A, B, C e D, onde - A/(X - B) é o componente os mótico do potencial da água e C *(X-D) é o turgor ou pressão de parede. Se num tecido parenquimatoso com células de paredes finas, a pressão de parede não assume valo res negativos, pode-se satisfazer esta con dição fazendo C = 0 sempre que o teor rela tivo de água, X, for menor do que D. A sub rotina de critério de ajuste poderia ser ligeiramente modificada conforme é mostra do a seguir: 1490 SUM1= 0: FOR I=1 TO N: CVELHO=C IF X( I) <D THEN C= Z(I)=FNL(X(I)) : SUM1=SUM1+ (Y(I) = Z(I)) C=CVELHO:NEXT I:C=CVELHO:RETURN Note-se que CVELHO é uma variável para armazenar C, sempre que êle não for 0, por definição. Como exemplos adicionais de uso de condições durante o ajuste, pode-se mencionar que as temperaturas nas quais ocorrem mudanças de estado nas membranas ou alterações na estrutura quaternária de enzimas, em plantas sensíveis ao esfriamento, podem ser determinadas utilizando-se da e- quação de Arrhenius e um tratamento envol vendo condições que também podem ser defi nidas na sub-rotina de critério de ajuste. A técnica dos reticulados decrescentes, pode ser empregada não só para o ajuste de funções matemáticas, mas também como ferramenta auxiliar no uso de equações diferenciais com parâmetros de magnitude desconhecida. Neste caso a solução das equações diferenciais é feita numa sub-rotina que utiliza técnicas especializadas, como Crank-Nickolson (Patankar 1981 ). Os dados obtidos na simulação são então comparados com os dados experimentais, por um critério de ajuste como a minimização da soma dos quadrados dos desvios. Neste caso, a sub-rotina de critério de ajuste pode ser modificada como segue: 1490 SUM1 = 0:FOR I=1 TO N 1495 GOSUB XXXX: OBTENÇÃO DOS VALORES SI- MULADOS [Z(I)] PARA CADA X (I) SUM1 = SUM1 + (Y(I) - Z(I) ^ NEXT I : RETURN O algorítmo descrito converge lentamente e pode gastar cerca de um minuto para funções de dois parâmetros e até mais de uma hora em funções de quatro parâmetros, num IBM PC ou similar de 4.7Mhz. sem pro cessador numérico. Sugere-se por isso que o programa (RD4D.BAS) seja compilado, sem pre que uma nova função ou modificação se ja introduzida. Reduz-se, assim, o tempo de convergência em cerca de 10 vezes; caso disponha de processador numérico, a ve locidade aumenta mais ainda. Cópias deste algorítmo podem ser obtidas através do pri meiro autor, mediante a remessa de um dis quete de 5 1/4 polegadas, de dupla face e dupla densidade, juntamente com as despesas de remessa pelo correio. REFERÊNCIAS ADAMS, C.J. & HILLS, F.F. A power parabola for an asymetrical response. Agron. J., 69:124-5, BERGER, R.D. Comparison of the Gompertz and logist ic equations to describe plant diseases. Phytopathology, 71(7):716-19, BLACKMAN, G.E. The compound interest law and plant growth. Ann. Bot., 33:353-60, CATHERINA, S.B. Bayesian approach for a nonlinear growth model. Biometrics, 38:953-61, CAUSTON, D.R. A computer program for fitting the Richards function. Biometrics, 25:401-08, CAUSTON, D.R. & VENUS, J.C. The biometry of plant growth. London, Edward Arnold, 1981, 307p. CHAMBERS, J.M. Fitting nonlinear models: numerical techniques. Biometrica, 60(1):2-13, CURI, P.R.; NUNES, J.R.V. & CURI, M.A. Modelos matemáticos para estimar o peso de coelhos. Pesq. Agropec. Bras., 20(7):853-63, DANIEL, C. & GORMAN, J. W. Fitting equations to data computer analysis of multifactor data. New York, John Wiley, 1980, 458p. DRAPER, N. & SMITH, H. Applied regression analysis. Jonh Wilwy, NewYork, p. FISHER, R. Some remarks on the methods formulated in a recent article on the quantitative analysis of plant growth. Ann. Appl. Biol., 7:367-72, 1921.

7 Rev. Bras. Fisiol. Vegetal, Vol. 1, AJUSTE DE FUNÇÕES NÃO LINEARES 15 APÊNDICE A. Programa para ajuste de funções não lineares com até quatro parâmetros. 10 DEFINA A FUNÇÃO QUE QUISER COM ATÉ 4 PARÂMETROS NA LINHA 30. A, B, E e D 20 SÃO OS NOMES VÁLIDOS PARA OS PARÂMETROS. D SÓ É UTILIZADO EM FUNÇÕES DE 25 4 PARÂMETROS, C PODE SER UTILIZADO EM FUNÇÕES DE 3 e 4 PARÂMETROS. 30 DEF FNL (X)=A*(1-EXP(B*EXP(-C*X))) 40 CLS:PRINT:PRINT:PRINT 50 INPUT NÚMERO DE PARÂMETROS DA FUNÇÃO QUE VOCÊ DEFINIU NA LINHA 30 ; PAR 60 DIM X(100), Y(100)), TRY(3,3,3,3):AA = 0: N=0: COR =0: P = 0: U = 1: U1.5: U2 = 1: U3 =1,5 70 DIM ADB(3), ADA(3), ADC(3), ADD(3):CLS 80 ====>> INTRODUÇÃO DOS DADOS 90 PRINT PARA DIGITAR DADOS PRESSIONE return. CASO QUEIRA UTILIZAR ARQUIVO 100 INPUT CONTENDO COLUNAS DE DADOS SEPARADAS POR VÍRGULA ENTRE n ; B$ 110 INPUT NOME DO ARQUIVO = > ;A$ 120 ====>> LEITURA/DE/ARQUIVOS 130 INPUT ENTRE NÚMERO DE COLUNAS DO ARQUIVO => ;NC 140 IF B$= n, OR B$= N THEN 150 ELSE INPUT NÚMERO DA COLUNA COM OS DADOS DE X = > ;C1 160 INPUT NÚMERO DA COLUNA COM OS DADOS DE Y = > ;C2 170 IF C1>C2 THEN MARCA = 1:SWAP C1,C2 180 OPEN i, 1,A$:J = WHILE NOT EOF(1):FOR I=1 TO C1-1:INPUT 1,QQ:NEXT I:INPUT 1, Y(j) 200 FOR I=C1+1 TO C2-1:INPUT 1, QQ:NEXT I:INPUT 1,X(j) 210 FOR I=C2+1 TO NC:INPUT 1, QQ:NEXT I:J=J + 1:WEND 220 IF MARCA = 1 THEN MARCA = 0 ELSE FOR I = 1 TO J-1:SWAP Y(I), X(I):NEXT I 230 PRINT Y, X :FOR I=1 TO J-1:PRINT Y(I), X(I):NEXT I 240 N = J-1:INPUT ENTRE return PARA PROSEGUIR ; TECLA$:GOTO ====>> INTRODUÇÃO DE DADOS EM ARQUIVO 260 PRINT: PRINT TOME NOTA DO QUE SIGNIFICAM OS DADOS COLOCADOS EM CADA COLUNA 270 PRINT PARA USO POSTERIOR, VOCÊ VAI PRECISAR INDICAR OS NÚMEROS DAS 280 PRINT COLUNAS NAS QUAIS SE ENCONTRAM OS DADOS NO ARQUIVO CRIADO. :PRINT 290 PRINT DIGITE APENAS FIM COM LETRA MAIÚSCULA PARA TERMINAR A INTRODUÇÃO 300 PRINT DE DADOS NO ARQUIVO. :PRINT 310 OPEN O, 1, A$ 320 LINE INPUT => ;LINHA$: LOOP DE LEITURA 330 WHILE MID$(LINHA$,1,1)= :LINHA$ = MID$(LINHAS,2):WEND 340 IF LEFT$ (LINHA$,3)= FIM THEN IF LINHA$<> THEN PRINT ERRO. Linha em branco??? : PRINT :GOTO WHILE RIGHT$(LINHA$,1)= :LINHA$=LEFT$(LINHA$,LEN(LINHA$)-1):WEND 380 N = 0: CONTAR O NUMERO DE DADOS DIGITADOS 390 I = INSTR(LINHA$, ) 400 WHILE I >0:N=N+1:I=I WHILE MID$(LINHA$,I,1)= :I=I+1:WEND 420 I = INSTR(I, LINHA$, ):WEND 430 N=N+1: NÚMERO DE DADOS DIGITADOS 440 IF NC=N THEN PRINT ERRO. Número de dados diferente de ;NC:PRINT:GOTO N=1: VERIFICAR SE TODOS OS DADOS SÃO NÚMEROS 470 WHILE N(=LEN(LINHA$) 480 X$=MID$(LINHA$,N,1) 490 IF X$<> THEN PONTO =0: IF NOT BRANCO THEN LINHA$=LEFT$(LINHA$,N-1)+MID$(LINHA$,N+1):GOTO BRANCO=-1:GOTO BRANCO = IF X$<>. THEN PONTO = GOTO IF INSTR( ,X$)>0 THEN PRINT ERRO. Caracter estranho na linha. :PRINT:GOTO N=N WEND 610 GRAVAÇÃO DOS DADOS 620 FOR I=1 TO NC-1:N=INSTR(LINHA$, ) 630 MID$(LINHA$,N,1)=, :NEXT I 640 PRINT 1, LINHA$:GOTO CLOSE:GOTO CLS:PRINT TÉCNICA DOS RETICULADOS DE COMPRIMENTO DECRESCENTES. 670 INPUT ENTRE ESTIMATIVA PRELIMINAR DE A:,AOT:AO=AOT*2 680 IF A0=0 THEN A0=1:P=P INPUT ENTRE ESTIMATIVA PRELIMINAR DE B:, BOT:BO=BOT*2 700 IF B0=0 THEN B0=1:P=P INPUT ENTRE ESTIMATIVA PRELIMINAR DE C:,COT:CO=COT*2 720 IF C0=0 THEN C0=1:P=P INPUT ENTRE ESTIMATIVA PRELIMINAR DE D:,DOT:D0=DOT*2 740 IF D0=0 THEN D0=1:P=P A2=AOT:B2=BOT:C2=COT:D2=DOT:IA=1:IB=1:IC=1:ID=1 760 DESENHO DOS EIXOS CORRESPONDENTES AOS PARÂMETROS 770 KEY OFF:CLS:SCREEN LINE(65,2)-320,2):LINE(65,2)-(65,150):LINE(65,150)-(320,150) 790 LINE(320,2)-320,150) 800 LINE(380,2)-(635,2):LINE(380,2):LINE(380,150)-(635,150) 810 LINE(635,2)-(635,150) 820 LINE(379,90,8)-(382,90,8):LINE(64,90,8)-(67,90,8) 830 IF AOT<>0 THEN LOCATE 1,4:PRINT Estimativa de A :LOCATE 12,2:PRINT AOT 840 IF COT<>0 THEN LOCATE 1,43:PRINT Estimativa de C :LOCATE 12,43:PRINT COT 850 LINE(482,152)-(482,148):LINE(167,152)-(167,148) 860 IF BOT<>0 THEN LOCATE 22,16:PRINT Estimativa de B :LOCATE 21,20:PRINT BOT 870 IF DOT<>0 THEN LOCATE 22,57:PRINT Estimativa de D : LOCATE 21,60:PRINT DOT 880 APLICAÇÕES SUCESSIVAS DE RETICULADOS E ACRÉSCIMOS DECRESCENTES 890 IA=IA*.05:IB=IB*.05:IC=IC*.05:ID=ID*.05:NC=0:NT=0:AAA=0:FA= IA=IA*FA:IB=IB*FA:IC=IC*FA:ID=ID*FA:A1=AOT:B1=BOT:C1=COT:D1=DOT 910 IF MA=1 THEN MA=0:GOTO SWAP U,UI:SWAP U1,U2:SWAP U2,U3 930 CRIAÇÃO DOS INCREMENTOS PARA AVALIAR Q NO RETICULADO 940 FOR J=1 TO ADA(J)=A2-((1-IA)+(J-1)*IA*U)*A2; ADB(J)=B2-((1-IB)+(J-1)*IB*U1)*B2 960 ADC(J) =C2-((1-IC)+(J-1)*IC*U2)*C2:ADD(J)=D2-((1-ID)+(J-1)*ID*U3)*D2 970 NEXT J 980 ADIÇÃO DOS INCREMENTOS E AVALIAÇÃO DE Q (TRY(L,J,M,S)) 990 S=1:M= FOR L=1 TO 3:FOR J=1 TO IF PAR<3 THEN GOTO FOR M=1 TO IF PAR<4 THEN GOTO FOR S=1 TO A=ADA(L)+AOT:B=ADB(J)+BOT:C=ADC(M)+COT:D=ADD(S)+DOT 1060 GOSUB 1480:TRY(L,J,M,S)=SUM IF PAR>3 THEN NEXT S 1080 IF PAR>2 THEN NEXT M 1090 NEXT J:NEXT L 1100 SEPARAÇÃO DO MÍNIMO (TRY<10 Λ 38) OU MÁXIMO (TRY>-10 Λ38) E ARMAZENAMENTO 1110 DOS INCREMENTOS NAS DIVERSAS DIREÇÕES 1120 SL=10 Λ 38:MA= FOR L=1 TO 3:FOR J=1 TO IF PAR<3 THEN GOTO FOR M=1 TO IF PAR<4 THEN GOTO FOR S=1 TO IF TRY(L,J,M,S)<SL THEN AOT=ADA(L)+A1:S3=L 1190 IF TRY(L,J,M,S)<SL THEN BOT=ADB(J)+B1:ME=J 1200 IF PAR<3 THEN GOTO 1220 ELSE IF TRY (L,J,M,S)<SL THEN COT=ADC(M)+C1:J3=M 1210 IF PAR<4 THEN GOTO 1220 ELSE IF TRY (L,J,M,S)<SL THEN DOT=ADD(S)+D1:L3= IF TRY(L,J,M,S)<SL THEN SL=TRY(L,J,M,S) 1230 IF PAR>3 THEN NEXT S 1240 IF PAR>2 THEN NEXT M 1250 NEXT J:NEXT L 1260 IF MA=1 THEN TESTE PARA VERIFICAR SE A DIREÇÃO DA ITERAÇÃO ANTERIOR 1280 AINDA REDUZ Q. EM CASO POSITIVO AUTALIZAR OS PARÂMETROS 1290 A=A1+ADA(S3):B=B1+ADB(M3):C=C1+ADC(J3):D=D1+ADD(L3):GOSUB GOSUB 1520:IF LI=1 THEN LI=0:GOTO TESTE PARA VERIFICAR SE A ADIÇÃO DE APENAS DOIS DOS INCREMENTOS 1320 AOS PARÂMETROS NA ITERAÇÃO ANTERIOR REDUZ Q A=A1+2*(U-1)*ADA(S3):B=B1+2*(U1-1)*ADB(M3):C=C1+2*(U2-1)*ADC(J3) 1335 D=D1+2*(U3-1)*ADD(L3):GOSUB 1480:GOSUB IF LI=1 THEN LI=0:GOTO A=A1+2*(1.5-U)*ADA(S3):B=B1+2*(1.5-U1)*ADB(M3) 1355 C=C1+2*(1.5-U2)*ADC(J3):D=D1+2*(1.5-U3)*ADD(L3):GOSUB 1480:GOSUB IF LI=1 THEN LI=0:GOTO TESTE PARA VERIFICAR SE A ADIÇÃO DE APENAS INCREMENTO EM CADA 1380 DIREÇÃO INDIVIDUAL REDUZ Q A=A1+ADA(S3):B=B1:C=C1:D=D1:GOSUB 1480:GOSUB IF LI=1 THEN LI=0:ADA(S3)=1.075*ADA(S3):IA=IA*1.075:GOTO A=A1:B=B1+ADB(M3):C=C1:D=D1:GOSUB 1480:GOSUB IF LI=1 THEN LI=0:ADB(M3)=1.M75*ADB(M3):IB=IB*1.075:GOTO A=A1:B=B1:C=C1+ADC(J3):D=D1:GOSUB 1480:GOSUB IF LI=1 THEN LI=0:ADC(J3)=1.075*ADC(J3):IC=IC*1.075:GOTO A=A1:B=B1:C=C1:D=D1+ADD(L3):GOSUB 1480;GOSUB IF LI=1 THEN LI=0:ADD(L3)=1.075*ADD(L3):ID=ID*1.075:GOTO MA=0:GOTO CRITÉRIO DE AJUSTE + LOCAL DE ADIÇÃO RESTRIÇÕES (se necessário) 1490 SUM1=0:FOR I=1 TO N 1500 Z(I)=FNL(X(I)):SUM1=SUM1+(Y(I)-Z(I)) Λ NEXT I:RETURN 1520 COMPARAÇÃO SL E SUM1 PARA ATUALIZAR OU NÃO OS VALORES PARÂMETROS 1530 IF SUM1<SL THEN AOT=A:BOT=B:COT=C:DOT=D:SL=SUM1:LI=1:MA= IF LI=0 THEN LINE(65+204*B/B0, *A1/A0)-(65+204*BOT/B0, *AOT/AO) 1560 LINE( *D1/D-, *C1/C0)-( *DOT/D0, *COT/CO) 1570 A1=AOT:B1=BOT:C1=COT:D1=DOT 1580 RETURN 1590 GRÁFICO PARA VISUALIZAR O PREGRESSO DO AJUSTE DURANTE AS ITERAÇÕES 1600 FOR I=1 TO 3:B(I)=BOT+ADB(I):A(I)=AOT+ADA(I) 1610 C(I)=COT+ADC(I):D(I)=DOT+ADD(I):NEXT I 1620 FOR I=1 TO 3 FOR J=1 TO LINE(65+204*B(I)/B0, *A(I)/A0)-(65+204*B(I)/B0, *A(J)/A0) 1640 LINE ( *D(I)/D0, *C(I)/C0) *D(I)/D0,150.4*C(J)/C0) 1650 LINE(65+204*B(J)/B0, *A(J)/A0)-(65+204*B(I)/B0, *A(J)/A0)

8 CALBO et al 1660 LINE( *D(J)/D0, *C(J)/C0)-( *D(I)/D0, *C(J)/C0) 1670 NEXT J:NEXT I 1680 NC=NC+1:Q=SL 1690 IF NC=5 THEN NC=0:NT=NT+1:GOSUB IF IT$= NOT OK THEN GOTO GOTO TESTE DE CONVERGÊNCIA 1730 DE1=ABS((TRY(3,1,1,1))-TRY(1,1,1,1)/(ADA(3)-ADA(1))):LOCATE 23,2:PRINT USING. ; DE1:IF DE1<.005 THEN 1740 ELSE IF PAR<3 THEN DE3=ABS((TRY(1,1,3,1)-TRY(1,1,1,1))/(ADC(3)-ADC(1))):LOCATE 23,17:PRINT USING. ; DE3:IF DE3<.005 THEN 1760 ELSE IF B=0 THEN DE2=ABS((TRY(1,3,1,1)-TRY(1,1,1,1))/(ADB(3)-ADB(1))):LOCATE 23,32:PRINT USING. ;DE2:IF DE2<.005 THEN 1780 ELSE IF PAR<4 THEN DE4=ABS((TRY(1,1,1,3)-TRY(1,1,1,1))/(ADD(3)-ADD(1))):LOCATE 23,47:PRINT USING. ;DE4:IF DE4<.005 THEN 1800 ELSE IT$= OK 1810 IF NT=6 OR NT=12 OR NT=18 THEN 1820 ELSE A2=(ABS(A2)+8*ABS(AOT)/9:B2=(ABS(B2)+8*ABS(BOT))/ C2=(ABS(C2)+8*ABS(COT))/9:D2=(ABS(D2)+8*ABS(DOT))/ IF NT>40 THEN 1930 ELSE FI IT$= OK THEN RETURN 1860 CLS:PRINT:PRINT: AS DERIVADAS PARCIAIS DE Q CONVERGIRAM PRINT:PRINT ESTES SÃO OS PARÂMETROS ESTIMADOS: :PRINT 1880 IF AOT<>0 THEN PRINT A= ;AOT 1890 IF BOT<>0 THEN PRINT B= ;BOT 1900 IF COT<>0 THEN PRINT C= ;COT 1910 IF DOT<>0 THEN PRINT D= ;DOT 1920 GOTO CLS:PRINT 1940 PRINT Não houve convergência. Os valores abaixo podem ser utilizados 1950 PRINT como estimaivas melhoradas para iniciar uma nova iteração PRINT:PRINT A<> ;AOT, B<> ;BOT, C<> ;COT, D<> ;DOT 1970 CÁLCULO DE R SMEDW=0:FOR J=1 TO N:SMEDW=SMEDW+Y(J):NEXT J 1990 SMEDW=SMEDW/N:SDE= FOR J=1 TO N:SDE=SDE+(Z(J)-SMEDW) 2:NEXT J:RR2=SDE/SDR 2010 FOR J=1 TO N:SDR=SDER+(Y(J)-SMEDW) 2:NEXT J:RR2=SDE/SDR 2020 PRINT COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO DO MODELO => ;RR PRINT :PRINT SQTOTAL ==> ;SDR, SQRESÍDUO ==> ;(SDR-SDE) 2040 PRINT SQDESVIOS = ;Q 2050 INPUT ENTRE RETURN PARA TERMINAR,R Rev. Bras. Fisiol. Vegetal, Vol. 1, 1989.

9 Rev. Bras. Fisiol. Vegetal, Vol. 1, CALBO et al. FREITAS, A.R.; ALBINO, L.F.T. FILHO, T.M. & ROSSO, Modelos de curvas de crescimento em frangos de cor te. Pesq. Agropec. Bras., 19: , GUIMARÃES, P.G & CASTRO, L.H.R. Análise de funções de crescimento. Brasília, EMBRAPA-CPAC, p. HOFFMAN, R. & VIEIRA, S. Análise de regressão; uma introdução à econometria. São Paulo, Hucitec, p. HORNBECK, R.W. Numerical methods. Englewood Cliffs, Prentice-Hall, p. PATANKAR, S. V. Numerical heat transfer and fluid flow. Series in computational methods in mechanics and thermal sciences. MacGraw-Hill-Hemisphere, New York, 1981, 197p. RICHARDS, F.J. A flexible growth function for empi rical use. J. Exp. Bot., 10: , RICHARDS, F.J. The quantitative analysis of growth. In: STEWARD, F.C.(ed). Plant physiology; a treat ise. New York, Academoc Press, p.3-76 STARK, P.A. Introdução aos métodos numéricos. Trad J.B.P. Carvalho, Rio de Janeiro, Interciência, p.

10 AJUSTE DE FUNÇÕES NÃO LINEARES 17 APÊNDICE B. Conformações gráficas típicas de algumas funções de crescimento. Rev. Bras. Fisiol. Vegetal, Vol. 1, 1989.