ESCOLA TÉCNICA FEDERAL DE SANTA CATARINA UNIDADE DE ENSINO DE SÃO JOSÉ

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1 ESCOLA TÉCNICA FEDERAL DE SANTA CATARINA UNIDADE DE ENSINO DE SÃO JOSÉ CARGA E DESCARGA DE CAPACITORES JAIR LÍBERO CADORIN Professor da UNED/SJ São José, Junho de 2001

2 Resumo Neste trabalho desenvolvemos uma técnica simples de como carregar e descarregar um capacitor ligado em série com um resistor. Este tipo de circuito é chamado RC simples e é formado por um resistor e um capacitor conectados em série com uma fonte de tensão CC. Percebe-se claramente a concordância com a teoria de um circuito RC em série. Esta teoria descreve o comportamento de tal circuito baseando-se na lei da conservação da carga elétrica e resolvendo a equação diferencial advinda daquela lei fundamental. Quando a fonte é ligada, o capacitor começa a carregar, inicialmente com uma taxa alta, mas cada vez menor à medida que o tempo passa. Como a carga é uma grandeza difícil de ser medida, é mais fácil medir a corrente elétrica. Sumário Lista de tabelas, gráficos, quadros e ilustrações Introdução... 1 I Fundamentos teóricos Carga Descarga Procedimento experimental para a carga de um capacitor... 4 II Resultados e análises Resultados Análise dos resultados... 8 Conclusão Referências... 11

3 Lista de tabelas, gráficos, quadros e ilustrações Figura 1. Esquema elétrico de um circuito RC... 2 Figura 2. Corrente e a carga elétricas em função do tempo durante a carga do capacitor... 3 Figura 3. Carga de um capacitor em função da constante de tempo capacitiva... 3 Tabela 1. Dados coletados na experiência sobre a carga do capacitor... 6 Figura 4. Corrente em função do tempo durante a carga do capacitor... 7 Figura 5. Carga em função do tempo durante a carga do capacitor... 7 Figura 6. Linha de tendência da corrente em função do tempo durante a carga do capacitor... 8

4 Introdução Este trabalho tem como finalidade expor uma pesquisa realizada no laboratório de física da ETFSC UNED/SJ em meados do ano de 1999, como parte integrante da disciplina de Eletricidade do então curso de Redes de Computadores. Carga e descarga de capacitores era um dos tópicos da citada disciplina, sendo a experimentação a técnica utilizada para a abordagem do conteúdo. Assim sendo, cada grupo de 2 a 3 alunos teve a incumbência de realizar a experiência a partir de um roteiro pré-definido, procurando obter o máximo desempenho possível, bem como, os melhores resultados e a melhor apresentação do trabalho, a qual era objeto de ponderável avaliação. A experiência relatada neste trabalho foi por nós realizada, com o objetivo de ser usada como referencial tanto no que diz respeito aos procedimentos e aos resultados, quanto à apresentação em forma de relatório coerente com as normas vigentes. Com o tema carga e descarga de capacitores, partimos da hipótese que quando um capacitor recebe cargas, a corrente elétrica inicial que se estabelece é máxima no começo e decresce exponencialmente com o tempo. Nesta pesquisa experimental, conectamos em série um potente capacitor, um resistor, um amperímetro e uma fonte de tensão CC. Com auxílio de um cronômetro, medimos a corrente que se estabelecia no circuito em função do tempo. Nenhuma dificuldade relevante foi observada no decorrer da experiência, exceto o perigo de um pequeno mas possível choque elétrico causado quando o capacitor é descarregado inadvertidamente.

5 I - Fundamentos teóricos 1 - Carga A figura abaixo representa um circuito RC em série no qual um capacitor C pode ser carregado e descarregado através de um resistor R. ε é a fem de um fonte cc. Figura 1. Esquema elétrico de um circuito RC A corrente e a carga durante os processos de carga e descarga são obtidas através do cálculo diferencial e integral, o qual não abordaremos aqui. Se a chave S do circuito acima for ligada ao terminal a, o capacitor torna-se eventualmente carregado, mas não adquire sua carga final instantaneamente. Pode-se mostrar que a corrente e a carga durante o processo de carga são dadas por: i = I 0 e -t/τ q = Q f ( 1 - e -t/τ ) Nas expressões acima, i = corrente em qualquer tempo; I 0 = ε/r = corrente inicial, no instante t =0; q = carga armazenada pelo capacitor durante um tempo t; Q f = C ε = carga final ou carga máxima possível de ser armazenada no capacitor. Depende da capacitância do capacitor e da força eletromotriz da fonte. ε é fem da fonte; τ = RC = constante de tempo capacitiva do circuito. É o tempo necessário para que a carga do capacitor atinja 63,21% do valor final. É também o tempo durante o qual a

6 3 corrente cairia a zero, se continuasse a decrescer à mesma taxa inicial. Ou ainda, o tempo durante o qual a carga do capacitor adquiriria o seu valor final se a taxa de carga permanecesse com o seu valor inicial. Na figuras abaixo mostramos os gráficos para a corrente e a carga em função do tempo durante a carga de um capacitor. O número e vale 2, Figura 2. Diagramas esquemáticos mostrando a corrente e a carga elétricas em função do tempo durante a carga de um capacitor Se a chave permanecer ligada ao terminal a durante um tempo muito maior do que τ, o capacitor estará carregado para todas as finalidades práticas. Apenas como exemplificação,veja a tabela abaixo: T = τ q = 0.632Q f t = 2τ q = 0,865Q f t = 3τ q = 0,950Q f t = 4τ q = 0,982Q f t = 5τ q = 0,993Q f t = 6τ q = 0,998Q f t = 7τ q = 0,999Q f Figura 3. Quadro demonstrativo da carga de um capacitor em função da constante de tempo capacitiva 2 Descarga Estando o capacitor C carregado totalmente ou não, se a chave do circuito acima for agora colocada na posição b, ele será descarregado através do resistor R. Usando-se

7 4 novamente cálculo superior, pode-se mostrar que a corrente e a carga durante o processo de descarga são dadas por: i = I 0 e -t/τ q = Q 0 e -t/τ Nas expressões acima, i = corrente em qualquer tempo; I 0 = V/R = corrente inicial, no instante t =0. Observe que I 0 não é necessariamente igual ao I 0 do carregamento. V é o potencial adquirido pelo capacitor. Se ele estiver totalmente carregado, então V = ε. Não estando totalmente carregado, V será menor que ε. V pode ser obtido assim: V = q/c = (Q f /C )( 1 - e -t/τ ) = ε ( 1 - e -t/τ ), sendo t o instante em que a chave passa de a para b; q = carga abandonada pelo capacitor num durante um tempo t; Q 0 = C V = carga inicial ou carga armazenada no capacitor antes de começar a descarga. Observe que Q 0 não é necessariamente igual a Q f definido quando do carregamento. τ= RC = constante de tempo capacitiva do circuito. É o tempo necessário para que a carga do capacitor decresça 63,21% do valor inicial, ou seja, a carga no capacitor neste instante é 36,79% da carga inicial. 3 - Procedimento experimental para a carga um capacitor 1) Conectamos em série uma fonte de tensão CC, um amperímetro, um capacitor (C=36000µF) e um resistor (R=900Ω).

8 5 2) Calculamos a constante de tempo capacitiva teórica τ teo. (τ teo = 32,4s) Isso foi necessário caso se precisasse trocar o capacitor e/ou o resistor para que a esta constante fosse razoavelmente grande (maior que 30s). 3) Foi estabelecida uma fem da fonte (ε= 10V), e mantida fixa até o final das medidas. Neste ponto deve ser observado que este valor deve ser no máximo igual à tensão nominal do capacitor (V nominal = 70V). Calculamos I 0 = ε/r, para ter uma idéia da escala do amperímetro a ser usada. 4) Procuramos descarregar, por precaução, o capacitor colocando seus terminais em curtocircuito. 5) Preparamo-nos para executar as medições de tempo com um cronômetro. 6) No instante em que ligamos a fonte, anotamos a corrente inicial. Este instante era t=0. 7) Fizemos várias medidas de tempo e corrente, anotando tudo numa tabela. Para saber quais e quantos pontos medir, no mínimo, deve-se ir até t aproximadamente duas vezes a constante de tempo e fazer pelo menos 20 medidas.

9 II - Resultados e análises 1 - Resultados A seguir apresentamos todos os resultados obtidos na experiência sobre o carregamento de um capacitor na tabela 1. Na primeira coluna estão tabelados os instantes de tempo estipulados para as medidas, lidos diretamente com o cronômetro. Na segunda coluna estão tabelados os valores de corrente elétrica observados nos tempos correspondentes, lidos com o amperímetro. Na terceira coluna, estão calculados os valores da carga elétrica armazenada no capacitor em função do tempo. Para isso, usamos a equação q = Q f ( 1 - e -t/τ ), com Q f = Cε = 0,36C e τ = 32,4s. Na última coluna, estão tabelados os valores da corrente elétrica obtidos teoricamente a partir da equação I = I 0 e -t/τ, com I 0 = ε/r = 0,01111A e τ = 32,4s. t (s) I exp (A) q (C) I teo (A) 0 0, , , , , , ,0956 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , t (s) I exp (A) q (C) I teo (A) 75 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabela 1. Tabulação de todos os dados coletados na experiência sobre a carga de um capacitor Apresentamos a seguir alguns diagramas mostrando graficamente os resultados tabelados acima e também algumas linhas de tendência.

10 7 carga capacitor C=36000uF, R=900ohms, V=10V i(ma) t(s) pontos originais tendencia inicial Figura 4. Corrente em função do tempo durante a carga do capacitor. C=36000µF, R=900Ω e ε=10v. carga capacitor C=36000uF, R=900ohms, V=10V 0,45 0,4 0,35 0,3 q(c) 0,25 0,2 0,15 0,1 0, t(s) carga que o capacitor adquire em funcao do tempo tendencia inicial Carga final Figura 5. Carga em função do tempo durante a carga do capacitor. C=36000µF, R=900Ω e ε=10v

11 8 carga capacitor c=36000uf, R=900ohms, V=10V y = 10,225e -0,0264x i(ma) t(s) pontos originais regressao exponencial Figura 6. linha de tendência da corrente em função do tempo durante a carga do capacitor. C=36000µF, R=900Ω e ε=10v 2 - Análise dos resultados O ponto de cruzamento da linha de tendência inicial como o eixo dos tempos, é a constante de tempo capacitiva τ. Analisando as linhas de tendências iniciais mostradas nos dois primeiros gráficos acima, verificamos a boa concordância de τ lido com τ teo calculado no item 2 do procedimento experimental. Comparando I 0 (teórico) calculado no item 3 com o I 0 (exp), mostrados na segunda linha da tabela 1, verificamos uma boa concordância com erro experimental de aproximadamente 2%. Calculamos a carga Q f que o capacitor adquiriria se o processo de carga continuasse por um longo tempo. O valor teórico é Q f = Cε = 0,36C. Observando-se o gráfico 2, o ponto final da curva de carga está muito próximo deste valor (pela tabela vemos que o último

12 9 valor de Q é 0, C). Ou seja, o capacitor foi carregado com 99% da carga permitida pelos valores das grandezas elétricas utilizadas. No gráfico 1 vemos claramente o decrescimento exponencial da corrente em função do tempo. No gráfico 2 vemos também claramente o comportamento exponencial da carga que o capacitor vai adquirindo em função do tempo. No gráfico 3 apresentamos a curva de tendência da corrente elétrica, bem como, a equação para esta curva: y = 10,225e -0,0264x. Comparando esta equação com a equação da corrente, I=I 0 e -t/τ e como a escala de corrente está em miliamperes, vemos que I 0 (tendência)=10,225ma e τ(tendência) =1/0,0264 = 37,9s, em boa concordância com os valores teóricos.

13 Conclusão Vimos que um circuito RC simples é formado por um resistor e um capacitor conectados em série com uma fonte de tensão CC. Quando a fonte é ligada, o capacitor começa a carregar, inicialmente com uma taxa alta, mas cada vez menor à medida que o tempo passa. Como a carga é uma grandeza difícil de ser medida, é mais fácil medir a corrente elétrica. Os resultados experimentais relatados neste trabalho estão em plena concordância com a hipótese formulada. A corrente elétrica medida decresce exponencialmente com o tempo conforme prevê a teoria, isto é, não encontramos discordância entre os resultados encontrados e aqueles previstos pela teoria existente. Como esta é uma atividade simples e com resultados bastante coerentes, ela pode ser executada em quaisquer ambientes desde que se possuam os componentes elétricos necessários à pesquisa. Convém deixar claro, entretanto, que ela pode ser melhor explorada, com mais precisão dos resultados, dependendo dos objetivos a que se destina. E isso é perfeitamente natural, pois o conhecimento científico está em constante evolução e as necessidades da humanidade se tornam cada vez mais exigentes.

14 Referências CERVO, A. L. e BERVIAN, P. A Metodologia Científica. São Paulo: Makron, HALLIDAY, D. E RESNICK, R. Física. Rio de Janeiro:Livros Técnicos e Científicos, RAMALHO, F. J. et al. Os fundamentos da física. São Paulo:Moderna, 1983.