Áreas (Ufg 2012) Uma chapa retangular com
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- Edite Brunelli Aragão
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1 Áreas (Ufg 01) Uma chapa retangular com 170 cm de área é perfurada, por etapas, com furos triangulares, equiláteros, com 1 cm de lado, como indica a figura a seguir. O número de furos acrescentados em cada etapa, a partir da segunda, é sempre o mesmo e não há interseção entre os furos. O porcentual da chapa original que restará na etapa 14 é, aproximadamente, Dado: 3 1,7 a) 10% b) 30% c) 70% d) 80% e) 90%. (Espm 01) A figura abaixo mostra um retângulo de lados 7 cm e 8 cm no qual estão contidos os quadrados A, B e C. A medida x pode variar entre 3,5 cm e 7 cm, fazendo com que os lados dos três quadrados se alterem. Dentro desse intervalo, o maior valor que a área do polígono P pode ter é igual a: a) 18 cm b) 15 cm c) 17 cm d) 19 cm e) 16 cm Página 1 de 34
2 3. (Fgv 01) O polígono do plano cartesiano determinado pela relação 3x 4y 1 tem área igual a a) 6. b) 1. c) 16. d) 4. e) (Ueg 01) A figura representa no plano cartesiano um triângulo ABC, com coordenadas A (0,5), B (0,10) e C (x,0), em que x é um número real positivo. Tendo em vista as informações apresentadas, a) encontre a função F que representa a área do triângulo ABC, em função de sua altura relativa ao lado AB; b) esboce o gráfico da função F. 5. (Fgv 01) Considere, no plano cartesiano, o pentágono ABCDE, de vértices A(0, ), B(4, 0), C(π 1, 0), D(π 1, 4) e E(0, 4). Escolhendo aleatoriamente um ponto P no interior desse pentágono, a probabilidade de que o ângulo APB seja obtuso é igual a a) 1 5 b) 1 4 c) 5 16 d) 3 8 e) Página de 34
3 6. (Espm 01) Na figura plana abaixo, ABCD é um quadrado de área 10 cm. Os segmentos CE e CF medem 4 cm cada. Essa figura deverá ser dobrada nas linhas tracejadas, fazendo com que os pontos E e F coincidam com um ponto P do espaço. A distância desse ponto P ao ponto A é igual a: a) 6 cm b) 5 cm c) 4 cm d) 5 cm e) 6 cm 7. (Ufmg 01) Na figura a seguir, o triângulo ABC tem área igual a 16. Os pontos P e Q dividem o segmento AB em três partes iguais, assim como os pontos M e N dividem o segmento BC em três partes iguais. Com base nessas informações, a) Determine a área do triângulo QBN. b) Determine a área do triângulo sombreado PQM. Página 3 de 34
4 8. (Ufu 01) Na Figura 1, o triângulo retângulo ABC possui ângulo reto em B, AF 1cm, AC 10 cm e BDEF é um quadrado. Suponha que o quadrado BDEF seja transladado ao longo de AC, sem alterar a medida dos lados e ângulos ao longo dessa translação, gerando, dessa forma, um novo quadrado XYZW, em que coincidem os pontos C e Z conforme ilustra a Figura. Nessas condições, qual é o valor (em cm ) da área do triângulo HZW? a) 5/ b) 13/4 c) 3/ d) 15/ Página 4 de 34
5 9. (Ufu 01) O número áureo aparece com frequência em proporções ligadas a fenômenos da natureza e em magníficos projetos arquitetônicos. Neste contexto, alguns objetos matemáticos estão associados à elaboração estrutural de tais projetos. Este é o caso do retângulo áureo, cuja razão entre o maior e o menor lado é o número áureo. Uma maneira simples de construir um retângulo áureo é dada pelo seguinte roteiro: 1º) Construa um quadrado ABCD de lados medindo 1 metro e um segmento de reta ligando o ponto médio O do lado AD ao ponto médio do lado BC, oposto ao lado AD. º) Considere a reta r contendo o segmento AD. Com centro em O e raio OC, trace um arco de circunferência do vértice C até intersectar a reta r no ponto F. 3 ) Prolongue BC e trace a perpendicular à r por F, obtendo o ponto E. O retângulo ABEF é áureo. No retângulo áureo ABEF, se o ângulo θ é dado em radianos, então, dentre as expressões que seguem, aquela que corresponde ao valor da área sombreada, em m, é a) 5 θ 8 b) 8 5 θ 8 c) 3 θ 4 d) 5 θ Página 5 de 34
6 10. (G1 - cftmg 01) Se a área de um retângulo, cujos lados são denominados a e b, em que a > b, é igual a 10 m e seu perímetro é igual a 5 m, então, é correto afirmar que a) a b = 0. b) a b =. c) a b = 14. d) a b = (Uftm 01) O trapézio retângulo ABCD representa um terreno, com área de 800 m, situado em certo condomínio. Uma das cláusulas que regulamentam as construções nesse condomínio exige que a área construída, indicada pelo trapézio AECD na figura, ocupe no mínimo 50% e no máximo 70% da área do terreno. Desse modo, determine: a) o intervalo de todos os possíveis valores que x pode assumir para atender à cláusula especificada. b) o valor de x, se a área não construída ocupar 5 da área total do terreno. 1. (Insper 01) O retângulo da figura, cuja base AB mede o triplo da altura BC, foi dividido em três regiões por meio de duas retas paralelas. Os pontos marcados sobre os lados AD e BC dividem esses lados em quatro partes de medidas iguais. Se a área da faixa central á igual à soma das áreas dos triângulos sombreados, então o ângulo é tal que 1 a) tg 4 3 b) tg 10 1 c) tg 3 3 d) tg 8 3 e) tg 5 Página 6 de 34
7 13. (Enem 01) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 m de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos é um trapézio). Avaliando-se todas as informações, serão necessários a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B. b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B. 14. (G1 - cftmg 01) A área de um paralelogramo ABCD é 54 dm. Aumentando-se 6 unidades na sua altura e diminuindo-se 4 unidades na base, sua área aumenta de 6 dm. Dessa forma, a razão entre as medidas da base e da altura desse paralelogramo será a) 3. b). 3 c) 1. d) Página 7 de 34
8 15. (G1 - epcar (Cpcar) 01) Considere a área S da parte sombreada no triângulo retângulo isósceles OO1O. AD, AB e BC são arcos de circunferência com centros em O, O e O 1 respectivamente, cujos raios medem r. Das figuras abaixo, a única em que a área sombreada NÃO é igual a S, é a) Circunferência de diâmetro AB e semicircunferências de diâmetros OA e OB b) Circunferência de centro O c) Circunferência de centro O d) Circunferência de centro O inscrita num quadrado. Dois setores circulares de raio r Página 8 de 34
9 16. (Fgvrj 01) O quadrilátero ABCD é um quadrado e E, F, G e H são os pontos médios dos seus lados. Qual superfície tem maior área: a branca ou a hachurada? 17. (Fgv 01) Na figura abaixo, o ângulo A do triângulo ABC inscrito na circunferência é reto. O lado AB mede 4, e o lado AC mede 5. A área do círculo da figura é: a) 9,75π b) 10π c) 10,5π d) 10,50π e) 10,75π 18. (Enem 01) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 x) (3 y). Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por: a) xy b) 15 3x c) 15 5y d) 5y 3x e) 5y + 3x xy Página 9 de 34
10 19. (G1 - cftmg 01) Na figura seguinte, os pontos A e B pertencem à circunferência de centro O e a reta s é tangente à mesma no ponto A. O valor de x + y + z, em graus, é a) 160. b) 184. c) 196. d) (G1 - cps 01) Para preparar biscoitos circulares, após abrir a massa formando um retângulo de 0 cm de largura por 40 cm de comprimento, dona Maria usou um cortador circular de 4 cm de diâmetro, dispondo-o lado a lado várias vezes sobre toda a massa para cortar os biscoitos, conforme a figura. Considere que: os círculos que estão lado a lado são tangentes entre si e completam todo o retângulo com o padrão apresentado; os círculos das bordas são tangentes aos lados do retângulo. Com a sobra de massa, dona Maria abre um novo retângulo, de mesma espessura que o anterior, para cortar mais biscoitos. Assim sendo, desconsiderando a espessura da massa, as dimensões desse novo retângulo podem ser Dados: área do círculo de raio r: A πr ; adote: π 3. a) 8 cm 30 cm. b) 8 cm 5 cm. c) 9 cm 4 cm. d) 10 cm cm. e) 10 cm 1cm. Página 10 de 34
11 1. (Insper 01) Na figura a seguir, os pontos M, N, O, P, Q e R pertencem aos lados do triângulo equilátero ABC, de perímetro 6 cm, de modo que AM AN x cm; BO BP CQ CR x cm. Se a área do hexágono MNOPQR é metade da área do triângulo ABC, então o valor de x é igual a a) 3. 3 b) 1. c) d) e) (G1 - cftrj 01) O polígono ABCDEF da figura abaixo apresenta 3 pares de lados paralelos e congruentes entre si. Além disso, ED GH IJ KL AB, EF DH HI JK LA BC, AB AL, AFE ˆ BCD ˆ 90 e DEF ˆ 10º. Sabendo que med (FE) 6cm e med (AB) 3cm, determine a área do polígono ABCDEF. Página 11 de 34
12 3. (G1 - ifsc 01) Considere os dois retângulos da figura abaixo. O retângulo ABCD tem cm de largura e 9 cm de comprimento, e o retângulo EFGH tem 4 cm de largura e 1 cm de comprimento. É CORRETO afirmar que a razão da área do retângulo ABCD para a do retângulo EFGH é: a) 3. 4 b) 8. 3 c) 1. d) 3. 8 e) (G1 - utfpr 01) Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares têm o mesmo comprimento e o lado oposto ao ângulo reto mede 1 cm. Qual é a área desse triângulo? a) b) c) d) 1 cm. 4 cm. 7 cm. 144 cm. e) 1 cm. 5. (Ufrn 01) A figura a seguir representa uma área quadrada, no jardim de uma residência. Nessa área, as regiões sombreadas são formadas por quatro triângulos cujos lados menores medem 3 m e 4 m, onde será plantado grama. Na parte branca, será colocado um piso de cerâmica. O proprietário vai ao comércio comprar esses dois produtos e, perguntado sobre a quantidade de cada um, responde: a) 4 m de grama e 5 m de cerâmica. b) c) d) 4 m de grama e 49 m de grama e 49 m de grama e 4 m de cerâmica. 5 m de cerâmica. 4 m de cerâmica. Página 1 de 34
13 6. (Uftm 01) Na figura, A, B, C e D são vértices de um quadrado de lado x, M é o ponto médio do lado AD e MC é o segmento de reta que divide o quadrado em dois polígonos, trapézio AMCB e triângulo MDC. Desse modo, é correto afirmar que a) a área do triângulo é x. 4 x b) a área do trapézio é. 3 c) a área do trapézio é igual ao triplo da área do triângulo. d) a área do quadrado é o triplo da área do triângulo. e) a área do triângulo é 1 x. 7. (Esc. Naval 01) O triângulo da figura abaixo é equilátero, AM MB 5 e CD 6. A área do triângulo MAE vale a) b) c) 100 d) e) 00 Página 13 de 34
14 8. (G1 - ifba 01) A figura a seguir representa o coração perfeito que Jair desenhou para a sua amada. Sabendo que esse coração representa dois semicírculos com o diâmetro em dois lados consecutivos de um quadrado, cuja diagonal mede 5 8 cm,, a área do coração, em cm quadrados, é: a) 175 b) 160 c) 155 d) 140 e) (Ufsj 01) Observe a figura abaixo. A razão entre a área e o perímetro do hexágono regular inscrito na circunferência de diâmetro k é a) 8 3 k 3 b) 3 k 4 c) 8 3 3k d) 3 k 8 Página 14 de 34
15 30. (Epcar (Afa) 01) Conforme a figura abaixo, A é o ponto de tangência das circunferências de centros C, 1 C e C. 3 Sabe-se que os raios dessas circunferências formam uma progressão geométrica crescente. Se os raios das circunferências de centros C 1 e C medem, respectivamente, r e 3r, então a área da região sombreada vale, em unidades de área, 55 a) r 8 π 9 b) r 4 π 61 c) r 8 π d) 8π r 31. (Ufg 01) Três irmãos herdaram uma propriedade rural em Goiás e necessitam repartir as terras. A figura a seguir representa a propriedade, que é retangular, medindo 000 m por 1500 m, e está integralmente utilizada para lavouras e pastagens, exceto a reserva legal mínima de mata nativa, também em formato retangular, com 100 m de comprimento, representada pela região sombreada na figura. As linhas destacadas na figura apresentam uma proposta de partilha das terras em que a região de mata nativa fica dividida em um retângulo e dois triângulos. Considerando-se que os três irmãos devem ficar com propriedades de mesma área e que, para cada uma delas, deve ser garantida a reserva legal mínima de vegetação nativa, que no estado de Goiás é de 0% da área da propriedade, determine quais devem ser as medidas assinaladas por x e y. Página 15 de 34
16 3. (Espm 01) Uma parede retangular pode ser totalmente revestida com ladrilhos retangulares de 30 cm por 40 cm ou com ladrilhos quadrados de 50 cm de lado, inteiros, sem que haja espaço ou superposição entre eles. A menor área que essa parede pode ter é igual a: a) 4,5 m b),5 m c) 3,0 m d) 4,0 m e) 3,5 m 33. (G1 - ifpe 01) O Sr. Joaquim comprou um terreno em um loteamento numa praia do litoral sul de Pernambuco. O terreno tem a forma de um paralelogramo (figura abaixo) com a base medindo 0 metros e a altura medindo 15 metros. Os pontos M e N dividem a diagonal BD em três partes iguais. No triângulo CMN, ele vai cultivar flores. Qual é a área que o Sr. Joaquim destinou para esse cultivo, em m? a) 37 b) 39 c) 45 d) 48 e) (Ufsj 01) A figura acima é conhecida como Homem Vitruviano (Leonardo da Vinci, 1490). Nela, um homem nu aparece inscrito em um quadrado e em um círculo, ambos de mesma área. Considerando R o raio desse círculo e L o lado desse quadrado, é CORRETO afirmar que: a) R = L/ b) π (L/R) c) π L /R d) π L/R Página 16 de 34
17 35. (Uel 01) Considere que um tsunami se propaga como uma onda circular. Se a distância radial percorrida pelo tsunami, a cada intervalo de 1 hora, é de k quilômetros, então a área A, em quilômetros quadrados, varrida pela onda entre 9 horas e 10 horas é dada por: a) b) c) d) e) A k A 9 k A 1 k A 15 k A 19 k 36. (G1 - ifce 01) Na figura abaixo, os segmentos AB, AE e ED possuem o mesmo comprimento. Sendo F o ponto médio do segmento BE e sabendo-se que ABCD é um retângulo de área 00 m, é correto concluir-se que a área do triângulo CDF, em metros quadrados, vale a) 10. b) 100. c) 90. d) 75. e) Página 17 de 34
18 37. (Ufpr 01) Calcule a área do quadrilátero P 1 P P 3 P 4, cujas coordenadas cartesianas são dadas na figura abaixo. 38. (Ufjf 01) Em um trapézio ABCD, com lados AB e CD paralelos, sejam M o ponto médio do segmento CD e S 1 a área do triângulo BMC. a) Considere P o ponto de interseção do segmento AM com BD. Sabendo que a área do triângulo DPM é um quarto da área do triângulo BMC, deduza a relação existente entre a altura H do triângulo BMC relativa à base MC e altura h do triângulo DPM relativa à base MD. b) Sabendo que CD e AB 6, calcule a área do trapézio em função da altura H do triângulo BMC. 39. (Ufpb 01) Um ambientalista, desejando estimar a área de uma região de preservação ambiental, observou em um mapa, com escala de 1 cm para cada 100 km, que o formato da região era, aproximadamente, um triângulo retângulo de catetos medindo cm e 3 cm. Com base nesses dados, conclui-se que a área da região de preservação ambiental era, aproximadamente, de: a) km b) km c) km d) km e) km 40. (Ufrgs 01) Um cilindro tem o eixo horizontal como representado na figura abaixo. Nessa posição, sua altura é de m e seu comprimento, de 5 m. A região sombreada representa a seção do cilindro por um plano horizontal distante 1,5 m do solo. A área dessa superfície é a) 3. b). c) 3. d) 5. e) Página 18 de 34
19 Gabarito: Resposta da questão 1: [E] Sabendo que o lado dos furos mede 1cm, segue que área de cada furo é dada por cm Além disso, o número de furos em cada etapa cresce segundo uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 1 e razão 3. Logo, o número de furos na 14ª etapa é igual a Portanto, o percentual pedido é igual a % 90%. 170 Resposta da questão : [A] Considere a figura. A área do polígono P é dada por (ABCDEG) (ABFG) (CDEF) AG FG CF EF (x 1) (7 x) (8 x) (x 8) 3 (x 10x 19) 3 [(x 5) 5 19] 18 3 (x 5). Portanto, a área do polígono P é máxima para x 5, e seu valor é 18cm. Página 19 de 34
20 Resposta da questão 3: [D] φ, se φ 0 Sabendo que φ, para todo φ real, segue que a relação 3x 4y 1 φ, se φ 0 determina o losango de diagonais 6 e 8, conforme a figura abaixo. Portanto, a área pedida é dada por 68 4 u.a. Resposta da questão 4: 10.x 5x a) F(x) 5x F(x) b) Observe o gráfico a seguir: Página 0 de 34
21 Resposta da questão 5: [C] Para que o ângulo APB seja obtuso, é necessário que P seja um ponto no interior do semicírculo de diâmetro AB, contido no pentágono ABCDE. Desse modo, como a área do semicírculo de diâmetro AB é dada por 1 d A, B 1 4 π π 1 0 π 4 5π u.a. e a área do pentágono ABCDE é igual a π1 π 3 (π 1) 4π 4π 8π u.a., segue que a probabilidade pedida é 5π 5. 8π 16 Resposta da questão 6: [A] Como o quadrado ABCD tem área igual a 10cm, vem que AB 10cm. De acordo com as informações, temos que o segmento PA é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos CP 4cm e AC AB cm. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, obtemos PA AC CP PA (AB ) CP PA 10 4 PA 36 PA 6cm. Resposta da questão 7: AMaior L 16 3x a) Amenor 14ua A Menor l A menor x b) AABC L 16 3x APBM 56ua A PBM l A PBM x Portanto: APBM 56 APQM AQBM APQM 8ua Página 1 de 34
22 Resposta da questão 8: [C] Das relaçơes métricas no triângulo retângulo, vem AB AF AC AB 110 AB 10 cm, e BC CF AC BC 9 10 BC 3 10 cm BF AF CF BF 1 9 BC 3cm. Como os triângulos HZW e ABC săo semelhantes, temos que HW WZ HW 3 AB BC HW 1cm. Portanto, a área pedida é dada por Resposta da questão 9: [A] HW WZ 13 3 cm. Sabendo que AD 1m e O é o ponto médio de AD, do triângulo retângulo ODC, vem 1 OC OD DC OC 1 5 OC m. 4 A área pedida é dada pela diferença entre as áreas do setor circular OFC e do triângulo retângulo ODC, ou seja, OC θ OD DC (OFC) (ODC) 5 1 θ 1 4 5θ m. 8 Página de 34
23 Resposta da questão 10: [C] a b 5 a b 6 b 6 a (1) a b 10 a b 10 a b 10 () a (6 a) 10 a 6 a 10 0 a 6 a 10 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos a = 0 ou a = 6 Se a = 0; b = 6 Se a = 6; b = 0 (não convém, pois a > b). Portanto, a b = 0 6 = 14. Resposta da questão 11: a) De acordo com as informações, segue que x 30 0,5 (ABCD) (AECD) 0,7 (ABCD) m x 6 m. b) Se a área não construída ocupar 5 da área total do terreno, então a área construída ocupará 3 5 da área total. Portanto, o valor de x deve ser tal que 3 x 30 (AECD) x 18 m. Resposta da questão 1: [D] A A 1a 4a 1 A A 48 a 4 A 48 a A 4 a x 3 a 4 a x 8 A Logo, 3a 3 tgα 8a 8 Página 3 de 34
24 Resposta da questão 13: [C] Calculando as áreas dos ambientes, obtemos I S m, S (14 8) 5 30 m, II S III (14 8) (9 5) 4 m e (14 8) 4 SIV 7 35 m. Desse modo, como Jorge quer gastar o mínimo com gás, ele deverá instalar duas unidades do tipo A (ambientes II e III) e duas unidades do tipo B (ambientes I e IV). Resposta da questão 14: [A] b h b h 54 h b b 4 h bh 6b 4h b 4h 30 Resolvendo o sistema, temos: 54 6b b 30b 16 0 b 5b b Resolvendo a equação, temos: b = 9 ou b = 4 (não convém) Se b = 9, então h = 6. Calculando, agora, a razão pedida: b 9 3. h 6 Página 4 de 34
25 Resposta da questão 15: [D] A figura da alternativa [D] é a única que não é equivalente a um semicírculo de raio r, pois é equivalente a um semicírculo de raio r. Resposta da questão 16: A área da superfície branca é dada por AH AE 4 AH. Como EFGH é um quadrado de lado igual a ( AH) AH. AH, segue que a área da superfície hachurada é Portanto, as áreas são iguais. Resposta da questão 17: [C] Se o ângulo CÂB é reto então BC = R onde R é o diâmetro do círculo da figura. BC 4 5 BC 41 Logo, a área do círculo será dada por 41 A π 10,5 π. Página 5 de 34
26 Resposta da questão 18: [E] Como o retângulo de dimensões x y está contido nos retângulos de dimensões 5 y e 3 x, segue que a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por 3x 5y xy. Resposta da questão 19: [B] Como O é o centro da circunferência, o triângulo AOB é isósceles de base AB; portanto, x = 43. A reta t é tangente à circunferência, portanto, 43 + y = 90 ; logo, y = 47. No triângulo AOB, temos: x + x + z = z = 180 z = z = 94. Portanto, valor de x + y + z = = 184. Resposta da questão 0: [B] Total de biscoitos retirados no comprimento: 40/4 =10 Total de biscoitos retirados na largura: 0/4 =5 Total de biscoitos retirados: 5/10 = 50 Área restante em cm : A cm Com 00 cm de massa será possível formar um retângulo de dimensões 8 por 5 cm, já que cm. Página 6 de 34
27 Resposta da questão 1: [A] Se é a medida do lado do triângulo equilátero ABC, então pabc cm. Dado que AM AN xcm e BAC 60, segue que o triângulo AMN é equilátero. Analogamente, concluímos que os triângulos BOP e CRQ são equiláteros congruentes. Portanto, sabendo que a área do hexágono MNOPQR é metade da área do triângulo ABC, isto é, (ABC) (MNOPQR), obtemos (MNOPQR) (ABC) (AMN) (BOP) (ABC) (AMN) (BOP) (x) 3 x x x 3 cm. 3 Resposta da questão : De acordo com as afirmações do problema e através dos segmentos AE e BD podemos dividir o polígono em dois triângulos retângulos e oito triângulos equiláteros cujos lados medem 3 cm. No triângulo AFE, temos: AF tg60 AF CD 6 3cm 6 Portanto, a área do polígono ABCDEF será dada por: SABCDEF cm 4 Página 7 de 34
28 Resposta da questão 3: [D] AABCD AEFGH Resposta da questão 4: [C] x x 1 x 144 x 144 Portanto, a área do triângulo será: x 144 A 7. Resposta da questão 5: [A] 3 4 A área sombreada onde será plantada a grama é dada por 4 4 m. Por outro lado, como os quatro triângulos menores são triângulos retângulos pitagóricos de hipotenusa 5 m, segue que a superfície que receberá o piso de cerâmica é um quadrado, cuja área mede 5 5 m. Página 8 de 34
29 Resposta da questão 6: [C] Considere a figura. 1 É fácil ver que (ACD) (ACB) (ABCD). Além disso, como (AMC) (MCD) 1 (ACD). Além disso, (AMCD) (ABC) (AMC) 1 1 (ABCD) (ABCD) (ABCD) 4 3 (MCD) Donde (MCD) (ABCD) (ABCD). 4 Portanto, a área do trapézio é igual ao triplo da área do triângulo. Resposta da questão 7: [B] Pelo Teorema de Menelaus, aplicado no triângulo ABC, vem AM MD, temos que MA DB EC 5 16 EC 1 1 MB DC EA 5 6 EA EC 3 EA 8 Agora, como AB AC AE EC 10, pela propriedade das proporções, temos EC 3 EC EA 3 8 EA 8 EA 3 80 EA. 11 Portanto, sabendo que MAE 60, encontramos 1 (MAE) MA EA senmae Página 9 de 34
30 Resposta da questão 8: [A] d R 10 R 5, onde R é o raio dos semicírculos. Portanto, considerando π 3 a área pedida será dada por: π.5 A Resposta da questão 9: [D] k Área 4 k 3 Perímetro k 8 6. Resposta da questão 30: [C] A razão da P.G. formada pelos raios será dada por 3r 3, portanto o raio da terceira r circunferência será 9r. Calculando agora as áreas assinaladas A 1 e A : A = A 1 + A 9r π π(r) π(3r) A 45π 61π A π r Página 30 de 34
31 Resposta da questão 31: Área total do terreno: 3 km Área que cabe a cada filho: 1 km k 1, 0, 1,5 k 0,5 k m 0, 1 0,5 m 0 m 0,4 A 0,8 1 1 (0,4 x) 1 0,8 x 1, km A 0,8 1 0,5 y 0,8 0,8 y 1,5 km Resposta da questão 3: [C] A área de um ladrilho retangular de 30cm por 40cm é cm, enquanto a área e um ladrilho quadrado de 50cm de lado é cm. Portanto, a menor área que pode ter essa parede, sem que haja espaço ou superposição entre os ladrilhos, é dada por mmc(100, 500) cm 3,0 m. Página 31 de 34
32 Resposta da questão 33: [E] A área destinada à plantação de flores é 1/6 da área do paralelogramo, pois todos os triângulos possuem a mesma área. 1 A A 50m Resposta da questão 34: [B] Admitindo a área do círculo igual à área do quadrado, temos: L π.r L π R Resposta da questão 35: [E] A área A, em quilômetros quadrados, varrida pela onda entre 9 horas e 10 horas é dada por A [(10k) (9k) ] (100k 81k ) 19 k. Resposta da questão 36: [D] Área do retângulo: x.x = 100 x = 10 m. Área do triângulo: 1 x 3x 3.10.x. x = Página 3 de 34
33 Resposta da questão 37: A A A A A A A 8.6 A A 48 6 A unidades de área Resposta da questão 38: a) Considere a figura. Como M é o ponto médio de CD, segue que MD MC. Sabendo que a área do triângulo DPM é um quarto da área do triângulo BMC, obtemos 1 MD h 1 MC H (DPM) (BMC) 4 4 H 4h. b) A área do trapézio em função da altura H do triângulo BMC é dada por AB CD 6 (ABCD) H H 4H. Resposta da questão 39: [B] A A km Página 33 de 34
34 Resposta da questão 40: [E] Pelo Teorema de Pitágoras: x x. Portanto: Aregião m. Página 34 de 34
NOME: CURSO: MATEMÁTICA DATA: / /2013
1. (Upe 013) Dois retângulos foram superpostos, e a intersecção formou um paralelogramo, como mostra a figura abaixo: Sabendo-se que um dos lados do paralelogramo mede,5 cm, quanto mede a área desse paralelogramo?
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