Áreas (Ufg 2012) Uma chapa retangular com

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Áreas 2012. 1. (Ufg 2012) Uma chapa retangular com"

Transcrição

1 Áreas (Ufg 01) Uma chapa retangular com 170 cm de área é perfurada, por etapas, com furos triangulares, equiláteros, com 1 cm de lado, como indica a figura a seguir. O número de furos acrescentados em cada etapa, a partir da segunda, é sempre o mesmo e não há interseção entre os furos. O porcentual da chapa original que restará na etapa 14 é, aproximadamente, Dado: 3 1,7 a) 10% b) 30% c) 70% d) 80% e) 90%. (Espm 01) A figura abaixo mostra um retângulo de lados 7 cm e 8 cm no qual estão contidos os quadrados A, B e C. A medida x pode variar entre 3,5 cm e 7 cm, fazendo com que os lados dos três quadrados se alterem. Dentro desse intervalo, o maior valor que a área do polígono P pode ter é igual a: a) 18 cm b) 15 cm c) 17 cm d) 19 cm e) 16 cm Página 1 de 34

2 3. (Fgv 01) O polígono do plano cartesiano determinado pela relação 3x 4y 1 tem área igual a a) 6. b) 1. c) 16. d) 4. e) (Ueg 01) A figura representa no plano cartesiano um triângulo ABC, com coordenadas A (0,5), B (0,10) e C (x,0), em que x é um número real positivo. Tendo em vista as informações apresentadas, a) encontre a função F que representa a área do triângulo ABC, em função de sua altura relativa ao lado AB; b) esboce o gráfico da função F. 5. (Fgv 01) Considere, no plano cartesiano, o pentágono ABCDE, de vértices A(0, ), B(4, 0), C(π 1, 0), D(π 1, 4) e E(0, 4). Escolhendo aleatoriamente um ponto P no interior desse pentágono, a probabilidade de que o ângulo APB seja obtuso é igual a a) 1 5 b) 1 4 c) 5 16 d) 3 8 e) Página de 34

3 6. (Espm 01) Na figura plana abaixo, ABCD é um quadrado de área 10 cm. Os segmentos CE e CF medem 4 cm cada. Essa figura deverá ser dobrada nas linhas tracejadas, fazendo com que os pontos E e F coincidam com um ponto P do espaço. A distância desse ponto P ao ponto A é igual a: a) 6 cm b) 5 cm c) 4 cm d) 5 cm e) 6 cm 7. (Ufmg 01) Na figura a seguir, o triângulo ABC tem área igual a 16. Os pontos P e Q dividem o segmento AB em três partes iguais, assim como os pontos M e N dividem o segmento BC em três partes iguais. Com base nessas informações, a) Determine a área do triângulo QBN. b) Determine a área do triângulo sombreado PQM. Página 3 de 34

4 8. (Ufu 01) Na Figura 1, o triângulo retângulo ABC possui ângulo reto em B, AF 1cm, AC 10 cm e BDEF é um quadrado. Suponha que o quadrado BDEF seja transladado ao longo de AC, sem alterar a medida dos lados e ângulos ao longo dessa translação, gerando, dessa forma, um novo quadrado XYZW, em que coincidem os pontos C e Z conforme ilustra a Figura. Nessas condições, qual é o valor (em cm ) da área do triângulo HZW? a) 5/ b) 13/4 c) 3/ d) 15/ Página 4 de 34

5 9. (Ufu 01) O número áureo aparece com frequência em proporções ligadas a fenômenos da natureza e em magníficos projetos arquitetônicos. Neste contexto, alguns objetos matemáticos estão associados à elaboração estrutural de tais projetos. Este é o caso do retângulo áureo, cuja razão entre o maior e o menor lado é o número áureo. Uma maneira simples de construir um retângulo áureo é dada pelo seguinte roteiro: 1º) Construa um quadrado ABCD de lados medindo 1 metro e um segmento de reta ligando o ponto médio O do lado AD ao ponto médio do lado BC, oposto ao lado AD. º) Considere a reta r contendo o segmento AD. Com centro em O e raio OC, trace um arco de circunferência do vértice C até intersectar a reta r no ponto F. 3 ) Prolongue BC e trace a perpendicular à r por F, obtendo o ponto E. O retângulo ABEF é áureo. No retângulo áureo ABEF, se o ângulo θ é dado em radianos, então, dentre as expressões que seguem, aquela que corresponde ao valor da área sombreada, em m, é a) 5 θ 8 b) 8 5 θ 8 c) 3 θ 4 d) 5 θ Página 5 de 34

6 10. (G1 - cftmg 01) Se a área de um retângulo, cujos lados são denominados a e b, em que a > b, é igual a 10 m e seu perímetro é igual a 5 m, então, é correto afirmar que a) a b = 0. b) a b =. c) a b = 14. d) a b = (Uftm 01) O trapézio retângulo ABCD representa um terreno, com área de 800 m, situado em certo condomínio. Uma das cláusulas que regulamentam as construções nesse condomínio exige que a área construída, indicada pelo trapézio AECD na figura, ocupe no mínimo 50% e no máximo 70% da área do terreno. Desse modo, determine: a) o intervalo de todos os possíveis valores que x pode assumir para atender à cláusula especificada. b) o valor de x, se a área não construída ocupar 5 da área total do terreno. 1. (Insper 01) O retângulo da figura, cuja base AB mede o triplo da altura BC, foi dividido em três regiões por meio de duas retas paralelas. Os pontos marcados sobre os lados AD e BC dividem esses lados em quatro partes de medidas iguais. Se a área da faixa central á igual à soma das áreas dos triângulos sombreados, então o ângulo é tal que 1 a) tg 4 3 b) tg 10 1 c) tg 3 3 d) tg 8 3 e) tg 5 Página 6 de 34

7 13. (Enem 01) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 m de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos é um trapézio). Avaliando-se todas as informações, serão necessários a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B. b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B. 14. (G1 - cftmg 01) A área de um paralelogramo ABCD é 54 dm. Aumentando-se 6 unidades na sua altura e diminuindo-se 4 unidades na base, sua área aumenta de 6 dm. Dessa forma, a razão entre as medidas da base e da altura desse paralelogramo será a) 3. b). 3 c) 1. d) Página 7 de 34

8 15. (G1 - epcar (Cpcar) 01) Considere a área S da parte sombreada no triângulo retângulo isósceles OO1O. AD, AB e BC são arcos de circunferência com centros em O, O e O 1 respectivamente, cujos raios medem r. Das figuras abaixo, a única em que a área sombreada NÃO é igual a S, é a) Circunferência de diâmetro AB e semicircunferências de diâmetros OA e OB b) Circunferência de centro O c) Circunferência de centro O d) Circunferência de centro O inscrita num quadrado. Dois setores circulares de raio r Página 8 de 34

9 16. (Fgvrj 01) O quadrilátero ABCD é um quadrado e E, F, G e H são os pontos médios dos seus lados. Qual superfície tem maior área: a branca ou a hachurada? 17. (Fgv 01) Na figura abaixo, o ângulo A do triângulo ABC inscrito na circunferência é reto. O lado AB mede 4, e o lado AC mede 5. A área do círculo da figura é: a) 9,75π b) 10π c) 10,5π d) 10,50π e) 10,75π 18. (Enem 01) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 x) (3 y). Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por: a) xy b) 15 3x c) 15 5y d) 5y 3x e) 5y + 3x xy Página 9 de 34

10 19. (G1 - cftmg 01) Na figura seguinte, os pontos A e B pertencem à circunferência de centro O e a reta s é tangente à mesma no ponto A. O valor de x + y + z, em graus, é a) 160. b) 184. c) 196. d) (G1 - cps 01) Para preparar biscoitos circulares, após abrir a massa formando um retângulo de 0 cm de largura por 40 cm de comprimento, dona Maria usou um cortador circular de 4 cm de diâmetro, dispondo-o lado a lado várias vezes sobre toda a massa para cortar os biscoitos, conforme a figura. Considere que: os círculos que estão lado a lado são tangentes entre si e completam todo o retângulo com o padrão apresentado; os círculos das bordas são tangentes aos lados do retângulo. Com a sobra de massa, dona Maria abre um novo retângulo, de mesma espessura que o anterior, para cortar mais biscoitos. Assim sendo, desconsiderando a espessura da massa, as dimensões desse novo retângulo podem ser Dados: área do círculo de raio r: A πr ; adote: π 3. a) 8 cm 30 cm. b) 8 cm 5 cm. c) 9 cm 4 cm. d) 10 cm cm. e) 10 cm 1cm. Página 10 de 34

11 1. (Insper 01) Na figura a seguir, os pontos M, N, O, P, Q e R pertencem aos lados do triângulo equilátero ABC, de perímetro 6 cm, de modo que AM AN x cm; BO BP CQ CR x cm. Se a área do hexágono MNOPQR é metade da área do triângulo ABC, então o valor de x é igual a a) 3. 3 b) 1. c) d) e) (G1 - cftrj 01) O polígono ABCDEF da figura abaixo apresenta 3 pares de lados paralelos e congruentes entre si. Além disso, ED GH IJ KL AB, EF DH HI JK LA BC, AB AL, AFE ˆ BCD ˆ 90 e DEF ˆ 10º. Sabendo que med (FE) 6cm e med (AB) 3cm, determine a área do polígono ABCDEF. Página 11 de 34

12 3. (G1 - ifsc 01) Considere os dois retângulos da figura abaixo. O retângulo ABCD tem cm de largura e 9 cm de comprimento, e o retângulo EFGH tem 4 cm de largura e 1 cm de comprimento. É CORRETO afirmar que a razão da área do retângulo ABCD para a do retângulo EFGH é: a) 3. 4 b) 8. 3 c) 1. d) 3. 8 e) (G1 - utfpr 01) Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares têm o mesmo comprimento e o lado oposto ao ângulo reto mede 1 cm. Qual é a área desse triângulo? a) b) c) d) 1 cm. 4 cm. 7 cm. 144 cm. e) 1 cm. 5. (Ufrn 01) A figura a seguir representa uma área quadrada, no jardim de uma residência. Nessa área, as regiões sombreadas são formadas por quatro triângulos cujos lados menores medem 3 m e 4 m, onde será plantado grama. Na parte branca, será colocado um piso de cerâmica. O proprietário vai ao comércio comprar esses dois produtos e, perguntado sobre a quantidade de cada um, responde: a) 4 m de grama e 5 m de cerâmica. b) c) d) 4 m de grama e 49 m de grama e 49 m de grama e 4 m de cerâmica. 5 m de cerâmica. 4 m de cerâmica. Página 1 de 34

13 6. (Uftm 01) Na figura, A, B, C e D são vértices de um quadrado de lado x, M é o ponto médio do lado AD e MC é o segmento de reta que divide o quadrado em dois polígonos, trapézio AMCB e triângulo MDC. Desse modo, é correto afirmar que a) a área do triângulo é x. 4 x b) a área do trapézio é. 3 c) a área do trapézio é igual ao triplo da área do triângulo. d) a área do quadrado é o triplo da área do triângulo. e) a área do triângulo é 1 x. 7. (Esc. Naval 01) O triângulo da figura abaixo é equilátero, AM MB 5 e CD 6. A área do triângulo MAE vale a) b) c) 100 d) e) 00 Página 13 de 34

14 8. (G1 - ifba 01) A figura a seguir representa o coração perfeito que Jair desenhou para a sua amada. Sabendo que esse coração representa dois semicírculos com o diâmetro em dois lados consecutivos de um quadrado, cuja diagonal mede 5 8 cm,, a área do coração, em cm quadrados, é: a) 175 b) 160 c) 155 d) 140 e) (Ufsj 01) Observe a figura abaixo. A razão entre a área e o perímetro do hexágono regular inscrito na circunferência de diâmetro k é a) 8 3 k 3 b) 3 k 4 c) 8 3 3k d) 3 k 8 Página 14 de 34

15 30. (Epcar (Afa) 01) Conforme a figura abaixo, A é o ponto de tangência das circunferências de centros C, 1 C e C. 3 Sabe-se que os raios dessas circunferências formam uma progressão geométrica crescente. Se os raios das circunferências de centros C 1 e C medem, respectivamente, r e 3r, então a área da região sombreada vale, em unidades de área, 55 a) r 8 π 9 b) r 4 π 61 c) r 8 π d) 8π r 31. (Ufg 01) Três irmãos herdaram uma propriedade rural em Goiás e necessitam repartir as terras. A figura a seguir representa a propriedade, que é retangular, medindo 000 m por 1500 m, e está integralmente utilizada para lavouras e pastagens, exceto a reserva legal mínima de mata nativa, também em formato retangular, com 100 m de comprimento, representada pela região sombreada na figura. As linhas destacadas na figura apresentam uma proposta de partilha das terras em que a região de mata nativa fica dividida em um retângulo e dois triângulos. Considerando-se que os três irmãos devem ficar com propriedades de mesma área e que, para cada uma delas, deve ser garantida a reserva legal mínima de vegetação nativa, que no estado de Goiás é de 0% da área da propriedade, determine quais devem ser as medidas assinaladas por x e y. Página 15 de 34

16 3. (Espm 01) Uma parede retangular pode ser totalmente revestida com ladrilhos retangulares de 30 cm por 40 cm ou com ladrilhos quadrados de 50 cm de lado, inteiros, sem que haja espaço ou superposição entre eles. A menor área que essa parede pode ter é igual a: a) 4,5 m b),5 m c) 3,0 m d) 4,0 m e) 3,5 m 33. (G1 - ifpe 01) O Sr. Joaquim comprou um terreno em um loteamento numa praia do litoral sul de Pernambuco. O terreno tem a forma de um paralelogramo (figura abaixo) com a base medindo 0 metros e a altura medindo 15 metros. Os pontos M e N dividem a diagonal BD em três partes iguais. No triângulo CMN, ele vai cultivar flores. Qual é a área que o Sr. Joaquim destinou para esse cultivo, em m? a) 37 b) 39 c) 45 d) 48 e) (Ufsj 01) A figura acima é conhecida como Homem Vitruviano (Leonardo da Vinci, 1490). Nela, um homem nu aparece inscrito em um quadrado e em um círculo, ambos de mesma área. Considerando R o raio desse círculo e L o lado desse quadrado, é CORRETO afirmar que: a) R = L/ b) π (L/R) c) π L /R d) π L/R Página 16 de 34

17 35. (Uel 01) Considere que um tsunami se propaga como uma onda circular. Se a distância radial percorrida pelo tsunami, a cada intervalo de 1 hora, é de k quilômetros, então a área A, em quilômetros quadrados, varrida pela onda entre 9 horas e 10 horas é dada por: a) b) c) d) e) A k A 9 k A 1 k A 15 k A 19 k 36. (G1 - ifce 01) Na figura abaixo, os segmentos AB, AE e ED possuem o mesmo comprimento. Sendo F o ponto médio do segmento BE e sabendo-se que ABCD é um retângulo de área 00 m, é correto concluir-se que a área do triângulo CDF, em metros quadrados, vale a) 10. b) 100. c) 90. d) 75. e) Página 17 de 34

18 37. (Ufpr 01) Calcule a área do quadrilátero P 1 P P 3 P 4, cujas coordenadas cartesianas são dadas na figura abaixo. 38. (Ufjf 01) Em um trapézio ABCD, com lados AB e CD paralelos, sejam M o ponto médio do segmento CD e S 1 a área do triângulo BMC. a) Considere P o ponto de interseção do segmento AM com BD. Sabendo que a área do triângulo DPM é um quarto da área do triângulo BMC, deduza a relação existente entre a altura H do triângulo BMC relativa à base MC e altura h do triângulo DPM relativa à base MD. b) Sabendo que CD e AB 6, calcule a área do trapézio em função da altura H do triângulo BMC. 39. (Ufpb 01) Um ambientalista, desejando estimar a área de uma região de preservação ambiental, observou em um mapa, com escala de 1 cm para cada 100 km, que o formato da região era, aproximadamente, um triângulo retângulo de catetos medindo cm e 3 cm. Com base nesses dados, conclui-se que a área da região de preservação ambiental era, aproximadamente, de: a) km b) km c) km d) km e) km 40. (Ufrgs 01) Um cilindro tem o eixo horizontal como representado na figura abaixo. Nessa posição, sua altura é de m e seu comprimento, de 5 m. A região sombreada representa a seção do cilindro por um plano horizontal distante 1,5 m do solo. A área dessa superfície é a) 3. b). c) 3. d) 5. e) Página 18 de 34

19 Gabarito: Resposta da questão 1: [E] Sabendo que o lado dos furos mede 1cm, segue que área de cada furo é dada por cm Além disso, o número de furos em cada etapa cresce segundo uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 1 e razão 3. Logo, o número de furos na 14ª etapa é igual a Portanto, o percentual pedido é igual a % 90%. 170 Resposta da questão : [A] Considere a figura. A área do polígono P é dada por (ABCDEG) (ABFG) (CDEF) AG FG CF EF (x 1) (7 x) (8 x) (x 8) 3 (x 10x 19) 3 [(x 5) 5 19] 18 3 (x 5). Portanto, a área do polígono P é máxima para x 5, e seu valor é 18cm. Página 19 de 34

20 Resposta da questão 3: [D] φ, se φ 0 Sabendo que φ, para todo φ real, segue que a relação 3x 4y 1 φ, se φ 0 determina o losango de diagonais 6 e 8, conforme a figura abaixo. Portanto, a área pedida é dada por 68 4 u.a. Resposta da questão 4: 10.x 5x a) F(x) 5x F(x) b) Observe o gráfico a seguir: Página 0 de 34

21 Resposta da questão 5: [C] Para que o ângulo APB seja obtuso, é necessário que P seja um ponto no interior do semicírculo de diâmetro AB, contido no pentágono ABCDE. Desse modo, como a área do semicírculo de diâmetro AB é dada por 1 d A, B 1 4 π π 1 0 π 4 5π u.a. e a área do pentágono ABCDE é igual a π1 π 3 (π 1) 4π 4π 8π u.a., segue que a probabilidade pedida é 5π 5. 8π 16 Resposta da questão 6: [A] Como o quadrado ABCD tem área igual a 10cm, vem que AB 10cm. De acordo com as informações, temos que o segmento PA é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos CP 4cm e AC AB cm. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, obtemos PA AC CP PA (AB ) CP PA 10 4 PA 36 PA 6cm. Resposta da questão 7: AMaior L 16 3x a) Amenor 14ua A Menor l A menor x b) AABC L 16 3x APBM 56ua A PBM l A PBM x Portanto: APBM 56 APQM AQBM APQM 8ua Página 1 de 34

22 Resposta da questão 8: [C] Das relaçơes métricas no triângulo retângulo, vem AB AF AC AB 110 AB 10 cm, e BC CF AC BC 9 10 BC 3 10 cm BF AF CF BF 1 9 BC 3cm. Como os triângulos HZW e ABC săo semelhantes, temos que HW WZ HW 3 AB BC HW 1cm. Portanto, a área pedida é dada por Resposta da questão 9: [A] HW WZ 13 3 cm. Sabendo que AD 1m e O é o ponto médio de AD, do triângulo retângulo ODC, vem 1 OC OD DC OC 1 5 OC m. 4 A área pedida é dada pela diferença entre as áreas do setor circular OFC e do triângulo retângulo ODC, ou seja, OC θ OD DC (OFC) (ODC) 5 1 θ 1 4 5θ m. 8 Página de 34

23 Resposta da questão 10: [C] a b 5 a b 6 b 6 a (1) a b 10 a b 10 a b 10 () a (6 a) 10 a 6 a 10 0 a 6 a 10 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos a = 0 ou a = 6 Se a = 0; b = 6 Se a = 6; b = 0 (não convém, pois a > b). Portanto, a b = 0 6 = 14. Resposta da questão 11: a) De acordo com as informações, segue que x 30 0,5 (ABCD) (AECD) 0,7 (ABCD) m x 6 m. b) Se a área não construída ocupar 5 da área total do terreno, então a área construída ocupará 3 5 da área total. Portanto, o valor de x deve ser tal que 3 x 30 (AECD) x 18 m. Resposta da questão 1: [D] A A 1a 4a 1 A A 48 a 4 A 48 a A 4 a x 3 a 4 a x 8 A Logo, 3a 3 tgα 8a 8 Página 3 de 34

24 Resposta da questão 13: [C] Calculando as áreas dos ambientes, obtemos I S m, S (14 8) 5 30 m, II S III (14 8) (9 5) 4 m e (14 8) 4 SIV 7 35 m. Desse modo, como Jorge quer gastar o mínimo com gás, ele deverá instalar duas unidades do tipo A (ambientes II e III) e duas unidades do tipo B (ambientes I e IV). Resposta da questão 14: [A] b h b h 54 h b b 4 h bh 6b 4h b 4h 30 Resolvendo o sistema, temos: 54 6b b 30b 16 0 b 5b b Resolvendo a equação, temos: b = 9 ou b = 4 (não convém) Se b = 9, então h = 6. Calculando, agora, a razão pedida: b 9 3. h 6 Página 4 de 34

25 Resposta da questão 15: [D] A figura da alternativa [D] é a única que não é equivalente a um semicírculo de raio r, pois é equivalente a um semicírculo de raio r. Resposta da questão 16: A área da superfície branca é dada por AH AE 4 AH. Como EFGH é um quadrado de lado igual a ( AH) AH. AH, segue que a área da superfície hachurada é Portanto, as áreas são iguais. Resposta da questão 17: [C] Se o ângulo CÂB é reto então BC = R onde R é o diâmetro do círculo da figura. BC 4 5 BC 41 Logo, a área do círculo será dada por 41 A π 10,5 π. Página 5 de 34

26 Resposta da questão 18: [E] Como o retângulo de dimensões x y está contido nos retângulos de dimensões 5 y e 3 x, segue que a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por 3x 5y xy. Resposta da questão 19: [B] Como O é o centro da circunferência, o triângulo AOB é isósceles de base AB; portanto, x = 43. A reta t é tangente à circunferência, portanto, 43 + y = 90 ; logo, y = 47. No triângulo AOB, temos: x + x + z = z = 180 z = z = 94. Portanto, valor de x + y + z = = 184. Resposta da questão 0: [B] Total de biscoitos retirados no comprimento: 40/4 =10 Total de biscoitos retirados na largura: 0/4 =5 Total de biscoitos retirados: 5/10 = 50 Área restante em cm : A cm Com 00 cm de massa será possível formar um retângulo de dimensões 8 por 5 cm, já que cm. Página 6 de 34

27 Resposta da questão 1: [A] Se é a medida do lado do triângulo equilátero ABC, então pabc cm. Dado que AM AN xcm e BAC 60, segue que o triângulo AMN é equilátero. Analogamente, concluímos que os triângulos BOP e CRQ são equiláteros congruentes. Portanto, sabendo que a área do hexágono MNOPQR é metade da área do triângulo ABC, isto é, (ABC) (MNOPQR), obtemos (MNOPQR) (ABC) (AMN) (BOP) (ABC) (AMN) (BOP) (x) 3 x x x 3 cm. 3 Resposta da questão : De acordo com as afirmações do problema e através dos segmentos AE e BD podemos dividir o polígono em dois triângulos retângulos e oito triângulos equiláteros cujos lados medem 3 cm. No triângulo AFE, temos: AF tg60 AF CD 6 3cm 6 Portanto, a área do polígono ABCDEF será dada por: SABCDEF cm 4 Página 7 de 34

28 Resposta da questão 3: [D] AABCD AEFGH Resposta da questão 4: [C] x x 1 x 144 x 144 Portanto, a área do triângulo será: x 144 A 7. Resposta da questão 5: [A] 3 4 A área sombreada onde será plantada a grama é dada por 4 4 m. Por outro lado, como os quatro triângulos menores são triângulos retângulos pitagóricos de hipotenusa 5 m, segue que a superfície que receberá o piso de cerâmica é um quadrado, cuja área mede 5 5 m. Página 8 de 34

29 Resposta da questão 6: [C] Considere a figura. 1 É fácil ver que (ACD) (ACB) (ABCD). Além disso, como (AMC) (MCD) 1 (ACD). Além disso, (AMCD) (ABC) (AMC) 1 1 (ABCD) (ABCD) (ABCD) 4 3 (MCD) Donde (MCD) (ABCD) (ABCD). 4 Portanto, a área do trapézio é igual ao triplo da área do triângulo. Resposta da questão 7: [B] Pelo Teorema de Menelaus, aplicado no triângulo ABC, vem AM MD, temos que MA DB EC 5 16 EC 1 1 MB DC EA 5 6 EA EC 3 EA 8 Agora, como AB AC AE EC 10, pela propriedade das proporções, temos EC 3 EC EA 3 8 EA 8 EA 3 80 EA. 11 Portanto, sabendo que MAE 60, encontramos 1 (MAE) MA EA senmae Página 9 de 34

30 Resposta da questão 8: [A] d R 10 R 5, onde R é o raio dos semicírculos. Portanto, considerando π 3 a área pedida será dada por: π.5 A Resposta da questão 9: [D] k Área 4 k 3 Perímetro k 8 6. Resposta da questão 30: [C] A razão da P.G. formada pelos raios será dada por 3r 3, portanto o raio da terceira r circunferência será 9r. Calculando agora as áreas assinaladas A 1 e A : A = A 1 + A 9r π π(r) π(3r) A 45π 61π A π r Página 30 de 34

31 Resposta da questão 31: Área total do terreno: 3 km Área que cabe a cada filho: 1 km k 1, 0, 1,5 k 0,5 k m 0, 1 0,5 m 0 m 0,4 A 0,8 1 1 (0,4 x) 1 0,8 x 1, km A 0,8 1 0,5 y 0,8 0,8 y 1,5 km Resposta da questão 3: [C] A área de um ladrilho retangular de 30cm por 40cm é cm, enquanto a área e um ladrilho quadrado de 50cm de lado é cm. Portanto, a menor área que pode ter essa parede, sem que haja espaço ou superposição entre os ladrilhos, é dada por mmc(100, 500) cm 3,0 m. Página 31 de 34

32 Resposta da questão 33: [E] A área destinada à plantação de flores é 1/6 da área do paralelogramo, pois todos os triângulos possuem a mesma área. 1 A A 50m Resposta da questão 34: [B] Admitindo a área do círculo igual à área do quadrado, temos: L π.r L π R Resposta da questão 35: [E] A área A, em quilômetros quadrados, varrida pela onda entre 9 horas e 10 horas é dada por A [(10k) (9k) ] (100k 81k ) 19 k. Resposta da questão 36: [D] Área do retângulo: x.x = 100 x = 10 m. Área do triângulo: 1 x 3x 3.10.x. x = Página 3 de 34

33 Resposta da questão 37: A A A A A A A 8.6 A A 48 6 A unidades de área Resposta da questão 38: a) Considere a figura. Como M é o ponto médio de CD, segue que MD MC. Sabendo que a área do triângulo DPM é um quarto da área do triângulo BMC, obtemos 1 MD h 1 MC H (DPM) (BMC) 4 4 H 4h. b) A área do trapézio em função da altura H do triângulo BMC é dada por AB CD 6 (ABCD) H H 4H. Resposta da questão 39: [B] A A km Página 33 de 34

34 Resposta da questão 40: [E] Pelo Teorema de Pitágoras: x x. Portanto: Aregião m. Página 34 de 34

NOME: CURSO: MATEMÁTICA DATA: / /2013

NOME: CURSO: MATEMÁTICA DATA: / /2013 1. (Upe 013) Dois retângulos foram superpostos, e a intersecção formou um paralelogramo, como mostra a figura abaixo: Sabendo-se que um dos lados do paralelogramo mede,5 cm, quanto mede a área desse paralelogramo?

Leia mais

maior é de 12π cm, pode-se afirmar que o valor da área da parte hachurada é, em cm 2 : a) 6 π b) 8 π c) 9 π d) 18 π e) 36 π Exercícios

maior é de 12π cm, pode-se afirmar que o valor da área da parte hachurada é, em cm 2 : a) 6 π b) 8 π c) 9 π d) 18 π e) 36 π Exercícios Geometria Plana II Exercícios 1. A figura abaixo é plana e composta por dois trapézios isósceles e um losango. O comprimento da base maior do trapézio ABCD é igual ao da base menor do trapézio EFGH, que

Leia mais

Triângulo Retângulo. Relações Métrica e Teorema de Pitágoras

Triângulo Retângulo. Relações Métrica e Teorema de Pitágoras Triângulo Retângulo Relações Métrica e Teorema de Pitágoras 1. (Pucrj 013) Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a 8 metros a leste de um hidrante, andou 6 metros na direção norte e parou. Assim, a

Leia mais

Colégio Santa Dorotéia

Colégio Santa Dorotéia Colégio Santa Dorotéia Área de Matemática Disciplina: Matemática Série: ª Ensino Médio Professor: Elias Bittar Matemática Atividades para Estudos Autônomos Data: 9 / 0 / 016 1) (UFMG) Observe a figura.

Leia mais

Cevianas: Baricentro, Circuncentro, Incentro e Mediana.

Cevianas: Baricentro, Circuncentro, Incentro e Mediana. Cevianas: Baricentro, Circuncentro, Incentro e Mediana. 1. (Ita 014) Em um triângulo isósceles ABC, cuja área mede 48cm, a razão entre as medidas da altura AP e da base BC é igual a. Das afirmações abaixo:

Leia mais

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES EXERCÍCIO COMPLEMENTARE ÁREA DE FIGURA PLANA PROF.: GILON DUARTE Questão 01 Uma sala retangular tem comprimento x e largura y, em metros. abendo que (x + y) (x y) =, é CORRETO afirmar que a área dessa

Leia mais

Capítulo 6. Geometria Plana

Capítulo 6. Geometria Plana Capítulo 6 Geometria Plana 9. (UEM - 2013 - Dezembro) Com base nos conhecimentos de geometria plana,assinale o que for correto. 01) O maior ângulo interno de um triângulo qualquer nunca possui medida inferior

Leia mais

a) 8 b) 12 c) 16 d) 20 e) 24

a) 8 b) 12 c) 16 d) 20 e) 24 0) (UFRGS) Na figura abaixo, A, B e C são vértices de hexágonos regulares justapostos, cada um com área 8. Segue-se que a área do triângulo cujos vértices são os pontos A, B e C é: a) 8 b) 1 c) 16 d) 0

Leia mais

Polígonos Regulares Inscritos e Circunscritos

Polígonos Regulares Inscritos e Circunscritos Polígonos Regulares Inscritos e Circunscritos 1. (Fgv 013) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele. O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é

Leia mais

Resoluções de Exercícios Gerais de Geometria Plana

Resoluções de Exercícios Gerais de Geometria Plana ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA BÁSICA Resoluções de Eercícios Gerais de Geometria Plana EXERCÍCIOS ENEM. (Enem) Inicialmente, determina-se o perímetro de cada terreno proposto: Terreno : 55 + 5 = 00 m Terreno

Leia mais

Exercícios de Revisão Áreas de figuras Planas 3 o Ano Ensino Médio - Manhã

Exercícios de Revisão Áreas de figuras Planas 3 o Ano Ensino Médio - Manhã Exercícios de Revisão Áreas de figuras Planas 3 o Ano Ensino Médio - Manhã ======================================================== 1) Num retângulo, a base tem cm a mais do que o dobro da altura e a diagonal

Leia mais

REVISITANDO A GEOMETRIA PLANA

REVISITANDO A GEOMETRIA PLANA REVISITANDO A GEOMETRIA PLANA Polígonos são figuras planas fechadas com lados retos. Todo polígono possui os seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados. De acordo com o número de lados a

Leia mais

30's Volume 8 Matemática

30's Volume 8 Matemática 30's Volume 8 Matemática www.cursomentor.com 18 de dezembro de 2013 Q1. Simplique a expressão: Q2. Resolva a expressão: Q3. Calcule o inverso da expressão: ( 3 2 ) 3 16 10 4 8 10 5 10 3 64 10 5 10 6 0,

Leia mais

Relações métricas no triângulo retângulo, Áreas de figuras planas, Prisma e Cilindro.

Relações métricas no triângulo retângulo, Áreas de figuras planas, Prisma e Cilindro. Lista de exercícios de geometria Relações métricas no triângulo retângulo, Áreas de figuras planas, Prisma e Cilindro. 1. A figura abaixo representa um prisma reto, de altura 10 cm, e cuja base é o pentágono

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA PLANA

LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA PLANA LIST E EXERÍIOS E GEOMETRI PLN 01) FUVEST - medida do ângulo inscrito na circunferência de centro O é: a) 125 o b) 110 o c) 120 o 35 d) 100 o O e) 135 o 02) Num triângulo de lados = 12, = 8 e = 10, a medida

Leia mais

Módulo de Áreas de Figuras Planas. Áreas de Figuras Planas: Resultados Básicos. Nono Ano

Módulo de Áreas de Figuras Planas. Áreas de Figuras Planas: Resultados Básicos. Nono Ano Módulo de Áreas de Figuras Planas Áreas de Figuras Planas: Resultados Básicos Nono Ano Exercício. Determine a área de um quadrado a) cujo lado mede 8cm. b) cujo lado mede 7, 1cm. c) cujo lado mede 3cm.

Leia mais

1 SOMA DOS ÂNGULOS 2 QUADRILÀTEROS NOTÀVEIS. 2.2 Paralelogramo. 2.1 Trapézio. Matemática 2 Pedro Paulo

1 SOMA DOS ÂNGULOS 2 QUADRILÀTEROS NOTÀVEIS. 2.2 Paralelogramo. 2.1 Trapézio. Matemática 2 Pedro Paulo Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA IX 1 SOMA DOS ÂNGULOS A primeira (e talvez mais importante) relação válida para todo quadrilátero é a seguinte: A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero

Leia mais

MATEMÁTICA - 3o ciclo Circunferência - ângulos e arcos (9 o ano) Propostas de resolução

MATEMÁTICA - 3o ciclo Circunferência - ângulos e arcos (9 o ano) Propostas de resolução MATEMÁTICA - 3o ciclo Circunferência - ângulos e arcos (9 o ano) Propostas de resolução Exercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. Como o ângulo BDA é reto (porque está inscrito numa semicircunferência),

Leia mais

Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser: (D) 225.

Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser: (D) 225. 1. (ENEM 2000) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura:

Leia mais

2. (Uerj 2001) Um triângulo acutângulo ABC tem 4cm de área e seus lados åæ e åè medem, respectivamente, 2cm e 5cm.

2. (Uerj 2001) Um triângulo acutângulo ABC tem 4cm de área e seus lados åæ e åè medem, respectivamente, 2cm e 5cm. 1 Projeto Jovem Nota 10 1. (Ufv 2001) Seja AB o diâmetro de uma circunferência de raio r, e seja C um ponto da mesma, distinto de A e B, conforme figura a seguir. a) Sendo o ângulo AïC=, determine a área

Leia mais

Questões Gerais de Geometria Plana

Questões Gerais de Geometria Plana Aula n ọ 0 Questões Gerais de Geometria Plana 01. Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa

Leia mais

Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. 8 ano/9 a série E.F.

Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. 8 ano/9 a série E.F. Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales Relações Métricas no Triângulo Retângulo. 8 ano/9 a série E.F. Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales Relações Métricas no Triângulo Retângulo.

Leia mais

Módulo Elementos Básicos de Geometria - Parte 3. Circunferência. Professores: Cleber Assis e Tiago Miranda

Módulo Elementos Básicos de Geometria - Parte 3. Circunferência. Professores: Cleber Assis e Tiago Miranda Módulo Elementos Básicos de Geometria - Parte Circunferência. 8 ano/e.f. Professores: Cleber Assis e Tiago Miranda Elementos Básicos de Geometria - Parte. Circunferência. 1 Exercícios Introdutórios Exercício

Leia mais

Professor Alexandre Assis. Lista de exercícios - Geometria Analítica. 6. Duas pessoas A e B decidem se encontrar em

Professor Alexandre Assis. Lista de exercícios - Geometria Analítica. 6. Duas pessoas A e B decidem se encontrar em 6. Duas pessoas A e B decidem se encontrar em 1. Sendo (x + 2, 2y - 4) = (8x, 3y - 10), determine o valor de x e de y. um determinado local, no período de tempo entre 0h e 1h. Para cada par ordenado (x³,

Leia mais

Circunferência e círculo

Circunferência e círculo 54 Circunferência e círculo Ângulos na circunferência Ângulo central Ângulo central é o ângulo que tem o vértice no centro da circunferência. A medida de um ângulo central é igual à medida do arco correspondente

Leia mais

III. A área do triângulo ABC é igual a r. 2

III. A área do triângulo ABC é igual a r. 2 (Mackenzie SP/1998/Julho) área do triângulo da figura é 5 0 60 Então, supondo 1, 7, o perímetro do triângulo é: a) 7 b) 9 c) 41 d) 4 e) 45 Gab: (PU MG/001) Em certo município, para implantar uma avenida,

Leia mais

EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA II GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA (Ponto, reta e circunferência)

EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA II GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA (Ponto, reta e circunferência) EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA II GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA (Ponto, reta e circunferência) ************************************************************************************* 1) (U.F.PA) Se a distância

Leia mais

Geometria Plana Triângulos Questões Resolvidas (nem todas)

Geometria Plana Triângulos Questões Resolvidas (nem todas) Questão 1 A bissetriz interna do ângulo  de um triângulo ABC divide o lado oposto em dois segmentos que medem 9 cm e 16 cm. Sabendo que medida de. 9 16 = AC = 3 18 AC Questão mede 18 cm, determine a O

Leia mais

b) 1, 0. d) 2, 0. Página 1 de 10

b) 1, 0. d) 2, 0.  Página 1 de 10 Retas: Paralelas, Perpendiculares, Inequações de retas, Sistema de inequações de retas, Distância entre ponto e reta e Distância entre duas retas paralelas. 1. (Insper 014) No plano cartesiano da figura,

Leia mais

Geometria Plana - Lista 1. 1. (utfpr 2015) Calcule o valor de x, em graus, na figura: a) 16 b) 10 c) 20 d) 58 e) 32

Geometria Plana - Lista 1. 1. (utfpr 2015) Calcule o valor de x, em graus, na figura: a) 16 b) 10 c) 20 d) 58 e) 32 1. (utfpr 2015) Calcule o valor de x, em graus, na figura: a) 16 b) 10 c) 20 d) 58 e) 32 2. (Uece 2015) Considere um segmento de reta XY cuja medida do comprimento é 10 cm e P um ponto móvel no interior

Leia mais

Professor Alexandre Assis. Lista de exercícios de Geometria

Professor Alexandre Assis. Lista de exercícios de Geometria 1. O polígono regular representado na figura tem lado de medida igual a 1cm e o ângulo mede 120. 4. Num círculo, inscreve-se um quadrado de lado 7 cm. Sobre cada lado do quadrado, considera-se a semi-circunferência

Leia mais

II - Teorema da bissetriz

II - Teorema da bissetriz I - Teorema linear de Tales Se três ou mais paralelas são cortadas por duas transversais, então os segmentos determinados numa transversal têm medidas que são diretamente proporcionais às dos segmentos

Leia mais

NDMAT Núcleo de Desenvolvimentos Matemáticos

NDMAT Núcleo de Desenvolvimentos Matemáticos 01) (UFPE) Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos e B, como ilustrado na figura abaixo. Para calcular o comprimento B, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está, e medem-se

Leia mais

Propriedade: Num trapézio isósceles os ângulos de uma mesma base são iguais e as diagonais são também iguais.

Propriedade: Num trapézio isósceles os ângulos de uma mesma base são iguais e as diagonais são também iguais. 125 19 QUADRILÁTEROS Propriedades 1) Num quadrilátero qualquer ABCD a soma dos ângulos internos é 1800. 2) Um quadrilátero ABCD é inscritível quando seus vértices pertence a uma mesma circunferência. 3)

Leia mais

Teste de Avaliação Escrita

Teste de Avaliação Escrita Teste de Avaliação Escrita Duração: 90 minutos 19 de fevereiro de 014 Escola E.B.,3 Eng. Nuno Mergulhão Portimão Ano Letivo 013/014 Matemática 9.º B Nome: N.º Classificação: Fraco (0% 19%) Insuficiente

Leia mais

Projeto Rumo ao ITA Exercícios estilo IME

Projeto Rumo ao ITA Exercícios estilo IME PROGRAMA IME ESPECIAL 1991 GEOMETRIA ESPACIAL PROF PAULO ROBERTO 01 (IME-64) Um cone circular reto, de raio da base igual a R e altura h, está circunscrito a 1 1 uma esfera de raio r Provar que = rh r

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA CONCURSO DE ADMISSÃO 2013/2014 1º ANO DO ENSINO MÉDIO

PROVA DE MATEMÁTICA CONCURSO DE ADMISSÃO 2013/2014 1º ANO DO ENSINO MÉDIO CONCURSO DE ADMISSÃO 2013/2014 PROVA DE MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO CONFERÊNCIA: Membro da CEOCP (Mat / 1º EM) Presidente da CEI Dir Ens CPOR / CMBH PÁGINA 1 RESPONDA AS QUESTÕES DE 1 A 20 E TRANSCREVA

Leia mais

a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70

a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70 Geometria Plana I Exercícios TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: O revestimento do piso de um ambiente, com a utilização de tacos de madeira, pode ser feito formando desenhos que constituam um elemento decorativo

Leia mais

7) (F.C.CHAGAS) Determine a área da região hachurada nos casos:

7) (F.C.CHAGAS) Determine a área da região hachurada nos casos: EXERCÍCIOS - PARTE 1 1) (PUC) Se a área do retângulo é de 32 cm 2 e os triângulos formados são isósceles, então o perímetro do pentágono hachurado, em cm, é: 39 a) b) 10+7 2 c) 10 + 12 2 d) 32 e) 70 2

Leia mais

NOTAÇÕES. : distância do ponto P à reta r : segmento de extremidades nos pontos A e B

NOTAÇÕES. : distância do ponto P à reta r : segmento de extremidades nos pontos A e B R C i z Rez) Imz) det A tr A : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos : unidade imaginária: i = 1 : módulo do número z C : parte real do número z C : parte imaginária do número z C

Leia mais

A área do triângulo OAB esboçado na figura abaixo é

A área do triângulo OAB esboçado na figura abaixo é Questão 01 - (UNICAMP SP) No plano cartesiano, a reta de equação = 1 intercepta os eios coordenados nos pontos A e B. O ponto médio do segmento AB tem coordenadas (4, 4/) b) (, ) c) (4, 4/) d) (, ) Questão

Leia mais

Lista de Exercícios Geometria Plana - Pontos notáveis do triângulo 3ª Série do Ensino Médio Prof. Lucas Factor

Lista de Exercícios Geometria Plana - Pontos notáveis do triângulo 3ª Série do Ensino Médio Prof. Lucas Factor Lista de Exercícios Geometria Plana - Pontos notáveis do triângulo 3ª Série do Ensino Médio Prof. Lucas Factor 1. Considere os pontos notáveis de um triângulo, sendo: B Baricentro C Circuncentro I Incentro

Leia mais

01) 45 02) 46 03) 48 04) 49,5 05) 66

01) 45 02) 46 03) 48 04) 49,5 05) 66 PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - ABRIL DE 0. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Questão 0 Sobre a função

Leia mais

Cônicas. 2. (Fuvest 2014) Considere a circunferência λ de equação cartesiana parábola α de equação. x y 4y 0 e a. y 4 x.

Cônicas. 2. (Fuvest 2014) Considere a circunferência λ de equação cartesiana parábola α de equação. x y 4y 0 e a. y 4 x. Cônicas 1. (Espcex (Aman) 014) Sobre a curva 9x + 5y 6x + 50y 164 = 0, assinale a alternativa correta. a) Seu centro é (,1). b) A medida do seu eixo maior é 5. c) A medida do seu eixo menor é 9. d) A distância

Leia mais

Projeto Jovem Nota 10 Geometria Analítica Circunferência Lista 1 Professor Marco Costa

Projeto Jovem Nota 10 Geometria Analítica Circunferência Lista 1 Professor Marco Costa 1 1. (Fgv 2005) No plano cartesiano, considere o feixe de paralelas 2x + y = c em que c Æ R. a) Qual a reta do feixe com maior coeficiente linear que intercepta a região determinada pelas inequações: ýx

Leia mais

A área construída da bandeirinha APBCD, em cm 2, é igual a: a) b) c) d)

A área construída da bandeirinha APBCD, em cm 2, é igual a: a) b) c) d) 1 Para confeccionar uma bandeirinha de festa junina, utilizou-se um pedaço de papel com 10 cm de largura e 15 cm de comprimento, obedecendo-se às instruções abaixo 1 Dobrar o papel ao meio, Dobrar a ponta

Leia mais

CONCURSO DE ADMISSÃO AO COLÉGIO MILITAR DO RECIFE - 96 / 97 MÚLTIPLA ESCOLHA

CONCURSO DE ADMISSÃO AO COLÉGIO MILITAR DO RECIFE - 96 / 97 MÚLTIPLA ESCOLHA 18 1 a QUESTÃO. (VALOR: 0 ESCORES) - ESCORES OBTIDOS MÚLTIPLA ESCOLHA ESCOLHA A ÚNICA RESPOSTA CERTA, ASSINALANDO-A COM X NOS PARÊNTESES ABAIXO. Item 01. A representação gráfica de M ( M N) P é a. ( )

Leia mais

Lista de exercícios do teorema de Tales

Lista de exercícios do teorema de Tales Componente Curricular: Professor(a): PAULO CEZAR Turno: Data: Matemática Matutino / /2014 Aluno(a): Nº do Aluno: Série: Turma: 8ª (81) (82) Sucesso! Lista de Exercícios Lista de exercícios do teorema de

Leia mais

Lista de Geometria 1 - Professor Habib

Lista de Geometria 1 - Professor Habib Lista de Geometria 1 - Professor Habib b) Para que valores de x e de y a área ocupada pela casa será máxima? 1. Na figura a seguir, as medidas são dadas em cm. Sabendo que m//n//t, determine o valor de

Leia mais

Relações métricas nos triângulos retângulos 1) Usando o teorema de Pitágoras, determine os elementos indicados por x ou y nas figuras seguintes:

Relações métricas nos triângulos retângulos 1) Usando o teorema de Pitágoras, determine os elementos indicados por x ou y nas figuras seguintes: AS RESPOSTAS ESTÃO NO FINAL DOS EXERCÍCIOS. Relações métricas nos triângulos retângulos ) Usando o teorema de Pitágoras, determine os elementos indicados por ou nas figuras seguintes: d) e) f) g) h) 0

Leia mais

ESTRATÉGIAS PARA CÁLCULO DE ÁREAS DESCONHECIDAS

ESTRATÉGIAS PARA CÁLCULO DE ÁREAS DESCONHECIDAS 1 MATEMÁTICA III º ANO ESTRATÉGIAS PARA CÁLCULO DE ÁREAS DESCONHECIDAS 1. Após assistir ao programa Ecoprático, da TV Cultura, em que foi abordado o tema do aproveitamento da iluminação e da ventilação

Leia mais

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 3. Questão 2. Questão 4. alternativa A. alternativa E. alternativa E

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 3. Questão 2. Questão 4. alternativa A. alternativa E. alternativa E Questão TIPO DE PROVA: A Uma empresa entrevistou k candidatos a um determinadoempregoerejeitouumnúmerode candidatos igual a 5 vezes o número de candidatos aceitos. Um possível valor para k é: a) 56 b)

Leia mais

Gabarito - Colégio Naval 2016/2017 Matemática Prova Amarela

Gabarito - Colégio Naval 2016/2017 Matemática Prova Amarela Gabarito - Colégio Naval 016/017 PROFESSORES: Carlos Eduardo (Cadu) André Felipe Bruno Pedra Jean Pierre QUESTÃO 1 Considere uma circunferência de centro O e raio r. Prolonga-se o diâmetro AB de um comprimento

Leia mais

Lista de exercícios para a P8 Conteúdo: Pontos notáveis do triângulo, quadriláteros e polígonos. Prof. Rafa, Prof. Bill, Prof. Marcelo C. e Marcelo L.

Lista de exercícios para a P8 Conteúdo: Pontos notáveis do triângulo, quadriláteros e polígonos. Prof. Rafa, Prof. Bill, Prof. Marcelo C. e Marcelo L. Lista de exercícios para a P8 Conteúdo: Pontos notáveis do triângulo, quadriláteros e polígonos. Prof. Rafa, Prof. Bill, Prof. Marcelo C. e Marcelo L. Mas antes de começar, atente para as seguintes dicas:

Leia mais

Lista de Exercícios de Recuperação de MATEMÁTICA 2. NOME Nº SÉRIE: DATA 4 BIMESTRE PROFESSOR : Denis Rocha DISCIPLINA : Matemática 2 VISTO COORDENAÇÃO

Lista de Exercícios de Recuperação de MATEMÁTICA 2. NOME Nº SÉRIE: DATA 4 BIMESTRE PROFESSOR : Denis Rocha DISCIPLINA : Matemática 2 VISTO COORDENAÇÃO Lista de Exercícios de Recuperação de MTEMÁTIC NME Nº SÉRIE: DT 4 IMESTRE RFESSR : Denis Rocha DISCILIN : Matemática VIST CRDENÇÃ EM no ) Na figura abaixo 0 e a distância entre o centro da circunferência

Leia mais

1º Ano do Ensino Médio

1º Ano do Ensino Médio MINISTÉRIO DA DEFESA Manaus AM 18 de outubro de 009. EXÉRCITO BRASILEIRO CONCURSO DE ADMISSÃO 009/010 D E C E x - D E P A COLÉGIO MILITAR DE MANAUS MATEMÁTICA 1º Ano do Ensino Médio INSTRUÇÕES (CANDIDATO

Leia mais

Terceira lista de exercícios.

Terceira lista de exercícios. MA092 Geometria plana e analítica Segundo semestre de 2016 Terceira lista de exercícios. Polígonos. Quadriláteros notáveis. Pontos notáveis do triângulo. 1. (Dolce/Pompeo) Determine o valor de xx nas figuras

Leia mais

UNIVERSITÁRIO DE SINOP CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

UNIVERSITÁRIO DE SINOP CURSO DE ENGENHARIA CIVIL Exercícios propostos: aulas 01 e 02 GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO GA - LISTA DE EXERCÍCIOS 001 1. Calcular o perímetro do triângulo ABC, sendo dado A = (2, 1), B = (-1, 3) e C = (4, -2). 2. Provar que

Leia mais

Nome: N.º: Endereço: Data: Telefone: PARA QUEM CURSA O 9 Ọ ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL EM 2016 Disciplina: MATEMÁTICA

Nome: N.º: Endereço: Data: Telefone:   PARA QUEM CURSA O 9 Ọ ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL EM 2016 Disciplina: MATEMÁTICA Nome: N.º: Endereço: Data: Telefone: E-mail: Colégio PARA QUEM CURSA O 9 Ọ ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL EM 06 Disciplina: MATEMÁTICA Prova: DESAFIO NOTA: QUESTÃO 6 Analise cada item com atenção: I. O antecedente

Leia mais

UNICAMP - 2005. 2ª Fase MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR

UNICAMP - 2005. 2ª Fase MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR UNICAMP - 2005 2ª Fase MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR Matemática Questão 01 São conhecidos os valores calóricos dos seguintes alimentos: uma fatia de pão integral, 55 kcal; um litro de leite,

Leia mais

1.1 UFPR 2014. Rumo Curso Pré Vestibular Assistencial - RCPVA Disciplina: Matemática Professor: Vinícius Nicolau 04 de Novembro de 2014

1.1 UFPR 2014. Rumo Curso Pré Vestibular Assistencial - RCPVA Disciplina: Matemática Professor: Vinícius Nicolau 04 de Novembro de 2014 Sumário 1 Questões de Vestibular 1 1.1 UFPR 2014.................................... 1 1.1.1 Questão 1................................. 1 1.1.2 Questão 2................................. 2 1.1.3 Questão

Leia mais

Matemática Fascículo 07 Manoel Benedito Rodrigues

Matemática Fascículo 07 Manoel Benedito Rodrigues Matemática Fascículo 07 Manoel Benedito Rodrigues Índice Geometria Resumo Teórico...1 Exercícios...4 Dicas...5 Resoluções...7 Geometria Resumo Teórico 1. O volume de um prisma eodeumcilindro (retos ou

Leia mais

O número mínimo de usuários para que haja lucro é 27.

O número mínimo de usuários para que haja lucro é 27. MATEMÁTICA d Um reservatório, com 0 litros de capacidade, já contém 0 litros de uma mistura gasolina/álcool com 8% de álcool. Deseja-se completar o tanque com uma nova mistura gasolina/álcool de modo que

Leia mais

Lista de Exercícios: Geometria Plana. Um triângulo isósceles tem base medindo 8 cm e lados iguais com medidas de 5 cm. A área deste triângulo é:

Lista de Exercícios: Geometria Plana. Um triângulo isósceles tem base medindo 8 cm e lados iguais com medidas de 5 cm. A área deste triângulo é: Lista de Exercícios: Geometria Plana Questão 1 Um triângulo isósceles tem base medindo 8 cm e lados iguais com medidas de 5 cm. A área deste triângulo é: A( ) 20 cm 2. B( ) 10 cm 2. C( ) 24 cm 2. D( )

Leia mais

10 FGV. Na figura, a medida x do ângulo associado é

10 FGV. Na figura, a medida x do ângulo associado é urso de linguagem matemática Professor Renato Tião 6. Sabendo que ângulos geométricos têm medidas entre 0º e 180º, ângulos adjacentes têm um lado em comum, ângulos complementares têm a soma de suas medidas

Leia mais

1 ÁREA DO CÍRCULO E SUAS PARTES

1 ÁREA DO CÍRCULO E SUAS PARTES Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA XVII 1 ÁREA DO CÍRCULO E SUAS PARTES As principais figuras curvas que aparecem na Geometria Plana são o círculo e as suas partes. A seguir, nós vamos ver como calcular

Leia mais

TERCEIRA SÉRIE ENSINO MÉDIO INTEGRADO. CIRCUNFERÊNCIA E DISCO Prof. Rogério Rodrigues NOME :... NÚMERO :... TURMA :...

TERCEIRA SÉRIE ENSINO MÉDIO INTEGRADO. CIRCUNFERÊNCIA E DISCO Prof. Rogério Rodrigues NOME :... NÚMERO :... TURMA :... 1 TERCEIRA SÉRIE ENSINO MÉDIO INTEGRADO CIRCUNFERÊNCIA E DISCO Prof. Rogério Rodrigues NOME :... NÚMERO :... TURMA :... 2 V - CIRCUNFERÊNCIA E DISCO V.1) Circunferência e Disco Elementos : a) Circunferência

Leia mais

Lista de Estudo P2 Matemática 2 ano

Lista de Estudo P2 Matemática 2 ano Lista de Estudo P2 Matemática 2 ano 24) Dada a figura a seguir e sabendo-se que os dois quadrados possuem lados iguais a 4cm, sendo O o centro de um deles, quanto vale a área da parte preenchida? a) 100.

Leia mais

= 1 1 1 1 1 1. Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até três pontos, e o B vale até sete pontos.

= 1 1 1 1 1 1. Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até três pontos, e o B vale até sete pontos. VTB 008 ª ETAPA Solução Comentada da Prova de Matemática 0 Em uma turma de alunos que estudam Geometria, há 00 alunos Dentre estes, 30% foram aprovados por média e os demais ficaram em recuperação Dentre

Leia mais

Assunto: Estudo do ponto

Assunto: Estudo do ponto Assunto: Estudo do ponto 1) Sabendo que P(m+1;-3m-4) pertence ao 3º quadrante, determine os possíveis valores de m. resp: -4/3

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ BIBLIOTECA DE OBJETOS MATEMÁTICOS COORDENADOR: Dr. MARCIO LIMA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ BIBLIOTECA DE OBJETOS MATEMÁTICOS COORDENADOR: Dr. MARCIO LIMA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ BIBLIOTECA DE OBJETOS MATEMÁTICOS COORDENADOR: Dr. MARCIO LIMA TEXTO: CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO AUTORES: Mayara Brito (estagiária da BOM) André Brito (estagiário da BOM) ORIENTADOR:

Leia mais

QUESTÃO 16 Dois garotos, tentando pular um muro, encostaram um banco de 50 cm de altura no muro e colocaram uma escada sobre ele, conforme a figura.

QUESTÃO 16 Dois garotos, tentando pular um muro, encostaram um banco de 50 cm de altura no muro e colocaram uma escada sobre ele, conforme a figura. Nome: N.º: endereço: data: Telefone: E-mail: Colégio PARA QUEM CURSA O 9 Ọ ANO EM 0 Disciplina: MaTeMÁTiCa Prova: desafio nota: QUESTÃO 6 Dois garotos, tentando pular um muro, encostaram um banco de 50

Leia mais

Exercícios de 11.º ano nos Testes Intermédios TRIGONOMETRIA

Exercícios de 11.º ano nos Testes Intermédios TRIGONOMETRIA Escola Secundária de Francisco Franco Exercícios de 11.º ano nos Testes Intermédios TRIGONOMETRIA 1. Na figura está representado o círculo trigonométrico e um triângulo [OPR]. O ponto P desloca-se ao longo

Leia mais

Projeto Rumo ao ITA Exercícios estilo IME

Projeto Rumo ao ITA Exercícios estilo IME EXERÍIOS DE GEOMETRI PLN REVISÃO 1991 PROF PULO ROERTO 01 (IME-64) Uma corda corta o diâmetro de um círculo segundo um ângulo de 45º Demonstrar que a soma do quadrado dos segmentos aditivos m e n, com

Leia mais

Prof Alexandre Assis profalexandreassis@hotmail.com

Prof Alexandre Assis profalexandreassis@hotmail.com 1 1. Um bloco retangular (isto é, um paralelepípedo reto-retângulo) de base quadrada de lado 4 cm e altura 20Ë3 cm, com 2/3 de seu volume cheio de água, está inclinado sobre uma das arestas da base, formando

Leia mais

Novo Espaço Matemática A 11.º ano Proposta de Teste Intermédio [Novembro 2015]

Novo Espaço Matemática A 11.º ano Proposta de Teste Intermédio [Novembro 2015] Proposta de Teste Intermédio [Novembro 05] Nome: Ano / Turma: N.º: Data: - - Não é permitido o uso de corretor. Deves riscar aquilo que pretendes que não seja classificado. Para cada resposta, identifica

Leia mais

SIMULADO. Matemática 1 (UFCG-PB) 2 (IBMEC)

SIMULADO. Matemática 1 (UFCG-PB) 2 (IBMEC) (UFCG-PB) (IBMEC) Um jornalista anuncia que, em determinado momento, o público presente em um comício realizado numa praça com formato do trapézio isósceles ABCD, com bases medindo 00 m e 40 m (vide figura

Leia mais

3. (Uerj 98) a) Calcule o comprimento da corda AB, do círculo original, em função de R e m.

3. (Uerj 98) a) Calcule o comprimento da corda AB, do círculo original, em função de R e m. 1. (Unicamp 91) Uma esfera de raio 1 é apoiada no plano xy de modo que seu pólo sul toque a origem desse plano. Tomando a reta que liga o pólo norte dessa esfera a qualquer outro ponto da esfera, chamamos

Leia mais

Consideremos um triângulo de lados a,b e c. Temos duas possibilidades: ou o triângulo é acutângulo ou é obtusângulo. Vejamos:

Consideremos um triângulo de lados a,b e c. Temos duas possibilidades: ou o triângulo é acutângulo ou é obtusângulo. Vejamos: Lei dos Cossenos Consideremos um triângulo de lados a,b e c. Temos duas possibilidades: ou o triângulo é acutângulo ou é obtusângulo. Vejamos: Triângulo Obtusângulo Tomemos um triângulo Obtusângulo qualquer,

Leia mais

Lista de GEOMETRIA 1 REVISÃO DE FÉRIAS

Lista de GEOMETRIA 1 REVISÃO DE FÉRIAS 1. (G1 - utfpr) O valor de x no pentágono abaixo é igual a: c) 111 d) 115 e) 117 5. (G1 - utfpr) Calcule o valor de x, em graus, na figura: a) 25. b) 40. c) 250. d) 540. e) 1.000. 2. (G1 - ifsul) As medidas

Leia mais

QUESTÕES DE 01 A 08. Assinale as proposições verdadeiras, some os valores obtidos e marque os resultados na Folha de Respostas.

QUESTÕES DE 01 A 08. Assinale as proposições verdadeiras, some os valores obtidos e marque os resultados na Folha de Respostas. PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - ABRIL DE 010. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA QUESTÕES DE 01 A

Leia mais

Projeto Jovem Nota 10 Geometria Analítica Circunferência Lista 3 Professor Marco Costa

Projeto Jovem Nota 10 Geometria Analítica Circunferência Lista 3 Professor Marco Costa 1 1. (Fgv 97) Uma empresa produz apenas dois produtos A e B, cujas quantidades anuais (em toneladas) são respectivamente x e y. Sabe-se que x e y satisfazem a relação: x + y + 2x + 2y - 23 = 0 a) esboçar

Leia mais

para x = 111 e y = 112 é: a) 215 b) 223 c) 1 d) 1 e) 214 Resolução Assim, para x = 111 e y = 112 teremos x + y = 223.

para x = 111 e y = 112 é: a) 215 b) 223 c) 1 d) 1 e) 214 Resolução Assim, para x = 111 e y = 112 teremos x + y = 223. MATEMÁTICA d Um mapa está numa escala :0 000 000, o que significa que uma distância de uma unidade, no mapa, corresponde a uma distância real de 0 000 000 de unidades. Se no mapa a distância entre duas

Leia mais

a, em que a e b são inteiros tais que a é divisor de 3

a, em que a e b são inteiros tais que a é divisor de 3 Matemática 0. Considere a expressão x x 3 5x x 6. Pede-se: A) encontrar o valor numérico da expressão para x. B) obter todas as raízes complexas do polinômio p(x) x x 3 5x x 6. Questão 0 Comentários: A

Leia mais

1 PONTOS NOTÁVEIS. 1.1 Baricentro. 1.3 Circuncentro. 1.2 Incentro. Matemática 2 Pedro Paulo

1 PONTOS NOTÁVEIS. 1.1 Baricentro. 1.3 Circuncentro. 1.2 Incentro. Matemática 2 Pedro Paulo Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA VIII 1 PONTOS NOTÁVEIS 1.1 Baricentro O baricentro é o encontro das medianas de um triângulo. Na figura abaixo, é o ponto médio do lado, é o ponto médio do lado

Leia mais

ESCOLA ESTADUAL DR. JOSÉ MARQUES DE OLIVEIRA - ANO 2013 RECUPERAÇÃO ESTUDOS INDENPENDENTES

ESCOLA ESTADUAL DR. JOSÉ MARQUES DE OLIVEIRA - ANO 2013 RECUPERAÇÃO ESTUDOS INDENPENDENTES ESCOLA ESTADUAL DR. JOSÉ MARQUES DE OLIVEIRA - ANO 2013 RECUPERAÇÃO ESTUDOS INDENPENDENTES Nome Nº Turma 3 EJAS Data / / Nota Disciplina Matemática Prof. Elaine e Naísa Valor 30 Instruções: TRABALHO DE

Leia mais

ABCD ADEF 810. é a corda da circunferência contida no eixo Oy. é uma corda da circunferência, paralela ao eixo Ox

ABCD ADEF 810. é a corda da circunferência contida no eixo Oy. é uma corda da circunferência, paralela ao eixo Ox Ficha de Trabalho n.º 3 página.1. Mostre que o ponto C tem coordenadas ( 09, ) e que o ponto D tem coordenadas ( 8, 9 )... Determine uma equação da mediatriz do segmento AD. Apresente a sua resposta na

Leia mais

Geometria Espacial. Revisão geral

Geometria Espacial. Revisão geral Geometria Espacial Revisão geral Considere o poliedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um cubo. O número de faces triangulares e o número de faces quadradas desse poliedro são, respectivamente:

Leia mais

PROFESSOR: EQUIPE DE MATEMÁTICA

PROFESSOR: EQUIPE DE MATEMÁTICA PROFESSOR: EQUIPE DE MATEMÁTICA BANCO DE QUESTÕES - GEOMETRIA - 9º ANO - ENSINO FUNDAMENTAL ============================================================================================= 01- Um reservatório

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano 2015 - Época especial

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano 2015 - Época especial Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 1o Ano 015 - Época especial Proposta de resolução GRUPO I 1. Como P A B = P A + P B P A B, substituindo os valores conhecidos, podemos calcular P A: 0,7 = P A + 0,4 0, 0,7

Leia mais

Professor Alexandre Assis. 1. O hexágono regular ABCDEF é base da pirâmide VABCDEF, conforme a figura.

Professor Alexandre Assis. 1. O hexágono regular ABCDEF é base da pirâmide VABCDEF, conforme a figura. 1. O hexágono regular ABCDEF é base da pirâmide VABCDEF, conforme a figura. A aresta VA é perpendicular ao plano da base e tem a mesma medida do segmento AD. O seguimento AB mede 6 cm. Determine o volume

Leia mais

Desenho Técnico e Geometria Descritiva Construções Geométricas. Construções Geométricas

Desenho Técnico e Geometria Descritiva Construções Geométricas. Construções Geométricas Desenho Técnico e Geometria Descritiva Prof. Luiz Antonio do Nascimento Engenharia Ambiental 2º Semestre Bissetriz - é a reta que divide um ângulo qualquer em dois ângulos iguais, partindo do vértice deste

Leia mais

5-(UFMA MA-98) Num triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 4cm e 1cm respectivamente. A área desse triângulo mede:

5-(UFMA MA-98) Num triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 4cm e 1cm respectivamente. A área desse triângulo mede: Relações Métricas nos Triângulos Retângulos Professor lístenes unha 1-(Mack SP-97) Num triângulo, retângulo, um cateto é o dobro do outro. Então a razão entre o maior e o menor dos segmentos determinados

Leia mais

MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 24 CIRCUNFERÊNCIA

MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 24 CIRCUNFERÊNCIA MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 24 CIRCUNFERÊNCIA r (a, b) P R C P R C P R C Como pode cair no enem (UFRRJ) Em um circo, no qual o picadeiro tem no plano cartesiano a forma de um círculo de equação igual a

Leia mais

Aula 2 - Revisão. Claudemir Claudino 2014 1 Semestre

Aula 2 - Revisão. Claudemir Claudino 2014 1 Semestre Aula 2 - Revisão I Parte Revisão de Conceitos Básicos da Matemática aplicada à Resistência dos Materiais I: Relações Trigonométricas, Áreas, Volumes, Limite, Derivada, Integral, Vetores. II Parte Revisão

Leia mais

GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I Alguns exercícios saídos em provas globais, exames e testes intermédios

GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I Alguns exercícios saídos em provas globais, exames e testes intermédios Escola Secundária de Francisco Franco Matemática A 10.º ano GEMETRIA N PLAN E N ESPAÇ I Alguns eercícios saídos em provas globais, eames e testes intermédios 1. Num referencial o.n. z, a intersecção das

Leia mais

2.1 - Triângulo Equilátero: é todo triângulo que apresenta os três lados com a mesma medida. Nesse caso dizemos que os três lados são congruentes.

2.1 - Triângulo Equilátero: é todo triângulo que apresenta os três lados com a mesma medida. Nesse caso dizemos que os três lados são congruentes. Matemática Básica 09 Trigonometria 1. Introdução A palavra Trigonometria tem por significado do grego trigonon- triângulo e metron medida, associada diretamente ao estudo dos ângulos e lados dos triângulos,

Leia mais

RESPONDA AS QUESTÕES DE 01 A 20 E TRANSCREVA AS RESPOSTAS CORRETAS PARA O CARTÃO-RESPOSTA

RESPONDA AS QUESTÕES DE 01 A 20 E TRANSCREVA AS RESPOSTAS CORRETAS PARA O CARTÃO-RESPOSTA CONCURSO DE ADMISSÃO 2014/2015 PROVA DE MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO CONFERÊNCIA: Chefe da Subcomissão de Matemática Dir Ens CPOR / CM-BH PÁGINA 1 RESPONDA AS QUESTÕES DE 01 A 20 E TRANSCREVA AS RESPOSTAS

Leia mais

ABCDE é um pentágono regular e ABF é um triângulo equilátero interior ao pentágono. Calcule os ângulos internos

ABCDE é um pentágono regular e ABF é um triângulo equilátero interior ao pentágono. Calcule os ângulos internos GABARITO MA13 - Avaliação 1 - o semestre - 013 Questão 1. (pontuação: ) ABCDE é um pentágono regular e ABF é um triângulo equilátero interior ao pentágono. Calcule os ângulos internos do triângulo AF C.

Leia mais