Curso de Controle Discreto 1 Pe. Pedro M. Guimarães Ferreira S.J.

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1 Curso de Controle Discreto Pe Pedro M Guimarães Ferreira SJ (Texto básico deste curso: Katsuiko Ogata, Discrete-time Control Systems Prentice- Hall, Second Edition, 995) Capítulo Introdução ao Controle de Sistemas de Tempo Discreto Introdução Nos últimos 5 anos tem havido um aumento rápido, explosivo, do uso do controle digital em Controle de Sistemas Efetivamente, muitos sistemas industriais incluem computadores digitais, ou simples processadores, como parte integrante de sua operação Tomem-se como exemplo os robôs, a otimização de combustíveis nos automóveis, o controle das refinarias de petróleo, dos sistemas de energia elétrica, etc A substituição gradual e rápida nestes muitos anos dos controladores analógicos pelos digitais se deve ao preço cada vez menor dos computadores e processadores digitais bem como à maior facilidade de se trabalhar com sinais digitais do que com sinais de tempo contínuo Tipos de sinais Um sinal de tempo contínuo é aquele em que o domínio da variável livre, o tempo (t), é contínuo, mesmo que a amplitude do sinal não seja contínua Exemplo: os sinais (a) e (b) da Fig abaixo Um sinal de tempo contínuo pode ser analógico ou quantizado Ele é dito analógico quando as amplitudes do sinal podem assumir valores contínuos, como no exemplo (a) da figura E ele é dito quantizado quando a amplitude do sinal pode assumir apenas um número finito de valores, como no exemplo (b) da figura Observe-se que o termo analógico é, muitas vezes, na linguagem corrente, confundido com contínuo Ao longo deste texto, seguindo o autor, e quando o contexto não deixar dúvidas, usaremos, às vezes, um termo pelo outro Um sinal de tempo discreto é definido somente em instantes particulares ( discretos ) do tempo; ou por outras palavras, a variável independente t (tempo) é quantizada Em um sinal de tempo discreto, se a amplitude do sinal puder assumir qualquer valor, então o sinal é dito amostrado, como na figura (c) Ele pode ser obtido, como o nome está dizendo, a partir de um sinal de tempo contínuo, tomando-se amostras de sua amplitude em determinados instantes do tempo Em um sinal de tempo discreto, se a sua amplitude for quantizada, isto é, só puder assumir certos valores, então se diz que se trata de um sinal digital, conforme a figura (d) Portanto, um sinal digital é quantizado em amplitude e no tempo O uso de controles digitais exige sinais deste último tipo, ou seja, quantizados na amplitude e no tempo Na prática, os termos sinal de tempo discreto e sinal digital são intercambiados, sem prejuízo da clareza devido ao contexto Frequentemente o termo sinal de tempo discreto é usado nos textos mais teóricos, enquanto o termo sinais digitais é mais usado no contexto das realizações de hardware e software

2 Em engenharia de controles, o objeto controlado é uma planta ou processo, observando-se que estes termos podem se referir a realidades físicas, ou não, como por exemplo, nos processos econômicos A maioria das plantas físicas, químicas e biológicas tem entradas (inputs) e saídas (outputs) que são sinais de tempo contínuo e, portanto, se se usam controladores digitais, são necessários conversores analógicos digitais (A/D) e digitais analógicos (D/A) Ver figura -3 abaixo O processo de amostragem é geralmente seguido pelo de quantização, isto é, o sinal amostrado analógico é substituído por uma amplitude digital, representada por um número binário e este sinal digital é processado por um computador A saída do computador é amostrada e entra num circuito hold (segurador) A saída deste é um sinal de tempo contínuo, constituindo a entrada no atuador, cuja resposta é a entrada da planta Observe-se que às vezes tem-se um sistema totalmente de tempo contínuo e a simulação

3 é feita em sistema de tempo discreto, posto que mais fácil Tal é o caso quando se usa mathlab, simulink, etc Neste curso trataremos essencialmente de sistemas lineares invariantes no tempo, ainda que, ocasionalmente, mencionem-se certos casos importantes de sistemas não lineares e / ou variantes no tempo - Sistemas digitais de controle O controle digital de um processo ( planta) tem as seguintes vantagens sobre o controle analógico: a) O processamento de dados em controladores digitais é muito mais fácil de ser feito, mesmo quando se trata de cálculos complexos b) O programa (software) que controla pode ser modificado facilmente, caso necessário c) Os controladores digitais são muito superiores aos analógicos do ponto de vista de ruídos e perturbações dos parâmetros Entretanto, os controladores digitais apresentam algumas desvantagens, que vão desaparecendo à medida que avança, a passos rapidíssimos (lei de Moore), a tecnologia digital: a) Os processos de amostragem e quantização tendem a introduzir erros, degradando o desempenho do sistema b) Projetar controladores digitais para compensar tal degradação é mais complexo do que projetar controladores analógicos em um nível equivalente de desempenho A figura 3 abaixo apresenta o diagrama de blocos de um sistema de controle digital Na figura, a resposta da planta é um sinal de tempo contínuo Observe-se que há vários tipos de Hold circuits ( Seguradores ), como veremos mais adiante, mas o que é mais amplamente usado é o segurador de ordem zero O que aparece no diagrama de blocos da figura mantém constante o sinal durante o intervalo de tempo: é um segurador de ordem zero O primeiro bloco à esquerda converte o sinal de tempo contínuo (o erro entre a resposta da planta e o sinal de referência) numa sequência de números binários Tal operação é chamada codificação (coding or enconding) Este bloco pode ser imaginado como uma chave que fecha instantaneamente a cada intervalo de tempo T e gera uma sequência de números em um código numérico Há muitos tipos de amostragem, mas neste curso, só usaremos amostragens com período constante, ou seja, o intervalo de tempo entre as amostragens é constante Controle de robôs 3

4 Os robôs são cada vez mais utilizados na indústria e também em aplicações especiais Na indústria eles realizam tarefas monótonas, sujeitas, portanto, a erros quando operadas por seres humanos E quanto às aplicações especiais, vale mencionar aquelas em que eles podem operar em locais de temperatura e/ou pressão e/ou radioatividade intoleráveis para um ser humano Todo robô tem um braço, um punho e uma mão 3 Quantização e codificação ( quantizing and coding ) As funções num processo de conversão A/D (analógico / digital) são amostragens do sinal analógico, quantização da amplitude e codificação Quando o valor de uma certa amostragem num certo instante de tempo estiver entre dois valores permitidos da resposta do conversor A/D, ele deve ser lido como o valor mais próximo entre os permitidos O processo de representar um sinal analógico ou contínuo por um número finito de estados discretos é chamado de quantização de amplitude, ou seja, é o processo pelo qual um sinal contínuo ou analógico é transformado em um conjunto de estados discretos E este conjunto de estados discretos é então descrito por um código numérico Este processo de representar um valor amostrado por um código numérico, o qual é binário, é chamado de codificação ( coding ou encoding ) Portanto, codificar é um processo de atribuir uma palavra digital a cada um dos estados discretos É claro que tanto o período de amostragem como os níveis de quantização afetam o desempenho do controle de sistemas digital Consequentemente, eles devem ser escolhidos cuidadosamente O sistema de números padrão para a quantização é, como vimos, o sistema binário: ( on ) e ( off ) Na quantização, n on-off pulsos podem representar n níveis de amplitude ou estados de saída Chamemos de FSR ( full scale range ) a maior amplitude do sinal de entrada e seja Q FSR a diferença entre dois pontos adjacentes Então, é claro que Q ; então, por exemplo, se FSR Volts e n 3, temos Q 3, 5 V Observe-se a seguir que qualquer número N entre e pode ser aproximado em um código binário: 3 N a + a + a3 + + a n n, onde os ai ' s são ou Uma fração (menor que ) é representada, por exemplo, como, Na prática, porém, a vírgula (ponto, na literatura inglesa) é omitida com freqüência, supondo, portanto, que todos os valores sejam menores que um, bastando escolher um sistema de unidades físicas apropriado No caso acima, teríamos simplesmente Frequentemente, para facilitar a leitura, as sequências de s e s são separadas em grupos de 4, como por exemplo,, a qual representa o número ,5+,5+,5+,65+,35+,565+,785+,3965, O bit na extrema direita da seqüência é chamado de LSB (least signifcant bit) e vale, FSR evidentemente, LSB É claro que LSB Q Erro na quantização n n 4

5 Tendo em vista que o número de bits na palavra digital é finito, a conversão A/D tem uma resolução finita Ou por outras palavras, como já foi dito, a resposta digital pode assumir somente um número finito de valores e, consequentemente, um número analógico tem que ser aproximado para o número digital mais próximo Ou seja, todo conversor A/D envolve erro de quantização, tal erro estando entre e ± Q Este erro pode ser feito tão pequeno quanto desejável (do ponto de vista físico, e não matemático) reduzindo-se o nível de quantização A fim de determinar o tamanho desejado do nível de quantização, ou seja, o número de estados da resposta em um dado sistema de controle digital, o engenheiro deve ter uma boa compreensão da relação entre o tamanho do nível de quantização e o erro daí resultante A variância do nível de quantização é uma medida importante do erro de quantização, visto que a variância é proporcional à potência média associada com o ruído Seja um sinal analógico de entrada x() t e a resposta discreta yt () O erro de quantização et () é definido como et () x() t - yt (), observando-se que a magnitude do erro de quantização é et ( ) Q Para um pequeno nível de quantização Q, a natureza do erro de quantização é semelhante ao do nível de ruído Efetivamente, o processo de quantização age como uma fonte de ruído aleatório Para obter a variância do ruído de quantização, suponha que seja pequeno o nível de quantização Q e suponha que o erro de quantização é distribuído uniformemente entre - Q e Q e este erro age como um ruído branco (Esta hipótese é um tanto forte em alguns casos, mas como o erro de quantização e(t) tem amplitude pequena, tal hipótese pode ser aceita como uma aproximação de primeira ordem O valor médio de e(t) é nulo, ou seja, et () Então a variância σ do erro de quantização é σ Q / Q Eet [() et ()] ξ dξ Q Q / Portanto, se o nível de quantização Q for pequeno com relação à amplitude média do sinal de entrada, então a variância do erro de quantização é um duodécimo do quadrado do nível de quantização -4 Aquisição de dados e Sistemas de Conversão e Distribuição de dados A conversão de sinais que tem lugar em controle digital de sistemas envolve as seguintes operações conforme as fig -5 (a) e (b) abaixo: 5

6 No sistema de aquisição de dados, a entrada é um conjunto de variáveis tais como posição, velocidade, aceleração, temperatura e pressão Estas variáveis físicas são usualmente primeiramente convertidas em uma corrente elétrica ou voltagem através de um transdutor apropriado (ex: um tacômetro, no caso de velocidade) O restante do processo de aquisição de dados é feito através de meio eletrônico O amplificador, que é frequentemente um amplificador operacional, realiza as seguintes funções: ele amplifica o sinal de saída do transdutor e converte, se for o caso, a corrente elétrica em voltagem, ou então, se a entrada dele já for uma voltagem, ele armazena o sinal Segue-se o filtro passa-baixa, que atenua os sinais em alta freqüência, tais como os ruídos A saída do filtro é a entrada de um multiplexador (ver logo abaixo) analógico A saída deste, conforme o diagrama de blocos é a entrada de um circuito sample and hold, (ver abaixo) o qual é a entrada de um conversor A/D O reverso do processo de aquisição de dados é o processo de distribuição de dados Vamos descrever brevemente alguns destes componentes, isto é, aqueles que ainda não foram descritos: Multiplexador analógico: Ele desempenha a função de partição de tempo ( time sharing ) entre vários canais Ele recebe um sinal com várias componentes, conforme dito acima e envia ao amostrador um único sinal O processamento de vários sinais com um controlador digital é possível porque a largura de cada pulso representando cada sinal é muito estreita de tal modo que o intervalo de tempo entre as amostragens de cada sinal é suficientemente largo para que, no meio tempo, outros sinais possam ser amostrados Um multiplexeador analógico é uma chave múltipla, que é fechada sequencialmente O número de canais em muitos casos é 4, 8 ou 6 Desmultiplexador: Deve ser sincronizado com a amostragem do sinal de entrada e separa o sinal do controlador digital nos seus sinais originais Cada sinal é ligado a um conversor D/A para produzir o sinal análogo correspondente para aquele canal Circuitos sample-hold Conforme já mencionado, um sampler (amostrador) converte um sinal analógico em uma seqüência de pulsos modulados por amplitude O circuito hold (segurador) 6

7 mantém o valor do pulso durante certo período de tempo Comercialmente, o circuito sampler-hold é adquirível como uma unidade Matematicamente, entretanto, as operações de amostragem e de hold são modeladas separadamente, como veremos na seção 3- Na prática, o tempo de amostragem é muito pequeno em comparação com o período de amostragem T A figura -7 abaixo mostra um diagrama simplificado para um sample-and-hold O Capacitor C funciona como um buffer Tipos de conversores A/D O conversor A/D envia um sinal (número binário) para o controlador digital cada vez que chega um pulso Os conversores A/D mais frequentemente usados são os seguintes: - de aproximações sucessivas; - integrador - contador - paralelo Cada um destes tipos tem suas vantagens e desvantagens Em muitas aplicações particulares, a velocidade da conversão, o tamanho e o custo são os fatores principais na escolha do tipo de conversor A/D Como se verá, conversores A/D usam, como parte da sua malha de realimentação, conversores D/A O tipo mais simples de conversor A/D é o contador O de aproximações sucessivas é muito mais rápido do que o contador e é o mais usado Conversores D/A A resposta analógica, na maioria dos casos, é uma voltagem Se o conversor for de n bits, é claro que o número de diferentes valores analógicos será n Há dois métodos para a conversão D/A: o método que usa resistores ponderados e o que usa redes ladder R-R O primeiro tem um circuito de configuração simples, mas sua precisão pode não ser muito boa O segundo tem configuração um pouco mais elaborada, mas é mais preciso 7

8 A figura - abaixo mostra um diagrama esquemático de um conversor D/A que usa resistores ponderados Os resistores da entrada do amplificador operacional têm os valores de suas resistências ponderados de uma maneira binária, conforme se pode ver na figura Quando o circuito lógico recebe o dígito, a chave, que é uma porta eletrônica, liga o resistor à voltagem de referência; quando o circuito lógico recebe o dígito (zero), a chave liga o respectivo resistor à terra Os conversores D/A usados na prática são do tipo paralelo: todos os bits agem simultaneamente quando se aplica uma entrada digital Para o conversor A/D mostrado na figura -, se o número binário for bbbb 3, onde cada um dos b s pode ser R b b b (zero) ou, então a resposta do conversor é: V b3 Vref R Observe-se que quando o número de bits aumenta, o número de resistências aumenta e, consequentemente, a precisão é diminuída 8

9 A figura - acima mostra o diagrama esquemático de um conversor D/A de n bits, usando um circuito ladder R-R Observe-se que à exceção da resistência em feedback igual a 3R, todos os demais resistores são ou R ou R Suponha que, com n 4, um certo número binário bbbb 3 é dado Se b 3 e todos os demais são (zero), o circuito é simplificado, obtendo-se, através i3 de cálculo simples, mas tedioso, V 3R V ref i Se b e os outros b s são nulos, obtém-se V 3R V 4 4 ref Com b e b, respectivamente, com os outros b s nulos, obtém-se, i respectivamente, V 3R i V 8 8 ref e V 3R V 6 6 ref E assim, se a entrada for bbbb 3, onde os b s são ou, então a resposta é V b3+ b + b+ b V ref b3 + b + b+ b V 4 8 ref No caso de n bits, a saída é dada por V bn + bn + + b n V ref Controladores digitais versus controladores analógicos Os controladores digitais são extremamente versáteis Eles podem controlar sistemas não lineares envolvendo computações complicadas ou operações lógicas Pode-se usar uma classe muito maior de leis de controle usando controladores digitais do que com controladores analógicos Além disso, usando controladores digitais, uma simples mudança de programa pode dar origem a uma mudança radical de operações de controle Esta característica torna-se especialmente importante se o sistema de controle recebe instruções de operações de algum centro de computação onde estão sendo feitos estudos de análise e de otimização Os controladores digitais são capazes de realizar computações complexas com precisão constante em alta velocidade, podendo ter o grau desejado de precisão com custo adicional relativamente pequeno Os controladores digitais são frequentemente superiores em desempenho e, cada vez, mais baratos do que os analógicos O custo de controladores analógicos aumenta rapidamente quando a complexidade da computação aumenta, mantida a precisão Mais ainda, os componentes de um controlador digital tais como sample and hold e conversores A/D e D/A são altamente confiáveis e são compactos e leves E são menos sensíveis a ruídos do que os controladores analógicos Seleção da freqüência de amostragem É necessário que o sample-hold opere a uma freqüência suficientemente alta de tal maneira que a informação contida no sinal de entrada não seja perdida pela limitação do operador sample-hold Uma solução para este problema é dada pelo chamado teorema da amostragem que afirma que se um sinal contínuo tem banda limitada pela freqüência ω c, então teoricamente o sinal original pode ser reconstruído sem distorção, se ele for amostrado com freqüência maior ou igual a ω (Discutiremos isso com mais profundidade c 9

10 adiante) Na prática, a frequência de amostragem é escolhida com valor muito maior do que ω c O custo do uso de uma freqüência de amostragem é menor se ela também o for, porque então os cálculos podem ser feitos com um computador menor e mais barato Há portanto um compromisso entre o custo e a qualidade do desempenho do sistema Nas situações práticas, a freqüência de amostragem é escolhida tomando por base a banda passante ( band-width ) da resposta em freqüência do sistema de malha fechada ou do tempo de subida ou do tempo para o regime permanente Como regra prática, costuma-se tomar o fator 8 a por ciclo Capítulo A transformada z - Introdução A função da transformada z em sistemas de tempo discreto é análoga à da transformada de Laplace nos sistemas de tempo contínuo Nos sistemas de tempo discreto, trabalhamos com equações de diferença Se o sistema for linear, podemos utilizar, com grande proveito, a transformada z A sequência de valores dos sinais de tempo discreto é representada por x( k ) ou yk ( ) ou uk ( ), etc Se a sequência de valores do sinal resultam de amostragem com período de amostragem T, então usaremos x( kt ) ao invés de x( k ) Tal como nos sistemas de tempo contínuo, temos as funções de transferência Assim, a resposta de um sistema em transformada z é o produto da função de transferência do sistema pela transformada z da entrada do sistema - A transformada z A transformada z de uma função x() t, onde t é não negativa ou de uma sequência de valores x( k ), onde k assume valores positivos ou nulo é definida como X ( z ) Z[ x( t )] Z[ x( k )] k x( kz ) ; (-) no caso de sistemas amostrados, substitua-se, na expressão anterior, x( k ) por x( kt ) Esta é a chamada transformada uni-lateral, onde se supõe que x( k ) é nulo para t menor que (zero) Na expressão da transformada, z é uma variável complexa É bastante comum indicar a transformada z de x( k ) por xˆ( z ) ao invés de X ( z ), como adotado no livro Seguiremos a notação do autor A transformada bilateral de z é definida para < t <, ou seja, em cada um dos três casos acima, k k X ( z ) Z[ x( t )] Z[ x( k )] Z[ x( kt )] x( kz ) x( kt ) z (-3) Observe-se que a transformada z é uma série infinita em z e, consequentemente, para existir, tem que se definir um domínio de convergência R é chamado o raio de absoluta convergência se a série converge fora do círculo z R Mas quando se trabalha com transformada z não é necessário, a cada passo, determinar o raio de absoluta convergência Observe-se que a série (-) é

11 n X( z) x() + x() z + x() z + x( n) z +, (-5a) ou no caso de sistemas amostrados com intervalo T, temos: n X( z) x() + x( T) z + x( T) z + x( nt) z + (-5b) Pólos e zeros no plano z (-A) Frequentemente nas aplicações de engenharia a transformada z pode ser escrita como uma função racional: m m bz + bz + + bm X( z) (-5c) n n z + az + + an b( z z)( z z)( z zm), (-5d) ( z p)( z p)( z pn ) onde os zi ' s são os zeros e os pi ' s são os pólos de X ( z ) Como veremos, os zeros e pólos nos dão informações importantes a respeito do comportamento de x( k ) Frequentemente em engenharia de controles e mais ainda em processamento de sinais, a função racional (-3) é expressa como função de z ; a partir de (-3), dividindo-se n numerador e denominador por z, obtém-se ( n m) ( n m+ ) n bz + bz + + bm z X( z), (-5e) n + az + az + + az n onde z o operador de unidade de retardo Quando estivermos interessados nos pólos e zeros, como é o caso com freqüência em controles, usaremos (-3) Além disso, para calcularmos a transformada inversa, também usaremos (-3) -3 Transformadas z de algumas funções elementares Trataremos aqui de transformadas unilaterais e suporemos que caso a função apresente descontinuidade, ela será sempre suposta contínua à direita, como no caso em que x ( + ) é suposto igual a x () Função degrau unitária (-B) Calculemos a transformada z da função x( t) ( t) se t e x( t ) se t < Ora, da equação (-), temos k k z X( z) Z[( t)] z z + z + z + k k z z ; da última expressão fica claro que a série converge se z > Observe-se que não é usualmente necessário determinar a região de convergência, basta saber que ela existe Na realidade, a transformada z existe exceto nos pontos do plano complexo que são pólos de X ( z ) Função rampa unitária Esta função é definida, como o nome o indica, por x( t) Consequentemente, x( kt ) kt, k,,,3, E portanto a transformada z da rampa é: t se t e ( ) (-C) x t se t <

12 X ( z) Z[ t] k x( kt ) z k Tz Tz ( z ) ( z ) k ktz k T k kz k 3 T( z + z + 3 z ) k Função polinomial a (-D) k A função agora é x( k) a, k,,, e x( k ) se k <, onde a é uma constante k k k 3 3 z Então, temos: X ( z) Z[ a ] az + az + a z + a z k az z a (Observe-se que foi definida a função com o tempo discreto; poderia igualmente ser definida com o tempo contínuo e considerarmos somente os instantes correspondentes ao números inteiros) Função exponencial Ela é definida como x( t) e at se t e x() t se t < Considerando agora o sinal amostrado, temos x( kt ) akt e, k ; ; ; E, portanto, X ( z ) at e z at at 3aT 3 e z e z e z akt k e z k z at z e Funções senoidais x() t senω t se t e x( t ) se t < jωt jωt Ora, lembra-se que e cosωt+ jsenωt e e cosωt jsenωt Donde, ( jωt jωt sen t e e ) at ω Mas como vimos antes, Z[ e ] Portanto, at j e z jωt jωt X( z) Z[ senωt] Z ( e e ) j jωt jωt j e z e z (-E) (-F) jωt jωt ( e e ) z jωt jωt j ( e + e ) z + z z senωt z cosωt + z zsenωt zcosωt + z Exemplo -: Achar a transformada z da função cosseno: x() t cosω t se t e x( t ) se t < z zcosωt Obtém-se X( z) z zcosωt + (-F) (Prove-o! A prova é em tudo análoga à anterior) Exemplo -: Calcular a transformada z da função cuja transformada de Laplace é: com período de amostragem igual a T X() s ss ( + ),

13 Solução: Sabemos que a transformada inversa da transforma de Laplace acima é: t x() t e, t Então, utilizando resultados já obtidos, temos: X( z) z e z T T ( e ) z T ( z )( e z ) T ( e ) z T ( z )( z e ) Segue-se a Tabela - com as transformadas z mais usadas 3

14 -4 Propriedades e Teoremas importantes da transformada z Nas propriedades seguintes, supomos que a função x( t ) tem transformada z e que x() t < para t < Multiplicação por uma constante: (-G) 4

15 Se X ( z ) é a transformada z de x( t ), então Z[ ax( t )] a Z[ x( t )], onde a é uma constante k A prova desta propriedade é imediata, a saber, Z[ ax( t )] ax( kt ) z ax ( z) Linearidade da Transformada z (-H) Esta propriedade afirma que se f ( k ) e gk ( ) têm transformada z e se a e b são escalares, então x() t formada pela combinação linear x() t a f ( k ) + b gk ( ) tem a transformada X ( z ) a F( z ) + b Gz ( ), onde F( z ) e Gz ( ) são as transformadas z de f ( k ) e gk ( ), respectivamente (Observe-se que aqui não há referência ao período de amostragem T Ela é sempre desnecessária, inclusive poder-se-ia supô-la igual a Entretanto o período de amostragem aparece com frequência nas fórmulas para enfatizar que estamos tratando de sistemas de controle em que a planta do sistema é de tempo contínuo) Prova: Remetemos à definição (-): X ( z ) Z[ x( k )] Z[ af ( k) + bg( k)] k [ af ( k) + bg( k)] z ( ) k a fkz + b gkz ( ) az[ f( k )] + bz[ g( k )] k k k af( z) + bg( z) k k Multiplicação por a k Se X ( z ) é a transformada de x( k ), então a transformada de axk ( ) é dada por X a z ( ) k Prova: Z[ axk ( )] k k axkz ( ) k x( k)( a z) k k X a z ( ) (-I) Teorema do avanço e do retardo (-J) n Se X ( z ) é a transformada de x( k ), então Z[ x( t nt)] z X( z) (-7) n n k e Z[ x( t+ nt)] z X ( z) x( kt) z, (-8) k onde n é um inteiro não negativo Prova: Para provar (-7), note-se que Z[ x( t nt)] n ( k n) k x( kt nt ) z z x( kt nt) z ; (-9) k definindo-se m k-n, (-9) pode ser escrita do seguinte modo: n m Z[ x( t nt)] z x( mt) z Mas como x( mt ) para m <, podemos substituir m n o limite inferior do somatório de m -n por m Por conseguinte, n m n Z[ x( t nt)] z x( mt) z z X( z), provando (-7) m Esta expressão mostra que multiplicar a transformada por nt da função x() t n z k equivale a um retardo 5

16 Para provar (-8), observe-se que Z[ x( t+ nt)] x( kt + nt ) z k n ( k+ n) n k n k n ( k+ n) z x( kt + nt) z z x( kt + nt ) z + x( kt ) z x( kt ) z k k k k a soma das duas primeiras parcelas dentro dos [ ] é: ( n+ ) n ( n+ ) x( nt) z + x() + x( T + nt) z + x( T) z + x( T + nt) z + x( T) z + k x() + x( T) z + x( T) z + x( kt ) z X(z), concluindo a prova de (-8) e, k portanto, do teorema Ora, Se em (-8) considerarmos a sequência de números, isto é, k ao invés de kt, temos: n n k Z[ x( k+ n)] z X( z) x( k) z Desta expressão obtemos, para os diversos k valores de n : Z[ x( k+ )] zx( z) zx(), Z[ x( k+ )] zz[ x( k+ )] zx() zxz ( ) zx () x() E para um n qualquer positivo: n n n Z[ xk ( + n)] zx( z) zx() z x() zxn ( ) Estas expressões mostram que multiplicar a transformada por z é equivalente a avançar um passo o sinal no domínio do tempo Exemplo -3 Achar a transformada z de uma função degrau com retardo de um período e de quatro períodos, respectivamente Solução: Usando o teorema (-J) e a 3ª entrada da Tabela -, temos: Z[( t T)] z z Z[( t)] z e z z 4 z Z[( t 4 T)] z 4 Z[( t)] Seja observado que z período T, qualquer que seja o valor de T Exemplo -4 Calcular a transformada de f ( a) Da equação (-7), temos: Z[ xk ( )] k Z[ a ] az Exemplo -5: Seja k h ; e, portanto, Z[ f ( a )] z k a, k ;;3; e ( ) k representa um retardo de um f a se k z X ( z ) e da entrada 8 da tabela -, temos z a az k Z[ ] yk ( ) xh ( ), k ;;; Calcular a transformada z de yk ( ) Solução: yk ( ) x() + x() + x( k ) + x( k), yk ( ) x() + x() + x( k ) ; donde yk ( )- yk ( ) x( k ), donde Z[ yk ( ) yk ( )] Z[ x( k )], ou seja, Y( z) z Y( z) X( z), donde Y( z) X( z) z 6

17 Teorema da translação complexa (-K) at at Se a transformada z de x( t ) é X ( z ), então a transformada z de e x( t) é X ( ze ) at akt k at k at Prova: Z[ e x( t)] x( kt ) e z xkt ( )( ze ) X ( ze ) (-4) k Exemplo -6: Achar a transformada z de Solução: De (-F), temos: Z[ senω t] k at at e senωt e de e cosωt usando o teorema anterior z senωt at ; substituindo z por ze z cosωt + z nesta última expressão, temos at at e z senωt Z[ e senωt] at at e z cosωt + e z (-4a) Por outro lado, de (-F`), temos z cosωt at Z[cos ω t] ; substituindo z por ze nesta última expressão, vem z cosωt + z at at e z cosωt Z[ e cos ωt] at at e z cosωt + e z (-4b) Exemplo -7 at Achar a transformada de te Solução: Da 5ª entrada da Tabela -, temos at Tz at Te z Z[ t ] ; usando o Teorema (-K), temos Z[ te ] at ( z ) ( e z ) Teorema do valor inicial Seja X ( z ) a transformada de x( t ) Se existir o lim x() t ou de ( ) x k é dado por x () lim z Prova: Relembramos que k X ( z ) x( kz ) x() + x() z + x() z + k Fazendo z, obtém-se (-5) Exemplo -8: z (-L) X ( z ), então o valor inicial x () de X ( z ) (-5) Achar o valor inicial x () de x() t, cuja transformada é: X ( z ) Solução: x () ( e ) z T lim z ( )( T z e z ) T ( e ) z T ( z )( e z ) Este resultado pode ser confirmado a partir do Exemplo -, onde vimos que a transformada inversa de X ( z ) é x( t) e t, donde, efetivamente, x () Teorema do valor final (-M) Seja x( k ), com a condição usual x( k ) para k < Seja X ( z ) sua transformada e suponha que todos os pólos de X ( z ) estejam dentro do círculo de raio unitário, com a 7

18 possível exceção de um pólo simples em z Então o valor de x( k ) quando k tende para o infinito é lim x( k ) k Prova: X ( z ) k x( kz ) - k k k lim [ ( z ) x( Z) z ] k x( kz ), donde Z[ xk ( )] k x( k ) z X ( z ) - z X ( z ) k x( k ) z z X ( z ) Consequentemente, k Portanto, k k lim x( kz ) xk ( ) z z lim ( z ) X( z) z Ora, quando z tende a, o lado k k esquerdo se torna xk ( ) xk ( ) k k [ x() x( )] + [ x() x()] + [ x() x()] + lim x( k) E tendo em vista a igualdade três linhas acima e o fato que xk ( ) se k <, o teorema fica demonstrado k Exemplo -9: Determinar o valor final x( ) da função cuja transformada é X( z), a > at z e z Solução: Aplicando o teorema do valor final acima, temos x( ) lim ( z ) z at z e z z lim z at e z Observe-se que das 3ª e 4ª entradas da Tabela -, nós temos at x() t - e, confirmando-se o valor final encontrado -5 Transformada z inversa - - A notação usual é Z, ou seja, Z[ X ()] z x() k A transformada inversa nos dá x( k ) único, mas não um único x() t, conforme exemplificado na figura -3 8

19 A Tabela - nos dá a transformada inversa de várias funções importantes, algumas delas já nos sendo familiares a partir da Tabela - Para achar a transformada inversa, podemos usar um dos seguintes métodos: - método da divisão direta quando a transformada é uma função racional; - método computacional; 9

20 - expansão em frações parciais; - método da integral inversa Aqui também supomos que x( k ) se k < Pólos e zeros Em muitas aplicações de engenharia, a transformada z é uma função racional: m m bz + bz + + bm X ( z), m n (-7) n n z + az + + an b( z z)( z z)( z zn ), ( z p)( z p)( z pn ) onde os zi ' s são os zeros e os pi ' s são os pólos de X ( z ) ; eles determinam o comportamento da sequência x( k ) Em teoria de controles e processamento de sinais, X ( z ) é frequentemente expresso como função de z n, a saber, dividindo numerador e denominador de (-7) por z, ( n m) ( n m+ ) n bz + bz + + bm z X ( z ) (-8) n + az + + az n z é denominado operador de retardo unitário Quando estamos interessados em pólos e zeros, exprimimos X ( z ) como função de z, como, por exemplo, z +,5 z z( z+,5) X ( z ) z + 3z ( z+ )( z+ ) em z -,5 e pólos em - e -, donde se conclui que X ( z ) tem zeros em z e Método da divisão direta (para o cálculo da transformada inversa) Divide-se o numerador pelo denominador de X ( z ), obtendo-se uma série em z, como por exemplo, z + 5 5(z + ) 3 4 X ( z ) z + 7z + 8,4z + 8,68 z + ; ( z )( z,) z z+, donde x(), x(), x() 7, x(3) 8, 4, x(4) 8, 68, Exemplo (-): Calcular pelo método da divisão direta a transformada inversa de X ( z ) z + Solução: Dividindo o numerador pelo denominador, obtém-se facilmente 3 4 X ( z ) z z + z z + ; e, portanto, x (), xi ( ) se i é impar e xi (), se i é par, i > Método computacional São apresentados dois métodos computacionais: MATLAB e Equações de diferença,4763z,3393z Considere o sistema definido por Gz ( ) (-9),537z +,667z Definamos a função delta de Kronecker δ ( kt ) se k e δ ( kt ) se k, ou seja, trata-se de um pulso em k

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