y ax b y x Cálculo I Limite de uma função Sartori, C. S. 01 Revisão - Funções: - Definição:

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "y ax b y x Cálculo I Limite de uma função Sartori, C. S. 01 Revisão - Funções: - Definição:"

Transcrição

1 Cálculo I Limite de um função Srtori, C. S. Revisão - Funções: - Definição: Lemrndo que um função é um relção entre dois conjuntos que oedecem às restrições: ) Est relção envolve um elemento do primeiro conjunto, chmdo domínio d função f em pens um elemento do outro conjunto denomindo contr-domínio. ) Um vez definido o conjunto X (domínio) todos elementos deste devem ser relciondos. Notção: f : X Clssificção: Sorejetor: Um função é sorejetor, qundo seu conjunto imgem é igul o seu contr domínio. Injetor: Um função é injetor qundo todos os elementos de seu domínio possuem imgens distints. {, Dom f() ( ) f( ) f( )} Y Bijetor: Qundo for injetor e sorejetor. Clssificção qunto á Pridde: Função Pr: Um função é qundo f(+)=f(-) O gráfico d função pr é simétrico em relção o eio O. Eemplo - Esoce o gráfico de f() = / I - Funções Elementres: I. - A Função Liner: A função liner é definid, em su form reduzid, por: = +. O vlor de é denomindo de coeficiente ngulr e relcion-se com inclinção d ret com o eio. Já o vlor de é interceção d ret com o eio O, ou sej o ponto de coordends (,). Sejm dois pontos por onde ret pss: P(, ); P (, ) É útil tmém sermos equção do feie de rets que pss pelo ponto P (, ): f ( ) f ( ) ( ) Grficmente, qundo >, ret tem inclinção gud com o eio, qundo <, ret possui inclinção otus: ) > ) < Função Ímpr Um função é qundo f(+)=-f(-) O gráfico d função ímpr é simétrico em relção à origem. Eemplo - Esoce o gráfico d função: f() = /

2 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S Tente encontrr, prtir do gráfico, s equções dests rets. Oserve que o domínio é o conjunto dos números reis (R) e o conjunto imgem (Im f = R). I.. Função módulo. A função módulo é definid por: ; ; ) Domínio: R; conjunto imgem: [, ). ) Gráfico: I. > f() possui rízes reis e distints. II. = f() possui únic riz rel. III. < f( ) Nenhum riz rel. A função qudrátic, ou práol, poderá ter um ponto de máimo ou de mínimo, conforme o sinl de : IV. > Concvidde pr cim - Ponto de mínimo em v. V. < Concvidde pr io - Ponto de máimo em v. VI. f() = ++c = (- )(- ) Onde e são rízes de f() As coordends do vértice d práol são dds por: V ( v, v ); v ; v VI. Conjunto Imgem: Se > Im f = [ v, ) Se < Im f = (-, v ] - VII. Relção entre coeficientes e rízes: Som e Produto : S P. c VIII. Gráfi: 8 6 > > c) Proprieddes: i) R ii) iii) iv) ; R ; ; R v) I.c - A Função Qudrátic: A função qudrátic é tod epressão do tipo: F: A B; f ( ) c; Rízes: Ao resolvermos equção: f ( ) c ; teremos como solução: c c (Equção de Báscr) Dependendo do vlor do delt teremos os seguintes csos: < >

3 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S I.e - A Função rítmic: A função rítmic é definid por : f :(, ) R; Condições de Eistênci :, e Assim, temos pr que função rítmic sej definid, deve-se stisfzer sempre s condições de eistênci. é chmdo de ritmndo e de se.. I.d - A Função eponencil: A função eponencil é definid nid por: f : R R; f ( ), ;. Qundo for mior que, função é crescente; qundo < < função é dit decrescente. O Domínio d função eponencil é o conjunto dos números reis (Dom f = R). Já o conjunto imgem é o intervlo: { R > }, ou sej, função eponencil é etritmente positiv, tnto crescente como decrescente. I. Gráfi: I. Domínio: (, ) II. Imgem: R. III. Proprieddes: A função rítmic é função invers d função eponencil de mesm se. i) ii) iii) (. ) iv) ( ) v) vi) Se e vii) Se < e vii) Sej, e, viii) n n Note que ret = nunc intercept o gráfico d função eponencil; el é dit um ssíntot à função. II. Conjunto Imgem: { R > } e i) ii) v) III. Domínio: R. IV - Proprieddes: Sej > e. Sejm R. As seguintes proprieddes são válids:.. vii)se viii)se e e < iii)( iv) vi ) ) iv) Gráfi: A função rítmic pode ser crescente decrescente ( < < ). O gráfico io ilustr cd cso ( > ) ou Notr que ssíntot à função rítmic é ret =

4 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - II - Funções Trigonométrics II. - Métrics: sen tg 8 c c tg sen Triângulo Retângulo: Relções c sec sec ctg c c sen tg Estudo de sinis: Círculo Trigonométrico: II Q sen III Q / 9 I Q 7 IV Q tg Qudrnte sen tg I Q ( < < 9) ) I IQ (9 < < 8 ) I Q (8 < < 7 ) I Q (7 < < 6 ) Tel de Conversão: Então: Qudrnte: sen tg II Q sen( - ) - ( - ) - tg ( -) 9 < < 8 III Q -sen ( - ) - ( - ) tg ( - ) 8 < < 7 IV Q -sen ( - ) ( - ) -tg( - ) 9 < < 6 II.) Relções Fundmentis: Oservção: sen sec sec sen Vlores prticulres: tg ctg sen tg II.c) Gráfi: IIc.) Função seno:.5 Sej I qudrnte e um ângulo qulquer: Podemos encontrr s funções trigonométrics desse ângulo prtir do correspondente ângulo do primeiro qudrnte, fzendo chmd conversão o primeiro qudrnte

5 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - 5 Domínio: { } Imgem: { [-.]} Período: IIc.) Função seno: Domínio: { k + / ;k } Imgem: { (-,-) (, )} Período: IIc.5) Função Cossecnte: Domínio: { } Imgem: { [-.]} Período: IIc.) Função tngente: Domínio: { k ; k } Imgem: { (-,-) (, )} Período: IIc.) Função Cotngente: Domínio: { k + / ;k } Imgem: { } Período: IIc.) Função secnte: 5 - Domínio: { k ; k } Imgem: { } Período: II.d) Relções: Som e sutrção de r, rco duplo, rco metde: ) Som e Sutrção: sen( ) sen. sen. ( ). sen.sen tg( ) tg tg tg. tg 5

6 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - 6 ) Ar Duplos: sen( ) sen. ( ) sen tg( ) tg tg ) Trnsformção Som-Produto: sen( A B) sen ( A B) ( A B) sen( A B) ( A B) sen ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) sen ( A B) sen ( B A) II - Introdução à teori de Limite Vizinhnç de um ponto: Como os números reis são representdos por pontos de um ret, trvés de sus cisss, é tume utilizr plvr ponto em lugr de número. Dizemos que um número rel é ponto interior um conjunto ddo C se esse conjunto contém um intervlo (,), que por su vez contém, isto é : (,) C Segundo ess definição, todos os elementos de um intervlo erto são pontos interiores desse intervlo. O interior de um conjunto C é o conjunto de todos seus pontos interiores. Logo, o intervlo (,) é seu próprio conjunto interior. Tmém é o interior do intervlo fechdo [,]. Dizemos que o conjunto C é erto, se todo ponto de C é interior C, isto é, se o conjunto coincide com seu interior. O conjunto vzio é erto pois coincide com seu interior, que é vzio. Denomin-se vizinhnç de um número ou ponto qulquer conjunto que contenh interiormente. Se esse conjunto estiver simetricmente distriuido, com no centro, e à distânci de + e - de ; dizemos que temos um vizinhnç de centro e de rio. Podemos representr d seguinte mneir: V (-,+ ) Representmos n ret rel: - + Podemos considerr um vizinhnç de ecluindo o próprio vlor de :Denominmos V (): 6 V ()= V ()-{}={ < } Diz-se que o número é ponto de cumulção de um conjunto C se tod vizinhnç de contém infinitos elementos de C. Equivle-se dizer que: tod vizinhnç de contém lgum elemento de C diferente de. Ou: Ddo > :V () contém lgum elemento de C. Um ponto de cumulção de um conjunto pode ou não pertencer o conjunto. Eemplo: os pontos e de um intervlo erto (,) são pontos de cumulção desse conjunto, ms não pertencem ele. Todos os pontos do intervlo tmém são seus pontos de cumulção e pertencem ele. Dizemos que um ponto é ponto de derênci de um conjunto C, ou ponto derente um conjunto C, se qulquer vizinhnç de contém lgum elemento de C. Isso signific que pode ser um elemento de C ou não, se não for será ponto de cumulção de C. O conjunto dos pontos derentes C é chmdo de fecho ou derênci de C, denotdo pelo símolo C. Oserve que C é união de C com o conjunto C de seus pontos de cumulção. C C C

7 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - 7 Diz-se que um conjunto é fechdo qundo ele C C C C, ou coincide com su derênci: sej, qundo ele contém todos seus pontos de cumulção: C C. Esse é o cso de um intervlo [,], do tipo que já se conheci como fechdo. Como eemplo citmos o conjunto: A n {,,,..., n,...} discreto, pois seus pontos são todos isoldos, e seu único ponto de cumulção é o número, que não pertence o conjunto. Se o incluirmos o conjunto A, teremos derênci de A, que é o conjunto: n B A { } {,,,,..., n,...} Oservmos que esse conjunto C é fechdo. Isso contece sempre que juntrmos o conjunto C com o C de seus pontos de cumulção, derênci C C C não terá outros pontos de cumulção lém dos que já estvm em C. Assim veremos lguns teorems que confirmm isso: Teorem: A derênci conjunto C é um conjunto fechdo. C de qulquer Teorem: ) A interseção de um número finito de conjuntos ertos é um conjunto erto. ) A união de um fmíli qulquer de conjuntos ertos é um conjunto erto. Teorem: Um conjunto F é fechdo se e somente se seu complementr A = F C =R-F é erto. Teorem: A união de um conjunto finito de u conjuntos fechdos é um conjunto fechdo. Eercícios:. Dd o centro e o rio, represente n ret s vizinhnçs dds V (-,+ ): ) =, e = ) =, e = c) =, e =- d) =, e =/ e) =, e =/5 f) =,5 e = g) =,5 e =-5. Escrev n form de intervlo erto s vizinhnçs do prolem nterior.. Dê pontos de cumulção ds vizinhnçs do prolem. II.q - O Limite de um Função: Significção intuitiv: No cálculo e sus plicções, é importnte eplorr vlores e comportmento de funções próimos determindos números de seu domínio, ou de vlores que não estão definidos em seu domínio. Considere função : f ( ) 6 Vmos eplorr seu comportmento em torno de =. Vej que el não é definid em = pois torn-se nulo o denomindor. Cuiddo! Divisão por zero não é definid! Com o uílio do progrm Ecel construimos tel (,f()).( Fç: Colun A idêntic à mostrd e digite n B:= (A^-*A^)/(*A-6)),9,,99,,999,,9999,,99999,,999999,, ,, ,, ,, , Prece que qunto mis próimo de está, mis próimo de / está f(); entretnto não podemos ter certez disto pois clculmos pens lguns vlores d função pr próimos de. Pr otermos um vlor mis convincente ftormos o numerdor e o denomindor de f(): ( ) f ( ) ( ) Se podemos simplificr e vemos que: f ( ) Vej que o ponto (, ) deve ser omitido pr ess função. Assim, qunto mis próimo de estiver, mis próimo de / estrá f(). Em gerl, se um função f é definid em todo um intervlo erto contendo um número rel, eceto possivelmente no próprio podemos perguntr: 7

8 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - 8. A medid que está cd vez mis próimo de (ms ) o vlor de f() tende pr um número rel L?. Podemos tornr o vlor d função f() tão próimo de L qunto queirmos, escolhendo suficientemente próimo de (ms )? Cso sej possível isso escrevemos: f ( ) L Dizemos que o ite de f(), qundo tende pr é L, ou que f() se proim de L qundo se proim de. Eemplo - Outro comportmento interessnte ocorre com função: f ( ) sen Vej tel io: (Constru no Ecel). f ( ) sen,,5687,,87988,5, ,, ,, ,,99665,,998665,,99998,, ,, ,,,, Oserve que qunto mis se proim de, tnto trvéz de vlores positivos como trvés de vlores negtivos, o vlor de sen f ( ) se proim de. Assim dizemos que esse ite, denomindo de ite trigonométrico fundmentl, vle: sen Mis trde demonstrremos tl relção. Eemplo Considere gor função: f ) ( ) ( Vmos tomr vlores stnte grndes de. De novo constru um tel no Ecel, nos tempos de hoje isso é fcil e rto. f ( ) ( ),,5976,7889,7699,785968,78687,78869,78869,788786,7888 Vej que há um cert convergênci ns css decimis. Provremos mis trde que esse ite dess função, qundo torn-se incrivelmente grnde; diz-se tende infinito, proim-se do número de Npier e.788, que é um número irrcionl. ) Definição: Sej f um funçãoerror! Bookmrk not defined. definid em todo número de lgum intervloerror! Bookmrk not defined. erto I, contendo, eceto possivelmente no próprio número. O ite de f() qundo proim-seerror! Bookmrk not defined. Error! Bookmrk not defined.de é L, que pode ser escrito por: f ( ) L se pr qulquer >, mesmo pequeno, eistir um > tl que: f ( ) L sempre que Isto signific que os vlores d função f se proimmse de um ite Error! Bookmrk not defined.l qundo proim-se de um número se o vlor soluto d diferenç entre f() e L puder ser tão pequeno qunto desejrmos, tomndo suficientemente próimo ms não igul. É importnte notr que nd é menciondo sore o vlor d função qundo =. Isto é, não é necesssário que função sej definid em pr que eist o ite. Eemplo : Sej função definid por :f()=-. ddo que f ( ) encontre um pr. tl que f ( ). sempre que Solução: f ( ) ( ). sempre que. 5sempre que. 5 ( ). sempre que. 5 Teorem : Se m e são constntes quisquer: ( m ) m ou 8

9 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - 9 Teorem : Se c é um constnte, então: c c; Teorem : Se: f ( ) L; g( ) M ( f ( ) g( )) L M h f ( ) Teorem : Se: L; g( ) ( f ( ). g( )) Teorem 5: Se: L. M M f ( ) L; n Z;[ f ( )] L Teorem 6: Se: ( ) ; ;[ n n f L n Z f() ] L Teorem7: Se f ( ) L; g( ) ( f ( )/ g( )) n M, M L/ M Eemplo : Encontre os ites: ) ( 7) ( )( 9) ( ) n ( 9) 7 ) Sej função definid por: se f ( ) determine se f ( ) ) Limites Unilteris: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Eemplo 5 : Sej h definid por: se h ( ) Encontre os ites unilteris: se função: ( ) ( ) h( ) ( ) ; Portnto: h( ) Eemplo 6 : Clcule os ites unilteris em torno de pr f ( ) Oserve, lemrndo d definição d função módulo, que qundo tende zero pel esquerd: f ( ) Ao considerrmos o vlor de estmos interessdos nos vlores de num intervlo erto contendo, ms não no próprio, isto é, em vlores de miores ou menores do que. Supomos que se proim de pel direit e pel esquerd, respectivmente.e denotmos por: f ( ) L; f ( ) L. L Eemplo 7: Determine os ites : ( ) ( ) eistirem Teorem: f ( ) L se e somente se f ( ); f ( )e: 9

10 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - 6 i) r r ii) r se r é pr se r é ímpr iii) -6 (i) Se c > e se f(), trvés de vlores positivos de g ) Limites no infinito, ( ) f ( ) Definição: Sej f um função definid em todo número (ii) Se c > e se f(), trvés de vlores negtivos de um intervlo erto (,+ ), o ite de f(), qundo g de, ( ) cresce iitdmente é L, que pode ser trnscrito como: f ( ) f ( ) L (iii) Se c < e se f(), trvés de vlores positivos g de, ( ) D mesm form, se tende um número f ( ) negtivo que cresce em módulo e possui no ite o (iv) Se c < e se f(), trvés de vlores negtivos vlor L, denotmos por: g de, ( ) f ( ) L f ( ) O teorem tmém é vlido se " " for sustituído Teorem: Se r é um número inteiro e positivo, então: por ;, ;. i) ii) r r Eemplo 9: Encontre: ) Eemplo 8 : Encontre o ite io: ( )( ) 5 ( 5 ) / O ite do numerdor é e no denomindor é, o 5 ( 5) / que pode ser verificdo por: 5 5 ( )( ) ( ) ( ). 5 5 ) Limites Infinitos: Definição: Sej f um função definid em todo número do intervlo erto I contendo um número, eceto, possivelmente no próprio número. Qundo se proim de, f cresce iitdmente, o que é escrito como: f ( ) Cso se proime de e f() decresce iitdmente, escrevemos como: f ( ) Definição: f ( ) é equivlente f ( ) - - Teorem: Se r é um número inteiro positivo qulquer, então: - - Teorem: Se é um número rel qulquer e se f ( ) e g( ) c, onde c é um constnte não nul, então: Verificmos que o denomindor está se proimndo de trvés de vlores positivos. Aplicndo o terorem de ite (i), teremos: ) ( )( ) O ite do numerdor é e no denomindor é, o que pode ser verificdo por: ( )( ) ( ) ( ). Verificmos que o denomindor está se proimndo de trvés de vlores negtivos. Aplicndo o terorem de ite (ii), teremos: c) pois

11 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - Teorem: Se f ( ) e g( ) c um constnte qulquer, então: [ f ( ) g( )], onde c é Vemos que: f( ) e f ( ) Assíntots verticis: e Teorem: Se f ( ) e g( ) c, onde c é um constnte qulquer, eceto, então: (i) Se c > [ f ( ). g( )] (ii) Se c < [ f ( ). g( )] Teorem: Se f ( ) e g( ) c onde c é um constnte qulquer, eceto, então: (i) Se c > [ f ( ). g( )] (ii) Se c < [ f ( ). g( )] O teorem tmém é vlido se " " for sustituído por ;, ;. 5) Assíntots: Definição: Diz-se que ret = é um ssíntot verticl do gráfico de um função f se pelo menos um ds firmções seguintes for verddeir: (i) f ( ) (ii) (ii) f ( ) (iii) f ( ) (iv) f ( ) Definição: Diz-se que ret = é um ssíntot horizontl do gráfico de um função f se pelo menos um ds firmções seguintes for verddeir: (i) f ( ) (ii) f ( ) Eemplo : Encontre s ssíntots verticis e horizontis d equção e trce um esoço do gráfico: Resolvendo equção: Assíntots horizontis: A seguir representmos os gráfi de f( ) e f ( ), oservndo sus ssíntots pr: f( ) : = e = e pr f ( ) : = - e = =[(/(-)] / ) Continuidde de um função: Continuidde em um número: Definição: Diz-se que um função é contínu em um número se, e somente se s seguintes condições são stisfeits: (i) Eiste f() (ii) Eiste f ( ) (iii) f ( ) f ( ) Se um ou mis dests condições não for verificd em, dizemos que função é descontínu em. Eemplo 6) A função do eemplo 5 é descontínu em =, pois não é definid neste. = =- = =-[/(-)] /

12 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - Eemplo : Sej função definid por: se f ( ) Discut su se continuidde em =. Oserve que: f ( ) f ( ). Portnto condição (iii) não é stisfeit; função é descontínu em =. função: f ( ) Eemplo : Discutir continuidde d Est função não é contínu em = pois seu vlor não é definido. II.r - Teorems sore continuidde: Teorem. Se f e g são funções contínus em um número, então: I) f+g é contínu em II) f-g é contínu em III) f.g é continu em IV) f/g é contínu em desde que g() Teorem. Um contínu em todo número. função polinomil é Teorem. Um função rcionl é contínu em todo número do seu domínio. Teorem. Se g( ) e se função f é contínu em, ( fog( )) f ( ) ( f ( g( ))) f ( g( )) Continuidde em um intervlo Definição: Diz-se que um função é contínu em um intervlo erto se e somente se el for contínu em todo número do intervlo erto. (iii) f ( ) f ( c ) c Definição: Dizemos que um função f é contínu no número à direit se e somente se s três condições io forem stisfeits: (i) Eiste f() (ii) Eiste f ( ) (iii) f ( ) f ( ) Definição: Dizemos que um função f é contínu no número à direit se e somente se s três condições io forem stisfeits: (i) Eiste f() (ii) Eiste f ( ) (iii) f ( ) f ( ) Oservção: dizemos que descontinuidde de um função é essencil qundo não eistir o ite d função no ponto; é removível qundo eistir o ite d função. Trtremos gor descontinuidde com um puco de rigor. Sej um ponto de cumulção do domínio D de um função f; dizemos que f é descontínu em = se, ou f não tem ite unilterl em, ou esse ite eiste e é diferente de f() ou f não está definid em. Anmente define-se descontinuidde à esquerd e descontinuidde à direit. De cordo com ess definição, estmos dmitindo que um ponto poss ser descontinuidde de um função mesmo que ele não pertenç o domínio de f. A rigor, não deverímos ssim dmitir, só deverímos ceitr descontinuiddes em pontos pertencentes o domínio de f. Ms é nturl considerr o que se pss ns proimiddes de pontos de cumulção do domínio de um função, mesmo que tis pontos não pertençm o domínio. Como eemplo oserve que s funções: f ( ) sen ; g( ) ; h( ) ; t( ) sen são tods contínus em seu domínio: -{} e emor = não pertenç esse domínio é nturl considerr o que contece com esss funções qundo tende zero, tnto pel esquerd como pel direit. Identifique s curvs nos gráfi io: Definição: Dizemos que um função cujo domínio inclui o intervlo fechdo [,] é contínu em [,], se e somente se for contínu pr todo c (,) e se el for contínu em à direit e em à esquerd e tmém, pr c (,) s condições io forem stisfeits: (i) Eiste f(c) (ii) Eiste f ( ) c

13 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S De cordo com noss definição, primeir funçáão f() seri clssificd como descontínu em = simplesmente por não estr í definid. Atriuindo o vlor em = el será definid e será contínu em todo. Por isso dizemos que su descontinuidde é removível. A segund, g(), tem ites lteris diferentes qundo tende. El será contínu à direit se impusermos g()= e contínu à esquerd se impusermos g()=-. A terceir função tende qundo tende.não há pois, como remover descontinuidde, o que contece com função t() por não presentr ite. A descontinuidde é de primeir espécie ou do tipo slto qundo função possui, no ponto considerdo, ites à direit e à esquerd porém distintos. É o cso d função g(). A descontinuidde é de segund espécie qundo, função tende no ponto considerdo (cso d função h()), ou não tem ite neste ponto (cso d função t()). Teorem Os pontos de descontinuidde de um função monóton f num intervlo I (itdo ou não) só podem ser do tipo slto; e formm um conjunto no máimo enumerável. Definição: Chm-se conjunto compcto todo conjunto C que sej itdo e fechdo. Um conjunto C diz-se compcto se tod sequênci n C possui um susequênci convergindo pr um ponto de C. Teorem: Todo conjunto compcto C possui máimo e mínimo. Teorem : Se f é um função contínu num domínio compcto D, então f(d) é um conjunto compcto. Teorem (de Weierstrss): Teorem (Do vlor intermediário) Sej f um função contínu num intervlo I=[,], com f() f(). Então, ddo qulquer número d compreendido entre f() e f(), eiste c (,) tl que f(c) = d. Em outrs plvrs, f() ssume todos os vlores compreendidos entre f() e f(), com vrindo entre (,). Teorem : Se f é um função contínu num intervlo I = [,], então f(i) é tmém um intervlo [m,m], onde m e M são os vlores mínimo e máimo respectivmente, d função f. Teorem : A imgem de qulquer intervlo por um função contínu f é um intervlo. Teorem : Tod função f, contínu e injetiv num intervlo I é crescente ou decrescente. Su invers tmém é contínu. Teorem do Confronto ou Snduíche: Suponhmos que f() h() g() pr todo em um intervlo erto contendo, eceto possivelmente pr o próprio. Se: sen Então: f ( ) L h( ) g( ) Como plicção desse teorem vmos demonstrr que, que é o ite trigonométrico fundmentl. É possível mostrr que, pr pequeno ocorre um ordem entre lgums funções de cordo com: L Sen< <Tg Isso é ilustrdo no gráfico seguir: Sej f um função com domínio compcto D. Então f ssume vlores máimo e mínimo em D, isto é, eistem pontos e em D tis que: f() f() f() Pr todo D.

14 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - sen sen sen tg sen Simplificndo, invertendo e trocndo ordenção, consequentemente oteremos: sen Oservmos que: e portnto, plicndo o teorem do confronto, teremos: Eercícios: ) Encontrr os ites indicdos: 5 6 ) ) c) d) 8 9 e) f) 7 g) i) ) Se tende. ) Dd t h) t t 5 j) 9 F( ) encontre seu ite qundo ) f ( ) ) f ( ) se f ( ) Encontre: se sen Aplicções: A velocidde médi é definid como sendo rzão entre vrição d posição num certo intervlo de tempo: Pr definirmos velocidde instntâne necessitmos que o intervlo de tempo tend zero, ou sej velocidde instntâne é o ite qundo o intervlo de tempo vi zero d rzão entre vrição d posição e o intervlo de tempo: v v t s t s t ) Dd f ( ) se se Encontre: ) f ( ) ) f ( ) 5) Dd f ( ) encontre: ) f ( ) ) f ( ) c) f ( ) 6) Dd f ( ) encontre: ) f ( ) ) f ( ) c) f ( ) 7) Discutir continuidde ds funções dos prolems ), 5) e 6). 8) Determine os ites: ) c) 5 ) d) 5 8 e)

15 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - 5 t f) g) t t t t h) i) t t t t j) k) 9 l) m) n) o) ( ) 5 p) ( ) 5 q) 9) Nos prolems io, encontre s ssíntots verticis e horizontis e trce um esoço do gráfico. d) f ( ) (, ),[, ];(, );[, ) ) Nos eercícios io determine o vlor ds constntes de k e c que fzem com que função f sej contínu em (-,+ ) e trce um esoço d função resultnte: ) ) c) f ( ) k 7 se se k se f ( ) k se f ( ) c se k se se ) Trce um esoço do gráfico e discut continuidde ds funções io: e) f ( ) g) f ( ) ) f ( ) c) f ( ) f) f ( ) h) f ( ) ) f ( ) d) f ( ) 9 ( ) 9 ) f ( ) ) h( ) ( )( ) ) Nos eercícios io, encontrr s ssíntots verticis e horizontis e fç um esoço do gráfico: ) ) c) ( )( ) 6 ) Determine se função é contínu ou descontínu nos intervlos indicdos: ) f ( ) 5 ;(, 7);[ 6, ];(, ) ) f ( ) 9;(, ),(, ],(, ),[, ) c) se f ( ) 5 se se ;(,);(, );(,);[,) 5

16 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - 6 II - RESUMOS Y = Sec. Áres Triângulos C r A= r A = h/ h A =.h A B D c c sena senb senc c C D=A+C A = r / (s=r ) r s A r ( sen Funções trigonométrics e Identiddes trigonométrics sen =/r =/r tg =/ cotg =/ csc =r/ sec = r/ sen ( ( tg ) ) sen sen r sen sec tg c sec cotg sen sen sen sen sen( ) sen sen ( ) sen sen tg( ) tg tg tg tg sen sen sen ( ) ( ( ) sen ( ) sen ( ( ) ) ) ) Teorem Binomil n n( n ) n...(!! n n( n ) n...(!! Epnsões em séries n e...!! n! ln( cot gh ) sen! 5 5! n...(...!!... e i isen i i e e sen i i e e i Funções Hiperólics senh e e h e e h senh senh tgh h ;sec h ;sec h tgh h ) ) ) senh 6

17 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - 7 Volumes n p Números Binomiis: n! n n n ( n p)! p! ;!! ( )... Cilindro: V= r h Prlelepípedo: V=c Prism: V = S.h Pirâmide: V = S.h/ Cone: V= r h/ Vetores kˆ kˆ kˆ iˆ kˆ kˆ iˆ; kˆ iˆ i ˆ iˆ i ˆ kˆ i ˆ iˆ iˆ kˆ; kˆ Qulquer vetor pode ser escrito como CL de { i ˆ, ˆ, j k ˆ }, que formm um se ortonorml do R iˆ kˆ z iˆ kˆ Produtos especiis e ftorção: ) ( ) ) ( ) ) ( )( ) ) ( )( ) n n n 5) ( )... n n n n n n z z Alfeto Grego: lf (, et gm ( delt ( épsilon ( zet ( et ( tet ( iot ( cp ( lmd ( mu ( nu ( csi ( ômicron ( pi ( ro ( sigm ( tu ( upsilon ( fi ( chi ( psi ( omeg ( Proprieddes: Funções Logrítmics e Eponenciis: i) iii) iv) v) vi) Se vii) Se viii) vii) Sej n < ( ) n e, e e, ii) (. ) i). iii ) ( ). ii) iv ) v) vi ) vii) Se e viii ) Se e < 7

18 Cpítulo - O Limite de um função Srtori, C. S - 8 Referêncis: Mtemátic, Astor e Remo, Volume, Volume e Volume. Editor Scipione. "O Cálculo com Geometri Anlític", Swokovski, Volume. "O Cálculo com Geometri Anlític", L. Leithold, Volume I. "Introdução à Análise Mtemátic", Gerldo Ávil. Editor Edgrd Blücher "Mthemtic", Stephen Wolfrm, A Sstem for doing Mthemtics computer. Addison Wesle Pulishing Compn 8

Simbolicamente, para. e 1. a tem-se

Simbolicamente, para. e 1. a tem-se . Logritmos Inicilmente vmos trtr dos ritmos, um ferrment crid pr uilir no desenvolvimento de cálculos e que o longo do tempo mostrou-se um modelo dequdo pr vários fenômenos ns ciêncis em gerl. Os ritmos

Leia mais

FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ADMINISTRAÇÃO/CIÊNCIAS CONTÁBEI /LOGISTICA ASSUNTO: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES

FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ADMINISTRAÇÃO/CIÊNCIAS CONTÁBEI /LOGISTICA ASSUNTO: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ADMINISTRAÇÃO/CIÊNCIAS CONTÁBEI /LOGISTICA ASSUNTO: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES PROFESSOR: MARCOS AGUIAR MAT. BÁSICA I. FUNÇÕES. DEFINIÇÃO Ddos

Leia mais

, então ela é integrável em [ a, b] Interpretação geométrica: seja contínua e positiva em um intervalo [ a, b]

, então ela é integrável em [ a, b] Interpretação geométrica: seja contínua e positiva em um intervalo [ a, b] Interl Deinid Se é um unção de, então su interl deinid é um interl restrit à vlores em um intervlo especíico, dimos, O resultdo é um número que depende pens de e, e não de Vejmos deinição: Deinição: Sej

Leia mais

Capítulo IV. Funções Contínuas. 4.1 Noção de Continuidade

Capítulo IV. Funções Contínuas. 4.1 Noção de Continuidade Cpítulo IV Funções Contínus 4 Noção de Continuidde Um idei muito básic de função contínu é de que o seu gráfico pode ser trçdo sem levntr o lápis do ppel; se houver necessidde de interromper o trço do

Leia mais

Somos o que repetidamente fazemos. A excelência portanto, não é um feito, mas um hábito. Aristóteles

Somos o que repetidamente fazemos. A excelência portanto, não é um feito, mas um hábito. Aristóteles c L I S T A DE E X E R C Í C I O S CÁLCULO INTEGRAL Prof. ADRIANO PEDREIRA CATTAI Somos o que repetidmente fzemos. A ecelênci portnto, não é um feito, ms um hábito. Aristóteles Integrl Definid e Cálculo

Leia mais

TEORIA E EXERCÍCIOS ANA SÁ BENTO LOURO

TEORIA E EXERCÍCIOS ANA SÁ BENTO LOURO ANÁLISE MATEMÁTICA I TEORIA E EXERCÍCIOS ANA SÁ BENTO LOURO 3 Índice Noções Topológics, Indução Mtemátic e Sucessões. Noções topológics em R............................. Indução mtemátic..............................

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA FASE 1 DO VESTIBULAR DA UFBA/UFRB-2007 POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA FASE 1 DO VESTIBULAR DA UFBA/UFRB-2007 POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA FASE DO VESTIBULAR DA UFBA/UFRB-7 POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA Questão Sore números reis, é correto firmr: () Se é o mior número de três lgrismos divisível

Leia mais

f(x) é crescente e Im = R + Ex: 1) 3 > 81 x > 4; 2) 2 x 5 = 16 x = 9; 3) 16 x - 4 2x 1 10 = 2 2x - 1 x = 1;

f(x) é crescente e Im = R + Ex: 1) 3 > 81 x > 4; 2) 2 x 5 = 16 x = 9; 3) 16 x - 4 2x 1 10 = 2 2x - 1 x = 1; Curso Teste - Eponencil e Logritmos Apostil de Mtemátic - TOP ADP Curso Teste (ii) cso qundo 0 < < 1 EXPONENCIAL E LOGARITMO f() é decrescente e Im = R + 1. FUNÇÃO EXPONENCIAL A função f: R R + definid

Leia mais

POLINÔMIOS. Definição: Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma. n em que cada a i é um número complexo (ou

POLINÔMIOS. Definição: Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma. n em que cada a i é um número complexo (ou POLINÔMIOS Definição: Um polinômio de gru n é um função que pode ser escrit n form P() n n i 0... n i em que cd i é um número compleo (ou i 0 rel) tl que n é um número nturl e n 0. Os números i são denomindos

Leia mais

Transporte de solvente através de membranas: estado estacionário

Transporte de solvente através de membranas: estado estacionário Trnsporte de solvente trvés de membrns: estdo estcionário Estudos experimentis mostrm que o fluxo de solvente (águ) em respost pressão hidráulic, em um meio homogêneo e poroso, é nálogo o fluxo difusivo

Leia mais

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 CAPES. FUNÇÕES Parte B

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 CAPES. FUNÇÕES Parte B Universidde Federl do Rio Grnde FURG Instituto de Mtemátic, Esttístic e Físic IMEF Editl 5 CPES FUNÇÕES Prte B Prof. ntônio Murício Medeiros lves Profª Denise Mri Vrell Mrtinez UNIDDE FUNÇÕES PRTE B. FUNÇÂO

Leia mais

1º semestre de Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 1 Profa Olga (1º sem de 2015) Função Exponencial

1º semestre de Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 1 Profa Olga (1º sem de 2015) Função Exponencial º semestre de Engenhri Civil/Mecânic Cálculo Prof Olg (º sem de 05) Função Eponencil Definição: É tod função f: R R d form =, com R >0 e. Eemplos: = ; = ( ) ; = 3 ; = e Gráfico: ) Construir o gráfico d

Leia mais

AULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática

AULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Lingugem Mtemátic AULA 1 1 1.2 Conjuntos Numéricos Chm-se conjunto o grupmento num todo de objetos, bem definidos e discerníveis, de noss percepção ou de nosso entendimento, chmdos

Leia mais

1. VARIÁVEL ALEATÓRIA 2. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

1. VARIÁVEL ALEATÓRIA 2. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Vriáveis Aletóris 1. VARIÁVEL ALEATÓRIA Suponhmos um espço mostrl S e que cd ponto mostrl sej triuído um número. Fic, então, definid um função chmd vriável letóri 1, com vlores x i2. Assim, se o espço

Leia mais

Programação Linear Introdução

Programação Linear Introdução Progrmção Liner Introdução Prof. Msc. Fernndo M. A. Nogueir EPD - Deprtmento de Engenhri de Produção FE - Fculdde de Engenhri UFJF - Universidde Federl de Juiz de For Progrmção Liner - Modelgem Progrmção

Leia mais

CONJUNTOS NUMÉRICOS Símbolos Matemáticos

CONJUNTOS NUMÉRICOS Símbolos Matemáticos CONJUNTOS NUMÉRICOS Símolos Mtemáticos,,... vriáveis e prâmetros igul A, B,... conjuntos diferente pertence > mior que não pertence < menor que está contido mior ou igul não está contido menor ou igul

Leia mais

TRIGONOMETRIA. A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações trigonométricas num triângulo retângulo.

TRIGONOMETRIA. A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações trigonométricas num triângulo retângulo. TRIGONOMETRIA A trigonometri é um prte importnte d Mtemátic. Começremos lembrndo s relções trigonométrics num triângulo retângulo. Num triângulo ABC, retângulo em A, indicremos por Bˆ e por Ĉ s medids

Leia mais

Professores Edu Vicente e Marcos José Colégio Pedro II Departamento de Matemática Potências e Radicais

Professores Edu Vicente e Marcos José Colégio Pedro II Departamento de Matemática Potências e Radicais POTÊNCIAS A potênci de epoente n ( n nturl mior que ) do número, representd por n, é o produto de n ftores iguis. n =...... ( n ftores) é chmdo de bse n é chmdo de epoente Eemplos =... = 8 =... = PROPRIEDADES

Leia mais

Funções e Limites. Informática

Funções e Limites. Informática CURSO DE: SEGUNDA LICENCIATURA EM INFORMÁTICA DISCIPLINA: CÁLCULO I Funções e Limites Informátic Prof: Mrcio Demetrius Mrtinez Nov Andrdin 00 O CONCEITO DE UMA FUNÇÃO - FUNÇÃO. O que é um função Um função

Leia mais

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A.

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A. MÓDULO - AULA Aul Técnics de Integrção Substituição Trigonométric Objetivo Conhecer técnic de integrção chmd substituição trigonométric. Introdução Você prendeu, no Cálculo I, que integrl de um função

Leia mais

CÁLCULO INTEGRAL. e escreve-se

CÁLCULO INTEGRAL. e escreve-se Primitivs CÁLCULO INTEGRAL Prolem: Dd derivd de um função descorir função inicil. Definição: Chm-se primitiv de um função f, definid num intervlo ] [ à função F tl que F = f e escreve-se,, F = P f ou F

Leia mais

Uma roda gigante tem 10m de raio e possui 12 assentos, igualmente espaçados, e gira no sentido horário.

Uma roda gigante tem 10m de raio e possui 12 assentos, igualmente espaçados, e gira no sentido horário. Questão PROVA FINAL DE MATEMÁTICA - TURMAS DO O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - OUTUBRO DE. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Um rod

Leia mais

Noção intuitiva de limite

Noção intuitiva de limite Noção intuitiv de ite Qundo se proim de 1, y se proim de 3, isto é: 3 y + 1 1,5 4 1,3 3,6 1,1 3, 1,05 3,1 1,0 3,04 1,01 3,0 De um modo gerl: Eemplo de um ite básico Qundo tende um vlor determindo, o ite

Leia mais

Funções do 1 o Grau. Exemplos

Funções do 1 o Grau. Exemplos UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Funções do o Gru. Função

Leia mais

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Cálculo Numérico Fculdde de Enenhri, Arquiteturs e Urnismo FEAU Pro. Dr. Serio Pillin IPD/ Físic e Astronomi V Ajuste de curvs pelo método dos mínimos qudrdos Ojetivos: O ojetivo dest ul é presentr o método

Leia mais

COLÉGIO NAVAL 2016 (1º dia)

COLÉGIO NAVAL 2016 (1º dia) COLÉGIO NAVAL 016 (1º di) MATEMÁTICA PROVA AMARELA Nº 01 PROVA ROSA Nº 0 ( 5 40) 01) Sej S som dos vlores inteiros que stisfzem inequção 10 1 0. Sendo ssim, pode-se firmr que + ) S é um número divisíel

Leia mais

TEORIA DOS LIMITES LIMITES. Professor: Alexandre 2. DEFINIÇÃO DE LIMITE

TEORIA DOS LIMITES LIMITES. Professor: Alexandre 2. DEFINIÇÃO DE LIMITE TEORIA DOS LIMITES Professor: Alendre LIMITES. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE Vmos nlisr o comportmento gráfico d função f ( ) qundo tende pr. ) Primeirmente vmos tender vriável por vlores inferiores, ou sej,

Leia mais

A integral definida. f (x)dx P(x) P(b) P(a)

A integral definida. f (x)dx P(x) P(b) P(a) A integrl definid Prof. Méricles Thdeu Moretti MTM/CFM/UFSC. - INTEGRAL DEFINIDA - CÁLCULO DE ÁREA Já vimos como clculr áre de um tipo em específico de região pr lgums funções no intervlo [, t]. O Segundo

Leia mais

APOSTILA. Matemática Aplicada. Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR. Lauro César Galvão

APOSTILA. Matemática Aplicada. Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR. Lauro César Galvão POSTIL Mtemátic plicd Universidde Tecnológic Federl do Prná UTFPR Césr Glvão Índices SISTEMTIZÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS...-. CONJUNTOS NUMÉRICOS...-.. Conjunto dos números nturis...-.. Conjunto dos números

Leia mais

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS Um dos grndes problems de mtemátic n ntiguidde er resolução de equções polinomiis. Encontrr um fórmul ou um método pr resolver tis equções er um grnde desfio. E ind hoje

Leia mais

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes 1 Equções de Segundo Gru Bhskr e su turm Cícero Thigo B Mglh~es Um equção do segundo gru é um equção do tipo x + bx + c = 0, em que, b e c são números reis ddos, com 0 Dd um equção do segundo gru como

Leia mais

Relações em triângulos retângulos semelhantes

Relações em triângulos retângulos semelhantes Observe figur o ldo. Um escd com seis degrus está poid em num muro de m de ltur. distânci entre dois degrus vizinhos é 40 cm. Logo o comprimento d escd é 80 m. distânci d bse d escd () à bse do muro ()

Leia mais

3 Teoria dos Conjuntos Fuzzy

3 Teoria dos Conjuntos Fuzzy 0 Teori dos Conjuntos Fuzzy presentm-se qui lguns conceitos d teori de conjuntos fuzzy que serão necessários pr o desenvolvimento e compreensão do modelo proposto (cpítulo 5). teori de conjuntos fuzzy

Leia mais

Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução

Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução (9) - www.elitecmpins.com.br O ELITE RESOLVE MATEMÁTICA QUESTÃO Se Améli der R$, Lúci, então mbs ficrão com mesm qunti. Se Mri der um terço do que tem Lúci, então est ficrá com R$, mis do que Améli. Se

Leia mais

CDI-II. Resumo das Aulas Teóricas (Semana 12) y x 2 + y, 2. x x 2 + y 2), F 1 y = F 2

CDI-II. Resumo das Aulas Teóricas (Semana 12) y x 2 + y, 2. x x 2 + y 2), F 1 y = F 2 Instituto Superior Técnico eprtmento de Mtemátic Secção de Álgebr e Análise Prof. Gbriel Pires CI-II Resumo ds Auls Teórics (Semn 12) 1 Teorem de Green no Plno O cmpo vectoril F : R 2 \ {(, )} R 2 definido

Leia mais

Apoio à Decisão. Aula 3. Aula 3. Mônica Barros, D.Sc.

Apoio à Decisão. Aula 3. Aula 3. Mônica Barros, D.Sc. Aul Métodos Esttísticos sticos de Apoio à Decisão Aul Mônic Brros, D.Sc. Vriáveis Aletóris Contínus e Discrets Função de Probbilidde Função Densidde Função de Distribuição Momentos de um vriável letóri

Leia mais

Pontos onde f (x) = 0 e a < x < b. Suponha que f (x 0 ) existe para a < x 0 < b. Se x 0 é um ponto extremo então f (x 0 ) = 0.

Pontos onde f (x) = 0 e a < x < b. Suponha que f (x 0 ) existe para a < x 0 < b. Se x 0 é um ponto extremo então f (x 0 ) = 0. Resolver o seguinte PPNL M (min) f() s. [, ] Pr chr solução ótim deve-se chr todos os máimos (mínimos) locis, isto é, os etremos locis. A solução ótim será o etremo locl com mior (menor) vlor de f(). É

Leia mais

Fernanda da Costa Diniz Nogueira Belo Horizonte, junho de 2007.

Fernanda da Costa Diniz Nogueira Belo Horizonte, junho de 2007. Un i ve r si d d e F e de r l d e M in s G e r i s Institu to de C iê nc i s E t s Dep r t me n t o d e M t e m á t ic E n sin o M éd io e Un iver sit ár io: d ifer ent es bor d gen s n con st r ução d

Leia mais

Conjuntos Numéricos. Conjuntos Numéricos

Conjuntos Numéricos. Conjuntos Numéricos UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA.. Proprieddes dos números

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVEST VESTIBULAR 2010 1 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVEST VESTIBULAR 2010 1 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVET VETIBULAR 00 Fse Prof. Mri Antôni Gouvei. Q-7 Um utomóvel, modelo flex, consome litros de gsolin pr percorrer 7km. Qundo se opt pelo uso do álcool, o utomóvel consome 7 litros

Leia mais

Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0

Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0 Módulo de um Número Rel Ddo um número rel, o módulo de é definido por:, se 0 = `, se < 0 Observção: O módulo de um número rel nunc é negtivo. Eemplo : = Eemplo : 0 = ( 0) = 0 Eemplo : 0 = 0 Geometricmente,

Leia mais

Derivada da função composta, derivada da função inversa, derivada da função implícita e derivada de funções definidas parametricamente.

Derivada da função composta, derivada da função inversa, derivada da função implícita e derivada de funções definidas parametricamente. .5.- Derivd d função compost, derivd d função invers, derivd d função implícit e derivd de funções definids prmetricmente. Teorem.3 Derivd d Função Compost Suponh-se que g: A R é diferenciável no ponto

Leia mais

Operadores momento e energia e o Princípio da Incerteza

Operadores momento e energia e o Princípio da Incerteza Operdores momento e energi e o Princípio d Incertez A U L A 5 Mets d ul Definir os operdores quânticos do momento liner e d energi e enuncir o Princípio d Incertez de Heisenberg. objetivos clculr grndezs

Leia mais

Projecções Cotadas. Luís Miguel Cotrim Mateus, Assistente (2006)

Projecções Cotadas. Luís Miguel Cotrim Mateus, Assistente (2006) 1 Projecções Cotds Luís Miguel Cotrim Mteus, Assistente (2006) 2 Nestes pontmentos não se fz o desenvolvimento exustivo de tods s mtéris, focndo-se pens lguns items. Pelo indicdo, estes pontmentos não

Leia mais

COLÉGIO MACHADO DE ASSIS. 1. Sejam A = { -1,1,2,3,} e B = {-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}. Para a função f: A-> B, definida por f(x) = 2x-1, determine:

COLÉGIO MACHADO DE ASSIS. 1. Sejam A = { -1,1,2,3,} e B = {-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}. Para a função f: A-> B, definida por f(x) = 2x-1, determine: COLÉGIO MACHADO DE ASSIS Disciplin: MATEMÁTICA Professor: TALI RETZLAFF Turm: 9 no A( ) B( ) Dt: / /14 Pupilo: 1. Sejm A = { -1,1,2,3,} e B = {-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}. Pr função f: A-> B, definid por f()

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula. Márcia Federson e Gabriela Planas

Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula. Márcia Federson e Gabriela Planas Cálculo Diferencil e Integrl - Nots de Aul Márci Federson e Gbriel Plns de mrço de 03 Sumário Os Números Reis. Os Números Rcionis................................ Os Números Reis.................................

Leia mais

Semelhança e áreas 1,5

Semelhança e áreas 1,5 A UA UL LA Semelhnç e áres Introdução N Aul 17, estudmos o Teorem de Tles e semelhnç de triângulos. Nest ul, vmos tornr mis gerl o conceito de semelhnç e ver como se comportm s áres de figurs semelhntes.

Leia mais

Análise de Variância com Dois Factores

Análise de Variância com Dois Factores Análise de Vriânci com Dois Fctores Modelo sem intercção Eemplo Neste eemplo, o testrmos hipótese de s três lojs terem volumes médios de vends iguis, estmos testr se o fctor Loj tem influênci no volume

Leia mais

Números Reais intervalos, números decimais, dízimas, números irracionais, ordem, a reta, módulo, potência com expoente racional.

Números Reais intervalos, números decimais, dízimas, números irracionais, ordem, a reta, módulo, potência com expoente racional. UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA UNIDADE DE APOIO EDUCACIONAL UAE MAT 099 - Tutori de Mtemátic Tópicos: Números Rcionis operções e proprieddes (frções, regr de sinl, som, produto e divisão de frções, potênci

Leia mais

Vestibular UFRGS 2013 Resolução da Prova de Matemática

Vestibular UFRGS 2013 Resolução da Prova de Matemática Vestibulr UFRG 0 Resolução d Prov de Mtemátic 6. Alterntiv (C) 00 bilhões 00. ( 000 000 000) 00 000 000 000 0 7. Alterntiv (B) Qundo multiplicmos dois números com o lgrismo ds uniddes igul 4, o lgrismo

Leia mais

TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL. Aula 7 _ Função Modular, Exponencial e Logarítmica Professor Luciano Nóbrega

TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL. Aula 7 _ Função Modular, Exponencial e Logarítmica Professor Luciano Nóbrega 1 TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL Aul 7 _ Função Modulr, Eponencil e Logrítmic Professor Lucino Nóbreg FUNÇÃO MODULAR 2 Módulo (ou vlor bsolutode um número) O módulo (ou vlor bsoluto) de um número rel, que

Leia mais

APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (II Determinntes) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Determinntes Índice 2 Determinntes 2

Leia mais

1.1) Dividindo segmentos em partes iguais com mediatrizes sucessivas.

1.1) Dividindo segmentos em partes iguais com mediatrizes sucessivas. COLÉGIO PEDRO II U. E. ENGENHO NOVO II Divisão Gráfi de segmentos e Determinção gráfi de epressões lgéris (qurt e tereir proporionl e médi geométri). Prof. Sory Izr Coord. Prof. Jorge Mrelo TURM: luno:

Leia mais

1 As grandezas A, B e C são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional a C.

1 As grandezas A, B e C são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional a C. As grndezs A, B e C são tis que A é diretmente proporcionl B e inversmente proporcionl C. Qundo B = 00 e C = 4 tem-se A = 5. Qul será o vlor de A qundo tivermos B = 0 e C = 5? B AC Temos, pelo enuncido,

Leia mais

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA LOGARITMOS PROF. CARLINHOS NOME: N O :

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA LOGARITMOS PROF. CARLINHOS NOME: N O : ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA LOGARITMOS PROF. CARLINHOS NOME: N O : 1 DEFINIÇÃO LOGARITMOS = os(rzão) + rithmos(números) Sejm e números reis positivos diferentes de zero e 1. Chm-se ritmo

Leia mais

5) Para b = temos: 2. Seja M uma matriz real 2 x 2. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se desloca para a posição. e as matrizes são:

5) Para b = temos: 2. Seja M uma matriz real 2 x 2. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se desloca para a posição. e as matrizes são: MATEMÁTIA Sej M um mtriz rel x. Defin um função f n qul cd elemento d mtriz se desloc pr posição b seguinte no sentido horário, ou sej, se M =, c d c implic que f (M) =. Encontre tods s mtrizes d b simétrics

Leia mais

Se conhecemos a taxa de variação de uma quantidade em relação a outra, podemos determinar a relação entre essas quantidades?

Se conhecemos a taxa de variação de uma quantidade em relação a outra, podemos determinar a relação entre essas quantidades? UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA UNEB DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA DCET / CAMPUS I DISCIPLINA: Cálculo II (MAT 089 CH: 75 PROFESSOR: Adrino Ctti SEMESTRE: 0. ALUNO: APOSTILA 0: INTEGRAL INDEFINIDA

Leia mais

PRODUTOS NOTÁVEIS. Duas vezes o produto do 1º pelo 2º. Quadrado do 1º termo

PRODUTOS NOTÁVEIS. Duas vezes o produto do 1º pelo 2º. Quadrado do 1º termo PRODUTOS NOTÁVEIS QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS ( + y) = + y + y Qudrdo d som de dois termos Dus vezes o produto do º pelo º Eemplo : ) ( + y) = +..(y) + (y) = + 6y + 9y. ) (7 + ) = c) ( 5 +c) = d) m

Leia mais

Matemática Aplicada. A Mostre que a combinação dos movimentos N e S, em qualquer ordem, é nula, isto é,

Matemática Aplicada. A Mostre que a combinação dos movimentos N e S, em qualquer ordem, é nula, isto é, Mtemátic Aplicd Considere, no espço crtesino idimensionl, os movimentos unitários N, S, L e O definidos seguir, onde (, ) R é um ponto qulquer: N(, ) (, ) S(, ) (, ) L(, ) (, ) O(, ) (, ) Considere ind

Leia mais

Capítulo 1 Introdução à Física

Capítulo 1 Introdução à Física Vetor Pré Vestiulr Comunitário Físic 1 Cpítulo 1 Introdução à Físic Antes de começrem com os conceitos práticos d Físic, é imprescindível pr os lunos de Pré-Vestiulr estrem certificdos de que dominm os

Leia mais

FUNÇÕES. Funções. TE203 Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I. TE203 Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I

FUNÇÕES. Funções. TE203 Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I. TE203 Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I FUNÇÕES DATA //9 //9 4//9 5//9 6//9 9//9 //9 //9 //9 //9 6//9 7//9 8//9 9//9 //9 5//9 6//9 7//9 IBOVESPA (fechmento) 8666 9746 49 48 4755 4 47 4845 45 467 484 9846 9674 97 874 8 88 88 DEFINIÇÃO Um grndez

Leia mais

Matemática. Atividades. complementares. 9-º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 9. uso escolar. Venda proibida.

Matemática. Atividades. complementares. 9-º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 9. uso escolar. Venda proibida. 9 ENSINO 9-º no Mtemátic FUNDMENTL tividdes complementres Este mteril é um complemento d obr Mtemátic 9 Pr Viver Juntos. Reprodução permitid somente pr uso escolr. Vend proibid. Smuel Csl Cpítulo 6 Rzões

Leia mais

b 2 = 1: (resp. R2 e ab) 8.1B Calcule a área da região delimitada pelo eixo x, pelas retas x = B; B > 0; e pelo grá co da função y = x 2 exp

b 2 = 1: (resp. R2 e ab) 8.1B Calcule a área da região delimitada pelo eixo x, pelas retas x = B; B > 0; e pelo grá co da função y = x 2 exp 8.1 Áres Plns Suponh que cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região D é

Leia mais

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos 3. Cálculo integrl em IR 3.. Integrl Indefinido 3... Definição, Proprieddes e Exemplos A noção de integrl indefinido prece ssocid à de derivd de um função como se pode verificr prtir d su definição: Definição

Leia mais

64 5 y e log 2. 32 5 z, então x 1 y 1 z é igual a: c) 13 e) 64 3. , respectivamente. Admitindo-se que E 1 foi equivalente à milésima parte de E 2

64 5 y e log 2. 32 5 z, então x 1 y 1 z é igual a: c) 13 e) 64 3. , respectivamente. Admitindo-se que E 1 foi equivalente à milésima parte de E 2 Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Função Logrítmic p. (UFSM-RS) Sejm log, log 6 e log z, então z é igul : ) b) c) e) 6 d) log log 6 6 log z z z z (UFMT) A mgnitude de um terremoto é medid

Leia mais

d(p,f 1) + d(p,f 2) = 2a

d(p,f 1) + d(p,f 2) = 2a 1 3. Estudo d Elipse 3..1 Definição Consideremos no plno dois pontos F 1 e F, tis que d(f 1, F ) = c. Sej, > c. Chm-se elipse o conjunto de pontos P, do plno, tis que: d(p,f 1) + d(p,f ) = P F 1 O F 3..

Leia mais

tem-se: Logo, x é racional. ALTERNATIVA B AB : segmento de reta unindo os pontos A e B. m (AB) : medida (comprimento) de AB.

tem-se: Logo, x é racional. ALTERNATIVA B AB : segmento de reta unindo os pontos A e B. m (AB) : medida (comprimento) de AB. MÚLTIPL ESCOLH NOTÇÕES C : conjunto dos números compleos. Q : conjunto dos números rcionis. R : conjunto dos números reis. Z : conjunto dos números inteiros. N {0,,,,...}. N* {,,,...}. : conjunto vzio.

Leia mais

Gabarito - Matemática Grupo G

Gabarito - Matemática Grupo G 1 QUESTÃO: (1,0 ponto) Avlidor Revisor Um resturnte cobr, no lmoço, té s 16 h, o preço fixo de R$ 1,00 por pesso. Após s 16h, esse vlor ci pr R$ 1,00. Em determindo di, 0 pessos lmoçrm no resturnte, sendo

Leia mais

Aula 10 Estabilidade

Aula 10 Estabilidade Aul 0 Estbilidde input S output O sistem é estável se respost à entrd impulso 0 qundo t Ou sej, se síd do sistem stisfz lim y(t) t = 0 qundo entrd r(t) = impulso input S output Equivlentemente, pode ser

Leia mais

COLÉGIO SANTO IVO Educação Infantil - Ensino Fundamental - Ensino Médio

COLÉGIO SANTO IVO Educação Infantil - Ensino Fundamental - Ensino Médio COLÉGIO SANTO IO Educção Infntil - Ensino Fundmentl - Ensino Médio Roteiro de Estudo pr Avlição do 3ºTrimestre - 015 Disciplin: Mtemátic e Geometri Série: 1ª Série EM Profª Cristin Nvl Orientção de Estudo:

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M24 Equações Polinomiais. 1 (PUC-SP) No universo C, a equação

Matemática. Resolução das atividades complementares. M24 Equações Polinomiais. 1 (PUC-SP) No universo C, a equação Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Equções Polinomiis p. 86 (PUC-SP) No universo C, equção 0 0 0 dmite: ) três rízes rcionis c) dus rízes irrcionis e) um únic riz positiv b) dus rízes não reis

Leia mais

VETORES. Com as noções apresentadas, é possível, de maneira simplificada, conceituar-se o

VETORES. Com as noções apresentadas, é possível, de maneira simplificada, conceituar-se o VETORES INTRODUÇÃO No módulo nterior vimos que s grndezs físics podem ser esclres e vetoriis. Esclres são quels que ficm perfeitmente definids qundo expresss por um número e um significdo físico: mss (2

Leia mais

Os números racionais. Capítulo 3

Os números racionais. Capítulo 3 Cpítulo 3 Os números rcionis De modo informl, dizemos que o conjunto Q dos números rcionis é composto pels frções crids prtir de inteiros, desde que o denomindor não sej zero. Assim como fizemos nteriormente,

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT ALGEBRA LINEAR I-A PROF.: GLÓRIA MÁRCIA

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT ALGEBRA LINEAR I-A PROF.: GLÓRIA MÁRCIA UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT - ALGEBRA LINEAR I-A PROF.: GLÓRIA MÁRCIA LISTA DE EXERCÍCIOS ) Sejm A, B e C mtries inversíveis de mesm ordem, encontre epressão d mtri X,

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS Questões de Vestibulares. e B = 2

LISTA DE EXERCÍCIOS Questões de Vestibulares. e B = 2 LISTA DE EXERCÍCIOS Questões de Vestiulres ) UFBA 9 Considere s mtries A e B Sendo-se que X é um mtri simétri e que AX B, determine -, sendo Y ( ij) X - R) ) UFBA 9 Dds s mtries A d Pode-se firmr: () se

Leia mais

Exercícios. . a r. 2º Caso: Agrupamento. É uma aplicação do 1º caso, só que o termo comum aparece em grupos. 3º Caso: Diferença de dois quadrados

Exercícios. . a r. 2º Caso: Agrupamento. É uma aplicação do 1º caso, só que o termo comum aparece em grupos. 3º Caso: Diferença de dois quadrados Mtemátic Básic Ftorção Aul. Definição Ftorr um epressão lgéric consiste em trnsformá-l num produto. É um prolem de grnde interesse n Álger, nálogo o d decomposição de um número em ftores primos. º Cso:

Leia mais

1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos. 2 Funções reais de variável real: limites e continuidade. 3 Cálculo diferencial em R

1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos. 2 Funções reais de variável real: limites e continuidade. 3 Cálculo diferencial em R Índice Cálculo I Engenhri Electromecânic Funções reis de vriável rel: generliddes e eemplos Funções reis de vriável rel: ites e continuidde 3 Cálculo diferencil em R António Bento Deprtmento de Mtemátic

Leia mais

Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos. Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 a série E.M.

Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos. Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 a série E.M. Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 série E.M. Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 Eercícios Introdutórios Eercício 10. Três ilhs

Leia mais

CINÉTICA QUÍMICA CINÉTICA QUÍMICA. Lei de Velocidade

CINÉTICA QUÍMICA CINÉTICA QUÍMICA. Lei de Velocidade CINÉTICA QUÍMICA Lei de Velocidde LEIS DE VELOCIDADE - DETERMINAÇÃO Os eperimentos em Cinétic Químic fornecem os vlores ds concentrções ds espécies em função do tempo. A lei de velocidde que govern um

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA UNESP VESTIBULAR 2012 1 a Fase RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA UNESP VESTIBULAR 2012 1 a Fase RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA UNESP VESTIBULAR 01 1 Fse Prof. Mri Antôni Gouvei. QUESTÃO 83. Em 010, o Instituto Brsileiro de Geogrfi e Esttístic (IBGE) relizou o último censo populcionl brsileiro, que mostrou

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? Cálculo II Prof. Adrin Cherri 1 INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região

Leia mais

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral www.engenhrifcil.weely.com Resumo com exercícios resolvidos do ssunto: Aplicções d Integrl (I) (II) (III) Áre Volume de sólidos de Revolução Comprimento de Arco (I) Áre Dd um função positiv f(x), áre A

Leia mais

1 Fórmulas de Newton-Cotes

1 Fórmulas de Newton-Cotes As nots de ul que se seguem são um compilção dos textos relciondos n bibliogrfi e não têm intenção de substitui o livro-texto, nem qulquer outr bibliogrfi. Integrção Numéric Exemplos de problems: ) Como

Leia mais

Trabalhando-se com log 3 = 0,47 e log 2 = 0,30, pode-se concluir que o valor que mais se aproxima de log 146 é

Trabalhando-se com log 3 = 0,47 e log 2 = 0,30, pode-se concluir que o valor que mais se aproxima de log 146 é Questão 0) Trlhndo-se com log = 0,47 e log = 0,0, pode-se concluir que o vlor que mis se proxim de log 46 é 0),0 0),08 0),9 04),8 0),64 Questão 0) Pr se clculr intensidde luminos L, medid em lumens, um

Leia mais

MÉTODOS MATEMÁTICOS 2 a Aula. Claudia Mazza Dias Sandra Mara C. Malta

MÉTODOS MATEMÁTICOS 2 a Aula. Claudia Mazza Dias Sandra Mara C. Malta MÉTODOS MATEMÁTICOS Aul Clui Mzz Dis Snr Mr C. Mlt Introução o Conceito e Derivs Noção: Velocie Méi Um utomóvel é irigio trvés e um estr cie A pr cie B. A istânci s percorri pelo crro epene o tempo gsto

Leia mais

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana Integrl Definid Interpretção Geométric Áre de um figur pln Interpretção Geométric Áre de um figur pln Sej f(x) contínu e não negtiv em um intervlo [,]. Vmos clculr áre d região S. Interpretção Geométric

Leia mais

Análise Matemática I. Feliz Minhós

Análise Matemática I. Feliz Minhós Análise Mtemátic I Feliz Minhós ii Conteúdo Objectivos Geris Progrm 3 Sucessões 5. De nição............................. 5.2 Subsucessão............................ 6.3 Sucessões monótons.......................

Leia mais

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 - CAPES SISTEMAS LINEARES

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 - CAPES SISTEMAS LINEARES Universidde Federl do Rio Grnde FURG Instituto de Mtemátic, Esttístic e Físic IMEF Editl 5 - CAPES SISTEMAS LINEARES Prof. Antônio Murício Medeiros Alves Profª Denise Mri Vrell Mrtinez Mtemátic Básic r

Leia mais

REVISÃO Lista 12 Geometria Analítica., então r e s são coincidentes., então r e s são perpendiculares.

REVISÃO Lista 12 Geometria Analítica., então r e s são coincidentes., então r e s são perpendiculares. NOME: ANO: º Nº: PROFESSOR(A): An Luiz Ozores DATA: REVISÃO List Geometri Anlític Algums definições y Equções d ret: by c 0, y mb, y y0 m( 0) e p q Posições de dus rets: Dds s rets r : y mr br e s y ms

Leia mais

Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA

Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA pítulo III INTEGRIS DE LINH pítulo III Integris de Linh pítulo III O conceito de integrl de linh é um generlizção simples e nturl do conceito de integrl definido: f ( x) dx Neste último, integr-se o longo

Leia mais

3.18 EXERCÍCIOS pg. 112

3.18 EXERCÍCIOS pg. 112 89 8 EXERCÍCIOS pg Investigue continuidde nos pontos indicdos sen, 0 em 0 0, 0 sen 0 0 0 Portnto não é contínu em 0 b em 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Portnto é contínu em 0 8, em, c 8 Portnto, unção é contínu

Leia mais

3. Seja Σ um alfabeto. Explique que palavras pertencem a cada uma das seguintes linguagens:

3. Seja Σ um alfabeto. Explique que palavras pertencem a cada uma das seguintes linguagens: BCC244-Teori d Computção Prof. Lucíli Figueiredo List de Exercícios DECOM ICEB - UFOP Lingugens. Liste os strings de cd um ds seguintes lingugens: ) = {λ} ) + + = c) {λ} {λ} = {λ} d) {λ} + {λ} + = {λ}

Leia mais

um número finito de possibilidades para o resto, a saber, 0, 1, 2,..., q 1. Portanto, após no máximo q passos,

um número finito de possibilidades para o resto, a saber, 0, 1, 2,..., q 1. Portanto, após no máximo q passos, Instituto de Ciêncis Exts - Deprtmento de Mtemátic Cálculo I Profª Mri Juliet Ventur Crvlho de Arujo Cpítulo : Números Reis - Conjuntos Numéricos Os primeiros números conhecidos pel humnidde são os chmdos

Leia mais

Questão 1: (Valor 2,0) Determine o domínio de determinação e os pontos de descontinuidade da 1. lim

Questão 1: (Valor 2,0) Determine o domínio de determinação e os pontos de descontinuidade da 1. lim Escol de Engenhri Industril e etlúrgic de olt edond Pro Gustvo Benitez Alvrez Nome do Aluno (letr orm): Prov Escrit Nº 0/006 Não rsure est olh, pois cálculos relizdos nest, não serão considerdos Use olh

Leia mais

Física 1 Capítulo 3 2. Acelerado v aumenta com o tempo. Se progressivo ( v positivo ) a m positiva Se retrógrado ( v negativo ) a m negativa

Física 1 Capítulo 3 2. Acelerado v aumenta com o tempo. Se progressivo ( v positivo ) a m positiva Se retrógrado ( v negativo ) a m negativa Físic 1 - Cpítulo 3 Movimento Uniformemente Vrido (m.u.v.) Acelerção Esclr Médi v 1 v 2 Movimento Vrido: é o que tem vrições no vlor d velocidde. Uniddes de celerção: m/s 2 ; cm/s 2 ; km/h 2 1 2 Acelerção

Leia mais

de uma volta completa da circunferência. Conseqüentemente, a volta completa na circunferência compreende um ângulo de 360 o - Figura 7.1(a).

de uma volta completa da circunferência. Conseqüentemente, a volta completa na circunferência compreende um ângulo de 360 o - Figura 7.1(a). Cpítulo 7 Trigonometri 71 Introdução O número π Dd um circunferênci de rio r, diâmetro d = r, o número π é denido como rzão do comprimento C d circunfeênci pelo seu diâmetro d, isto é, π = C d = C r O

Leia mais

TRIGONOMETRIA. Para graduar uma reta basta escolher dois pontos e associar a eles os números zero e um.

TRIGONOMETRIA. Para graduar uma reta basta escolher dois pontos e associar a eles os números zero e um. TRIGONOMETRIA Pr grdur um ret bst escolher dois ontos e ssocir eles os números zero e um. A B 0 Com isto, ode-se reresentr n ret qulquer número rel. Pr grdur um circunferênci utilizremos o rio igul, onde

Leia mais

1 Áreas de figuras planas

1 Áreas de figuras planas Nome: n o : Ensino: Médio érie: ª. Turm: Dt: Professor: Mário esumo 1 Áres de figurs plns 1.1 etângulo h. h 1. Qudrdo 1. Prlelogrmo h. h 1.4 Trpézio h B h B 1.5 Losngo d Dd. D 1.6 Triângulos 1.6.1 Triângulo

Leia mais

Teorema de Green no Plano

Teorema de Green no Plano Instituto Superior Técnico eprtmento de Mtemátic Secção de Álgebr e Análise Prof. Gbriel Pires Teorem de Green no Plno O teorem de Green permite relcionr o integrl de linh o longo de um curv fechd com

Leia mais

Integral imprópria em R n (n = 1, 2, 3)

Integral imprópria em R n (n = 1, 2, 3) Universidde Federl do Rio de Jneiro Instituto de Mtemátic Deprtmento de Métodos Mtemáticos Integrl Imprópri Integrl imprópri em R n (n =,, 3) Autores: Angel Cássi Bizutti e Ivo Fernndez Lopez Introdução

Leia mais