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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA Departamento de Ciências Exatas Colegiado de Matemática Curso de Licenciatura em Matemática Trabalho de Conclusão de Curso A UTILIZAÇÃO DO CABRI - GÉOMÈTRE II NO ENSINO DE NÚMEROS COMPLEXOS Josué Santos Oliveira Feira de Santana Setembro de 2008

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3 Banca Examinadora Orientadora: Profa. Msc. Fabíola de Oliveira Pedreira Lima Prof. Dr. João de Azevedo Cardeal Profa. Esp. Joilma Silva Carneiro

4 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA Departamento de Ciências Exatas Colegiado de Matemática Curso de Licenciatura em Matemática Trabalho de Conclusão de Curso A UTILIZAÇÃO DO CABRI - GÉOMÈTRE II NO ENSINO DE NÚMEROS COMPLEXOS Trabalho realizado sob a orientação da Prof a Msc.Fabíola Pedreira como requisito parcial para a obtenção do título de Licenciado em Matemática junto ao Departamento de Ciências Exatas da Universidade Estadual de Feira de Santana. Feira de Santana Setembro de 2008

5 Dedicatória Aos meus pais, que apesar da pouca instrução nos estudos, puderam me incentivar na busca de novos conhecimentos.

6 Agradecimentos A Deus, pela saúde e pelos livramentos que tem me dado em minha caminhada acadêmica. A Universidade Estadual de Feira de Santana pelo curso de licenciatura em matemática. Aos meus orientadores, Inácio de Souza Fadigas, pelas pesquisas iniciais e pela definição do tema. A Fabíola de Oliveira Pedreira, pela sua paciência na estruturação dessa monografia e principalmente pelas idéias finais para a conclusão desse trabalho. A minha família, pela insistência pela prática de estudar. Aos colegas de graduação e amigos, pela cooperação na sugestão de leituras, principalmente a Claudemir Mota da Cruz, Pryscilla Ferreira, pelas suas sugestões e críticas aos capítulos desta monografia. A Aline da Silva pelo grande incentivo na produção desse trabalho. Às demais pessoas, que de forma implícita ou explícita, contribuíram na produção dessa monografia, como a professora Doutora Girlene Portela. i

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8 Resumo Neste trabalho, buscamos exibir uma sucinta retrospectiva da informática como modo de ensino, enfatizando a importância do software Cabri-Géomètre II na condução do processo de aprendizagem. Discutiremos um pouco a respeito da história dos números complexos e algumas aplicações, além de mostrarmos algumas atividades nas quais podemos utilizar o Cabri Géomètre II, no ensino de números complexos, enfatizando que a parte geométrica pode ser um veículo importante na aprendizagem dos alunos. Palavras-chave: Cabri Géomètre II, Números complexos, Educação Matemática, Ensino-aprendizagem. iii

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10 Abstract In this work, we search to show one quick retrospect of information technology as education way, emphasizing the importance of software Cabri-Géomètre II in the conduction of the learning process. We will argue a little regarding the history of the complex numbers and some applications, beyond showing some activities in which we can use the Cabri Géomètre II, in the teaching of complex numbers, emphasizing that the geometric part can be an important vehicle in the learning of the pupils. KeyWords:Cabri Géomètre II, Complex numbers, Mathematical Education, Teachlearning. v

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12 Sumário Introdução 1 Metodologia 3 1 Informática História da Informática no Brasil Informática e Educação Matemática O Uso do Computador no Ensino de Matemática Números Complexos Um Pouco da História dos Números Complexos Aplicações na Matemática Algumas Considerações Sobre a Abordagem dos Números Complexos no Livro-Texto O Cabri-Géomètre II no Ensino de Números Complexos O Cabri-Géomètre II Atividades com o Cabri Géomètre II Considerações Finais 39 Referências 42 vii

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14 Lista de Figuras 2.1 Rotação Triângulo Conjunto de Júlia Tela inicial do Cabri Ferramentas da Janela Sistema Ortogonal Soma de 2 complexos Manipulando com o conjugado Rotações Forma Trigonométrica ix

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16 Introdução A utilização da informática no ensino de qualquer ciência é muito significativo, pois é uma ferramenta importante que auxilia o docente na manipulação de alguns temas no seu cotidiano escolar, assim disponibiliza ao discente uma alternativa de conhecer novas teorias a partir dessa nova metodologia. No ensino de matemática, podemos utilizar a informática como uma alternativa para discutir alguns temas dessa ciência, que sem um recurso computacional, seriam mais limitadas as discussões no bojo desse temas. Um recurso que pode ser utilizado são os softwares, os quais têm papéis particulares no tratamento de temas a saber e eles fornecem ferramentas que são de grande valia, na abordagem de temas no ensino e aprendizagem em matemática. Assim, o avanço tecnológico vem tornando a vida cada vez melhor, com isso a informática se tornou uma grande aliada no ensino, trazendo benefícios em todas as áreas. Na Matemática, ela vem a contribuir com a criação de vários softwares que auxiliam e estimulam o ensino nos mais diversos temas desta ciência. Um desses softwares é o Cabri-Géomètre II, o qual é bastante rico em opções para o professor de matemática, proporcionando ao mesmo um excelente recurso, a partir da visualização e manipulação, para estimular seus alunos. O aprendizado em matemática sempre foi uma grande barreira para muitos alunos, vários conteúdos são considerados por eles, muito complicados.além disso, alguns professores não fazem conexão entre estes conteúdos. Esse trabalho vem com a proposta de sugerir atividades, que possam ser trabalhadas pelo educador em sala de aula, sobre o ensino de números complexos, utilizando o Cabri e fazendo, quando possível, algumas conecções com temas da matemática. Inicialmente apresenta-se no capítulo I, a trajetória da informática em alguns países, que acabou por influenciar o Brasil na sua utilização e algumas conseqüências desses modelos no ensino brasileiro. Pretende-se discutir alguns pontos, como o papel do professor nas atividades utilizando a informática, o aluno como ser reflexivo, pois acreditamos que o uso do software contribui para a construção e reconstrução de alguns significados em várias ciências, em particular em matemática. Discuti-se no capítulo II um pouco sobre a história e aplicações dos números complexos, pois acreditamos que isto possa motivar os docentes e discentes no estudo desta temática. 1

17 Observa-se também a abordagem dos números complexos nos livros didáticos, a fim de direcionar o professor na crítica do texto a ser utilizado em sala de aula. E por fim, mostra-se no capítulo III sugestões de algumas atividades utilizando o Cabri-Géomètre II, que podem ser utilizadas no ensino dos números complexos, nas quais são bem destacadas as construções geométricas e a discussão dos conceitos que envolvem os números complexos, além de outros temas da matemática, como a trigonometria, geometria analítica e plana. Com isso, o uso da informática pode ajudar e motivar, professores e alunos na condução de temas da matemática, através da riqueza de detalhes que os recursos computacionais podem oferecer aos principais envolvidos no processo de ensino e aprendizagem, através dos softwares presentes no mercado, os quais podem ser de grande valia para docentes e discentes na construção de conhecimentos em Matemática. 2

18 Metodologia O Presente trabalho foi desenvolvido a partir de algumas pesquisas, nas quais podemos coletar e confeccionar alguns materiais, que utilizaremos em parte, ao longo desse trabalho. Nessa pesquisa desenvolvemos algumas atividades a fim de serem utilizadas em laboratórios de informática, com o intuito de discutir conceitos dos números complexos, explorando ao máximo a parte geométrica desse conteúdo. Fizemos durante essa pesquisa considerações sobre história dos números complexos e suas aplicações, a partir de algumas literaturas usuais e digitais disponíveis. Esperamos, em uma segunda pesquisa,aplicar as atividades defendidas nesse trabalho e poder comparar essa construção com a habitual desenvolvida na sala de aula, sem a utilização de software que defendemos, a fim de discutir os resultados. 3

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20 Capítulo 1 Informática 1.1 História da Informática no Brasil A inserção da informática no Brasil se deu por volta das décadas de 1930 e 1940, com o objetivo de torná-lo uma potência na América do Sul. Essa iniciativa teve uma grande contribuição do estado brasileiro que incentivou o desenvolvimento da informática no país. Alguns países tiveram destaque com o uso da informática no ensino, que de certa forma, influenciaram os projetos de informática educativa no Brasil, como foi o caso dos Estados Unidos, que por volta da década de 1970, pôde incrementar a informática no seu âmbito educacional, priorizando os softwares e o incremento de cursos de aperfeiçoamento de professores para trabalhar com esses programas. No mesmo período, a França desenvolveu trabalhos interessantes no âmbito da informática e em particular voltados para a educação, com medidas bem direcionadas, como a formação docente, voltada para a utilização da informática no ensino. O sistema francês buscava formar o cidadão a partir do uso da informática na rede de ensino, com o intuito de garantir a inclusão digital da população. Os dois sistemas não funcionaram da mesma forma, não tendo sido o sistema americano eficaz como o francês, de acordo com isso, Souza (2001) coloca que: A formação dos professores voltada para o uso pedagógico do computador nos Estados Unidos não aconteceu de maneira organizada e sistemática como em França, pois foram treinados somente para o uso de softwares, em vez de participarem de cursos de formação de caráter pedagógico. Mesmo nos dias de hoje, a preparação dos professores continua sendo feita de maneira a atuarem em um sistema transmissor de informações, não havendo, portanto, mudanças no paradigma educacional. (SOUZA, 2001, p.35) Observa-se que um dos pontos relevantes a se considerar é a capacitação do professor na utilização dessas mídias, pois nada adianta se o professor não é capacitado para conduzir esse processo. 5

21 Os projetos de Informática educativa desenvolvidos no Brasil tiveram uma grande influência dos Estados Unidos e França, o que resultou na criação, em 9 de abril de 1997, do PROINFO (O Programa Nacional de Tecnologia Educacional) projeto de informática educativa que visava a formação de NTEs (Núcleos de Tecnologias Educacionais) em todos os estados do País. A proposta é que esses NTEs fossem compostos por professores que passassem por uma capacitação de pós-graduação referente a informática educacional, para que pudessem exercer o papel de multiplicadores dessa política. Como ampliação disso, o Governo Federal propôs um projeto chamado UCA (um computador por aluno), que se iniciou em 2005, e que tem como objetivo disponibilizar notebook para os alunos da rede pública. Inicialmente estes seriam distribuídos em escolas piloto, a fim de incentivar o uso e pesquisa em informática, complementando a proposta inicial de capacitar os profissionais para trabalhar com informática na escola. Os projetos anteriores ao PROINFO tiveram um caráter mais tecnicista, como os desenvolvidos nos Estados Unidos. Mas apesar de seu projeto inicial dar grande ênfase aos aspectos pedagógicos, tentando buscar maior inspiração no modelo francês, as questões político-administrativas continuam inviabilizando sua realização conforme o projeto inicial, no que diz respeito, por exemplo, em relação ao espaço físico e garantias da capacitação docente. Espera-se que iniciativas desse âmbito possam incentivar o uso da informática de maneira crítica e reflexiva, e que os professores possam direcionar os alunos para a pesquisa e construção de novos conhecimentos. 1.2 Informática e Educação Matemática A educação matemática traz questionamentos pertinentes sobre a utilização da informática no ensino e aprendizagem, promovendo a crítica em relação aos próprios valores que a envolvem. Acredita-se que o acesso à informática na educação matemática deve ser visto como um direito, e, portanto,nas escolas públicas e particulares, o estudante deve usufruir de uma educação que inclua, no mínimo, uma alfabetização tecnológica. Deste modo, o acesso à informática deve ser visto não apenas como um direito, mas como parte de um projeto coletivo que prevê a democratização de acessos a tecnologias desenvolvidas por essa mesma sociedade. Sugere-se assim o exemplo do modelo Francês, no qual trabalhava a educação e aperfeiçoamento profissional, buscando incentivar e patrocinar o professor, na utilização da informática. Assim, como diz Borba (2001), A inserção da tecnologia na escola estimula o aperfeiçoamento profissional para que eles (professores) possam trabalhar com a informática. (BORBA, 2001, p. 17). Em contrapartida, Miranda (2007), destaca que: O professor ainda teme as mudanças, resiste em traçar uma sala com 6

22 aula expositiva, considerada por ele um meio eficaz (...), ainda que a sociedade informacional lhe ofereça possibilidades e recursos tecnológicos para facilitar a mediação didática com o uso de ferramentas desenvolvidas pela microeletrônica. (MIRANDA, 2007, p.73 ) Essa resistência pode ser proveniente do fato de inexistir, para esse professor, oportunidades de manipular essas tecnologias, podendo ser diminuída com intensos trabalhos de instrumentalização dos professores na condução dessas mídias. Nesse sentido, Figueiredo (1997, p.3) diz que a presença da informática nos dias atuais deve ser encarada como aliada e não como inimiga. Os comentários de Figueiredo vêm ratificar que o uso da informática não deve substituir a formação teórica e sim servir de meio para que alunos e professores construam uma aprendizagem mais significativa, e olhem os conceitos sobre novos ângulos. Assim, apesar do grande papel da informática no ensino e aprendizagem, o professor é um veículo importante nesse processo. Contudo, se faz necessário a sua capacitação, como afirma Meyer (2002) Não se devem esperar grandes efeitos da tecnologia, ignorando as perspectivas pedagógicas que estão subjacentes à sua utilização. O professor terá sempre que ter um papel chave será e sempre o responsável pela orientação das atividades. As necessidades de formação não podem, por isso, ser menosprezadas. (MEYER, 2002, p.4) Apesar das contribuições que o uso da informática pode trazer para o ensino, é necessário estarmos atentos para alguns conflitos, como escreve Borba (2001) Um dos perigos da informática seria que o aluno só aperte as teclas e obedeça a orientação dada pela máquina, isso contribuiria ainda mais para torná-lo um mero repetidor de tarefas. (BORBA, 2001, p. 11) Nesse sentido, o docente tem que intervir para que o processo de ensino, através da informática, não tenha os mesmos problemas que o ensino convencional, que algumas vezes leva os alunos a fazer repetições sem a devida reflexão. Acredita-se que a ausência de disciplinas que abordem as novas tecnologias, na formação do docente, ainda seja a causa da não utilização da informática no contexto escolar. A assim Souza (2001), escreve: A interação aluno e computador precisa ser medida por um professor preparado, para provocar situações que favoreçam a aprendizagem dos alunos. A exigência de tornar os alunos competentes produtores do próprio conhecimento implica valorizar a reflexão, a ação, a curiosidade, o espírito crítico, a incerteza, o caráter provisório dos fatos, o questionamento e, para tanto, faz necessário que o professor reconstrua a prática conservadora que vem desenvolvendo em sala de aula. ( SOUZA, 2001, p. 44) 7

23 Por conseguinte, o contato do professor com as novas tecnologias pode ser um caminho importante para um bom trabalho no contexto escolar, provocando uma discussão entre professor e aluno nesse ambiente, trazendo contribuições significativas para a aprendizagem de ambos. 1.3 O Uso do Computador no Ensino de Matemática Os computadores podem servir de ferramenta para o ensino, pois a quantidade de programas educacionais e as diferentes maneiras de uso mostram que esta tecnologia pode ser bastante útil no processo de ensino e aprendizagem. É uma alternativa interessante para o ambiente escolar, e tem que ser explorado sempre, sendo com os pacotes Office, ou outros Softwares. Assim é importante uma boa manipulação do computador, na medida em que a utilização dessas máquinas não seja simplesmente como no quadro negro, nas aulas convencionais, mas outro recurso que possa propiciar uma motivação aos discentes envolvidos no processo. Sobre o uso dos computadores no ensino, Borba (2001), traz comentários importantes sobre a sua utilização: Muitos advogam que o uso do computador, devido à motivação que ele traria à sala de aula, a variedade de cores, do ponto de vista social, o seu uso na educação poderia ser a solução para a falta da motivação dos alunos. (BORBA, 2001, p.17) Reitera também o papel do professor nesse processo, principalmente no conhecimento da matemática. O professor é o responsável direto pelo uso do computador na sala de aula e as possibilidades de trabalho dependerão do seu desempenho, o que confirma a hipótese de que a utilização da informática pode moldar a forma como se elabora o conhecimento matemático. (BORBA, 2001, p.10) Sobre a elaboração do conhecimento, Figueiredo (1997), afirma que: O computador pode ser utilizado como simulador de conjecturas que devem ser provadas para consolidar o conhecimento adquirido, ou ainda, como instrumento de visualização de conceitos e suporte para uma melhor compreensão e aprofundamento do que está sendo apreendido. (FIGUEIREDO, 1997, p. 4) Nesse sentido, Souza (2001), se posiciona da seguinte forma: 8

24 Em geral, o conhecimento da informática por parte dos professores é mínimo, o ideal seria o professor aproveitar o conhecimento informático trazido pelos alunos a fim de buscar uma nova postura frente à construção do conhecimento junto a eles. (SOUZA, 2001, p. 82) Sobre as dificuldades que possam surgir no uso da informática, pode-se pontuar que não podemos deixar o computador pensar pelos alunos e que a construção do conhecimento seja mediada pelo professor, para evitarmos, portanto, a supremacia do computador em relação às reflexões feitas pelos discentes no contexto educacional. De acordo com Borba (2001), Se o raciocínio matemático passar a ser realizado pelo computador, o aluno não precisará raciocinar mais e deixará de desenvolver sua inteligência. ( BORBA, 2001, p.11) Devemos salientar que o lápis e o papel dificilmente serão banidos do contexto educacional, pois, para alguns teóricos, são considerados também tecnologias, que por muitos anos, foram o grande começo para a aprendizagem dos discentes, como escreve Borba (2001), Parece que não consideram o lápis e o papel como tecnologias, da mesma forma que o fazem com o computador. Para eles, o conhecimento produzido quando o lápis e papel estão disponíveis não causa dependência, é como se a caneta, por exemplo, fosse transparente, para os que advogam essa posição, para nós, entretanto, sempre há uma dada mídia envolvida no processo de conhecimento, dessa forma, essa dependência sempre existirá e estará bastante relacionada ao contexto educacional em que nos encontraremos. ( BORBA, 2001, p.13) Atualmente o ensino de temas a partir de computadores está intimamente ligado aos programas ou softwares existem nessas maquinas. Assim para a utilização desses recursos na educação, partirá desses Softwares que podem ser utilizados para melhorar o ensino de matemática,como por exemplo, o Excel, que é um elemento importante do oficce, que pode ser explorado desde o ensino fundamental, até o ensino médio, pois o mesmo, apresenta uma fonte de temas numéricos e geométricos, que podem ser explorados no ensino de matemática. Encontra-se disponíveis para a utilização no ensino, alguns softwares como Winplot, Wingeom, Mupad, Cabri-Géomètre, Maple, Xaos entre outros. Softwares esses que permitem trabalhar conceitos aritméticos, geométricos e até algébricos. Nesse trabalho, falaremos um pouco sobre o Software Cabri, relacionando-o ao estudo dos números complexos, dando sugestões de atividades que podem ser executadas em sala de aula, para facilitar a compreensão do conteúdo. 9

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26 Capítulo 2 Números Complexos 2.1 Um Pouco da História dos Números Complexos A História dos números complexos nos apresenta trechos importantes que nos orientam sobre o real papel desse conceito no âmbito da matemática. Assim Karlson (1961), diz que: A natureza, mãe eterna diversidade, ou melhor, o espírito divino está agrupado em uma única espécie. E deste modo ele encontra um expediente maravilhoso no milagre da análise, espécie de monstro do mundo das idéias, que poderíamos quase dizer híbrido de ser ou não ser, que costumamos denominar raiz imaginária (...).(LEIBNIZ apud KARLSON,1961 p. 596) As idéias compiladas por Karlson, em referência a Leibniz, estiveram bem presentes nesta produção textual, pois proporcionaram questionamentos sobre a origem dos números complexos. Um fato interessante é a ordem em que os conjuntos numéricos foram compreendidos conforme citado pelo historiador Bell (1996): La sorpresa mayor que contiene La história de las matemáticas es el hecho de que los números complexos fueram compreendidos, tanto sinteticamente como analiticamente, antes que los números negativos(...).(bell, 1996, p. 18) 1 Inicialmente, para compreender a idéia dos números complexos, temos que atentar para a não linearidade na construção dos conjuntos numéricos, pois, em geral, algumas literaturas no nível básico de ensino trazem a construção de tais conjuntos como algo progressivo e linear. O que não aconteceu com os mesmos e os números complexos. Sobre a suspeita do aparecimento dos números complexos, Millis (1993) escreve que: 1 A surpresa maior que contém a história da matemática é o fato de que os números complexos foram compreendidos, tanto sinteticamente como analiticamente antes dos números negativos. (Tradução Livre) 11

27 As equações do segundo grau apareceram na matemática já em tabuletas de argila da suméria, por volta de 1700 a.c. ocasionalmente, levaram aos radicais de números negativos, porém, não foram eles, em momento algum, que sugeriram o uso dos números complexos (...). (MILLIS, 1993, p. 4) Esses primeiros registros sumérios, sobre a possibilidade do surgimento dos números complexos, levaram alguns autores de livros de ensino médio a afirmarem, erroneamente, que essas equações quadráticas foram as responsáveis pelo surgimento desse tema. Já na era Cristã, existiram alguns fatos ligados a radicais de índice 2, que mostravam a necessidade de um conjunto no qual contemplasse os números cujos quadrados eram negativos como, por exemplo, nos trabalhos do matemático Herón 2, em 75 d.c., onde surgiu a necessidade de calcular , nas projeções de um desenho de uma pirâmide. Caso semelhante aparece na Aritmética de Diophanto, aproximadamente no ano de 275 d.c.. Diophanto considera o seguinte problema: Se um triângulo retângulo tem área igual a 7uc e o seu perímetro é 12uc, então determinar as dimensões desse polígono. (MILLIS, 1993, p.4) Na resolução deste problema, houve a necessidade de determinar uma das dimensões desse polígono que era dada pelo número x = 43 ± Observando a literatura nota-se que o surgimento dos números complexos só pôde ser registrado a partir de seqüências de acontecimentos históricos. Todavia, é bom salientar que quando falamos de história da matemática, precisamos observar cada contribuição ao longo do percurso histórico, considerando o que de fato foi decisivo para o conteúdo a ser pesquisado. Borges (1996) destaca este pensamento escrevendo que: Ainda que ao generalizar-se um conceito, deve tratar de conservar-se o maior número de possibilidades, ao novo conceito, deve corresponder como caso particular o generalizado... (BORGES, 1996, p.3) Através do comentário de Borges(1996), percebe-se que a criação de um novo conjunto tende a reaproveitar propriedades de conjuntos já existentes e somar as novas criações que venham surgir e, no caso dos números complexos, pode-se aproveitar algumas propriedades existentes dos números reais. 2 Heron (também escrito como Hero e Herão) de Alexandria (10 d.c d.c.) foi um sábio do começo da era cristã. Geômetra e engenheiro grego, Heron esteve ativo em torno do ano 62. É especialmente conhecido pela fórmula que leva seu nome e se aplica ao cálculo da área do triângulo. Seu trabalho mais importante no campo da Geometria Métrica, permaneceu desaparecido até Ficou conhecido por inventar um mecanismo para provar a pressão do ar sobre os corpos, que ficou para a história como o primeiro motor a vapor documentado. 12

28 Para a criação desse novo conjunto, partiu-se de impossibilidades, em particular, os radicais de índice par com radicando negativo, os quais tiveram um papel importante na resolução de equações cúbicas, servindo à aceitação inicial dos números complexos. Pode-se destacar que a possibilidade de representação geométrica dos números complexos a partir de pares ordenados, foi um fato importante para aceitação dos números complexos. Sobre a resolução de equações cúbicas, alguns historiadores como Garbi (1996) e Struik (1992), trazem relatos sobre os números complexos como, por exemplo, o caso do professor de matemática, chamado de Scipio ( ), o qual resolveu algumas equações cúbicas por volta de 1470 a No século XVI, na Itália, em plena idade média, mentes brilhantes conseguiram trazer contribuições marcantes à matemática no âmbito da resolução de equações. Dois nomes ficaram marcados em toda a história, devido à resolução dessas equações: Nicolo Fontana de Bréscia ( ), apelidado de Tartáglia, e Girolamo Cardano ( ), conhecido como Cardan. Tartáglia 3 era muito pobre e não tinha condições financeiras para estudar, pois na época tinham direito a educação apenas os filhos dos senhores feudais, tendo ele que estudar com livros velhos e insuficientes. Tempos depois, ele começou a lecionar em um retiro de religiosos e posteriormente, ingressou na área da matemática em estudos mais avançados. Naquela época eram comuns desafios para resolver questões relacionadas à matemática, no qual Tartáglia teve uma participação decisiva em um embate com António Maria Fior (um aluno do professor Scípio). No dia , eles trocaram 40 questões entre si, que envolviam a resolução de equações cúbicas, fixando 50 dias para resolvê-las, porém no dia 18/02/1535, Tartáglia já havia resolvido todas as questões propostas por Fior, enquanto este não passou da 20 a. Esse fato foi marcante para toda a sociedade da época, pois se descobriu uma maneira de resolver, ao menos 40 questões, que envolviam equações cúbicas, deixando todos curiosos para saber a fórmula que as resolvia. É importante frisar que, as questões resolvidas por Tartáglia, eram casos que na época não eram possíveis de resolução. Essa famosa fórmula, que tanto chamou a atenção da comunidade da época, foi apropriada por Cardano, que era um médico de Milão e admirador da matemática. convenceu Tartáglia a lhe revelar o método de resolução dessas equações. Munindo-se desta, em 1545, publicou o Ars Magna com a fórmula de Tartáglia, tendo toda glória sobre a legitimidade da resolução da equação, pois Tartáglia, apesar da criação, não publicou os seus resultados, creditando o nome da fórmula a Cardano apenas. 3 Tartáglia, que em latim significa gago, recebeu esse apelido devido a complicações que tinha na fala, por ter sofrido um corte profundo no rosto, após uma invasão bárbara que houve em sua cidade, onde muitas pessoas foram mortas e muitos outros ficaram mutilados. Este 13

29 Segue abaixo a fórmula que determina as raízes de uma equação cúbica do tipo x 3 + px = q Daí a solução é x = 3 q + ( q 2 2 )2 + ( p 3 )3 ( 3 q 2 )2 + ( q 2 )2 + ( p 3 )3 Uma dedução dessa fórmula pode ser encontrada em alguns livros da história da matemática, como o de Garbi(1996), com uma riqueza de detalhes. Em 1572, Rafael Bombelli ( ), destacou em seu artigo que se ( q 2 )2 + ( p 3 )3 era não positivo, então a equação não possui raízes reais e consiste assim, no caso irredutível das equações cúbicas. A representação de entes 0 9 era escrita da forma R[0m.9], R para a raiz, m para o sinal de menos e 0 para o zero. O material produzido por Bombelli teve como leitores ilustres Leibniz ( ) e Euler ( ), que a partir dessas discussões começaram a investigar o comportamento destes números, com a característica discutida por Bombelli. (STRUIK, 1992) Euler foi o primeiro matemático a admitir que i 2 = 1, o que já tinha sido cogitado por Alberto Girard em 1629 somente como 1, sem relacionar com qualquer letra. Euler admitiu esse valor em 1777 e se tornou amplamente aceito após os estudos de Gauss ( ) em De acordo com Eves (1997), Os termos imaginário e real foram empregados por René Descartes ( ) em 1637 e a expressão número complexo foi introduzida por Carl Friederich Gauss em ( EVES, 1997, p.315) Euler também estudou séries infinitas e x, sen(x), cos(x), em que nessas relações apareciam radicais com radicando negativo do tipo: Além de ter chegado a seguinte relação: sen(x) = e x e x 2 1 e iθ = cos(θ) + isen(θ) Tomando θ = π, temos: e iπ = cos(π) + isen(π) = 1 Leibniz fatorou x 4 + a 4 em (x + a 1) 2.(x a 1) 2, uma decomposição imaginária de um número real positivo que surpreendeu seus contemporâneos. 14

30 Outro matemático que também trabalhou com esses números foi D Alembert ( ), que gastou muito tempo e esforço para provar que toda equação polinomial, com coeficientes complexos, e de grau 1, tem pelo menos uma raiz complexa. Trabalhou também com a expressão (a + bi) c+di e num dado momento tomou a base (a + bi) como sendo uma variável e diferenciou a função, sendo assim uma antecipação da teoria das variáveis complexas, a qual foi desenvolvida no século XIX. De Moivre ( ), utilizou elementos trigonométricos para trabalhar com números complexos através da expressão (cos(α) + isen(α)) n = (cos(αn) + isen(αn). Wallis ( ) teve a idéia de que os números imaginários puros eram suscetíveis de serem representados numa reta perpendicular ao eixo real. Pensamento semelhante teve Wessel, ao apresentar um artigo a real academia dinamarquesa de ciências em 1797, sobre a representação de números complexos no plano. Porém esse artigo permaneceu excluído do mundo matemático e redescoberto cem anos após a sua apresentação. Esse atraso no reconhecimento da realização do trabalho de Wessel explica o porque do plano complexo vir a ser chamado de plano de Argand em vez de Wessel. O segundo nome que geralmente acompanha o plano é do Gauss ( ) o qual deu contribuições em trabalho apresentado a real sociedade de Göhingem em 1831, isto explica o porque do plano ser também chamado de Gauss. A simples idéia de considerar as partes reais e imaginárias de um número complexo z, como coordenadas retangulares de um ponto no plano, fez com que os matemáticos se sentissem mais a vontade com os números imaginários, pois esses podiam ser efetivamente visualizados. No sentido de que a cada número complexo corresponde um único ponto do plano. A geometria permaneceu acorrentada à sua versão euclidiana até que Lobachevisky e Bolvai, em 1829 e 1832 respectivamente, libertaram-na de suas amarras, criando uma geometria igualmente consistente, que abriu mão de um dos postulados de Euclides. Para a álgebra, aconteceu uma história semelhante, pois parecia incabível, no início do século XIX, haver uma álgebra distinta da trabalhada habitualmente. Nesse sentido, em 1843, William Hamilton ( ) foi forçado, por considerações físicas, a criar uma álgebra em que a lei comutativa era difícil de ser concebida. A criação de Hamilton nos levaria muito longe com o elegante tratamento dos números complexos como pares ordenados de números reais. Para obter um número complexo, a partir da forma de Hamilton, notemos que todo z = a + bi, com a e b reais, pode ser escrito na forma de pares ordenados, como segue 15

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