CADERNO DE OFICINA COM ATIVIDADES DE GEOMETRIA

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1 APÊNDICE A - CADERNO DE OFICINA COM ATIVIDADES DE GEOMETRIA PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS MESTRADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA CADERNO DE OFICINA COM ATIVIDADES DE GEOMETRIA AUTORES: Lúcia Helena da Cunha Ferreira João Bosco Laudares Colaboradores: Adilson Tadeu da Cunha Ferreira Ayllana da Cunha Ferreira Thiago Freire Alves Ferreira Belo Horizonte 2010

2 PREFÁCIO Esse produto é resultado de uma pesquisa realizada no mestrado de Ciências e Matemática da PUC - Minas e componente da Dissertação de Mestrado da Professora Lúcia Helena da Cunha Ferreira e orientada pelo Professor Dr. João Bosco Laudares. As atividades apresentadas nesse caderno de oficina se referem ao desenvolvimento do pensamento geométrico com o estudo de vistas de uma figura e sua perspectiva, exploração dos sólidos de revolução na obtenção pelos alunos da habilidade de visualização. Este material constitui um produto criado a partir de atividades referenciadas na Teoria de van Hiele (1986) e elaboradas segundo os parâmetros de João Pedro da Ponte (2003) para a atividade investigativa em oficinas pedagógicas. Os métodos de ensino e aprendizagem utilizados privilegiaram a manipulação de material concreto e o uso de um software livre denominado POLY. O objetivo geral é de proporcionar um percurso para o estudante estudar Geometria a partir do domínio de espaço e manipulação de figura, quanto a sua identificação, o reconhecimento de suas propriedades seja pela descoberta por meio da investigação, seja pela dedução, consoante aos níveis crescente de dificuldade de van Hiele (1986). A estrutura do conteúdo trabalhado foi organizada por quatro oficinas constituída pela sequência de atividades seguintes: 1ª- Identificação de figuras nos espaços bi e tri dimensionais e cálculo de área de figuras planas e espaciais (revisão); 2ª- Representação de vistas de uma figura e sua perspectiva; 3ª- Geração de sólidos de revolução com o uso de material concreto; 4ª- O uso do software POLY no trabalho com poliedros. Os autores

3 INTRODUÇÃO Caro leitor, As atividades disponibilizadas neste livro foram elaboradas especialmente para desenvolver a criatividade e a visualização espacial para o desenvolvimento do pensamento geométrico. Cada seqüência apresenta-se seguida de seus objetivos para que o leitor possa compreender a lógica utilizada no desenvolvimento das tarefas. Contudo, outros focos podem ser estabelecidos de acordo com o nível de ensino aplicado e/ou objetivos delimitados.

4 SUMÁRIO OFICINA I Atividade Atividade Atividade Atividade Atividade Área do Retângulo Área do Quadrado Área do paralelogramo Área do triângulo Área do hexágono regular Área do losango Área do trapézio Atividade OFICINA II Atividade Atividade Atividade Atividade OFICINA III Atividade Atividade Atividade Atividade OFICINA IV Poliedros Atividade

5 101 OFICINA I Identificação de figuras nos espaços bidimensional e tridimensional e cálculo de área de figuras planas e espaciais (revisão) - Objetivos. Estabelecer relações do cotidiano do aluno com as formas geométricas;. Desenvolver a capacidade de observar diferenças ou semelhança da forma dos objetos;. Calcular a área das principais figuras planas;. Visualizar as figuras planas e espaciais.

6 102 Atividade 1.1 Os objetos desenhados abaixo podem receber o nome de figuras geométricas bidimensionais ou tridimensionais. Complete com o nome geométrico correto. Se você souber outros nomes para a mesma figura, escreva-os também. Utilize o espaço destinado para o nome. Classifique também em bidimensional e tridimensional: OBJETO NOME BIDIMENSIONAL OU TRIDIMENSIONAL OBJETO NOME BIDIMENSIONAL OU TRIDIMENSIONA L

7 103 Atividade 1.2 A figura a seguir mostra um conjunto de segmentos consecutivos e não-colineares: AB, BC, CD, DE e EA, contidos num mesmo plano. Eles não se cruzam e formam uma figura fechada. B A C E D POLÍGONO Nº DE VÉRTICES Nº DE LADOS Nº DE ÂNGULOS INTERNOS Atividade Desenhe os seguintes polígonos: quadrilátero, hexágono, pentágono e octógono; A partir de um dos vértices trace todas as diagonais possíveis.

8 Quantos triângulos que foram formados em cada um dos polígonos? Quadrilátero: Hexágono: Pentágono: Octógono: Discuta com seu colega e verifique qual a relação entre o número de lados e o número de triângulos que foi formado em cada um dos polígonos. Registre suas conclusões: Calcule a soma dos ângulos internos de cada polígono e registre no espaço abaixo. Lembre-se que a soma dos ângulos internos de cada triângulo é de Sendo n o número de lados, escreva a fórmula que nos permite calcular a soma dos ângulos internos de cada polígono? Registre a maneira que você usou para chegar a fórmula: Atividade 1.4 Medir uma área é compará-la com uma unidade de área. Para medir uma área: 1º passo - Escolhemos uma área para unidade de medida. Como por exemplo, a unidade a seguir:

9 2º passo - Determina-se o número de vezes que a unidade escolhida cabe nessa área. Esse número é a medida da área. 105 A medida da área é de 3 unidades No quadriculado, a medida do lado de cada quadradinho é 1,0 cm. Observe o espaço ocupado pelas figuras desenhadas nesse quadriculado e calcule a sua área.

10 Enumere as figuras anteriores e registre as áreas encontradas: Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Atividade Área do Retângulo Usualmente chama-se um dos lados de um retângulo de comprimento (ou base) e o outro de largura (ou altura) e indica-se da seguinte forma:

11 107 b h b = medida do comprimento (ou da base) h = medida da largura (ou altura) Cubra o retângulo a seguir com quadradinhos de 1 cm de lado, ou seja, com quadrados de 1 cm 2 de área. Observe que esse retângulo contém 4 vezes 2 quadradinhos de 1cm de lado. Então a área deste retângulo é igual a Calcula-se a área, multiplicando-se: x Daí a fórmula da área do retângulo é: A = x. - Área do Quadrado Todo quadrado é um retângulo cujos lados possuem medidas iguais. Assim, chamamos de l a medida do lado do quadrado.

12 Área do quadrado é: A = x ou A =. - Área do paralelogramo Observe paralelogramo: A partir de suas observações e conclusões, qual a fórmula que nos permite calcular a área do paralelogramo, sendo b(base) e h(altura)? A = - Área do triângulo Desenhe um triângulo qualquer Qual a relação entre a área do retângulo e a área do triângulo? Podemos afirmar então que a área do triângulo é da área do retângulo.

13 Sendo b(base) e h(altura), escreva a fórmula que nos permite calcular a área do triângulo: A =. Observe agora o triângulo eqüilátero: Que tipo especial é o triângulo AHC e ABH? Obtenha a altura do triangulo ABC:h= (1) Substitua a altura que você encontrou no item anterior na fórmula encontrada para área de triângulo: A área do triângulo eqüilátero será dada pela fórmula: A =

14 110 - Área do hexágono regular Qual a medida de cada ângulo central do hexágono regular? Qual a relação entre o raio da circunferência circunscrita ao hexágono regular e a medida do seu lado? O hexágono regular é formado por 6 triângulos do tipo Sendo a o lado do hexágono regular, a sua área será dada pela fórmula: A =.

15 111 - Área do losango: Observe o losango ABCD e responda: Observe os triângulos: ANB, AOB, BOC, BQC, COD, DPC, AOD E AMD e registre as suas conclusões Qual a relação entre a diagonal DB e a base do retângulo PQ e a diagonal AC e a altura do retângulo? Qual a relação entre a área do losango ABCD e o retângulo MNQP? Se D (diagonal maior) e d ( diagonal menor) do losango, qual a fórmula da área do losango: A =

16 112 - Área do trapézio: Agora você mesmo vai construir um trapézio. Não se esqueça de relacioná-lo a um dos polígonos que já estudamos A partir da sua intuição e dos seus conhecimentos matemáticos, escreva a fórmula da área de um trapézio. A =. Atividade 1.6 Resolva os problemas usando os conhecimentos adquiridos nestas atividades: Determina a área total da superfície do embrulho representado na figura.

17 1.6.2 Os embrulhos da figura seguinte foram feitos com papel e atados com um fio. Cada um deles contém oito cubos todos iguais. 113 a) Em qual dos embrulhos se gastou maior quantidade de fio? b) E em qual se gastou maior quantidade de papel? c) Quantos embrulhos diferentes você conseguirá fazer se você tiver que embrulhar 12 cubos?. d) Com 8 cubos podemos fazer três tipos de embrulho. Que quantidade de cubos permite fazer apenas um só tipo de embrulho? A Francisca está construindo uma barra em que o padrão é formado por triângulos e quadrados, tal como está representado na figura seguinte.

18 a) Quantos quadrados e quantos triângulos cinzentos são necessários para obter uma barra com 78 cm de comprimento? 114 b) De quantos quadrados e quantos triângulos cinzentos necessitaria a Francisca se quisesse construir uma barra para colocar à volta de uma toalha com 1,08 m por 1,98 m?

19 115 OFICINA II Representação de vistas de uma figura e sua perspectiva - Objetivos. Visualizar a figura em suas diferentes formas;. Possibilitar ao aluno uma desenvoltura tanto nas suas formas de pensar e visualizar;. Desenvolver a sua noção de espaço e perspectivas;. Representar as vistas de um objeto dado na sua totalidade;. Reconhecer figuras geométricas idênticas em diversas posições;. Construir uma figura completa, através das vistas. Atividade Observe o desenho da casa a seguir: Um engenheiro realizou os seguintes desenhos dessa casa nas diferentes posições (P,Q e R) conforme apresentação a seguir:

20 116 (P) (Q) (R) Complete a tabela identificando qual a posição do engenheiro ao fazer o desenho DESENHO P Q R POSIÇÃO Os sólidos seguintes têm as arestas escondidas. Trace a figura completa, à direita de cada um deles e traceje as arestas escondidas.

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22 Três objetos diferentes estão representados, pela vista superior, como ilustração a seguir. Sabendo que ele foi construído utilizando cubos, descubra-os e registre as características de cada um deles. A parte em negrito está vazia: Atividade Observe as figuras espaciais a seguir:

23 Apenas utilizando a visualização, quantos cubinhos há em cada sólido? (a) (c) (b) (d) Identifique os sólidos que não têm a forma de um cubo e registre quantos cubinhos faltam para completar as figuras? Existe relação entre o número de cubinho de uma das dimensões (largura, altura ou comprimento) do cubo com o total de cubinhos que formam o cubo?

24 Dos objetos dados, existe a possibilidade de encaixe entre eles? Se existir, quais são elas? Dos sólidos dados, desenhe de cada um deles, as vistas (como o objeto é visto): CIMA BAIXO LATERAL ESQUERDO LATERAL DIREITO FRENTE TRÁS Atividade 2.3 As embalagens, a seguir, são as representações de alguns sólidos geométricos:

25 Desenhe as embalagens, dadas anteriormente, usando apenas os contornos delas: Imagine essas embalagens descoladas (abertas). Desenhe, no espaço a seguir, as superfícies planas de cada uma das embalagens acima Observe os desenhos a seguir das vistas ( superior, inferior,frente,trás e lateral) de algumas figuras espaciais:

26 122 CIMA BAIXO LATERAL ESQUERDO LATERAL DIREITO FRENTE TRÁS a b c Desenhe, no espaço a seguir, as figuras geométricas resultante de cada uma delas: a) b) c) Atividade 2.4 Na figura a seguir, pequenos cubos estão unidos uns aos outros pelas faces, formando diversas figuras tridimensionais. Algumas dessas figuras são iguais entre si (iguais significa aqui congruentes, ou seja,

27 que se podem levar a superposição). Utilizando as letras de cada uma das figuras, liste as que são congruentes. 123

28 124 OFICINA III Geração de sólidos de revolução com o uso de material concreto - Objetivos. Estabelecer o conceito de sólidos de revolução através de manipulação (rotação) de figuras planas;. Desenvolver a capacidade de associar uma figura gerada com o sólido de revolução;. Reconhecer um sólido quando representado por vistas ou seu desenvolvimento no plano. - Materiais das atividades. Pedaço de isopor (20 cm x 20 cm). Conjunto de bandeirinhas. Objetos do cotidiano: que lembrem sólidos geométricos, tais como: rolo de papel higiênico, latas, caixas, etc. Sólidos geométricos: com forma de cilindro, cilindro vazado, cone, tronco de cone, esfera, confeccionado em isopor ou papel cartão.. Rampa: construída com papelão ou madeira, com uma inclinação de cerca de 45 ;. Folha com figuras planas que compõem a superfície do cilindro, do cone e demais sólidos que serão apresentados nas atividades. Atividade 3.1 Nesta atividade serão utilizados alguns objetos do cotidiano, as bandeirinhas abaixo e a rampa.

29 125 Conjunto de bandeirinhas: Encaixe cada uma das bandeirinhas no isopor e gire 360. Identifique as figuras espaciais formadas pelo giro das bandeirinhas e as desenhe no espaço abaixo Dentre os objetos do cotidiano que se encontram sobre a mesa, separe aqueles que se parece com as figuras espaciais que você viu ao girar a bandeirinha. Chame esse conjunto de A e o conjunto formado pelos objetos restantes chame de B Coloque sobre a rampa cada um dos objetos A. É possível fazê-lo rolar sobre essa rampa? Registre sua opinião: Repita o que foi feito no item anterior, usando agora os elementos do conjunto B, isto é, aqueles que você não conseguiu associar a nenhuma bandeirinha Discuta com seus colegas se existe alguma característica comum quanto à superfície externa dos objetos dos conjuntos A e B. Registre as suas conclusões.

30 Observando os objetos do conjunto B, você consegue desenhar alguma bandeirinha que gere cada um deles? Considerando que as bandeirinhas quando rotacionadas geram os sólidos de revolução, ponha uma bandeirinha de cada vez fixada no isopor e tente localizar dentre os sólidos a sua frente, aquele que corresponde ao gerado pela bandeirinha Coloque sobre cada desenho da folha recebida, o sólido correspondente ao gerado pela bandeirinha Discuta com seus colegas o que vocês observam quanto a posição do sólido gerado quando altera a posição do mastro da bandeirinha de vertical para horizontal em relação a fixação no isopor. Registre as suas conclusões. Atividade 3.2 Agora, serão utilizadas as bandeirinhas abaixo:

31 Existe alguma característica comum aos retângulos que formam as bandeirinhas? E quanto à posição em que as figuras geométricas planas forma fixadas no mastro? Registre sua opinião: Discuta com seus colegas se as três bandeirinhas retangulares geram sólidos de revolução iguais, e que tenham as mesmas medidas. Registre as suas conclusões. Atividade 3.3 Utilizaremos agora as seguintes bandeirinhas: Existe alguma característica comum aos triângulos que formam as bandeirinhas? E quanto à posição em que as figuras foram fixadas ao mastro? Coloque essas três bandeirinhas para rotacionar com o mastro fixado ao isopor. Discuta com os seus colegas se existe alguma característica comum com relação aos sólidos gerados. Você conseguiria

32 128 dividir em conjuntos estes sólidos gerados considerando aqueles que representam apenas uma forma pontiaguda? Registre as suas conclusões. Atividade 3.4 Utilizaremos agora as seguintes bandeirinhas: Existe alguma característica comum à duas figuras com a forma de semicírculo que formam as bandeirinhas? Coloque as três bandeirinhas com o mastro fixado no isopor e gire. Os sólidos gerados são os mesmos?

33 3.4.3 O que você pode afirmar com relação aos sólidos de revolução gerados pelas duas bandeirinhas congruentes, ou seja, pelos dois semicírculos? Discuta com seus colegas se existe alguma semelhança quanto aos sólidos de revolução gerados pela bandeirinha com a forma de semicírculo, cujo eixo de rotação encontra-se na extremidade reta da mesma, e a bandeirinha com a forma de um círculo. Registre as suas conclusões Crie uma bandeirinha, cole no mastro em diversas posições e identifique a figura espacial gerada. Faça o seu desenho no espaço a seguir. (das bandeirinhas e das figuras espaciais formadas) A partir de suas observações e conclusões como você definiria os seguintes sólidos de revolução: CONE: CILINDRO: ESFERA:

34 130 OFICINA IV O uso do software POLY no trabalho com poliedros

35 131 - Objetivos. Estimular a percepção visual dos figuras espaciais através da planificação de uma figura tridimensional usando o software POLY;. Introduzir os conceitos de vértice, arestas e faces deduzindo a relação de Euler;. Reconhecer os sólidos de Arquimedes e deduzir a relação entre arestas e vértice da base. - Poliedros 1- Definições Poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos, de tal forma que a interseção de dois polígonos distintos seja uma aresta comum, um vértice comum, ou vazia (LIMA, 1991). Os polígonos são denominados faces do poliedro. Os lados e os vértices dos polígonos denominam-se respectivamente, arestas e vértices do poliedro. B P

36 132 A Um poliedro é convexo se qualquer reta não paralela a nenhuma de suas faces o corta em no máximo, dois pontos (LIMA, et. al., 2002). Ou, equivalentemente, um poliedro é convexo quando cada lado de um polígono é também lado de um, e apenas um outro polígono e, além disso, o plano que contém um desses polígonos deixa todos os outros em um mesmo semi -espaço (Figura P e A). Existem poliedros não-convexos, como por exemplo, o da figura B. Um poliedro é convexo se qualquer reta não paralela a nenhuma de suas faces o corta em no máximo, dois pontos (LIMA, et. al., 2002). Ou, equivalentemente, um poliedro é convexo quando cada lado de um polígono é também lado de um, e apenas um outro polígono e, além disso, o plano que contém um desses polígonos deixa todos os outros em um mesmo semi -espaço ( figura P e A). Existem poliedros não-convexos, como por exemplo, o da figura B. 2- Classificação de Poliedros O software Poly permite visualizar poliedros convexos, além de planificá-los e rotacioná-los. Os poliedros são apresentados nas seguintes categorias: platônicos, sólidos de Arquimedes, prismas e anti-prismas, sólidos de Jonhson, deltaedros, sólidos de Catalan, dipirâmides e deltoedros, esferas e domos geodésicos. A facilidade oferecida pelo software em copiar e colar figuras em um editor de texto é outro fator positivo do mesmo.

37 133 Atividade Explore livremente o programa do software Poly. 2 Clique no botão que permite visualizar Sólidos Platônicos. Na tela já aparecerá um tetraedro ( tetraedro regular). Com o botão direito ( ou esquerdo) do mouse pressionado, movimente o sólido e: 2.1 Determine: - Número de faces (F) - Número de arestas: (A) - Número de vértices: ( V) 2.2 Compare a soma V + F com A e registre as suas conclusões: 2.3 Planifique o sólido utilizando os recursos do software, e confira suas respostas 3 Repita a atividade 2 para : 3.1 Cubo: Determine: - número de faces (F) - número de arestas: (A) - Número de vértices: ( V)

38 Compare a soma V + F com A e registre as suas conclusões: Planifique o sólido utilizando os recursos do software, e confira suas respostas. 3.2 Octaedro: Determine: - número de faces (F) - número de arestas: (A) - Número de vértices: ( V) Compare a soma V + F com A e registre as suas conclusões: Planifique o sólido utilizando os recursos do software, e confira suas respostas. 3.3 Dodecaedro: Determine: - número de faces (F) - número de arestas: (A) - Número de vértices: ( V)

39 Compare a soma V + F com A e registre as suas conclusões: Planifique o sólido utilizando os recursos do software, e confira suas respostas 4 Discuta suas observações a respeito do número de vértices, faces e arestas e formalize a relação que você encontrou entre esses elementos. Essa relação que você encontrou é chamada de RELAÇÃO DE EULER; 5 Clique em sólidos platônicos e selecione Icosaedro. Observe que este sólido é composto de 20 triângulos eqüiláteros. 5.1 Determine o número de arestas deste sólido, sem contar uma a uma. Registre o número encontrado: 5.2 Utilize a Relação de Euler e determine o número de vértices: 6 Clique em Sólidos de Arquimedes. Na tela aparecerá um tetraedro truncado. Observe que este sólido é composto de 4 triângulos eqüiláteros e 4 hexágonos regulares.

40 Determine o número de arestas deste sólido, sem contar uma a uma e registre o número que você encontrou: 6.2 Utilize a Relação de Euler e determine o número de vértices. 7 Clique no botão que permite visualizar o sólido montado com as arestas realçadas e confira a sua resposta 8 Clique em Prismas e Antiprismas. Na tela aparecera um prisma triangular. Observe o sólido e determine: 8.1 número de faces(f) 8.2 número de arestas: (A) 8.3 número de vértices: (V) 8.4 Verifique se a relação de Euler é válida para o sólido analisado. Registre o que você observou: 9 A partir da visualização (software Poly), dos prismas indicados a seguir, preencha a seguinte tabela:

41 137 Número de arestas da base de um prisma Número de vértice de um prisma Número de arestas de um prisma Número de faces de um prisma 9.1 Determine uma relação entre o número de arestas da base, o número de vértices, arestas laterais, faces e registre o que você observou a partir da tabela dada: 9.2 Considere um prisma cujo número de arestas da base é n. Expresse, em função de n, o número de: Faces: Arestas: Vértices: 9.3 A partir das relações estabelecidas anteriormente, identifique o prisma que possui: 14 vértices: 8 faces: 12 arestas.: 9.4 A partir das relações estabelecidas anteriormente, identifique o prisma que possui: 14 vértices: 8 faces: 12 arestas: